Kehren wir nun zu unserer Aufgabe zurück – die Beschleunigung zu finden, mit der sich der Körper auf einer Kreisbahn mit konstanter Geschwindigkeit im Absolutwert bewegt.

Die Beschleunigung wird bekanntlich durch die Formel bestimmt

wo ist die Geschwindigkeit des Körpers zu einem bestimmten Anfangszeitpunkt und seine Geschwindigkeit nach einer bestimmten Zeit . In unserem Fall sind die Geschwindigkeitsmodule und einander gleich.

Angenommen, der Körper bewegt sich auf einem Kreis mit Radius und befindet sich irgendwann im Punkt A (Abb. 67).

Wie groß ist die Beschleunigung an dieser Stelle? Die Geschwindigkeit an diesem Punkt ist tangential zum Kreis an Punkt A gerichtet. Nach einer Sekunde ist der Körper an Punkt B und seine Geschwindigkeit ist jetzt

am Punkt B tangential zum Kreis gerichtet. Modulogeschwindigkeit und 10 sind gleich (die Längen der Pfeile und sind gleich).

Wir wollen die Beschleunigung am Punkt A des Kreises finden (Momentanbeschleunigung). Daher müssen wir die Punkte A und B nahe beieinander nehmen, so nahe, dass sich der Bogen sozusagen zu einem Punkt zusammenzieht.

Lassen Sie uns zuerst herausfinden, wie diese Beschleunigung gerichtet ist.

Zeichnen wir Radien vom Mittelpunkt O des Kreises zu den Punkten A und B. Der Radius des Kreises steht senkrecht auf der Tangente am Berührungspunkt, also die Radien und stehen senkrecht auf den Vektoren und Um die Richtung der herauszufinden Beschleunigungsvektor, müssen Sie einen Vektor finden, der gleich der Differenz der Vektoren ist, und seine Richtung ist die Richtung der Vektorbeschleunigung. Wir wissen bereits, wie man Vektoren subtrahiert (siehe § 6). Um den Unterschied zu finden, ordnen wir die Vektoren so an, dass sie von einem Punkt ausgehen (Abb. 68), und verbinden ihre Enden, indem wir den Pfeil vom Subtrahierten zum Reduzierten richten (vom Ende des Vektors zum Ende des Vektors). Der Vektor ist die Differenz der Vektoren, also ist die Beschleunigung entlang des Vektors gerichtet, was kann man über diese Richtung sagen?

Das Dreieck (siehe Abb. 68) ist gleichschenklig. Der Winkel am Scheitelpunkt A ist gleich dem Winkel zwischen den Radien und (Abb. 67), da sie durch senkrecht zueinander stehende Seiten gebildet werden. Die Punkte A und B liegen nahe beieinander, daher ist der Winkel sehr klein (nahe Null). Jeder der Winkel an der Basis des Dreiecks ist fast ein rechter Winkel, da die Summe der Winkel eines Dreiecks gleich zwei rechten Winkeln ist. Das bedeutet, dass der Vektor

senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor. Die Beschleunigung steht also senkrecht zur Geschwindigkeit. Aber die Geschwindigkeit tangiert den Kreis im Punkt A, und die Tangente steht senkrecht auf dem Radius. Das bedeutet, dass die Beschleunigung entlang des Radius zum Kreismittelpunkt gerichtet ist. Deshalb heißt es Zentripetalbeschleunigung.

Wenn sich ein Körper gleichmäßig auf einem Kreis bewegt, steht die Beschleunigung an jedem Punkt senkrecht zur Bewegungsgeschwindigkeit und ist auf den Mittelpunkt des Kreises gerichtet.

Dieses interessante Merkmal der Beschleunigung bei der Bewegung entlang eines Kreises mit konstanter Modulo-Geschwindigkeit ist in Abbildung 69 dargestellt.

Lassen Sie uns nun den Modul der Zentripetalbeschleunigung finden. Um dies zu tun, müssen Sie den Absolutwert der Größe finden. Aus Abbildung 68 ist ersichtlich, dass der Betrag der Differenz der Vektoren gleich der Länge des Segments ist. Da der Winkel sehr klein ist, ist die Segment unterscheidet sich wenig von einem Kreisbogen (gestrichelt dargestellt) mit Mittelpunkt A. Der Radius dieses Kreises ist numerisch gleich Aber, wie wir wissen (siehe § 24), ist die Länge eines solchen Bogens daher: der Absolutwert der Beschleunigung ist . Aber die Winkelgeschwindigkeit So

Die Beschleunigung eines Körpers, der sich auf einer Kreisbahn bewegt, ist das Produkt seiner linearen Geschwindigkeit und der Winkelgeschwindigkeit der Drehung des Radius, der auf den Körper zugezogen wird.

Es ist bequemer, die Formel für die Zentripetalbeschleunigung so darzustellen, dass sie den Wert des Radius des Kreises enthält, entlang dem sich der Körper bewegt. Da die Winkel- und Lineargeschwindigkeiten durch die Beziehung (-Radius des Kreises) zusammenhängen, erhalten wir durch Einsetzen dieses Ausdrucks in die Formel:

Daher kann die Formel für die Zentripetalbeschleunigung aber auch wie folgt geschrieben werden:

Bei gleichförmiger Kreisbewegung bewegt sich ein Körper mit

Beschleunigung, die entlang des Radius zum Kreismittelpunkt gerichtet ist und deren Betrag durch den Ausdruck bestimmt wird

Daher gilt auch das Gegenteil: Wenn bekannt ist, dass die Geschwindigkeit des Körpers gleich ist und die Beschleunigung des Körpers an allen Punkten senkrecht zum Vektor seiner Geschwindigkeit steht und betragsmäßig gleich ist, kann dies argumentiert werden Ein solcher Körper bewegt sich auf einem Kreis, dessen Radius durch die Formel bestimmt wird

Das heißt, wenn wir die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers und den Absolutwert seiner Zentripetalbeschleunigung kennen, können wir einen Kreis zeichnen, entlang dem sich der Körper bewegen wird, und jederzeit seine Position finden (die Anfangsposition des Körpers muss natürlich , bekannt sein). Damit ist das Hauptproblem der Mechanik gelöst.

Erinnern Sie sich daran, dass wir an der Beschleunigung während einer gleichförmigen Bewegung entlang eines Kreises interessiert sind, da jede Bewegung entlang einer krummlinigen Trajektorie eine Bewegung entlang Kreisbögen mit unterschiedlichen Radien ist.

Jetzt können wir sagen, dass sich der Körper bei gleichförmiger Bewegung an jedem Punkt einer krummlinigen Bahn mit einer Beschleunigung bewegt, die auf den Mittelpunkt des Kreises gerichtet ist, von dem die gegebene Bahn ein Teil in der Nähe dieses Punktes ist. Der Zahlenwert der Beschleunigung hängt von der Geschwindigkeit des Körpers an dieser Stelle und vom Radius des entsprechenden Kreises ab. Abbildung 70 zeigt einige komplexe Trajektorien und gibt die Vektoren der Zentripetalbeschleunigung an verschiedenen Punkten der Trajektorie an.

Aufgabe. Das Flugzeug, das den Gipfel verlässt, bewegt sich entlang eines Bogens, der in seinem unteren Teil ein Kreisbogen mit einem Radius von 500 m ist (Abb. 71). Berechnen Sie die Beschleunigung des Flugzeugs am Nadir bei einer Geschwindigkeit von 800 km/h und vergleichen Sie diesen Wert mit der Erdbeschleunigung.

4. Eine Schleifscheibe mit einem Radius von 10 cm macht während der Rotation 1 Umdrehung in 0,2 Sekunden. Finden Sie die Geschwindigkeit der Punkte, die am weitesten von der Rotationsachse entfernt sind.

5. Ein Auto bewegt sich auf einer Straßenrundung mit einem Radius von 100 m mit einer Geschwindigkeit von 54 km/h. Wie groß ist die Zentripetalbeschleunigung des Autos?

6. Die Umlaufzeit des ersten Schiffsatelliten "Wostok" um die Erde betrug 90 Minuten. Die durchschnittliche Höhe des Raumfahrzeugs über der Erde kann mit 320 km gleichgesetzt werden. Der Radius der Erde beträgt 6.400 km. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Schiffes.

7. Welche Geschwindigkeit hat das Auto, wenn seine Räder mit einem Radius von 30 cm in 1 Sekunde 10 Umdrehungen machen?

8. Zwei Riemenscheiben, deren Radien durch einen Endlosriemen verbunden sind. Die Rotationsdauer einer Riemenscheibe mit kleinerem Radius beträgt 0,5 Sekunden. Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich die Riemenspitzen? Wie groß ist die Rotationsdauer der zweiten Riemenscheibe?

9. Der Mond bewegt sich in einer Entfernung von 385.000 km um die Erde und macht in 27,3 Tagen eine Umdrehung. Berechnen Sie die Zentripetalbeschleunigung des Mondes.

Beim Studium der Bewegung in der Physik spielt das Konzept einer Trajektorie eine wichtige Rolle. Sie bestimmt weitgehend die Art der Bewegung von Objekten und damit die Art der Formeln, die diese Bewegung beschreiben. Eine der üblichen Bewegungsbahnen ist ein Kreis. In diesem Artikel werden wir betrachten, was Zentripetalbeschleunigung ist, wenn wir uns im Kreis bewegen.

Das Konzept der vollen Beschleunigung

Bevor wir die Zentripetalbeschleunigung bei der Bewegung entlang eines Kreises charakterisieren, betrachten wir das Konzept der Gesamtbeschleunigung. Darunter wird eine physikalische Größe angenommen, die gleichzeitig die Wertänderung des Absolut- und des Geschwindigkeitsvektors beschreibt. In mathematischer Form sieht diese Definition so aus:

Die Beschleunigung ist die totale Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit.

Bekanntlich ist die Geschwindigkeit v¯ des Körpers an jedem Punkt der Bahn tangential. Diese Tatsache erlaubt es uns, ihn als Produkt des Moduls v und des Einheits-Tangens-Vektors u¯ darzustellen, d.h.:

Dann kann die Gesamtbeschleunigung wie folgt berechnet werden:

a¯ = d(v*u¯)/dt = dv/dt*u¯ + v*du¯/dt

Der Wert a¯ ist die Vektorsumme zweier Terme. Der erste Term ist tangential gerichtet (wie die Geschwindigkeit des Körpers) und wird Tangentialbeschleunigung genannt. Er bestimmt die Änderungsrate des Geschwindigkeitsmoduls. Der zweite Term ist die Normalbeschleunigung. Wir werden später in diesem Artikel genauer darauf eingehen.

Der obige Ausdruck für die normale Beschleunigungskomponente an¯ lässt sich explizit schreiben:

an¯ = v*du¯/dt = v*du¯/dl*dl/dt = v2/r*re¯

Dabei ist dl der Weg, den der Körper entlang der Bahn in der Zeit dt zurücklegt, re¯ der auf den Krümmungsmittelpunkt der Bahn gerichtete Einheitsvektor, r der Radius dieser Krümmung. Die resultierende Formel führt zu mehreren wichtigen Merkmalen der an¯-Komponente der Gesamtbeschleunigung:

• Der Wert von an¯ nimmt mit dem Quadrat der Geschwindigkeit zu und umgekehrt mit dem Radius ab, was ihn von der Tangentialkomponente unterscheidet. Letztgenannter ist nur bei einer Änderung des Geschwindigkeitsmoduls ungleich Null.
• Die Normalbeschleunigung ist immer auf den Krümmungsmittelpunkt gerichtet, weshalb sie als zentripetal bezeichnet wird.

Somit ist die Hauptbedingung für die Existenz einer von Null verschiedenen Größe an¯ die Krümmung der Trajektorie. Wenn eine solche Krümmung nicht existiert (geradlinige Verschiebung), dann ist an¯ = 0, da r->∞.

Zentripetalbeschleunigung bei Kreisbewegung

Ein Kreis ist eine geometrische Linie, bei der alle Punkte von einem Punkt den gleichen Abstand haben. Letzterer wird als Mittelpunkt des Kreises bezeichnet, und die genannte Entfernung ist sein Radius. Ändert sich die Geschwindigkeit des Körpers während der Drehung im Betrag nicht, spricht man von einer gleichförmig veränderlichen Kreisbewegung. Die Zentripetalbeschleunigung lässt sich in diesem Fall einfach mit einer der beiden folgenden Formeln berechnen:

Wobei ω die Winkelgeschwindigkeit ist, gemessen in Radianten pro Sekunde (rad/s). Die zweite Gleichheit erhält man dank der Formel für die Beziehung zwischen Winkel- und Lineargeschwindigkeit:

Zentripetal- und Zentrifugalkräfte

Bei einer gleichförmigen Bewegung eines Körpers entlang eines Kreises tritt aufgrund der Wirkung der entsprechenden Zentripetalkraft eine Zentripetalbeschleunigung auf. Sein Vektor ist immer auf den Kreismittelpunkt gerichtet.

Die Art dieser Kraft kann sehr vielfältig sein. Wenn zum Beispiel eine Person einen an einem Seil befestigten Stein dreht, dann wird er auf seiner Flugbahn durch die Spannkraft des Seils gehalten. Ein weiteres Beispiel für die Wirkung der Zentripetalkraft ist die Gravitationswechselwirkung zwischen der Sonne und den Planeten. Es ist das, was alle Planeten und Asteroiden dazu bringt, sich auf Kreisbahnen zu bewegen. Die Zentripetalkraft ist nicht in der Lage, die kinetische Energie des Körpers zu verändern, da sie senkrecht zu seiner Geschwindigkeit gerichtet ist.

Jeder Mensch könnte darauf achten, dass beim Abbiegen des Autos beispielsweise nach links Insassen an den rechten Rand des Fahrzeuginnenraums gedrückt werden. Dieser Vorgang ist das Ergebnis der Wirkung der Zentrifugalkraft der Drehbewegung. Tatsächlich ist diese Kraft nicht real, da sie auf die Trägheitseigenschaften des Körpers und seinen Wunsch zurückzuführen ist, sich auf einem geraden Weg zu bewegen.

Zentrifugal- und Zentripetalkraft sind gleich groß und entgegengesetzt gerichtet. Wäre dies nicht der Fall, dann wäre die Kreisbahn des Körpers verletzt. Wenn wir das zweite Newtonsche Gesetz berücksichtigen, kann argumentiert werden, dass während einer Drehbewegung die Zentrifugalbeschleunigung gleich der Zentripetalbeschleunigung ist.

Aslamazov L.G. Kreisbewegung // Kvant. - 1972. - Nr. 9. - S. 51-57.

Nach besonderer Vereinbarung mit der Redaktion und den Herausgebern der Zeitschrift "Kvant"

Um die Bewegung auf einem Kreis zusammen mit der linearen Geschwindigkeit zu beschreiben, wird das Konzept der Winkelgeschwindigkeit eingeführt. Bewegt sich ein Punkt entlang eines Kreises in der Zeit Δ t beschreibt einen Bogen, dessen Winkelmaß Δφ ist, dann die Winkelgeschwindigkeit.

Die Winkelgeschwindigkeit ω steht in Beziehung zur linearen Geschwindigkeit υ durch die Beziehung υ = ω r, wo r- der Radius des Kreises, entlang dem sich der Punkt bewegt (Abb. 1). Das Konzept der Winkelgeschwindigkeit ist besonders praktisch, um die Drehung eines starren Körpers um eine Achse zu beschreiben. Obwohl die linearen Geschwindigkeiten von Punkten, die sich in unterschiedlichen Abständen von der Achse befinden, nicht gleich sein werden, sind ihre Winkelgeschwindigkeiten gleich, und wir können von der Winkelgeschwindigkeit der Rotation des Körpers als Ganzes sprechen.

Aufgabe 1. Scheibenradius r rollt, ohne auf einer horizontalen Ebene zu rutschen. Die Geschwindigkeit des Scheibenmittelpunkts ist konstant und gleich υ p. Mit welcher Winkelgeschwindigkeit rotiert die Scheibe in diesem Fall?

Jeder Punkt der Scheibe nimmt an zwei Bewegungen teil - an einer Translationsbewegung mit einer Geschwindigkeit υ n zusammen mit dem Mittelpunkt der Scheibe und an einer Rotationsbewegung um den Mittelpunkt mit einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit ω.

Um ω zu finden, verwenden wir die Abwesenheit von Schlupf, d. h. die Tatsache, dass die Geschwindigkeit eines Scheibenpunkts in Kontakt mit der Ebene zu jedem Zeitpunkt Null ist. Das bedeutet für den Punkt SONDERN(Abb. 2) die Translationsgeschwindigkeit υ p ist betragsmäßig gleich und entgegengesetzt gerichtet zur linearen Rotationsgeschwindigkeit υ vr = ω· r. Von hier bekommen wir sofort .

Aufgabe 2. Geschwindigkeitspunkte finden BEIM, Mit und D dieselbe Scheibe (Abb. 3).

Betrachten Sie zuerst den Punkt BEIM. Die Lineargeschwindigkeit seiner Drehbewegung ist senkrecht nach oben gerichtet und gleich groß , also betragsmäßig gleich der Geschwindigkeit der Translationsbewegung, die jedoch horizontal gerichtet ist. Wenn wir diese beiden Geschwindigkeiten vektoriell addieren, finden wir, dass die resultierende Geschwindigkeit υ B gleich groß ist und mit dem Horizont einen Winkel von 45º bildet. Am Punkt Mit Rotations- und Translationsgeschwindigkeit sind in die gleiche Richtung gerichtet. Resultierende Geschwindigkeit υ C gleich 2υ n und horizontal gerichtet. Ebenso wird die Geschwindigkeit eines Punktes gefunden D(Siehe Abb. 3).

Selbst wenn sich die Geschwindigkeit eines Punktes, der sich entlang eines Kreises bewegt, in der Größe nicht ändert, weist der Punkt eine gewisse Beschleunigung auf, da sich die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ändert. Diese Beschleunigung heißt zentripetal. Sie ist auf den Mittelpunkt des Kreises gerichtet und gleich ( R ist der Radius des Kreises, ω und υ sind die Winkel- und Lineargeschwindigkeiten des Punktes).

Wenn sich die Geschwindigkeit eines Punktes, der sich entlang eines Kreises bewegt, nicht nur in Richtung, sondern auch in Größe ändert, gibt es neben der Zentripetalbeschleunigung auch die sogenannte tangential Beschleunigung. Sie ist tangential zum Kreis gerichtet und gleich dem Verhältnis (Δυ ist die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit Δ t).

Aufgabe 3. Finden Sie Beschleunigungen von Punkten SONDERN, BEIM, Mit und D Scheibenradius r Rollen ohne Rutschen auf einer horizontalen Ebene. Die Geschwindigkeit des Mittelpunkts der Scheibe ist konstant und gleich υ p (Abb. 3).

In dem dem Mittelpunkt der Scheibe zugeordneten Koordinatensystem dreht sich die Scheibe mit einer Winkelgeschwindigkeit ω und die Ebene bewegt sich vorwärts mit einer Geschwindigkeit υ p. Es gibt keinen Schlupf zwischen der Scheibe und der Ebene, daher . Die Geschwindigkeit der Translationsbewegung υp ändert sich nicht, daher ist die Rotationswinkelgeschwindigkeit der Scheibe konstant und die Punkte der Scheibe haben nur eine Zentripetalbeschleunigung, die auf die Mitte der Scheibe gerichtet ist. Da sich das Koordinatensystem ohne Beschleunigung (mit konstanter Geschwindigkeit υ n) bewegt, sind in einem festen Koordinatensystem die Beschleunigungen der Scheibenpunkte gleich.

Wenden wir uns nun Problemen zur Dynamik der Drehbewegung zu. Betrachten wir zunächst den einfachsten Fall, bei dem die Bewegung auf einem Kreis mit konstanter Geschwindigkeit erfolgt. Da die Beschleunigung des Körpers zum Zentrum gerichtet ist, muss auch die Vektorsumme aller auf den Körper wirkenden Kräfte zum Zentrum gerichtet sein, und zwar gemäß dem zweiten Newtonschen Gesetz.

Es sollte daran erinnert werden, dass die rechte Seite dieser Gleichung nur reale Kräfte enthält, die von anderen Körpern auf einen bestimmten Körper wirken. Nein Zentripetalkraft tritt nicht auf, wenn man sich im Kreis bewegt. Dieser Begriff wird einfach verwendet, um die Resultierende von Kräften zu bezeichnen, die auf einen Körper wirken, der sich im Kreis bewegt. Hinsichtlich Zentrifugalkraft, dann entsteht sie nur bei der Beschreibung der Bewegung entlang eines Kreises in einem nicht-trägen (rotierenden) Koordinatensystem. Wir werden hier den Begriff der Zentripetal- und Zentrifugalkraft überhaupt nicht verwenden.

Aufgabe 4. Bestimmen Sie den kleinsten Krümmungsradius der Straße, den das Auto mit einer Geschwindigkeit von υ = 70 km/h passieren kann, und den Reifenreibwert auf der Straße k =0,3.

R = m g, Straßenreaktionskraft N und Reibungskraft F tr zwischen den Reifen des Autos und der Straße. Kräfte R und N senkrecht gerichtet und gleich groß: P = N. Die Reibungskraft, die das Rutschen („Schleudern“) des Autos verhindert, ist auf die Kurvenmitte gerichtet und bewirkt eine Zentripetalbeschleunigung: . Der Maximalwert der Reibungskraft F tr max = k· N = k· m g, daher wird aus der Gleichung der minimale Wert des Radius des Kreises bestimmt, auf dem man sich noch mit einer Geschwindigkeit υ bewegen kann. Von hier (m).

Straßenreaktionskraft N Wenn sich das Auto im Kreis bewegt, passiert es nicht den Schwerpunkt des Autos. Dies liegt daran, dass sein Moment relativ zum Schwerpunkt das zum Umkippen des Autos neigende Reibungsmoment kompensieren muss. Die Größe der Reibungskraft ist umso größer, je größer die Geschwindigkeit des Autos ist. Ab einer bestimmten Geschwindigkeit übersteigt das Moment der Reibungskraft das Moment der Reaktionskraft und das Auto kippt um.

Aufgabe 5. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein Auto auf einem Kreisbogen R= 130 m, kann umkippen? Der Schwerpunkt des Fahrzeugs liegt auf einer Höhe h= 1 m über Straße, Fahrzeugspurweite l= 1,5 m (Bild 4).

Zum Zeitpunkt des Umkippens des Autos als Reaktionskraft der Straße N, und die Reibungskraft F mp sind am "äußeren" Rad befestigt. Wenn sich ein Auto mit der Geschwindigkeit υ im Kreis bewegt, wirkt auf es eine Reibungskraft. Diese Kraft erzeugt ein Moment um den Schwerpunkt des Fahrzeugs. Das maximale Moment der Reaktionskraft der Straße N = m g relativ zum Schwerpunkt ist (im Moment des Umkippens geht die Reaktionskraft durch das kurvenäußere Rad). Durch Gleichsetzen dieser Momente finden wir die Gleichung für die Höchstgeschwindigkeit, bei der das Auto noch nicht umkippen wird:

Von wo ≈ 30 m/s ≈ 110 km/h.

Damit sich ein Auto mit einer solchen Geschwindigkeit bewegt, ist ein Reibungskoeffizient erforderlich (siehe vorherige Aufgabe).

Eine ähnliche Situation tritt beim Wenden eines Motorrads oder Fahrrads auf. Die Reibungskraft, die die Zentripetalbeschleunigung erzeugt, hat ein Moment um den Schwerpunkt herum, das dazu neigt, das Motorrad umzuwerfen. Um dieses Moment durch das Moment der Reaktionskraft der Straße zu kompensieren, lehnt sich der Motorradfahrer daher in Richtung der Kurve (Abb. 5).

Aufgabe 6. Ein Motorradfahrer fährt mit einer Geschwindigkeit von υ = 70 km/h auf einer waagerechten Straße und macht dabei eine Kurve mit Radius R\u003d 100 m. In welchem ​​​​Winkel α zum Horizont sollte er kippen, um nicht zu fallen?

Die Reibungskraft zwischen dem Motorrad und der Straße, da sie dem Motorradfahrer eine Zentripetalbeschleunigung verleiht. Straßenreaktionskraft N = m g. Die Bedingung der Gleichheit der Momente der Reibungskraft und der Reaktionskraft relativ zum Schwerpunkt ergibt die Gleichung: F tp l sinα = N· l cos α, wo l- Distanz OA vom Schwerpunkt zur Spur des Motorrads (siehe Abb. 5).

Ersetzen Sie hier die Werte F tp und N, etwas finden oder . Beachten Sie, dass die Resultierende der Kräfte N und F tp geht bei diesem Neigungswinkel des Motorrads durch den Schwerpunkt, wodurch sichergestellt wird, dass das Gesamtkraftmoment gleich Null ist N und F tp .

Um die Bewegungsgeschwindigkeit entlang der Straßenrundung zu erhöhen, wird der Straßenabschnitt an der Kurve geneigt gemacht. Gleichzeitig ist zusätzlich zur Reibungskraft auch die Reaktionskraft der Straße an der Erzeugung der Zentripetalbeschleunigung beteiligt.

Aufgabe 7. Mit welcher maximalen Geschwindigkeit υ kann sich ein Auto auf einer geneigten Strecke mit einem Neigungswinkel α mit einem Krümmungsradius bewegen? R und Reibungskoeffizient der Reifen auf der Straße k?

Auf das Auto wirkt die Schwerkraft m g, Reaktionskraft N, senkrecht zur Gleisebene gerichtet, und der Reibungskraft F tp entlang der Strecke gerichtet (Abb. 6).

Da uns in diesem Fall die auf den Wagen wirkenden Kräftemomente nicht interessieren, haben wir alle auf den Schwerpunkt des Wagens wirkenden Kräfte gezeichnet. Die Vektorsumme aller Kräfte muss auf den Mittelpunkt des Kreises gerichtet sein, auf dem sich das Auto bewegt, und ihm eine Zentripetalbeschleunigung verleihen. Daher ist die Summe der Projektionen der Kräfte auf die Richtung zum Zentrum (horizontale Richtung) , das heißt

Die Summe der Projektionen aller Kräfte auf die vertikale Richtung ist Null:

N cos α - m g – F tp sinα = 0.

Setzen Sie in diese Gleichungen den maximal möglichen Wert der Reibungskraft ein F tp = kN und Gewalt ausschließen N, finden Sie die Höchstgeschwindigkeit , mit dem man sich noch auf einer solchen Strecke bewegen kann. Dieser Ausdruck ist immer größer als der einer horizontalen Straße entsprechende Wert.

Nachdem wir uns mit der Rotationsdynamik befasst haben, gehen wir zu Problemen für Rotationsbewegungen in der vertikalen Ebene über.

Aufgabe 8. Massenauto m= 1,5 t bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von υ = 70 km/h entlang der in Bild 7 dargestellten Straße. Straßenabschnitte AB und Sonne können als Bögen von Kreisen mit Radius betrachtet werden R= 200 m berühren sich an einem Punkt BEIM. Bestimmen Sie die Druckkraft des Autos auf der Straße in Punkten SONDERN und Mit. Wie ändert sich die Druckkraft, wenn ein Auto einen Punkt passiert? BEIM?

Am Punkt SONDERN Auf das Auto wirkt die Schwerkraft R = m g und Straßenreaktionskraft N / A. Die Vektorsumme dieser Kräfte muss zum Kreismittelpunkt, also senkrecht nach unten, gerichtet sein und eine Zentripetalbeschleunigung erzeugen: , woher (H). Die Druckkraft des Autos auf der Fahrbahn ist gleich groß und entgegengesetzt gerichtet zur Reaktionskraft. Am Punkt Mit die Vektorsumme der Kräfte ist senkrecht nach oben gerichtet: und (H). Also an der Stelle SONDERN die Druckkraft ist kleiner als die Schwerkraft und an einem Punkt Mit- mehr.

Am Punkt BEIM Das Auto bewegt sich von einem konvexen Abschnitt der Straße zu einem konkaven Abschnitt (oder umgekehrt). Beim Befahren einer konvexen Strecke muss die Projektion der Schwerkraft in Richtung Mitte die Reaktionskraft der Fahrbahn übersteigen NB 1 und . Beim Fahren auf einem konkaven Abschnitt der Straße dagegen die Reaktionskraft der Straße N B 2 übertrifft die Projektion der Schwerkraft: .

Aus diesen Gleichungen erhalten wir das beim Durchgang durch den Punkt BEIM die Druckkraft des Autos auf der Fahrbahn ändert sich schlagartig um einen Wert von ≈ 6·10 3 N. Natürlich wirken solche Stoßbelastungen sowohl auf das Auto als auch auf die Fahrbahn zerstörerisch. Daher versuchen Straßen und Brücken immer, ihre Krümmung sanft zu ändern.

Wenn sich ein Auto mit konstanter Geschwindigkeit auf einem Kreis bewegt, muss die Summe der Projektionen aller Kräfte auf die Richtung, die den Kreis tangiert, gleich Null sein. In unserem Fall wird die tangentiale Komponente der Schwerkraft durch die Reibungskraft zwischen den Rädern des Autos und der Straße ausgeglichen.

Die Größe der Reibungskraft wird durch das vom Motor auf die Räder ausgeübte Drehmoment gesteuert. Dieses Moment neigt dazu, die Räder dazu zu bringen, relativ zur Straße zu rutschen. Daher entsteht eine Reibungskraft, die ein Durchrutschen verhindert und proportional zum aufgebrachten Moment ist. Der Maximalwert der Reibungskraft ist kN, wo k ist der Reibungskoeffizient zwischen den Reifen des Autos und der Straße, N- Druckkraft auf der Straße. Bei der Abwärtsbewegung des Autos spielt die Reibungskraft die Rolle einer Bremskraft und bei der Aufwärtsbewegung dagegen die Rolle der Zugkraft.

Aufgabe 9. Fahrzeugmasse m= 0,5 t, die sich mit einer Geschwindigkeit von υ = 200 km/h bewegt, bildet eine "tote Schleife" mit Radius R= 100 m (Bild 8). Bestimmen Sie die Druckkraft des Autos auf der Straße am oberen Ende der Schleife SONDERN; am Punkt BEIM, dessen Radiusvektor mit der Vertikalen einen Winkel α = 30º bildet; am Punkt Mit wo die Geschwindigkeit des Autos vertikal gerichtet ist. Ist es möglich, dass sich ein Auto mit einer so konstanten Geschwindigkeit mit einem Reifenreibungskoeffizienten auf der Straße auf einer Schleife bewegt? k = 0,5?

An der Spitze der Schleife die Schwerkraft und die Reaktionskraft der Straße N / A senkrecht nach unten gerichtet. Die Summe dieser Kräfte erzeugt eine Zentripetalbeschleunigung: . So N.

Die Druckkraft des Autos auf der Fahrbahn ist gleich groß und entgegengesetzt gerichtet zur Kraft N / A.

Am Punkt BEIM Die Zentripetalbeschleunigung entsteht aus der Summe der Reaktionskraft und der Projektion der Schwerkraft auf die Richtung zum Zentrum: . Von hier N.

Das ist leicht zu sehen NB > N / A; wenn der Winkel &agr; zunimmt, nimmt die Reaktionskraft der Straße zu.

Am Punkt Mit Reaktionskraft H; Die Zentripetalbeschleunigung an diesem Punkt wird nur durch die Reaktionskraft erzeugt, und die Schwerkraft ist tangential gerichtet. Wenn Sie sich entlang des unteren Teils der Schleife bewegen, überschreitet die Reaktionskraft ebenfalls den Maximalwert H Reaktionskraft hat an der Stelle D. Bedeutung ist also der Mindestwert der Reaktionskraft.

Die Geschwindigkeit des Autos ist konstant, wenn die Tangentialkomponente der Schwerkraft die maximale Reibungskraft nicht überschreitet kN an allen Punkten in der Schleife. Diese Bedingung ist sicherlich erfüllt, wenn der Mindestwert den Maximalwert der Tangentialkomponente der Gewichtskraft überschreitet. In unserem Fall ist dieser Maximalwert gleich m g(es wird an dem Punkt erreicht Mit) und die Bedingung für erfüllt ist k= 0,5, υ = 200 km/h, R= 100m.

Somit ist in unserem Fall die Bewegung des Autos entlang der "toten Schleife" mit konstanter Geschwindigkeit möglich.

Betrachten Sie nun die Bewegung des Autos entlang der "toten Schleife" bei ausgeschaltetem Motor. Wie bereits erwähnt, wirkt normalerweise das Moment der Reibungskraft dem vom Motor auf die Räder ausgeübten Moment entgegen. Wenn sich das Auto mit ausgeschaltetem Motor bewegt, fehlt dieser Moment, und die Reibungskraft zwischen den Rädern des Autos und der Straße kann vernachlässigt werden.

Die Geschwindigkeit des Autos ist nicht mehr konstant - die tangentiale Komponente der Schwerkraft verlangsamt oder beschleunigt die Bewegung des Autos entlang der "toten Schleife". Auch die Zentripetalbeschleunigung ändert sich. Sie wird wie üblich durch die resultierende Reaktionskraft der Straße und die Projektion der Schwerkraft auf die Richtung zum Zentrum der Schleife erzeugt.

Aufgabe 10. Welche Mindestgeschwindigkeit sollte das Auto am Ende der Schleife haben? D(siehe Abb. 8), um es bei ausgeschaltetem Motor zu machen? Wie hoch wird die Druckkraft des Autos auf der Straße zu diesem Zeitpunkt sein? BEIM? Schleifenradius R= 100 m, Fahrzeuggewicht m= 0,5 t.

Mal sehen, was die Mindestgeschwindigkeit ist, die das Auto am Ende der Schleife haben kann SONDERN im Kreis weitergehen?

Die Zentripetalbeschleunigung an diesem Punkt auf der Straße wird durch die Summe der Schwerkraft und der Reaktionskraft der Straße erzeugt . Je niedriger die Geschwindigkeit des Autos ist, desto geringer ist die Reaktionskraft. N / A. Bei einem Wert verschwindet diese Kraft. Bei einer niedrigeren Geschwindigkeit übersteigt die Schwerkraft den Wert, der zum Erzeugen einer Zentripetalbeschleunigung erforderlich ist, und das Auto hebt von der Straße ab. Bei Geschwindigkeit verschwindet die Reaktionskraft der Straße nur am oberen Ende der Schleife. Tatsächlich wird die Geschwindigkeit des Autos in anderen Abschnitten der Schleife größer sein, und wie aus der Lösung des vorherigen Problems leicht ersichtlich ist, wird auch die Reaktionskraft der Straße größer sein als an diesem Punkt SONDERN. Wenn also das Auto am oberen Ende der Schleife Geschwindigkeit hat, wird es die Schleife nirgendwo verlassen.

Jetzt legen wir fest, welche Geschwindigkeit das Auto am Ende der Schleife haben soll D bis zum oberen Rand der Schleife SONDERN seine Geschwindigkeit. Um die Geschwindigkeit υ zu finden D Sie können den Energieerhaltungssatz anwenden, als würde sich das Auto nur unter dem Einfluss der Schwerkraft bewegen. Tatsache ist, dass die Reaktionskraft der Straße in jedem Moment senkrecht zur Bewegung des Autos gerichtet ist und daher ihre Arbeit Null ist (denken Sie daran, dass die Arbeit Δ EIN = F·Δ s cos α, wobei α der Winkel zwischen der Kraft ist F und Bewegungsrichtung Δ s). Die Reibungskraft zwischen den Rädern des Autos und der Straße beim Fahren mit ausgeschaltetem Motor kann vernachlässigt werden. Daher ändert sich die Summe aus potentieller und kinetischer Energie des Autos beim Fahren mit ausgeschaltetem Motor nicht.

Lassen Sie uns die Werte der Energie des Autos an den Punkten gleichsetzen SONDERN und D. In diesem Fall zählen wir die Höhe von der Höhe des Punktes D, das heißt, die potenzielle Energie des Autos an diesem Punkt wird als gleich Null angesehen. Dann bekommen wir

Setzen Sie hier den Wert für die gewünschte Geschwindigkeit υ ein D, finden wir: ≈ 70 m/s ≈ 260 km/h.

Wenn das Auto mit dieser Geschwindigkeit in die Schleife einfährt, kann es sie mit ausgeschaltetem Motor beenden.

Lassen Sie uns nun bestimmen, mit welcher Kraft das Auto an der Stelle auf die Straße drücken wird BEIM. Fahrzeuggeschwindigkeit am Punkt BEIM wieder ist es leicht aus dem Energieerhaltungssatz zu finden:

Wenn wir den Wert hier ersetzen, finden wir, dass die Geschwindigkeit .

Unter Verwendung der Lösung des vorherigen Problems finden wir für eine gegebene Geschwindigkeit die Druckkraft an dem Punkt B:

Ebenso findet man die Druckkraft an jedem anderen Punkt der „Totschleife“.

Übungen

1. Finden Sie die Winkelgeschwindigkeit eines künstlichen Erdsatelliten, der sich auf einer Kreisbahn mit einer Umlaufperiode dreht T= 88min. Finden Sie die lineare Geschwindigkeit dieses Satelliten, wenn bekannt ist, dass sich seine Umlaufbahn in einiger Entfernung befindet R= 200 km von der Erdoberfläche entfernt.

2. Scheibenradius R zwischen zwei parallelen Stäben platziert. Die Schienen bewegen sich mit Geschwindigkeiten υ 1 und υ 2. Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe und die Geschwindigkeit ihres Zentrums. Es gibt keinen Schlupf.

3. Die Scheibe rollt auf einer horizontalen Fläche, ohne zu rutschen. Zeigen Sie, dass die Enden der Geschwindigkeitsvektoren der vertikalen Durchmesserpunkte auf derselben Geraden liegen.

4. Das Flugzeug bewegt sich im Kreis mit einer konstanten Horizontalgeschwindigkeit υ = 700 km/h. Radius definieren R dieser Kreis, wenn der Rumpf des Flugzeugs um einen Winkel α = 5° geneigt ist.

5. Massenbelastung m\u003d 100 g, an einem langen Faden aufgehängt l= 1 m, dreht sich in einer horizontalen Ebene gleichmäßig im Kreis. Ermitteln Sie die Rotationsdauer der Last, wenn der Faden bei seiner Rotation um einen Winkel α = 30° vertikal ausgelenkt wird. Bestimmen Sie auch die Spannung des Fadens.

6. Das Auto bewegt sich mit einer Geschwindigkeit υ = 80 km/h entlang der Innenfläche eines senkrechten Zylinders mit Radius R= 10 m in einem horizontalen Kreis. Bei welchem ​​minimalen Reibungskoeffizienten zwischen den Reifen des Autos und der Oberfläche des Zylinders ist dies möglich?

7. Massenbelastung m an einem undehnbaren Faden aufgehängt, dessen maximal mögliche Spannung 1,5 beträgt m g. Bei welchem ​​maximalen Winkel α darf der Faden aus der Senkrechten ausgelenkt werden, damit der Faden bei der Weiterbewegung der Last nicht reißt? Welche Spannung hat der Faden in dem Moment, in dem der Faden mit der Senkrechten einen Winkel α/2 bildet?

Antworten

I. Winkelgeschwindigkeit eines künstlichen Erdsatelliten ≈ 0,071 rad/s. Lineargeschwindigkeit des Satelliten υ = ω· R. wo R ist der Radius der Umlaufbahn. Hier ersetzen R = R 3 + h, wo R 3 ≈ 6400 km, finden wir υ ≈ 467 km/s.

2. Hier sind zwei Fälle möglich (Abb. 1). Wenn die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe ω und die Geschwindigkeit ihres Zentrums υ ist, dann sind die Geschwindigkeiten der mit den Schienen in Kontakt stehenden Punkte jeweils gleich

im Fall a) υ 1 = υ + ω R, υ 2 = υ – ω R;

im Fall b) υ 1 = υ + ω R, υ 2 = ω R – υ.

(Wir haben zur Eindeutigkeit angenommen, dass υ 1 > υ 2). Beim Lösen dieser Systeme finden wir:

a)

b)

3. Geschwindigkeit von jedem Punkt M auf dem Segment liegen OV(siehe Abb. 2) ergibt sich aus der Formel υ M = υ + ω· rM, wo rM- Entfernung vom Punkt M in die Mitte der Scheibe Ö. Für jeden Punkt N Zugehörigkeit zum Segment OA, haben wir: υ N = υ – ω· rN, wo r N- Entfernung vom Punkt N in die Mitte. Bezeichne mit ρ den Abstand von jedem Punkt des Durchmessers VA auf den Punkt SONDERN Kontakt der Scheibe mit der Ebene. Dann ist das klar rM = ρ – R und r N = R – ρ = –(ρ – R). wo R ist der Scheibenradius. Daher die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes auf dem Durchmesser VA ergibt sich aus der Formel: υ ρ = υ + ω (ρ – R). Da die Scheibe ohne Schlupf abrollt, erhalten wir für die Geschwindigkeit υ ρ υ ρ = ω · ρ. Daraus folgt, dass die Enden der Geschwindigkeitsvektoren auf der vom Punkt ausgehenden Geraden liegen SONDERN und zum Durchmesser geneigt VA in einem Winkel proportional zur Drehwinkelgeschwindigkeit der Scheibe ω.

Die bewiesene Aussage lässt den Schluss zu, dass sich die komplexe Bewegung von Punkten auf dem Durchmesser befindet VA, kann zu jedem Zeitpunkt als einfache Drehung um einen festen Punkt betrachtet werden SONDERN mit einer Winkelgeschwindigkeit ω gleich der Rotationswinkelgeschwindigkeit um den Mittelpunkt der Scheibe. Tatsächlich sind die Geschwindigkeiten dieser Punkte in jedem Moment senkrecht zum Durchmesser gerichtet VA, und sind betragsmäßig gleich dem Produkt aus ω und der Entfernung zum Punkt SONDERN.

Es stellt sich heraus, dass diese Aussage für jeden Punkt auf der Scheibe gilt. Darüber hinaus ist es eine allgemeine Regel. Bei jeder Bewegung eines starren Körpers gibt es in jedem Moment eine Achse, um die sich der Körper einfach dreht - die momentane Rotationsachse.

4. Das Flugzeug wird durch die Schwerkraft beeinflusst (siehe Abb. 3). R = m g und Auftriebskraft N, senkrecht zur Flügelebene gerichtet (da sich das Flugzeug mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, gleichen sich Schubkraft und Widerstandskraft der Luft aus). Resultierende Kraft R

6. Das Auto wird durch die Schwerkraft beeinflusst (Abb. 5). R = m g, die Reaktionskraft von der Seite des Zylinders N und Reibungskraft F tp . Da sich das Auto in einem horizontalen Kreis bewegt, werden die Kräfte R und F tp balancieren sich gegenseitig und die Kraft N erzeugt Zentripetalbeschleunigung. Der Maximalwert der Reibungskraft steht in Beziehung zur Reaktionskraft N Verhältnis: F tp = kN. Als Ergebnis erhalten wir ein Gleichungssystem: , woraus sich der Mindestwert des Reibungskoeffizienten ergibt

7. Die Last bewegt sich in einem Radiuskreis l(Abb. 6). Die Zentripetalbeschleunigung der Last (υ - die Geschwindigkeit der Last) wird durch die Differenz der Werte der Fadenspannungskraft erzeugt T und Schwerkraftprojektionen m g Gewinderichtung: . So , wobei β der Winkel ist, den das Gewinde mit der Vertikalen bildet. Beim Absenken der Last nimmt ihre Geschwindigkeit zu und der Winkel β ab. Die Fadenspannung wird maximal beim Winkel β = 0 (in dem Moment, in dem der Faden senkrecht steht): . Die maximale Geschwindigkeit der Last υ 0 ergibt sich aus dem Winkel α, um den der Faden ausgelenkt wird, aus dem Energieerhaltungssatz:

Unter Verwendung dieses Verhältnisses erhalten wir für den Maximalwert der Fadenspannung die Formel: T maximal = m g(3 – 2 cos α). Je nach Aufgabe T max = 2m g. Wenn wir diese Ausdrücke gleichsetzen, finden wir cos α = 0,5 und daher α = 60°.

Bestimmen wir nun die Spannung des Fadens bei . Die Geschwindigkeit der Last in diesem Moment ergibt sich auch aus dem Energieerhaltungssatz:

Setzen wir den Wert von υ 1 in die Formel für die Zugkraft ein, finden wir: