Sehr oft sind Zähler und Nenner eines Bruchs algebraische Ausdrücke, die zuerst in Faktoren zerlegt werden müssen, und dann, nachdem sie unter ihnen gleich gefunden wurden, sowohl den Zähler als auch den Nenner in sie teilen, dh den Bruch reduzieren. Ein ganzes Kapitel eines Lehrbuchs zur Algebra in der 7. Klasse ist Aufgaben zur Faktorisierung eines Polynoms gewidmet. Factoring ist möglich 3 Wege, sowie eine Kombination dieser Methoden.

1. Anwendung abgekürzter Multiplikationsformeln

Bekanntlich Multipliziere ein Polynom mit einem Polynom, müssen Sie jeden Term eines Polynoms mit jedem Term des anderen Polynoms multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren. Es gibt mindestens 7 (sieben) häufige Fälle der Multiplikation von Polynomen, die im Konzept enthalten sind. Zum Beispiel,

Tabelle 1. Faktorisierung auf dem 1. Weg

2. Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus der Klammer

Diese Methode basiert auf der Anwendung des Distributivgesetzes der Multiplikation. Zum Beispiel,

Wir dividieren jeden Term des ursprünglichen Ausdrucks durch den Faktor, den wir herausnehmen, und erhalten gleichzeitig den Ausdruck in Klammern (das heißt, das Ergebnis der Division dessen, was war, durch das, was wir herausnehmen, bleibt in Klammern). Zuallererst brauchen Sie den Multiplikator richtig bestimmen, die eingeklammert werden müssen.

Das Polynom in Klammern kann auch ein gemeinsamer Teiler sein:

Bei der Aufgabe „Faktorisieren“ muss man besonders auf die Vorzeichen achten, wenn man den gemeinsamen Teiler aus Klammern nimmt. Zum Ändern des Vorzeichens jedes Begriffs in einer Klammer (b-a), nehmen wir den gemeinsamen Faktor heraus -1 , während jeder Term in der Klammer durch -1 geteilt wird: (b - a) = - (a - b) .

Für den Fall, dass der Ausdruck in Klammern quadriert ist (oder zu einer geraden Potenz), dann Zahlen in Klammern können vertauscht werden völlig kostenlos, da sich die aus Klammern genommenen Minuspunkte beim Multiplizieren immer noch in ein Plus verwandeln: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 usw…

3. Gruppierungsmethode

Manchmal haben nicht alle Begriffe im Ausdruck einen gemeinsamen Faktor, sondern nur einige. Dann kannst du es versuchen Gruppenbegriffe in Klammern, damit jeweils ein Faktor herausgenommen werden kann. Gruppierungsmethode ist eine doppelte Klammerung gemeinsamer Faktoren.

4. Mehrere Methoden gleichzeitig anwenden

Manchmal müssen Sie nicht nur eine, sondern mehrere Möglichkeiten anwenden, um ein Polynom gleichzeitig in Faktoren zu zerlegen.

Dies ist eine Zusammenfassung zum Thema. "Faktorisierung". Wählen Sie die nächsten Schritte:

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Um zu faktorisieren, müssen die Ausdrücke vereinfacht werden. Dies ist notwendig, um weiter reduzieren zu können. Die Zerlegung eines Polynoms ist sinnvoll, wenn sein Grad nicht kleiner als der zweite ist. Ein Polynom ersten Grades heißt linear.

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Der Artikel wird alle Konzepte der Zerlegung, theoretische Grundlagen und Methoden zur Faktorisierung eines Polynoms aufzeigen.

Theorie

Satz 1

Wenn irgendein Polynom mit Grad n die Form hat P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , als Produkt mit einem konstanten Faktor mit dem höchsten Grad a n und n linearen Faktoren (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , dargestellt, dann ist P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , wobei x i , i = 1 , 2 , … , n - dies sind die Nullstellen des Polynoms.

Der Satz ist für Wurzeln vom komplexen Typ x i , i = 1 , 2 , … , n und für komplexe Koeffizienten a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n gedacht. Dies ist die Grundlage jeder Zerlegung.

Wenn Koeffizienten der Form a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n reelle Zahlen sind, dann treten komplexe Wurzeln in konjugierten Paaren auf. Beispielsweise beziehen sich die Wurzeln x 1 und x 2 auf ein Polynom der Form P n x = a n x n + a n – 1 x n – 1 + . . . + a 1 x + a 0 als komplex konjugiert betrachtet werden, dann sind die anderen Nullstellen reell, daher erhalten wir, dass das Polynom die Form P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · annimmt. . . (x - x 3) x 2 + p x + q, wobei x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Kommentar

Die Wurzeln eines Polynoms können wiederholt werden. Betrachten Sie den Beweis des Satzes der Algebra, die Konsequenzen des Satzes von Bezout.

Fundamentalsatz der Algebra

Satz 2

Jedes Polynom vom Grad n hat mindestens eine Nullstelle.

Satz von Bezout

Nach dem Teilen eines Polynoms der Form P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 auf (x - s) , dann erhalten wir den Rest, der gleich dem Polynom am Punkt s ist, dann erhalten wir

P n x = ein n x n + ein n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , wobei Q n - 1 (x) ein Polynom mit Grad n - 1 ist.

Folgerung aus dem Satz von Bezout

Wenn die Wurzel des Polynoms P n (x) als s betrachtet wird, dann ist P n x = a n x n + a n – 1 x n – 1 + . . . + ein 1 x + ein 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Diese Folgerung ist ausreichend, wenn sie verwendet wird, um die Lösung zu beschreiben.

Faktorisierung eines quadratischen Trinoms

Ein quadratisches Trinom der Form a x 2 + b x + c kann in lineare Faktoren zerlegt werden. dann bekommen wir das a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , wobei x 1 und x 2 Wurzeln sind (komplex oder reell).

Dies zeigt, dass sich die Zerlegung selbst später auf das Lösen der quadratischen Gleichung reduziert.

Beispiel 1

Faktorisiere ein quadratisches Trinom.

Entscheidung

Es ist notwendig, die Wurzeln der Gleichung 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 zu finden. Dazu müssen Sie den Wert der Diskriminante gemäß der Formel ermitteln, dann erhalten wir D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. Daher haben wir das

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Von hier erhalten wir, dass 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Um die Prüfung durchzuführen, müssen Sie die Klammern öffnen. Dann erhalten wir einen Ausdruck der Form:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Nach der Überprüfung gelangen wir zum ursprünglichen Ausdruck. Das heißt, wir können schlussfolgern, dass die Erweiterung korrekt ist.

Beispiel 2

Zerlege ein quadratisches Trinom der Form 3 x 2 - 7 x - 11 .

Entscheidung

Wir erhalten, dass es notwendig ist, die resultierende quadratische Gleichung der Form 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 zu berechnen.

Um die Wurzeln zu finden, müssen Sie den Wert der Diskriminante bestimmen. Das verstehen wir

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816

Von hier erhalten wir 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .

Beispiel 3

Faktorisiere das Polynom 2 x 2 + 1.

Entscheidung

Jetzt musst du die quadratische Gleichung 2 x 2 + 1 = 0 lösen und ihre Wurzeln finden. Das verstehen wir

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 ich x 2 = - 1 2 = - 1 2 ich

Diese Nullstellen werden komplex konjugiert genannt, was bedeutet, dass die Zerlegung selbst als 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i dargestellt werden kann.

Beispiel 4

Erweitern Sie das quadratische Trinom x 2 + 1 3 x + 1 .

Entscheidung

Zuerst müssen Sie eine quadratische Gleichung der Form x 2 + 1 3 x + 1 = 0 lösen und ihre Wurzeln finden.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 ich 2 = - 1 + 35 ich 6 = - 1 6 + 35 6 ich x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 ich 2 = - 1 - 35 ich 6 = - 1 6 - 35 6 ich

Nachdem wir die Wurzeln erhalten haben, schreiben wir

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 ich x - - 1 6 - 35 6 ich = = x + 1 6 - 35 6 ich x + 1 6 + 35 6 ich

Kommentar

Wenn der Wert der Diskriminante negativ ist, bleiben die Polynome Polynome zweiter Ordnung. Daraus folgt, dass wir sie nicht in lineare Faktoren zerlegen werden.

Methoden zur Faktorisierung eines Polynoms mit höherem Grad als dem zweiten

Die Zerlegung geht von einer universellen Methode aus. Die meisten Fälle basieren auf einer Folgerung aus dem Satz von Bezout. Dazu müssen Sie den Wert der Wurzel x 1 auswählen und ihren Grad verringern, indem Sie durch ein Polynom um 1 dividieren, indem Sie durch (x - x 1) dividieren. Das resultierende Polynom muss die Wurzel x 2 finden, und der Suchprozess ist zyklisch, bis wir eine vollständige Zerlegung erhalten.

Wenn die Wurzel nicht gefunden wird, werden andere Methoden der Faktorisierung verwendet: Gruppierung, zusätzliche Terme. Dieses Thema geht von der Lösung von Gleichungen mit höheren Potenzen und ganzzahligen Koeffizienten aus.

Nehmen Sie den gemeinsamen Faktor aus Klammern heraus

Betrachten Sie den Fall, wenn der freie Term gleich Null ist, dann wird die Form des Polynoms zu P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + ein 1 x .

Es ist ersichtlich, dass die Wurzel eines solchen Polynoms gleich x 1 \u003d 0 ist, dann können Sie das Polynom in Form eines Ausdrucks darstellen P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + ein 1 x = = x (ein n x n - 1 + ein n - 1 x n - 2 + . . . + ein 1)

Diese Methode wird als Entfernen des gemeinsamen Faktors aus Klammern angesehen.

Beispiel 5

Faktorisiere das Polynom dritten Grades 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Entscheidung

Wir sehen, dass x 1 \u003d 0 die Wurzel des gegebenen Polynoms ist, dann können wir x aus dem gesamten Ausdruck ausklammern. Wir bekommen:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Lassen Sie uns weitergehen, um die Wurzeln des quadratischen Trinoms 4 x 2 + 8 x - 1 zu finden. Lassen Sie uns die Diskriminante und die Wurzeln finden:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Dann folgt das

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Betrachten wir zunächst ein Zerlegungsverfahren, das ganzzahlige Koeffizienten der Form P n (x) = x n + a n – 1 x n – 1 + enthält. . . + a 1 x + a 0 , wobei der Koeffizient der höchsten Potenz 1 ist.

Wenn das Polynom ganzzahlige Wurzeln hat, werden sie als Teiler des freien Terms betrachtet.

Beispiel 6

Erweitern Sie den Ausdruck f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Entscheidung

Überlege, ob es ganzzahlige Wurzeln gibt. Es ist notwendig, die Teiler der Zahl - 18 aufzuschreiben. Wir bekommen das ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Daraus folgt, dass dieses Polynom ganzzahlige Wurzeln hat. Sie können nach dem Horner-Schema prüfen. Es ist sehr praktisch und ermöglicht es Ihnen, schnell die Erweiterungskoeffizienten eines Polynoms zu erhalten:

Daraus folgt, dass x \u003d 2 und x \u003d - 3 die Wurzeln des ursprünglichen Polynoms sind, das als Produkt der Form dargestellt werden kann:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Wir wenden uns der Zerlegung eines quadratischen Trinoms der Form x 2 + 2 x + 3 zu.

Da die Diskriminante negativ ist, bedeutet dies, dass es keine echten Wurzeln gibt.

Antworten: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Kommentar

Es ist erlaubt, Wurzelauswahl und Division eines Polynoms durch ein Polynom anstelle von Horners Schema zu verwenden. Betrachten wir nun die Entwicklung eines Polynoms, das ganzzahlige Koeffizienten der Form P n (x) = x n + an – 1 x n – 1 + enthält. . . + a 1 x + a 0 , deren größter ungleich eins ist.

Dieser Fall tritt bei gebrochenen rationalen Brüchen auf.

Beispiel 7

Faktorisiere f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Entscheidung

Es ist notwendig, die Variable y = 2 x zu ändern, man sollte zu einem Polynom mit Koeffizienten gleich 1 im höchsten Grad übergehen. Sie müssen damit beginnen, den Ausdruck mit 4 zu multiplizieren. Das verstehen wir

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Wenn die resultierende Funktion der Form g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ganzzahlige Wurzeln hat, gehört ihr Ergebnis zu den Teilern des freien Terms. Der Eintrag sieht folgendermaßen aus:

± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15, ± 20, ± 30, ± 60

Fahren wir mit der Berechnung der Funktion g (y) an diesen Punkten fort, um als Ergebnis Null zu erhalten. Das verstehen wir

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Wir erhalten, dass y \u003d - 5 die Wurzel der Gleichung der Form y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ist, was bedeutet, dass x \u003d y 2 \u003d - 5 2 die Wurzel der ursprünglichen Funktion ist.

Beispiel 8

Es ist notwendig, durch eine Spalte 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 durch x + 5 2 zu dividieren.

Entscheidung

Wir schreiben und erhalten:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Das Überprüfen der Teiler wird viel Zeit in Anspruch nehmen, daher ist es rentabler, die Faktorisierung des resultierenden quadratischen Trinoms der Form x 2 + 7 x + 3 vorzunehmen. Durch Gleichsetzen mit Null finden wir die Diskriminante.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Daraus folgt das

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Künstliche Tricks beim Faktorisieren eines Polynoms

Rationale Nullstellen sind nicht allen Polynomen inhärent. Dazu müssen Sie spezielle Methoden anwenden, um Faktoren zu finden. Aber nicht alle Polynome können zerlegt oder als Produkt dargestellt werden.

Gruppierungsmethode

Es gibt Fälle, in denen Sie die Terme eines Polynoms gruppieren können, um einen gemeinsamen Faktor zu finden und ihn aus Klammern zu entfernen.

Beispiel 9

Faktorisiere das Polynom x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Entscheidung

Da die Koeffizienten ganzzahlig sind, können vermutlich auch die Wurzeln ganzzahlig sein. Zur Kontrolle nehmen wir die Werte 1, -1, 2 und -2, um an diesen Stellen den Wert des Polynoms zu berechnen. Das verstehen wir

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Dies zeigt, dass es keine Wurzeln gibt, es ist notwendig, eine andere Zerlegungs- und Lösungsmethode zu verwenden.

Eine Gruppierung ist erforderlich:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Nach der Gruppierung des ursprünglichen Polynoms ist es notwendig, es als Produkt zweier quadratischer Trinome darzustellen. Dazu müssen wir faktorisieren. wir bekommen das

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Kommentar

Die Einfachheit der Gruppierung bedeutet nicht, dass es einfach genug ist, Begriffe auszuwählen. Es gibt keinen eindeutigen Lösungsweg, daher ist es notwendig, spezielle Theoreme und Regeln zu verwenden.

Beispiel 10

Faktorisiere das Polynom x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.

Entscheidung

Das gegebene Polynom hat keine ganzzahligen Wurzeln. Die Begriffe sollten gruppiert werden. Das verstehen wir

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Nach Factoring bekommen wir das

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Verwenden der abgekürzten Multiplikation und Newtons Binomialformeln zum Faktorisieren eines Polynoms

Das Aussehen macht oft nicht immer klar, welchen Weg man bei der Zersetzung einschlägt. Nachdem die Transformationen durchgeführt wurden, können Sie eine Linie aufbauen, die aus Pascals Dreieck besteht, ansonsten werden sie Newtons Binomial genannt.

Beispiel 11

Faktorisiere das Polynom x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Entscheidung

Es ist notwendig, den Ausdruck in die Form umzuwandeln

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Die Folge der Koeffizienten der Summe in Klammern wird durch den Ausdruck x + 1 4 angegeben.

Also haben wir x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .

Nach Anwendung der Differenz der Quadrate erhalten wir

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Betrachten Sie den Ausdruck in der zweiten Klammer. Es ist klar, dass es dort keine Pferde gibt, also sollte die Formel für die Differenz der Quadrate wieder angewendet werden. Wir bekommen einen Ausdruck wie

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Beispiel 12

Faktorisiere x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Entscheidung

Lassen Sie uns den Ausdruck ändern. Das verstehen wir

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Es ist notwendig, die Formel für die abgekürzte Multiplikation der Differenz von Kubikzahlen anzuwenden. Wir bekommen:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Eine Methode zum Ersetzen einer Variablen beim Faktorisieren eines Polynoms

Beim Ändern einer Variablen wird der Grad reduziert und das Polynom faktorisiert.

Beispiel 13

Faktorisiere ein Polynom der Form x 6 + 5 x 3 + 6 .

Entscheidung

Durch die Bedingung ist klar, dass es notwendig ist, eine Ersetzung y = x 3 vorzunehmen. Wir bekommen:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Die Wurzeln der resultierenden quadratischen Gleichung sind dann y = - 2 und y = - 3

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Es ist notwendig, die Formel für die abgekürzte Multiplikation der Kubiksumme anzuwenden. Wir erhalten Ausdrücke der Form:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Das heißt, wir haben die gewünschte Erweiterung erhalten.

Die oben diskutierten Fälle helfen bei der Betrachtung und Faktorisierung eines Polynoms auf verschiedene Weise.

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Die Begriffe „Polynom“ und „Faktorisierung eines Polynoms“ sind in der Algebra sehr verbreitet, da man sie kennen muss, um Berechnungen mit großen mehrwertigen Zahlen problemlos durchführen zu können. In diesem Artikel werden mehrere Dekompositionsmethoden beschrieben. Alle von ihnen sind recht einfach zu bedienen, Sie müssen nur jeweils die richtige auswählen.

Das Konzept eines Polynoms

Ein Polynom ist die Summe von Monomen, also Ausdrücken, die nur die Multiplikationsoperation enthalten.

Zum Beispiel ist 2 * x * y ein Monom, aber 2 * x * y + 25 ist ein Polynom, das aus 2 Monomen besteht: 2 * x * y und 25. Solche Polynome werden Binome genannt.

Manchmal muss der Ausdruck zum bequemen Lösen von Beispielen mit mehrwertigen Werten transformiert werden, beispielsweise in eine bestimmte Anzahl von Faktoren zerlegt werden, dh Zahlen oder Ausdrücke, zwischen denen die Multiplikationsoperation durchgeführt wird. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, ein Polynom zu faktorisieren. Es lohnt sich, sie ausgehend von den primitivsten zu betrachten, die sogar in Grundschulklassen verwendet werden.

Gruppierung (allgemeiner Eintrag)

Die Formel zum Zerlegen eines Polynoms in Faktoren nach der Gruppierungsmethode sieht im Allgemeinen so aus:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Es ist notwendig, die Monome so zu gruppieren, dass in jeder Gruppe ein gemeinsamer Faktor auftritt. In der ersten Klammer ist dies der Faktor c und in der zweiten - d. Dies muss getan werden, um es dann aus der Halterung zu nehmen, wodurch die Berechnungen vereinfacht werden.

Zerlegungsalgorithmus an einem konkreten Beispiel

Das einfachste Beispiel für die Faktorisierung eines Polynoms in Faktoren mit der Gruppierungsmethode ist unten angegeben:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

In der ersten Klammer müssen Sie die Terme mit dem Faktor a nehmen, der üblich ist, und in der zweiten - mit dem Faktor b. Achten Sie im fertigen Ausdruck auf die Zeichen + und -. Wir setzen vor das Monom das Vorzeichen, das im Anfangsausdruck stand. Das heißt, Sie müssen nicht mit dem Ausdruck 25a arbeiten, sondern mit dem Ausdruck -25. Das Minuszeichen wird sozusagen an den Ausdruck dahinter „geklebt“ und bei Berechnungen immer berücksichtigt.

Im nächsten Schritt müssen Sie den Faktor, der üblich ist, aus der Klammer herausnehmen. Dafür ist die Gruppierung da. Aus der Klammer herausnehmen bedeutet, vor der Klammer (unter Weglassen des Multiplikationszeichens) all jene Faktoren auszuschreiben, die sich in allen Termen, die in der Klammer stehen, genau wiederholen. Stehen nicht 2, sondern 3 oder mehr Terme in der Klammer, muss der gemeinsame Teiler in jedem davon enthalten sein, sonst darf er nicht aus der Klammer genommen werden.

In unserem Fall nur 2 Begriffe in Klammern. Der Gesamtmultiplikator ist sofort sichtbar. Die erste Klammer ist a, die zweite ist b. Hier müssen Sie auf die digitalen Koeffizienten achten. In der ersten Klammer sind beide Koeffizienten (10 und 25) Vielfache von 5. Das bedeutet, dass nicht nur a, sondern auch 5a geklammert werden kann. Schreiben Sie vor der Klammer 5a aus und dividieren Sie dann jeden der Terme in Klammern durch den herausgenommenen gemeinsamen Teiler, und schreiben Sie auch den Quotienten in Klammern, ohne die Zeichen + und - zu vergessen. Machen Sie dasselbe mit der zweiten Klammer , nimm 7b heraus, da 14 und 35 ein Vielfaches von 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Es stellten sich 2 Terme heraus: 5a (2c - 5) und 7b (2c - 5). Jeder von ihnen enthält einen gemeinsamen Faktor (der gesamte Ausdruck in Klammern ist hier derselbe, was bedeutet, dass es sich um einen gemeinsamen Faktor handelt): 2c - 5. Es muss auch aus der Klammer genommen werden, dh die Terme 5a und 7b bleiben in der zweiten Klammer:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Der vollständige Ausdruck lautet also:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

Somit wird das Polynom 10ac + 14bc - 25a - 35b in 2 Faktoren zerlegt: (2c - 5) und (5a + 7b). Das Multiplikationszeichen dazwischen kann beim Schreiben weggelassen werden

Manchmal gibt es Ausdrücke dieser Art: 5a 2 + 50a 3, hier kann man nicht nur a oder 5a einklammern, sondern sogar 5a 2. Man sollte immer versuchen, den größtmöglichen gemeinsamen Teiler aus der Klammer zu nehmen. Wenn wir in unserem Fall jeden Term durch einen gemeinsamen Faktor dividieren, erhalten wir:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(bei der Berechnung des Quotienten mehrerer Potenzen mit gleicher Basis wird die Basis beibehalten und der Exponent subtrahiert). Somit bleibt man in der Klammer (auf keinen Fall vergessen eine zu schreiben, wenn man einen der Terme ganz aus der Klammer nimmt) und der Quotient der Division: 10a. Es stellt sich heraus, dass:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Quadratische Formeln

Zur Vereinfachung der Berechnungen wurden mehrere Formeln abgeleitet. Sie werden reduzierte Multiplikationsformeln genannt und werden ziemlich oft verwendet. Diese Formeln helfen bei der Faktorisierung von Polynomen, die Potenzen enthalten. Dies ist eine weitere leistungsstarke Methode zur Faktorisierung. Hier sind sie also:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - die Formel, die als "Quadrat der Summe" bezeichnet wird, da durch die Erweiterung in ein Quadrat die Summe der in Klammern eingeschlossenen Zahlen gebildet wird, dh der Wert dieser Summe wird zweimal mit sich selbst multipliziert, was bedeutet, dass es ein Multiplikator ist.
• a2 + 2ab - b2 = (a - b) 2 - die Formel des Quadrats der Differenz, sie ist der vorherigen ähnlich. Das Ergebnis ist eine in Klammern eingeschlossene Differenz, die in einer Quadratpotenz enthalten ist.
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)- Dies ist die Formel für die Differenz von Quadraten, da das Polynom zunächst aus 2 Quadraten von Zahlen oder Ausdrücken besteht, zwischen denen eine Subtraktion durchgeführt wird. Es ist vielleicht das am häufigsten verwendete der drei.

Beispiele für die Berechnung nach Quadratformeln

Berechnungen auf ihnen sind ganz einfach. Zum Beispiel:

1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - Verwenden Sie die Formel "Quadrat der Summe".
2. 25x 2 ist das Quadrat von 5x. 20xy ist das Doppelte des Produkts von 2*(5x*2y) und 4y 2 ist das Quadrat von 2y.
3. Also 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Dieses Polynom wird in 2 Faktoren zerlegt (die Faktoren sind gleich, daher wird es als Ausdruck mit quadratischer Potenz geschrieben).

Operationen nach der Formel des Differenzquadrats werden ähnlich wie diese durchgeführt. Was bleibt, ist die Quadratdifferenzformel. Beispiele für diese Formel sind sehr einfach zu identifizieren und unter anderen Ausdrücken zu finden. Zum Beispiel:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). Seit 25a 2 \u003d (5a) 2 und 400 \u003d 20 2
• 36x 2 - 25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y). Seit 36x 2 \u003d (6x) 2 und 25y 2 \u003d (5y 2)
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). Da 169b 2 = (13b) 2

Es ist wichtig, dass jeder der Terme das Quadrat eines Ausdrucks ist. Dann ist dieses Polynom durch die Quadratdifferenzformel zu faktorisieren. Dazu ist es nicht erforderlich, dass die zweite Potenz über der Zahl steht. Es gibt Polynome, die große Potenzen enthalten, aber dennoch für diese Formeln geeignet sind.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

In diesem Beispiel kann eine 8 als (a 4) 2 dargestellt werden, also als Quadrat eines bestimmten Ausdrucks. 25 ist 5 2 und 10a ist 4 - dies ist das doppelte Produkt der Terme 2*a 4 *5. Das heißt, dieser Ausdruck kann trotz des Vorhandenseins von Graden mit großen Exponenten in 2 Faktoren zerlegt werden, um später damit zu arbeiten.

Würfelformeln

Dieselben Formeln existieren zum Faktorisieren von Polynomen, die Würfel enthalten. Sie sind etwas komplizierter als die mit Quadraten:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)- Diese Formel wird Würfelsumme genannt, da das Polynom in seiner ursprünglichen Form die Summe zweier Ausdrücke oder Zahlen ist, die in einem Würfel eingeschlossen sind.
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) - Eine Formel, die mit der vorherigen identisch ist, wird als Differenz von Kubikzahlen bezeichnet.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - Summenwürfel, als Ergebnis von Berechnungen wird die Summe von Zahlen oder Ausdrücken erhalten, in Klammern eingeschlossen und dreimal mit sich selbst multipliziert, dh im Würfel angeordnet
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - Die Formel, die analog zur vorherigen mit einer Änderung nur einiger Vorzeichen mathematischer Operationen (Plus und Minus) zusammengestellt wurde, wird als "Differenzwürfel" bezeichnet.

Die letzten beiden Formeln werden praktisch nicht zum Faktorisieren eines Polynoms verwendet, da sie komplex sind und es ziemlich selten Polynome gibt, die genau einer solchen Struktur vollständig entsprechen, so dass sie nach diesen Formeln zerlegt werden können. Aber Sie müssen sie trotzdem kennen, da sie für Aktionen in die entgegengesetzte Richtung benötigt werden - beim Öffnen von Klammern.

Beispiele für Würfelformeln

Betrachten Sie ein Beispiel: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Wir haben hier ziemlich Primzahlen genommen, sodass Sie sofort sehen können, dass 64a 3 (4a) 3 und 8b 3 (2b) 3 ist. Somit wird dieses Polynom durch die Formel Differenz von Kubikzahlen in 2 Faktoren erweitert. Aktionen auf der Formel der Würfelsumme werden analog ausgeführt.

Es ist wichtig zu verstehen, dass nicht alle Polynome auf mindestens eine der Arten zerlegt werden können. Aber es gibt solche Ausdrücke, die größere Potenzen enthalten als ein Quadrat oder ein Würfel, aber sie können auch zu abgekürzten Multiplikationsformen erweitert werden. Zum Beispiel: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Dieses Beispiel enthält bis zu 12 Grad. Aber auch das lässt sich mit der Würfelsummenformel faktorisieren. Dazu müssen Sie x 12 als (x 4) 3 darstellen, also als Würfel mit einem bestimmten Ausdruck. Jetzt müssen Sie es anstelle von a in der Formel ersetzen. Nun, der Ausdruck 125y 3 ist die dritte Potenz von 5y. Der nächste Schritt besteht darin, die Formel zu schreiben und die Berechnungen durchzuführen.

Zunächst oder im Zweifelsfall können Sie immer durch umgekehrte Multiplikation prüfen. Sie müssen nur die Klammern im resultierenden Ausdruck öffnen und Aktionen mit ähnlichen Begriffen ausführen. Diese Methode gilt für alle aufgeführten Reduktionsmethoden: sowohl für die Arbeit mit einem gemeinsamen Faktor und Gruppierung als auch für Operationen mit Formeln von Kubik- und Quadratpotenzen.

Es werden 8 Beispiele für die Faktorisierung von Polynomen gegeben. Dazu gehören Beispiele zum Lösen quadratischer und biquadratischer Gleichungen, Beispiele mit wiederkehrenden Polynomen und Beispiele zum Finden ganzzahliger Wurzeln von Polynomen dritten und vierten Grades.

1. Beispiele mit der Lösung einer quadratischen Gleichung

Beispiel 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Entscheidung

x herausnehmen 2 für Klammern:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Gleichung Wurzeln:
, .

.

Antworten

Beispiel 1.2

Faktorisieren eines Polynoms dritten Grades:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Entscheidung

Wir nehmen x aus Klammern heraus:
.
Wir lösen die quadratische Gleichung x 2 + 6 x + 9 = 0:
Seine Diskriminante ist .
Da die Diskriminante gleich Null ist, sind die Wurzeln der Gleichung Vielfache: ;
.

Daraus erhalten wir die Zerlegung des Polynoms in Faktoren:
.

Antworten

Beispiel 1.3

Faktorisieren eines Polynoms fünften Grades:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Entscheidung

x herausnehmen 3 für Klammern:
.
Wir lösen die quadratische Gleichung x 2 - 2 x + 10 = 0.
Seine Diskriminante ist .
Da die Diskriminante kleiner als Null ist, sind die Wurzeln der Gleichung komplex: ;
, .

Die Faktorisierung eines Polynoms hat die Form:
.

Wenn wir daran interessiert sind, mit reellen Koeffizienten zu faktorisieren, dann:
.

Antworten

Beispiele für die Faktorisierung von Polynomen mit Formeln

Beispiele mit biquadratischen Polynomen

Beispiel 2.1

Faktorisiere das biquadratische Polynom:
x 4 + x 2 - 20.

Entscheidung

Wenden Sie die Formeln an:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Antworten

Beispiel 2.2

Faktorisieren eines Polynoms, das sich auf ein Biquadratisches reduziert:
x 8 + x 4 + 1.

Entscheidung

Wenden Sie die Formeln an:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Antworten

Beispiel 2.3 mit rekursivem Polynom

Faktorisierung des rekursiven Polynoms:
.

Entscheidung

Das rekursive Polynom hat einen ungeraden Grad. Daher hat es eine Wurzel x = - 1 . Wir teilen das Polynom durch x - (-1) = x + 1. Als Ergebnis erhalten wir:
.
Wir machen einen Ersatz:
, ;
;


;
.

Antworten

Beispiele für die Faktorisierung von Polynomen mit ganzzahligen Wurzeln

Beispiel 3.1

Faktorisieren eines Polynoms:
.

Entscheidung

Nehmen Sie die Gleichung an

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Wir haben also drei Wurzeln gefunden:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Da das ursprüngliche Polynom dritten Grades ist, hat es nicht mehr als drei Nullstellen. Da wir drei Wurzeln gefunden haben, sind sie einfach. Dann
.

Antworten

Beispiel 3.2

Faktorisieren eines Polynoms:
.

Entscheidung

Nehmen Sie die Gleichung an

hat mindestens eine ganzzahlige Wurzel. Dann ist es der Teiler der Zahl 2 (ein Mitglied ohne x ). Das heißt, die ganze Wurzel kann eine der Zahlen sein:
-2, -1, 1, 2 .
Ersetzen Sie diese Werte nacheinander:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
Wenn wir davon ausgehen, dass diese Gleichung eine ganzzahlige Wurzel hat, dann ist sie ein Teiler der Zahl 2 (ein Mitglied ohne x ). Das heißt, die ganze Wurzel kann eine der Zahlen sein:
1, 2, -1, -2 .
Ersetze x = -1 :
.

Wir haben also eine andere Wurzel x gefunden 2 = -1 . Es wäre möglich, wie im vorherigen Fall, das Polynom durch zu dividieren, aber wir werden die Terme gruppieren:
.

Da die Gleichung x 2 + 2 = 0 keine echten Wurzeln hat, dann hat die Faktorisierung des Polynoms die Form.

Wir wissen bereits, wie man die Faktorisierung der Graddifferenz teilweise verwendet - beim Studium der Themen „Differenz von Quadraten“ und „Differenz von Würfeln“ haben wir gelernt, die Differenz von Ausdrücken, die als Quadrate oder als dargestellt werden können, als Produkt darzustellen Würfel einiger Ausdrücke oder Zahlen.

Abgekürzte Multiplikationsformeln

Nach den Formeln der abgekürzten Multiplikation:

Die Differenz von Quadraten kann als Produkt der Differenz zweier Zahlen oder Ausdrücke durch ihre Summe dargestellt werden

Die Differenz von Kubikzahlen kann als Produkt der Differenz zweier Zahlen durch das unvollständige Quadrat der Summe dargestellt werden

Übergang zur Differenz von Ausdrücken in 4 Potenzen

Lassen Sie uns versuchen, den Ausdruck $a^4-b^4$ basierend auf der Differenz der Quadrate-Formel zu faktorisieren

Erinnern Sie sich, wie eine Potenz zu einer Potenz erhoben wird - dafür bleibt die Basis gleich und die Exponenten werden multipliziert, d.h. $((a^n))^m=a^(n*m)$

Dann können Sie sich vorstellen:

$a^4=(((a)^2))^2$

$b^4=(((b)^2))^2$

Unser Ausdruck kann also als $a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2$ dargestellt werden

Jetzt haben wir in der ersten Klammer wieder die Differenz von Zahlen, was bedeutet, dass wir wieder als Produkt der Differenz zweier Zahlen oder Ausdrücke durch ihre Summe faktorisieren können: $a^2-b^2=\left(a-b\right) (a+b)$.

Jetzt berechnen wir das Produkt der zweiten und dritten Klammer mit der Regel für das Produkt von Polynomen – wir multiplizieren jeden Term des ersten Polynoms mit jedem Term des zweiten Polynoms und addieren das Ergebnis. Multiplizieren Sie dazu zunächst den ersten Term des ersten Polynoms – $a$ – mit dem ersten und zweiten Term des zweiten (mit $a^2$ und $b^2$), also wir erhalten $a\cdot a^2+a\cdot b^2$, dann multiplizieren wir den zweiten Term des ersten Polynoms -$b$- mit dem ersten und zweiten Term des zweiten Polynoms (mit $a^2$ und $b^2$), diese. Holen Sie sich $b\cdot a^2 + b\cdot b^2$ und summieren Sie die resultierenden Ausdrücke

$\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=a\cdot a^2+a\cdot b^2+ b \cdot a^2 + b\cdot b^ 2 = a^3+ab^2+a^2b+b^3$

Wir schreiben die Differenz von Monomen 4. Grades unter Berücksichtigung des berechneten Produkts:

$a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2=((a)^2-b^2)(a^2 +b^2)$=$\ \left(a-b\right)(a+b)(a^2+b^2)\ $=

Übergang zum Unterschied der Ausdrücke in der 6. Potenz

Lassen Sie uns versuchen, den Ausdruck $a^6-b^6$ basierend auf der Differenz der Quadrate-Formel zu faktorisieren

Erinnern Sie sich, wie eine Potenz zu einer Potenz erhoben wird – dafür bleibt die Basis gleich, und die Exponenten werden multipliziert, also $((a^n))^m=a^(n\cdot m)$

Dann können Sie sich vorstellen:

$a^6=(((a)^3))^2$

$b^6=(((b)^3))^2$

Unser Ausdruck kann also als $a^6-b^6=(((a)^3))^2-(((b)^3))^2$ dargestellt werden

In der ersten Klammer haben wir die Differenz der Kuben von Monomen, in der zweiten die Summe der Kuben von Monomen, jetzt können wir die Differenz der Kuben von Monomen wieder als Produkt der Differenz zweier Zahlen durch das unvollständige Quadrat der Summe faktorisieren $a^3-b^3=\links(a-b\rechts)(a^2+ab+b^2)$

Der ursprüngliche Ausdruck nimmt die Form an

$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)$

Wir berechnen das Produkt der zweiten und dritten Klammer mit der Regel für das Produkt von Polynomen - wir multiplizieren jeden Term des ersten Polynoms mit jedem Term des zweiten Polynoms und addieren das Ergebnis.

$(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5$

Wir schreiben die Differenz von Monomen 6. Grades unter Berücksichtigung des berechneten Produkts:

$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$

Berücksichtigung des Leistungsunterschieds

Lassen Sie uns die Formeln für die Differenz von Kubikzahlen analysieren, die Differenz von $4$ Grad, die Differenz von $6$ Grad

Wir sehen, dass es in jeder dieser Erweiterungen eine Analogie gibt, die wir verallgemeinern:

Beispiel 1

Faktorisiere $(32x)^(10)-(243y)^(15)$

Entscheidung: Zuerst stellen wir jedes Monom als ein Monom hoch 5 dar:

\[(32x)^(10)=((2x^2))^5\]\[(243y)^(15)=((3y^3))^5\]

Wir verwenden die Leistungsdifferenzformel

Bild 1.