In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide SABC R- Mitte der Rippe AB, S- oben.
Es ist bekannt, dass SR = 6, und die seitliche Oberfläche ist 36 .
Finden Sie die Länge des Segments BC.

Lass uns einen Streich machen. In einer regelmäßigen Pyramide sind die Seitenflächen gleichschenklige Dreiecke.

Liniensegment SR- der Median auf die Basis abgesenkt und damit die Höhe der Seitenfläche.

Die Seitenfläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide ist gleich der Summe der Flächen
drei gleiche Seiten S-Seite = 3 S ABS. Von hier S ABS = 36: 3 = 12- Gesichtsbereich.

Die Fläche eines Dreiecks ist das halbe Produkt aus seiner Grundfläche mal seiner Höhe.
S ABS = 0,5 AB SR. Wenn wir die Fläche und Höhe kennen, finden wir die Seite der Basis AB = BC.
12 = 0,5 AB 6
12 = 3 AB
AB = 4

Antworten: 4

Sie können das Problem vom anderen Ende angehen. Lassen Sie die Seite der Basis AB = BC = a.
Dann der Bereich des Gesichts S ABS = 0,5 AB SR = 0,5 a 6 = 3a.

Die Fläche jeder der drei Flächen ist 3a, ist die Fläche von drei Gesichtern 9a.
Je nach Zustand des Problems beträgt die Fläche der Seitenfläche der Pyramide 36.
S-Seite = 9a = 36.
Von hier a = 4.

Im Schulkurs Stereometrie werden die Eigenschaften verschiedener Raumfiguren untersucht. Eine davon ist die Pyramide. Dieser Artikel widmet sich der Frage, wie man die Seitenfläche einer Pyramide findet. Die Frage der Bestimmung dieser Fläche für einen Pyramidenstumpf wird ebenfalls offenbart.

Was ist eine Pyramide?

Viele, die das Wort "Pyramide" gehört haben, stellen sich sofort die grandiosen Strukturen des alten Ägypten vor. Tatsächlich sind die Gräber von Cheops und Khafre regelmäßige viereckige Pyramiden. Trotzdem ist eine Pyramide auch ein Tetraeder, Figuren mit einer fünf-, sechs-, n-eckigen Grundfläche.

Sie werden interessiert sein:

In der Geometrie ist der Begriff einer Pyramide klar definiert. Diese Figur wird als Objekt im Raum verstanden, das durch die Verbindung eines bestimmten Punktes mit den Ecken eines flachen n-Ecks entsteht, wobei n eine ganze Zahl ist. Die folgende Abbildung zeigt vier Pyramiden mit unterschiedlich vielen Ecken an der Basis.

Der Punkt, an dem alle Eckpunkte der Ecken der Basis verbunden sind, liegt nicht in ihrer Ebene. Es wird die Spitze der Pyramide genannt. Wenn wir davon eine Senkrechte zur Basis ziehen, erhalten wir die Höhe. Die Figur, in der die Höhe die Basis im geometrischen Mittelpunkt schneidet, wird als gerade Linie bezeichnet. Manchmal hat eine gerade Pyramide eine regelmäßige Grundfläche, wie ein Quadrat, ein gleichseitiges Dreieck und so weiter. In diesem Fall heißt es richtig.

Bei der Berechnung der Seitenfläche der Pyramide ist es zweckmäßig, mit regelmäßigen Zahlen zu arbeiten.

Fläche der Seitenfigur

Wie findet man die Seitenfläche einer Pyramide? Dies wird verständlich, wenn wir die entsprechende Definition einführen und die Entfaltung auf einer Ebene für diese Figur betrachten.

Jede Pyramide besteht aus Flächen, die durch Kanten voneinander getrennt sind. Die Basis ist die Fläche, die durch das n-Eck gebildet wird. Alle anderen Flächen sind Dreiecke. Es gibt n von ihnen, und zusammen bilden sie die Seitenfläche der Figur.

Wenn wir die Fläche entlang der Seitenkante schneiden und in einer Ebene entfalten, erhalten wir eine Pyramidenentwicklung. Als Beispiel wird unten eine sechseckige Pyramide gezeigt.

Es ist zu erkennen, dass die Seitenfläche von sechs identischen Dreiecken gebildet wird.

Jetzt ist es nicht schwer zu erraten, wie man die Seitenfläche der Pyramide findet. Dazu addieren Sie die Flächen aller Dreiecke. Im Fall einer n-eckigen regelmäßigen Pyramide, deren Grundseite gleich a ist, können wir für die betrachtete Fläche die Formel schreiben:

Hier ist hb das Apothem der Pyramide. Das heißt, die Höhe des Dreiecks, abgesenkt von der Oberseite der Figur zur Seite der Basis. Wenn das Apothem unbekannt ist, kann es berechnet werden, wenn die Parameter des n-Ecks und der Wert der Höhe h der Figur bekannt sind.

Pyramidenstumpf und seine Oberfläche

Wie Sie aus dem Namen erraten können, kann eine abgeschnittene Pyramide aus einer regulären Figur erhalten werden. Schneiden Sie dazu die Oberseite mit einer Ebene parallel zur Basis ab. Die folgende Abbildung zeigt diesen Vorgang für eine sechseckige Form.

Seine Seitenfläche ist die Summe der Flächen gleicher gleichschenkliger Trapeze. Die Formel für die Seitenfläche eines Pyramidenstumpfes (richtig) lautet:

Sb = hb*n*(a1 + a2)/2

Hier ist hb das Apothem der Figur, das ist die Höhe des Trapezes. Die Werte a1 und a2 sind die Längen der Basen der Seiten.

Berechnung der Mantelfläche für eine Dreieckspyramide

Lassen Sie uns zeigen, wie man die seitliche Oberfläche einer Pyramide findet. Nehmen wir an, wir haben ein reguläres Dreieck, schauen wir uns das Beispiel eines bestimmten Problems an. Es ist bekannt, dass die Seite der Basis, die ein gleichseitiges Dreieck ist, 10 cm misst und die Höhe der Figur 15 cm beträgt.

Die Entwicklung dieser Pyramide ist in der Abbildung dargestellt. Um die Formel für Sb zu verwenden, müssen Sie zuerst das Apothem hb finden. Betrachtet man ein rechtwinkliges Dreieck innerhalb der Pyramide, gebaut auf den Seiten hb und h, kann die Gleichheit wie folgt geschrieben werden:

hb = √(h2+a2/12)

Wir ersetzen die Daten und erhalten hb≈15,275 cm.

Jetzt können Sie die Formel für Sb verwenden:

Sb \u003d n * a * hb / 2 \u003d 3 * 10 * 15,275 / 2 \u003d 229,125 cm2

Beachten Sie, dass die Basis einer dreieckigen Pyramide wie ihre Seitenfläche von einem Dreieck gebildet wird. Dieses Dreieck wird jedoch bei der Berechnung der Fläche Sb nicht berücksichtigt.

Pyramide- eine der Varianten eines Polyeders, das aus Polygonen und Dreiecken besteht, die an der Basis liegen und seine Flächen sind.

Darüber hinaus werden an der Spitze der Pyramide (d. h. an einem Punkt) alle Flächen kombiniert.

Um die Fläche der Pyramide zu berechnen, lohnt es sich festzustellen, dass ihre Seitenfläche aus mehreren Dreiecken besteht. Und wir können ihre Bereiche leicht finden

verschiedene Formeln. Abhängig davon, welche Daten von Dreiecken wir kennen, suchen wir nach ihrer Fläche.

Wir listen einige Formeln auf, mit denen Sie die Fläche von Dreiecken finden können:

1. S = (a*h)/2 . In diesem Fall kennen wir die Höhe des Dreiecks h , die seitlich abgesenkt ist a .
2. S = a*b*sinβ . Hier die Seiten des Dreiecks a , b , und der Winkel zwischen ihnen ist β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Hier die Seiten des Dreiecks a, b, c . Der Radius eines Kreises, der einem Dreieck einbeschrieben ist, ist r .
4. S = (a*b*c)/4*R . Der Radius des umschriebenen Kreises um das Dreieck ist R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Diese Formel sollte nur angewendet werden, wenn das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist.
6. S = (a²*√3)/4 . Wir wenden diese Formel auf ein gleichseitiges Dreieck an.

Erst nachdem wir die Flächen aller Dreiecke berechnet haben, die die Flächen unserer Pyramide sind, können wir die Fläche seiner Seitenfläche berechnen. Dazu verwenden wir die obigen Formeln.

Um die Fläche der Seitenfläche der Pyramide zu berechnen, treten keine Schwierigkeiten auf: Sie müssen die Summe der Flächen aller Dreiecke ermitteln. Drücken wir das mit der Formel aus:

Sp = ΣSi

Hier Si ist die Fläche des ersten Dreiecks und S P ist die Fläche der Seitenfläche der Pyramide.

Schauen wir uns ein Beispiel an. Bei einer regelmäßigen Pyramide werden ihre Seitenflächen von mehreren gleichseitigen Dreiecken gebildet,

« Geometrie ist das mächtigste Werkzeug zur Verfeinerung unserer geistigen Fähigkeiten.».

Galileo Galilei.

und das Quadrat ist die Basis der Pyramide. Außerdem hat der Rand der Pyramide eine Länge von 17 cm. Lassen Sie uns die Fläche der Seitenfläche dieser Pyramide ermitteln.

Wir argumentieren so: Wir wissen, dass die Flächen der Pyramide Dreiecke sind, sie sind gleichseitig. Wir wissen auch, wie lang die Kante dieser Pyramide ist. Daraus folgt, dass alle Dreiecke gleiche Seiten haben, ihre Länge beträgt 17 cm.

Um die Fläche jedes dieser Dreiecke zu berechnen, können Sie die folgende Formel verwenden:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Da wir wissen, dass das Quadrat an der Basis der Pyramide liegt, stellt sich heraus, dass wir vier gleichseitige Dreiecke haben. Damit lässt sich die Fläche der Seitenfläche der Pyramide ganz einfach nach folgender Formel berechnen: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Unsere Antwort lautet: 500,548 cm² – das ist die Fläche der Seitenfläche dieser Pyramide.

Bevor Sie Fragen zu dieser geometrischen Figur und ihren Eigenschaften untersuchen, müssen Sie einige Begriffe verstehen. Wenn jemand von der Pyramide hört, stellt er sich riesige Gebäude in Ägypten vor. So sehen die einfachsten aus. Aber es gibt sie in verschiedenen Typen und Formen, was bedeutet, dass die Berechnungsformel für geometrische Formen anders sein wird.

Figurentypen

Pyramide - geometrische Figur, bezeichnet und repräsentiert mehrere Gesichter. Tatsächlich ist dies dasselbe Polyeder, an dessen Basis ein Polygon liegt, und an den Seiten befinden sich Dreiecke, die an einem Punkt verbunden sind - dem Scheitelpunkt. Die Figur besteht aus zwei Haupttypen:

• Korrekt;
• gekürzt.

Im ersten Fall ist die Basis ein regelmäßiges Vieleck. Hier sind alle Seitenflächen gleich zwischen sich und der Figur selbst wird das Auge eines Perfektionisten erfreuen.

Im zweiten Fall gibt es zwei Basen - eine große ganz unten und eine kleine oben, die die Form der Hauptbasis wiederholen. Mit anderen Worten, ein Pyramidenstumpf ist ein Polyeder mit einem Abschnitt, der parallel zur Basis ausgebildet ist.

Begriffe und Notation

Grundbegriffe:

• Regelmäßiges (gleichseitiges) Dreieck Eine Figur mit drei gleichen Winkeln und gleichen Seiten. In diesem Fall betragen alle Winkel 60 Grad. Die Figur ist die einfachste der regulären Polyeder. Wenn diese Figur an der Basis liegt, wird ein solches Polyeder ein regelmäßiges Dreieck genannt. Wenn die Grundfläche ein Quadrat ist, wird die Pyramide eine regelmäßige viereckige Pyramide genannt.
• Scheitel- der höchste Punkt, an dem sich die Kanten treffen. Die Höhe der Spitze wird durch eine gerade Linie gebildet, die von der Spitze zur Basis der Pyramide verläuft.
• Kante ist eine der Ebenen des Polygons. Es kann bei einer dreieckigen Pyramide die Form eines Dreiecks oder bei einem Pyramidenstumpf die Form eines Trapezes haben.
• Kreuzung- eine flache Figur, die durch Dissektion entstanden ist. Nicht zu verwechseln mit einem Schnitt, da ein Schnitt auch anzeigt, was sich hinter dem Schnitt verbirgt.
• Apothema- ein Segment, das von der Spitze der Pyramide bis zu ihrer Basis gezogen wird. Es ist auch die Höhe des Gesichts, wo sich der zweite Höhenpunkt befindet. Diese Definition gilt nur in Bezug auf ein regelmäßiges Polyeder. Wenn es sich beispielsweise nicht um einen Pyramidenstumpf handelt, ist das Gesicht ein Dreieck. In diesem Fall wird die Höhe dieses Dreiecks zu einem Apothem.

Flächenformeln

Finden Sie die Fläche der Seitenfläche der Pyramide jeder Typ kann auf verschiedene Arten erfolgen. Ist die Figur nicht symmetrisch und ein Vieleck mit unterschiedlichen Seiten, dann ist es in diesem Fall einfacher, die Gesamtfläche durch die Gesamtheit aller Flächen zu berechnen. Mit anderen Worten, Sie müssen die Fläche jedes Gesichts berechnen und addieren.

Je nachdem, welche Parameter bekannt sind, können Formeln zur Berechnung eines Quadrats, eines Trapezes, eines beliebigen Vierecks usw. erforderlich sein. Die Formeln selbst in verschiedenen Fällen wird auch anders sein.

Bei einer regelmäßigen Figur ist das Auffinden des Bereichs viel einfacher. Es reicht aus, nur ein paar Schlüsselparameter zu kennen. In den meisten Fällen sind Berechnungen genau für solche Zahlen erforderlich. Daher werden im Folgenden die entsprechenden Formeln angegeben. Andernfalls müssten Sie alles auf mehrere Seiten malen, was nur verwirrt und verwirrt.

Grundformel zur Berechnung Die Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide sieht folgendermaßen aus:

S \u003d ½ Pa (P ist der Umfang der Basis und das Apothem)

Betrachten wir eines der Beispiele. Das Polyeder hat eine Basis mit Segmenten A1, A2, A3, A4, A5, und sie sind alle gleich 10 cm. Lassen Sie das Apothem gleich 5 cm sein. Zuerst müssen Sie den Umfang finden. Da alle fünf Flächen der Basis gleich sind, kann sie wie folgt ermittelt werden: P \u003d 5 * 10 \u003d 50 cm Als nächstes wenden wir die Grundformel an: S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 cm im Quadrat .

Seitenfläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide am einfachsten zu berechnen. Die Formel sieht so aus:

S =½* ab *3, wobei a der Apothem ist, b die Facette der Basis ist. Der Faktor drei bedeutet hier die Anzahl der Flächen der Basis, und der erste Teil ist die Fläche der Seitenfläche. Betrachten Sie ein Beispiel. Bei einer Figur mit einem Apothem von 5 cm und einer Grundfläche von 8 cm berechnen wir: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 cm im Quadrat.

Seitenfläche eines Pyramidenstumpfes es ist etwas schwieriger zu berechnen. Die Formel sieht folgendermaßen aus: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, wobei p_01 und p_02 die Umfänge der Basen und das Apothem sind. Betrachten Sie ein Beispiel. Angenommen, für eine viereckige Figur betragen die Seitenabmessungen der Basen 3 und 6 cm, das Apothem 4 cm.

Hier sollten Sie zunächst die Umfänge der Basen finden: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm; p_02=6*4=24 cm Es bleibt übrig, die Werte in die Hauptformel einzusetzen und zu erhalten: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm im Quadrat.

Somit ist es möglich, die seitliche Oberfläche einer regelmäßigen Pyramide beliebiger Komplexität zu finden. Achten Sie darauf, nicht zu verwechseln diese Berechnungen mit der Gesamtfläche des gesamten Polyeders. Und wenn Sie dies noch tun müssen, reicht es aus, die Fläche der größten Basis des Polyeders zu berechnen und zur Fläche der Seitenfläche des Polyeders hinzuzufügen.

Video

Um Informationen darüber zu konsolidieren, wie Sie die seitliche Oberfläche verschiedener Pyramiden finden, hilft Ihnen dieses Video.

Bei der Vorbereitung auf die Prüfung in Mathematik müssen die Studierenden ihre Kenntnisse in Algebra und Geometrie systematisieren. Ich möchte alle bekannten Informationen kombinieren, zum Beispiel wie man die Fläche einer Pyramide berechnet. Außerdem ausgehend von den Grund- und Seitenflächen bis zur gesamten Oberfläche. Wenn die Situation bei den Seitenflächen klar ist, da es sich um Dreiecke handelt, dann ist die Basis immer eine andere.

Was tun, wenn man die Fläche der Basis der Pyramide findet?

Es kann absolut jede Figur sein: von einem beliebigen Dreieck bis zu einem n-Eck. Und diese Basis kann zusätzlich zu dem Unterschied in der Anzahl der Winkel eine reguläre Figur oder eine falsche sein. Bei den für Schüler interessanten USE-Aufgaben gibt es nur Aufgaben mit den richtigen Figuren an der Basis. Daher werden wir nur über sie sprechen.

rechtwinkliges Dreieck

Das ist gleichseitig. Eine, bei der alle Seiten gleich sind und mit dem Buchstaben "a" gekennzeichnet sind. In diesem Fall wird die Fläche der Basis der Pyramide nach folgender Formel berechnet:

S = (a 2 * √3) / 4.

Quadrat

Die Formel zur Berechnung seiner Fläche ist die einfachste, hier ist "a" wieder die Seite:

Beliebiges reguläres n-Eck

Die Seite eines Polygons hat die gleiche Bezeichnung. Für die Anzahl der Ecken wird der lateinische Buchstabe n verwendet.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Wie ist bei der Berechnung der Seiten- und Gesamtfläche vorzugehen?

Da die Basis eine regelmäßige Figur ist, sind alle Seiten der Pyramide gleich. Außerdem ist jedes von ihnen ein gleichschenkliges Dreieck, da die Seitenkanten gleich sind. Um dann die seitliche Fläche der Pyramide zu berechnen, benötigen Sie eine Formel, die aus der Summe identischer Monome besteht. Die Anzahl der Terme wird durch die Anzahl der Seiten der Basis bestimmt.

Die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks wird nach der Formel berechnet, bei der das halbe Produkt der Basis mit der Höhe multipliziert wird. Diese Höhe in der Pyramide wird Apothem genannt. Seine Bezeichnung ist "A". Die allgemeine Formel für die Seitenfläche lautet:

S \u003d ½ P * A, wobei P der Umfang der Basis der Pyramide ist.

Es gibt Situationen, in denen die Seiten der Basis nicht bekannt sind, aber die Seitenkanten (c) und der flache Winkel an ihrem Scheitel (α) gegeben sind. Dann soll eine solche Formel verwendet werden, um die seitliche Fläche der Pyramide zu berechnen:

S = n/2 * in 2 sin α .

Aufgabe 1

Zustand. Finden Sie die Gesamtfläche der Pyramide, wenn ihre Basis mit einer Seite von 4 cm liegt und das Apothem einen Wert von √3 cm hat.

Entscheidung. Sie müssen mit der Berechnung des Umfangs der Basis beginnen. Da es sich um ein regelmäßiges Dreieck handelt, ist P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm Da das Apothem bekannt ist, können Sie sofort die Fläche der gesamten Seitenfläche berechnen: ½ * 12 * √3 = 6 √3cm2.

Für ein Dreieck an der Basis wird der folgende Flächenwert erhalten: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

Um die Gesamtfläche zu bestimmen, müssen Sie die beiden resultierenden Werte addieren: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Antworten. 10√3 cm2.

Aufgabe Nr. 2

Zustand. Es gibt eine regelmäßige viereckige Pyramide. Die Seitenlänge der Basis beträgt 7 mm, die Seitenkante 16 mm. Sie müssen seine Oberfläche kennen.

Entscheidung. Da das Polyeder viereckig und regelmäßig ist, ist seine Grundfläche ein Quadrat. Nachdem Sie die Flächen der Grund- und Seitenflächen gelernt haben, können Sie die Fläche der Pyramide berechnen. Die Formel für das Quadrat ist oben angegeben. Und bei den Seitenflächen sind alle Seiten des Dreiecks bekannt. Daher können Sie die Formel von Heron verwenden, um ihre Flächen zu berechnen.

Die ersten Berechnungen sind einfach und führen zu dieser Zahl: 49 mm 2. Für den zweiten Wert müssen Sie den Halbumfang berechnen: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Jetzt können Sie die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks berechnen: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Es gibt nur vier solcher Dreiecke, also musst du sie bei der Berechnung der endgültigen Zahl mit 4 multiplizieren.

Es stellt sich heraus: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.

Antworten. Der Sollwert beträgt 267,576 mm 2.

Aufgabe Nr. 3

Zustand. Für eine regelmäßige viereckige Pyramide müssen Sie die Fläche berechnen. Darin beträgt die Seite des Quadrats 6 cm und die Höhe 4 cm.

Entscheidung. Am einfachsten ist es, die Formel mit dem Produkt aus Umfang und Apothem zu verwenden. Der erste Wert ist leicht zu finden. Der zweite ist etwas schwieriger.

Wir müssen uns an den Satz des Pythagoras erinnern und bedenken, dass er aus der Höhe der Pyramide und dem Apothem, der Hypotenuse, gebildet wird. Das zweite Bein ist gleich der halben Seite des Quadrats, da die Höhe des Polyeders in seine Mitte fällt.

Der gesuchte Apothem (die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks) ist √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Jetzt können Sie den gewünschten Wert berechnen: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Antworten. 96 cm2.

Aufgabe Nr. 4

Zustand. Die richtige Seite seiner Basis beträgt 22 mm, die Seitenrippen 61 mm. Welche Fläche hat die Seitenfläche dieses Polyeders?

Entscheidung. Die Argumentation darin ist die gleiche wie in Problem Nr. 2 beschrieben. Nur gab es eine Pyramide mit einem Quadrat an der Basis, und jetzt ist es ein Sechseck.

Zunächst wird die Fläche der Basis nach der obigen Formel berechnet: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm 2.

Jetzt müssen Sie den halben Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks herausfinden, das eine Seitenfläche ist. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm Es bleibt übrig, die Fläche jedes solchen Dreiecks mit der Heron-Formel zu berechnen, sie dann mit sechs zu multiplizieren und zu der zu addieren, die sich für die herausgestellt hat Base.

Berechnungen mit der Heron-Formel: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Berechnungen, die die Seitenfläche ergeben: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Es bleibt, sie zu addieren, um die gesamte Oberfläche herauszufinden: 5217,47≈5217 cm 2.

Antworten. Basis - 726√3 cm 2, Seitenfläche - 3960 cm 2, Gesamtfläche - 5217 cm 2.