Bruchrechner Es wurde für die schnelle Berechnung von Operationen mit Brüchen entwickelt und hilft Ihnen, Brüche einfach zu addieren, zu multiplizieren, zu dividieren oder zu subtrahieren.

Moderne Schulkinder beginnen bereits in der 5. Klasse, Brüche zu lernen, und jedes Jahr werden die Übungen mit ihnen komplizierter. Mathematische Begriffe und Größen, die wir in der Schule lernen, sind für uns im Erwachsenenalter nur selten nützlich. Brüche sind jedoch im Gegensatz zu Logarithmen und Graden im Alltag (Entfernungsmessung, Warenwägung etc.) durchaus üblich. Unser Taschenrechner ist für schnelle Operationen mit Brüchen ausgelegt.

Lassen Sie uns zuerst definieren, was Brüche sind und was sie sind. Brüche sind das Verhältnis einer Zahl zu einer anderen; das ist eine Zahl, die aus einer ganzen Anzahl von Brüchen einer Einheit besteht.

Fraktionsarten:

• Ordinär
• Dezimalstellen
• gemischt

Beispiel gewöhnliche Brüche:

Der obere Wert ist der Zähler, der untere der Nenner. Der Strich zeigt uns, dass die obere Zahl durch die untere Zahl teilbar ist. Anstelle eines ähnlichen Schreibformats können Sie bei horizontalem Strich anders schreiben. Sie können zum Beispiel eine schräge Linie setzen:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Dezimalstellen sind die beliebteste Art von Brüchen. Sie bestehen aus einem ganzzahligen Teil und einem Bruchteil, getrennt durch ein Komma.

Dezimalbeispiel:

0,2 oder 6,71 oder 0,125

Er besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruchteil. Um den Wert dieses Bruchs herauszufinden, musst du die ganze Zahl und den Bruch addieren.

Beispiel für gemischte Brüche:

Der Bruchrechner auf unserer Website ist in der Lage, alle mathematischen Operationen mit Brüchen schnell online durchzuführen:

• Zusatz
• Subtraktion
• Multiplikation
• Aufteilung

Um die Berechnung durchzuführen, müssen Sie die Zahlen in die Felder eingeben und die Aktion auswählen. Für Brüche müssen Sie Zähler und Nenner eingeben, eine ganze Zahl darf nicht geschrieben werden (wenn der Bruch gewöhnlich ist). Vergessen Sie nicht, auf die Schaltfläche "Gleich" zu klicken.

Es ist praktisch, dass der Taschenrechner sofort einen Prozess zum Lösen eines Beispiels mit Brüchen und nicht nur eine vorgefertigte Antwort bereitstellt. Dank der detaillierten Lösung können Sie dieses Material zur Lösung von Schulproblemen und zur besseren Bewältigung des behandelten Materials verwenden.

Sie müssen das Beispiel berechnen:

Nach Eingabe der Indikatoren in die Formularfelder erhalten wir:

Um eine unabhängige Berechnung durchzuführen, geben Sie die Daten in das Formular ein.

Bruchrechner

Geben Sie zwei Brüche ein:

		+ - * :

verwandte Abschnitte.

Anweisung

Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner.

Gegeben seien die Brüche a/b und c/d.

Der Zähler und Nenner des ersten Bruchs wird mit LCM / b multipliziert

Zähler und Nenner des zweiten Bruchs werden mit LCM/d multipliziert

Ein Beispiel ist in der Abbildung dargestellt.

Um Brüche zu vergleichen, müssen sie einen gemeinsamen Nenner haben und dann die Zähler vergleichen. Zum Beispiel 3/4< 4/5, см. .

Addition und Subtraktion von Brüchen.

Um die Summe zweier gewöhnlicher Brüche zu finden, müssen sie auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und dann die Zähler addiert werden, der Nenner bleibt unverändert. Ein Beispiel für das Addieren der Brüche 1/2 und 1/3 ist in der Abbildung dargestellt.

Die Differenz von Brüchen wird auf ähnliche Weise ermittelt, nachdem der gemeinsame Nenner gefunden wurde, werden die Zähler der Brüche subtrahiert, siehe Abbildung.

Beim Multiplizieren gewöhnlicher Brüche werden Zähler und Nenner miteinander multipliziert.

Um zwei Brüche zu dividieren, benötigt man einen Bruchteil des zweiten Bruchs, also Ändern Sie Zähler und Nenner und multiplizieren Sie dann die resultierenden Brüche.

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Quellen:

• Fraktionen Grad 5 zum Beispiel
• Grundaufgaben für Brüche

Modul stellt den absoluten Wert des Ausdrucks dar. Klammern werden verwendet, um ein Modul zu bezeichnen. Die darin enthaltenen Werte werden modulo genommen. Die Lösung des Moduls besteht darin, Klammern nach bestimmten Regeln zu öffnen und die Wertemenge des Ausdrucks zu finden. In den meisten Fällen wird ein Modul so erweitert, dass der Untermodulausdruck eine Reihe positiver und negativer Werte annimmt, einschließlich Null. Basierend auf diesen Eigenschaften des Moduls werden weitere Gleichungen und Ungleichungen des ursprünglichen Ausdrucks erstellt und gelöst.

Anweisung

Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung mit auf. Öffnen Sie dazu das Modul. Betrachten Sie jeden Submodulausdruck. Bestimmen Sie, bei welchem ​​Wert der darin enthaltenen Unbekannten der Ausdruck in modularen Klammern verschwindet.

Setzen Sie dazu den Submodulausdruck mit Null gleich und finden Sie die resultierende Gleichung. Notieren Sie die gefundenen Werte. Bestimmen Sie auf die gleiche Weise die Werte der unbekannten Variablen für jeden Modul in der angegebenen Gleichung.

Zeichnen Sie einen Zahlenstrahl und tragen Sie darauf die resultierenden Werte ein. Die Werte der Variablen im Nullmodul dienen als Einschränkungen beim Lösen der modularen Gleichung.

In der ursprünglichen Gleichung müssen Sie die modularen erweitern und das Vorzeichen so ändern, dass die Werte der Variablen denen entsprechen, die auf der Zahlenlinie angezeigt werden. Lösen Sie die resultierende Gleichung. Überprüfen Sie den gefundenen Wert der Variablen gegen die vom Modul festgelegte Einschränkung. Wenn die Lösung die Bedingung erfüllt, ist sie wahr. Wurzeln, die die Beschränkungen nicht erfüllen, sollten verworfen werden.

Erweitern Sie auf ähnliche Weise die Module des ursprünglichen Ausdrucks unter Berücksichtigung des Vorzeichens und berechnen Sie die Wurzeln der resultierenden Gleichung. Schreiben Sie alle erhaltenen Wurzeln auf, die die Beschränkungsungleichungen erfüllen.

Mit Bruchzahlen können Sie den genauen Wert einer Menge auf unterschiedliche Weise ausdrücken. Mit Brüchen kannst du dieselben mathematischen Operationen durchführen wie mit ganzen Zahlen: Subtraktion, Addition, Multiplikation und Division. Um zu lernen, wie man sich entscheidet Brüche, ist es notwendig, sich an einige ihrer Merkmale zu erinnern. Sie sind typabhängig Brüche, das Vorhandensein eines ganzzahligen Teils, ein gemeinsamer Nenner. Einige arithmetische Operationen erfordern nach der Ausführung eine Reduzierung des Bruchteils des Ergebnisses.

Du wirst brauchen

• - Taschenrechner

Anweisung

Schau dir die Zahlen genau an. Wenn es unter den Brüchen Dezimalzahlen und Unregelmäßigkeiten gibt, ist es manchmal bequemer, zuerst Aktionen mit Dezimalzahlen auszuführen und sie dann in die falsche Form umzuwandeln. Kannst du übersetzen Brüche Schreiben Sie in dieser Form zunächst den Wert nach dem Komma in den Zähler und setzen Sie 10 in den Nenner. Falls nötig, kürze den Bruch, indem du die Zahlen darüber und darunter durch einen Teiler dividierst. Brüche, bei denen der ganze Teil heraussticht, führen zur falschen Form, indem man ihn mit dem Nenner multipliziert und zum Ergebnis den Zähler addiert. Dieser Wert wird zum neuen Zähler Brüche. Das ganze Teil aus dem zunächst Falschen herauszulösen Brüche, teile den Zähler durch den Nenner. Schreiben Sie das gesamte Ergebnis ab Brüche. Und der Rest der Division wird zum neuen Zähler, zum Nenner Brüche während sie sich nicht ändern. Für Brüche mit einem ganzzahligen Teil ist es möglich, Aktionen separat durchzuführen, zuerst für die ganze Zahl und dann für die Bruchteile. Beispielsweise kann die Summe von 1 2/3 und 2 ¾ berechnet werden:
- Brüche in die falsche Form umwandeln:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Summierung getrennt von ganzzahligen und gebrochenen Teilen von Termen:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Denn bei Werten unter der Linie findet man den gemeinsamen Nenner. Zum Beispiel für 5/9 und 7/12 ist der gemeinsame Nenner 36. Dafür der Zähler und Nenner des ersten Brüche Sie müssen mit 4 multiplizieren (es ergibt 28/36) und die zweite mit 3 (es wird 15/36 ergeben). Jetzt können Sie die Berechnungen durchführen.

Wenn Sie die Summe oder Differenz von Brüchen berechnen wollen, schreiben Sie zuerst den gefundenen gemeinsamen Nenner unter den Strich. Führen Sie die erforderlichen Aktionen zwischen den Zählern durch und schreiben Sie das Ergebnis über die neue Zeile Brüche. Somit ist der neue Zähler die Differenz oder die Summe der Zähler der ursprünglichen Brüche.

Um das Produkt von Brüchen zu berechnen, multiplizieren Sie die Zähler der Brüche und schreiben Sie das Ergebnis anstelle des Zählers des Finales Brüche. Machen Sie dasselbe für die Nenner. Beim Teilen von eins Brüche schreibe einen Bruch auf den anderen und multipliziere dann seinen Zähler mit dem Nenner des zweiten. Gleichzeitig der Nenner des Ersten Brüche entsprechend mit dem Zähler der Sekunde multipliziert. Zugleich eine Art Umkehrung des Zweiten Brüche(Teiler). Der endgültige Bruch ergibt sich aus den Ergebnissen der Multiplikation der Zähler und Nenner beider Brüche. Leicht zu lernen Brüche, geschrieben im Zustand in Form eines "vierstöckigen" Brüche. Wenn es zwei trennt Brüche, schreiben Sie sie mit einem ":"-Trennzeichen neu und fahren Sie mit der normalen Division fort.

Um das Endergebnis zu erhalten, kürze den resultierenden Bruch, indem du Zähler und Nenner durch eine ganze Zahl dividierst, in diesem Fall die größtmögliche. In diesem Fall müssen über und unter der Linie ganze Zahlen stehen.

beachten Sie

Rechnen Sie nicht mit Brüchen, die unterschiedliche Nenner haben. Wählen Sie eine Zahl so, dass, wenn Zähler und Nenner jedes Bruchs damit multipliziert werden, die Nenner beider Brüche gleich sind.

Nützlicher Rat

Beim Schreiben von Bruchzahlen wird der Dividende über dem Strich geschrieben. Diese Größe wird als Zähler eines Bruchs bezeichnet. Unter dem Strich steht der Teiler oder Nenner des Bruchs. Zum Beispiel werden anderthalb Kilogramm Reis in Form eines Bruchs wie folgt geschrieben: 1 ½ kg Reis. Wenn der Nenner eines Bruchs 10 ist, spricht man von einem Dezimalbruch. In diesem Fall steht der Zähler (Dividende) rechts vom ganzen Teil, getrennt durch ein Komma: 1,5 kg Reis. Zur Vereinfachung der Berechnungen kann ein solcher Bruch immer in der falschen Form geschrieben werden: 1 2/10 kg Kartoffeln. Zur Vereinfachung können Sie die Zähler- und Nennerwerte reduzieren, indem Sie sie durch eine einzelne ganze Zahl dividieren. In diesem Beispiel ist eine Division durch 2 möglich, das Ergebnis sind 1 1/5 kg Kartoffeln. Achte darauf, dass die Zahlen, mit denen du rechnen wirst, dieselbe Form haben.

Anweisung

Klicken Sie einmal auf den Menüpunkt „Einfügen“ und wählen Sie dann den Punkt „Symbol“ aus. Dies ist eine der einfachsten Möglichkeiten zum Einfügen Brüche jemandem eine SMS schicken. Es besteht im Folgenden. Der Satz von fertigen Zeichen hat Brüche. Ihre Anzahl ist normalerweise gering, aber wenn Sie ½ und nicht 1/2 in den Text schreiben müssen, ist diese Option für Sie am besten geeignet. Außerdem kann die Anzahl der Bruchzeichen von der Schriftart abhängen. Beispielsweise gibt es für die Schriftart Times New Roman etwas weniger Brüche als für dieselbe Arial. Variieren Sie Schriftarten, um die beste zu finden Beste Option wenn es um einfache Ausdrücke geht.

Klicken Sie auf den Menüpunkt „Einfügen“ und wählen Sie den Unterpunkt „Objekt“ aus. Sie sehen ein Fenster mit einer Liste möglicher einzufügender Objekte. Wählen Sie unter ihnen Microsoft Equation 3.0. Diese App hilft Ihnen beim Tippen Brüche. Und nicht nur Brüche, aber auch komplexe mathematische Ausdrücke, die verschiedene trigonometrische Funktionen und andere Elemente enthalten. Doppelklicken Sie mit der linken Maustaste auf dieses Objekt. Sie sehen ein Fenster mit vielen Symbolen.

Um einen Bruch zu drucken, wählen Sie das Symbol, das einen Bruch mit leerem Zähler und Nenner darstellt. Klicken Sie einmal mit der linken Maustaste darauf. Es erscheint ein zusätzliches Menü, in dem das Schema der angegeben wird Brüche. Es kann mehrere Optionen geben. Wählen Sie die für Sie am besten geeignete aus und klicken Sie einmal mit der linken Maustaste darauf.

Fraktion- eine Darstellungsform einer Zahl in der Mathematik. Der Schrägstrich zeigt die Divisionsoperation an. Zähler Brüche heißt Dividende, und Nenner- Teiler. Beispiel: Bei einem Bruch ist der Zähler 5 und der Nenner 7.

Korrekt Ein Bruch wird aufgerufen, wenn der Betrag des Zählers größer ist als der Betrag des Nenners. Wenn der Bruch richtig ist, dann ist der Modul seines Werts immer kleiner als 1. Alle anderen Brüche sind es falsch.

Bruch wird aufgerufen gemischt, wenn es als ganze Zahl und als Bruch geschrieben wird. Dies ist dasselbe wie die Summe dieser Zahl und eines Bruchs:

Grundlegende Eigenschaft eines Bruchs

Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl multipliziert werden, ändert sich der Wert des Bruchs nicht, d. h. zum Beispiel

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen

Um zwei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, braucht man:

1. Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten
2. Multipliziere den Zähler des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten
3. Ersetze die Nenner beider Brüche durch ihr Produkt

Aktionen mit Brüchen

Zusatz. Um zwei Brüche zu addieren, benötigen Sie

1. Addiere die neuen Zähler beider Brüche, wobei der Nenner unverändert bleibt.

Beispiel:

Subtraktion. Um einen Bruch von einem anderen zu subtrahieren,

1. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen
2. Subtrahiere den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs und lasse den Nenner unverändert

Beispiel:

Multiplikation. Um einen Bruch mit einem anderen zu multiplizieren, multiplizieren Sie ihre Zähler und Nenner:

Aufteilung. Um einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, multiplizieren Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten und multiplizieren Sie den Nenner des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten:

Dieser Artikel behandelt Operationen mit Brüchen. Es werden Regeln zur Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division oder Potenzierung von Brüchen der Form A B gebildet und begründet, wobei A und B Zahlen, numerische Ausdrücke oder Ausdrücke mit Variablen sein können. Abschließend werden Lösungsbeispiele mit detaillierter Beschreibung betrachtet.

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Regeln zum Ausführen von Operationen mit numerischen Brüchen allgemeiner Form

Numerische Brüche einer allgemeinen Form haben einen Zähler und einen Nenner, in denen natürliche Zahlen oder numerische Ausdrücke stehen. Wenn wir Brüche wie 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + π betrachten, 2 0 , 5 ln 3 , dann ist klar, dass Zähler und Nenner nicht nur Zahlen, sondern auch Ausdrücke eines anderen Plans haben können.

Bestimmung 1

Es gibt Regeln, nach denen Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen ausgeführt werden. Es eignet sich auch für Brüche einer allgemeinen Form:

• Beim Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner werden nur die Zähler addiert, und der Nenner bleibt gleich, nämlich: a d ± c d \u003d a ± c d, die Werte a, c und d ≠ 0 sind einige Zahlen oder numerische Ausdrücke.
• Beim Addieren oder Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern ist es notwendig, auf einen gemeinsamen Nenner zu reduzieren und dann die resultierenden Brüche mit denselben Indikatoren zu addieren oder zu subtrahieren. Wörtlich sieht es so aus a b ± c d = a p ± c r s , wobei die Werte a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 reelle Zahlen sind und b p = d r = s. Wenn p = d und r = b, dann a b ± c d = a d ± c d b d.
• Beim Multiplizieren von Brüchen wird eine Aktion mit Zählern ausgeführt, danach erhalten wir mit Nennern a b c d \u003d a c b d, wobei a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 als reelle Zahlen fungieren.
• Wenn wir einen Bruch durch einen Bruch dividieren, multiplizieren wir den ersten mit dem zweiten Kehrwert, dh wir vertauschen Zähler und Nenner: a b: c d \u003d a b d c.

Begründung für die Regeln

Bestimmung 2

Es gibt folgende mathematische Punkte, auf die Sie sich bei der Berechnung verlassen sollten:

• ein Bruchstrich bedeutet ein Divisionszeichen;
• Division durch eine Zahl wird als Multiplikation mit ihrem Kehrwert behandelt;
• Anwendung der Wirkungseigenschaft mit reellen Zahlen;
• Anwendung der Grundeigenschaft eines Bruchs und numerischer Ungleichungen.

Mit ihrer Hilfe können Sie Transformationen des Formulars vornehmen:

ein d ± c d = ein d – 1 ± c d – 1 = ein ± c d – 1 = ein ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c rs ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

Beispiele

Im vorigen Absatz wurde über Aktionen mit Brüchen gesprochen. Danach muss der Bruch vereinfacht werden. Dieses Thema wurde ausführlich im Abschnitt über die Umwandlung von Brüchen behandelt.

Betrachten Sie zunächst das Beispiel der Addition und Subtraktion von Brüchen mit demselben Nenner.

Beispiel 1

Bei den Brüchen 8 2 , 7 und 1 2 , 7 ist es gemäß der Regel erforderlich, den Zähler zu addieren und den Nenner neu zu schreiben.

Lösung

Dann erhalten wir einen Bruch der Form 8 + 1 2 , 7 . Nach der Addition erhalten wir einen Bruch der Form 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 . Also 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

Antworten: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Es gibt einen anderen Lösungsweg. Zunächst wird in die Form eines gewöhnlichen Bruchs übergegangen, danach führen wir eine Vereinfachung durch. Es sieht aus wie das:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Beispiel 2

Subtrahieren wir von 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 Brüche der Form 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

Da gleiche Nenner gegeben sind, bedeutet dies, dass wir einen Bruch mit demselben Nenner berechnen. Das verstehen wir

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Es gibt Beispiele für die Berechnung von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Ein wichtiger Punkt ist die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner. Ohne dies können wir keine weiteren Aktionen mit Brüchen durchführen.

Der Vorgang erinnert entfernt an eine Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner. Das heißt, es wird nach dem kleinsten gemeinsamen Teiler im Nenner gesucht, wonach die fehlenden Faktoren zu den Brüchen addiert werden.

Wenn die addierten Brüche keine gemeinsamen Faktoren haben, kann ihr Produkt eins werden.

Beispiel 3

Betrachten Sie das Beispiel der Addition der Brüche 2 3 5 + 1 und 1 2 .

Lösung

In diesem Fall ist der gemeinsame Nenner das Produkt der Nenner. Dann bekommen wir das 2 · 3 5 + 1 . Wenn wir dann zusätzliche Faktoren setzen, haben wir, dass der erste Bruch gleich 2 und der zweite 3 5 + 1 ist. Nach der Multiplikation werden die Brüche auf die Form 4 2 3 5 + 1 gekürzt. Die allgemeine Besetzung 1 2 ist 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Wir addieren die resultierenden Bruchausdrücke und erhalten das

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Antworten: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Wenn wir es mit Brüchen einer allgemeinen Form zu tun haben, dann ist der kleinste gemeinsame Nenner normalerweise nicht der Fall. Es ist unrentabel, das Produkt von Zählern als Nenner zu nehmen. Zuerst müssen Sie prüfen, ob es eine Zahl gibt, die weniger wert ist als ihr Produkt.

Beispiel 4

Betrachten Sie das Beispiel 1 6 2 1 5 und 1 4 2 3 5, wenn ihr Produkt gleich 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 ist. Dann nehmen wir 12 · 2 3 5 als gemeinsamen Nenner.

Betrachten Sie Beispiele für Multiplikationen von Brüchen einer allgemeinen Form.

Beispiel 5

Dazu müssen 2 + 1 6 und 2 · 5 3 · 2 + 1 multipliziert werden.

Lösung

Nach der Regel ist es notwendig, das Produkt von Zählern als Nenner umzuschreiben und zu schreiben. Wir bekommen das 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Wenn der Bruch multipliziert wird, können Kürzungen vorgenommen werden, um ihn zu vereinfachen. Dann 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

Unter Verwendung der Übergangsregel von der Division zur Multiplikation mit einem Kehrwert erhalten wir den Kehrwert des gegebenen. Dazu werden Zähler und Nenner vertauscht. Schauen wir uns ein Beispiel an:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Danach müssen sie multiplizieren und den resultierenden Bruch vereinfachen. Beseitigen Sie ggf. die Irrationalität im Nenner. Das verstehen wir

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Antworten: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Dieser Absatz ist anwendbar, wenn eine Zahl oder ein numerischer Ausdruck als Bruch mit einem Nenner gleich 1 dargestellt werden kann, dann wird die Operation mit einem solchen Bruch als separater Absatz betrachtet. Beispielsweise zeigt der Ausdruck 1 6 7 4 - 1 3, dass die Wurzel von 3 durch einen anderen 3 1-Ausdruck ersetzt werden kann. Dann sieht dieser Datensatz wie eine Multiplikation zweier Brüche der Form 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 aus.

Ausführen einer Aktion mit Brüchen, die Variablen enthalten

Die im ersten Artikel besprochenen Regeln gelten für Operationen mit Brüchen, die Variablen enthalten. Betrachten Sie die Subtraktionsregel, wenn die Nenner gleich sind.

Es muss bewiesen werden, dass A , C und D (D ungleich Null) beliebige Ausdrücke sein können und dass die Gleichheit A D ± C D = A ± C D ihrem gültigen Wertebereich entspricht.

Es ist notwendig, einen Satz von ODZ-Variablen zu nehmen. Dann müssen A, C, D die entsprechenden Werte a 0 , c 0 und annehmen d0. Eine Substitution der Form A D ± C D ergibt eine Differenz der Form a 0 d 0 ± c 0 d 0 , wobei wir nach der Additionsregel eine Formel der Form a 0 ± c 0 d 0 erhalten. Wenn wir den Ausdruck A ± C D ersetzen, erhalten wir denselben Bruch der Form a 0 ± c 0 d 0 . Daraus schließen wir, dass der gewählte Wert, der die ODZ erfüllt, A ± C D und A D ± C D als gleich angesehen werden.

Für jeden Wert der Variablen sind diese Ausdrücke gleich, das heißt, sie werden identisch gleich genannt. Das bedeutet, dass dieser Ausdruck als beweisbare Gleichheit der Form A D ± C D = A ± C D angesehen wird.

Beispiele für Addition und Subtraktion von Brüchen mit Variablen

Bei gleichen Nennern müssen nur die Zähler addiert oder subtrahiert werden. Dieser Bruch kann vereinfacht werden. Manchmal muss man mit identisch gleichen Brüchen arbeiten, was aber auf den ersten Blick nicht auffällt, da einige Umformungen vorgenommen werden müssen. Zum Beispiel x 2 3 x 1 3 + 1 und x 1 3 + 1 2 oder 1 2 sin 2 α und sin a cos a. Meistens ist eine Vereinfachung des ursprünglichen Ausdrucks erforderlich, um dieselben Nenner zu sehen.

Beispiel 6

Berechnen Sie: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Lösung

1. Um eine Berechnung durchzuführen, müssen Sie Brüche subtrahieren, die denselben Nenner haben. Dann erhalten wir x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Danach können Sie die Klammern mit der Reduzierung ähnlicher Begriffe öffnen. Wir erhalten, dass x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Da die Nenner gleich sind, müssen nur noch die Zähler addiert werden, wobei der Nenner übrig bleibt: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Die Ergänzung ist abgeschlossen. Es ist ersichtlich, dass der Anteil reduziert werden kann. Sein Zähler kann mit der Quadratsummenformel gefaltet werden, dann erhalten wir (l g x + 2) 2 aus den abgekürzten Multiplikationsformeln. Dann bekommen wir das
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Gegebene Brüche der Form x - 1 x - 1 + x x + 1 mit unterschiedlichen Nennern. Nach der Transformation können Sie mit der Addition fortfahren.

Betrachten wir eine Zwei-Wege-Lösung.

Die erste Methode besteht darin, dass der Nenner des ersten Bruchs einer Faktorisierung mit Quadraten und anschließender Reduktion unterzogen wird. Wir erhalten einen Bruchteil der Form

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Also x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

In diesem Fall ist es notwendig, die Irrationalität im Nenner loszuwerden.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Die zweite Möglichkeit besteht darin, Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit x-1 zu multiplizieren. So werden wir die Irrationalität los und fahren fort, einen Bruch mit demselben Nenner zu addieren. Dann

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Antworten: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

Im letzten Beispiel haben wir festgestellt, dass eine Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner unvermeidlich ist. Dazu müssen Sie die Brüche vereinfachen. Um zu addieren oder zu subtrahieren, müssen Sie immer nach einem gemeinsamen Nenner suchen, der wie das Produkt der Nenner mit der Addition zusätzlicher Faktoren zu den Zählern aussieht.

Beispiel 7

Berechnen Sie die Werte der Brüche: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Lösung

1. Der Nenner erfordert keine komplizierten Berechnungen, daher müssen Sie sein Produkt in der Form 3 x 7 + 2 2 wählen, dann wird zum ersten Bruch x 7 + 2 2 als zusätzlicher Faktor und 3 zum zweiten gewählt. Beim Multiplizieren erhalten wir einen Bruch der Form x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Es ist ersichtlich, dass die Nenner als Produkt dargestellt werden, was bedeutet, dass zusätzliche Transformationen unnötig sind. Der gemeinsame Nenner ist das Produkt der Form x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Ab hier x 4 ein zusätzlicher Faktor zum ersten Bruch ist und ln (x + 1) zum zweiten. Dann subtrahieren wir und erhalten:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - Sünde x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - Sünde x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) )
3. Dieses Beispiel ist sinnvoll, wenn man mit Nennern von Brüchen arbeitet. Es ist notwendig, die Formeln für die Differenz von Quadraten und das Quadrat der Summe anzuwenden, da sie es ermöglichen, zu einem Ausdruck der Form 1 überzugehen cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2 . Es ist ersichtlich, dass die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Wir erhalten cos x - x cos x + x 2 .

Dann bekommen wir das

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

Antworten:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .

Beispiele für die Multiplikation von Brüchen mit Variablen

Bei der Multiplikation von Brüchen wird der Zähler mit dem Zähler und der Nenner mit dem Nenner multipliziert. Dann können Sie die Reduktionseigenschaft anwenden.

Beispiel 8

Multipliziere Brüche x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 und 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

Lösung

Du musst die Multiplikation machen. Das verstehen wir

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 In x + 1 Sünde (2 x - x)

Die Zahl 3 wird zur Vereinfachung der Berechnungen an die erste Stelle übertragen, und Sie können den Bruch um x 2 reduzieren, dann erhalten wir einen Ausdruck des Formulars

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 Sünde (2 x - x)

Antworten: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 Sünde (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 Sünde (2x-x) .

Aufteilung

Die Division von Brüchen ähnelt der Multiplikation, da der erste Bruch mit dem zweiten Kehrwert multipliziert wird. Nehmen wir zum Beispiel den Bruch x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 und dividieren ihn durch 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, dann lässt sich das schreiben als

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , dann durch ein Produkt der Form x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + ersetzen 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 Sünde (2 x - x)

Potenzierung

Betrachten wir nun die Aktion mit Brüchen einer allgemeinen Form mit Potenzierung. Wenn es einen Grad mit einem natürlichen Exponenten gibt, wird die Aktion als Multiplikation identischer Brüche betrachtet. Es wird jedoch empfohlen, einen allgemeinen Ansatz zu verwenden, der auf den Eigenschaften von Graden basiert. Alle Ausdrücke A und C, wobei C nicht identisch gleich Null ist, und jedes reelle r auf der ODZ für einen Ausdruck der Form A C r, die Gleichheit A C r = A r C r ist wahr. Das Ergebnis ist ein potenzierter Bruch. Betrachten Sie zum Beispiel:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

Die Reihenfolge der Operationen mit Brüchen

Aktionen auf Fraktionen werden nach bestimmten Regeln durchgeführt. In der Praxis stellen wir fest, dass ein Ausdruck mehrere Brüche oder Bruchausdrücke enthalten kann. Dann müssen alle Aktionen in einer strengen Reihenfolge ausgeführt werden: potenzieren, multiplizieren, dividieren, dann addieren und subtrahieren. Wenn Klammern vorhanden sind, wird die erste Aktion in ihnen ausgeführt.

Beispiel 9

Berechnen Sie 1 - x cos x - 1 cos x · 1 + 1 x .

Lösung

Da wir den gleichen Nenner haben, also 1 - x cos x und 1 cos x , aber es ist unmöglich, gemäß der Regel zu subtrahieren, werden zuerst die Aktionen in Klammern ausgeführt, danach die Multiplikation und dann die Addition. Wenn wir dann rechnen, bekommen wir das

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Wenn wir den Ausdruck durch den ursprünglichen ersetzen, erhalten wir 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Beim Multiplizieren von Brüchen haben wir: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . Nachdem wir alle Substitutionen vorgenommen haben, erhalten wir 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Jetzt müssen Sie mit Brüchen arbeiten, die unterschiedliche Nenner haben. Wir bekommen:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

Antworten: 1 - x cos x - 1 cos x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

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Unterrichtsinhalt

Brüche mit gleichem Nenner addieren

Es gibt zwei Arten von Brüchen:

1. Brüche mit gleichem Nenner addieren
2. Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren

Beginnen wir mit der Addition von Brüchen mit gleichem Nenner. Hier ist alles einfach. Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, musst du ihre Zähler addieren und den Nenner unverändert lassen. Lassen Sie uns zum Beispiel die Brüche und addieren. Wir addieren die Zähler und lassen den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine Pizza denken, die in vier Teile geteilt ist. Wenn Sie Pizza zu Pizza hinzufügen, erhalten Sie Pizza:

Beispiel 2 Addiere Brüche und .

Die Antwort ist ein unechter Bruch. Wenn das Ende der Aufgabe kommt, ist es üblich, unechte Brüche loszuwerden. Um einen unechten Bruch loszuwerden, müssen Sie den ganzen Teil darin auswählen. In unserem Fall ist der ganzzahlige Teil einfach zuzuordnen - zwei geteilt durch zwei ist gleich eins:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine zweigeteilte Pizza denken. Wenn Sie der Pizza weitere Pizzen hinzufügen, erhalten Sie eine ganze Pizza:

Beispiel 3. Addiere Brüche und .

Addieren Sie wieder die Zähler und lassen Sie den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine dreigeteilte Pizza denken. Wenn Sie mehr Pizzen zu Pizza hinzufügen, erhalten Sie Pizzen:

Beispiel 4 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Dieses Beispiel wird genauso gelöst wie die vorherigen. Die Zähler müssen addiert und der Nenner unverändert gelassen werden:

Versuchen wir, unsere Lösung anhand eines Bildes darzustellen. Wenn Sie einer Pizza Pizzen hinzufügen und weitere Pizzen hinzufügen, erhalten Sie 1 ganze Pizza und mehr Pizzen.

Wie du siehst, ist das Addieren von Brüchen mit gleichem Nenner nicht schwierig. Es reicht aus, die folgenden Regeln zu verstehen:

1. Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie ihre Zähler addieren und den Nenner unverändert lassen;

Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren

Jetzt lernen wir, wie man Brüche mit unterschiedlichen Nennern addiert. Beim Addieren von Brüchen müssen die Nenner dieser Brüche gleich sein. Aber sie sind nicht immer gleich.

Zum Beispiel können Brüche addiert werden, weil sie den gleichen Nenner haben.

Brüche können jedoch nicht auf einmal addiert werden, da diese Brüche unterschiedliche Nenner haben. In solchen Fällen müssen Brüche auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner gekürzt werden.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Brüche auf denselben Nenner zu bringen. Heute werden wir nur eine davon betrachten, da die restlichen Methoden für einen Anfänger kompliziert erscheinen mögen.

Das Wesen dieser Methode liegt darin, dass zuerst (LCM) der Nenner beider Brüche gesucht wird. Dann wird das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs geteilt und der erste zusätzliche Faktor wird erhalten. Dasselbe machen sie mit dem zweiten Bruch – der NOC wird durch den Nenner des zweiten Bruchs dividiert und der zweite zusätzliche Faktor wird erhalten.

Dann werden die Zähler und Nenner der Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren multipliziert. Als Ergebnis dieser Aktionen werden Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben Nenner. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche addiert.

Beispiel 1. Brüche addieren und

Zunächst finden wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner beider Brüche. Der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 2. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 6

LCM (2 und 3) = 6

Nun zurück zu den Brüchen und . Zuerst dividieren wir das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs und erhalten den ersten zusätzlichen Faktor. LCM ist die Zahl 6, und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 6 durch 3, wir erhalten 2.

Die resultierende Zahl 2 ist der erste zusätzliche Faktor. Wir schreiben es bis zum ersten Bruch auf. Dazu ziehen wir einen kleinen Schrägstrich über den Bruch und schreiben den gefundenen Zusatzfaktor darüber:

Dasselbe machen wir mit der zweiten Fraktion. Wir dividieren das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs und erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor. LCM ist die Zahl 6, und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 2. Teilen Sie 6 durch 2, wir erhalten 3.

Die resultierende Zahl 3 ist der zweite zusätzliche Faktor. Wir schreiben es in den zweiten Bruch. Auch hier machen wir einen kleinen Schrägstrich über dem zweiten Bruch und schreiben den gefundenen Zusatzfaktor darüber:

Jetzt können wir alles hinzufügen. Es bleibt, die Zähler und Nenner von Brüchen mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Schauen Sie sich genau an, was wir erreicht haben. Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit gleichem Nenner wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche addiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel zu Ende führen:

Damit endet das Beispiel. Um es hinzuzufügen, stellt sich heraus.

Versuchen wir, unsere Lösung anhand eines Bildes darzustellen. Wenn Sie einer Pizza Pizzen hinzufügen, erhalten Sie eine ganze Pizza und ein weiteres Sechstel einer Pizza:

Das Kürzen von Brüchen auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner kann auch mit einem Bild dargestellt werden. Wenn wir die Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner bringen, erhalten wir die Brüche und . Diese beiden Fraktionen werden durch die gleichen Pizzastücke dargestellt. Der einzige Unterschied besteht darin, dass sie diesmal in gleiche Anteile geteilt (auf denselben Nenner gebracht) werden.

Die erste Zeichnung zeigt einen Bruch (vier Teile von sechs) und das zweite Bild zeigt einen Bruch (drei Teile von sechs). Wenn wir diese Teile zusammenfügen, erhalten wir (sieben von sechs Teilen). Dieser Bruch ist falsch, deshalb haben wir den ganzzahligen Teil darin hervorgehoben. Das Ergebnis war (eine ganze Pizza und eine weitere sechste Pizza).

Beachten Sie, dass wir dieses Beispiel zu detailliert gemalt haben. In Bildungseinrichtungen ist es nicht üblich, so ausführlich zu schreiben. Sie müssen in der Lage sein, das LCM beider Nenner und zusätzlicher Faktoren schnell zu finden und die zusätzlichen Faktoren, die von Ihren Zählern und Nennern gefunden wurden, schnell zu multiplizieren. In der Schule müssten wir dieses Beispiel wie folgt schreiben:

Aber es gibt auch die andere Seite der Medaille. Wenn in den ersten Phasen des Mathematikstudiums keine detaillierten Notizen gemacht werden, dann solche Fragen „Woher kommt diese Zahl?“, „Warum werden aus Brüchen plötzlich ganz andere Brüche? «.

Um das Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern zu vereinfachen, können Sie die folgende Schritt-für-Schritt-Anleitung verwenden:

1. Finden Sie das LCM der Nenner von Brüchen;
2. Teilen Sie das LCM durch den Nenner jedes Bruchs und erhalten Sie einen zusätzlichen Multiplikator für jeden Bruch;
3. Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner von Brüchen mit ihren zusätzlichen Faktoren;
4. Brüche mit gleichem Nenner addieren;
5. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, wählen Sie den ganzen Teil aus;

Beispiel 2 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks .

Lassen Sie uns die Anweisungen oben verwenden.

Schritt 1. Finden Sie das LCM der Nenner von Brüchen

Finde das LCM der Nenner beider Brüche. Die Nenner der Brüche sind die Zahlen 2, 3 und 4

Schritt 2. Teilen Sie das LCM durch den Nenner jedes Bruchs und erhalten Sie einen zusätzlichen Multiplikator für jeden Bruch

Teilen Sie das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 2. Teilen Sie 12 durch 2, erhalten wir 6. Wir erhalten den ersten zusätzlichen Faktor 6. Wir schreiben ihn über den ersten Bruch:

Jetzt dividieren wir das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 3. Wir teilen 12 durch 3, wir erhalten 4. Wir erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor 4. Wir schreiben ihn über den zweiten Bruch:

Jetzt dividieren wir das LCM durch den Nenner des dritten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des dritten Bruchs ist die Zahl 4. Teilen Sie 12 durch 4, wir erhalten 3. Wir erhalten den dritten zusätzlichen Faktor 3. Wir schreiben ihn über den dritten Bruch:

Schritt 3. Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner von Brüchen mit Ihren zusätzlichen Faktoren

Wir multiplizieren die Zähler und Nenner mit unseren zusätzlichen Faktoren:

Schritt 4. Addiere Brüche mit gleichem Nenner

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben (gemeinsamen) Nenner werden. Es bleibt, diese Brüche zu addieren. Addieren:

Die Addition passte nicht in eine Zeile, also haben wir den verbleibenden Ausdruck in die nächste Zeile verschoben. In Mathematik ist dies erlaubt. Wenn ein Ausdruck nicht in eine Zeile passt, wird er in die nächste Zeile übernommen, und am Ende der ersten Zeile und am Anfang einer neuen Zeile muss ein Gleichheitszeichen (=) gesetzt werden. Das Gleichheitszeichen in der zweiten Zeile zeigt an, dass dies eine Fortsetzung des Ausdrucks in der ersten Zeile ist.

Schritt 5. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, wählen Sie den ganzen Teil darin aus

Unsere Antwort ist ein unechter Bruch. Wir müssen den ganzen Teil davon herausgreifen. Wir heben hervor:

Habe eine Antwort bekommen

Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner

Es gibt zwei Arten der Bruchsubtraktion:

1. Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner
2. Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

Lass uns zuerst lernen, wie man Brüche mit demselben Nenner subtrahiert. Hier ist alles einfach. Um einen weiteren von einem Bruch zu subtrahieren, musst du den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner gleich lassen.

Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks finden. Um dieses Beispiel zu lösen, ist es notwendig, den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs zu subtrahieren und den Nenner unverändert zu lassen. Lass uns das machen:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine Pizza denken, die in vier Teile geteilt ist. Schneidet man Pizzen aus einer Pizza, erhält man Pizzen:

Beispiel 2 Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks .

Subtrahieren Sie erneut vom Zähler des ersten Bruchs den Zähler des zweiten Bruchs und lassen Sie den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine dreigeteilte Pizza denken. Schneidet man Pizzen aus einer Pizza, erhält man Pizzen:

Beispiel 3 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Dieses Beispiel wird genauso gelöst wie die vorherigen. Vom Zähler des ersten Bruchs müssen Sie die Zähler der restlichen Brüche subtrahieren:

Wie du siehst, ist es nicht kompliziert, Brüche mit demselben Nenner zu subtrahieren. Es reicht aus, die folgenden Regeln zu verstehen:

1. Um einen weiteren von einem Bruch zu subtrahieren, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner unverändert lassen;
2. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, müssen Sie den gesamten Teil darin auswählen.

Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

Beispielsweise kann ein Bruch von einem Bruch subtrahiert werden, da diese Brüche denselben Nenner haben. Aber ein Bruch kann nicht von einem Bruch subtrahiert werden, weil diese Brüche unterschiedliche Nenner haben. In solchen Fällen müssen Brüche auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner gekürzt werden.

Der gemeinsame Nenner wird nach dem gleichen Prinzip gefunden, das wir beim Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern verwendet haben. Bestimmen Sie zunächst das kgV der Nenner beider Brüche. Dann wird das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs dividiert und man erhält den ersten zusätzlichen Faktor, der über den ersten Bruch geschrieben wird. In ähnlicher Weise wird das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs dividiert und man erhält einen zweiten zusätzlichen Faktor, der über den zweiten Bruch geschrieben wird.

Die Brüche werden dann mit ihren zusätzlichen Faktoren multipliziert. Als Ergebnis dieser Operationen werden Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben Nenner. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert.

Beispiel 1 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks:

Diese Brüche haben unterschiedliche Nenner, also musst du sie auf denselben (gemeinsamen) Nenner bringen.

Zuerst finden wir das LCM der Nenner beider Brüche. Der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 4. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 12

LCM (3 und 4) = 12

Nun zurück zu Brüchen und

Lassen Sie uns einen zusätzlichen Faktor für den ersten Bruch finden. Dazu dividieren wir das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 12 durch 3, erhalten wir 4. Wir schreiben die Vier über den ersten Bruch:

Dasselbe machen wir mit der zweiten Fraktion. Wir dividieren das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 4. Teilen Sie 12 durch 4, wir erhalten 3. Schreiben Sie ein Tripel über den zweiten Bruch:

Jetzt sind wir bereit für die Subtraktion. Es bleibt, die Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit gleichem Nenner wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel zu Ende führen:

Habe eine Antwort bekommen

Versuchen wir, unsere Lösung anhand eines Bildes darzustellen. Wenn Sie Pizzen aus einer Pizza schneiden, erhalten Sie Pizzen.

Dies ist die ausführliche Version der Lösung. In der Schule müssten wir dieses Beispiel kürzer lösen. Eine solche Lösung würde wie folgt aussehen:

Das Kürzen von Brüchen und auf einen gemeinsamen Nenner kann auch mit einem Bild dargestellt werden. Wenn wir diese Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, erhalten wir die Brüche und . Diese Brüche werden durch dieselben Pizzastücke dargestellt, aber dieses Mal werden sie in dieselben Brüche geteilt (auf denselben Nenner gekürzt):

Die erste Zeichnung zeigt einen Bruchteil (acht Teile von zwölf), und das zweite Bild zeigt einen Bruchteil (drei Teile von zwölf). Indem wir drei von acht Stücken abschneiden, erhalten wir fünf von zwölf Stücken. Der Bruch beschreibt diese fünf Stücke.

Beispiel 2 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Diese Brüche haben unterschiedliche Nenner, also musst du sie zuerst auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner bringen.

Finden Sie das LCM der Nenner dieser Brüche.

Die Nenner der Brüche sind die Zahlen 10, 3 und 5. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Jetzt finden wir zusätzliche Faktoren für jeden Bruch. Dazu dividieren wir das LCM durch den Nenner jedes Bruchs.

Lassen Sie uns einen zusätzlichen Faktor für den ersten Bruch finden. LCM ist die Zahl 30, und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 10. Teilen Sie 30 durch 10, erhalten wir den ersten zusätzlichen Faktor 3. Wir schreiben ihn über den ersten Bruch:

Jetzt finden wir einen zusätzlichen Faktor für den zweiten Bruch. Teilen Sie das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 30, und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 30 durch 3, wir erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor 10. Wir schreiben ihn über den zweiten Bruch:

Jetzt finden wir einen zusätzlichen Faktor für den dritten Bruch. Teilen Sie das LCM durch den Nenner des dritten Bruchs. LCM ist die Zahl 30, und der Nenner des dritten Bruchs ist die Zahl 5. Teilen Sie 30 durch 5, wir erhalten den dritten zusätzlichen Faktor 6. Wir schreiben ihn über den dritten Bruch:

Jetzt ist alles bereit für die Subtraktion. Es bleibt, die Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben (gemeinsamen) Nenner werden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel beenden.

Die Fortsetzung des Beispiels passt nicht in eine Zeile, also verschieben wir die Fortsetzung in die nächste Zeile. Vergessen Sie nicht das Gleichheitszeichen (=) in der neuen Zeile:

Die Antwort stellte sich als richtiger Bruch heraus, und alles scheint zu uns zu passen, aber es ist zu umständlich und hässlich. Wir sollten es einfacher machen. Was kann getan werden? Sie können diesen Anteil reduzieren.

Um einen Bruch zu kürzen, musst du seinen Zähler und Nenner durch (gcd) die Zahlen 20 und 30 dividieren.

Wir finden also den ggT der Zahlen 20 und 30:

Nun kehren wir zu unserem Beispiel zurück und dividieren Zähler und Nenner des Bruchs durch den gefundenen ggT, ​​also durch 10

Habe eine Antwort bekommen

Einen Bruch mit einer Zahl multiplizieren

Um einen Bruch mit einer Zahl zu multiplizieren, musst du den Zähler des gegebenen Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren und den Nenner gleich lassen.

Beispiel 1. Multipliziere den Bruch mit der Zahl 1.

Multipliziere den Zähler des Bruchs mit der Zahl 1

Der Eintrag kann so verstanden werden, dass er die Hälfte der 1-Zeit in Anspruch nimmt. Wenn Sie zum Beispiel 1 Mal Pizza nehmen, erhalten Sie Pizza

Aus den Gesetzen der Multiplikation wissen wir, dass sich das Produkt nicht ändert, wenn der Multiplikand und der Multiplikator vertauscht werden. Wenn der Ausdruck als geschrieben wird, ist das Produkt immer noch gleich . Auch hier funktioniert die Regel zum Multiplizieren einer ganzen Zahl und eines Bruchs:

Dieser Eintrag kann als Übernahme der Hälfte der Einheit verstanden werden. Wenn es zum Beispiel 1 ganze Pizza gibt und wir die Hälfte davon nehmen, dann haben wir Pizza:

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multipliziere den Zähler des Bruchs mit 4

Die Antwort ist ein unechter Bruch. Nehmen wir einen ganzen Teil davon:

Der Ausdruck kann so verstanden werden, dass man 4 mal zwei Viertel nimmt. Wenn Sie beispielsweise viermal Pizza nehmen, erhalten Sie zwei ganze Pizzen.

Und wenn wir den Multiplikanden und den Multiplikator stellenweise vertauschen, erhalten wir den Ausdruck. Es ist auch gleich 2. Dieser Ausdruck kann so verstanden werden, dass zwei Pizzen von vier ganzen Pizzen genommen werden:

Multiplikation von Brüchen

Um Brüche zu multiplizieren, musst du ihre Zähler und Nenner multiplizieren. Wenn die Antwort ein unechter Bruch ist, müssen Sie den ganzen Teil darin auswählen.

Beispiel 1 Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks .

Habe eine Antwort bekommen. Es ist wünschenswert, diesen Anteil zu reduzieren. Der Bruch kann um 2 gekürzt werden. Dann hat die endgültige Lösung folgende Form:

Der Ausdruck kann so verstanden werden, dass man eine Pizza von einer halben Pizza nimmt. Sagen wir, wir haben eine halbe Pizza:

Wie nehme ich zwei Drittel von dieser Hälfte? Zuerst müssen Sie diese Hälfte in drei gleiche Teile teilen:

Und nimm zwei von diesen drei Stücken:

Wir holen Pizza. Denken Sie daran, wie eine Pizza aussieht, die in drei Teile geteilt ist:

Ein Stück dieser Pizza und die beiden Stücke, die wir genommen haben, haben die gleichen Abmessungen:

Mit anderen Worten, wir reden etwa gleichgroße Pizza. Daher ist der Wert des Ausdrucks

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs:

Die Antwort ist ein unechter Bruch. Nehmen wir einen ganzen Teil davon:

Beispiel 3 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs:

Die Antwort stellte sich als richtiger Bruch heraus, aber es wird gut sein, wenn es reduziert wird. Um diesen Bruch zu kürzen, musst du Zähler und Nenner dieses Bruchs durch den größten gemeinsamen Teiler (ggT) der Zahlen 105 und 450 dividieren.

Finden wir also den ggT der Zahlen 105 und 450:

Nun dividieren wir Zähler und Nenner unserer Antwort auf den nun gefundenen ggT, ​​also durch 15

Eine ganze Zahl als Bruch darstellen

Jede ganze Zahl kann als Bruch dargestellt werden. Beispielsweise kann die Zahl 5 als dargestellt werden. Daher ändert die Fünf ihre Bedeutung nicht, da der Ausdruck „die Zahl Fünf geteilt durch Eins“ bedeutet und dies, wie Sie wissen, gleich Fünf ist:

Zahlen umkehren

Jetzt werden wir uns mit einem sehr interessanten Thema in der Mathematik vertraut machen. Es heißt "umgekehrte Zahlen".

Definition. Umgekehrt zur Zahla ist die Zahl, die, wenn multipliziert mita gibt eine Einheit.

Lassen Sie uns in dieser Definition eine Variable ersetzen a Nummer 5 und versuchen Sie, die Definition zu lesen:

Umgekehrt zur Zahl 5 ist die Zahl, die, wenn multipliziert mit 5 gibt eine Einheit.

Ist es möglich, eine Zahl zu finden, die, wenn sie mit 5 multipliziert wird, eins ergibt? Es stellt sich heraus, dass Sie es können. Stellen wir fünf als Bruch dar:

Dann multipliziere diesen Bruch mit sich selbst, vertausche einfach Zähler und Nenner. Mit anderen Worten, multiplizieren wir den Bruch mit sich selbst, nur umgekehrt:

Was wird daraus resultieren? Wenn wir dieses Beispiel weiter lösen, erhalten wir eins:

Das bedeutet, dass die Umkehrung der Zahl 5 die Zahl ist, denn wenn 5 mit eins multipliziert wird, erhält man eins.

Der Kehrwert kann auch für jede andere ganze Zahl gefunden werden.

Du kannst auch den Kehrwert für jeden anderen Bruch finden. Dazu reicht es aus, es umzudrehen.

Division eines Bruchs durch eine Zahl

Sagen wir, wir haben eine halbe Pizza:

Teilen wir es gleichmäßig auf zwei auf. Wie viele Pizzen bekommt jeder?

Es ist ersichtlich, dass nach dem Teilen der Hälfte der Pizza zwei gleiche Scheiben erhalten wurden, die jeweils eine Pizza bilden. Also bekommt jeder eine Pizza.

Die Division von Brüchen erfolgt mit Kehrwerten. Mit Kehrwerten können Sie die Division durch Multiplikation ersetzen.

Um einen Bruch durch eine Zahl zu dividieren, musst du diesen Bruch mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren.

Mit dieser Regel schreiben wir die Teilung unserer Hälfte der Pizza in zwei Teile auf.

Also musst du den Bruch durch die Zahl 2 teilen. Hier ist der Dividende ein Bruch und der Divisor 2.

Um einen Bruch durch die Zahl 2 zu dividieren, musst du diesen Bruch mit dem Kehrwert des Divisors 2 multiplizieren. Der Kehrwert des Divisors 2 ist ein Bruch. Also musst du mit multiplizieren