Die harmonische Schwingung ist ein Phänomen der periodischen Änderung einer Größe, bei der die Abhängigkeit vom Argument den Charakter einer Sinus- oder Kosinusfunktion hat. Beispielsweise schwankt eine Größe, die sich zeitlich wie folgt harmonisch ändert:

wobei x der Wert der sich ändernden Größe ist, t die Zeit ist, die übrigen Parameter konstant sind: A die Amplitude der Schwingungen, ω die zyklische Frequenz der Schwingungen, die volle Phase der Schwingungen, die Anfangsphase von die Schwingungen.

Verallgemeinerte harmonische Schwingung in differentieller Form

(Jede nicht-triviale Lösung dieser Differentialgleichung ist eine harmonische Schwingung mit zyklischer Frequenz)

Arten von Vibrationen

Freie Schwingungen entstehen unter Einwirkung der inneren Kräfte des Systems, nachdem das System aus dem Gleichgewicht gebracht wurde. Damit freie Schwingungen harmonisch sind, muss das Schwingungssystem linear sein (beschrieben durch lineare Bewegungsgleichungen) und es darf keine Energiedissipation darin stattfinden (letzteres würde eine Dämpfung verursachen).

Erzwungene Schwingungen werden unter dem Einfluss einer äußeren periodischen Kraft ausgeführt. Damit sie harmonisch sind, genügt es, dass das schwingungsfähige System linear ist (beschrieben durch lineare Bewegungsgleichungen), und die äußere Kraft selbst sich mit der Zeit als harmonische Schwingung ändert (das heißt, dass die Zeitabhängigkeit dieser Kraft sinusförmig ist). .

Harmonische Schwingungsgleichung

gibt die Abhängigkeit des schwankenden Wertes S von der Zeit t an; dies ist die Gleichung der freien harmonischen Schwingungen in expliziter Form. Die Schwingungsgleichung wird jedoch üblicherweise als eine andere Aufzeichnung dieser Gleichung in differentieller Form verstanden. Zur Eindeutigkeit nehmen wir Gleichung (1) in der Form

Differenziere es zweimal nach der Zeit:

Man sieht, dass die folgende Beziehung gilt:

die als Gleichung der freien harmonischen Schwingungen (in Differentialform) bezeichnet wird. Gleichung (1) ist eine Lösung der Differentialgleichung (2). Da Gleichung (2) eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, sind zwei Anfangsbedingungen erforderlich, um eine vollständige Lösung zu erhalten (dh um die in Gleichung (1) enthaltenen Konstanten A und   zu bestimmen); zum Beispiel die Position und Geschwindigkeit eines schwingungsfähigen Systems bei t = 0.

Ein mathematisches Pendel ist ein Oszillator, das ist ein mechanisches System, das aus einem materiellen Punkt besteht, der sich auf einem schwerelosen, nicht dehnbaren Faden oder auf einem schwerelosen Stab in einem gleichmäßigen Feld von Gravitationskräften befindet. Die Periode kleiner Eigenschwingungen eines mathematischen Pendels der Länge l, das bewegungslos in einem gleichmäßigen Gravitationsfeld mit der Fallbeschleunigung g aufgehängt ist, ist gleich

und hängt nicht von der Amplitude und Masse des Pendels ab.

Ein physikalisches Pendel ist ein Oszillator, das ist ein starrer Körper, der im Feld beliebiger Kräfte um einen Punkt schwingt, der nicht der Massenmittelpunkt dieses Körpers ist, oder um eine feste Achse, die senkrecht zur Richtung der Kräfte steht und nicht durch diese hindurchgeht Schwerpunkt dieses Körpers.

Harmonische Schwingungen sind Schwingungen, bei denen sich eine physikalische Größe nach einem harmonischen (sinusförmigen, cosinusförmigen) Gesetz über die Zeit ändert. Die harmonische Schwingungsgleichung lässt sich wie folgt schreiben:
X(t) = A∙cos(ω t+φ )
oder
X(t) = A∙sin(ω t+φ )

X - Abweichung von der Gleichgewichtslage zum Zeitpunkt t
A - Schwingungsamplitude, die Dimension von A ist gleich der Dimension von X
ω - zyklische Frequenz, rad/s (Radiant pro Sekunde)
φ - Anfangsphase, rad
t - Zeit, s
T - Schwingungsdauer, s
f - Schwingungsfrequenz, Hz (Hertz)
π - Konstante ungefähr gleich 3,14, 2π=6,28

Die Schwingungsperiode, die Frequenz in Hertz und die zyklische Frequenz sind durch Beziehungen miteinander verbunden.
ω=2πf , T=2π/ω , f=1/T , f=ω/2π
Um sich an diese Beziehungen zu erinnern, müssen Sie Folgendes verstehen.
Jeder der Parameter ω, f, T bestimmt die anderen eindeutig. Zur Beschreibung von Schwingungen genügt es, einen dieser Parameter zu verwenden.

Die Periode T ist die Zeit einer Oszillation, es ist praktisch, sie zum Zeichnen von Oszillationsdiagrammen zu verwenden.
Zyklusfrequenz ω - wird zum Schreiben der Schwingungsgleichungen verwendet und ermöglicht mathematische Berechnungen.
Frequenz f - die Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit, wird überall verwendet. In Hertz messen wir die Frequenz, auf die Radios eingestellt sind, sowie die Reichweite von Mobiltelefonen. Die Frequenz der Schwingungen von Saiten wird beim Stimmen von Musikinstrumenten in Hertz gemessen.

Der Ausdruck (ωt + φ) wird als Schwingungsphase bezeichnet, und der Wert von φ wird als Anfangsphase bezeichnet, da er gleich der Schwingungsphase zum Zeitpunkt t = 0 ist.

Die Sinus- und Kosinusfunktionen beschreiben die Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck. Daher verstehen viele nicht, wie diese Funktionen mit harmonischen Schwingungen zusammenhängen. Diese Beziehung wird durch einen gleichmäßig rotierenden Vektor demonstriert. Die Projektion eines gleichmäßig rotierenden Vektors erzeugt harmonische Schwingungen.
Das folgende Bild zeigt ein Beispiel für drei harmonische Schwingungen. Gleich in der Frequenz, aber unterschiedlich in Phase und Amplitude.

Schwankungen sogenannte Bewegungen oder Prozesse, die durch eine gewisse zeitliche Wiederholung gekennzeichnet sind. Schwingungsvorgänge sind in Natur und Technik weit verbreitet, zB der Ausschlag eines Uhrenpendels, elektrischer Wechselstrom usw. Wenn das Pendel schwingt, ändert sich die Koordinate seines Massenschwerpunkts, bei Wechselstrom die Spannung und der Strom in der Schaltung schwanken. Die physikalische Natur von Schwingungen kann unterschiedlich sein, daher unterscheidet man mechanische, elektromagnetische Schwingungen etc. Verschiedene Schwingungsvorgänge werden jedoch durch gleiche Eigenschaften und gleiche Gleichungen beschrieben. Daraus ergibt sich die Machbarkeit einheitlicher Ansatz zum Studium der Schwingungen unterschiedlicher körperlicher Natur.

Die Schwankungen werden aufgerufen frei, wenn sie nur unter dem Einfluss innerer Kräfte entstehen, die zwischen den Elementen des Systems wirken, nachdem das System durch äußere Kräfte aus dem Gleichgewicht gebracht und sich selbst überlassen wurde. Immer freie Schwingungen gedämpfte Schwingungen weil Energieverluste in realen Systemen unvermeidlich sind. Im idealisierten Fall eines Systems ohne Energieverlust spricht man von freien (beliebig lange andauernden) Schwingungen besitzen.

Die einfachste Art freier ungedämpfter Schwingungen sind harmonische Schwingungen - Schwankungen, bei denen sich der schwankende Wert mit der Zeit gemäß dem Sinus-(Kosinus-)Gesetz ändert. Schwingungen aus Natur und Technik haben oft einen nahezu harmonischen Charakter.

Harmonische Schwingungen werden durch eine Gleichung beschrieben, die als Gleichung der harmonischen Schwingungen bezeichnet wird:

wo SONDERN- Amplitude der Schwankungen, der Maximalwert des Schwankungswerts X; - kreisförmige (zyklische) Frequenz von Eigenschwingungen; - die Anfangsphase der Schwingung zu einem bestimmten Zeitpunkt t= 0; - die Phase der Schwingung zum Zeitpunkt der Zeit t. Die Phase der Schwingung bestimmt den Wert der schwingenden Größe zu einem bestimmten Zeitpunkt. Da der Kosinus also von +1 bis -1 variiert X kann Werte von + annehmen EIN Vor - SONDERN.

Zeit T, für die das System eine vollständige Schwingung ausführt, aufgerufen Periode der Schwingung. Während T Schwingphase wird um 2 erhöht π , d.h.

Woher . (14.2)

Der Kehrwert der Schwingungsdauer

d.h. die Anzahl der vollständigen Schwingungen pro Zeiteinheit wird als Schwingungsfrequenz bezeichnet. Durch Vergleich von (14.2) und (14.3) erhalten wir

Die Einheit der Frequenz ist Hertz (Hz): 1 Hz ist die Frequenz, bei der in 1 s eine vollständige Schwingung stattfindet.

Systeme, in denen freie Schwingungen auftreten können, werden genannt Oszillatoren . Welche Eigenschaften muss ein System haben, damit es in ihm zu freien Schwingungen kommt? Die Mechanik muss haben Position des stabilen Gleichgewichts, beim Beenden, das erscheint Rückstellkraft zum Gleichgewicht. Diese Position entspricht bekanntermaßen dem Minimum der potentiellen Energie des Systems. Betrachten wir mehrere Schwingungssysteme, die die aufgeführten Eigenschaften erfüllen.

Zeitliche Änderungen nach einem Sinusgesetz:

wo X- der Wert der schwankenden Menge zum Zeitpunkt t, SONDERN- Amplitude , ω - Kreisfrequenz, φ ist die Anfangsphase von Schwingungen, ( φt + φ ) ist die Gesamtphase der Schwingungen . Gleichzeitig die Werte SONDERN, ω und φ - dauerhaft.

Für mechanische Schwingungen mit oszillierendem Wert X sind insbesondere Weg und Geschwindigkeit, bei elektrischen Schwingungen Spannung und Stromstärke.

Harmonische Schwingungen nehmen unter allen Arten von Schwingungen einen besonderen Platz ein, da dies die einzige Art von Schwingung ist, deren Form beim Durchgang durch ein homogenes Medium nicht verzerrt wird, d.h. Wellen, die sich von einer Quelle harmonischer Schwingungen ausbreiten, werden ebenfalls harmonisch sein. Jede nicht harmonische Schwingung kann als Summe (Integral) verschiedener harmonischer Schwingungen (in Form eines Spektrums harmonischer Schwingungen) dargestellt werden.

Energieumwandlungen bei harmonischen Schwingungen.

Bei Schwingungen findet ein Übergang der potentiellen Energie statt Wp in Kinetik W k umgekehrt. In der Position maximaler Abweichung von der Gleichgewichtslage ist die potentielle Energie maximal, die kinetische Energie Null. Bei der Rückkehr in die Gleichgewichtslage nimmt die Geschwindigkeit des Schwingkörpers zu und damit auch die kinetische Energie, die in der Gleichgewichtslage ein Maximum erreicht. Die potentielle Energie fällt dann auf Null. Die weitere Halsbewegung erfolgt mit einer Abnahme der Geschwindigkeit, die auf Null abfällt, wenn die Auslenkung ihr zweites Maximum erreicht. Die potenzielle Energie steigt hier auf ihren anfänglichen (maximalen) Wert (ohne Reibung). Somit treten die Schwingungen der kinetischen und potentiellen Energie mit doppelter (im Vergleich zu den Schwingungen des Pendels selbst) Frequenz auf und sind gegenphasig (d.h. es gibt eine Phasenverschiebung zwischen ihnen gleich). π ). Gesamte Vibrationsenergie W bleibt unverändert. Für einen Körper, der unter der Wirkung einer elastischen Kraft schwingt, ist es gleich:

wo v m- die maximale Geschwindigkeit des Körpers (in der Gleichgewichtsposition), x m = SONDERN- Amplitude.

Aufgrund der Reibung und des Widerstands des Mediums werden freie Schwingungen gedämpft: Ihre Energie und Amplitude nehmen mit der Zeit ab. Daher werden in der Praxis häufiger nicht freie, sondern erzwungene Schwingungen verwendet.

Schwankungen nennt man solche Vorgänge, bei denen das System die Gleichgewichtslage mehr oder weniger häufig wiederholt durchläuft.

Schwingungsklassifizierung:

a) natürlich (mechanisch, elektromagnetisch, Konzentrations-, Temperaturschwankungen usw.);

b) informieren (einfach = harmonisch; komplex, die die Summe einfacher harmonischer Schwingungen sind);

in) nach dem Grad der Periodizität = periodisch (Eigenschaften des Systems wiederholen sich nach einer fest definierten Zeitspanne (Periode)) und aperiodisch;

G) in Bezug auf die Zeit (ungedämpft = konstante Amplitude; gedämpft = abnehmende Amplitude);

G) Energie – frei (einmaliger Energieeintrag in das System von außen = einmalige äußere Einwirkung); erzwungene (mehrfache (periodische) Energiezufuhr zum System von außen = periodische äußere Beeinflussung); Eigenschwingungen (ungedämpfte Schwingungen, die durch die Fähigkeit des Systems entstehen, den Energiefluss aus einer konstanten Quelle zu regulieren).

Bedingungen für das Auftreten von Schwingungen.

a) Das Vorhandensein eines schwingungsfähigen Systems (ein Pendel an einer Aufhängung, ein Federpendel, ein Schwingkreis usw.);

b) Das Vorhandensein einer externen Energiequelle, die das System mindestens einmal aus dem Gleichgewicht bringen kann;

c) Entstehung einer quasielastischen Rückstellkraft im System (d. h. einer Kraft proportional zur Verschiebung);

d) Vorhandensein von Trägheit (Trägheitselement) im System.

Betrachten Sie als anschauliches Beispiel die Bewegung eines mathematischen Pendels. Mathematisches Pendel wird als kleiner Körper bezeichnet, der an einem dünnen, nicht dehnbaren Faden aufgehängt ist und dessen Masse im Vergleich zur Masse des Körpers vernachlässigbar ist. In der Gleichgewichtslage, wenn das Pendel an einem Lot hängt, wird die Schwerkraft durch die Kraft der Fadenspannung ausgeglichen
. Wenn das Pendel um einen bestimmten Winkel von der Gleichgewichtslage abweicht α Es gibt eine Tangentialkomponente der Schwerkraft F=- mg sinα. Das Minuszeichen in dieser Formel bedeutet, dass die Tangentialkomponente entgegen der Pendelauslenkung gerichtet ist. Sie ist eine wiederherstellende Kraft. Bei kleinen Winkeln α (in der Größenordnung von 15-20 °) ist diese Kraft proportional zur Auslenkung des Pendels, d.h. ist quasielastisch, und die Schwingungen des Pendels sind harmonisch.

Wenn das Pendel ausgelenkt wird, steigt es auf eine bestimmte Höhe, d.h. ihm wird eine bestimmte Menge potentieller Energie gegeben ( E Schweiß = mgh). Wenn sich das Pendel in die Gleichgewichtsposition bewegt, findet der Übergang von potentieller Energie in kinetische Energie statt. In dem Moment, in dem das Pendel die Gleichgewichtslage passiert, ist die potentielle Energie gleich Null und die kinetische Energie maximal. Aufgrund der Anwesenheit von Masse m(Masse ist eine physikalische Größe, die die Trägheits- und Gravitationseigenschaften von Materie bestimmt) Das Pendel passiert die Gleichgewichtsposition und weicht in die entgegengesetzte Richtung aus. Ohne Reibung im System schwingt das Pendel unendlich weiter.

Die harmonische Schwingungsgleichung hat die Form:

x(t) = x m weil (ω 0 t +φ 0 ),

wo X- Verschiebung des Körpers aus der Gleichgewichtsposition;

x m (SONDERN) ist die Schwingungsamplitude, d. h. der maximale Verschiebungsmodul,

ω 0 - zyklische (oder kreisförmige) Schwingungsfrequenz,

t- Zeit.

Der Wert unter dem Kosinuszeichen φ = ω 0 t + φ 0 namens Phase harmonische Schwingung. Die Phase bestimmt den Versatz zu einem bestimmten Zeitpunkt t. Die Phase wird in Winkeleinheiten (Radiant) ausgedrückt.

Beim t= 0 φ = φ 0 , Deshalb φ 0 namens Anfangsphase.

Die Zeitspanne, nach der sich bestimmte Zustände des schwingungsfähigen Systems wiederholen, wird als bezeichnet Periode der Schwingung T.

Man nennt die physikalische Größe reziprok zur Schwingungsdauer Schwingungsfrequenz:
. Oszillationsfrequenz ν zeigt, wie viele Schwingungen pro Zeiteinheit gemacht werden. Frequenzeinheit - Hertz (Hz) - Einrad pro Sekunde.

Oszillationsfrequenz ν bezogen auf die zyklische Frequenz ω und Schwingungsdauer T Verhältnisse:
.

Das heißt, die Kreisfrequenz ist die Anzahl vollständiger Schwingungen, die in 2π Zeiteinheiten auftreten.

Grafisch lassen sich harmonische Schwingungen als Abhängigkeit darstellen X aus t und die Methode der Vektordiagramme.

Die Methode der Vektordiagramme ermöglicht es Ihnen, alle Parameter zu visualisieren, die in der Gleichung der harmonischen Schwingungen enthalten sind. In der Tat, wenn der Amplitudenvektor SONDERN schräg gestellt φ zur Achse X, dann seine Projektion auf die Achse X wird gleich sein: x = Acos(φ ) . Injektion φ und es gibt eine Anfangsphase. Wenn der Vektor SONDERN mit einer Winkelgeschwindigkeit ω 0 in Rotation versetzt, die gleich der Kreisfrequenz der Schwingungen ist, dann bewegt sich die Projektion des Endes des Vektors entlang der Achse X und nimm Werte von -EIN Vor +A, und die Koordinate dieser Projektion ändert sich im Laufe der Zeit gemäß dem Gesetz: x(t) = SONDERNcos(ω 0 t+ φ) . Die Zeit, die der Amplitudenvektor für eine vollständige Umdrehung benötigt, ist gleich der Periode T harmonische Schwingungen. Die Anzahl der Umdrehungen des Vektors pro Sekunde ist gleich der Schwingungsfrequenz ν .