Mechanisches System

Mechanisches System - eine Reihe von Materialpunkten:- Bewegung nach den Gesetzen der klassischen Mechanik; und - Interaktion miteinander und mit Körpern, die nicht in diesem Set enthalten sind.

Gewicht

Masse manifestiert sich in der Natur auf verschiedene Weise.

Passive schwere Masse zeigt, mit welcher Kraft der Körper auf externe Gravitationsfelder einwirkt - tatsächlich ist diese Masse die Grundlage für die Massemessung durch Wägung in der modernen Metrologie.

Aktive schwere Masse zeigt, was für ein Gravitationsfeld dieser Körper selbst erzeugt - Gravitationsmassen treten im Gesetz der universellen Gravitation auf.

träge Masse charakterisiert die Trägheit von Körpern und kommt in einer der Formulierungen des zweiten Newtonschen Gesetzes vor. Beschleunigt eine beliebige Kraft im vinertialen Bezugssystem verschiedene zunächst bewegungslose Körper gleichermaßen, so wird diesen Körpern die gleiche träge Masse zugeordnet.

Die Gravitations- und Trägheitsmassen sind einander gleich (mit hoher Genauigkeit - etwa 10 −13 - experimentell und in den meisten physikalischen Theorien, einschließlich aller experimentell bestätigten - genau), daher in dem Fall, in dem wir nicht über "neu" sprechen Physik" , sprechen Sie einfach über die Masse, ohne anzugeben, welche sie meinen.

In der klassischen Mechanik die Masse des Körpersystems gleich ist die Summe der Massen seiner Bestandteile. In der relativistischen Mechanik ist Masse keine additive physikalische Größe, das heißt, die Masse eines Systems ist im Allgemeinen nicht gleich der Summe der Massen der Komponenten, sondern beinhaltet die Bindungsenergie und hängt von der Art der Relativbewegung der Teilchen ab zueinander

Massezentrum - ( in der Mechanik) ein geometrischer Punkt, der die Bewegung eines Körpers oder eines Teilchensystems als Ganzes charakterisiert. Es ist nicht identisch mit dem Konzept des Schwerpunkts (obwohl meistens dasselbe).

Die Lage des Massenschwerpunktes (Trägheitszentrum) eines Systems materieller Punkte in der klassischen Mechanik wird wie folgt bestimmt:

Wo ist der Radius-Vektor des Massenmittelpunkts, ist der Radius-Vektor ich-ter Punkt des Systems, -Masse ich-ter Punkt.

Für den Fall der kontinuierlichen Massenverteilung:

wo ist die Gesamtmasse des Systems, ist das Volumen, ist die Dichte. Der Massenschwerpunkt charakterisiert somit die Massenverteilung über einen Körper oder ein Teilchensystem.

Es kann gezeigt werden, dass, wenn das System nicht aus materiellen Punkten, sondern aus ausgedehnten Körpern mit Massen besteht, der Radiusvektor des Massenschwerpunkts eines solchen Systems durch die Körperbeziehung zu den Radiusvektoren der Massenschwerpunkte in Beziehung steht :

Mit anderen Worten, bei ausgedehnten Körpern gilt eine Formel, die in ihrer Struktur mit der für materielle Punkte verwendeten übereinstimmt.

In der Mechanik!!!

Das Konzept des Massenschwerpunkts ist in der Mechanik und Physik weit verbreitet.

Die Bewegung eines starren Körpers kann als Überlagerung der Bewegung des Massenmittelpunkts und der Rotationsbewegung des Körpers um seinen Massenmittelpunkt betrachtet werden. In diesem Fall bewegt sich der Massenmittelpunkt so, wie sich ein Körper mit gleicher Masse, aber unendlich kleiner Größe (materieller Punkt) bewegen würde. Letzteres bedeutet insbesondere, dass alle Newtonschen Gesetze zur Beschreibung dieser Bewegung anwendbar sind. In vielen Fällen kann man die Abmessungen und Form des Körpers völlig ignorieren und nur die Bewegung seines Massenschwerpunkts berücksichtigen.

Es ist oft zweckmäßig, die Bewegung eines geschlossenen Systems in einem Bezugssystem zu betrachten, das dem Massenmittelpunkt zugeordnet ist. Ein solches Bezugssystem wird Schwerpunktsystem (C-System) oder Trägheitszentrumssystem genannt. Darin bleibt der Gesamtimpuls eines geschlossenen Systems immer gleich Null, was es uns ermöglicht, die Gleichungen seiner Bewegung zu vereinfachen.

Schwerpunkte homogener Figuren

Das Segment hat eine Mitte.

Für Polygone (sowohl solide flache Figuren als auch Drahtmodelle):

Ein Parallelogramm ist der Schnittpunkt der Diagonalen.

Das Dreieck hat den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ( Schwerpunkt).

Ein regelmäßiges Polygon hat eine Zentrumsrotationssymmetrie.

Ein Halbkreis hat einen Punkt, der den senkrechten Radius im Verhältnis 4:3π vom Mittelpunkt des Kreises teilt.

Bewegungsmenge = Impuls

Der Impuls des Systems (Impuls des Systems).

Momentum (Schwung des Körpers) ist eine vektorielle physikalische Größe gleich dem Produkt aus Körpermasse und seiner Geschwindigkeit:

Momentum (Impuls) ist eine der grundlegendsten Eigenschaften der Bewegung eines Körpers oder Systems von Körpern.

Wir schreiben Newtons II Gesetz in anderer Form, wobei wir berücksichtigen, dass die Beschleunigung Dann also

Das Produkt aus Kraft und Einwirkungszeit ist gleich der Impulszunahme des Körpers (Abb. 1):

Wo ist der Impuls der Kraft, was zeigt, dass das Ergebnis der Wirkung der Kraft nicht nur von ihrem Wert, sondern auch von der Dauer ihrer Wirkung abhängt?

Abb.1

Der Bewegungsbetrag des Systems (Impuls) ist die Vektorgröße gleich der geometrischen Summe (Hauptvektor) der Bewegungsbeträge (Impulse) aller Punkte des Systems(Abb.2):

Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass der Vektor unabhängig von den Geschwindigkeiten der Punkte des Systems (es sei denn, diese Geschwindigkeiten sind parallel) beliebige Werte annehmen und sich sogar als gleich Null herausstellen kann, wenn das Polygon aufgebaut wird die Vektoren schließen. Folglich ist es unmöglich, die Art der Bewegung des Systems anhand ihrer Größe vollständig zu beurteilen.

Abb.2

Lassen Sie uns eine Formel finden, mit deren Hilfe es viel einfacher ist, den Wert zu berechnen und seine Bedeutung zu verstehen.

Von der Gleichberechtigung

folgt dem

Nehmen wir die zeitliche Ableitung beider Teile, erhalten wir

Ab hier finden wir das

Der Bewegungsbetrag (Impuls) des Systems ist gleich dem Produkt aus der Masse des gesamten Systems und der Geschwindigkeit seines Massenschwerpunkts . Dieses Ergebnis ist besonders praktisch, wenn der Impuls starrer Körper berechnet wird.

Aus der Formel ist ersichtlich, dass, wenn sich der Körper (oder das System) so bewegt, dass der Massenschwerpunkt stationär bleibt, der Impuls des Körpers null ist. Beispielsweise ist der Impuls eines Körpers, der sich um eine feste Achse dreht, die durch seinen Massenmittelpunkt verläuft, null.

Wenn die Bewegung des Körpers komplex ist, charakterisiert der Wert nicht den Rotationsanteil der Bewegung um den Massenmittelpunkt. Zum Beispiel für ein rollendes Rad, egal wie sich das Rad um seinen Massenmittelpunkt dreht Mit.

Auf diese Weise, der Bewegungsbetrag charakterisiert nur die Translationsbewegung des Systems. Bei komplexen Bewegungen charakterisiert die Größe nur den translatorischen Anteil der Systembewegung zusammen mit dem Massenmittelpunkt.

Der Hauptpunkt der stv-dv Izheniya (Impuls) des Systems.

Der Hauptimpuls (oder Drehimpuls) des Systems relativ zu einem bestimmten Zentrum Ö heißt eine Größe gleich der geometrischen Summe der Momente der Bewegungsgrößen aller Punkte des Systems relativ zu diesem Zentrum.

In ähnlicher Weise werden die Momente der Bewegungsgrößen des Systems relativ zu den Koordinatenachsen bestimmt:

Sie sind in diesem Fall gleichzeitig die Projektionen des Vektors auf die Koordinatenachsen.

So wie der Impuls eines Systems ein Merkmal seiner Translationsbewegung ist, Das Hauptmoment des Impulses des Systems ist ein Merkmal der Rotationsbewegung des Systems.

Abb.6

Die mechanische Bedeutung der Größe verstehen L 0 und haben die notwendigen Formeln zur Lösung von Problemen, berechnen wir den Drehimpuls eines Körpers, der sich um eine feste Achse dreht (Abb. 6).In diesem Fall, wie üblich, die Definition des Vektors kommt darauf an, seine Projektionen zu definieren.

Finden wir zunächst die wichtigste Formel für Anwendungen, die die Menge bestimmt L z, d.h. Drehimpuls eines rotierenden Körpers um die Rotationsachse.

Für jeden Punkt des Körpers, der von der Rotationsachse entfernt ist, die Geschwindigkeit. Daher für diesen Punkt. Dann erhalten wir für den ganzen Körper, indem wir den gemeinsamen Faktor ω aus der Klammer nehmen

Der Wert in Klammern ist das Trägheitsmoment des Körpers um die Achse z. Endlich finden wir

Auf diese Weise, Das kinetische Moment eines rotierenden Körpers um die Rotationsachse ist gleich dem Produkt aus dem Trägheitsmoment des Körpers um diese Achse und der Winkelgeschwindigkeit des Körpers.

Wenn das System aus mehreren Körpern besteht, die sich um dieselbe Achse drehen, dann wird es offensichtlich welche geben

Es ist leicht, die Analogie zwischen den Formeln und zu sehen: Der Betrag der Bewegung ist gleich dem Produkt aus der Masse (der Wert, der die Trägheit des Körpers während der Translationsbewegung charakterisiert) und der Geschwindigkeit; Das kinetische Moment ist gleich dem Produkt aus dem Trägheitsmoment (ein Wert, der die Trägheit des Körpers während der Drehbewegung charakterisiert) und der Winkelgeschwindigkeit.

Betrachten Sie noch einmal das gleiche System materieller Punkte. Konstruieren wir den Radiusvektor nach folgender Regel:

wo ist der Radiusvektor dieses materiellen Punktes des Systems und seine Masse.

Der Radiusvektor bestimmt die Lage im Raum Trägheitszentrum (Schwerpunkt) Systeme.

Es ist überhaupt nicht notwendig, dass irgendein materieller Punkt im Massenmittelpunkt des Systems liegt.

Beispiel. Lassen Sie uns den Schwerpunkt eines Systems finden, das aus zwei kleinen Kugeln besteht - materielle Punkte, die durch einen gewichtslosen Stab verbunden sind (Abb. 3.29). Dieses Körpersystem wird Hanteln genannt.

Reis. 3.29. Schwerpunkt Hantel

Von Abb. es ist klar, dass

Setzen Sie in diese Gleichungen den Ausdruck für den Radiusvektor des Massenmittelpunkts ein

Daraus folgt, dass der Schwerpunkt auf einer geraden Linie liegt, die durch die Mittelpunkte der Kugeln verläuft. Entfernungen l 1 und l 2 zwischen den Kugeln und dem Massenschwerpunkt jeweils gleich sind

Der Massenmittelpunkt liegt näher an der Kugel, deren Masse größer ist, wie aus der Beziehung ersichtlich ist:

Bestimmen wir die Geschwindigkeit, mit der sich das Trägheitszentrum des Systems bewegt. Lassen Sie uns beide Teile zeitlich differenzieren:

Der Zähler des resultierenden Ausdrucks auf der rechten Seite enthält die Summe der Impulse aller Punkte, also den Impuls des Systems. Der Nenner ist die Gesamtmasse des Systems

Wir haben festgestellt, dass die Geschwindigkeit des Trägheitszentrums mit dem Impuls des Systems und seiner Gesamtmasse durch dieselbe Beziehung zusammenhängt, die für einen materiellen Punkt gilt:

Video 3.11. Die Bewegung des Massenschwerpunkts zweier identischer Wagen, die durch eine Feder verbunden sind.

Der Schwerpunkt eines abgeschlossenen Systems bewegt sich immer mit konstanter Geschwindigkeit, da der Impuls eines solchen Systems erhalten bleibt.

Differenziert man nun den Ausdruck für den Impuls des Systems nach der Zeit und berücksichtigt, dass die Ableitung des Impulses des Systems die Resultierende äußerer Kräfte ist, so erhält man Bewegungsgleichung des Massenmittelpunktes des Systems im Allgemeinen:

Es ist klar, dass

Der Massenmittelpunkt des Systems bewegt sich genau so, wie sich ein materieller Punkt mit einer Masse gleich der Masse aller Teilchen des Systems unter der Wirkung der Vektorsumme aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte bewegen würde.

Wenn es ein System von materiellen Punkten gibt, dessen innere Lage und Bewegung für uns nicht von Interesse sind, haben wir das Recht, es als materiellen Punkt mit den Koordinaten des Radiusvektors des Trägheitszentrums und einer Masse gleich zu betrachten die Summe der Massen der materiellen Punkte des Systems.

Ordnen wir dem Massenmittelpunkt eines geschlossenen Systems materieller Punkte (Teilchen) ein Bezugssystem (sog Schwerpunktsystem), dann ist der Gesamtimpuls aller Teilchen in einem solchen System gleich Null. Also im Schwerpunktsystem das geschlossene Teilchensystem als Ganzes ruht, und es gibt nur eine Bewegung der Teilchen relativ zum Massenmittelpunkt. Daher werden die Eigenschaften von internen Prozessen, die in einem geschlossenen System ablaufen, klar offenbart.

Für den Fall, dass das System ein Körper mit kontinuierlicher Massenverteilung ist, bleibt die Definition des Massenschwerpunkts im Wesentlichen gleich. Wir umgeben einen beliebigen Punkt in unserem Körper mit einem kleinen Volumen. Die in diesem Volumen enthaltene Masse ist gleich , wobei die Dichte der Substanz des Körpers ist, die über sein Volumen nicht konstant sein darf. Die Summe über alle solchen Elementarmassen wird nun durch ein Integral über das gesamte Volumen des Körpers ersetzt, so dass man für die Lage des Massenschwerpunktes des Körpers den Ausdruck erhält

Wenn die Substanz des Körpers homogen ist, ist ihre Dichte konstant, und sie kann unter dem Integralzeichen herausgenommen werden, so dass sie im Zähler und Nenner reduziert wird. Dann nimmt der Ausdruck für den Radiusvektor des Massenmittelpunkts des Körpers die Form an

wo ist das volumen des körpers.

Und bei einer kontinuierlichen Massenverteilung trifft die Aussage zu

Der Massenmittelpunkt eines starren Körpers bewegt sich auf die gleiche Weise wie ein materieller Punkt mit einer Masse gleich der Masse des Körpers sich unter der Wirkung der Vektorsumme aller auf den Körper wirkenden äußeren Kräfte bewegen würde.

Beispiel. Wenn das Projektil irgendwann auf seiner parabelförmigen Flugbahn explodiert, fliegen die Fragmente auf verschiedenen Flugbahnen, aber sein Massenschwerpunkt bewegt sich weiter entlang der Parabel.

Es gibt viele verschiedene Strukturen und Strukturen, bei denen man sich fragt, wie sie das Gleichgewicht halten. Der vielleicht berühmteste von ihnen ist der berühmte Schiefe Turm von Pisa, der bereits 1360 erbaut wurde und seine unbeabsichtigte Neigung beibehalten hat. Warum hält der Schiefe Turm von Pisa sein Gleichgewicht? Das Geheimnis ist einfach. Die vertikale Projektion des Massenmittelpunkts des Turms liegt auf seiner Basis. Das gilt für jedes andere Gebäude. Wenn ein Objekt an einem Punkt aufgehängt wird, der mit dem Massenmittelpunkt zusammenfällt, behält das aufgehängte Objekt außerdem das Gleichgewicht. Es ist auch möglich, aus verschiedenen Objekten Strukturen der bizarrsten Form zusammenzusetzen, die bei richtiger Berechnung der Lage des Massenschwerpunkts im Gleichgewicht sind. Versuchen wir herauszufinden, wie man die Koordinaten des Massenschwerpunkts verschiedener flacher Figuren berechnet.

Nehmen wir an, Sie entscheiden sich für eine Neujahrsgirlande, die aus verschiedenen Formen besteht, einschließlich der Form eines Pfeils. Zuerst müssen Sie ein gleichschenkliges Dreieck aus dickem Papier mit einem Neujahrsmuster ausschneiden. Dann müssen Sie einen Ausschnitt machen, ebenfalls in Form eines gleichschenkligen Dreiecks, damit der Schwerpunkt der resultierenden Figur an diesem Punkt liegt BEIM(siehe Bild). Finden wir die Koordinaten x c und y c der Schwerpunkt dieser Figur in einem rechtwinkligen Koordinatensystem yOx.

Die Lage des Massenschwerpunkts von flachen Figuren ist bekannt: Der Massenschwerpunkt eines Dreiecks liegt im Schnittpunkt seiner Seitenhalbierenden, der Massenschwerpunkt eines Rechtecks ​​liegt im Schnittpunkt seiner Diagonalen, dem Mittelpunkt des Dreiecks Die Masse eines Kreises fällt mit seinem Mittelpunkt zusammen. Da das Dreieck ACD- also gleichschenklig, aufgrund seiner Symmetrie in Bezug auf eine gerade Linie OA, folgt dem x c = 0.

Koordinaten berechnen y c verwenden wir die folgende Formel:

wo S ∆ACD und SΔBCD- Bereiche von Dreiecken ACD und BCD, a y c 1 und y c 2 sind jeweils die Koordinaten ihrer Massenschwerpunkte. Dann:

In Anbetracht dessen, dass der Schwerpunkt auf dem Punkt liegen muss B, wir bekommen:

|OB | = ½ |OA |. Das ist der Punkt B- die Mitte des Segments |OA|.

Gemäß der vorgeschlagenen Methode schlagen wir vor, dass Sie das Problem lösen:

Berechnen Sie die Koordinaten des Massenmittelpunkts eines Radiuskreises R mit Schnittkreisradius r(siehe Bild). Bestimmen Sie das Verhältnis der Radien R und r so dass der Schwerpunkt der Figur im Punkt liegt B. Analysieren Sie das Ergebnis.

Anweisung

Es ist zu beachten, dass die Position des Massenschwerpunkts direkt davon abhängt, wie seine Masse über das Körpervolumen verteilt ist. Der Massenschwerpunkt muss nicht einmal im Körper selbst liegen, ein Beispiel für ein solches Objekt ist ein homogener Ring, bei dem sich der Massenschwerpunkt in seinem geometrischen Mittelpunkt befindet. Also - . In Berechnungen kann der Schwerpunkt als mathematischer Punkt betrachtet werden, an dem sich die gesamte Masse des Körpers konzentriert.

Hier R.ts.m. ist der Radiusvektor des Massenmittelpunkts, mi ist die Masse des i-ten Punktes, ri ist der Radiusvektor des i-ten Punktes des Systems. In der Praxis ist es in vielen Fällen einfach, den Schwerpunkt zu finden, wenn das Objekt eine bestimmte strenge geometrische Form hat. Bei einem homogenen Stab ist er beispielsweise genau in der Mitte. Bei einem Parallelogramm ist es der Schnittpunkt der Diagonalen, bei einem Dreieck ist es ein Punkt und bei einem regelmäßigen Polygon liegt der Schwerpunkt im Zentrum der Rotationssymmetrie.

Bei komplexeren Körpern wird die Berechnungsaufgabe komplizierter, in diesem Fall ist es notwendig, das Objekt in homogene Volumina zu zerlegen. Für jeden von ihnen separat die Massenschwerpunkte, wonach die gefundenen Werte in die entsprechenden Formeln eingesetzt und der endgültige Wert gefunden werden.

In der Praxis ist die Notwendigkeit, den Schwerpunkt (Schwerpunkt) zu bestimmen, meist mit Konstruktionsarbeiten verbunden. Beim Entwurf eines Schiffes ist es beispielsweise wichtig, dessen Stabilität zu gewährleisten. Wenn der Schwerpunkt zu hoch liegt, kann es umkippen. Wie berechnet man die erforderlichen Parameter für ein so komplexes Objekt wie ein Schiff? Dazu werden die Schwerpunkte seiner einzelnen Elemente und Baugruppen gefunden, wonach die gefundenen Werte unter Berücksichtigung ihrer Lage aufsummiert werden. Beim Entwerfen versuchen sie normalerweise, den Schwerpunkt so niedrig wie möglich zu platzieren, sodass sich die schwersten Einheiten ganz unten befinden.

Quellen:

• Massezentrum
• Lösen von Problemen in der Physik

Der Schwerpunkt ist das wichtigste geometrische und technische Merkmal des Körpers. Ohne die Berechnung seiner Koordinaten ist das Entwerfen im Maschinenbau, das Lösen von Konstruktions- und Architekturproblemen undenkbar. Die exakte Bestimmung der Schwerpunktskoordinaten erfolgt mittels Integralrechnung.

Anweisung

Sie sollten immer damit beginnen, schrittweise zu komplexeren Situationen überzugehen. Gehen Sie davon aus, dass der Schwerpunkt einer kontinuierlichen ebenen Figur D bestimmt werden soll, auf die ρ konstant und innerhalb ihrer Grenzen gleichmäßig verteilt ist. Das Argument x geht von a nach b, y von c nach d. Teilen Sie die Figur mit einem Raster aus vertikalen (x=x(i-1), x=xi (i=1,2,…,n)) und horizontalen Linien (y=y(j-1), y=xj ( j=1, 2,…,m)) in elementare Rechtecke mit Grundflächen ∆хi=xi-x(i-1) und Höhen ∆yj=yj-y(j-1) (siehe Abb. 1). Finden Sie in diesem Fall die Mitte des Elementarsegments ∆хi als ξi=(1/2) und die Höhe ∆yj als ηj=(1/2). Da die Dichte gleichmäßig verteilt ist, fällt der Schwerpunkt eines elementaren Rechtecks ​​mit seinem geometrischen Mittelpunkt zusammen. Das ist Хцi=ξi, Yцi=ηj.

Die Masse M einer flachen Figur (wenn sie unbekannt ist) als Produkt der Fläche berechnen. Elementare Fläche ersetzen durch ds=∆хi∆yj=dxdy. Stellen Sie ∆mij als dM=ρdS=ρdxdy dar und erhalten Sie seine Masse mit der in der Abbildung gezeigten Formel. 2a. Berücksichtigen Sie bei kleinen Inkrementen, dass ∆mij an einem materiellen Punkt mit den Koordinaten Хцi=ξi, Yцi=ηj konzentriert ist. Aus den Problemen ist bekannt, dass jede Koordinate des Massenschwerpunktes eines Systems von materiellen Punkten gleich einem Bruch ist, dessen Zähler die Summe der statischen Massenmomente mν relativ zur entsprechenden Achse ist, und gleich dem ist Summe dieser Massen. Das statische Massenmoment mν ist bezogen auf die 0x-Achse yν*mν und bezogen auf 0y xν*mν.

Wenden Sie dies auf die betrachtete Situation an und erhalten Sie die Näherungswerte der statischen Momente Jx und Jy im Formular Die im letzten Ausdruck enthaltenen Summen sind ganzzahlig. Gehen Sie zu den Grenzen von ihnen bei ∆хν→0 ∆yν→0 und schreiben Sie die letzten auf (siehe Abb. 2b). Ermitteln Sie die Koordinaten des Massenschwerpunkts, indem Sie das entsprechende statistische Moment durch die Gesamtmasse der Figur M dividieren.

Die Methodik zur Gewinnung der Schwerpunktskoordinaten der Raumfigur G unterscheidet sich lediglich dadurch, dass Tripelintegrale entstehen und die statischen Momente relativ zu den Koordinatenebenen betrachtet werden. Wir sollten nicht vergessen, dass die Dichte nicht unbedingt konstant ist, also ρ(x,y,z)≠const. Daher hat das letzte und allgemeinste die Form (siehe Abb. 3).

Quellen:

• Piskunov N.S. Differential- und Integralrechnung. T.2., M.: 1976, 576 S., mit Abb.

Das 1666 von Newton entdeckte und 1687 veröffentlichte Gesetz der universellen Gravitation besagt, dass sich alle Körper mit Masse gegenseitig anziehen. Die mathematische Formulierung erlaubt nicht nur, die Tatsache der gegenseitigen Anziehung von Körpern festzustellen, sondern auch ihre Stärke zu messen.

Anweisung

Schon vor Newton spekulierten viele über die Existenz der universellen Gravitation. Von Anfang an war ihnen klar, dass die Anziehung zwischen zwei beliebigen Körpern von ihrer Masse abhängen und mit der Entfernung schwächer werden muss. Johannes Kepler, der als erster die elliptischen Bahnen des Sonnensystems beschrieb, glaubte, dass die Sonne mit einer Kraft anzieht, die umgekehrt proportional zur Entfernung ist.

Schließlich wird das Gesetz der universellen Gravitation wie folgt formuliert: Zwei beliebige Körper mit Masse werden gegenseitig angezogen, und die Kraft ihrer Anziehung ist gleich

F = G* ((m1*m2)/R^2),

wo m1 und m2 - Körpermassen, R - Entfernung, G - Gravitationskonstante.

Wenn der an der Schwerkraft beteiligte Körper eine ungefähr kugelförmige Form hat, sollte der Abstand R nicht von seiner Oberfläche, sondern vom Massenmittelpunkt aus gemessen werden. Ein materieller Punkt mit der gleichen Masse, genau in der Mitte gelegen, würde genau die gleiche Anziehungskraft erzeugen.

Das bedeutet insbesondere, dass beispielsweise bei der Berechnung der Kraft, mit der die Erde einen auf ihr Stehenden anzieht, der Abstand R nicht gleich Null ist, sondern gleich dem Radius. Tatsächlich ist es gleich dem Abstand zwischen dem Erdmittelpunkt und dem Schwerpunkt einer Person, aber dieser Unterschied kann ohne Genauigkeitsverlust vernachlässigt werden.

Die Anziehungskraft der Schwerkraft ist immer gegenseitig: Nicht nur die Erde zieht eine Person an, sondern zieht auch die Erde an. Aufgrund des großen Unterschieds zwischen der Masse einer Person auf dem Planeten ist dies nicht wahrnehmbar. Ebenso wird bei der Berechnung der Flugbahnen von Raumfahrzeugen meist vernachlässigt, dass das Raumfahrzeug Planeten und Kometen anzieht.

Sind die Massen interagierender Objekte jedoch vergleichbar, dann wird ihre gegenseitige Anziehungskraft für alle Beteiligten spürbar. Zum Beispiel ist es aus physikalischer Sicht nicht ganz richtig zu sagen, dass sich der Mond um die Erde dreht. In Wirklichkeit drehen sich Mond und Erde um einen gemeinsamen Massenmittelpunkt. Da unser Planet viel größer ist als sein natürlicher, befindet sich dieses Zentrum in seinem Inneren, fällt aber immer noch nicht mit dem Erdmittelpunkt zusammen.

Ähnliche Videos

Quellen:

• Coole Physik für Neugierige - das Gesetz der universellen Gravitation

Mathematik und Physik sind vielleicht die erstaunlichsten Wissenschaften, die der Menschheit zur Verfügung stehen. Indem Wissenschaftler die Welt durch wohldefinierte und berechenbare Gesetzmäßigkeiten beschreiben, können sie „auf die Spitze eines Stiftes“ Werte erhalten, die auf den ersten Blick unmöglich zu messen scheinen.

Anweisung

Eines der Grundgesetze der Physik ist das Gravitationsgesetz. Es besagt, dass alle Körper mit einer Kraft gleich F=G*m1*m2/r^2 angezogen werden. In diesem Fall ist G eine bestimmte Konstante (wird direkt während der Berechnung angegeben), m1 und m2 sind die Massen der Körper und r ist der Abstand zwischen ihnen.

Masse Länder können basierend auf Experimenten berechnet werden. Mit einem Pendel und einer Stoppuhr können Sie die Freifallbeschleunigung g (der Schritt wird als irrelevant weggelassen) gleich 10 m / s ^ 2 berechnen. Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz kann F als m*a dargestellt werden. Daher gilt für einen Körper, der von der Erde angezogen wird: m2*a2=G*m1*m2/r^2, wobei m2 die Masse des Körpers ist, m1 die Masse der Erde ist, a2=g. Nach Umformungen (Reduktion von m2 in beiden Teilen, Übertragung von m1 nach links und a2 nach rechts) nimmt die Gleichung folgende Form an: m1=(ar)^2/G. Wertsubstitution ergibt m1=6*10^27

Die Berechnung der Masse des Mondes basiert auf der Regel: Von den Körpern zum Massenmittelpunkt des Systems sind die Massen der Körper umgekehrt proportional. Es ist bekannt, dass sich die Erde und der Mond um einen bestimmten Punkt (cm) drehen und die Entfernungen von den Mittelpunkten zu diesem Punkt 1/81,3 betragen. Daher Ml \u003d Mz / 81,3 \u003d 7,35 * 10 ^ 25.

Weitere Berechnungen basieren auf dem 3. Gesetz von Keppler, wonach (T1/T2)^2*(M1+Mc)/(M2+Mc)=(L1/L2)^3, wobei T die Umdrehungsdauer eines Himmelskörpers ist Körper herum Sonne, L ist der Abstand zu letzterem, M1, M2 und Mc sind die Massen zweier Himmelskörper bzw. . Wenn Sie Gleichungen für zwei Systeme zusammenstellen (+ Mond - / Erde - Mond), können Sie sehen, dass sich ein Teil der Gleichung als gemeinsam herausstellt, was bedeutet, dass der zweite gleichgesetzt werden kann.

Die Berechnungsformel in der allgemeinsten Form lautet Lz^3/(Tz^2*(Mc+Mz)=Ll^3/(Tl^2*(Mz+Ml). Die Massen von Himmelskörpern wurden theoretisch berechnet; Kalkül oder praktische Methoden werden verwendet, um L zu berechnen.

Kinetische Energie ist die Energie eines mechanischen Systems, die von der Bewegungsgeschwindigkeit jedes seiner Punkte abhängt. Mit anderen Worten, kinetische Energie ist die Differenz zwischen der Gesamtenergie und der Ruheenergie des betrachteten Systems, also der Teil der Gesamtenergie des Systems, der auf Bewegung zurückzuführen ist. Kinetische Energie wird unterteilt in Energie translatorische und rotatorische Bewegung. Die SI-Einheit für kinetische Energie ist das Joule.

Anweisung

Bei der translatorischen Bewegung haben alle Punkte des Systems (Körpers) die gleiche Bewegungsgeschwindigkeit, die gleich der Bewegungsgeschwindigkeit des Massenmittelpunkts des Körpers ist. In diesem Fall ist das kinetische System Tpost gleich:
Tpost = ? (mk Vс2)/2,
wobei mk die Masse des Körpers und Vс der Schwerpunkt ist.Bei einem translatorischen Körper ist die kinetische Energie also gleich dem Produkt aus der Masse des Körpers und dem Quadrat der Geschwindigkeit des Schwerpunkts, dividiert um zwei. In diesem Fall hängt der Wert der Kinetik nicht von der Bewegung ab.

In der Ingenieurpraxis kommt es vor, dass es notwendig wird, die Koordinaten des Schwerpunkts einer komplexen flachen Figur zu berechnen, die aus einfachen Elementen besteht, für die die Lage des Schwerpunkts bekannt ist. Diese Aufgabe ist Teil der Aufgabe zur Bestimmung...

Geometrische Eigenschaften von Verbundquerschnitten von Balken und Stäben. Solche Fragen stellen sich oft Konstrukteure von Stanzwerkzeugen bei der Bestimmung der Koordinaten des Druckschwerpunkts, Entwickler von Ladeschemata für verschiedene Fahrzeuge beim Aufbringen von Lasten, Konstrukteure von Metallkonstruktionen bei der Auswahl von Abschnitten von Elementen und natürlich Studenten im Studium die Disziplinen "Theoretische Mechanik" und "Festigkeit der Werkstoffe".

Bibliothek elementarer Figuren.

Bei symmetrischen ebenen Figuren fällt der Schwerpunkt mit dem Symmetriezentrum zusammen. Die symmetrische Gruppe elementarer Objekte umfasst: einen Kreis, ein Rechteck (einschließlich eines Quadrats), ein Parallelogramm (einschließlich einer Raute), ein regelmäßiges Vieleck.

Von den zehn in der obigen Abbildung gezeigten Figuren sind nur zwei grundlegend. Das heißt, Sie können mit Dreiecken und Kreissektoren fast jede Figur von praktischem Interesse kombinieren. Beliebige Kurven können in Abschnitte unterteilt und durch Kreisbögen ersetzt werden.

Die restlichen acht Figuren sind die häufigsten, weshalb sie in diese Art von Bibliothek aufgenommen wurden. In unserer Klassifikation sind diese Elemente nicht grundlegend. Ein Rechteck, ein Parallelogramm und ein Trapez können aus zwei Dreiecken zusammengesetzt werden. Ein Sechseck ist die Summe von vier Dreiecken. Das Kreissegment ist die Differenz zwischen dem Kreissektor und dem Dreieck. Der Ringsektor des Kreises ist die Differenz zwischen den beiden Sektoren. Ein Kreis ist ein Kreissektor mit einem Winkel α=2*π=360˚. Ein Halbkreis ist jeweils ein Kreissektor mit einem Winkel α=π=180˚.

Berechnung in Excel der Koordinaten des Schwerpunkts einer zusammengesetzten Figur.

Es ist immer einfacher, Informationen anhand eines Beispiels zu übermitteln und wahrzunehmen, als die Problematik mit rein theoretischen Berechnungen zu untersuchen. Betrachten Sie die Lösung des Problems "Wie finde ich den Schwerpunkt?" am Beispiel einer zusammengesetzten Figur, die in der Abbildung unter diesem Text gezeigt wird.

Ein zusammengesetzter Abschnitt ist ein Rechteck (mit Abmessungen a1 =80 mm, b1 \u003d 40 mm), zu dem oben links ein gleichschenkliges Dreieck hinzugefügt wurde (mit der Größe der Basis a2 =24 mm und Höhe h2 \u003d 42 mm) und aus dem von rechts oben ein Halbkreis geschnitten wurde (zentriert am Punkt mit Koordinaten x03 =50mm u j03 =40 mm, Radius r3 =26mm).

Um Ihnen bei der Berechnung zu helfen, binden wir das Programm ein MS-Excel oder Programm Oo Kalk . Jeder von ihnen wird unsere Aufgabe leicht bewältigen!

In Zellen mit gelb Füllung ist machbar Hilfsvorläufigkeit Berechnungen .

In Zellen mit hellgelber Füllung zählen wir die Ergebnisse.

Blau Schriftart ist Ausgangsdaten .

Schwarz Schriftart ist mittlere Berechnungsergebnisse .

Rot Schriftart ist Finale Berechnungsergebnisse .

Wir beginnen mit der Lösung des Problems - wir beginnen mit der Suche nach den Koordinaten des Schwerpunkts des Abschnitts.

Ausgangsdaten:

1. Die Namen der Elementarfiguren, die den zusammengesetzten Abschnitt bilden, werden entsprechend eingetragen

zu Zelle D3: Rechteck

zu Zelle E3: Dreieck

zu Zelle F3: Halbkreis

2. Unter Verwendung der in diesem Artikel vorgestellten "Bibliothek der Elementarfiguren" bestimmen wir die Koordinaten der Schwerpunkte der Elemente des zusammengesetzten Abschnitts xci und yci in mm relativ zu willkürlich gewählten Achsen 0x und 0y und schreiben

zu Zelle D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = a 1 /2

zu Zelle D5: =40/2 =20,000

ja 1 = b 1 /2

zu Zelle E4: =24/2 =12,000

xc 2 = a 2 /2

zu Zelle E5: =40+42/3 =54,000

ja 2 = b 1 + h 2 /3

zu Zelle F4: =50 =50,000

xc 3 = x03

zu Zelle F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

ja 3 = j 03 -4* r3 /3/ π

3. Berechnen Sie die Fläche der Elemente F 1 , F 2 , F3 in mm2 unter erneuter Verwendung der Formeln aus dem Abschnitt "Bibliothek der Elementarfiguren"

in Zelle D6: =40*80 =3200

F1 = a 1 * b1

in Zelle E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

in Zelle F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

Die Fläche des dritten Elements – des Halbkreises – ist negativ, da dieser Ausschnitt ein leerer Raum ist!

Berechnung der Koordinaten des Schwerpunkts:

4. Bestimmen Sie die Gesamtfläche der endgültigen Figur F0 in mm2

in verbundener Zelle D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Berechnen Sie die statischen Momente der zusammengesetzten Figur Sx und Sy in mm3 relativ zu den ausgewählten Achsen 0x und 0y

in verbundener Zelle D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

in verbundener Zelle D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. Und schließlich berechnen wir die Koordinaten des Schwerpunkts des Verbundprofils Xc und Ja in mm im gewählten Koordinatensystem 0x - 0y

in verbundener Zelle D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = Sy / F0

in verbundener Zelle D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc=Sx/F0

Das Problem ist gelöst, die Berechnung in Excel ist abgeschlossen - die Koordinaten des Schwerpunkts des Abschnitts, zusammengestellt aus drei einfachen Elementen, sind gefunden!

Fazit.

Das Beispiel im Artikel wurde sehr einfach gewählt, um die Methodik zur Berechnung des Schwerpunkts eines komplexen Querschnitts verständlicher zu machen. Die Methode besteht darin, dass jede komplexe Figur in einfache Elemente mit bekannter Lage der Schwerpunkte zerlegt und abschließende Berechnungen für den gesamten Abschnitt durchgeführt werden sollten.

Wenn der Abschnitt aus gewalzten Profilen - Ecken und Kanälen - besteht, müssen sie nicht in Rechtecke und Quadrate mit ausgeschnittenen kreisförmigen "π / 2" - Sektoren zerlegt werden. Die Koordinaten der Schwerpunkte dieser Profile sind in den GOST-Tabellen angegeben, dh sowohl die Ecke als auch der Kanal sind grundlegende Elementelemente in Ihren Berechnungen von Verbundprofilen (es macht keinen Sinn, über I-Träger, Rohre zu sprechen , Balken und Sechsecke - das sind zentralsymmetrische Schnitte).

Die Lage der Koordinatenachsen auf die Lage des Schwerpunkts der Figur hat natürlich keinen Einfluss! Wählen Sie daher ein Koordinatensystem, das Ihre Berechnungen vereinfacht. Wenn ich in unserem Beispiel beispielsweise das Koordinatensystem um 45˚ im Uhrzeigersinn gedreht hätte, dann würde die Berechnung der Koordinaten der Schwerpunkte von Rechteck, Dreieck und Halbkreis zu einem weiteren separaten und umständlichen Rechenschritt werden, den Sie nicht ausführen können.“ in deinem Kopf".

Die unten dargestellte Excel-Berechnungsdatei ist in diesem Fall kein Programm. Vielmehr ist es eine Skizze eines Rechners, eines Algorithmus, einer Vorlage, die jeweils folgt. Erstellen Sie Ihre eigene Formelfolge für Zellen mit leuchtend gelber Füllung.

Jetzt wissen Sie also, wie Sie den Schwerpunkt eines beliebigen Abschnitts finden! Eine vollständige Berechnung aller geometrischen Eigenschaften beliebiger komplexer Verbundprofile wird in einem der nächsten Artikel unter der Überschrift "" betrachtet. Verfolgen Sie die Neuigkeiten im Blog.

Für Empfang Informationen über die Veröffentlichung neuer Artikel und für Herunterladen von funktionierenden Programmdateien Ich bitte Sie, Ankündigungen im Fenster am Ende des Artikels oder im Fenster oben auf der Seite zu abonnieren.

Nach Eingabe Ihrer E-Mail-Adresse und Klick auf den Button „Artikelankündigungen erhalten“. VERGESSEN SIE NICHT BESTÄTIGEN SIE DAS ABONNEMENT indem Sie auf den Link klicken in einem Brief, der sofort an der angegebenen Post zu Ihnen kommt (manchmal - im Ordner « Spam » )!

Ein paar Worte zu einem Glas, einer Münze und zwei Gabeln, die auf der „Icon-Illustration“ ganz am Anfang des Artikels abgebildet sind. Viele von Ihnen kennen diesen „Trick“, der bei Kindern und uneingeweihten Erwachsenen bewundernde Blicke hervorruft. Das Thema dieses Artikels ist der Schwerpunkt. Er und der Drehpunkt spielen mit unserem Bewusstsein und unserer Erfahrung und täuschen einfach unseren Verstand!

Der Schwerpunkt des Systems "Gabeln + Münze" liegt immer auf Fest Distanz senkrecht nach unten vom Rand der Münze, der wiederum der Drehpunkt ist. Dies ist eine Position des stabilen Gleichgewichts! Rüttelt man an den Gabeln, wird sofort deutlich, dass das System bestrebt ist, seine ehemals stabile Position einzunehmen! Stellen Sie sich ein Pendel vor - der Ankerpunkt (= Auflagepunkt der Münze am Rand des Glases), die Stabachse des Pendels (= in unserem Fall ist die Achse virtuell, da die Masse der beiden Gabeln ist getrennt in verschiedene Raumrichtungen) und das Gewicht am unteren Ende der Achse (= Schwerpunkt des gesamten "Gabel"-Systems + Münze"). Wenn Sie beginnen, das Pendel in irgendeiner Richtung (vorwärts, rückwärts, links, rechts) von der Senkrechten abzulenken, kehrt es unter dem Einfluss der Schwerkraft unweigerlich in seine ursprüngliche Position zurück. stabiler Gleichgewichtszustand(dasselbe passiert mit unseren Gabeln und Münzen)!

Wer es nicht verstanden hat, aber verstehen will - finde es selbst heraus. Es ist sehr interessant, sich selbst zu "erreichen"! Ich möchte hinzufügen, dass das gleiche Prinzip der Verwendung eines stabilen Gleichgewichts auch im Roly-Get Up-Spielzeug implementiert ist. Nur der Schwerpunkt dieses Spielzeugs befindet sich über dem Drehpunkt, aber unter dem Mittelpunkt der Halbkugel der Auflagefläche.

Ihre Kommentare sind immer willkommen, liebe Leser!

Fragen, RESPEKTIEREN Autorenwerk, Download-Datei NACH ABONNEMENT für Artikelankündigungen.