Aber viele natürliche Zahlen sind durch andere natürliche Zahlen ohne Rest teilbar.

zum Beispiel:

Die Zahl 12 ist teilbar durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12;

Die Zahl 36 ist teilbar durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12, durch 18, durch 36.

Die Zahlen, durch die die Zahl teilbar ist (bei 12 sind es 1, 2, 3, 4, 6 und 12), werden aufgerufen Zahlenteiler. Teiler einer natürlichen Zahl a ist die natürliche Zahl, die die gegebene Zahl teilt a ohne jede Spur. Eine natürliche Zahl, die mehr als zwei Teiler hat, wird aufgerufen zusammengesetzt .

Beachten Sie, dass die Zahlen 12 und 36 gemeinsame Teiler haben. Dies sind die Zahlen: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Der größte Teiler dieser Zahlen ist 12. Der gemeinsame Teiler dieser beiden Zahlen a und b ist die Zahl, durch die beide gegebenen Zahlen ohne Rest teilbar sind a und b.

gemeinsames Vielfaches mehrere Zahlen heißt die Zahl, die durch jede dieser Zahlen teilbar ist. zum Beispiel, die Zahlen 9, 18 und 45 haben ein gemeinsames Vielfaches von 180. Aber 90 und 360 sind auch ihre gemeinsamen Vielfachen. Unter allen gemeinsamen Vielfachen gibt es immer das kleinste, in diesem Fall ist es 90. Diese Zahl heißt am wenigstengemeinsames Vielfaches (LCM).

LCM ist immer eine natürliche Zahl, die größer sein muss als die größte der Zahlen, für die sie definiert ist.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM). Eigenschaften.

Kommutativität:

Assoziativität:

Insbesondere wenn und teilerfremde Zahlen sind, dann gilt:

Kleinstes gemeinsames Vielfaches zweier ganzer Zahlen m und n ein Teiler aller anderen gemeinsamen Vielfachen ist m und n. Außerdem die Menge der gemeinsamen Vielfachen m, n fällt mit der Menge der Vielfachen für LCM( m, n).

Die Asymptotik für kann durch einige zahlentheoretische Funktionen ausgedrückt werden.

So, Tschebyscheff-Funktion. Und auch:

Dies folgt aus der Definition und den Eigenschaften der Landau-Funktion g(n).

Was folgt aus dem Verteilungsgesetz der Primzahlen.

Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM).

NOC( ein, b) kann auf verschiedene Arten berechnet werden:

1. Wenn der größte gemeinsame Teiler bekannt ist, können Sie seine Beziehung zum LCM verwenden:

2. Die kanonische Zerlegung beider Zahlen in Primfaktoren sei bekannt:

wo p 1 ,...,p k sind verschiedene Primzahlen, und d 1 ,...,dk und e 1 ,...,ek sind nicht negative ganze Zahlen (sie können Null sein, wenn die entsprechende Primzahl nicht in der Erweiterung enthalten ist).

Dann LCM ( a,b) wird nach folgender Formel berechnet:

Mit anderen Worten, die LCM-Entwicklung enthält alle Primfaktoren, die in mindestens einer der Zahlenentwicklungen enthalten sind ein, b, und der größte der beiden Exponenten dieses Faktors wird genommen.

Beispiel:

Die Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen mehrerer Zahlen lässt sich auf mehrere aufeinanderfolgende Berechnungen des LCM zweier Zahlen reduzieren:

Regel. Um das LCM einer Reihe von Zahlen zu finden, benötigen Sie:

- Zahlen in Primfaktoren zerlegen;

- Übertragen Sie die größte Erweiterung auf die Faktoren des gewünschten Produkts (das Produkt der Faktoren der größten Anzahl der gegebenen), und fügen Sie dann Faktoren aus der Erweiterung anderer Zahlen hinzu, die nicht in der ersten Zahl vorkommen oder darin enthalten sind eine geringere Anzahl von Malen;

- Das resultierende Produkt der Primfaktoren ist das LCM der gegebenen Zahlen.

Zwei oder mehr natürliche Zahlen haben ihr eigenes LCM. Wenn die Zahlen keine Vielfachen voneinander sind oder in der Erweiterung nicht die gleichen Faktoren haben, dann ist ihr LCM gleich dem Produkt dieser Zahlen.

Die Primfaktoren der Zahl 28 (2, 2, 7) wurden mit einem Faktor 3 (der Zahl 21) ergänzt, das resultierende Produkt (84) ist die kleinste Zahl, die durch 21 und 28 teilbar ist.

Die Primfaktoren der größten Zahl 30 wurden mit einem Faktor 5 der Zahl 25 ergänzt, das resultierende Produkt 150 ist größer als die größte Zahl 30 und ist ohne Rest durch alle gegebenen Zahlen teilbar. Dies ist das kleinstmögliche Produkt (150, 250, 300...), von dem alle gegebenen Zahlen Vielfache sind.

Die Zahlen 2,3,11,37 sind Primzahlen, also ist ihr LCM gleich dem Produkt der gegebenen Zahlen.

Regel. Um das LCM von Primzahlen zu berechnen, müssen Sie alle diese Zahlen miteinander multiplizieren.

Andere Option:

Um das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) mehrerer Zahlen zu finden, benötigen Sie:

1) Stellen Sie jede Zahl als Produkt ihrer Primfaktoren dar, zum Beispiel:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) Schreiben Sie die Potenzen aller Primfaktoren auf:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) Schreiben Sie alle Primteiler (Multiplikatoren) jeder dieser Zahlen auf;

4) wähle den größten Grad von jeder von ihnen, der in allen Erweiterungen dieser Zahlen gefunden wird;

5) multipliziere diese Kräfte.

Beispiel. Finden Sie das LCM der Zahlen: 168, 180 und 3024.

Entscheidung. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Wir schreiben die größten Potenzen aller Primteiler aus und multiplizieren sie:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

So finden Sie LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches)

Das gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen ist die ganze Zahl, die durch beide gegebenen Zahlen ohne Rest teilbar ist.

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen ist die kleinste aller ganzen Zahlen, die durch beide gegebenen Zahlen gerade und ohne Rest teilbar ist.

Methode 1. Sie können das LCM wiederum für jede der angegebenen Zahlen finden, indem Sie in aufsteigender Reihenfolge alle Zahlen ausschreiben, die sich ergeben, indem Sie sie mit 1, 2, 3, 4 usw. multiplizieren.

Beispiel für Nummer 6 und 9.
Wir multiplizieren die Zahl 6 nacheinander mit 1, 2, 3, 4, 5.
Wir bekommen: 6, 12, 18 , 24, 30
Wir multiplizieren die Zahl 9 nacheinander mit 1, 2, 3, 4, 5.
Wir bekommen: 9, 18 , 27, 36, 45
Wie Sie sehen können, ist das LCM für die Zahlen 6 und 9 18.

Diese Methode ist praktisch, wenn beide Zahlen klein sind und es einfach ist, sie mit einer Folge von ganzen Zahlen zu multiplizieren. Es gibt jedoch Fälle, in denen Sie das LCM für zwei- oder dreistellige Zahlen finden müssen, und auch, wenn es drei oder sogar mehr Anfangszahlen gibt.

Methode 2. Sie können das LCM finden, indem Sie die ursprünglichen Zahlen in Primfaktoren zerlegen.
Nach der Zerlegung müssen dieselben Zahlen aus der resultierenden Reihe von Primfaktoren gestrichen werden. Die restlichen Zahlen der ersten Zahl sind der Faktor für die zweite, und die restlichen Zahlen der zweiten Zahl sind der Faktor für die erste.

Beispiel für die Nummer 75 und 60.
Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 75 und 60 kann man finden, ohne ein Vielfaches dieser Zahlen hintereinander auszuschreiben. Dazu zerlegen wir 75 und 60 in Primfaktoren:
75 = 3 * 5 * 5 und
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Wie Sie sehen, kommen die Faktoren 3 und 5 in beiden Zeilen vor. Wir „streichen“ sie gedanklich durch.
Lassen Sie uns die verbleibenden Faktoren aufschreiben, die in der Erweiterung jeder dieser Zahlen enthalten sind. Bei der Zerlegung der Zahl 75 haben wir die Zahl 5 belassen, und bei der Zerlegung der Zahl 60 haben wir 2 * 2 übrig gelassen
Um also das LCM für die Zahlen 75 und 60 zu bestimmen, müssen wir die verbleibenden Zahlen aus der Erweiterung von 75 (das ist 5) mit 60 multiplizieren, und die verbleibenden Zahlen aus der Erweiterung der Zahl 60 (das ist 2 * 2 ) mit 75 multiplizieren. Das heißt, zum leichteren Verständnis sagen wir, dass wir "kreuzweise" multiplizieren.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
So haben wir das LCM für die Zahlen 60 und 75 gefunden. Das ist die Zahl 300.

Beispiel. Bestimmen Sie LCM für die Zahlen 12, 16, 24
In diesem Fall werden unsere Aktionen etwas komplizierter. Aber zuerst zerlegen wir wie immer alle Zahlen in Primfaktoren
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Um das LCM korrekt zu bestimmen, wählen wir die kleinste aller Zahlen aus (das ist die Zahl 12) und gehen der Reihe nach deren Faktoren durch, wobei wir sie durchstreichen, wenn mindestens eine der anderen Zahlenreihen den gleichen Faktor hat, der noch nicht gekreuzt wurde aus.

Schritt 1 . Wir sehen, dass 2 * 2 in allen Zahlenreihen vorkommt. Wir streichen sie durch.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Schritt 2. In den Primfaktoren der Zahl 12 bleibt nur die Zahl 3. Aber sie ist in den Primfaktoren der Zahl 24 vorhanden. Wir streichen die Zahl 3 aus beiden Zeilen, während für die Zahl 16 keine Aktion erwartet wird .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Wie Sie sehen können, haben wir bei der Zerlegung der Zahl 12 alle Zahlen "durchgestrichen". Damit ist die Feststellung des NOC abgeschlossen. Es bleibt nur, seinen Wert zu berechnen.
Für die Zahl 12 nehmen wir die restlichen Faktoren von der Zahl 16 (am nächsten in aufsteigender Reihenfolge)
12 * 2 * 2 = 48
Das ist das NOC

Wie Sie sehen können, war es in diesem Fall etwas schwieriger, das LCM zu finden, aber wenn Sie es für drei oder mehr Zahlen finden müssen, können Sie es mit dieser Methode schneller tun. Allerdings sind beide Wege, das LCM zu finden, richtig.

Definition. Man nennt die größte natürliche Zahl, durch die die Zahlen a und b ohne Rest teilbar sind größter gemeinsamer Teiler (ggT) diese Nummern.

Finden wir den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 24 und 35.
Die Teiler von 24 sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 und die Teiler von 35 sind die Zahlen 1, 5, 7, 35.
Wir sehen, dass die Zahlen 24 und 35 nur einen gemeinsamen Teiler haben – die Zahl 1. Solche Zahlen werden genannt teilerfremd.

Definition. Die natürlichen Zahlen werden genannt teilerfremd wenn ihr größter gemeinsamer Teiler (ggT) 1 ist.

Größter gemeinsamer Teiler (ggT) kann gefunden werden, ohne alle Teiler der gegebenen Zahlen auszuschreiben.

Wenn wir die Zahlen 48 und 36 faktorisieren, erhalten wir:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Von den Faktoren, die in der Erweiterung der ersten dieser Zahlen enthalten sind, löschen wir diejenigen, die nicht in der Erweiterung der zweiten Zahl enthalten sind (d. h. zwei Zweien).
Übrig bleiben die Faktoren 2 * 2 * 3. Ihr Produkt ist 12. Diese Zahl ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 48 und 36. Auch der größte gemeinsame Teiler von drei oder mehr Zahlen wird gefunden.

Finden größter gemeinsamer Teiler

2) von den Faktoren, die in der Erweiterung einer dieser Zahlen enthalten sind, diejenigen streichen, die nicht in der Erweiterung anderer Zahlen enthalten sind;
3) Finden Sie das Produkt der verbleibenden Faktoren.

Wenn alle gegebenen Zahlen durch eine von ihnen teilbar sind, dann ist diese Zahl größter gemeinsamer Teiler gegebenen Zahlen.
Zum Beispiel ist der größte gemeinsame Teiler von 15, 45, 75 und 180 15, da er alle anderen Zahlen teilt: 45, 75 und 180.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM)

Definition. Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) Die natürlichen Zahlen a und b sind die kleinsten natürlichen Zahlen, die ein Vielfaches von a und b sind. Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der Zahlen 75 und 60 kann gefunden werden, ohne ein Vielfaches dieser Zahlen hintereinander auszuschreiben. Dazu zerlegen wir 75 und 60 in einfache Faktoren: 75 \u003d 3 * 5 * 5 und 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Lassen Sie uns die Faktoren aufschreiben, die in der Erweiterung der ersten dieser Zahlen enthalten sind, und die fehlenden Faktoren 2 und 2 aus der Erweiterung der zweiten Zahl hinzufügen (d. h. wir kombinieren die Faktoren).
Wir erhalten fünf Faktoren 2 * 2 * 3 * 5 * 5, deren Produkt 300 ist. Diese Zahl ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 75 und 60.

Finde auch das kleinste gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen.

Zu Finde das kleinste gemeinsame Vielfache mehrere natürliche Zahlen benötigen Sie:
1) sie in Primfaktoren zerlegen;
2) schreiben Sie die Faktoren auf, die in der Erweiterung einer der Zahlen enthalten sind;
3) füge ihnen die fehlenden Faktoren aus den Erweiterungen der verbleibenden Zahlen hinzu;
4) Finden Sie das Produkt der resultierenden Faktoren.

Beachten Sie, dass, wenn eine dieser Zahlen durch alle anderen Zahlen teilbar ist, diese Zahl das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist.
Zum Beispiel wäre das kleinste gemeinsame Vielfache von 12, 15, 20 und 60 60, da es durch alle gegebenen Zahlen teilbar ist.

Pythagoras (6. Jahrhundert v. Chr.) und seine Schüler beschäftigten sich mit der Frage der Teilbarkeit von Zahlen. Eine Zahl gleich der Summe aller ihrer Teiler (ohne die Zahl selbst), nannten sie die perfekte Zahl. Zum Beispiel sind die Zahlen 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) perfekt. Die nächsten vollkommenen Zahlen sind 496, 8128, 33 550 336. Die Pythagoräer kannten nur die ersten drei vollkommenen Zahlen. Die vierte - 8128 - wurde im 1. Jahrhundert bekannt. n. e. Die fünfte – 33 550 336 – wurde im 15. Jahrhundert gefunden. 1983 waren bereits 27 vollkommene Zahlen bekannt. Aber bis jetzt wissen Wissenschaftler nicht, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt, ob es die größte vollkommene Zahl gibt.
Das Interesse der alten Mathematiker an Primzahlen rührt daher, dass jede Zahl entweder eine Primzahl ist oder als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann, d. h. Primzahlen sind wie Bausteine, aus denen die restlichen natürlichen Zahlen aufgebaut sind.
Sie haben wahrscheinlich bemerkt, dass Primzahlen in der Reihe der natürlichen Zahlen ungleichmäßig vorkommen - in einigen Teilen der Reihe gibt es mehr davon, in anderen weniger. Aber je weiter wir uns entlang der Zahlenreihe bewegen, desto seltener werden die Primzahlen. Es stellt sich die Frage: Gibt es die letzte (größte) Primzahl? Der altgriechische Mathematiker Euklid (3. Jahrhundert v. Chr.) bewies in seinem Buch „Anfänge“, das zweitausend Jahre lang das Hauptlehrbuch der Mathematik war, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, das heißt, hinter jeder Primzahl steht eine gerade Zahl größere Primzahl.
Um Primzahlen zu finden, entwickelte ein anderer griechischer Mathematiker zur gleichen Zeit, Eratosthenes, eine solche Methode. Er schrieb alle Zahlen von 1 bis zu irgendeiner Zahl auf und strich dann die Einheit durch, die weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl ist, und strich dann alle Zahlen nach 2 durch (Zahlen, die ein Vielfaches von 2 sind, z. B. 4, 6, 8 usw.). Die erste verbleibende Zahl nach 2 war 3. Dann wurden nach 2 alle Zahlen nach 3 durchgestrichen (Zahlen, die Vielfache von 3 sind, also 6, 9, 12 usw.). am Ende blieben nur die Primzahlen undurchgestrichen.

Die Schüler bekommen viele Matheaufgaben. Darunter sind sehr oft Aufgaben mit folgender Formulierung: Es gibt zwei Werte. Wie findet man das kleinste gemeinsame Vielfache gegebener Zahlen? Es ist notwendig, solche Aufgaben ausführen zu können, da die erworbenen Fähigkeiten verwendet werden, um mit Brüchen mit unterschiedlichen Nennern zu arbeiten. In dem Artikel werden wir analysieren, wie man das LCM und die grundlegenden Konzepte findet.

Bevor Sie die Antwort auf die Frage finden, wie Sie das LCM finden, müssen Sie den Begriff Multiple definieren. Meistens lautet der Wortlaut dieses Konzepts wie folgt: Ein Vielfaches mit einem bestimmten Wert A ist eine natürliche Zahl, die ohne Rest durch A teilbar ist, also für 4, 8, 12, 16, 20 usw. bis zu die notwendige Grenze.

In diesem Fall kann die Anzahl der Teiler für einen bestimmten Wert begrenzt werden, und es gibt unendlich viele Vielfache. Derselbe Wert gilt auch für natürliche Werte. Dies ist ein Indikator, der durch sie ohne Rest geteilt wird. Nachdem wir uns mit dem Konzept des kleinsten Werts für bestimmte Indikatoren befasst haben, fahren wir fort, wie man ihn findet.

Suche nach dem NOC

Das kleinste Vielfache von zwei oder mehr Exponenten ist die kleinste natürliche Zahl, die durch alle gegebenen Zahlen vollständig teilbar ist.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, einen solchen Wert zu finden. Betrachten wir die folgenden Methoden:

1. Wenn die Zahlen klein sind, dann schreibe in die Zeile alles, was durch sie teilbar ist. Machen Sie so weiter, bis Sie etwas Gemeinsames zwischen ihnen finden. Im Datensatz werden sie mit dem Buchstaben K gekennzeichnet. Beispielsweise ist für 4 und 3 das kleinste Vielfache 12.
2. Wenn diese groß sind oder Sie ein Vielfaches für 3 oder mehr Werte finden müssen, sollten Sie hier eine andere Technik verwenden, bei der Zahlen in Primfaktoren zerlegt werden. Legen Sie zuerst den größten der angegebenen aus, dann den ganzen Rest. Jeder von ihnen hat seine eigene Anzahl von Multiplikatoren. Lassen Sie uns als Beispiel 20 (2*2*5) und 50 (5*5*2) zerlegen. Unterstreiche für die kleineren Faktoren die Faktoren und füge sie zum größten hinzu. Das Ergebnis ist 100, was das kleinste gemeinsame Vielfache der obigen Zahlen ist.
3. Beim Finden von 3 Zahlen (16, 24 und 36) sind die Prinzipien die gleichen wie für die anderen beiden. Lassen Sie uns jeden von ihnen erweitern: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Lediglich zwei Zweien aus der Erweiterung der Zahl 16 gingen nicht in die Zerlegung der größten ein, wir addieren sie und erhalten 144, das kleinste Ergebnis für die zuvor angegebenen Zahlenwerte.

Jetzt kennen wir die allgemeine Technik, um den kleinsten Wert für zwei, drei oder mehr Werte zu finden. Es gibt jedoch auch private Methoden, hilft bei der Suche nach NOCs, wenn die vorherigen nicht helfen.

So finden Sie GCD und NOC.

Private Wege des Findens

Wie bei jedem mathematischen Abschnitt gibt es spezielle Fälle, LCMs zu finden, die in bestimmten Situationen helfen:

• wenn eine der Zahlen ohne Rest durch die anderen teilbar ist, dann ist das kleinste Vielfache dieser Zahlen gleich (NOC 60 und 15 ist gleich 15);
• Teilerfremde Zahlen haben keine gemeinsamen Primteiler. Ihr kleinster Wert ist gleich dem Produkt dieser Zahlen. Für die Zahlen 7 und 8 ist dies also 56;
• die gleiche Regel gilt für andere Fälle, auch für Sonderfälle, die in der Fachliteratur nachzulesen sind. Dies sollte auch Fälle der Zerlegung zusammengesetzter Zahlen umfassen, die Gegenstand separater Artikel und sogar Doktorarbeiten sind.

Sonderfälle sind seltener als Standardbeispiele. Aber dank ihnen können Sie lernen, mit Brüchen unterschiedlicher Komplexität zu arbeiten. Dies gilt insbesondere für Brüche., wobei es verschiedene Nenner gibt.

Einige Beispiele

Schauen wir uns einige Beispiele an, anhand derer Sie das Prinzip der Suche nach dem kleinsten Vielfachen verstehen können:

1. Wir finden LCM (35; 40). Wir legen zuerst 35 = 5*7, dann 40 = 5*8 aus. Wir addieren 8 zur kleinsten Zahl und erhalten das NOC 280.
2. NOZ (45; 54). Wir legen jeden von ihnen an: 45 = 3*3*5 und 54 = 3*3*6. Wir addieren die Zahl 6 zu 45. Wir erhalten die NOC gleich 270.
3. Nun, das letzte Beispiel. Es gibt 5 und 4. Es gibt keine einfachen Vielfachen für sie, also ist das kleinste gemeinsame Vielfache in diesem Fall ihr Produkt, gleich 20.

Dank Beispielen können Sie verstehen, wie sich das NOC befindet, was die Nuancen sind und was die Bedeutung solcher Manipulationen ist.

Das NOC zu finden ist viel einfacher, als es zunächst scheinen mag. Dazu wird sowohl eine einfache Erweiterung als auch die Multiplikation einfacher Werte miteinander verwendet.. Die Fähigkeit, mit diesem Abschnitt der Mathematik zu arbeiten, hilft beim weiteren Studium mathematischer Themen, insbesondere von Bruchteilen unterschiedlicher Komplexität.

Vergessen Sie nicht, Beispiele regelmäßig mit verschiedenen Methoden zu lösen, dies entwickelt den logischen Apparat und ermöglicht es Ihnen, sich an zahlreiche Begriffe zu erinnern. Lernen Sie Methoden, um einen solchen Indikator zu finden, und Sie werden in der Lage sein, mit den restlichen mathematischen Abschnitten gut zu arbeiten. Viel Spaß beim Mathe lernen!

Video

Dieses Video hilft Ihnen zu verstehen und sich daran zu erinnern, wie Sie das kleinste gemeinsame Vielfache finden.

Das unten dargestellte Material ist eine logische Fortsetzung der Theorie aus dem Artikel unter der Überschrift LCM – kleinstes gemeinsames Vielfaches, Definition, Beispiele, Beziehung zwischen LCM und ggT. Hier werden wir darüber sprechen Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM), und achten Sie besonders auf die Lösung von Beispielen. Lassen Sie uns zunächst zeigen, wie das LCM zweier Zahlen in Bezug auf den ggT dieser Zahlen berechnet wird. Überlege als Nächstes, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, indem du Zahlen in Primfaktoren zerlegst. Danach konzentrieren wir uns darauf, das LCM von drei oder mehr Zahlen zu finden, und achten auch auf die Berechnung des LCM von negativen Zahlen.

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Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) durch ggT

Eine Möglichkeit, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, basiert auf der Beziehung zwischen LCM und ggT. Die bestehende Beziehung zwischen LCM und ggT ermöglicht es Ihnen, das kleinste gemeinsame Vielfache zweier positiver ganzer Zahlen durch den bekannten größten gemeinsamen Teiler zu berechnen. Die zugehörige Formel hat die Form LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Betrachten Sie Beispiele zum Finden des LCM gemäß der obigen Formel.

Beispiel.

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen 126 und 70 .

Entscheidung.

In diesem Beispiel a=126 , b=70 . Lassen Sie uns die Beziehung zwischen LCM und GCD verwenden, die durch die Formel ausgedrückt wird LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Das heißt, wir müssen zuerst den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 70 und 126 finden, danach können wir das LCM dieser Zahlen nach der geschriebenen Formel berechnen.

Finden Sie ggT(126, 70) mit dem Euklid-Algorithmus: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , also ggT(126, 70)=14 .

Nun finden wir das benötigte kleinste gemeinsame Vielfache: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Antworten:

LCM(126, 70)=630 .

Beispiel.

Was ist LCM(68, 34)?

Entscheidung.

Als 68 ist ohne Rest durch 34 teilbar, dann ist ggT(68, 34)=34 . Nun berechnen wir das kleinste gemeinsame Vielfache: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Antworten:

LCM(68, 34)=68 .

Beachten Sie, dass das vorherige Beispiel der folgenden Regel zum Ermitteln des LCM für positive ganze Zahlen a und b entspricht: Wenn die Zahl a durch b teilbar ist, dann ist das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen a .

Ermitteln des LCM durch Faktorisieren von Zahlen in Primfaktoren

Eine andere Möglichkeit, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, besteht darin, Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen. Wenn wir ein Produkt aus allen Primfaktoren dieser Zahlen bilden und anschließend alle gemeinsamen Primfaktoren, die in den Erweiterungen dieser Zahlen vorhanden sind, aus diesem Produkt ausschließen, dann ist das resultierende Produkt gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen dieser Zahlen.

Aus der Gleichheit folgt die angekündigte Regel zum Auffinden des LCM LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Tatsächlich ist das Produkt der Zahlen a und b gleich dem Produkt aller Faktoren, die an der Entwicklung der Zahlen a und b beteiligt sind. ggT(a, b) wiederum ist gleich dem Produkt aller Primfaktoren, die gleichzeitig in den Erweiterungen der Zahlen a und b vorkommen (was im Abschnitt über die Ermittlung des ggT durch Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren beschrieben wird). ).

Nehmen wir ein Beispiel. Lassen Sie uns wissen, dass 75=3 5 5 und 210=2 3 5 7 . Bilden Sie das Produkt aller Faktoren dieser Erweiterungen: 2 3 3 5 5 5 7 . Jetzt schließen wir aus diesem Produkt alle Faktoren aus, die sowohl in der Erweiterung der Zahl 75 als auch in der Erweiterung der Zahl 210 vorhanden sind (solche Faktoren sind 3 und 5), dann nimmt das Produkt die Form 2 3 5 5 7 an. Der Wert dieses Produkts ist gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen 75 und 210, also LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Beispiel.

Nachdem du die Zahlen 441 und 700 in Primfaktoren zerlegt hast, finde das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen.

Entscheidung.

Zerlegen wir die Zahlen 441 und 700 in Primfaktoren:

Wir erhalten 441=3 3 7 7 und 700=2 2 5 5 7 .

Lassen Sie uns nun ein Produkt aus allen Faktoren bilden, die an der Erweiterung dieser Zahlen beteiligt sind: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Lassen Sie uns aus diesem Produkt alle Faktoren ausschließen, die gleichzeitig in beiden Erweiterungen vorhanden sind (es gibt nur einen solchen Faktor - dies ist die Zahl 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Auf diese Weise, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Antworten:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Die Regel zur Ermittlung des LCM durch Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren kann etwas anders formuliert werden. Wenn wir die fehlenden Faktoren aus der Erweiterung der Zahl b zu den Faktoren aus der Zerlegung der Zahl a addieren, dann ist der Wert des resultierenden Produkts gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen a und b.

Nehmen wir zum Beispiel alle gleichen Zahlen 75 und 210, ihre Erweiterungen in Primfaktoren sind wie folgt: 75=3 5 5 und 210=2 3 5 7 . Zu den Faktoren 3, 5 und 5 aus der Zerlegung der Zahl 75 addieren wir die fehlenden Faktoren 2 und 7 aus der Zerlegung der Zahl 210, wir erhalten das Produkt 2 3 5 5 7 , dessen Wert LCM(75 , 210).

Beispiel.

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von 84 und 648.

Entscheidung.

Wir erhalten zunächst die Zerlegung der Zahlen 84 und 648 in Primfaktoren. Sie sehen aus wie 84=2 2 3 7 und 648=2 2 2 3 3 3 3 . Zu den Faktoren 2, 2, 3 und 7 aus der Zerlegung der Zahl 84 addieren wir die fehlenden Faktoren 2, 3, 3 und 3 aus der Zerlegung der Zahl 648, wir erhalten das Produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 , was gleich 4 536 ist. Somit ist das gewünschte kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 84 und 648 4.536.

Antworten:

LCM(84, 648)=4 536 .

Ermitteln des LCM von drei oder mehr Zahlen

Das kleinste gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen kann man finden, indem man nacheinander das LCM von zwei Zahlen findet. Erinnern Sie sich an den entsprechenden Satz, mit dem Sie das LCM von drei oder mehr Zahlen finden können.

Satz.

Seien positive ganze Zahlen a 1 , a 2 , …, a k gegeben, das kleinste gemeinsame Vielfache m k dieser Zahlen findet sich in der Folgerechnung m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Betrachten Sie die Anwendung dieses Satzes am Beispiel der Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von vier Zahlen.

Beispiel.

Finden Sie das LCM der vier Zahlen 140, 9, 54 und 250.

Entscheidung.

In diesem Beispiel a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Zuerst finden wir m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Dazu bestimmen wir mit dem euklidischen Algorithmus ggT(140, 9) , wir haben 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , also ggT( 140, 9)=1 , woher LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Das heißt, m 2 = 1 260 .

Jetzt finden wir m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Berechnen wir es durch ggT(1 260, 54) , was auch durch den Euklid-Algorithmus bestimmt wird: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Dann ggT(1 260, 54)=18 , also LCM(1 260, 54)= 1 260 54:ggT(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Das heißt, m 3 \u003d 3 780.

Links zu finden m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Dazu finden wir ggT(3 780, 250) mit dem Euklid-Algorithmus: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Daher ggT(3 780, 250)=10 , woher ggT(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Das heißt, m 4 \u003d 94 500.

Das kleinste gemeinsame Vielfache der ursprünglichen vier Zahlen ist also 94.500.

Antworten:

LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.

In vielen Fällen wird das kleinste gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen bequem durch Primfaktorzerlegung gegebener Zahlen gefunden. In diesem Fall sollte die folgende Regel befolgt werden. Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen ist gleich dem Produkt, das sich wie folgt zusammensetzt: Die fehlenden Faktoren aus der Erweiterung der zweiten Zahl werden zu allen Faktoren aus der Erweiterung der ersten Zahl addiert, die fehlenden Faktoren aus der Erweiterung von die dritte Zahl wird zu den erhaltenen Faktoren addiert und so weiter.

Betrachten Sie ein Beispiel für das Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen mithilfe der Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren.

Beispiel.

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von fünf Zahlen 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Entscheidung.

Zuerst erhalten wir die Erweiterungen dieser Zahlen in Primfaktoren: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 Primfaktoren) und 143=11 13 .

Um das LCM dieser Zahlen zu finden, müssen Sie zu den Faktoren der ersten Zahl 84 (das sind 2 , 2 , 3 und 7 ) die fehlenden Faktoren aus der Erweiterung der zweiten Zahl 6 hinzufügen. Die Erweiterung der Zahl 6 enthält keine fehlenden Faktoren, da sowohl 2 als auch 3 bereits in der Erweiterung der ersten Zahl 84 vorhanden sind. Fügen wir zu den Faktoren 2, 2, 3 und 7 die fehlenden Faktoren 2 und 2 aus der Erweiterung der dritten Zahl 48 hinzu, erhalten wir eine Reihe von Faktoren 2, 2, 2, 2, 3 und 7. Zu dieser Menge müssen im nächsten Schritt keine Faktoren hinzugefügt werden, da 7 bereits darin enthalten ist. Schließlich ergänzen wir zu den Faktoren 2 , 2 , 2 , 2 , 3 und 7 die fehlenden Faktoren 11 und 13 aus der Erweiterung der Zahl 143 . Wir erhalten das Produkt 2 2 2 2 3 7 11 13 , was 48 048 entspricht.