Bei welchem ​​Wert des Parameters ist eine Wurzel der Gleichung

größer als 1 und der andere kleiner als 1?

Betrachten Sie die Funktion -

Zielsetzung:

• Die Untersuchung aller möglichen Merkmale der Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms relativ zu einem bestimmten Punkt und relativ zu einem bestimmten Segment basierend auf den Eigenschaften einer quadratischen Funktion und grafischen Interpretationen.
• Anwendung der untersuchten Eigenschaften bei der Lösung von nicht standardmäßigen Problemen mit einem Parameter.

Aufgaben:

• Verschiedene Methoden zur Lösung von Problemen zu untersuchen, die auf der Untersuchung der Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms durch eine grafische Methode basieren.
• Begründen Sie alle möglichen Merkmale der Position der Wurzeln eines quadratischen Trinoms, entwickeln Sie theoretische Empfehlungen zur Lösung nicht standardmäßiger Probleme mit einem Parameter.
• Beherrschen Sie eine Reihe von technischen und intellektuellen mathematischen Fähigkeiten und lernen Sie, wie Sie diese bei der Lösung von Problemen einsetzen.

Hypothese:

Die Verwendung der grafischen Methode bei nicht-traditionellen Problemen mit einem Parameter vereinfacht mathematische Berechnungen und ist ein rationaler Lösungsweg.

dann und nur dann:

1. Beide Wurzeln sind kleiner als A,

2. Die Wurzeln liegen auf gegenüberliegenden Seiten der Zahl A,

dann und nur dann:

• dann und nur dann:

dann und nur dann:

3. Beide Wurzeln sind also größer als die Zahl A

Finden Sie alle Werte des Parameters a, für die es eine Wurzel der Gleichung gibt

größer als 1 und der andere kleiner als 1.

Für welche Werte des Parameters die Gleichung

hat zwei verschiedene Wurzeln desselben Zeichens?

-6

-2

3

a

1. Beide Wurzeln liegen zwischen den Punkten A und B, d.h.

dann und nur dann:

2. Die Wurzeln liegen auf gegenüberliegenden Seiten des Segments

dann und nur dann:

3. Eine Wurzel liegt außerhalb des Segments, die andere darauf

dann und nur dann:

Gleichung erkunden

durch die Anzahl der Wurzeln in Abhängigkeit vom Parameter.

die Gleichung hat keine Lösungen.

hat eine Lösung.

Gleichung erkunden

nach der Anzahl der Wurzeln in

abhängig vom Parameter.

Wenn eine Wurzel auf einem Segment liegt und die andere links davon.

Wenn eine Wurzel auf einem Segment liegt und die andere rechts davon.

Die ursprüngliche Gleichung hat zwei verschiedene Wurzeln.

unter welchen

Die Gleichung hat drei verschiedene Wurzeln.

Antwort: wann

unter welchen

die ursprüngliche Gleichung hat zwei

verschiedene Wurzeln.

Die Gleichung hat vier verschiedene Wurzeln.

Das mächtigste Werkzeug zur Lösung komplexer Probleme mit Parametern ist der Satz von Vieta. Aber hier müssen Sie sehr auf die Formulierung achten.

Diese beiden Sätze (direkt und invers)

Satz Vieta

Wenn die Gleichung Wurzeln hat und ; dann sind die Gleichheiten erfüllt.

Merkmale des Theorems:

Zuerst . Der Satz gilt nur für die Gleichung und nicht wahr für

Im letzteren Fall müssen Sie zuerst beide Teile der Gleichung durch einen von Null verschiedenen Koeffizienten a bei x 2 dividieren und dann das Vieta-Theorem anwenden.

Zweite. Um die Ergebnisse des Satzes zu verwenden, ist es notwendig, die Tatsache der Existenz der Wurzeln der Gleichungen zu haben, d.h. Vergessen Sie nicht, die Bedingung D>0 aufzuerlegen

Umkehren

Satz von Vieta

Wenn es willkürliche Zahlen sind, dann sind sie die Wurzeln der Gleichung

Sehr wichtiger Hinweis, Erleichterung der Problemlösung: der Umkehrsatz Garantien die Existenz von Wurzeln in der Gleichung, wodurch Sie nicht mit der Diskriminante herumspielen können. Sie ist in diesem Fall automatisch nichtnegativ.

	Bedingungen für Wurzeln	Äquivalente Bedingung für die Koeffizienten a, b, c und die Diskriminante D
	Wurzeln existieren (und sind verschieden)
	Wurzeln existieren und sind gleich
	Wurzeln existieren und
	Wurzeln existieren und
	Wurzeln existieren und sind verschieden
	Wurzeln existieren, eine Wurzel ist Null und die andere ist >0

ein). Stellen Sie bei welchen Werten des Parameters die Gleichung ein

Hat keine Wurzeln.

Wenn die Gleichung keine Wurzeln hat, dann ist es notwendig und ausreichend, dass die Diskriminante

hat verschiedene positive Wurzeln.

Da es Wurzeln gibt, verwenden wir dann, wenn beide positiv sind, die Vieta-Formel für diese Gleichung

⟹

Hat verschiedene negative Wurzeln

Hat Wurzeln unterschiedlichen Vorzeichens

Hat passende Wurzeln

2). Bei welchen Werten des Parameters a beide Wurzeln der quadratischen Gleichung wird positiv sein?

Entscheidung.

Da die gegebene Gleichung quadratisch ist, sind beide Wurzeln (gleich oder verschieden) positiv, wenn die Diskriminante nicht negativ ist, und die Summe und das Produkt der Wurzeln sind also positiv

Als, und nach dem Satz von Vieta,

Dann erhalten wir ein Ungleichungssystem

3). Finden Sie alle Parameterwerte a sind nicht positiv.

Da die gegebene Gleichung quadratisch ist, dann . Beide Wurzeln (gleich oder verschieden) sind negativ oder gleich Null, wenn die Diskriminante nicht negativ ist, die Summe der Wurzeln negativ oder gleich Null ist und das Produkt der Wurzeln nicht negativ ist, das heißt

und durch den Satz von Vieta

dann erhalten wir ein Ungleichungssystem.

wo

4) Bei welchen Werten des Parameters a gleich 22,5?

Zuerst werden wir eine „Lösung“ anbieten, die wir mehr als einmal treffen mussten.

soweit dann bekommen wir die „Antwort“ allerdings mit dem gefundenen Wert a Die ursprüngliche Gleichung hat keine Wurzeln.

Bei dieser Lösung sind wir auf einen der „beliebtesten“ Fehler im Zusammenhang mit der Anwendung des Vieta-Theorems gestoßen:

über Wurzeln sprechen, ohne vorher herauszufinden, ob es sie gibt oder nicht.

In diesem Beispiel musste also zunächst festgestellt werden, dass dies nur dann der Fall ist, wenn die ursprüngliche Gleichung Wurzeln hat. Erst dann kann man sich den obigen Berechnungen zuwenden.

Antwort: Solche a existiert nicht.

5). Die Wurzeln der Gleichung sind so, dass Definieren

Entscheidung. Nach dem Satz von Vieta Lassen Sie uns beide Teile der ersten Gleichheit quadrieren. In Anbetracht dessen erhalten wir oder die Überprüfung zeigt, dass die Werte die ursprüngliche Gleichung erfüllen.

Antworten:

6) Bei welchem ​​Wert des Parameters a die Summe der Quadrate der Wurzeln der Gleichung nimmt den kleinsten Wert an:

Finde die Diskriminante dieser Gleichung. Wir haben Hier ist es wichtig, nicht den falschen Schluss zu ziehen, dass die Gleichung zwei Wurzeln für alle hat a. es hat wirklich zwei Wurzeln für alle, aber zulässig a, d.h. bei bei

Unter Verwendung des Vieta-Theorems schreiben wir

Um eine Antwort zu erhalten, bleibt es also, den kleinsten Wert der quadratischen Funktion zu finden

am Set

Seit am und bei dann nimmt die Funktion in der angegebenen Menge an diesem Punkt den kleinsten Wert an

Aufgaben zur selbstständigen Lösung

ein). Finden Sie alle Parameterwerte a, für die die Wurzeln der quadratischen Gleichung

nicht negativ

2). Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks , wobei die Wurzeln der Gleichung sind

3). Finden Sie alle Parameterwerte a, für die die Summe der Quadrate der reellen Wurzeln der Gleichung mehr als 6.

Antworten:

4) Bei welchen Werten des Parameters a hat die Gleichung ax 2 -4x + a \u003d 0:

a) positive Wurzeln

b) negative Wurzeln

Die Position der Wurzeln einer quadratischen Funktion relativ zu

gegebene Punkte.

Für solche Probleme ist die folgende Formulierung typisch: Für welche Werte des Parameters sind die Wurzeln (nur eine Wurzel) größer (weniger, nicht mehr, nicht weniger) einer bestimmten Zahl A; die Wurzeln befinden sich zwischen den Zahlen A und B; die Wurzeln gehören nicht zu dem Intervall mit Enden an den Punkten A und B usw.

Beim Lösen von Problemen im Zusammenhang mit einem quadratischen Trinom

oft haben wir es mit folgenden Standardsituationen zu tun (die wir in Form einer „Frage und Antwort“ formulieren werden).

Frage 1. Lassen Sie sich eine Zahl geben (1) seine beiden Wurzeln und mehr jene. ?

Antworten. Koeffizienten eines quadratischen Trinoms (7) müssen die Voraussetzungen erfüllen

wo - Abszisse der Spitze der Parabel.

Die Gültigkeit des Gesagten folgt aus Abb. 1, die die Fälle und separat darstellt. Beachten Sie, dass die beiden Bedingungen und immer noch nicht ausreichen, damit die Wurzeln von und größer werden. 1 Strich zeigt eine Parabel, die diese beiden Bedingungen erfüllt, aber ihre Wurzeln sind kleiner.Wenn wir jedoch zu den angegebenen zwei Bedingungen hinzufügen, dass die Abszisse des Scheitelpunkts der Parabel größer ist, dann werden die Wurzeln größer sein als

Frage 2. Lassen Sie sich eine Zahl geben Unter welchen Bedingungen auf die Koeffizienten eines quadratischen Trinoms (1) seine Wurzeln und liegen auf gegenüberliegenden Seiten von jene. ?

Antworten. quadratische Trinomialkoeffizienten (1) muss die Bedingung erfüllen

Die Gültigkeit des Gesagten folgt aus Abb. 2, wo die Fälle und getrennt dargestellt werden Beachten Sie, dass die angegebene Bedingung die Existenz von zwei verschiedenen Wurzeln und einem quadratischen Trinom (1) garantiert.

Frage 3. Unter welchen Bedingungen auf die Koeffizienten eines quadratischen Trinoms (1) seine Wurzeln und unterschiedlich sind und nur einer von ihnen im angegebenen Intervall liegt

Antworten. Koeffizienten eines quadratischen Trinoms (1) muss die Bedingung erfüllen

Frage 4. Unter welchen Bedingungen auf die Koeffizienten eines quadratischen Trinoms (1) die Menge seiner Wurzeln ist nicht leer und alle seine Wurzeln und liegen im angegebenen Intervall jene.

Antworten. Die Koeffizienten des quadratischen Trinoms (1) müssen die Bedingungen erfüllen

Um solche Probleme zu lösen, ist es hilfreich, mit der folgenden Tabelle zu arbeiten.

Polynomiale Wurzeln

.

Informationen zum Autor

Stukalova Nadeschda Wassiljewna

Arbeitsort, Position:

MBOU Sekundarschule №15, Mathematiklehrer

Oblast Tambow

Merkmale des Unterrichts (Klassen)

Das Bildungsniveau:

Sekundarstufe (vollständige) Allgemeinbildung

Zielgruppe:

Lernender (Schüler)

Zielgruppe:

Lehrer (Lehrer)

Klassen):

Produkte):

Algebra

Produkte):

Mathematik

Das Ziel des Unterrichts:

Unterrichtsart:

Kombinierter Unterricht

Schüler in der Klasse (Publikum):

Verwendete Lehrbücher und Tutorials:

A. G. Mordkovich, Algebra, Klasse 9, Lehrbuch, 2011

A. G. Mordkovich, Algebra, Klasse 9, Aufgabenbuch, 2011

S.A. Telyakovsky, Algebra Klasse 9, Lehrbuch, 2009

Verwendete methodische Literatur:

Miroshin, V. V. Probleme mit Parametern lösen: Theorie und Praxis / V.V. Miroshin.- M.: Examen, 2009.

L. V Kuznetsova Sammlung von Aufgaben für die Prüfung

Gebrauchte Ausrüstung:

Computer, Filmprojektor

Kurzbeschreibung:

Unterrichtsplan: 1. Organisatorischer Moment. 2. Verallgemeinerung und Systematisierung des Wissens (erinnern Sie sich an die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms auf einer reellen Linie). 3. Probleme mit Parametern lösen (Arbeit in Gruppen). 4. Eigenständiges Arbeiten mit anschließender Verifizierung. 5. Zusammenfassung. 6. Hausaufgaben.

Zusammenfassung der Lektion

zum Thema

"Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms

abhängig von Parameterwerten"

Mathematiklehrerin Stukalova N.V. MBOU-Sekundarschule №15

Michurinsk - Wissenschaftsstadt der Russischen Föderation 2011

Das Ziel des Unterrichts:

Entwicklung praktischer Fähigkeiten der Schüler bei der Lösung von Aufgaben mit Parametern;

Schüler auf das erfolgreiche Bestehen des GIA in Mathematik vorbereiten;

Entwicklung von Forschungs- und kognitiven Aktivitäten von Studenten;

Interesse an Mathematik wecken;

Entwickeln Sie die mathematischen Fähigkeiten der Schüler.

Unterrichtsplan:

1. Organisatorischer Moment.

2. Verallgemeinerung und Systematisierung des Wissens (erinnern Sie sich an die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms auf einer reellen Linie).

3. Probleme mit Parametern lösen (Arbeit in Gruppen).

4. Eigenständiges Arbeiten mit anschließender Verifizierung.

5. Zusammenfassung.

6. Hausaufgaben.

Während des Unterrichts.

1. Zeit organisieren.

Der Lehrer informiert über das Thema des Unterrichts, legt Ziele und Ziele für die Schüler fest und berichtet über den Unterrichtsplan.

Aufgaben mit Parametern bereiten große Schwierigkeiten. Dies liegt daran, dass die Lösung solcher Probleme nicht nur die Kenntnis der Eigenschaften von Funktionen und Gleichungen, die Fähigkeit zur Durchführung algebraischer Transformationen, sondern auch eine hohe logische Kultur und eine gute Forschungstechnik erfordert.

Unsere Lektion widmet sich der Lösung von Problemen zum Ort der Wurzeln eines quadratischen Trinoms auf einer reellen Linie.

2. Verallgemeinerung und Systematisierung von Wissen:

Erinnern Sie sich an die notwendigen und hinreichenden Bedingungen zur Erfüllung der verschiedenen Anforderungen an die Lage der Wurzeln einer quadratischen Gleichung relativ zu gegebenen Punkten oder Intervallen.

Nachdem die Schüler geantwortet haben, werden Folien mit der richtigen Antwort gezeigt.

1. Die Lage der Wurzeln auf beiden Seiten der auf dem Zahlenstrahl angegebenen

Punkte.

Zustand x 1< m<х 2, необходимо и достаточно выполнения неравенства аf(x)<0.

2. Die Lage der Wurzeln auf beiden Seiten eines bestimmten Segments.

Damit sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung bei a ≠ 0 zu erfüllen

Zustand x 1< m, х 2 < n, где m

Systeme der Ungleichheit

3. Die Position der Wurzeln auf einer Seite der gegebenen auf dem Zahlenstrahl

Punkte.

Damit sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung bei a ≠ 0 zu erfüllen

Zustand m<х 1 <х 2, т.е располагались на числовой прямой правее точки х = m,

es ist notwendig und ausreichend, das System der Ungleichheiten zu erfüllen

Wenn links vom Punkt x = m ist, ist es notwendig und ausreichend durchzuführen

Systeme der Ungleichheit

4. Zugehörigkeit der Wurzeln zu einem gegebenen Intervall.

Intervall (m;n), ist es notwendig und ausreichend, das System auszuführen

Ungleichheiten

5. Zugehörigkeit der Wurzeln zu einem bestimmten Segment.

Damit gehören die Wurzeln der quadratischen Gleichung zu a ≠ 0

Intervall ist es notwendig und ausreichend, das System auszuführen

Ungleichheiten

3. Lösen von Problemen mit Parametern.

Die Schüler werden in 4 Gruppen eingeteilt. In jeder Gruppe gibt es Kinder, die in Algebra erfolgreicher sind. Jede Gruppe beginnt mit der Lösung des Problems, das der Nummer ihrer Gruppe entspricht. Nach Besprechung des Lösungsfortschritts geht je ein Vertreter jeder Gruppe an die Tafel und erarbeitet eine Lösung des Problems seiner Gruppe und erläutert deren Lösung (auf Klapptafeln). Zu diesem Zeitpunkt sollten die Jungs die Probleme einer anderen Gruppe lösen (Sie können sich vom Lehrer beraten lassen).

Aufgabe Nummer 1.

Bei welchen Werten des Parameters a eine Wurzel der Gleichung (12a + 7) x 2 + (9a - 42) x + +11 - 3a \u003d \u003d 0 ist größer als 1, die andere Wurzel ist kleiner als 1?

Entscheidung.

Der Graph der Funktion y \u003d f (x), wobei f (x) \u003d (12a + 7) x 2 + (9a - 42) x + + 11 - 3a, mit

a ≠ - 7/12 ist eine Parabel, deren Äste für a > - 7/12 nach oben gerichtet sind, für a< - 7/12 - вниз. Тогда значения параметра a die Ungleichheit befriedigen

(12a +)f(1)< 0, где f(1) = 12а+7+9а-42+11-3а = 18а-24. Решив неравенство (12а+7)(18а-24)<0, получим, что - 7/12<а<4/3. Ответ: (-7/12; 4/3).

Aufgabe Nr. 2.

Finden Sie die Werte des Parameters a, für die die Wurzeln der Gleichung (1 + a) x 2 - 3ax + 4a \u003d 0 größer als 1 sind.

Entscheidung.

Wenn a≠-1, ist die gegebene Gleichung quadratisch und D= -a(7a+16). Wir erhalten das System , woher -16/7≤а≤ -1.

Die Parameterwerte, bei denen die Wurzeln dieser Gleichung für a ≠ - 1 größer als 1 sind, gehören zum Intervall [-16/7; -ein).

Wenn a \u003d -1 ist, hat die angegebene Gleichung die Form 3x - 4 \u003d 0 und die einzige Wurzel

Antwort: [-16/7; -ein]

Aufgabe Nr. 3.

Bei welchen Werten des Parameters k die Wurzeln der Gleichung (k-2)x 2 -2kx+2k-3=0

zum Intervall (0;1) gehören?

Entscheidung.

Für k≠2 müssen die gewünschten Parameterwerte das Ungleichungssystem erfüllen

Wobei D = 4k 2 -4(k-2)(2k-3) = -4(k 2 -7k+6), f(0) = 2k-3? F (1) \u003d k-5, x in \u003d k / (k-2).

Dieses System hat keine Lösungen.

Für k = 2 hat die gegebene Gleichung die Form -4x+1 = 0, ihre einzige Wurzel

x = ¼, das zum Intervall (0;1) gehört.

Aufgabe Nr. 4.

Bei welchen Werten von a befinden sich beide Wurzeln der Gleichung x 2 -2ax + a 2 -a \u003d 0 auf dem Segment?

Die gewünschten Werte müssen das System der Ungleichungen erfüllen

wo D \u003d 4a 2 -4 (a 2 -a) \u003d 4a, f (2) \u003d a 2 -5a + 4, f (6) \u003d a 2 -13a + 36, x in \u003d a.

Die einzige Lösung des Systems ist der Wert a = 4.

4. Selbständiges Arbeiten (Kontrolle - Training).

Die Schüler arbeiten in Gruppen, führen die gleiche Option durch, da das Material sehr komplex ist und nicht jeder es tun kann.

Nr. 1. Bei welchen Werten des Parameters a gehören beide Wurzeln der Gleichung x 2 -2ax + a 2 - 1 \u003d 0 zum Intervall (-2; 4)?

Nr. 2. Finden Sie alle Werte von k, für die es eine Wurzel der Gleichung gibt

(k-5)x 2 -2kx+k-4=0 ist kleiner als 1 und die andere Wurzel ist größer als 2.

Nr. 3. Bei welchen Werten von a liegt die Zahl 1 zwischen den Wurzeln des quadratischen Trinoms x 2 + (a + 1) x - a 2?

Am Ende der Zeit werden die Antworten angezeigt. Es wird eine Selbstkontrolle der selbstständigen Arbeit durchgeführt.

5. Zusammenfassung der Lektion. Beenden Sie das Angebot.

"Heute im Unterricht..."

"Ich erinnere mich..."

„Möchte anmerken …“.

Der Lehrer analysiert den gesamten Unterrichtsverlauf und seine Hauptpunkte und bewertet die Aktivitäten jedes Schülers im Unterricht.

6. Hausaufgaben

(aus der Sammlung von Aufgaben zur Vorbereitung auf das GIA in der 9. Klasse, Autorin L. V. Kuznetsova)

4. Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms in Abhängigkeit vom Parameter

Oft gibt es Probleme mit Parametern, bei denen die Position der Wurzeln eines quadratischen Trinoms auf der reellen Achse bestimmt werden muss. Betrachten Sie basierend auf den Hauptbestimmungen und der Notation des vorherigen Absatzes die folgenden Fälle:

1. Gegeben sei ein quadratisches Trinom, wo
und Punkt m auf Achse Ochse. Dann beide Pferde
quadratisches Trinom
wird streng weniger sein m

oder

Die geometrische Darstellung ist in den Abbildungen 3.1 und 3.2 dargestellt.

2. Gegeben sei ein quadratisches Trinom, wo und ein Punkt m auf Achse Ochse. Ungleichheit
gilt nur genau dann, wenn die Zahlen a und
haben unterschiedliche Vorzeichen, das heißt
(Abb. 4.1 und 4.2.)

3. Gegeben sei ein quadratisches Trinom, wo und der Punkt m auf Achse Ochse. Dann beide Pferde
quadratisches Trinom wird streng größer sein m wenn und nur wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

oder

Eine geometrische Darstellung ist in den Abbildungen 5.1 und 5.2 dargestellt.

4. Gegeben sei ein quadratisches Trinom, wo und das Intervall (m, M) Dann gehören beide Wurzeln des quadratischen Trinoms genau dann zum angegebenen Intervall, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

oder

Die geometrische Darstellung ist in den Abbildungen 6.1 und 6.2 dargestellt.

5. Gegeben sei ein quadratisches Trinom, wobei , seine Wurzeln und sein Segment sind
. Das Segment liegt im Intervall
wenn und nur wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

Die geometrische Darstellung ist in den Abbildungen 7.1 und 7.2 dargestellt.

Beispiel.Finden Sie alle Parameterwertea, für die jeweils beide Wurzeln der Gleichung
mehr als -2.

Entscheidung. Es wird in der Bedingung der Aufgabe angegeben. Dass die Gleichung zwei Wurzeln hat, also . Die betrachtete Situation wird durch Fall 3 beschrieben und ist in Abbildung 5.1 dargestellt. und 5.2.

Lass uns finden,
,

In Anbetracht dessen schreiben wir die Menge von zwei Systemen:

oder

Wenn wir diese beiden Systeme lösen, erhalten wir .

Antworten. Für jeden Parameterwert a aus der Lücke sind beide Wurzeln der Gleichung größer als -2.

Beispiel.Bei welchen Werten des ParametersaUngleichheit
für jeden durchgeführt
?

Entscheidung. Wenn der Satz X die Lösung dieser Ungleichung ist, dann bedeutet die Bedingung des Problems, dass das Intervall
muss innerhalb des Satzes liegen X, also

.

Berücksichtigen Sie alle möglichen Werte des Parameters a.

1.Wenn a=0, dann nimmt die Ungleichung die Form an
, und seine Lösung wird das Intervall sein
. In diesem Fall ist die Bedingung erfüllt und a=0 ist die Lösung des Problems.

2.Wenn
, dann ist der Graph der rechten Seite der Ungleichung ein quadratisches Trinom, dessen Äste nach oben gerichtet sind. Die Lösung der Ungleichung hängt vom Vorzeichen von ab.

Betrachten Sie den Fall, wenn
. Damit die Ungleichung für alle gilt, müssen die Wurzeln des quadratischen Trinoms kleiner als -1 sein, d.h.:

oder

Wenn wir dieses System lösen, bekommen wir
.

Wenn ein
, dann liegt die Parabel über der Achse Öx, und die Lösung der Ungleichung ist eine beliebige Zahl aus der Menge der reellen Zahlen, einschließlich des Intervalls . Lassen Sie uns solche finden a aus dem Zustand:

oder

Wenn wir dieses System lösen, bekommen wir
.

3.Wenn
, dann bei
die Lösung der Ungleichung ist das Intervall , das das Intervall , und if nicht enthalten kann
diese Ungleichung hat keine Lösungen.

Kombinieren aller gefundenen Werte a, wir bekommen die Antwort.

Antworten. Für jeden Parameterwert aus dem Intervall
die Ungleichung gilt für alle .

Beispiel.Für welche Werte des Parameters a enthält die Menge der Funktionswerte das Intervall
?

Entscheidung. 1. Wenn
, dann

a) bei ein = 1 Funktion nimmt die Form an j = 2, und die Menge seiner Werte besteht aus einem einzigen Punkt 2 und enthält nicht das Segment ;

b) wann ein =-1 Funktion nimmt die Form an j = -2 x+2 . Sein Satz von Bedeutungen
enthält ein Segment, also ein =-1 ist die Lösung des Problems.

2.Wenn
, dann sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet, die Funktion nimmt am Scheitelpunkt der Parabel den kleinsten Wert an
:

,
.

Die Menge der Funktionswerte ist ein Intervall
, die das Segment enthält
wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

.

3. Wenn
, dann sind die Äste der Parabel nach unten gerichtet, die Funktion nimmt am Scheitelpunkt der Parabel den größten Wert an
. Die Menge der Funktionswerte ist ein Intervall
, die das Segment enthält, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

Wenn wir dieses Ungleichungssystem lösen, erhalten wir
.

Wenn wir die Lösungen kombinieren, erhalten wir
.

Antworten. Beim
Die Menge der Funktionswerte enthält das Segment .

Aufgaben zur selbstständigen Lösung

1. Ohne Berechnung der Wurzeln der quadratischen Gleichung
, finden

a)
, b)
, in)

2. Finden Sie den Satz von Funktionswerten

a)
, b)
, in)
, G)

3. Lösen Sie Gleichungen

a)
, b)

4. Bei welchen Werten des Parameters a beide Wurzeln der Gleichung
liegen auf dem Intervall (-5, 4)?

5. Bei welchen Werten des Parameters a die Ungleichung gilt für alle Werte x?

6. Bei welchen Werten des Parameters a kleinster Funktionswert

Auf dem Segment
ist -1?

7. Bei welchen Werten des Parameters a Die gleichung
hat Wurzeln?

Karpova Irina Wiktorowna

PROGRAMM UND LEHRMATERIALIEN DES WAHLKURS Mathematik für Schüler der Klassen 8-9 „Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischen Statistik“

Erläuterungen

Gegenwärtig wird die Universalität probabilistisch-statistischer Gesetze offensichtlich, sie sind zur Grundlage für die Beschreibung des wissenschaftlichen Weltbildes geworden. Die moderne Physik, Chemie, Biologie, Demographie, Linguistik, Philosophie, der ganze Komplex der sozioökonomischen Wissenschaften entwickelt sich auf probabilistisch-statistischer Basis.

Ein Kind trifft in seinem Leben täglich auf Wahrscheinlichkeitssituationen. Das Spektrum der Probleme im Zusammenhang mit dem Verständnis der Beziehung zwischen den Begriffen Wahrscheinlichkeit und Zuverlässigkeit, das Problem der Auswahl der besten aus mehreren Lösungen, die Bewertung des Risikograds und der Erfolgsaussichten - all dies liegt im Bereich der tatsächlichen Interessen der Formation und Selbstentfaltung des Individuums.

All dies macht es notwendig, das Kind mit probabilistisch-statistischen Mustern vertraut zu machen.

Kursziel: die Studierenden mit einigen theoretischen und probabilistischen Mustern und statistischen Methoden der Datenverarbeitung vertraut zu machen.

Kursziele

Die Studierenden mit dem grundlegenden konzeptionellen Apparat der Wahrscheinlichkeitstheorie vertraut machen.

Lernen Sie die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen im klassischen Testschema zu bestimmen.

Kennenlernen der Methoden der primären Verarbeitung statistischer Daten.

Anforderungen an das Niveau der Beherrschung der Kursinhalte

Als Ergebnis der Beherrschung des Kursprogramms sollten die Studierenden wissen:

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie: Test, Testergebnis, elementarer Ereignisraum, zufällige, sichere, unmögliche Ereignisse, gemeinsame und unvereinbare Ereignisse;

Bedingungen des klassischen Testschemas und Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im klassischen Testschema;

Bestimmen der relativen Häufigkeit des Auftretens des Ereignisses und der statistischen Wahrscheinlichkeit;

Bestimmung der Variationsreihe und ihrer wichtigsten numerischen Merkmale.

Während des Studiums müssen die Studierenden erwerben Fähigkeiten:

Bestimmen Sie alle möglichen Ergebnisse des Tests, die Kompatibilität und Inkompatibilität von Ereignissen;

theoretische und probabilistische Probleme zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit im klassischen Testschema lösen;

die relative Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses berechnen;

Erstellen Sie eine statistische Verteilung der Stichprobe und berechnen Sie ihre numerischen Eigenschaften.

Das Programm beinhaltet die Entwicklung von Studenten Fähigkeiten:

Nutzung bestehender Algorithmen und ggf. deren kreative Verarbeitung in den konkreten Problembedingungen;

selbstständige Problemlösung;

Verwendung bei der Lösung von Problemen verallgemeinerter Schemata, die grundlegende Definitionen und Formeln enthalten.

Kursumfang: Der angebotene Kurs umfasst 20 Stunden

Thematische Planung

	Unterrichtsthemen	Anzahl der Stunden
	Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie.
	Klassisches Testschema. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit im klassischen Testschema.
	Die Häufigkeit ist absolut und relativ.
	Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit.
	Allgemeine und Stichprobenpopulationen.
	Statistische Verteilung der Stichprobe.
	Numerische Merkmale der statistischen Verteilung.
	Statistische Schätzung und Prognose.

Manueller Text

Viele Menschen lieben die Mathematik wegen ihrer ewigen Wahrheiten: Zweimal zwei ist immer vier, die Summe gerader Zahlen ist gerade und die Fläche eines Rechtecks ​​ist gleich dem Produkt seiner angrenzenden Seiten. Bei jeder Aufgabe, die Sie im Mathematikunterricht gelöst haben, bekamen alle die gleiche Antwort – Sie durften nur keine Fehler bei der Lösung machen.

Das wirkliche Leben ist nicht so einfach und eindeutig. Es ist unmöglich, die Ergebnisse vieler Phänomene im Voraus vorherzusagen, egal wie vollständig die Informationen sind, die wir darüber haben. So lässt sich beispielsweise nicht genau sagen, auf welcher Seite eine geworfene Münze landen wird, wann der erste Schnee im nächsten Jahr fallen wird oder wie viele Menschen in der Stadt in der nächsten Stunde telefonieren wollen. Solche unvorhersehbaren Ereignisse werden genannt zufällig.

Der Fall hat jedoch auch seine eigenen Gesetze, die sich bei wiederholter Wiederholung zufälliger Phänomene zu manifestieren beginnen. Wenn Sie eine Münze 1000 Mal werfen, fällt der "Adler" ungefähr in der Hälfte der Fälle heraus, was bei zwei oder sogar zehn Würfen nicht der Fall ist. Beachten Sie das Wort "ungefähr" - das Gesetz besagt nicht, dass die Anzahl der "Adler" genau 500 beträgt oder zwischen 490 und 510 liegt. Es sagt überhaupt nichts Bestimmtes aus, sondern gibt ein gewisses Maß an Gewissheit, dass einige zufällig sind Ereignis wird stattfinden. . Solche Regelmäßigkeiten werden von einem speziellen Zweig der Mathematik untersucht - Wahrscheinlichkeitstheorie.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist untrennbar mit unserem täglichen Leben verbunden. Dies bietet eine bemerkenswerte Gelegenheit, viele Wahrscheinlichkeitsgesetze empirisch zu etablieren, indem Zufallsexperimente wiederholt wiederholt werden. Die Materialien für diese Experimente sind meistens eine gewöhnliche Münze, ein Würfel, ein Satz Dominosteine, ein Rouletterad und sogar ein Kartenspiel. Jeder dieser Gegenstände ist auf die eine oder andere Weise mit Spielen verbunden. Tatsache ist, dass der Fall hier in seiner reinsten Form erscheint und die ersten probabilistischen Probleme damit verbunden waren, die Gewinnchancen der Spieler einzuschätzen.

Die moderne Wahrscheinlichkeitstheorie hat sich so weit von Glücksspielen entfernt wie die Geometrie von Problemen der Landbewirtschaftung, aber ihre Requisiten sind immer noch die einfachste und zuverlässigste Quelle des Zufalls. Indem Sie mit einem Rouletterad und einem Würfel üben, lernen Sie, wie Sie die Wahrscheinlichkeit zufälliger Ereignisse in realen Situationen berechnen, wodurch Sie Ihre Erfolgschancen einschätzen, Hypothesen testen und Entscheidungen nicht nur in Spielen und Lotterien treffen können.

Die mathematische Statistik ist ein Zweig der Mathematik, der Methoden zum Sammeln, Systematisieren und Verarbeiten der Ergebnisse von Beobachtungen von Massenzufallsphänomenen untersucht, um vorhandene Muster zu identifizieren.

In gewissem Sinne sind die Probleme der mathematischen Statistik den Problemen der Wahrscheinlichkeitstheorie entgegengesetzt: Die Statistik befasst sich nur mit experimentell gewonnenen Werten von Zufallsvariablen und zielt darauf ab, Hypothesen über die Verteilung dieser Zufallsvariablen aufzustellen und zu testen und die Parameter zu bewerten ihre Verbreitung.

1. Zufällige Ereignisse. Wie vergleiche ich Ereignisse?

Wie jeder andere Zweig der Mathematik hat die Wahrscheinlichkeitstheorie ihren eigenen Begriffsapparat, der zum Formulieren von Definitionen, Beweisen von Theoremen und Ableiten von Formeln verwendet wird. Betrachten wir die Konzepte, die wir in der weiteren Darlegung der Theorie verwenden werden.

Studie- Umsetzung einer Reihe von Bedingungen.

Ergebnis der Prüfung (Grundveranstaltung)– jedes Ergebnis, das während des Tests auftreten kann.

Beispiele.

1) Studie:

Testergebnisse:ω 1 - ein Punkt ist auf der oberen Fläche des Würfels erschienen;

ω 2 – zwei Punkte erschienen auf der Oberseite des Würfels;

ω 3 – drei Punkte erschienen auf der Oberseite des Würfels;

ω 4 – vier Punkte erschienen auf der Oberseite des Würfels;

ω 5 – fünf Punkte erschienen auf der Oberseite des Würfels;

ω 6 – sechs Punkte erschienen auf der oberen Fläche des Würfels.

Insgesamt sind 6 Testergebnisse (bzw. 6 Elementarereignisse) möglich.

2) Studie: der Student legt die Prüfung ab.

Testergebnisse:ω 1 - der Schüler hat eine Zwei erhalten;

ω 2 - der Student hat eine Drei erhalten;

ω 3 - der Student erhielt eine Vier;

ω 4 - der Student hat eine Fünf bekommen.

Insgesamt sind 4 Testergebnisse (bzw. 4 elementare Ereignisse) möglich.

Kommentar. Die Notation ω ist die Standardnotation für ein Elementarereignis, im Folgenden werden wir diese Notation verwenden.

Wir nennen die Ergebnisse dieses Tests gleichermaßen möglich wenn die Studienergebnisse die gleiche Chance haben, zu erscheinen.

Raum elementarer Ereignisse- die Menge aller elementaren Ereignisse (Testergebnisse), die während des Tests auftreten können.

In den oben betrachteten Beispielen wurden die Räume elementarer Ereignisse dieser Tests tatsächlich beschrieben.

Kommentar. Die Anzahl der Punkte im Raum elementarer Ereignisse (PES), d.h. die Anzahl der elementaren Ereignisse wird mit dem Buchstaben bezeichnet n.

Betrachten wir das Hauptkonzept, das wir im Folgenden verwenden werden.

Definition 1.1.Ein Event ist eine Sammlung einer bestimmten Anzahl von TEC-Punkten.

Künftig werden wir Ereignisse in lateinischen Großbuchstaben bezeichnen: A, B, C.

Definition 1.2.Ein Ereignis, das während eines Tests auftreten kann oder nicht, wird als Zufallsereignis bezeichnet.

Durch den Kauf eines Lottoscheins können wir gewinnen oder auch nicht; bei den nächsten Wahlen kann die Regierungspartei gewinnen oder nicht; im Unterricht kann man an die Tafel gerufen werden, oder sie dürfen nicht gerufen werden usw. Dies sind alles Beispiele für zufällige Ereignisse, die unter den gleichen Bedingungen während eines Tests auftreten können oder nicht.

Kommentar. Jedes elementare Ereignis ist auch ein zufälliges Ereignis.

Definition 1.3.Ein Ereignis, das für irgendein Ergebnis einer Studie eintritt, wird als bestimmtes Ereignis bezeichnet.

Definition 1.4.Ein Ereignis, das bei keinem Ergebnis des Tests eintreten kann, wird als unmögliches Ereignis bezeichnet.

Beispiel.

1) Studie: ein Würfel wird geworfen.

Ereignis A: eine gerade Anzahl von Punkten fiel auf die Oberseite des Würfels;

Ereignis B: auf der Oberseite des Würfels fiel eine Anzahl von Punkten heraus, ein Vielfaches von 3;

Ereignis C: 7 Punkte fielen auf die Oberseite des Würfels;

Ereignis D: Die Anzahl der Punkte unter 7 fiel auf die Oberseite des Würfels.

Veranstaltungen SONDERN und BEIM während des Tests auftreten können oder auch nicht, daher handelt es sich um zufällige Ereignisse.

Vorfall Mit kann niemals passieren, also ist es ein unmögliches Ereignis.

Vorfall D bei jedem Ergebnis des Tests auftritt, dann ist dies ein zuverlässiges Ereignis.

Wir haben gesagt, dass zufällige Ereignisse unter den gleichen Bedingungen auftreten können oder auch nicht. Gleichzeitig haben einige zufällige Ereignisse eine höhere Wahrscheinlichkeit, dass sie eintreten (was bedeutet, dass sie wahrscheinlicher sind – näher an der Zuverlässigkeit), während andere weniger Chancen haben (sie sind weniger wahrscheinlich – näher an der Unmöglichkeit). Daher ist es in erster Näherung möglich, die Wahrscheinlichkeit als Grad der Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses zu definieren.

Es ist klar, dass wahrscheinlichere Ereignisse häufiger eintreten als weniger wahrscheinliche. So können Sie Wahrscheinlichkeiten anhand der Häufigkeit vergleichen, mit der Ereignisse auftreten.

Versuchen wir, die folgenden Ereignisse auf einer speziellen Wahrscheinlichkeitsskala in der Reihenfolge der zunehmenden Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens zu platzieren.

Ereignis A: nächstes Jahr wird der erste Schnee in Chabarowsk am Sonntag fallen;

Ereignis B: das Sandwich, das vom Tisch fiel, fiel mit der Butterseite nach unten;

Ereignis C: beim Würfeln fallen 6 Punkte heraus;

Ereignis D: beim Würfeln fällt eine gerade Anzahl von Punkten heraus;

Ereignis E: beim Würfeln fielen 7 Punkte heraus;

Ereignis F: Wenn ein Würfel geworfen wird, wird eine Anzahl von Punkten kleiner als 7 herauskommen.

Wir werden also am Anfang unserer Skala unmögliche Ereignisse platzieren, da der Grad der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens (Wahrscheinlichkeit) praktisch gleich 0 ist. Dies wird also ein Ereignis sein E. Am Endpunkt unserer Skala platzieren wir verlässliche Ereignisse - F. Alle anderen Ereignisse sind zufällig, versuchen wir, sie auf der Skala in der Reihenfolge ihres zunehmenden Auftretens anzuordnen. Dazu müssen wir herausfinden, welche davon weniger wahrscheinlich und welche wahrscheinlicher sind. Beginnen wir mit der Veranstaltung D: Wenn wir würfeln, hat jede der 6 Seiten die gleiche Chance, oben zu liegen. Eine gerade Anzahl von Punkten - auf drei Seiten des Würfels, auf den anderen drei - ungerade. Also genau die halbe Chance (3 von 6), dass das Event D wird passieren. Daher platzieren wir die Veranstaltung D in der Mitte unserer Skala.

Beim Event Mit nur eine Chance von 6, während das Ereignis hat D- drei von 6 Chancen (wie wir herausgefunden haben). So Mit weniger wahrscheinlich und befindet sich auf der Skala links neben dem Ereignis D.

Vorfall SONDERN noch weniger wahrscheinlich als Mit, weil es 7 Tage in Wochen gibt und in jedem von ihnen kann der erste Schnee mit gleicher Wahrscheinlichkeit fallen, so hat das Ereignis SONDERN eine Chance im 7. Event SONDERN, also noch weiter links als das Ereignis Mit.

Das Schwierigste, was auf der Skala einzuordnen ist, ist ein Ereignis BEIM. Hier ist es unmöglich, die Chancen genau zu berechnen, aber Sie können auf Lebenserfahrung zurückgreifen: Viel öfter fällt ein Sandwich mit Butter auf den Boden (es gibt sogar ein „Sandwich-Gesetz“), so die Veranstaltung BEIM viel wahrscheinlicher als D, also platzieren wir es auf der Skala rechts als D. Damit erhalten wir die Skala:

E A C D B F

unmöglich zufällig sicher

Die konstruierte Wahrscheinlichkeitsskala ist nicht ganz real - sie hat keine numerischen Markierungen, Unterteilungen. Wir stehen vor der Aufgabe zu lernen, wie man den Wahrscheinlichkeitsgrad des Eintretens (Wahrscheinlichkeit) eines Ereignisses berechnet.

Quadratische Gleichungen mit Parametern

(Methodenentwicklung für Schülerinnen und Schüler der Klassen 9-11)

Mathematiklehrer der höchsten Qualifikationskategorie,

Stellvertretender Direktor für UVR

Megan 2013

Vorwort

https://pandia.ru/text/80/021/images/image002.png" height="22 src=">2. Anwendung des Vieta-Theorems

Wissenschaftliches Arbeiten ist das Lösen von Problemen mit Parametern und insbesondere das Lösen von quadratischen Gleichungen mit Parametern Propädeutik Forschungsarbeiten der Studierenden. Beim USE in Mathematik (häufig Aufgaben C5), GIA (Aufgaben Teil 2) und bei den Aufnahmeprüfungen gibt es hauptsächlich zwei Arten von Aufgaben mit Parametern. Erstens: "Finde für jeden Wert des Parameters alle Lösungen einer Gleichung oder Ungleichung." Zweitens: "Finde alle Werte des Parameters, für die jeweils einige Bedingungen für eine gegebene Gleichung oder Ungleichung erfüllt sind." Dementsprechend unterscheiden sich die Antworten bei diesen beiden Arten von Problemen im Wesentlichen. In der Antwort auf das Problem des ersten Typs werden alle möglichen Werte des Parameters aufgelistet und Lösungen der Gleichung für jeden dieser Werte geschrieben. In der Antwort auf das Problem des zweiten Typs werden alle Parameterwerte angegeben, unter denen die in dem Problem angegebenen Bedingungen erfüllt sind.

Wie Sie wissen, wird der Lösung von Problemen mit Parametern in der Schule sehr wenig Aufmerksamkeit geschenkt. Daher bereitet das Lösen von Problemen mit Parametern den Schülern immer große Schwierigkeiten; Von Studierenden, deren Ausbildung keine „parametrische Therapie“ umfasste, ist es schwer zu erwarten, dass sie solche Aufgaben in der harten Atmosphäre einer Leistungsprüfung erfolgreich bewältigen können, daher sollten sich Studierende gezielt auf die „Begegnung mit Parametern“ vorbereiten. Viele Schüler nehmen den Parameter als „normale“ Zahl wahr. Tatsächlich kann der Parameter bei einigen Problemen als konstanter Wert betrachtet werden, aber dieser konstante Wert nimmt unbekannte Werte an. Daher ist es notwendig, das Problem für alle möglichen Werte dieser Konstante zu betrachten. Bei anderen Problemen kann es praktisch sein, eine der Unbekannten künstlich als Parameter zu deklarieren.

Aufgaben mit Parametern haben diagnostischen und prognostischen Wert - mit Hilfe von Aufgaben mit Parametern können Sie die Kenntnisse der Hauptbereiche der Schulmathematik, das Niveau des mathematischen und logischen Denkens, die anfänglichen Fähigkeiten der Forschungstätigkeit und vor allem vielversprechend überprüfen Möglichkeiten zur erfolgreichen Bewältigung des Mathematikstudiums einer bestimmten Hochschule.

Eine Analyse der USE-Optionen in Mathematik und Aufnahmeprüfungen an verschiedenen Universitäten zeigt, dass die meisten der vorgeschlagenen Aufgaben mit Parametern mit der Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms verbunden sind. Als Hauptaufgabe des Schulmathematikkurses bildet die quadratische Funktion eine umfangreiche Klasse von Aufgaben mit Parametern, die sich in Form und Inhalt unterscheiden, aber durch eine gemeinsame Idee vereint sind - die Eigenschaften der quadratischen Funktion sind die Grundlage für ihre Lösung. Bei der Lösung solcher Probleme wird empfohlen, mit drei Arten von Modellen zu arbeiten:

1. verbales Modell – eine verbale Beschreibung der Aufgabe;

2. geometrisches Modell - eine Skizze eines Graphen einer quadratischen Funktion;

3. analytisches Modell - ein System von Ungleichungen, das das geometrische Modell beschreibt.

Das Handbuch enthält Sätze über die Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms (notwendige und hinreichende Bedingungen für die Lage der Wurzeln einer quadratischen Funktion relativ zu gegebenen Punkten), die Anwendung des Satzes von Vieta auf die Lösung quadratischer Gleichungen mit Parametern. Ausführliche Lösungen von 15 Problemen mit methodischen Empfehlungen werden gegeben. Dieses Handbuch soll Absolventen und Lehrern der Mathematik helfen, sich auf das Bestehen der Einheitlichen Staatsprüfung und der Akademischen Staatsprüfung in Mathematik sowie auf die Aufnahmeprüfung für die Universität in Form einer Prüfung oder in der traditionellen Form vorzubereiten.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image004.png" width="16" height="32 src="> - liegt rechts von der Zeile x = n (Bedingung xb>n) ;

3. die Parabel schneidet die Gerade x = n an einem in der oberen Halbebene liegenden Punkt für a > 0 und an einem in der unteren Halbebene liegenden Punkt für a<0 (условие a∙f(n) >0).

https://pandia.ru/text/80/021/images/image007.png" width="266" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width= "280" height="240">.png" width="38" height="31 src=">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height=" 264">.png" width="311" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width= "263" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width="263" height="264" >.png" width="266" height="264">.png" width="290" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="290 " height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height="264">. png" width="153" height="43 src=">

Satz 10. Quadratische Gleichungen x2 + p1x + q1 = 0 und x2 + p2x + q2 = 0,

deren Diskriminanten nichtnegativ sind, haben genau dann mindestens eine gemeinsame Wurzel, wenn (q2 – q1)2 = (p2 – p1)(p1q2 – q1p2).

Nachweisen.

Seien f1(x) = x2 + p1x + q1, f2(x) = x2 + p2x + q2, und die Zahlen x1, x2 sind die Wurzeln der Gleichung f1(x) = 0. Damit die Gleichungen f1(x ) = 0 und f2( x) = 0 mindestens eine gemeinsame Wurzel haben, ist es notwendig und hinreichend, dass f1(x)∙f2(x) = 0, also (x12 + p2x1 + q2)(x22 + p2x2 + q2) = 0 Wir stellen die letzte Gleichheit in der Form dar

(x12 + p1x1 + q1 + (p2 – p1)x1 + q2 – q1) (x22 + p1x2 + q1 + (p2 – p1)x2 + q2 – q1) = 0.

Da x12 + p1x1 + q1 = 0 und x22 + p1x2 + q1 = 0, erhalten wir

((p2 – p1)x1 + (q2 – q1))((p2 – p1)x2 + (q2 – q1)) = 0, d.h.

(p2 – p1)2x1x2 + (q2 – q1)(p2 – p1)(x1 + x2) + (q2 – q1)2 = 0.

Nach dem Satz von Vieta x1 +x2 = - p1 und x1x2 =q1; somit,

(p2 – p1)2q1 – (q2 – q1)(p2 – p1)p1 + (q2 – q1)2 = 0, oder

(q2 – q1)2 = (p2 – p1)((q2 – q1)p1 – (p2 – p1)q1) = (p2 – p1)(q2p1 – q1p1 – p2q1 + p1q1) =

(p2 – p1)(q2p1 – p2q1), was zu beweisen war.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image040.png" width="116" height="65 src=">

Quadratische Gleichung Axt 2 + bx + c = 0

1) hat genau dann zwei reelle positive Wurzeln, wenn die folgenden Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind:

;

2) hat genau dann zwei reelle negative Wurzeln, wenn die Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind:

;

3) hat genau dann zwei reelle Wurzeln mit unterschiedlichen Vorzeichen, wenn die folgenden Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind:

;

4) hat zwei reelle Wurzeln mit demselben Vorzeichen, wenn

Bemerkung 1. Wenn der Koeffizient bei X 2 einen Parameter enthält, ist es notwendig, den Fall zu analysieren, wenn er verschwindet.

Bemerkung 2. Wenn die Diskriminante einer quadratischen Gleichung ein perfektes Quadrat ist, dann ist es zunächst bequemer, explizite Ausdrücke für ihre Wurzeln zu finden.

Bemerkung 3. Wenn eine Gleichung, die mehrere Unbekannte enthält, bezüglich einer von ihnen quadratisch ist, dann ist der Schlüssel zur Lösung des Problems oft die Untersuchung ihrer Diskriminante.

Wir präsentieren ein Schema zur Untersuchung von Problemen im Zusammenhang mit der Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinomsf(x) = Axt2 + bx + c:

1. Untersuchung des Falls a = o (wenn der erste Koeffizient von den Parametern abhängt).

2. Finden der Diskriminante D im Fall a≠0.

3. Wenn D das volle Quadrat eines Ausdrucks ist, dann Finden der Wurzeln x1, x2 und Unterordnen der Bedingungen des Problems.

4..png" width="13" height="22 src="> 3. Beispiele zur Lösung von Aufgaben zur Vorbereitung auf das GIA und die Einheitliche Staatsprüfung in Mathematik

Beispiel 1 Löse die Gleichung ( a - 2)x 2 – 2Axt + 2a – 3 = 0.

Entscheidung. Betrachten Sie zwei Fälle: a = 2 und a ≠ 2. Im ersten Fall hat die ursprüngliche Gleichung die Form - 4 X+ 1 = 0..png" width="255" height="58 src=">

Für a \u003d 1 oder a \u003d 6 ist die Diskriminante Null und die quadratische Gleichung hat eine Wurzel: d. H. Für a \u003d 1 erhalten wir die Wurzel , und für a = 6 - die Wurzel.

Um 1< a < 6 дискриминант положителен и квадратное уравнение имеет два корня: https://pandia.ru/text/80/021/images/image053.png" width="163" height="24 src=">die Gleichung hat keine Wurzeln; für a = 1 hat die Gleichung eine Wurzel X= -1; beim Die Gleichung hat zwei Wurzeln ; beim a= 2 die Gleichung hat eine einzelne Wurzel ; beim a= 6 hat die Gleichung eine einzelne Wurzel.

Beispiel 2 Bei welchem ​​Wert des Parameters a Die gleichung ( a - 2)X 2 + (4 – 2a)X+ 3 = 0 hat eine einzelne Wurzel?

Entscheidung . Wenn ein a= 2, dann wird die Gleichung linear∙ X+ 3 = 0; der keine Wurzeln hat.

Wenn ein a≠ 2, dann ist die Gleichung quadratisch und hat eine einzelne Wurzel mit Null-Diskriminante D.

D= 0 bei a 1 = 2 und a 2 = 5. Bedeutung a= 2 ausgeschlossen, da dies der Bedingung widerspricht, dass die ursprüngliche Gleichung quadratisch ist.

Antworten : a = 5.

4.

(a - 1)X 2 + (2a + 3)X + a+ 2 = 0 hat Wurzeln gleichen Vorzeichens?

Entscheidung. Da die betrachtete Gleichung gemäß der Problemstellung quadratisch ist, bedeutet dies, dass a≠ 1. Offensichtlich impliziert die Bedingung des Problems auch die Existenz von Wurzeln der quadratischen Gleichung, was bedeutet, dass die Diskriminante nicht negativ ist

D = (2a + 3)2 – 4(a - 1)(a + 2) = 8a + 17.

Denn bedingt müssen die Wurzeln dann das gleiche Vorzeichen haben X 1∙X 2 > 0, d.h..png" width="149" height="21 src=">. Unter Bedingungen D≥ 0 und a≠ 1 erhalten wir https://pandia.ru/text/80/021/images/image060.png" width="191" height="52 src=">.

Beispiel 3 Finden Sie alle Werte von a, für die die Gleichung x2 - 2(a - 1)x + (2a + 1) = 0 zwei positive Wurzeln hat.

Entscheidung. Damit beide Wurzeln x1 und x2 dieser Gleichung positiv sind, ist es nach dem Satz von Vieta notwendig und ausreichend, dass die Diskriminante des quadratischen Trinoms x2 - 2(a - 1)x + (2a + 1) nicht- negativ, und das Produkt x1 ∙ x2 und die Summe x1 + x2 waren positiv. Wir bekommen das alles, um das System zu befriedigen

Und nur sie sind die Lösungen des Problems. Dieses System entspricht dem System

Deren Lösung und damit das Problem selbst sind alle Zahlen aus dem Intervall )