Es ist bekannt, dass das Wurzelzeichen die Quadratwurzel einer Zahl ist. Das Wurzelzeichen bedeutet jedoch nicht nur eine algebraische Operation, sondern wird auch in der Holzbearbeitung verwendet - bei der Berechnung relativer Größen.

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Wenn du lernen möchtest, wie man Wurzeln "mit" oder "ohne" Faktoren multipliziert, dann ist dieser Artikel genau das Richtige für dich. Darin werden wir Methoden zum Multiplizieren von Wurzeln betrachten:

• ohne Multiplikatoren;
• mit Multiplikatoren;
• mit unterschiedlichen Indikatoren.

Wurzelmultiplikationsverfahren ohne Multiplikatoren

Aktionsalgorithmus:

Achten Sie darauf, dass die Wurzel die gleichen Exponenten (Grade) hat. Denken Sie daran, dass der Grad links über dem Wurzelzeichen steht. Fehlt die Gradbezeichnung, bedeutet dies, dass die Wurzel quadratisch ist, also mit Grad 2, und kann mit anderen Wurzeln mit Grad 2 multipliziert werden.

Beispiel

Beispiel 1: 18 × 2 = ?

Beispiel 2: 10 × 5 = ?

Beispiel

Beispiel 1: 18 × 2 = 36

Beispiel 2: 10 × 5 = 50

Beispiel 3: 3 3 × 9 3 = 27 3

Stammausdrücke vereinfachen. Wenn wir die Wurzeln miteinander multiplizieren, können wir den resultierenden Wurzelausdruck zum Produkt einer Zahl (oder eines Ausdrucks) mit einem ganzen Quadrat oder Würfel vereinfachen:

Beispiel

Beispiel 1: 36 = 6 . 36 ist die Quadratwurzel von sechs (6 × 6 = 36).

Beispiel 2: 50 = (25 × 2) = (5 × 5) × 2 = 5 2 . Wir zerlegen die Zahl 50 in das Produkt von 25 und 2. Die Wurzel von 25 ist 5, also nehmen wir 5 unter dem Wurzelzeichen heraus und vereinfachen den Ausdruck.

Beispiel 3: 27 3 = 3 . Die Kubikwurzel von 27 ist 3: 3 × 3 × 3 = 27.

Die Methode zum Multiplizieren von Indikatoren mit Multiplikatoren

Aktionsalgorithmus:

Multiplikatoren multiplizieren. Der Multiplikator ist die Zahl, die vor dem Wurzelzeichen steht. Wenn kein Multiplikator vorhanden ist, wird er standardmäßig als einer betrachtet. Als nächstes müssen Sie die Faktoren multiplizieren:

Beispiel

Beispiel 1: 3 2 × 10 = 3 ? 3 x 1 = 3

Beispiel 2: 4 3 × 3 6 = 12 ? 4 x 3 = 12

Multiplizieren Sie die Zahlen unter dem Wurzelzeichen. Nachdem Sie die Faktoren multipliziert haben, können Sie die Zahlen unter dem Wurzelzeichen multiplizieren:

Beispiel

Beispiel 1: 3 2 × 10 = 3 (2 × 10) = 3 20

Beispiel 2: 4 3 × 3 6 = 12 (3 × 6) = 12 18

Vereinfachen Sie den Wurzelausdruck. Als nächstes sollten Sie die Werte vereinfachen, die sich unter dem Wurzelzeichen befinden - Sie müssen die entsprechenden Zahlen aus dem Wurzelzeichen entfernen. Danach müssen Sie die Zahlen und Faktoren multiplizieren, die vor dem Wurzelzeichen stehen:

Beispiel

Beispiel 1: 3 20 = 3 (4 × 5) = 3 (2 × 2) × 5 = (3 × 2) 5 = 6 5

Beispiel 2: 12 18 = 12 (9 × 2) = 12 (3 × 3) × 2 = (12 × 3) 2 = 36 2

Wurzelmultiplikationsverfahren mit verschiedenen Exponenten

Aktionsalgorithmus:

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der Exponenten. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist die kleinste Zahl, die durch beide Exponenten teilbar ist.

Beispiel

Es ist notwendig, die LCM von Indikatoren für den folgenden Ausdruck zu finden:

Die Exponenten sind 3 und 2 . Für diese beiden Zahlen ist das kleinste gemeinsame Vielfache die Zahl 6 (sie ist sowohl durch 3 als auch durch 2 ohne Rest teilbar). Um die Wurzeln zu multiplizieren, wird ein Exponent von 6 benötigt.

Schreiben Sie jeden Ausdruck mit einem neuen Exponenten:

Finden Sie die Zahlen, mit denen Sie die Indikatoren multiplizieren müssen, um das LCM zu erhalten.

Im Ausdruck 5 3 müssen Sie 3 mit 2 multiplizieren, um 6 zu erhalten. Und im Ausdruck 2 2 - im Gegenteil, es ist notwendig, mit 3 zu multiplizieren, um 6 zu erhalten.

Potenzieren Sie die Zahl unter dem Wurzelzeichen mit der im vorherigen Schritt ermittelten Zahl. Für den ersten Ausdruck muss 5 mit 2 potenziert werden, und der zweite - 2 mit 3 potenziert:

2 → 5 6 = 5 2 6 3 → 2 6 = 2 3 6

Potenzieren Sie den Ausdruck und schreiben Sie das Ergebnis unter das Wurzelzeichen:

5 2 6 = (5 × 5) 6 = 25 6 2 3 6 = (2 × 2 × 2) 6 = 8 6

Multiplizieren Sie die Zahlen unter der Wurzel:

(8×25) 6

Ergebnis schreiben:

(8 × 25) 6 = 200 6

Wenn möglich, vereinfachen Sie den Ausdruck, aber in diesem Fall wird er nicht vereinfacht.

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Hallo Kätzchen! Letztes Mal haben wir ausführlich analysiert, was Wurzeln sind (wenn Sie sich nicht erinnern, empfehle ich zu lesen). Die wichtigste Schlussfolgerung dieser Lektion: Es gibt nur eine universelle Definition von Wurzeln, die Sie kennen müssen. Der Rest ist Quatsch und Zeitverschwendung.

Heute gehen wir weiter. Wir werden lernen, Wurzeln zu multiplizieren, wir werden einige Probleme im Zusammenhang mit der Multiplikation untersuchen (wenn diese Probleme nicht gelöst werden, können sie in der Prüfung tödlich werden) und wir werden richtig üben. Also Popcorn eindecken, gemütlich machen - und los geht's. :)

Du hast noch nicht geraucht, oder?

Die Lektion stellte sich als ziemlich umfangreich heraus, also habe ich sie in zwei Teile geteilt:

1. Zuerst schauen wir uns die Regeln für die Multiplikation an. Die Kappe scheint anzudeuten: Das ist, wenn es zwei Wurzeln gibt, gibt es ein „Multiplizieren“-Zeichen zwischen ihnen – und wir wollen etwas damit machen.
2. Dann werden wir die umgekehrte Situation analysieren: Es gibt eine große Wurzel, und wir waren ungeduldig, sie auf einfachere Weise als Produkt zweier Wurzeln darzustellen. Mit welcher Angst es notwendig ist, ist eine separate Frage. Wir werden nur den Algorithmus analysieren.

Diejenigen, die es kaum erwarten können, direkt in Teil 2 einzusteigen, sind herzlich willkommen. Beginnen wir mit dem Rest der Reihe nach.

Grundlegende Multiplikationsregel

Beginnen wir mit dem Einfachsten – der klassischen Quadratwurzel. Diejenigen, die mit $\sqrt(a)$ und $\sqrt(b)$ bezeichnet sind. Für sie ist im Allgemeinen alles klar:

Multiplikationsregel. Um eine Quadratwurzel mit einer anderen zu multiplizieren, müssen Sie nur ihre Wurzelausdrücke multiplizieren und das Ergebnis unter die gemeinsame Wurzel schreiben:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Den Zahlen rechts oder links werden keine zusätzlichen Einschränkungen auferlegt: Wenn die Multiplikatorwurzeln existieren, dann existiert auch das Produkt.

Beispiele. Betrachten Sie vier Beispiele mit Zahlen auf einmal:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

Wie Sie sehen können, besteht die Hauptbedeutung dieser Regel darin, irrationale Ausdrücke zu vereinfachen. Und wenn wir im ersten Beispiel ohne neue Regeln die Wurzeln aus 25 und 4 gezogen hätten, dann beginnt die Dose: $\sqrt(32)$ und $\sqrt(2)$ zählen nicht für sich allein, aber Ihr Produkt stellt sich als exaktes Quadrat heraus, also ist die Wurzel daraus gleich einer rationalen Zahl.

Gesondert möchte ich die letzte Zeile anmerken. Dort sind beide Wurzelausdrücke Brüche. Dank des Produkts heben sich viele Faktoren auf und der gesamte Ausdruck wird zu einer adäquaten Zahl.

Natürlich wird nicht immer alles so schön sein. Manchmal ist unter den Wurzeln kompletter Mist - es ist nicht klar, was damit zu tun ist und wie nach der Multiplikation transformiert werden soll. Etwas später, wenn Sie anfangen, irrationale Gleichungen und Ungleichungen zu studieren, werden Sie alle möglichen Variablen und Funktionen im Allgemeinen haben. Und sehr oft verlassen sich die Ersteller der Probleme einfach darauf, dass Sie einige Vertragsbedingungen oder Faktoren finden, nach denen die Aufgabe erheblich vereinfacht wird.

Außerdem ist es nicht notwendig, genau zwei Wurzeln zu multiplizieren. Du kannst drei auf einmal multiplizieren, vier – ja sogar zehn! An der Regel ändert sich dadurch nichts. Schau mal:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

Und noch mal eine kleine Bemerkung zum zweiten Beispiel. Wie Sie sehen können, befindet sich im dritten Multiplikator ein Dezimalbruch unter der Wurzel - bei den Berechnungen ersetzen wir ihn durch einen regulären, wonach alles leicht reduziert wird. Also: Ich empfehle dringend, Dezimalbrüche in allen irrationalen Ausdrücken (dh die mindestens ein Radikal-Symbol enthalten) loszuwerden. Das spart Ihnen in Zukunft viel Zeit und Nerven.

Aber es war ein lyrischer Exkurs. Betrachten wir nun einen allgemeineren Fall - wenn der Wurzelexponent eine beliebige Zahl $n$ enthält und nicht nur die "klassischen" zwei.

Der Fall eines willkürlichen Indikators

Also haben wir die Quadratwurzeln herausgefunden. Und was tun mit Würfeln? Oder allgemein mit Wurzeln beliebigen Grades $n$? Ja, alles ist gleich. Die Regel bleibt gleich:

Um zwei Wurzeln vom Grad $n$ zu multiplizieren, genügt es, ihre Wurzelausdrücke zu multiplizieren, wonach das Ergebnis unter einer Wurzel geschrieben wird.

Im Allgemeinen nichts kompliziertes. Es sei denn, das Volumen der Berechnungen kann mehr sein. Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

Beispiele. Produkte berechnen:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

Und wieder Aufmerksamkeit auf den zweiten Ausdruck. Wir multiplizieren die Kubikwurzeln, entfernen den Dezimalbruch und erhalten als Ergebnis im Nenner das Produkt der Zahlen 625 und 25. Dies ist eine ziemlich große Zahl - ich persönlich werde nicht sofort berechnen, was gleich ist zu.

Deshalb haben wir einfach die exakte Kubikzahl im Zähler und Nenner ausgewählt und dann eine der Schlüsseleigenschaften (oder, wenn Sie möchten, die Definition) der Wurzel des $n$-ten Grades verwendet:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\richtig|. \\ \end(align)\]

Solche "Betrügereien" können Ihnen viel Zeit bei einer Prüfung oder einem Test ersparen, denken Sie also daran:

Beeilen Sie sich nicht, die Zahlen im Wurzelausdruck zu multiplizieren. Überprüfen Sie zuerst: Was ist, wenn der genaue Grad eines Ausdrucks dort „verschlüsselt“ ist?

Bei aller Offensichtlichkeit dieser Bemerkung muss ich zugeben, dass die meisten unvorbereiteten Studenten die genauen Abschlüsse nicht direkt erkennen. Stattdessen multiplizieren sie alles voraus und fragen sich dann: Warum haben sie so brutale Zahlen bekommen? :) :)

All dies ist jedoch ein Kinderspiel im Vergleich zu dem, was wir jetzt studieren werden.

Multiplikation von Wurzeln mit verschiedenen Exponenten

Nun, jetzt können wir Wurzeln mit denselben Exponenten multiplizieren. Was ist, wenn die Noten unterschiedlich sind? Sagen Sie mal, wie multipliziert man ein gewöhnliches $\sqrt(2)$ mit irgendeinem Scheiß wie $\sqrt(23)$? Ist es überhaupt möglich, dies zu tun?

Natürlich kannst du. Alles läuft nach dieser Formel ab:

Wurzelmultiplikationsregel. Um $\sqrt[n](a)$ mit $\sqrt[p](b)$ zu multiplizieren, führen Sie einfach die folgende Transformation durch:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Diese Formel funktioniert jedoch nur, wenn Radikalausdrücke sind nichtnegativ. Dies ist eine sehr wichtige Bemerkung, auf die wir etwas später zurückkommen werden.

Schauen wir uns zunächst ein paar Beispiele an:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]

Wie Sie sehen können, nichts Kompliziertes. Lassen Sie uns nun herausfinden, woher die Nicht-Negativitätsanforderung stammt und was passieren wird, wenn wir dagegen verstoßen. :)

Es ist einfach, Wurzeln zu multiplizieren.

Warum müssen Radikalausdrücke nichtnegativ sein?

Natürlich können Sie wie Schullehrer werden und ein Lehrbuch mit einem eleganten Look zitieren:

Das Erfordernis der Nicht-Negativität ist mit unterschiedlichen Definitionen von Wurzeln mit geradem und ungeradem Grad verbunden (bzw. ihre Definitionsbereiche sind ebenfalls unterschiedlich).

Nun, es wurde klarer? Als ich diesen Unsinn in der 8. Klasse gelesen habe, habe ich persönlich so etwas für mich verstanden: „Die Forderung nach Nicht-Negativität ist mit *#&^@(*#@^#)~% verbunden“ – kurz gesagt, ich damals keinen scheiss verstanden. :)

Also werde ich jetzt alles auf normale Weise erklären.

Lassen Sie uns zunächst herausfinden, woher die obige Multiplikationsformel stammt. Um dies zu tun, möchte ich Sie an eine wichtige Eigenschaft der Wurzel erinnern:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Mit anderen Worten, wir können den Wurzelausdruck sicher mit jeder natürlichen Potenz $k$ potenzieren – in diesem Fall muss der Wurzelindex mit derselben Potenz multipliziert werden. Daher können wir alle Wurzeln leicht auf einen gemeinsamen Indikator reduzieren, wonach wir multiplizieren. Hier kommt die Multiplikationsformel her:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Aber es gibt ein Problem, das die Anwendung all dieser Formeln stark einschränkt. Betrachten Sie diese Nummer:

Nach der gerade gegebenen Formel können wir jeden Grad hinzufügen. Versuchen wir, $k=2$ hinzuzufügen:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Wir haben das Minus genau deshalb entfernt, weil das Quadrat das Minus verbrennt (wie jeder andere gerade Grad). Und nun führen wir die Rücktransformation durch: „Reduzieren“ Sie die beiden in Exponent und Grad. Schließlich kann jede Gleichheit sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links gelesen werden:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]

Doch dann passiert etwas Verrücktes:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Das kann nicht daran liegen, dass $\sqrt(-5) \lt 0$ und $\sqrt(5) \gt 0$. Das bedeutet, dass unsere Formel für gerade Potenzen und negative Zahlen nicht mehr funktioniert. Danach haben wir zwei Möglichkeiten:

1. Gegen die Wand zu kämpfen, um zu behaupten, dass Mathematik eine dumme Wissenschaft ist, wo „es einige Regeln gibt, aber das ist ungenau“;
2. Führen Sie zusätzliche Einschränkungen ein, unter denen die Formel zu 100 % funktioniert.

Bei der ersten Option müssen wir ständig „nicht funktionierende“ Fälle abfangen - das ist schwierig, langwierig und im Allgemeinen fu. Daher bevorzugten Mathematiker die zweite Option. :)

Aber keine Sorge! In der Praxis wirkt sich diese Einschränkung in keiner Weise auf die Berechnungen aus, da alle beschriebenen Probleme nur die Wurzeln ungeraden Grades betreffen und Minuszeichen daraus entfernt werden können.

Deshalb formulieren wir eine weitere Regel, die allgemein für alle Handlungen mit Wurzeln gilt:

Stellen Sie vor dem Multiplizieren der Wurzeln sicher, dass die Wurzelausdrücke nicht negativ sind.

Beispiel. In der Zahl $\sqrt(-5)$ können Sie das Minus unter dem Wurzelzeichen herausnehmen - dann ist alles in Ordnung:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Spüre den Unterschied? Wenn Sie ein Minus unter der Wurzel lassen, verschwindet der radikale Ausdruck, wenn er quadriert wird, und der Mist beginnt. Und wenn Sie zuerst ein Minus herausnehmen, können Sie sogar ein Quadrat erhöhen / entfernen, bis Sie blau im Gesicht sind - die Zahl bleibt negativ. :)

Daher ist die korrekteste und zuverlässigste Art, die Wurzeln zu multiplizieren, wie folgt:

1. Entfernen Sie alle Minuspunkte unter den Radikalen. Minuszeichen stehen nur in den Wurzeln ungerader Vielfachheit - sie können vor die Wurzel gesetzt und ggf. reduziert werden (z. B. wenn es zwei dieser Minuszeichen gibt).
2. Führen Sie die Multiplikation gemäß den oben in der heutigen Lektion besprochenen Regeln durch. Wenn die Indizes der Wurzeln gleich sind, multiplizieren Sie einfach die Wurzelausdrücke. Und wenn sie unterschiedlich sind, verwenden wir die böse Formel \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Wir freuen uns über das Ergebnis und die guten Noten. :)

Und was? Sollen wir üben?

Beispiel 1. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ quadrat(64)=-4; \end(align)\]

Dies ist die einfachste Option: Die Indikatoren der Wurzeln sind gleich und ungerade, das Problem liegt nur im Minus des zweiten Multiplikators. Wir ertragen dieses Minus-Nafig, wonach alles leicht zu überdenken ist.

Beispiel 2. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( ausrichten)\]

Hier würden viele durch die Tatsache verwirrt werden, dass sich die Ausgabe als irrationale Zahl herausstellte. Ja, das kommt vor: Wir konnten die Wurzel nicht ganz loswerden, aber zumindest haben wir den Ausdruck deutlich vereinfacht.

Beispiel 3. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Darauf möchte ich Ihre Aufmerksamkeit lenken. Hier gibt es zwei Punkte:

1. Unter der Wurzel steht keine bestimmte Zahl oder Grad, sondern die Variable $a$. Das ist auf den ersten Blick etwas ungewohnt, aber in der Realität wird man sich beim Lösen mathematischer Probleme am häufigsten mit Variablen auseinandersetzen müssen.
2. Am Ende haben wir es geschafft, Wurzelexponent und Grad im Wurzelausdruck zu „reduzieren“. Das kommt ziemlich oft vor. Und das bedeutet, dass die Berechnungen erheblich vereinfacht werden konnten, wenn Sie die Hauptformel nicht verwenden.

Sie könnten beispielsweise Folgendes tun:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(align)\]

Tatsächlich wurden alle Transformationen nur mit dem zweiten Radikal durchgeführt. Und wenn Sie nicht alle Zwischenschritte im Detail malen, nimmt die Anzahl der Berechnungen am Ende erheblich ab.

Tatsächlich sind wir oben bereits auf eine ähnliche Aufgabe gestoßen, als wir das $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$-Beispiel gelöst haben. Jetzt kann es viel einfacher geschrieben werden:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

Nun, wir haben die Multiplikation der Wurzeln herausgefunden. Betrachten Sie nun die umgekehrte Operation: Was tun, wenn sich unter der Wurzel eine Arbeit befindet?

Machtformeln Wird beim Reduzieren und Vereinfachen komplexer Ausdrücke, beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen verwendet.

Anzahl c ist ein n-te Potenz einer Zahl a Wenn:

Operationen mit Grad.

1. Durch Multiplizieren von Graden mit derselben Basis addieren sich ihre Indikatoren:

binein n = ein m + n .

2. Bei der Aufteilung von Abschlüssen mit derselben Basis werden ihre Indikatoren subtrahiert:

3. Der Grad des Produkts von 2 oder mehr Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren:

(abc…) n = ein n b n c n …

4. Der Grad eines Bruchs ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden und des Divisors:

(a/b) n = ein n / b n .

5. Exponenten werden potenziert:

(am) n = am n .

Jede obige Formel ist in den Richtungen von links nach rechts und umgekehrt korrekt.

zum Beispiel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Betriebe mit Wurzeln.

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel des Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis des Dividenden und des Divisors der Wurzeln:

3. Wenn Sie eine Wurzel potenzieren, reicht es aus, die Wurzelzahl mit dieser Potenz zu potenzieren:

4. Wenn wir den Grad der Wurzel in erhöhen n einmal und gleichzeitig zu erhöhen n te Potenz eine Wurzelzahl ist, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

5. Wenn wir den Grad der Wurzel in verringern n Wurzel gleichzeitig n Grad von der Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

Grad mit negativem Exponenten. Der Grad einer bestimmten Zahl mit einem nicht-positiven (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins dividiert durch den Grad derselben Zahl mit einem Exponenten, der gleich dem Absolutwert des nicht-positiven Exponenten ist:

Formel bin:ein n = ein m - n kann nicht nur für verwendet werden m> n, sondern auch bei m< n.

zum Beispiel. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Zur Formel bin:ein n = ein m - n wurde fair bei m=n, benötigen Sie das Vorhandensein des Nullgrades.

Grad mit Exponent null. Die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit einem Exponenten von Null ist gleich Eins.

zum Beispiel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad mit einem gebrochenen Exponenten. Um eine reelle Zahl zu erhöhen a bis zu einem Grad m/n, müssen Sie die Wurzel extrahieren n Grad an m Potenz dieser Zahl a.