Redaktionelle Antwort

Michael Francis Atiyah, Professor an den Universitäten Oxford, Cambridge und Edinburgh und Gewinner von fast einem Dutzend prestigeträchtiger Auszeichnungen in Mathematik, präsentierte einen Beweis der Riemann-Hypothese, eines der sieben Millenniumsprobleme, das beschreibt, wie Primzahlen auf dem Zahlenstrahl liegen .

Atiyahs Beweis ist kurz und nimmt zusammen mit der Einleitung und der Bibliographie fünf Seiten ein. Der Wissenschaftler behauptet, er habe eine Lösung für die Hypothese gefunden, indem er die Probleme im Zusammenhang mit der Feinstrukturkonstante analysiert und die Todd-Funktion als Werkzeug verwendet habe. Hält die Wissenschaftsgemeinde den Beweis für richtig, erhält der Brite dafür vom Clay Mathematics Institute (Clay Mathematics Institute, Cambridge, Massachusetts) eine Million Dollar.

Auch andere Wissenschaftler buhlen um den Preis. 2015 verkündete er die Lösung der Riemann-Hypothese Professor für Mathematik Opeyemi Henoch aus Nigeria und legte 2016 seinen Beweis für die Hypothese vor Der russische Mathematiker Igor Turkanov. Nach Angaben von Vertretern des Instituts für Mathematik muss die Leistung für die Anerkennung in einer maßgeblichen internationalen Fachzeitschrift veröffentlicht werden, gefolgt von einer Bestätigung des Nachweises durch die wissenschaftliche Gemeinschaft.

Was ist die Essenz der Hypothese?

Die Hypothese wurde bereits 1859 vom Deutschen formuliert Mathematiker Bernhard Riemann. Er definierte eine Formel, die sogenannte Zeta-Funktion, für die Anzahl der Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze. Der Wissenschaftler fand heraus, dass es kein Muster gibt, das beschreiben würde, wie oft Primzahlen in der Zahlenreihe vorkommen, während er herausfand, dass die Anzahl der Primzahlen diese nicht überschreitet x, wird durch die Verteilung der sogenannten "nicht-trivialen Nullstellen" der Zeta-Funktion ausgedrückt.

Riemann war von der Richtigkeit der abgeleiteten Formel überzeugt, konnte aber nicht feststellen, auf welcher einfachen Aussage diese Verteilung vollständig beruht. Als Ergebnis stellte er die Hypothese auf, dass alle nichttrivialen Nullstellen der Zeta-Funktion einen Realteil gleich ½ haben und auf der vertikalen Linie Re=0,5 der komplexen Ebene liegen.

Der Beweis bzw. die Widerlegung der Riemann-Hypothese sei sehr wichtig für die Theorie der Verteilung der Primzahlen, sagt er Doktorand der Fakultät für Mathematik der Wirtschaftshochschule Alexander Kalmynin. „Die Riemann-Hypothese ist eine Aussage, die einer Formel für die Anzahl der Primzahlen entspricht, die eine gegebene Zahl nicht überschreitet x. Mit einer Hypothese können Sie beispielsweise schnell und mit großer Genauigkeit die Anzahl der Primzahlen berechnen, die beispielsweise 10 Mrd. nicht überschreiten.Dies ist nicht der einzige Wert der Hypothese, da sie auch eine ziemlich große Anzahl hat -erreichende Verallgemeinerungen, die als verallgemeinerte Riemann-Hypothese, erweiterte Riemann-Hypothese und große Riemann-Hypothese bekannt sind. Sie sind sogar noch wichtiger für verschiedene Zweige der Mathematik, aber zunächst einmal wird die Bedeutung einer Hypothese durch die Theorie der Primzahlen bestimmt“, sagt Kalmynin.

Laut dem Experten ist es mit Hilfe einer Hypothese möglich, eine Reihe klassischer Probleme der Zahlentheorie zu lösen: Gauß-Probleme zu quadratischen Körpern (das Problem der zehnten Diskriminante), Eulers Probleme zu bequemen Zahlen, Vinogradovs Vermutung zur Quadratik Nichtreste usw. In der modernen Mathematik wird diese Hypothese verwendet, um Aussagen über Primzahlen zu beweisen. „Wir gehen sofort davon aus, dass eine starke Hypothese wie die Riemann-Hypothese wahr ist, und sehen, was passiert. Wenn wir Erfolg haben, fragen wir uns: Können wir es beweisen, ohne eine Hypothese anzunehmen? Und obwohl eine solche Aussage immer noch jenseits dessen ist, was wir erreichen können, wirkt sie wie ein Leuchtfeuer. Aufgrund der Tatsache, dass es eine solche Hypothese gibt, können wir sehen, wohin wir gehen“, sagt Kalmynin.

Der Beweis der Hypothese kann sich auch auf die Verbesserung der Informationstechnologie auswirken, da die Prozesse der Verschlüsselung und Kodierung heute von der Wirksamkeit verschiedener Algorithmen abhängen. „Wenn wir zwei einfache große Zahlen mit vierzig Ziffern nehmen und multiplizieren, erhalten wir eine große achtzigstellige Zahl. Wenn wir die Aufgabe stellen, diese Zahl zu faktorisieren, dann wird dies eine sehr komplexe Rechenaufgabe, auf deren Grundlage viele Informationssicherheitsfragen aufgebaut sind. Alle bestehen darin, verschiedene Algorithmen zu erstellen, die an die Komplexität dieser Art gebunden sind “, sagt Kalmynin.

Die 15-zeilige Lösung wurde von dem berühmten britischen Wissenschaftler Sir Michael Francis Atiyah ( Michael Francis Atiyah), Gewinner renommierter mathematischer Auszeichnungen. Er arbeitet hauptsächlich auf dem Gebiet der mathematischen Physik. Wissenschaft berichtet, dass Atiyah auf einer Konferenz über seine Entdeckung sprach Heidelberg Laureate Forum an der Universität Heidelberg am Montag.

Die Riemann-Hypothese wurde, wie Sie sich vorstellen können, 1859 von Bernhard Riemann formuliert. Der Mathematiker hat das Konzept der Zeta-Funktion – einer Funktion für eine komplexe Variable – eingeführt und damit die Verteilung von Primzahlen beschrieben. Das ursprüngliche Problem mit Primzahlen war, dass sie einfach ohne erkennbares Muster über eine Reihe natürlicher Zahlen verteilt sind. Riemann schlug seine Verteilungsfunktion für Primzahlen vor, die x nicht überschreiten, aber er konnte nicht erklären, warum die Abhängigkeit auftritt. Wissenschaftler kämpfen seit fast 150 Jahren um die Lösung dieses Problems.

Die Riemann-Hypothese ist in der Liste der "" (Millennium Prize Problems) enthalten, für deren Lösung jeweils eine Millionen-Dollar-Belohnung fällig ist. Von diesen Problemen ist nur eines gelöst worden – die Poincare-Vermutung. Seine Lösung wurde bereits 2002 von einem russischen Mathematiker in einer Reihe seiner Arbeiten vorgeschlagen. 2010 erhielt der Wissenschaftler den Preis, den er jedoch ablehnte.

Michael Atiyah behauptet, Riemanns Muster erklärt zu haben. Bei seinem Beweis stützt sich der Mathematiker auf die fundamentale physikalische Konstante – die Feinstrukturkonstante, die die Stärke und Art der elektromagnetischen Wechselwirkungen zwischen geladenen Teilchen beschreibt. Atiyah beschrieb diese Konstante mit der relativ obskuren Todd-Funktion und fand eine Lösung für die Riemann-Hypothese durch Widerspruch.

Die wissenschaftliche Gemeinschaft hat es nicht eilig, den vorgeschlagenen Beweis zu akzeptieren. Zum Beispiel ein Ökonom von der Norwegischen Universität für Wissenschaft und Technologie Jørgen Visdal ( Jörgen Veisdal), der zuvor die Riemann-Hypothese studiert hatte, erklärte, dass Atiyahs Lösung "zu vage und unsicher" sei. Der Wissenschaftler muss die schriftlichen Beweise genauer studieren, um zu Schlussfolgerungen zu kommen. Atiyahs Kollegen kontaktiert Wissenschaft, merkten auch an, dass sie die vorgestellte Lösung nicht für erfolgreich halte, da sie auf wackeligen Assoziationen basiere. Der mathematische Physiker John Baez von der UC Riverside ( John Baez) und erklärte sogar, dass Atiyahs Beweis „einfach eine beeindruckende Behauptung einer anderen auferlegt, ohne Argumente dafür oder echte Rechtfertigungen“.

Michael Atiyah selbst glaubt, dass seine Arbeit die Grundlage dafür legt, nicht nur die Riemann-Hypothese, sondern auch andere ungelöste Probleme der Mathematik zu beweisen. Kritik sagt er: "Die Leute werden sich beschweren und schimpfen, aber das liegt daran, dass sie nicht mit der Idee einverstanden sind, dass der alte Mann eine ganz neue Methode entwickeln könnte."

Interessanterweise hat der Wissenschaftler in der Vergangenheit bereits ähnlich hochkarätige Äußerungen getätigt und sich Kritik ausgesetzt. Im Jahr 2017 sagte Atiyah der Londoner Ausgabe Die Zeiten dass er den 255 Seiten langen Feit-Thompson- oder Odd-Order-Theorem, der 1963 bewiesen wurde, auf 12 Seiten reduzierte. Der Mathematiker schickte seinen Beweis an 15 Experten, aber sie gaben der Arbeit nie positive Noten, und infolgedessen wurde sie in keiner wissenschaftlichen Zeitschrift veröffentlicht. Ein Jahr zuvor hatte Atiyah die Lösung eines bekannten Problems in der Differentialgeometrie angekündigt. Einen Preprint des Artikels mit dieser Lösung veröffentlichte der Wissenschaftler auf ArXiv.org. Bald wiesen Kollegen auf eine Reihe von Ungenauigkeiten in der Arbeit hin, und die Volltextversion des Artikels wurde nie veröffentlicht.

Diese Fehler stützen nun weitgehend die Skepsis der wissenschaftlichen Gemeinschaft gegenüber dem Beweis der Riemann-Hypothese. Atiye muss auf die Bewertung des Clay Institute warten, das Auszeichnungen für die Lösung der „Jahrtausendprobleme“ vergibt. Den Beweis des Mathematikers können Sie vorerst unter dem Link zu Google Drive lesen, den er selbst öffentlich gepostet hat.

Hallo habralyudi!

Heute möchte ich ein Thema wie die „Jahrtausendaufgaben“ ansprechen, die die besten Köpfe unseres Planeten seit Jahrzehnten, manche sogar Jahrhunderte beschäftigen.

Nach dem Beweis der Vermutung (jetzt Theorem) von Poincaré durch Grigory Perelman war die Hauptfrage, die viele interessierte: „ Und was hat er tatsächlich bewiesen, an Ihren Fingern erklärt?» Ich werde die Gelegenheit nutzen und versuchen, die anderen Aufgaben des Jahrtausends an meinen Fingern zu erklären oder zumindest von einer anderen Seite näher an die Realität heranzugehen.

Gleichheit der Klassen P und NP

Wir alle kennen quadratische Gleichungen aus der Schule, die durch die Diskriminante gelöst werden. Die Lösung für dieses Problem ist Klasse P (P Olympiazeit)- dafür gibt es einen schnellen Lösungsalgorithmus (im Folgenden bedeutet "schnell" eine Ausführung in polynomieller Zeit), der gespeichert wird.

Es gibt auch NP-Aufgaben ( N on-deterministisch P Olympiazeit), deren gefundene Lösung mit einem bestimmten Algorithmus schnell überprüft werden kann. Überprüfen Sie zum Beispiel mit einem Brute-Force-Computer. Wenn wir zur Lösung der quadratischen Gleichung zurückkehren, werden wir sehen, dass in diesem Beispiel der vorhandene Lösungsalgorithmus genauso einfach und schnell überprüft wird, wie er gelöst wird. Daraus ergibt sich eine logische Schlussfolgerung, dass diese Aufgabe sowohl der einen als auch der zweiten Klasse angehört.

Es gibt viele solcher Aufgaben, aber die Hauptfrage ist, ob alle Aufgaben, die einfach und schnell überprüft werden können, auch einfach und schnell gelöst werden können? Nun wurde für einige Probleme kein schneller Lösungsalgorithmus gefunden, und es ist nicht bekannt, ob eine solche Lösung überhaupt existiert.

Im Internet bin ich auch auf eine so interessante und transparente Formulierung gestoßen:

Nehmen wir an, Sie arbeiten in einem großen Unternehmen und möchten sicherstellen, dass Ihr Freund auch dort ist. Wenn Ihnen gesagt wird, dass er in der Ecke sitzt, reicht ein Bruchteil einer Sekunde, um sich mit einem Blick zu vergewissern, dass die Informationen wahr sind. In Ermangelung dieser Informationen sind Sie gezwungen, durch den gesamten Raum zu gehen und die Gäste anzusehen.

In diesem Fall ist die Frage immer noch die gleiche, gibt es einen solchen Aktionsalgorithmus, dank dessen Sie ihn auch ohne Informationen darüber, wo er sich befindet, so schnell finden, als ob er wüsste, wo er sich befindet.

Dieses Problem ist für verschiedene Wissensgebiete von großer Bedeutung, wurde aber seit mehr als 40 Jahren nicht gelöst.

Hodge-Hypothese

In Wirklichkeit gibt es viele einfache und viel komplexere geometrische Objekte. Je komplexer das Objekt ist, desto zeitaufwändiger wird es natürlich, es zu studieren. Jetzt haben Wissenschaftler einen Ansatz erfunden und verwenden ihn mit aller Macht, dessen Hauptidee es ist, einfach zu verwenden "Ziegel" mit bereits bekannten Eigenschaften, die zusammenhalten und sein Ebenbild bilden, ja, ein Designer, der jedem seit seiner Kindheit bekannt ist. Kennt man die Eigenschaften der „Bausteine“, wird es möglich, sich den Eigenschaften des Objekts selbst anzunähern.

Hodges Hypothese ist in diesem Fall mit einigen Eigenschaften sowohl von "Ziegeln" als auch von Objekten verbunden.

Riemann-Hypothese

Seit der Schule kennen wir alle Primzahlen, die nur durch sich selbst und durch Eins teilbar sind. (2,3,5,7,11...) . Seit der Antike versuchen die Menschen, ein Muster in ihrer Platzierung zu finden, aber das Glück hat bisher niemandem zugelächelt. Infolgedessen haben Wissenschaftler ihre Bemühungen auf die Primzahlverteilungsfunktion angewendet, die die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich einer bestimmten Zahl anzeigt. Zum Beispiel für 4 - 2 Primzahlen, für 10 - schon 4 Zahlen. Riemann-Hypothese legt nur die Eigenschaften dieser Verteilungsfunktion fest.

Viele Aussagen über die Rechenkomplexität einiger ganzzahliger Algorithmen werden unter der Annahme bewiesen, dass diese Vermutung wahr ist.

Yang-Mills-Theorie

Die Gleichungen der Quantenphysik beschreiben die Welt der Elementarteilchen. Die Physiker Yang und Mills, die die Verbindung zwischen Geometrie und Elementarteilchenphysik entdeckt hatten, schrieben ihre eigenen Gleichungen und kombinierten die Theorien elektromagnetischer, schwacher und starker Wechselwirkungen. Zu einer Zeit wurde die Yang-Mills-Theorie nur als mathematische Verfeinerung betrachtet, die nicht mit der Realität in Verbindung stand. Später begann die Theorie jedoch, experimentelle Bestätigung zu erhalten, aber im Allgemeinen bleibt sie immer noch ungelöst.

Auf Basis der Yang-Mills-Theorie wurde das Standardmodell der Elementarteilchenphysik aufgebaut, innerhalb dessen das sensationelle Higgs-Boson vorhergesagt und kürzlich entdeckt wurde.

Existenz und Glätte von Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

Flüssigkeitsströmung, Luftströmungen, Turbulenzen. Diese und viele andere Phänomene werden durch Gleichungen beschrieben, die als bekannt sind Navier-Stokes-Gleichungen. Für einige Spezialfälle wurden bereits Lösungen gefunden, bei denen in der Regel Teile der Gleichungen verworfen werden, da sie das Endergebnis nicht beeinflussen, aber im Allgemeinen sind die Lösungen dieser Gleichungen unbekannt, und es ist nicht einmal bekannt, wie sie zu lösen sind Sie.

Birch-Swinnerton-Dyer-Hypothese

Für die Gleichung x 2 + y 2 \u003d z 2 gab Euklid einmal eine vollständige Beschreibung der Lösungen, aber für komplexere Gleichungen wird das Finden von Lösungen äußerst schwierig, es reicht aus, sich an die Geschichte des Beweises von Fermats berühmtem Satz zu erinnern davon überzeugt sein.

Diese Hypothese ist mit der Beschreibung algebraischer Gleichungen 3. Grades verbunden - der sogenannten Elliptische Kurven und ist in der Tat die einzige relativ einfache allgemeine Methode zur Berechnung des Rangs, einer der wichtigsten Eigenschaften elliptischer Kurven.

Im Beweis Die Sätze von Fermat Elliptische Kurven haben einen der wichtigsten Plätze eingenommen. Und in der Kryptographie bilden sie einen ganzen Abschnitt des Namens selbst, und einige russische Standards für digitale Signaturen basieren auf ihnen.

Poincare-Vermutung

Ich denke, wenn nicht alle, dann haben die meisten von Ihnen definitiv davon gehört. Am häufigsten, auch in den zentralen Medien, findet sich eine solche Abschrift wie „ Ein über eine Kugel gespanntes Gummiband kann problemlos bis zu einem Punkt gezogen werden, ein über einen Donut gespanntes Gummiband jedoch nicht". Tatsächlich gilt diese Formulierung für Thurstons Vermutung, die die Poincaré-Vermutung verallgemeinert und die Perelman tatsächlich bewiesen hat.

Ein Spezialfall der Poincare-Vermutung sagt uns, dass jede dreidimensionale Mannigfaltigkeit ohne Grenzen (zum Beispiel das Universum) wie eine dreidimensionale Kugel ist. Und der allgemeine Fall übersetzt diese Aussage auf Objekte jeder Dimension. Es ist erwähnenswert, dass ein Donut, genau wie das Universum wie eine Kugel ist, wie eine gewöhnliche Kaffeetasse ist.

Fazit

Heutzutage wird Mathematik mit Wissenschaftlern in Verbindung gebracht, die ein seltsames Aussehen haben und über ebenso seltsame Dinge sprechen. Viele sprechen von ihrer Isolation von der realen Welt. Viele Menschen sowohl jüngeren als auch bewussten Alters sagen, dass Mathematik eine unnötige Wissenschaft ist, dass sie nach der Schule / dem Institut nirgendwo im Leben nützlich war.

Tatsächlich ist dies jedoch nicht der Fall – die Mathematik wurde als ein Mechanismus geschaffen, mit dem unsere Welt und insbesondere viele beobachtbare Dinge beschrieben werden können. Es ist überall, in jedem Haus. Als V.O. Klyuchevsky: „Es ist nicht die Schuld der Blumen, dass der Blinde sie nicht sieht.“

Unsere Welt ist weit davon entfernt, so einfach zu sein, wie es scheint, und dementsprechend wird auch die Mathematik komplexer, verbessert sich und bietet eine immer solidere Grundlage für ein tieferes Verständnis der bestehenden Realität.

Russischer Mathematiker hat am 3. Januar 2017 Beweise für die Riemann-Hypothese gefunden

Bernhard Riemann

Denken Sie daran, ich habe Ihnen davon erzählt. Unter ihnen war also die Riemann-Hypothese.

1859 entwickelte der deutsche Mathematiker Bernhard Riemann Eulers alte Idee völlig neu und definierte die sogenannte Zeta-Funktion. Ein Ergebnis dieser Arbeit war eine exakte Formel für die Anzahl der Primzahlen bis zu einer gegebenen Grenze. Die Formel war eine unendliche Summe, aber das ist Analysten nicht fremd. Und es war kein nutzloses Gedankenspiel: Dank dieser Formel war es möglich, neue echte Erkenntnisse über die Welt der Primzahlen zu gewinnen. Es gab nur ein kleines Problem. Obwohl Riemann beweisen konnte, dass seine Formel exakt war, hingen die wichtigsten potenziellen Implikationen davon vollständig von einer einfachen Aussage über die Zeta-Funktion ab, und es war diese einfache Aussage, die Riemann niemals beweisen konnte. Eineinhalb Jahrhunderte später haben wir es immer noch nicht geschafft.

Diese Aussage wird heute als Riemann-Hypothese bezeichnet und ist in der Tat der heilige Gral der reinen Mathematik, der scheinbar "gefunden" hat Russischer Mathematiker.

Dies kann bedeuten, dass die mathematische Weltwissenschaft kurz vor einem internationalen Ereignis steht.

Der Beweis bzw. die Widerlegung der Riemann-Hypothese wird weitreichende Folgen für die Zahlentheorie haben, insbesondere im Bereich der Verteilung von Primzahlen. Und dies kann sich auf die Verbesserung der Informationstechnologie auswirken.

Die Riemann-Hypothese ist eines der sieben Millenniumsprobleme, für deren Lösung das Clay Mathematics Institute (Cambridge, Massachusetts) jeweils eine Million US-Dollar belohnt.

So kann der Beweis der Vermutung den russischen Mathematiker bereichern.

Nach den ungeschriebenen Gesetzen der internationalen Wissenschaftswelt wird der Erfolg von Igor Turkanov erst einige Jahre später voll anerkannt. Seine Arbeiten wurden jedoch bereits auf der International Physics and Mathematics Conference unter der Schirmherrschaft des Instituts für Angewandte Mathematik vorgestellt. Keldysh RAS im September 2016.

Wir stellen auch fest, dass, wenn der von Igor Turkanov gefundene Beweis der Riemann-Hypothese als richtig anerkannt wird, die Lösung von zwei der sieben „Jahrtausendprobleme“ bereits dem Konto russischer Mathematiker gutgeschrieben wird. Eines dieser Probleme ist die „Poincaré-Hypothese“ aus dem Jahr 2002. Gleichzeitig lehnte er den ihm zustehenden Bonus von 1 Million Dollar vom Clay Institute ab.

Im Jahr 2015 behauptete der Mathematikprofessor Opeyemi Enoch aus Nigeria, dass er die Riemann-Hypothese lösen konnte, aber das Clay Institute of Mathematics hielt die Riemann-Hypothese bis jetzt für unbewiesen. Damit die Leistung verbucht werden kann, muss sie laut Institutsvertretern in einer renommierten internationalen Fachzeitschrift veröffentlicht werden, mit anschließender Bestätigung des Nachweises durch die Scientific Community.

Quellen

Mathematische Wissenschaft. Die Arbeit an ihnen hatte einen enormen Einfluss auf die Entwicklung dieses Bereichs des menschlichen Wissens. 100 Jahre später präsentierte das Clay Mathematical Institute eine Liste von 7 Problemen, die als Millennium-Probleme bekannt sind. Jedem von ihnen wurde ein Preis von 1 Million Dollar angeboten.

Das einzige Problem, das unter den beiden Rätsellisten auftauchte, die Wissenschaftler seit mehr als einem Jahrhundert verfolgen, war die Riemann-Hypothese. Sie wartet immer noch auf ihre Entscheidung.

Kurze biografische Notiz

Georg Friedrich Bernhard Riemann wurde 1826 in Hannover in einer kinderreichen Familie eines armen Pfarrers geboren und lebte nur 39 Jahre. Es gelang ihm, 10 Werke zu veröffentlichen. Riemann galt jedoch schon zu Lebzeiten als Nachfolger seines Lehrers Johann Gauss. Mit 25 Jahren verteidigte der junge Wissenschaftler seine Dissertation „Grundlagen der Funktionentheorie einer komplexen Variablen“. Später formulierte er seine Hypothese, die berühmt wurde.

Primzahlen

Die Mathematik entstand, als der Mensch das Zählen lernte. Gleichzeitig entstanden die ersten Zahlenvorstellungen, die sie später einzuordnen versuchten. Bei einigen von ihnen wurden gemeinsame Eigenschaften beobachtet. Insbesondere unter den natürlichen Zahlen, d. h. solchen, die zum Zählen (Nummerieren) oder Bezeichnen der Anzahl von Gegenständen verwendet wurden, wurde eine Gruppe unterschieden, die nur durch Eins und durch sich selbst teilbar waren. Sie werden einfach genannt. Einen eleganten Beweis des Unendlichkeitssatzes der Menge solcher Zahlen liefert Euklid in seinen Elementen. Auf der dieser Moment ihre Suche geht weiter. Insbesondere die größte der bereits bekannten ist die Nummer 2 74 207 281 - 1.

Euler-Formel

Neben dem Begriff der Unendlichkeit der Menge der Primzahlen definierte Euklid auch den zweiten Satz über die einzig mögliche Zerlegung in Primfaktoren. Demnach ist jede positive ganze Zahl das Produkt nur einer Menge von Primzahlen. 1737 drückte der große deutsche Mathematiker Leonhard Euler Euklids ersten Unendlichkeitssatz in Form der folgenden Formel aus.

Sie wird Zeta-Funktion genannt, wobei s eine Konstante ist und p alle Primwerte annimmt. Euklids Aussage über die Eindeutigkeit der Erweiterung folgte direkt daraus.

Riemannsche Zetafunktion

Eulers Formel ist bei näherer Betrachtung absolut erstaunlich, da sie die Beziehung zwischen Primzahlen und ganzen Zahlen definiert. Schließlich werden auf der linken Seite unendlich viele Ausdrücke multipliziert, die nur von Primzahlen abhängen, und auf der rechten Seite steht eine Summe, die allen positiven ganzen Zahlen zugeordnet ist.

Riemann ging weiter als Euler. Um den Schlüssel zum Problem der Verteilung von Zahlen zu finden, schlug er vor, eine Formel sowohl für reelle als auch für komplexe Variablen zu definieren. Sie war es, die später den Namen der Riemann-Zeta-Funktion erhielt. 1859 veröffentlichte der Wissenschaftler einen Artikel mit dem Titel „Über die Anzahl der Primzahlen, die einen bestimmten Wert nicht überschreiten“, in dem er alle seine Ideen zusammenfasste.

Riemann schlug vor, die Euler-Reihe zu verwenden, die für jedes reelle s > 1 konvergiert. Wenn die gleiche Formel für komplexe s verwendet wird, konvergiert die Reihe für jeden Wert dieser Variablen mit einem Realteil größer als 1. Riemann wendete das analytische Fortsetzungsverfahren an und erweiterte die Definition von Zeta (s) auf alle komplexen Zahlen, aber das Gerät "rausgeschmissen". Sie wurde ausgeschlossen, weil für s = 1 die Zeta-Funktion gegen unendlich anwächst.

praktische Bedeutung

Eine natürliche Frage stellt sich: Was ist interessant und wichtig an der Zeta-Funktion, die der Schlüssel zu Riemanns Arbeit an der Nullhypothese ist? Wie Sie wissen, wurde im Moment kein einfaches Muster identifiziert, das die Verteilung von Primzahlen unter natürlichen Zahlen beschreiben würde. Riemann konnte entdecken, dass die Anzahl pi(x) der Primzahlen, die x nicht überschreiten, durch die Verteilung der nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion ausgedrückt wird. Darüber hinaus ist die Riemann-Hypothese eine notwendige Bedingung zum Beweisen von Zeitschätzungen für den Betrieb einiger kryptografischer Algorithmen.

Riemann-Hypothese

Eine der ersten Formulierungen dieses bis heute nicht bewiesenen mathematischen Problems lautet so: Nicht-triviale 0-Zeta-Funktionen sind komplexe Zahlen mit einem Realteil gleich ½. Mit anderen Worten, sie befinden sich auf der Linie Re s = ½.

Es gibt auch eine verallgemeinerte Riemann-Hypothese, die dieselbe Aussage ist, aber für Verallgemeinerungen von Zeta-Funktionen, die normalerweise als Dirichlet-L-Funktionen bezeichnet werden (siehe Foto unten).

In der Formel ist χ(n) ein numerisches Zeichen (modulo k).

Die Riemannsche Behauptung gilt als sogenannte Nullhypothese, da sie mit bestehenden Beispieldaten auf Konsistenz geprüft wurde.

Wie Riemann argumentierte

Die Bemerkung des deutschen Mathematikers war zunächst eher salopp formuliert. Tatsache ist, dass der Wissenschaftler zu dieser Zeit den Satz über die Verteilung der Primzahlen beweisen wollte, und in diesem Zusammenhang war diese Hypothese von keiner besonderen Bedeutung. Seine Rolle bei der Lösung vieler anderer Probleme ist jedoch enorm. Aus diesem Grund wird Riemanns Annahme derzeit von vielen Wissenschaftlern als das wichtigste der unbewiesenen mathematischen Probleme anerkannt.

Wie bereits erwähnt, ist zum Beweis des Verteilungssatzes die vollständige Riemann-Hypothese nicht erforderlich, und es reicht aus, um logisch zu rechtfertigen, dass der Realteil einer nicht trivialen Nullstelle der Zeta-Funktion im Intervall von 0 bis 1 liegt. Daraus Eigenschaft folgt, dass die Summe über alle 0-ten Die Zeta-Funktionen, die in der obigen exakten Formel vorkommen, sind eine endliche Konstante. Bei großen Werten von x kann es vollständig verloren gehen. Das einzige Glied der Formel, das auch für sehr große x gleich bleibt, ist x selbst. Die restlichen komplexen Terme verschwinden dagegen asymptotisch. Die gewichtete Summe geht also gegen x. Dieser Umstand kann als Bestätigung der Wahrheit des Satzes über die Verteilung der Primzahlen angesehen werden. Somit kommt den Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion eine besondere Rolle zu. Es liegt daran, dass die Werte keinen nennenswerten Beitrag zur Expansionsformel leisten können.

Anhänger Riemanns

Der tragische Tod an Tuberkulose erlaubte es diesem Wissenschaftler nicht, sein Programm zu einem logischen Ende zu bringen. Sh-Zh übernahm jedoch von ihm. de la Vallée Poussin und Jacques Hadamard. Unabhängig voneinander leiteten sie einen Satz über die Verteilung von Primzahlen ab. Hadamard und Poussin gelang der Nachweis, dass alle nicht-trivialen 0-Zeta-Funktionen innerhalb des kritischen Bandes liegen.

Dank der Arbeit dieser Wissenschaftler entstand eine neue Richtung in der Mathematik - die analytische Zahlentheorie. Später wurden mehrere primitivere Beweise des Theorems, an dem Riemann arbeitete, von anderen Forschern erhalten. Insbesondere Pal Erdős und Atle Selberg entdeckten sogar eine sehr komplexe logische Kette, die dies bestätigte und die keine komplexen Analysen erforderte. Zu diesem Zeitpunkt waren jedoch bereits mehrere wichtige Theoreme mit Riemanns Idee bewiesen worden, darunter die Approximation vieler Funktionen der Zahlentheorie. In dieser Hinsicht hatte die neue Arbeit von Erdős und Atle Selberg praktisch keine Auswirkungen auf irgendetwas.

Einer der einfachsten und schönsten Beweise für das Problem wurde 1980 von Donald Newman gefunden. Es basiert auf dem berühmten Satz von Cauchy.

Bedroht die Riemannsche Hypothese die Grundlagen der modernen Kryptographie?

Die Datenverschlüsselung entstand zusammen mit dem Aufkommen der Hieroglyphen, genauer gesagt, sie selbst können als die ersten Codes betrachtet werden. Im Moment gibt es einen ganzen Bereich der digitalen Kryptographie, der sich entwickelt

Prim- und „semi-prime“-Zahlen, also solche, die nur durch 2 andere Zahlen derselben Klasse teilbar sind, bilden die Grundlage des als RSA bekannten Public-Key-Systems. Es hat die breiteste Anwendung. Insbesondere kommt es bei der Erstellung einer elektronischen Signatur zum Einsatz. In Begriffen sprechend, die Dummies zugänglich sind, behauptet die Riemann-Hypothese die Existenz eines Systems in der Verteilung von Primzahlen. Dadurch wird die Stärke kryptografischer Schlüssel, von denen die Sicherheit von Online-Transaktionen im E-Commerce abhängt, deutlich reduziert.

Andere ungelöste mathematische Probleme

Es lohnt sich, den Artikel abzuschließen, indem wir ein paar Worte anderen Millenniumsaufgaben widmen. Diese beinhalten:

• Gleichheit der Klassen P und NP. Das Problem wird wie folgt formuliert: Wenn eine positive Antwort auf eine bestimmte Frage in polynomieller Zeit überprüft wird, stimmt es, dass die Antwort auf diese Frage selbst schnell gefunden werden kann?
• Hodge-Hypothese. Vereinfacht lässt sich dies wie folgt formulieren: Für einige Arten von projektiven algebraischen Varietäten (Räumen) sind Hodge-Zyklen Kombinationen von Objekten, die eine geometrische Interpretation haben, also algebraische Zyklen.
• Die Poincaré-Hypothese. Dies ist die einzige bisher nachgewiesene Millennium Challenge. Danach muss jedes 3-dimensionale Objekt, das die spezifischen Eigenschaften einer 3-dimensionalen Kugel hat, bis zur Verformung eine Kugel sein.
• Erklärung der Quantentheorie von Yang-Mills. Es muss bewiesen werden, dass die von diesen Wissenschaftlern aufgestellte Quantentheorie für den Raum R 4 existiert und einen 0-ten Massendefekt für jede einfache kompakte Eichgruppe G hat.
• Birch-Swinnerton-Dyer-Hypothese. Dies ist ein weiteres Problem im Zusammenhang mit der Kryptographie. Es handelt sich um elliptische Kurven.
• Das Problem der Existenz und Glattheit von Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen.

Jetzt kennen Sie die Riemann-Hypothese. In einfachen Worten haben wir einige der anderen Millennium-Herausforderungen formuliert. Dass sie gelöst werden oder bewiesen wird, dass sie keine Lösung haben, ist eine Frage der Zeit. Und es ist unwahrscheinlich, dass dies allzu lange warten muss, da die Mathematik zunehmend die Rechenleistung von Computern nutzt. Allerdings unterliegt nicht alles der Technik, und vor allem sind Intuition und Kreativität gefragt, um wissenschaftliche Probleme zu lösen.