Der Abstand eines Punktes von der horizontalen Projektionsebene wird genannt. Konstruktion orthogonaler Projektionen von Punkten

Betrachten Sie die Profilebene von Projektionen. Projektionen auf zwei senkrechte Ebenen bestimmen normalerweise die Position der Figur und ermöglichen es, ihre tatsächlichen Abmessungen und ihre Form herauszufinden. Aber es gibt Zeiten, in denen zwei Projektionen nicht ausreichen. Wenden Sie dann die Konstruktion der dritten Projektion an.

Die dritte Projektionsebene wird so ausgeführt, dass sie gleichzeitig senkrecht zu beiden Projektionsebenen steht (Abb. 15). Die dritte Ebene wird aufgerufen Profil.

Bei solchen Konstruktionen wird die gemeinsame Linie der horizontalen und frontalen Ebene genannt Achse X , die gemeinsame Linie der Horizontal- und Profilebene - Achse beim , und die gemeinsame gerade Linie der Frontal- und Profilebene - Achse z . Punkt Ö, der zu allen drei Ebenen gehört, heißt Ursprungspunkt.

Abbildung 15a zeigt den Punkt SONDERN und drei seiner Projektionen. Projektion auf die Profilebene ( a) werden genannt Profilprojektion und bezeichnen a.

Um ein Diagramm von Punkt A zu erhalten, das aus drei Projektionen besteht a, ein a, ist es notwendig, den von allen Ebenen gebildeten Trieder entlang der y-Achse zu schneiden (Abb. 15b) und alle diese Ebenen mit der Ebene der Frontalprojektion zu kombinieren. Die horizontale Ebene muss um die Achse gedreht werden X, und die Profilebene liegt in der Nähe der Achse z in die durch den Pfeil in Abbildung 15 angezeigte Richtung.

Abbildung 16 zeigt die Position der Vorsprünge ein, ein und a Punkte SONDERN, die sich aus der Kombination aller drei Ebenen mit der Zeichenebene ergibt.

Durch den Schnitt tritt die y-Achse im Diagramm an zwei verschiedenen Stellen auf. Auf einer horizontalen Ebene (Abb. 16) nimmt es eine vertikale Position (senkrecht zur Achse) ein X) und auf der Profilebene - horizontal (senkrecht zur Achse z).

Abbildung 16 zeigt drei Projektionen ein, ein und a Die Punkte A haben eine fest definierte Position auf dem Diagramm und unterliegen eindeutigen Bedingungen:

a und a müssen immer auf einer vertikalen Geraden senkrecht zur Achse liegen X;

a und a müssen sich immer auf der gleichen horizontalen Linie senkrecht zur Achse befinden z;

3) wenn durch eine horizontale Projektion und eine horizontale Linie gezogen, aber durch eine Profilprojektion a- eine vertikale gerade Linie, die konstruierten Linien schneiden sich notwendigerweise auf der Winkelhalbierenden des Winkels zwischen den Projektionsachsen, da die Figur Oa beim a 0 a n ist ein Quadrat.

Bei der Konstruktion von drei Projektionen eines Punktes muss die Erfüllung aller drei Bedingungen für jeden Punkt überprüft werden.

Punktkoordinaten

Die Position eines Punktes im Raum kann anhand von drei Zahlen bestimmt werden, die als seine bezeichnet werden Koordinaten. Jede Koordinate entspricht dem Abstand eines Punktes von einer Projektionsebene.

Punktabstand SONDERN zur Profilebene ist die Koordinate X, dabei X = a˝A(Abb. 15), der Abstand zur Frontalebene - durch die Koordinate y und y = äh, und der Abstand zur horizontalen Ebene ist die Koordinate z, dabei z = aA.

In Abbildung 15 nimmt Punkt A die Breite eines rechteckigen Kastens ein, und die Maße dieses Kastens entsprechen den Koordinaten dieses Punktes, d. h. jede der Koordinaten ist in Abbildung 15 viermal dargestellt, d. h.:

x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;

y = а́А = Оа y = a x a = a z a˝;

z = aA = Oa z = a x a′ = a y a˝.

Auf dem Diagramm (Abb. 16) kommen die x- und z-Koordinaten dreimal vor:

x \u003d a z a ́ \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x á = Oa z = a y a˝.

Alle Segmente, die der Koordinate entsprechen X(oder z) sind parallel zueinander. Koordinate beim zweimal dargestellt durch die vertikale Achse:

y \u003d Oa y \u003d a x a

und zweimal - horizontal angeordnet:

y \u003d Oa y \u003d a z a˝.

Dieser Unterschied entstand aufgrund der Tatsache, dass die y-Achse im Diagramm an zwei verschiedenen Positionen vorhanden ist.

Es sei darauf hingewiesen, dass die Position jeder Projektion auf dem Diagramm nur durch zwei Koordinaten bestimmt wird, nämlich:

1) horizontal - Koordinaten X und beim,

2) frontal - Koordinaten x und z,

3) Profil - Koordinaten beim und z.

Verwendung von Koordinaten x, y und z, können Sie Projektionen eines Punktes im Diagramm erstellen.

Wenn Punkt A durch Koordinaten gegeben ist, ist ihr Datensatz wie folgt definiert: A ( X; ja; z).

Beim Konstruieren von Punktprojektionen SONDERN Folgende Bedingungen müssen überprüft werden:

1) horizontale und frontale Projektionen a und a X X;

2) Frontal- und Profilprojektionen a und a sollte sich auf der gleichen Senkrechten zur Achse befinden z, da sie eine gemeinsame Koordinate haben z;

3) horizontale Projektion und auch von der Achse entfernt X, wie die Profilprojektion a weg von der Achse z, da die Projektionen a′ und a˝ eine gemeinsame Koordinate haben beim.

Wenn der Punkt in einer der Projektionsebenen liegt, dann ist eine seiner Koordinaten gleich Null.

Wenn ein Punkt auf der Projektionsachse liegt, sind seine beiden Koordinaten Null.

Wenn ein Punkt im Ursprung liegt, sind alle drei seiner Koordinaten Null.

Projektion einer geraden Linie

Zwei Punkte werden benötigt, um eine Linie zu definieren. Ein Punkt wird durch zwei Projektionen auf die horizontale und frontale Ebene definiert, d. h. eine gerade Linie wird durch die Projektionen ihrer beiden Punkte auf die horizontale und frontale Ebene bestimmt.

Abbildung 17 zeigt Projektionen ( a und ein, b und b) zwei Punkte SONDERN und B. Mit ihrer Hilfe die Position einer geraden Linie AB. Beim Verbinden der gleichnamigen Projektionen dieser Punkte (d.h. a und b, a und b) können Sie Projektionen erhalten ab und ab direkt AB.

Abbildung 18 zeigt die Projektionen beider Punkte, und Abbildung 19 zeigt die Projektionen einer geraden Linie, die durch sie verläuft.

Wenn die Projektionen einer geraden Linie durch die Projektionen ihrer beiden Punkte bestimmt werden, werden sie durch zwei benachbarte lateinische Buchstaben bezeichnet, die den Bezeichnungen der Projektionen von Punkten auf der geraden Linie entsprechen: mit Strichen, um die Frontalprojektion der anzuzeigen gerade Linie oder ohne Striche - für die horizontale Projektion.

Wenn wir nicht einzelne Punkte einer Geraden betrachten, sondern ihre Projektionen als Ganzes, dann werden diese Projektionen durch Zahlen angezeigt.

Wenn irgendwann Mit liegt auf einer geraden Linie AB, ihre Projektionen с und с́ liegen auf den Projektionen derselben Linie ab und ab. Abbildung 19 veranschaulicht diese Situation.

Gerade Spuren

gerade verfolgen- Dies ist der Schnittpunkt mit einer Ebene oder Oberfläche (Abb. 20).

Horizontale Spur gerade Irgendwann heißt es H wo die Linie auf die horizontale Ebene trifft, und frontal- Punkt v, in der diese Gerade auf die Frontalebene trifft (Abb. 20).

Abbildung 21a zeigt den horizontalen Verlauf einer geraden Linie und ihren frontalen Verlauf in Abbildung 21b.

Manchmal wird auch der Profilzug einer Geraden betrachtet, W- der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Profilebene.

Die horizontale Spur liegt in der horizontalen Ebene, d.h. ihrer horizontalen Projektion h fällt mit dieser Spur zusammen, und die frontale h liegt auf der x-achse. Die Frontalspur liegt in der Frontalebene, ihre Frontalprojektion ν́ fällt damit zusammen, und die Horizontale v liegt auf der x-Achse.

So, H = h, und v= V. Daher können Buchstaben verwendet werden, um Spuren einer geraden Linie zu bezeichnen h und V.

Verschiedene Positionen der Linie

Die Gerade wird aufgerufen direkte allgemeine Position, wenn sie zu keiner der Projektionsebenen parallel oder senkrecht ist. Die Projektionen einer Linie in allgemeiner Position sind auch weder parallel noch senkrecht zu den Projektionsachsen.

Gerade Linien, die parallel zu einer der Projektionsebenen (senkrecht zu einer der Achsen) verlaufen. Fig. 22 eine gerade Linie zeigt, die parallel zur horizontalen Ebene (senkrecht zur z-Achse) ist, eine horizontale gerade Linie ist; Abbildung 23 zeigt eine gerade Linie, die parallel zur Frontalebene (senkrecht zur Achse) verläuft beim), ist die frontale gerade Linie; Abbildung 24 zeigt eine gerade Linie, die parallel zur Profilebene (senkrecht zur Achse) verläuft X), ist eine Profilgerade. Obwohl jede dieser Linien mit einer der Achsen einen rechten Winkel bildet, schneiden sie diese nicht, sondern nur mit ihr.

Aufgrund der Tatsache, dass die horizontale Linie (Abb. 22) parallel zur horizontalen Ebene verläuft, sind ihre Frontal- und Profilprojektionen parallel zu den Achsen, die die horizontale Ebene definieren, d. h. den Achsen X und beim. Daher Projektionen ab|| X und a˝b˝|| beim z. Die horizontale Projektion ab kann jede Position im Diagramm einnehmen.

An der Frontallinie (Abb. 23) Projektion ab|| x und a˝b˝ || z, d.h. sie stehen senkrecht zur Achse beim, also in diesem Fall die Frontalprojektion ab Die Linie kann jede Position einnehmen.

An der Profillinie (Abb. 24) ab|| y, ab|| z, und beide sind senkrecht zur x-Achse. Projektion a˝b˝ können beliebig auf dem Diagramm platziert werden.

Wenn Sie die Ebene betrachten, die die horizontale Linie auf die Frontalebene projiziert (Abb. 22), können Sie sehen, dass sie diese Linie auch auf die Profilebene projiziert, d. h. es ist eine Ebene, die die Linie gleichzeitig auf zwei Projektionsebenen projiziert - Frontal und Profil. Aus diesem Grund heißt es doppelt projizierende Ebene. In gleicher Weise projiziert die doppelt projizierte Ebene für die Frontallinie (Abb. 23) sie auf die Ebenen der horizontalen und Profilprojektionen und für das Profil (Abb. 23) - auf die Ebenen der horizontalen und frontalen Projektionen .

Zwei Projektionen können keine gerade Linie definieren. Zwei Projektionen 1 und ein Profilgerade (Abb. 25) ohne Angabe der Projektionen zweier Punkte dieser Geraden auf sie bestimmt nicht die Lage dieser Geraden im Raum.

In einer Ebene, die senkrecht zu zwei gegebenen Symmetrieebenen steht, kann es unendlich viele Linien geben, für die die Daten im Diagramm stehen 1 und ein sind ihre Projektionen.

Liegt ein Punkt auf einer Geraden, so liegen seine Projektionen in jedem Fall auf den gleichnamigen Projektionen auf dieser Geraden. Das Gegenteil gilt nicht immer für die Profillinie. Auf seinen Projektionen können Sie die Projektionen eines bestimmten Punktes beliebig angeben und nicht sicher sein, dass dieser Punkt auf einer bestimmten Linie liegt.

In allen drei Spezialfällen (Abb. 22, 23 und 24) ist die Lage der Geraden bezüglich der Projektionsebene ihr beliebiges Segment AB, aufgenommen auf jeder der geraden Linien, wird unverzerrt auf eine der Projektionsebenen projiziert, dh auf die Ebene, zu der sie parallel ist. Liniensegment AB horizontale Gerade (Abb. 22) ergibt eine lebensgroße Projektion auf eine horizontale Ebene ( ab = AB); Liniensegment AB frontale gerade Linie (Abb. 23) - in voller Größe auf der Ebene der Frontalebene V ( ab = AB) und das Segment AB Profilgerade (Abb. 24) - in voller Größe auf der Profilebene W (a˝b˝\u003d AB), d. H. Es ist möglich, die tatsächliche Größe des Segments in der Zeichnung zu messen.

Mit anderen Worten, man kann mit Hilfe von Diagrammen die natürlichen Dimensionen der Winkel bestimmen, die die betrachtete Linie mit den Projektionsebenen bildet.

Der Winkel, den eine gerade Linie mit einer horizontalen Ebene bildet H, ist es üblich, den Buchstaben α mit der Frontalebene - dem Buchstaben β, mit der Profilebene - dem Buchstaben γ zu bezeichnen.

Jede der betrachteten geraden Linien hat keine Spur auf einer Ebene parallel zu ihr, d. h. die horizontale gerade Linie hat keine horizontale Spur (Abb. 22), die frontale gerade Linie hat keine frontale Spur (Abb. 23) und das Profil gerade Linie hat keine Profilspur (Abb. 24 ).

Betrachten Sie die Projektionen von Punkten auf zwei Ebenen, für die wir zwei senkrechte Ebenen nehmen (Abb. 4), die wir die horizontalen Frontal- und Ebenen nennen. Die Schnittlinie dieser Ebenen wird als Projektionsachse bezeichnet. Wir projizieren einen Punkt A mit einer flachen Projektion auf die betrachteten Ebenen. Dazu müssen die Senkrechten Aa und A vom gegebenen Punkt auf die betrachteten Ebenen abgesenkt werden.

Projektion auf eine horizontale Ebene heißt Draufsicht Punkte SONDERN, und die Projektion a? auf der Frontalebene heißt Frontprojektion.

Punkte, die in der darstellenden Geometrie projiziert werden sollen, werden üblicherweise mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet. A, B, C. Kleine Buchstaben werden verwendet, um horizontale Projektionen von Punkten zu bezeichnen. a, b, c... Frontalprojektionen sind in kleinen Buchstaben mit einem Strich oben gekennzeichnet a?, b?, c?…

Die Bezeichnung von Punkten mit römischen Ziffern I, II, ... wird ebenfalls verwendet, und für ihre Projektionen - mit arabischen Ziffern 1, 2 ... und 1?, 2? ...

Dreht man die horizontale Ebene um 90°, erhält man eine Zeichnung, bei der beide Ebenen in einer Ebene liegen (Abb. 5). Dieses Bild heißt Punktdiagramm.

Durch senkrechte Linien Ah und Ah? Zeichnen Sie ein Flugzeug (Abb. 4). Die resultierende Ebene ist senkrecht zu den frontalen und horizontalen Ebenen, da sie Senkrechte zu diesen Ebenen enthält. Daher steht diese Ebene senkrecht zur Schnittlinie der Ebenen. Die resultierende Gerade schneidet die horizontale Ebene in einer geraden Linie äh x und die Frontalebene - in einer geraden Linie hm? X. Gerade aah und hm? x stehen senkrecht auf der Schnittachse der Ebenen. Also Aaah? ist ein Rechteck.

Beim Kombinieren der horizontalen und frontalen Projektionsebene a und a? wird auf einer Senkrechten zur Schnittachse der Ebenen liegen, da, wenn sich die horizontale Ebene dreht, die Rechtwinkligkeit der Segmente äh x und hm? x ist nicht kaputt.

Das bekommen wir auf dem Projektionsdiagramm a und a? Irgendwann SONDERN liegen immer auf derselben Senkrechten zur Schnittachse der Ebenen.

Zwei Vorsprünge a und a? eines Punktes A seine Position im Raum eindeutig bestimmen kann (Abb. 4). Dies wird durch die Tatsache bestätigt, dass beim Konstruieren einer Senkrechten von der Projektion a zur horizontalen Ebene diese durch den Punkt A verläuft. Ebenso die Senkrechte von der Projektion a? zur Frontalebene wird durch den Punkt gehen SONDERN, d. h. Punkt SONDERN liegt gleichzeitig auf zwei bestimmten Linien. Punkt A ist ihr Schnittpunkt, d.h. er ist eindeutig.

Betrachten Sie ein Rechteck Aaa X a?(Abb. 5), für die folgende Aussagen gelten:

1) Punktabstand SONDERN von der Frontalebene ist gleich dem Abstand ihrer horizontalen Projektion a von der Schnittachse der Ebenen, d.h.

Ah? = äh X;

2) Punktabstand SONDERN von der horizontalen Projektionsebene ist gleich dem Abstand seiner frontalen Projektion a? von der Schnittachse der Ebenen, d.h.

Ah = hm? X.

Mit anderen Worten, auch ohne den Punkt selbst auf dem Diagramm können Sie nur anhand seiner beiden Projektionen herausfinden, in welcher Entfernung von jeder der Projektionsebenen sich dieser Punkt befindet.

Der Schnittpunkt zweier Projektionsebenen teilt den Raum in vier Teile, die sog Viertel(Abb. 6).

Die Schnittachse der Ebenen teilt die horizontale Ebene in zwei Viertel - die vordere und hintere und die vordere Ebene - in das obere und das untere Viertel. Als Grenzen des ersten Viertels gelten der obere Teil der Frontalebene und der vordere Teil der Horizontalebene.

Nach Erhalt des Diagramms dreht sich die horizontale Ebene und fällt mit der Frontalebene zusammen (Abb. 7). In diesem Fall fällt die Vorderseite der horizontalen Ebene mit der Unterseite der Frontalebene zusammen und die Rückseite der Horizontalebene mit der Oberseite der Frontalebene.

Die Abbildungen 8-11 zeigen die Punkte A, B, C, D, die sich in verschiedenen Vierteln des Raums befinden. Punkt A liegt im ersten Viertel, Punkt B im zweiten, Punkt C im dritten und Punkt D im vierten.

Wenn sich die Punkte im ersten oder vierten Viertel ihrer befinden horizontale Projektionen befinden sich auf der Vorderseite der horizontalen Ebene, und auf dem Diagramm liegen sie unter der Schnittachse der Ebenen. Wenn sich ein Punkt im zweiten oder dritten Viertel befindet, liegt seine horizontale Projektion auf der Rückseite der horizontalen Ebene und auf dem Diagramm über der Schnittachse der Ebenen.

Projektionen von vorne Punkte, die sich im ersten oder zweiten Viertel befinden, liegen im oberen Teil der Frontalebene und im Diagramm über der Schnittachse der Ebenen. Wenn sich ein Punkt im dritten oder vierten Viertel befindet, liegt seine Frontalprojektion unterhalb der Schnittachse der Ebenen.

In realen Konstruktionen wird die Figur meistens im ersten Viertel des Raums platziert.

In einigen besonderen Fällen ist der Punkt ( E) kann auf einer horizontalen Ebene liegen (Abb. 12). In diesem Fall fallen seine horizontale Projektion e und der Punkt selbst zusammen. Die Frontalprojektion eines solchen Punktes liegt auf der Achse des Schnittpunkts der Ebenen.

In dem Fall, wo der Punkt Zu liegt auf der Frontalebene (Abb. 13), seine horizontale Projektion k liegt auf der Schnittachse der Ebenen und der Frontal k? zeigt die tatsächliche Position dieses Punktes.

Für solche Punkte ist das Zeichen, dass er auf einer der Projektionsebenen liegt, dass eine seiner Projektionen auf der Schnittachse der Ebenen liegt.

Liegt ein Punkt auf der Schnittachse der Projektionsebenen, fallen er und seine beiden Projektionen zusammen.

Wenn ein Punkt nicht auf den Projektionsebenen liegt, wird er aufgerufen Punkt der allgemeinen Position. Wenn es im Folgenden keine besonderen Merkmale gibt, handelt es sich bei dem betrachteten Punkt um einen Punkt in allgemeiner Position.

2. Fehlende Projektionsachse

Um zu erklären, wie man am Modell Projektionen eines Punktes auf senkrechte Projektionsebenen erhält (Abb. 4), muss man ein dickes Stück Papier in Form eines länglichen Rechtecks nehmen. Es muss zwischen Vorsprüngen gebogen werden. Die Faltlinie zeigt die Achse des Schnittpunkts der Ebenen. Richtet man danach das gebogene Stück Papier wieder gerade, erhalten wir ein Diagramm ähnlich dem in der Abbildung gezeigten.

Wenn Sie zwei Projektionsebenen mit der Zeichenebene kombinieren, können Sie die Faltlinie nicht anzeigen, d. H. Zeichnen Sie die Schnittachse der Ebenen nicht in das Diagramm ein.

Beim Konstruieren auf einem Diagramm sollten Sie immer Projektionen platzieren a und a? Punkt A auf einer vertikalen Linie (Abb. 14), die senkrecht zur Schnittachse der Ebenen steht. Daher kann, selbst wenn die Lage der Schnittachse der Ebenen undefiniert bleibt, ihre Richtung aber bestimmt ist, die Schnittachse der Ebenen nur senkrecht auf der geraden Linie im Diagramm stehen Ah?.

Wenn auf dem Punktdiagramm keine Projektionsachse vorhanden ist, wie in der ersten Abbildung 14 a, kann man sich die Lage dieses Punktes im Raum vorstellen. Zeichnen Sie dazu an einer beliebigen Stelle senkrecht zur Linie Ah? Projektionsachse, wie in der zweiten Abbildung (Abb. 14), und biegen Sie die Zeichnung entlang dieser Achse. Wenn wir die Senkrechten an den Punkten wiederherstellen a und a? bevor sie sich schneiden, können Sie einen Punkt bekommen SONDERN. Wenn die Position der Projektionsachse geändert wird, werden unterschiedliche Positionen des Punktes relativ zu den Projektionsebenen erhalten, aber die Unsicherheit der Position der Projektionsachse wirkt sich nicht auf die relative Position mehrerer Punkte oder Figuren im Raum aus.

3. Projektionen eines Punktes auf drei Projektionsebenen

Die dritte Projektionsebene wird so ausgeführt, dass sie gleichzeitig senkrecht zu beiden Projektionsebenen steht (Abb. 15). Die dritte Ebene wird aufgerufen Profil.

Abbildung 15a zeigt den Punkt SONDERN und drei seiner Projektionen. Projektion auf die Profilebene ( a??) werden genannt Profilprojektion und bezeichnen a??.

Abbildung 16 zeigt die Position der Vorsprünge äh, hm? und a?? Punkte SONDERN, die sich aus der Kombination aller drei Ebenen mit der Zeichenebene ergibt.

Abbildung 16 zeigt drei Projektionen äh, hm? und a?? Die Punkte A haben eine fest definierte Position auf dem Diagramm und unterliegen eindeutigen Bedingungen:

a und a? müssen immer auf einer vertikalen Geraden senkrecht zur Achse liegen X;

a? und a?? müssen sich immer auf der gleichen horizontalen Linie senkrecht zur Achse befinden z;

3) wenn durch eine horizontale Projektion und eine horizontale Linie gezogen, aber durch eine Profilprojektion a??- eine vertikale gerade Linie, die konstruierten Linien schneiden sich notwendigerweise auf der Winkelhalbierenden des Winkels zwischen den Projektionsachsen, da die Figur Oa beim a 0 a n ist ein Quadrat.

Bei der Konstruktion von drei Projektionen eines Punktes muss die Erfüllung aller drei Bedingungen für jeden Punkt überprüft werden.

4. Punktkoordinaten

Punktabstand SONDERN zur Profilebene ist die Koordinate X, dabei X = hm?(Abb. 15), der Abstand zur Frontalebene - durch die Koordinate y und y = hm?, und der Abstand zur horizontalen Ebene ist die Koordinate z, dabei z = aA.

x \u003d a? A \u003d Oa x \u003d a y a \u003d a z a?;

y \u003d a? A \u003d Oa y \u003d a x a \u003d a z a?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

Auf dem Diagramm (Abb. 16) kommen die x- und z-Koordinaten dreimal vor:

x \u003d a z a? \u003d Oa x \u003d a y a,

z = ein x ein? = Oa z = a y a?.

Alle Segmente, die der Koordinate entsprechen X(oder z) sind parallel zueinander. Koordinate beim zweimal dargestellt durch die vertikale Achse:

y \u003d Oa y \u003d a x a

und zweimal - horizontal angeordnet:

y \u003d Oa y \u003d a z a?.

Dieser Unterschied entstand aufgrund der Tatsache, dass die y-Achse im Diagramm an zwei verschiedenen Positionen vorhanden ist.

Es sei darauf hingewiesen, dass die Position jeder Projektion auf dem Diagramm nur durch zwei Koordinaten bestimmt wird, nämlich:

1) horizontal - Koordinaten X und beim,

2) frontal - Koordinaten x und z,

3) Profil - Koordinaten beim und z.

Verwendung von Koordinaten x, y und z, können Sie Projektionen eines Punktes im Diagramm erstellen.

Wenn Punkt A durch Koordinaten gegeben ist, ist ihr Datensatz wie folgt definiert: A ( X; ja; z).

Beim Konstruieren von Punktprojektionen SONDERN Folgende Bedingungen müssen überprüft werden:

1) horizontale und frontale Projektionen a und a? X X;

2) Frontal- und Profilprojektionen a? und a? sollte sich auf der gleichen Senkrechten zur Achse befinden z, da sie eine gemeinsame Koordinate haben z;

3) horizontale Projektion und auch von der Achse entfernt X, wie die Profilprojektion a weg von der Achse z, da die Projektion ah? und hä? haben eine gemeinsame Koordinate beim.

Wenn der Punkt in einer der Projektionsebenen liegt, dann ist eine seiner Koordinaten gleich Null.

Wenn ein Punkt auf der Projektionsachse liegt, sind seine beiden Koordinaten Null.

Wenn ein Punkt im Ursprung liegt, sind alle drei seiner Koordinaten Null.

Die Position eines Punktes im Raum kann durch seine zwei orthogonalen Projektionen angegeben werden, beispielsweise horizontal und frontal, frontal und Profil. Durch die Kombination zweier beliebiger orthogonaler Projektionen können Sie den Wert aller Koordinaten eines Punktes ermitteln, eine dritte Projektion erstellen und den Oktanten bestimmen, in dem er sich befindet. Betrachten wir einige typische Aufgaben aus dem Studium der Darstellenden Geometrie.

Gemäß der gegebenen komplexen Zeichnung der Punkte A und B ist es notwendig:

Bestimmen wir zunächst die Koordinaten des Punktes A, die in der Form A (x, y, z) geschrieben werden können. Die horizontale Projektion von Punkt A ist Punkt A " mit den Koordinaten x, y. Zeichnen Sie von Punkt A" senkrecht zu den x-, y-Achsen und finden Sie jeweils A x, A y. Die x-Koordinate für den Punkt A ist gleich der Länge des Segments A x O mit Pluszeichen, da A x im Bereich positiver x-Achsenwerte liegt. Unter Berücksichtigung des Maßstabs der Zeichnung finden wir x \u003d 10. Die y-Koordinate ist gleich der Länge des Segments A y O mit einem Minuszeichen, da t. A y liegt im Bereich negativer y-Achsenwerte . Angesichts des Maßstabs der Zeichnung ist y = -30. Die Frontalprojektion von Punkt A - Punkt A"" hat x- und z-Koordinaten. Lass uns die Senkrechte von A"" auf die z-Achse fallen lassen und A z finden. Die z-Koordinate des Punktes A ist gleich der Länge der Strecke A z O mit Minuszeichen, da A z im Bereich negativer Werte der z-Achse liegt. Angesichts des Maßstabs der Zeichnung ist z = -10. Somit sind die Koordinaten von Punkt A (10, -30, -10).

Die Koordinaten von Punkt B können als B (x, y, z) geschrieben werden. Betrachten Sie die horizontale Projektion von Punkt B - Punkt B. "Da es auf der x-Achse liegt, ist B x \u003d B" und die Koordinate B y \u003d 0. Die Abszisse x von Punkt B ist gleich der Länge des Segments B x O mit Pluszeichen. Unter Berücksichtigung des Maßstabs der Zeichnung ist x = 30. Die Frontalprojektion des Punktes B - Punkt B˝ hat die Koordinaten x, z. Zeichnen Sie eine Senkrechte von B"" zur z-Achse und finden Sie so B z . Das Applikat z des Punktes B ist gleich der Länge des Segments B z O mit Minuszeichen, da B z im Bereich negativer Werte der z-Achse liegt. Unter Berücksichtigung des Maßstabs der Zeichnung ermitteln wir den Wert z = -20. Die B-Koordinaten sind also (30, 0, -20). Alle notwendigen Konstruktionen sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Konstruktion von Projektionen von Punkten

Die Punkte A und B in der Ebene P 3 haben die folgenden Koordinaten: A""" (y, z); B""" (y, z). In diesem Fall liegen A"" und A""" auf derselben Senkrechten zur z-Achse, da sie eine gemeinsame z-Koordinate haben. Ebenso liegen B"" und B""" auf einer gemeinsamen Senkrechten zur z-Achse. Um die Profilprojektion von t.A zu finden, setzen wir entlang der y-Achse den Wert der entsprechenden zuvor gefundenen Koordinate beiseite. In der Abbildung geschieht dies mit einem Kreisbogen mit dem Radius A y O. Danach zeichnen wir eine Senkrechte von A y zum Schnittpunkt, wobei die Senkrechte vom Punkt A "" zur z-Achse wiederhergestellt wird. Der Schnittpunkt dieser beiden Loten bestimmt die Position von A""".

Punkt B""" liegt auf der z-Achse, da die y-Ordinate dieses Punktes 0 ist. Um die Profilprojektion von Punkt B in dieser Aufgabe zu finden, braucht man nur eine Senkrechte von B"" auf z zu ziehen -Achse Der Schnittpunkt dieser Senkrechten mit der z-Achse ist B """.

Lagebestimmung von Punkten im Raum

Wenn Sie sich visuell ein räumliches Layout vorstellen, das aus den Projektionsebenen P 1, P 2 und P 3, der Position der Oktanten sowie der Reihenfolge der Transformation des Layouts in Diagramme besteht, können Sie direkt bestimmen, dass sich t. A im Oktanten III befindet. und t. B liegt in der Ebene P 2 .

Eine weitere Möglichkeit zur Lösung dieses Problems ist die Methode der Ausnahmen. Beispielsweise sind die Koordinaten von Punkt A (10, -30, -10). Die positive Abszisse x ermöglicht die Beurteilung, dass sich der Punkt in den ersten vier Oktanten befindet. Eine negative y-Ordinate gibt an, dass der Punkt im zweiten oder dritten Oktanten liegt. Schließlich zeigt das negative Applikat von z an, dass sich Punkt A im dritten Oktanten befindet. Die gegebene Begründung wird durch die folgende Tabelle deutlich.

Oktanten	Zeichen koordinieren
Oktanten	x	j	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Koordinaten von Punkt B (30, 0, -20). Da die Ordinate von t.B gleich Null ist, liegt dieser Punkt in der Projektionsebene П 2 . Die positive Abszisse und der negative Applikat von Punkt B zeigen an, dass er sich auf der Grenze des dritten und vierten Oktanten befindet.

Konstruktion eines visuellen Bildes von Punkten im System der Ebenen P 1, P 2, P 3

Unter Verwendung der frontalen isometrischen Projektion bauten wir ein räumliches Layout des dritten Oktanten. Es ist ein rechteckiges Trieder, dessen Flächen die Ebenen P 1, P 2, P 3 sind, und der Winkel (-y0x) beträgt 45 °. In diesem System werden Segmente entlang der x-, y-, z-Achse in voller Größe ohne Verzerrung gezeichnet.

Die Konstruktion eines visuellen Bildes von Punkt A (10, -30, -10) beginnt mit seiner horizontalen Projektion A ". Nachdem wir die entsprechenden Koordinaten entlang der Abszisse und der Ordinate beiseite gelegt haben, finden wir die Punkte A x und A y. Die Der Schnittpunkt der von A x bzw. A y wiederhergestellten Senkrechten auf die x- und y-Achse bestimmt die Position des Punktes A". Wenn wir von A" parallel zur z-Achse in Richtung ihrer negativen Werte das Segment AA" legen, dessen Länge gleich 10 ist, finden wir die Position von Punkt A.

Ein visuelles Bild des Punktes B (30, 0, -20) wird auf ähnliche Weise konstruiert - in der Ebene P 2 müssen die entsprechenden Koordinaten entlang der x- und z-Achse aufgetragen werden. Der Schnittpunkt der aus B x und B z rekonstruierten Senkrechten bestimmt die Position von Punkt B.

Hilfslinie der Mehrfachzeichnung

In der Zeichnung in Abb. 4.7, a, Projektionsachsen werden gezeichnet, und die Bilder werden durch Kommunikationslinien miteinander verbunden. Horizontal- und Profilprojektionen werden durch Kommunikationslinien mit Bögen verbunden, die an einem Punkt zentriert sind Ö Achsenkreuzungen. In der Praxis wird jedoch auch eine andere Implementierung des integrierten Zeichnens verwendet.

Auf achsenlosen Zeichnungen werden Bilder auch in einer Projektionsbeziehung platziert. Der dritte Vorsprung kann jedoch näher oder weiter entfernt platziert werden. Beispielsweise kann rechts ein Profilvorsprung platziert werden (Abb. 4.7, b, II) oder nach links (Abb. 4.7, b, ich). Dies ist wichtig, um Platz zu sparen und die Dimensionierung zu vereinfachen.

Reis. 4.7.

Wenn es in einer nach einem achsenlosen System erstellten Zeichnung erforderlich ist, Verbindungslinien zwischen der Draufsicht und der linken Ansicht zu ziehen, wird eine Hilfsgerade der komplexen Zeichnung verwendet. Dazu wird etwa auf Höhe der Draufsicht und etwas rechts davon eine gerade Linie im Winkel von 45° zum Zeichenrahmen gezogen (Abb. 4.8, a). Sie wird als Hilfslinie der komplexen Zeichnung bezeichnet. Das Verfahren zum Erstellen einer Zeichnung unter Verwendung dieser geraden Linie ist in Abb. 2 dargestellt. 4.8, b, c.

Wenn bereits drei Ansichten gebaut wurden (Abb. 4.8, d), dann kann die Position der Hilfslinie nicht beliebig gewählt werden. Zuerst müssen Sie den Punkt finden, durch den es passieren wird. Dazu genügt es, bis zum gegenseitigen Schnittpunkt der Symmetrieachsen von Horizontal- und Profilprojektion und durch den resultierenden Punkt fortzufahren k Zeichnen Sie ein gerades Liniensegment in einem Winkel von 45 ° (Abb. 4.8, d). Wenn keine Symmetrieachsen vorhanden sind, fahren Sie fort bis zum Schnittpunkt am Punkt k 1 Horizontal- und Profilprojektion eines als Gerade projizierten Gesichts (Abb. 4.8, d).

Reis. 4.8.

Die Notwendigkeit, Kommunikationslinien und folglich eine Hilfsgerade zu zeichnen, entsteht beim Konstruieren fehlender Projektionen und beim Ausführen von Zeichnungen, auf denen die Projektionen von Punkten bestimmt werden müssen, um die Projektionen einzelner Elemente des Teils zu verdeutlichen.

Beispiele für die Verwendung der Hilfslinie finden Sie im nächsten Absatz.

Projektionen eines auf der Oberfläche eines Objekts liegenden Punktes

Um beim Erstellen von Zeichnungen Projektionen einzelner Elemente eines Teils korrekt zu erstellen, ist es erforderlich, Projektionen einzelner Punkte auf allen Bildern der Zeichnung zu finden. Beispielsweise ist es schwierig, eine horizontale Projektion des in Abb. 4.9 ohne Verwendung der Projektionen einzelner Punkte ( A, B, C, D, E usw.). Die Fähigkeit, alle Projektionen von Punkten, Kanten und Flächen zu finden, ist auch notwendig, um in der Vorstellung die Form eines Objekts gemäß seinen flachen Bildern in der Zeichnung nachzubilden und die Korrektheit der fertigen Zeichnung zu überprüfen.

Reis. 4.9.

Betrachten wir Möglichkeiten, die zweite und dritte Projektion eines auf der Oberfläche eines Objekts gegebenen Punktes zu finden.

Wenn in der Zeichnung eines Objekts eine Projektion eines Punktes angegeben ist, müssen zuerst die Projektionen der Oberfläche gefunden werden, auf der sich dieser Punkt befindet. Wählen Sie dann eine der beiden unten beschriebenen Methoden zur Lösung des Problems.

Erster Weg

Dieses Verfahren wird verwendet, wenn mindestens eine der Projektionen die gegebene Oberfläche als Linie zeigt.

Auf Abb. 4.10, a ein Zylinder ist gezeigt, auf dessen Frontalprojektion der Vorsprung gesetzt ist a" Punkte SONDERN, auf dem sichtbaren Teil seiner Oberfläche liegen (vorgegebene Vorsprünge sind mit zweifarbigen Kreisen markiert). Um die horizontale Projektion eines Punktes zu finden SONDERN, Sie argumentieren wie folgt: Der Punkt liegt auf der Oberfläche des Zylinders, dessen horizontale Projektion ein Kreis ist. Das bedeutet, dass die Projektion eines auf dieser Fläche liegenden Punktes auch auf dem Kreis liegen wird. Zeichnen Sie eine Kommunikationslinie und markieren Sie den gewünschten Punkt an ihrem Schnittpunkt mit dem Kreis a. dritte Projektion a"

Reis. 4.10.

Wenn der Punkt BEIM, auf der oberen Basis des Zylinders liegend, gegeben durch seine horizontale Projektion b, dann werden die Kommunikationslinien zum Schnittpunkt mit geraden Liniensegmenten gezogen, die die Frontal- und Profilprojektionen der oberen Basis des Zylinders darstellen.

Auf Abb. 4.10, b zeigt das Detail - Hervorhebung. Projektionen eines Punktes konstruieren SONDERN, durch seine horizontale Projektion gegeben a, finden Sie zwei weitere Vorsprünge der oberen Fläche (auf denen der Punkt liegt SONDERN) und zeichnen Sie die Verbindungslinien zum Schnittpunkt mit den Liniensegmenten, die dieses Gesicht darstellen, und bestimmen Sie die gewünschten Projektionen - Punkte a" und a". Punkt BEIM auf der linken vertikalen Seite liegt, was bedeutet, dass seine Vorsprünge auch auf den Vorsprüngen dieser Seite liegen werden. Also ab einem bestimmten Punkt b" Zeichnen Sie Kommunikationslinien (wie durch Pfeile angezeigt), bis sie auf Liniensegmente treffen, die dieses Gesicht darstellen. frontale Projektion mit" Punkte MIT, auf einer (im Raum) geneigten Fläche liegen, befinden sich auf der diese Fläche darstellenden Linie und dem Profil mit"- am Schnittpunkt der Verbindungslinie, da die Profilprojektion dieser Fläche keine Linie, sondern eine Figur ist. Konstruktion von Punktprojektionen D durch Pfeile dargestellt.

Zweiter Weg

Diese Methode wird verwendet, wenn die erste Methode nicht verwendet werden kann. Dann sollten Sie Folgendes tun:

zeichnen Sie durch die gegebene Projektion des Punktes die Projektion der Hilfslinie, die sich auf der gegebenen Fläche befindet;
finden Sie die zweite Projektion dieser Linie;
auf die gefundene Projektion der Linie übertragen Sie die gegebene Projektion des Punktes (dies bestimmt die zweite Projektion des Punktes);
Suchen Sie die dritte Projektion (falls erforderlich) am Schnittpunkt der Kommunikationsleitungen.

Auf Abb. 4.10 ist eine Frontalprojektion gegeben a" Punkte SONDERN, auf dem sichtbaren Teil der Kegeloberfläche liegen. Um die horizontale Projektion durch einen Punkt zu finden a" Führen Sie eine Frontalprojektion einer Hilfsgeraden durch, die durch den Punkt verläuft SONDERN und die Spitze des Kegels. Einen Punkt kriegen v ist die Projektion des Treffpunkts der gezeichneten Linie mit der Basis des Kegels. Hat man frontale Projektionen von Punkten, die auf einer geraden Linie liegen, kann man ihre horizontalen Projektionen finden. Horizontale Projektion s Die Spitze des Kegels ist bekannt. Punkt b liegt auf dem Umfang der Basis. Durch diese Punkte wird eine Strecke gezogen und ein Punkt darauf übertragen (wie durch den Pfeil dargestellt). a", einen Punkt bekommen a. Dritte Projektion a" Punkte SONDERN an der Kreuzung gelegen.

Dasselbe Problem kann anders gelöst werden (Abb. 4.10, G).

Als Hilfslinie durch einen Punkt SONDERN, sie nehmen keine gerade Linie wie im ersten Fall, sondern einen Kreis. Dieser Kreis wird gebildet, wenn am Punkt SONDERN schneiden Sie den Kegel mit einer Ebene parallel zur Basis, wie in der visuellen Darstellung gezeigt. Die Frontalprojektion dieses Kreises wird als gerades Liniensegment dargestellt, da die Ebene des Kreises senkrecht zur Frontalprojektionsebene steht. Die horizontale Projektion eines Kreises hat einen Durchmesser gleich der Länge dieses Segments. Beschreiben Sie einen Kreis mit dem angegebenen Durchmesser und zeichnen Sie von einem Punkt aus a" Verbindungslinie zum Schnittpunkt mit dem Hilfskreis, da die horizontale Projektion a Punkte SONDERN liegt auf der Hilfslinie, d.h. auf dem konstruierten Kreis. dritte Projektion als" Punkte SONDERN an der Kreuzung von Kommunikationslinien gefunden.

Auf die gleiche Weise können Sie die Projektionen eines auf einer Fläche liegenden Punktes finden, beispielsweise einer Pyramide. Der Unterschied besteht darin, dass, wenn es von einer horizontalen Ebene gekreuzt wird, kein Kreis gebildet wird, sondern eine der Basis ähnliche Figur.

Bei der Rechteckprojektion besteht das System der Projektionsebenen aus zwei senkrecht zueinander stehenden Projektionsebenen (Abb. 2.1). Einer stimmte zu, horizontal und der andere vertikal platziert zu werden.

Die horizontal angeordnete Projektionsebene wird genannt horizontale Projektionsebene und bezeichnen sch, und die Ebene senkrecht dazu frontale Projektionsebenel 2 . Das System der Projektionsebenen selbst ist bezeichnet p / p 2. Verwenden Sie normalerweise abgekürzte Ausdrücke: Ebene L[, Flugzeug n 2 . Schnittlinie von Ebenen sch und zu 2 namens ProjektionsachseOH. Es teilt jede Projektionsebene in zwei Teile - Etagen. Die horizontale Projektionsebene hat ein vorderes und ein hinteres Stockwerk, während die Frontalebene ein oberes und ein unteres Stockwerk hat.

Flugzeuge sch und S. 2 Teilen Sie den Raum in vier Teile genannt Viertel und mit den römischen Ziffern I, II, III und IV bezeichnet (siehe Abb. 2.1). Das erste Viertel wird der Teil des Raums genannt, der durch die obere hohle Frontal- und die vordere hohle horizontale Projektionsebene begrenzt wird. Für die restlichen Viertel des Raums ähneln die Definitionen der vorherigen.

Alle Konstruktionszeichnungen sind Bilder, die auf derselben Ebene erstellt wurden. Auf Abb. 2.1 Das System der Projektionsebenen ist räumlich. Um zu Bildern auf derselben Ebene zu gelangen, einigten wir uns darauf, die Projektionsebenen zu kombinieren. Normalerweise Flugzeug S. 2 links regungslos, und das Flugzeug P in Pfeilrichtung (siehe Abb. 2.1) um die Achse drehen OH in einem Winkel von 90 °, bis es mit der Ebene ausgerichtet ist n 2 . Bei einer solchen Drehung sinkt der vordere Boden der horizontalen Ebene und der hintere steigt an. Nach dem Ausrichten haben die Ebenen die abgebildete Form

Weibchen in Abb. 2.2. Es wird angenommen, dass die Projektionsebenen undurchsichtig sind und sich der Betrachter immer im ersten Viertel befindet. Auf Abb. 2.2 wird die Bezeichnung von Ebenen, die nach dem Ausrichten unsichtbar sind, in Klammern gesetzt, wie es zum Hervorheben von unsichtbaren Figuren in den Zeichnungen üblich ist.

Der projizierte Punkt kann sich in einem beliebigen Viertel des Raums oder auf einer beliebigen Projektionsebene befinden. In allen Fällen werden zum Aufbau von Vorsprüngen Vorsprünge durchgezogen und ihre Treffpunkte mit den Ebenen 711 und 712 gefunden, die Vorsprünge sind.

Betrachten Sie die Projektion eines Punktes im ersten Viertel. Das System der Projektionsebenen 711/712 und der Punkt SONDERN(Abb. 2.3). Zwei gerade LINIEN werden durch sie gezogen, senkrecht zu den EBENEN 71) UND 71 2. Einer von ihnen wird die Ebene 711 an diesem Punkt schneiden SONDERN ", namens horizontale Projektion von Punkt A, und der andere ist die Ebene 71 2 an dem Punkt SONDERN ", namens Frontalprojektion von Punkt A.

Vorspringende Linien AA" und AA" Bestimmen Sie die Projektionsebene a. Es steht senkrecht zu den Ebenen Tipp 2, da es durch Senkrechte zu ihnen verläuft und die Projektionsebenen entlang gerader Linien schneidet Ein "Ah und A" Ein x. Projektionsachse OH senkrecht zur Ebene oc als Schnittlinie zweier Ebenen 71| und 71 2 senkrecht zur dritten Ebene (a) und damit zu jeder darin liegenden Linie. Insbesondere, 0X1A "Ein x und 0X1A "Ein x.

Beim Kombinieren von Flugzeugen wird das Segment Ein „Ach, Wohnung zu 2, bleibt stationär, und das Segment Ein „Ax zusammen mit der Ebene 71) um die Achse gedreht OH bis sie mit der Ebene 71 2 ausgerichtet sind. Ansicht kombinierter Projektionsebenen zusammen mit Projektionen eines Punktes SONDERN in Abb. gezeigt. 2.4, a. Nach dem Ausrichten des Punktes A", A x und A" befindet sich auf einer geraden Linie senkrecht zur Achse OH. Dies impliziert, dass zwei Projektionen denselben Punkt haben

liegen auf einer gemeinsamen Senkrechten zur Projektionsachse. Diese senkrechte Verbindung zweier Projektionen desselben Punktes wird genannt Projektionslinie.

Die Zeichnung in Abb. 2.4, a stark vereinfacht werden kann. Die Bezeichnungen der kombinierten Projektionsebenen in den Zeichnungen sind nicht markiert und die die Projektionsebenen bedingt begrenzenden Rechtecke sind nicht dargestellt, da die Ebenen unbegrenzt sind. Vereinfachte Punktzeichnung SONDERN(Abb. 2.4, b) auch genannt Diagramm(Aus dem Französischen? pure - Zeichnung).

In Abb. gezeigt. 2.3 Viereck AE4 "AXA" ist ein Rechteck und seine gegenüberliegenden Seiten sind gleich und parallel. Daher die Entfernung vom Punkt SONDERN bis zum Flugzeug P, gemessen durch ein Segment AA", in der Zeichnung wird durch das Segment bestimmt Ein „Ah. Das Segment A "A x = AA" ermöglicht es Ihnen, die Entfernung von einem Punkt aus zu beurteilen SONDERN bis zum Flugzeug zu 2 . Somit ergibt das Zeichnen eines Punktes ein vollständiges Bild seiner Lage relativ zu den Projektionsebenen. Beispielsweise gemäß Zeichnung (siehe Abb. 2.4, b) es kann argumentiert werden, dass der Punkt SONDERN im ersten Quartal angesiedelt und aus dem Flugzeug entfernt S. 2 zu einem kürzeren Abstand als von der Ebene ts b da Ein „Ax Ein „Ah.

Fahren wir mit der Projektion eines Punktes in das zweite, dritte und vierte Viertel des Raums fort.

Beim Projizieren eines Punktes BEIM, befindet sich im zweiten Viertel (Abb. 2.5), befinden sich nach der Kombination der Ebenen beide Projektionen über der Achse OH.

Die horizontale Projektion des Punktes C, angegeben im dritten Viertel (Abb. 2.6), befindet sich oberhalb der Achse OH, und die Front ist niedriger.

Punkt D in Abb. 1 dargestellt. 2,7 liegt im vierten Quartal. Nach dem Kombinieren der Projektionsebenen liegen beide Projektionen unterhalb der Achse OH.

Wenn Sie die Zeichnungen von Punkten vergleichen, die sich in verschiedenen Raumvierteln befinden (siehe Abb. 2.4-2.7), können Sie sehen, dass jeder durch seine eigene Projektionsposition relativ zur Projektionsachse gekennzeichnet ist OH.

In besonderen Fällen kann der projizierte Punkt auf der Projektionsebene liegen. Dann fällt eine seiner Projektionen mit dem Punkt selbst zusammen und die andere befindet sich auf der Projektionsachse. Zum Beispiel für einen Punkt E, im Flugzeug liegen sch(Abb. 2.8), die horizontale Projektion fällt mit dem Punkt selbst zusammen und die frontale Projektion liegt auf der Achse OH. Am Punkt E, befindet sich im Flugzeug zu 2(Abb. 2.9), horizontale Projektion auf die Achse OH, und die Front fällt mit dem Punkt selbst zusammen.

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