Funktion und Einstellmöglichkeiten.

Eine Funktion zu setzen bedeutet, eine Regel (Gesetz) aufzustellen, mit deren Hilfe man gemäß den gegebenen Werten der unabhängigen Variablen die entsprechenden Werte der Funktion finden soll. Schauen wir uns einige Möglichkeiten an, Funktionen zu definieren.

tabellarischer Weg. Ganz üblich besteht es darin, eine Tabelle mit einzelnen Argumentwerten und ihren entsprechenden Funktionswerten zu erstellen. Diese Methode zum Definieren einer Funktion wird verwendet, wenn der Definitionsbereich der Funktion eine diskrete endliche Menge ist.

Mit der tabellarischen Methode zur Angabe einer Funktion ist es möglich, die nicht in der Tabelle enthaltenen Werte der Funktion näherungsweise zu berechnen, die den Zwischenwerten des Arguments entsprechen. Verwenden Sie dazu die Methode der Interpolation.

Die Vorteile der tabellarischen Einstellung einer Funktion liegen darin, dass es möglich ist, ohne zusätzliche Messungen oder Berechnungen bestimmte spezifische Werte auf einmal zu ermitteln. In einigen Fällen definiert die Tabelle jedoch die Funktion nicht vollständig, sondern nur für einige Werte des Arguments und bietet keine visuelle Darstellung der Art der Änderung der Funktion in Abhängigkeit von der Änderung des Arguments.

Grafischer Weg. Der Graph der Funktion y = f(x) ist die Menge aller Punkte in der Ebene, deren Koordinaten die gegebene Gleichung erfüllen.

Die grafische Art, eine Funktion anzugeben, ermöglicht es nicht immer, die numerischen Werte des Arguments genau zu bestimmen. Es hat jedoch einen großen Vorteil gegenüber anderen Methoden - Sichtbarkeit. In den Ingenieurwissenschaften und der Physik wird häufig eine grafische Methode zum Einstellen einer Funktion verwendet, und ein Diagramm ist die einzige verfügbare Möglichkeit dafür.

Damit die grafische Zuordnung einer Funktion aus mathematischer Sicht ganz korrekt ist, ist es notwendig, den genauen geometrischen Aufbau des Graphen anzugeben, der meistens durch eine Gleichung gegeben ist. Dies führt zu folgender Art, eine Funktion zu definieren.

analytische Weise. Meistens wird das Gesetz, das eine Beziehung zwischen einem Argument und einer Funktion herstellt, durch Formeln angegeben. Diese Art, eine Funktion zu definieren, wird als analytisch bezeichnet.

Dieses Verfahren ermöglicht es, zu jedem Zahlenwert des Arguments x den entsprechenden Zahlenwert der Funktion y genau oder mit einiger Genauigkeit zu finden.

Wenn die Beziehung zwischen x und y durch eine nach y aufgelöste Formel gegeben ist, d.h. die Form y = f(x) hat, dann sagen wir, dass die Funktion von x explizit gegeben ist.

Wenn die Werte x und y durch eine Gleichung der Form F(x,y) = 0 in Beziehung stehen, d.h. die Formel ist bezüglich y nicht erlaubt, was bedeutet, dass die Funktion y = f(x) implizit definiert ist.

Eine Funktion kann durch verschiedene Formeln in verschiedenen Teilen ihres Aufgabenbereichs definiert werden.

Die analytische Methode ist die gebräuchlichste Art, Funktionen zu definieren. Kompaktheit, Prägnanz, die Fähigkeit, den Wert einer Funktion für einen beliebigen Wert des Arguments aus dem Definitionsbereich zu berechnen, die Fähigkeit, den Apparat der mathematischen Analyse auf eine gegebene Funktion anzuwenden, sind die Hauptvorteile der analytischen Methode zur Definition von a Funktion. Zu den Nachteilen gehört die mangelnde Sichtbarkeit, die durch die Möglichkeit, ein Diagramm zu erstellen, und die Notwendigkeit, manchmal sehr umständliche Berechnungen durchzuführen, kompensiert wird.

verbaler Weg. Diese Methode besteht darin, dass die funktionale Abhängigkeit in Worten ausgedrückt wird.

Beispiel 1: Die Funktion E(x) ist der ganzzahlige Teil der Zahl x. Im Allgemeinen bezeichnet E(x) = [x] die größte ganze Zahl, die x nicht überschreitet. Mit anderen Worten, wenn x = r + q, wobei r eine ganze Zahl ist (kann negativ sein) und q zum Intervall = r gehört. Die Funktion E(x) = [x] ist konstant auf dem Intervall = r.

Beispiel 2: Funktion y = (x) - Bruchteil einer Zahl. Genauer gesagt, y =(x) = x - [x], wobei [x] der ganzzahlige Teil der Zahl x ist. Diese Funktion ist für alle x definiert. Wenn x eine beliebige Zahl ist, dann stellst du sie als x = r + q (r = [x]) dar, wobei r eine ganze Zahl ist und q im Intervall liegt. = 2[" class="link_thumb"> 7 Eine Funktion, die durch die Bedingungen bestimmt wird: f (x) ist eine ganze Zahl; f(x)x;x; f + 1 > x,x, der ganzzahlige Teil der Zahl heißt ganzzahliger Teil der Zahl. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (Satz von ganzen Zahlen) Für den ganzzahligen Teil der Zahl x wird die Notation [ x ] verwendet. = 2 = 47 [-0,23] = - 1 x,x, der ganzzahlige Teil der Zahl heißt ganzzahliger Teil der Zahl. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (Satz von ganzen Zahlen) Für den ganzzahligen Teil der Zahl x wird die Notation [ x ] verwendet. \u003d 2 ["\u003e x, x, der ganzzahlige Teil der Zahl wird als ganzzahliger Teil der Zahl bezeichnet. D (f) \u003d (-; +), E (f) \u003d Z (Ganzzahlmenge) Für den ganzzahligen Teil der Zahl x wird die Notation [x] verwendet. \u003d 2 \u003d 47 [- 0,23] \u003d - 1 "\u003e x, x, der ganzzahlige Teil der Zahl wird als ganzzahliger Teil von bezeichnet die Nummer. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (Satz von ganzen Zahlen) Für den ganzzahligen Teil der Zahl x wird die Notation [ x ] verwendet. = 2 [" title="(!LANG: Eine Funktion, die durch die Bedingungen definiert ist: f (x) ist eine ganze Zahl; f (x) x; x; f + 1 > x,x, der ganzzahlige Teil der Zahl heißt der ganzzahlige Teil der Zahl D (f) = (-;+), E (f) = Z (Menge der ganzen Zahlen) Verwenden Sie für den ganzzahligen Teil der Zahl x die Notation [ x ].= 2 ["> title="Eine Funktion, die durch die Bedingungen bestimmt wird: f (x) ist eine ganze Zahl; f(x)x;x; f + 1 > x,x, der ganzzahlige Teil der Zahl heißt ganzzahliger Teil der Zahl. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (Satz von ganzen Zahlen) Für den ganzzahligen Teil der Zahl x wird die Notation [ x ] verwendet. = 2["> !}

Von allen oben genannten Methoden zum Einstellen einer Funktion bietet die analytische Methode die größten Möglichkeiten, den Apparat der mathematischen Analyse zu verwenden, und die grafische Methode hat die größte Klarheit. Aus diesem Grund basiert die mathematische Analyse auf einer tiefen Synthese analytischer und geometrischer Methoden. Das Studium analytisch gegebener Funktionen ist viel einfacher und wird deutlich, wenn wir die Graphen dieser Funktionen parallel betrachten.

Xy=x

Großer Mathematiker - Dirichlet In Professor in Berlin, ab 1855 Universität Göttingen. Die Hauptwerke zur Zahlentheorie und mathematischen Analysis. Auf dem Gebiet der mathematischen Analyse hat Dirichlet zum ersten Mal das Konzept der bedingten Konvergenz einer Reihe genau formuliert und untersucht, ein Kriterium für die Konvergenz einer Reihe aufgestellt (das sogenannte Dirichlet-Kriterium, 1862) und (1829) angegeben ein rigoroser Beweis für die Möglichkeit, eine Funktion in eine Fourier-Reihe mit einer endlichen Anzahl von Maxima und Minima zu erweitern. Bedeutende Werke Dirichlets sind der Mechanik und der mathematischen Physik gewidmet (Dirichlets Prinzip in der Theorie der harmonischen Funktion). Dirichlet Peter Gustav Lejeune () Deutscher Mathematiker, ausländisches korrespondierendes Mitglied. Petersburger Akademie der Wissenschaften (c), Mitglied der Royal Society of London (1855), Pariser Akademie der Wissenschaften (1854), Berliner Akademie der Wissenschaften. Dirichlet bewies einen Satz über die Existenz einer unendlich großen Anzahl von Primzahlen in jeder arithmetischen Folge ganzer Zahlen, deren erster Term und deren Differenz teilerfremde Zahlen sind, und studierte (1837) das Gesetz der Verteilung von Primzahlen in arithmetischen Folgen in Verbindung mit die er Funktionsreihen einer Sonderform einführte (sog. Dirichlet-Reihen).

Analytische Definition einer Funktion

Funktion %%y = f(x), x \in X%% gegeben auf explizit analytische Weise, wenn eine Formel angegeben ist, die die Folge mathematischer Operationen angibt, die mit dem Argument %%x%% durchgeführt werden müssen, um den Wert %%f(x)%% dieser Funktion zu erhalten.

Beispiel

• %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
• %% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
• %% y = \sqrt(x), x \geq 0%%.

So wird beispielsweise in der Physik bei gleichmäßig beschleunigter geradliniger Bewegung die Geschwindigkeit eines Körpers durch die Formel bestimmt t%% wird geschrieben als: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2) %%.

Stückweise definierte Funktionen

Manchmal kann die betrachtete Funktion durch mehrere Formeln definiert werden, die in verschiedenen Teilen des Definitionsbereichs arbeiten, in denen sich das Funktionsargument ändert. Zum Beispiel: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

Funktionen dieser Art werden manchmal aufgerufen Bestandteil oder stückweise. Ein Beispiel für eine solche Funktion ist %%y = |x|%%

Funktionsumfang

Wenn die Funktion explizit analytisch durch eine Formel spezifiziert wird, aber der Funktionsumfang in Form einer Menge %%D%% nicht spezifiziert wird, dann meinen wir mit %%D%% immer die Wertemenge ​​des Arguments %%x%%, für das diese Formel sinnvoll ist . Für die Funktion %%y = x^2%% ist der Definitionsbereich also die Menge %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%%, da das Argument %%x% % kann beliebige Werte annehmen Zahlenreihe. Und für die Funktion %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%% ist der Definitionsbereich die Menge von Werten %%x%%, die die Ungleichung %%1 erfüllen - x^2 > 0%%, m .d.h. %%D = (-1, 1)%%.

Vorteile der expliziten analytischen Funktionsdefinition

Beachten Sie, dass die explizite analytische Art der Angabe einer Funktion ziemlich kompakt ist (die Formel nimmt in der Regel wenig Platz ein), leicht reproduziert werden kann (die Formel ist leicht aufzuschreiben) und am besten geeignet ist, um mathematische Operationen und Transformationen durchzuführen Funktionen.

Einige dieser Operationen - algebraische (Addition, Multiplikation usw.) - sind aus dem Schulmathematikunterricht gut bekannt, andere (Differenzierung, Integration) werden in Zukunft untersucht. Diese Methode ist jedoch nicht immer klar, da die Art der Abhängigkeit der Funktion vom Argument nicht immer klar ist und manchmal umständliche Berechnungen erforderlich sind, um die Werte der Funktion zu finden (falls erforderlich).

Implizite Funktionsspezifikation

Die Funktion %%y = f(x)%% ist definiert auf implizit analytische Weise, wenn die Relation $$F(x,y) = 0 gegeben ist, ~~~~~~~~~~(1)$$ die Werte der Funktion %%y%% und das Argument %% in Beziehung setzen x%%. Wenn Argumentwerte gegeben sind, dann ist es notwendig, um den Wert von %%y%% zu finden, der einem bestimmten Wert von %%x%% entspricht, die Gleichung %%(1)%% in Bezug auf %%y%% zu lösen. bei diesem bestimmten Wert von %%x%%.

Bei einem Wert von %%x%% kann die Gleichung %%(1)%% keine Lösung oder mehr als eine Lösung haben. Im ersten Fall liegt der angegebene Wert %%x%% nicht im Geltungsbereich der impliziten Funktion und im zweiten Fall spezifiziert er mehrwertige Funktion, die mehr als einen Wert für einen bestimmten Argumentwert hat.

Beachten Sie, dass, wenn die Gleichung %%(1)%% explizit in Bezug auf %%y = f(x)%% gelöst werden kann, wir dieselbe Funktion erhalten, aber bereits auf explizit analytische Weise definiert. Also, die Gleichung %%x + y^5 - 1 = 0%%

und die Gleichheit %%y = \sqrt(1 - x)%% definieren dieselbe Funktion.

Parametrische Funktionsdefinition

Wenn die Abhängigkeit von %%y%% von %%x%% nicht direkt angegeben wird, sondern die Abhängigkeiten der beiden Variablen %%x%% und %%y%% von irgendeiner dritten Hilfsvariablen %%t%% angegeben werden in der Form

$$ \begin(cases) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(cases) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$über die sie reden parametrisch die Methode zum Einstellen der Funktion;

dann heißt die Hilfsvariable %%t%% Parameter.

Wenn es möglich ist, den Parameter %%t%% aus den Gleichungen %%(2)%% auszuschließen, dann kommen sie zu einer Funktion, die durch eine explizite oder implizite analytische Abhängigkeit von %%y%% von %%x%% gegeben ist. . Zum Beispiel aus den Beziehungen $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ außer für den Parameter % %t%% erhalten wir die Abhängigkeit %%y = 2 x + 2%%, was eine Gerade in der Ebene %%xOy%% setzt.

Grafischer Weg

Ein Beispiel für eine grafische Definition einer Funktion

Die obigen Beispiele zeigen, dass die analytische Art, eine Funktion zu definieren, ihrer entspricht grafisches Bild, die als bequeme und visuelle Form der Beschreibung einer Funktion angesehen werden kann. Manchmal verwendet grafische Weise Definieren einer Funktion, wenn die Abhängigkeit von %%y%% von %%x%% durch eine Linie auf der Ebene %%xOy%% gegeben ist. Allerdings verliert es bei aller Übersichtlichkeit an Genauigkeit, da die Werte des Arguments und die entsprechenden Werte der Funktion nur näherungsweise aus dem Graphen zu entnehmen sind. Der resultierende Fehler hängt von der Skalierung und Genauigkeit der Messung der Abszisse und Ordinate der einzelnen Punkte des Diagramms ab. In Zukunft werden wir dem Graphen der Funktion nur noch die Rolle zuweisen, das Verhalten der Funktion zu veranschaulichen, und uns daher auf die Konstruktion von "Skizzen" von Graphen beschränken, die die Hauptmerkmale der Funktionen widerspiegeln.

Tabellarischer Weg

Notiz tabellarischer Weg Funktionszuweisungen, wenn einige Argumentwerte und ihre entsprechenden Funktionswerte in einer bestimmten Reihenfolge in einer Tabelle platziert werden. So werden die bekannten Tafeln der trigonometrischen Funktionen, Tafeln der Logarithmen etc. aufgebaut. In tabellarischer Form wird üblicherweise der Zusammenhang zwischen den in experimentellen Untersuchungen, Beobachtungen und Tests gemessenen Größen dargestellt.

Der Nachteil dieser Methode ist die Unmöglichkeit, die Werte der Funktion für die Werte des Arguments, die nicht in der Tabelle enthalten sind, direkt zu bestimmen. Wenn Vertrauen besteht, dass die Werte des Arguments, die nicht in der Tabelle aufgeführt sind, zum Definitionsbereich der betrachteten Funktion gehören, können die entsprechenden Werte der Funktion näherungsweise durch Interpolation und Extrapolation berechnet werden.

Beispiel

Algorithmische und verbale Möglichkeiten zur Spezifikation von Funktionen

Die Funktion kann eingestellt werden algorithmisch(oder programmatisch) in einer Weise, die in Computerberechnungen weit verbreitet ist.

Abschließend sei angemerkt beschreibend(oder verbal) eine Möglichkeit, eine Funktion anzugeben, wenn die Regel zum Abgleich der Werte der Funktion mit den Werten des Arguments in Worten ausgedrückt wird.

Zum Beispiel die Funktion %%[x] = m~\forall (x \in . Es ist jedoch wichtig zu betonen, dass mit der Entwicklung unserer Informationen zur Analyse andere Operationen zu ihrer Zahl hinzugefügt werden, vor allem die Grenzpassage, die dem Leser bereits aus Kapitel I bekannt ist.

Der volle Inhalt des Begriffs „analytischer Ausdruck“ oder „Formel“ erschließt sich also erst nach und nach.

2. Die zweite Bemerkung bezieht sich auf den Definitionsbereich einer Funktion durch einen analytischen Ausdruck oder eine analytische Formel.

Jeder analytische Ausdruck, der ein Argument x enthält, hat sozusagen einen natürlichen Geltungsbereich: Er ist die Menge all jener Werte von x, für die er eine Bedeutung behält, d. h. einen wohldefinierten, endlichen, reellen Wert hat. Lassen Sie uns dies anhand einfacher Beispiele erklären.

Für einen Ausdruck ist ein solcher Bereich also die gesamte Menge reeller Zahlen. Für einen Ausdruck wird dieser Bereich auf ein geschlossenes Intervall reduziert, jenseits dessen sein Wert aufhört, real zu sein. Im Gegenteil, der Ausdruck muss als natürlichen Umfang eine offene Lücke enthalten, da sein Nenner an den Enden 0 wird. Manchmal besteht der Wertebereich, für den der Ausdruck Bedeutung behält, aus verstreuten Lücken: Für diese wird es geben Lücken für - Lücken usw.

Betrachten Sie als letztes Beispiel die Summe einer unendlichen geometrischen Folge

Wenn dann, wie wir wissen, diese Grenze existiert und einen Wert von hat. Für ist die Grenze entweder gleich oder existiert überhaupt nicht. Somit ist für den obigen analytischen Ausdruck der natürliche Geltungsbereich das offene Intervall

In der folgenden Darstellung müssen wir sowohl komplexere als auch allgemeinere analytische Ausdrücke betrachten, und wir werden die Eigenschaften von Funktionen, die durch einen ähnlichen Ausdruck gegeben sind, mehr als einmal in dem gesamten Bereich untersuchen, in dem er Bedeutung behält, d. h. das Studium der Analyseapparat selbst.

Es ist jedoch auch ein anderer Sachverhalt möglich, auf den wir es für notwendig erachten, den Leser vorab darauf aufmerksam zu machen. Stellen wir uns vor, dass eine bestimmte Frage, bei der die Variable x im Wesentlichen auf den Bereich von X beschränkt ist, zur Betrachtung einer Funktion geführt hat, die einen analytischen Ausdruck zulässt. Obwohl es vorkommen kann, dass dieser Ausdruck außerhalb des Bereichs X Sinn macht, ist es natürlich unmöglich, darüber hinauszugehen. Dabei spielt der analytische Ausdruck eine untergeordnete, unterstützende Rolle.

Wenn wir zum Beispiel den freien Fall eines schweren Punktes aus einer Höhe über der Erdoberfläche untersuchen, greifen wir auf die Formel zurück

Es wäre absurd, negative Werte von t oder Werte größer als für zu berücksichtigen, wie man leicht erkennen kann, bei wird der Punkt bereits zu Boden fallen. Und das, obwohl der Ausdruck selbst seine Bedeutung für alles Reale behält.

3° Es kann vorkommen, dass eine Funktion nicht für alle Werte des Arguments durch dieselbe Formel definiert ist, sondern für einige durch eine Formel und für andere durch eine andere. Ein Beispiel für eine solche Funktion dazwischen ist die durch die folgenden drei Formeln definierte Funktion:

und schließlich wenn .

Wir erwähnen auch die Dirichlet-Funktion (P. G. Lejeune-Dinchlet), die wie folgt definiert ist:

Abschließend betrachten wir zusammen mit Kronecker (L. Kroneckcf) die Funktion, die er „signum“ nannte und mit bezeichnet