Und andere.Alle von ihnen sind Schätzungen ihrer theoretischen Gegenstücke, die erhalten werden könnten, wenn es keine Stichprobe, sondern die allgemeine Bevölkerung gäbe. Aber leider ist die allgemeine Bevölkerung sehr teuer und oft nicht verfügbar.

Das Konzept der Intervallschätzung

Jede Beispielschätzung hat eine gewisse Streuung, weil ist eine Zufallsvariable, die von den Werten in einer bestimmten Probe abhängt. Daher sollte man für zuverlässigere statistische Rückschlüsse nicht nur die Punktschätzung kennen, sondern auch das Intervall, was mit hoher Wahrscheinlichkeit der Fall ist γ (Gamma) deckt den geschätzten Indikator ab θ (Theta).

Formal sind das zwei solche Werte (Statistik) T1(X) und T2(X), was T1< T 2 , für die bei einer bestimmten Wahrscheinlichkeit γ Bedingung ist erfüllt:

Kurz gesagt, es ist wahrscheinlich γ oder mehr liegt der wahre Wert zwischen den Punkten T1(X) und T2(X), die als untere und obere Grenze bezeichnet werden Konfidenzintervall.

Eine der Bedingungen für die Konstruktion von Konfidenzintervallen ist ihre maximale Enge, d.h. es sollte so kurz wie möglich sein. Verlangen ist ganz natürlich, weil. der Forscher versucht, den Befund des gewünschten Parameters genauer zu lokalisieren.

Daraus folgt, dass das Konfidenzintervall die maximalen Wahrscheinlichkeiten der Verteilung abdecken sollte. und die Partitur selbst im Mittelpunkt stehen.

Das heißt, die Wahrscheinlichkeit der Abweichung (des wahren Indikators von der Schätzung) nach oben ist gleich der Wahrscheinlichkeit der Abweichung nach unten. Zu beachten ist auch, dass bei schiefen Verteilungen das rechte Intervall ungleich dem linken Intervall ist.

Die obige Abbildung zeigt deutlich, dass das Intervall umso größer ist, je größer das Konfidenzniveau ist – eine direkte Beziehung.

Dies war eine kleine Einführung in die Theorie der Intervallschätzung unbekannter Parameter. Lassen Sie uns weitergehen, um Konfidenzgrenzen für die mathematische Erwartung zu finden.

Konfidenzintervall für mathematische Erwartung

Wenn die Originaldaten über verteilt sind, dann ist der Durchschnitt ein normaler Wert. Dies folgt aus der Regel, dass eine Linearkombination von Normalwerten auch eine Normalverteilung hat. Daher könnten wir zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten den mathematischen Apparat des Normalverteilungsgesetzes verwenden.

Dies erfordert jedoch die Kenntnis von zwei Parametern – dem Erwartungswert und der Varianz, die normalerweise nicht bekannt sind. Anstelle von Parametern (arithmetisches Mittel und ) können Sie natürlich auch Schätzwerte verwenden, aber dann ist die Verteilung des Mittelwerts nicht ganz normal, sondern etwas abgeflacht. Der Bürger William Gosset aus Irland bemerkte diese Tatsache geschickt, als er seine Entdeckung in der Märzausgabe 1908 von Biometrica veröffentlichte. Aus Geheimhaltungsgründen unterschrieb Gosset mit Student. So erschien die Student-t-Verteilung.

Die von K. Gauss bei der Analyse von Fehlern in astronomischen Beobachtungen verwendete Normalverteilung von Daten ist jedoch im irdischen Leben äußerst selten und es ist ziemlich schwierig, dies festzustellen (für eine hohe Genauigkeit werden etwa 2.000 Beobachtungen benötigt). Daher ist es am besten, die Normalitätsannahme fallen zu lassen und Methoden zu verwenden, die nicht von der Verteilung der Originaldaten abhängen.

Es stellt sich die Frage: Wie ist die Verteilung des arithmetischen Mittels, wenn es aus den Daten einer unbekannten Verteilung berechnet wird? Die Antwort gibt die in der Wahrscheinlichkeitstheorie bekannte Zentraler Grenzwertsatz(CPT). In der Mathematik gibt es mehrere Versionen davon (die Formulierungen wurden im Laufe der Jahre verfeinert), aber alle laufen grob gesagt auf die Aussage hinaus, dass die Summe einer großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen dem Gesetz der Normalverteilung gehorcht.

Bei der Berechnung des arithmetischen Mittels wird die Summe der Zufallsvariablen verwendet. Daraus ergibt sich, dass das arithmetische Mittel eine Normalverteilung hat, bei der der Erwartungswert der Erwartungswert der Anfangsdaten ist und die Varianz .

Kluge Leute wissen, wie man das CLT beweist, aber wir werden dies mit Hilfe eines in Excel durchgeführten Experiments überprüfen. Lassen Sie uns eine Stichprobe von 50 gleichmäßig verteilten Zufallsvariablen simulieren (unter Verwendung der Excel-Funktion RANDOMBETWEEN). Dann machen wir 1000 solcher Stichproben und berechnen für jede das arithmetische Mittel. Schauen wir uns ihre Verteilung an.

Es ist ersichtlich, dass die Verteilung des Durchschnitts dem normalen Gesetz nahe kommt. Wenn das Volumen der Proben und ihre Anzahl noch größer gemacht werden, wird die Ähnlichkeit noch besser.

Nachdem wir uns nun von der Gültigkeit des CLT überzeugt haben, können wir mit Hilfe die Konfidenzintervalle für den arithmetischen Mittelwert berechnen, die mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit den wahren Mittelwert bzw. mathematischen Erwartungswert abdecken.

Um die Ober- und Untergrenze festzulegen, ist es erforderlich, die Parameter der Normalverteilung zu kennen. In der Regel sind sie es nicht, daher werden Schätzungen verwendet: arithmetisches Mittel und Stichprobenvarianz. Auch dieses Verfahren liefert nur für große Stichproben eine gute Annäherung. Bei kleinen Stichproben wird oft empfohlen, die Student-Verteilung zu verwenden. Glauben Sie nicht! Die Student-Verteilung für den Mittelwert tritt nur auf, wenn die Originaldaten eine Normalverteilung aufweisen, d. h. fast nie. Daher ist es besser, gleich die Mindestmesslatte für die benötigte Datenmenge zu setzen und asymptotisch korrekte Methoden einzusetzen. Sie sagen, 30 Beobachtungen sind genug. Nehmen Sie 50 - Sie können nichts falsch machen.

T 1.2 sind die unteren und oberen Grenzen des Konfidenzintervalls

– arithmetisches Mittel der Stichprobe

s0– Stichprobenstandardabweichung (unverzerrt)

n – Stichprobengröße

γ – Konfidenzniveau (normalerweise gleich 0,9, 0,95 oder 0,99)

cγ =Φ -1 ((1+γ)/2) ist der Kehrwert der Standardnormalverteilungsfunktion. Vereinfacht ausgedrückt ist dies die Anzahl der Standardfehler vom arithmetischen Mittel zur Unter- bzw. Obergrenze (die angegebenen drei Wahrscheinlichkeiten entsprechen den Werten 1,64, 1,96 und 2,58).

Die Essenz der Formel besteht darin, dass das arithmetische Mittel genommen wird und dann ein bestimmter Betrag davon beiseite gelegt wird ( mit γ) Standardfehler ( s 0 /√n). Alles ist bekannt, nimm es und zähle.

Vor dem Masseneinsatz von PCs verwendeten sie . Sie werden immer noch verwendet, aber es ist effizienter, auf vorgefertigte Excel-Formeln zurückzugreifen. Alle Elemente aus der obigen Formel ( , und ) können einfach in Excel berechnet werden. Es gibt aber auch eine fertige Formel zur Berechnung des Konfidenzintervalls - VERTRAUEN NORM. Seine Syntax ist die folgende.

VERTRAUEN NORM(alpha, standard_dev, Größe)

Alpha– Signifikanzniveau oder Konfidenzniveau, das in der obigen Notation gleich 1-γ ist, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass die mathematischedie Erwartung liegt außerhalb des Konfidenzintervalls. Bei einem Konfidenzniveau von 0,95 beträgt Alpha 0,05 und so weiter.

standard_aus ist die Standardabweichung der Stichprobendaten. Sie müssen den Standardfehler nicht berechnen, Excel dividiert durch die Wurzel von n.

die Größe– Stichprobengröße (n).

Das Ergebnis der Funktion CONFIDENCE.NORM ist der zweite Term aus der Formel zur Berechnung des Konfidenzintervalls, d. h. Halbzeit. Dementsprechend sind die unteren und oberen Punkte der Durchschnitt ± der erhaltene Wert.

Damit ist es möglich, einen universellen Algorithmus zur Berechnung von Konfidenzintervallen für den arithmetischen Mittelwert aufzubauen, der nicht von der Verteilung der Ausgangsdaten abhängt. Der Preis für Universalität ist ihre asymptotische Natur, d.h. die Notwendigkeit, relativ große Stichproben zu verwenden. Im Zeitalter der modernen Technologie ist es jedoch normalerweise nicht schwierig, die richtige Menge an Daten zu sammeln.

Testen statistischer Hypothesen mit einem Konfidenzintervall

(Modul 111)

Eines der Hauptprobleme, die in der Statistik gelöst werden, ist. Kurz gesagt, seine Essenz ist dies. Beispielsweise wird angenommen, dass die Erwartung der allgemeinen Bevölkerung einem bestimmten Wert entspricht. Dann wird die Verteilung der Stichprobenmittelwerte konstruiert, die mit einer gegebenen Erwartung beobachtet werden kann. Als nächstes schauen wir uns an, wo in dieser bedingten Verteilung der echte Durchschnitt liegt. Wenn es die zulässigen Grenzen überschreitet, ist das Auftreten eines solchen Durchschnitts sehr unwahrscheinlich, und bei einer einzigen Wiederholung des Experiments ist es fast unmöglich, was der aufgestellten Hypothese widerspricht, die erfolgreich abgelehnt wird. Wenn der Durchschnitt das kritische Niveau nicht überschreitet, wird die Hypothese nicht verworfen (aber auch nicht bewiesen!).

Mit Hilfe von Konfidenzintervallen, in unserem Fall für den Erwartungswert, können Sie also auch einige Hypothesen testen. Es ist sehr einfach zu tun. Angenommen, das arithmetische Mittel einer Stichprobe ist 100. Es wird die Hypothese getestet, dass der erwartete Wert beispielsweise 90 beträgt. Das heißt, wenn wir die Frage primitiv stellen, klingt es so: Kann es das mit dem wahren Wert des sein? Durchschnitt gleich 90, der beobachtete Durchschnitt war 100?

Zur Beantwortung dieser Frage sind zusätzliche Informationen zur Standardabweichung und zum Stichprobenumfang erforderlich. Nehmen wir an, die Standardabweichung beträgt 30 und die Anzahl der Beobachtungen 64 (um die Wurzel einfach zu ziehen). Dann beträgt der Standardfehler des Mittelwerts 30/8 oder 3,75. Um das 95-%-Konfidenzintervall zu berechnen, müssen Sie zwei Standardfehler auf beiden Seiten des Mittelwerts (genauer 1,96) beiseite legen. Das Konfidenzintervall beträgt ungefähr 100 ± 7,5 oder 92,5 bis 107,5.

Weitere Argumentation ist wie folgt. Wenn der getestete Wert in das Konfidenzintervall fällt, dann widerspricht er nicht der Hypothese, da innerhalb der Grenzen zufälliger Schwankungen (mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 %). Wenn der getestete Punkt außerhalb des Konfidenzintervalls liegt, ist die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses sehr gering, in jedem Fall unter dem akzeptablen Niveau. Daher wird die Hypothese als widersprüchlich zu den beobachteten Daten zurückgewiesen. In unserem Fall liegt die Erwartungshypothese außerhalb des Konfidenzintervalls (der getestete Wert von 90 ist nicht im Intervall von 100 ± 7,5 enthalten), daher sollte sie verworfen werden. Zur Beantwortung der obigen primitiven Frage sollte man sagen: Nein, das kann es jedenfalls nicht, das kommt äußerst selten vor. Oft deutet dies auf eine bestimmte Wahrscheinlichkeit einer fehlerhaften Ablehnung der Hypothese hin (p-Niveau) und nicht auf ein bestimmtes Niveau, nach dem das Konfidenzintervall gebildet wurde, aber dazu ein anderes Mal mehr.

Wie Sie sehen können, ist es nicht schwierig, ein Konfidenzintervall für den Mittelwert (oder die mathematische Erwartung) zu erstellen. Die Hauptsache ist, die Essenz zu fangen, und dann wird es gehen. In der Praxis verwenden die meisten das 95-%-Konfidenzintervall, das auf beiden Seiten des Mittelwerts etwa zwei Standardfehler breit ist.

Das ist alles für jetzt. Alles Gute!

Anweisung

Bitte beachte, dass Intervall(l1 oder l2), dessen mittlerer Bereich der Schätzwert l* ist und in dem wahrscheinlich auch der wahre Wert des Parameters enthalten ist, ist nur das Vertrauen Intervall Ohm oder der entsprechende Wert des Konfidenzniveaus Alpha. In diesem Fall bezieht sich l* selbst auf Punktschätzungen. Beispielsweise muss gemäß den Ergebnissen beliebiger Stichprobenwerte eines Zufallswerts X (x1, x2, ..., xn) ein unbekannter Indikatorparameter l berechnet werden, von dem die Verteilung abhängt. In diesem Fall bedeutet das Erhalten einer Schätzung eines bestimmten Parameters l*, dass für jede Probe ein bestimmter Wert des Parameters in Einklang gebracht werden muss, dh eine Funktion der Ergebnisse der Beobachtung des Indikators Q zu erstellen, dessen Wert gleich dem geschätzten Wert des Parameters l* in Form einer Formel genommen wird: l*=Q*(x1, x2,..., xn).

Beachten Sie, dass jede Funktion auf den Ergebnissen einer Beobachtung als Statistik bezeichnet wird. Wenn es den betrachteten Parameter (Phänomen) vollständig beschreibt, wird es außerdem als ausreichende Statistik bezeichnet. Und da die Ergebnisse der Beobachtungen zufällig sind, wird l * auch eine Zufallsvariable sein. Die Aufgabe der Berechnung von Statistiken sollte unter Berücksichtigung der Kriterien für ihre Qualität durchgeführt werden. Dabei ist zu berücksichtigen, dass das Verteilungsgesetz der Schätzung ganz eindeutig ist, die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsdichte W(x, l).

Sie können das Vertrauen berechnen Intervall einfach genug, wenn Sie das Gesetz über die Verteilung der Bewertung kennen. Vertrauen zum Beispiel Intervall Schätzungen in Bezug auf die mathematische Erwartung (Mittelwert eines Zufallswertes) mx* =(1/n)*(x1+x2+ …+xn) . Diese Schätzung ist unverzerrt, dh der mathematische Erwartungswert oder Durchschnittswert des Indikators entspricht dem wahren Wert des Parameters (M(mx*) = mx).

Sie können feststellen, dass die Varianz der Schätzung durch mathematische Erwartung ist: bx*^2=Dx/n. Basierend auf dem zentralen Grenzwertsatz können wir die entsprechende Schlussfolgerung ziehen, dass das Verteilungsgesetz dieser Schätzung Gaußsch (normal) ist. Daher können Sie für Berechnungen den Indikator Ф (z) verwenden - das Integral der Wahrscheinlichkeiten. Wählen Sie in diesem Fall die Vertrauensdauer Intervall und 2ld, also erhalten Sie: alpha \u003d P (mx-ld (unter Verwendung der Eigenschaft des Wahrscheinlichkeitsintegrals gemäß der Formel: Ф (-z) \u003d 1- Ф (z)).

Vertrauen aufbauen Intervall Schätzungen der mathematischen Erwartung: - Finden Sie den Wert der Formel (Alpha + 1) / 2; - Wählen Sie den Wert gleich ld / sqrt (Dx / n) aus der Wahrscheinlichkeitsintegraltabelle; - Schätzen Sie die wahre Varianz: Dx * = (1 / n) * ( (x1 - mx*)^2+(x2 - mx*)^2+…+(xn - mx*)^2); Intervall nach der Formel: (mx*-ld, mx*+ld).

In der Statistik gibt es zwei Arten von Schätzungen: Punkt und Intervall. Punktschätzung ist eine Einzelstichprobenstatistik, die zum Schätzen eines Populationsparameters verwendet wird. Zum Beispiel der Stichprobenmittelwert ist eine Punktschätzung des Mittelwerts der Grundgesamtheit und der Stichprobenvarianz S2- Punktschätzung der Populationsvarianz σ2. Es wurde gezeigt, dass der Stichprobenmittelwert eine unverzerrte Schätzung der Bevölkerungserwartung ist. Der Stichprobenmittelwert wird als unverzerrt bezeichnet, da der Mittelwert aller Stichprobenmittelwerte (bei gleicher Stichprobengröße n) entspricht der mathematischen Erwartung der Allgemeinbevölkerung.

Zur Stichprobenvarianz S2 wurde zu einem unvoreingenommenen Schätzer der Populationsvarianz σ2, sollte der Nenner der Stichprobenvarianz gleich gesetzt werden n – 1 , und nicht n. Mit anderen Worten, die Populationsvarianz ist der Durchschnitt aller möglichen Stichprobenvarianzen.

Bei der Schätzung von Bevölkerungsparametern sollte berücksichtigt werden, dass Stichprobenstatistiken wie z , hängen von bestimmten Proben ab. Um dieser Tatsache Rechnung zu tragen, zu erhalten Intervallschätzung die mathematische Erwartung der Allgemeinbevölkerung Analyse der Verteilung der Stichprobenmittelwerte (weitere Einzelheiten siehe). Das konstruierte Intervall ist durch ein bestimmtes Konfidenzniveau gekennzeichnet, das die Wahrscheinlichkeit darstellt, dass der wahre Parameter der Grundgesamtheit korrekt geschätzt wird. Ähnliche Konfidenzintervalle können verwendet werden, um den Anteil eines Merkmals zu schätzen R und die wichtigste verteilte Masse der allgemeinen Bevölkerung.

Hinweis im Format oder herunterladen, Beispiele im Format

Konstruktion eines Konfidenzintervalls für die mathematische Erwartung der Allgemeinbevölkerung mit bekannter Standardabweichung

Erstellen eines Konfidenzintervalls für den Anteil eines Merkmals in der Allgemeinbevölkerung

In diesem Abschnitt wird das Konzept eines Konfidenzintervalls auf kategoriale Daten ausgedehnt. Auf diese Weise können Sie den Anteil des Merkmals an der Gesamtbevölkerung abschätzen R mit Probeanteil RS= X/n. Wie gesagt, wenn die Werte nR und n(1 - p) die Zahl 5 überschreiten, kann die Binomialverteilung durch die Normalverteilung angenähert werden. Daher, um den Anteil eines Merkmals in der Allgemeinbevölkerung abzuschätzen R Es ist möglich, ein Intervall zu konstruieren, dessen Konfidenzniveau gleich ist (1 - α) x 100 %.

wo pS- Stichprobenanteil des Merkmals, gleich X/n, d.h. die Anzahl der Erfolge dividiert durch die Stichprobengröße, R- Anteil des Merkmals an der Allgemeinbevölkerung, Z ist der kritische Wert der standardisierten Normalverteilung, n- Probengröße.

Beispiel 3 Nehmen wir an, dass aus dem Informationssystem eine Stichprobe extrahiert wird, die aus 100 im letzten Monat abgeschlossenen Rechnungen besteht. Nehmen wir an, dass 10 dieser Rechnungen falsch sind. Auf diese Weise, R= 10/100 = 0,1. Das 95%-Konfidenzniveau entspricht dem kritischen Wert Z = 1,96.

Somit besteht eine Wahrscheinlichkeit von 95 %, dass zwischen 4,12 % und 15,88 % der Rechnungen Fehler enthalten.

Bei einer gegebenen Stichprobengröße scheint das Konfidenzintervall, das den Anteil des Merkmals in der Allgemeinbevölkerung enthält, breiter zu sein als bei einer kontinuierlichen Zufallsvariablen. Dies liegt daran, dass Messungen einer kontinuierlichen Zufallsvariablen mehr Informationen enthalten als Messungen kategorialer Daten. Mit anderen Worten, kategoriale Daten, die nur zwei Werte annehmen, enthalten unzureichende Informationen, um die Parameter ihrer Verteilung abzuschätzen.

BEIMBerechnung von Schätzungen aus einer endlichen Grundgesamtheit

Schätzung der mathematischen Erwartung. Korrekturfaktor für die Endpopulation ( fpc) wurde verwendet, um den Standardfehler um den Faktor zu reduzieren. Bei der Berechnung von Konfidenzintervallen für Grundgesamtheitsparameterschätzungen wird in Situationen, in denen Stichproben ohne Zurücklegen gezogen werden, ein Korrekturfaktor angewendet. Somit ist das Konfidenzintervall für die mathematische Erwartung mit einem Konfidenzniveau gleich (1 - α) x 100 %, wird nach folgender Formel berechnet:

Beispiel 4 Um die Anwendung eines Korrekturfaktors für eine endliche Grundgesamtheit zu veranschaulichen, kehren wir zu dem Problem der Berechnung des Konfidenzintervalls für den durchschnittlichen Rechnungsbetrag zurück, das in Beispiel 3 oben diskutiert wurde: Angenommen, ein Unternehmen stellt 5.000 Rechnungen pro Monat aus, und X=110,27 US-Dollar, S= 28,95 $ N = 5000, n = 100, α = 0,05, t99 = 1,9842. Nach Formel (6) erhalten wir:

Schätzung des Anteils des Features. Bei Auswahl von „No Return“ das Konfidenzintervall für den Anteil des Merkmals, dessen Konfidenzniveau gleich ist (1 - α) x 100 %, wird nach folgender Formel berechnet:

Konfidenzintervalle und ethische Fragen

Bei der Stichprobenziehung einer Grundgesamtheit und der Formulierung statistischer Schlussfolgerungen treten häufig ethische Probleme auf. Die wichtigste ist, wie die Konfidenzintervalle und Punktschätzungen von Stichprobenstatistiken übereinstimmen. Das Veröffentlichen von Punktschätzungen ohne Angabe der geeigneten Konfidenzintervalle (normalerweise bei 95 % Konfidenzniveau) und der Stichprobengröße, von der sie abgeleitet werden, kann irreführend sein. Dies kann dem Benutzer den Eindruck vermitteln, dass eine Punktschätzung genau das ist, was er braucht, um die Eigenschaften der gesamten Population vorherzusagen. Daher ist es notwendig zu verstehen, dass bei jeder Forschung nicht Punkt-, sondern Intervallschätzungen im Vordergrund stehen sollten. Außerdem sollte besonderes Augenmerk auf die richtige Wahl der Probengrößen gelegt werden.

Gegenstand statistischer Manipulationen sind meistens die Ergebnisse soziologischer Befragungen der Bevölkerung zu verschiedenen politischen Themen. Gleichzeitig werden die Ergebnisse der Umfrage auf den Titelseiten der Zeitungen platziert und der Stichprobenfehler und die Methodik der statistischen Analyse irgendwo in der Mitte abgedruckt. Um die Gültigkeit der erhaltenen Punktschätzungen zu beweisen, ist es notwendig, den Stichprobenumfang, auf dessen Grundlage sie erhalten wurden, die Grenzen des Konfidenzintervalls und sein Signifikanzniveau anzugeben.

Nächste Anmerkung

Es werden Materialien aus dem Buch Levin et al. Statistics for Managers verwendet. - M.: Williams, 2004. - p. 448–462

Zentraler Grenzwertsatz besagt, dass bei einem ausreichend großen Stichprobenumfang die Stichprobenverteilung der Mittelwerte durch eine Normalverteilung angenähert werden kann. Diese Eigenschaft hängt nicht von der Art der Populationsverteilung ab.

Konfidenzintervall(KI; in Englisch, Konfidenzintervall - KI) die in der Studie bei der Stichprobe gewonnen wurde, gibt ein Maß für die Genauigkeit (oder Unsicherheit) der Ergebnisse der Studie, um Rückschlüsse auf die Population all dieser Patienten (allgemeine Bevölkerung) zu ziehen ). Die korrekte Definition des 95 %-KI kann wie folgt formuliert werden: 95 % solcher Intervalle enthalten den wahren Wert in der Grundgesamtheit. Diese Interpretation ist etwas ungenauer: CI ist der Wertebereich, innerhalb dessen man sich zu 95 % sicher sein kann, dass er den wahren Wert enthält. Bei der Verwendung von CI liegt der Schwerpunkt auf der Bestimmung des quantitativen Effekts im Gegensatz zum P-Wert, der als Ergebnis der Prüfung auf statistische Signifikanz erhalten wird. Der P-Wert bewertet keinen Betrag, sondern dient als Maß für die Stärke der Evidenz gegen die Nullhypothese „kein Effekt“. Der Wert von P an sich sagt uns nichts über die Größe des Unterschieds oder auch nur über seine Richtung. Daher sind unabhängige Werte von P in Artikeln oder Abstracts absolut uninformativ. Im Gegensatz dazu gibt KI sowohl das Ausmaß der Wirkung von unmittelbarem Interesse an, wie z. B. den Nutzen einer Behandlung, als auch die Stärke der Evidenz. Daher steht DI in direktem Zusammenhang mit der Praxis von DM.

Der Schätzansatz für die statistische Analyse, veranschaulicht durch CI, zielt darauf ab, die Größe des interessierenden Effekts (Sensitivität des diagnostischen Tests, vorhergesagte Inzidenz, relative Risikominderung durch Behandlung usw.) sowie die Messung der Unsicherheit darin zu messen Wirkung. Meistens ist das KI der Wertebereich auf beiden Seiten der Schätzung, in dem der wahre Wert wahrscheinlich liegt, und Sie können sich dessen zu 95 % sicher sein. Die Konvention, die Wahrscheinlichkeit von 95 % zu verwenden, ist willkürlich, ebenso wie der Wert von P<0,05 для оценки статистической значимости, и авторы иногда используют 90% или 99% ДИ. Заметим, что слово «интервал» означает диапазон величин и поэтому стоит в единственном числе. Две величины, которые ограничивают интервал, называются «доверительными пределами».

Das KI basiert auf der Idee, dass dieselbe Studie, die an verschiedenen Patientengruppen durchgeführt wird, keine identischen Ergebnisse liefern würde, sondern dass ihre Ergebnisse um den wahren, aber unbekannten Wert herum verteilt wären. Mit anderen Worten, das CI beschreibt dies als „probenabhängige Variabilität“. Das KI spiegelt keine zusätzliche Unsicherheit aufgrund anderer Ursachen wider; insbesondere nicht die Auswirkungen des selektiven Verlusts von Patienten auf das Tracking, schlechte Compliance oder ungenaue Ergebnismessung, fehlende Verblindung usw. CI unterschätzt also immer die Gesamtmenge an Unsicherheit.

Berechnung des Konfidenzintervalls

Tabelle A1.1. Standardfehler und Konfidenzintervalle für einige klinische Messungen

Typischerweise wird KI aus einer beobachteten Schätzung eines quantitativen Maßes, wie z. B. der Differenz (d) zwischen zwei Anteilen, und dem Standardfehler (SE) in der Schätzung dieser Differenz berechnet. Das so erhaltene ungefähre 95 % KI ist d ± 1,96 SE. Die Formel ändert sich entsprechend der Art des Ergebnismaßes und der Abdeckung des CI. Beispielsweise trat in einer randomisierten, Placebo-kontrollierten Studie mit azellulärem Pertussis-Impfstoff Keuchhusten bei 72 von 1670 (4,3 %) Säuglingen auf, die den Impfstoff erhielten, und bei 240 von 1665 (14,4 %) in der Kontrollgruppe. Die prozentuale Differenz, die als absolute Risikominderung bezeichnet wird, beträgt 10,1 %. Die SE dieser Differenz beträgt 0,99 %. Dementsprechend beträgt das 95 %-KI 10,1 % + 1,96 x 0,99 %, d. h. von 8.2 bis 12.0.

Trotz unterschiedlicher philosophischer Ansätze sind CIs und Tests auf statistische Signifikanz mathematisch eng verwandt.

Somit ist der Wert von P „signifikant“, d.h. R<0,05 соответствует 95% ДИ, который исключает величину эффекта, указывающую на отсутствие различия. Например, для различия между двумя средними пропорциями это ноль, а для относительного риска или отношения шансов - единица. При некоторых обстоятельствах эти два подхода могут быть не совсем эквивалентны. Преобладающая точка зрения: оценка с помощью ДИ - предпочтительный подход к суммированию результатов исследования, но ДИ и величина Р взаимодополняющи, и во многих статьях используются оба способа представления результатов.

Die Unsicherheit (Ungenauigkeit) der Schätzung, ausgedrückt in KI, hängt weitgehend mit der Quadratwurzel des Stichprobenumfangs zusammen. Kleine Stichproben liefern weniger Informationen als große Stichproben, und KIs sind bei kleineren Stichproben entsprechend breiter. Beispielsweise berichtete ein Artikel, der die Leistung von drei Tests vergleicht, die zur Diagnose einer Helicobacter-pylori-Infektion verwendet wurden, von einer Harnstoff-Atemtest-Sensitivität von 95,8 % (95 % CI 75-100). Während die Zahl von 95,8 % beeindruckend erscheint, bedeutet die kleine Stichprobengröße von 24 erwachsenen H.-pylori-Patienten, dass diese Schätzung mit erheblicher Unsicherheit behaftet ist, wie durch das weite KI angezeigt wird. Tatsächlich ist die untere Grenze von 75 % viel niedriger als die Schätzung von 95,8 %. Wenn die gleiche Sensitivität bei einer Stichprobe von 240 Personen beobachtet würde, wäre das 95 %-KI 92,5-98,0, was mehr Sicherheit dafür gibt, dass der Test hochsensitiv ist.

In randomisierten kontrollierten Studien (RCTs) sind nicht signifikante Ergebnisse (d. h. solche mit P > 0,05) besonders anfällig für Fehlinterpretationen. Das CI ist hier besonders nützlich, da es anzeigt, wie kompatibel die Ergebnisse mit dem klinisch nützlichen wahren Effekt sind. Beispielsweise entwickelte sich in einer RCT, in der Naht- und Klammeranastomose im Dickdarm verglichen wurden, bei 10,9 % bzw. 13,5 % der Patienten eine Wundinfektion (p = 0,30). Das 95 %-KI für diesen Unterschied beträgt 2,6 % (-2 bis +8). Selbst in dieser Studie, die 652 Patienten umfasste, bleibt es wahrscheinlich, dass es einen geringfügigen Unterschied in der Inzidenz von Infektionen gibt, die aus den beiden Verfahren resultieren. Je kleiner die Studie, desto größer die Unsicherheit. Sunget al. führte eine randomisierte kontrollierte Studie zum Vergleich einer Octreotid-Infusion mit einer Notfallsklerotherapie bei akuter Varizenblutung bei 100 Patienten durch. In der Octreotid-Gruppe betrug die Blutstillstandsrate 84 %; in der Sklerotherapie-Gruppe - 90%, was P = 0,56 ergibt. Beachten Sie, dass die Raten fortgesetzter Blutungen denen von Wundinfektionen in der erwähnten Studie ähnlich sind. In diesem Fall beträgt das 95 %-KI für den Unterschied in den Interventionen jedoch 6 % (-7 bis +19). Dieser Bereich ist ziemlich breit im Vergleich zu einem Unterschied von 5 %, der von klinischem Interesse wäre. Es ist klar, dass die Studie einen signifikanten Unterschied in der Wirksamkeit nicht ausschließt. Daher ist die Schlussfolgerung der Autoren „Octreotid-Infusion und Sklerotherapie sind bei der Behandlung von Varizenblutungen gleichermaßen wirksam“ definitiv nicht gültig. In solchen Fällen, in denen das 95 %-KI für die absolute Risikoreduktion (ARR) wie hier null enthält, ist das KI für NNT (Anzahl, die zur Behandlung benötigt wird) ziemlich schwierig zu interpretieren. Der NLP und sein CI ergeben sich aus den Kehrwerten des ACP (Multiplikation mit 100, wenn diese Werte in Prozent angegeben sind). Hier erhalten wir NPP = 100: 6 = 16,6 mit einem 95 %-KI von -14,3 bis 5,3. Wie aus der Fußnote "d" in der Tabelle ersichtlich ist. A1.1 enthält dieses CI Werte für NTPP von 5,3 bis unendlich und NTLP von 14,3 bis unendlich.

CIs können für die am häufigsten verwendeten statistischen Schätzungen oder Vergleiche erstellt werden. Für RCTs umfasst es die Differenz zwischen mittleren Anteilen, relativen Risiken, Odds Ratios und NRRs. In ähnlicher Weise können KIs für alle wichtigen Schätzungen erhalten werden, die in Studien zur diagnostischen Testgenauigkeit vorgenommen wurden – Sensitivität, Spezifität, positiver prädiktiver Wert (alles einfache Proportionen) und Wahrscheinlichkeitsverhältnisse – Schätzungen, die in Metaanalysen und im Vergleich zur Kontrolle erhalten wurden Studien. Ein PC-Programm, das viele dieser Verwendungen von DI abdeckt, ist mit der zweiten Ausgabe von Statistics with Confidence erhältlich. Makros zur Berechnung des KI für Proportionen sind kostenlos für Excel und die Statistikprogramme SPSS und Minitab unter http://www.uwcm.ac.uk/study/medicine/epidemiology_statistics/research/statistics/proportions, htm erhältlich.

Mehrere Bewertungen des Behandlungseffekts

Während die Erstellung von CIs für primäre Endpunkte einer Studie wünschenswert ist, sind sie nicht für alle Endpunkte erforderlich. Das CI betrifft klinisch bedeutsame Vergleiche. Wenn Sie beispielsweise zwei Gruppen vergleichen, ist das richtige KI dasjenige, das für die Differenz zwischen den Gruppen erstellt wird, wie in den obigen Beispielen gezeigt, und nicht das KI, das für die Schätzung in jeder Gruppe erstellt werden kann. Es ist nicht nur nutzlos, separate CIs für die Ergebnisse in jeder Gruppe anzugeben, diese Darstellung kann auch irreführend sein. Ebenso besteht der richtige Ansatz beim Vergleich der Behandlungswirksamkeit in verschiedenen Untergruppen darin, zwei (oder mehr) Untergruppen direkt zu vergleichen. Es ist falsch anzunehmen, dass die Behandlung nur in einer Untergruppe wirksam ist, wenn ihr KI den Wert ausschließt, der keiner Wirkung entspricht, während andere dies nicht tun. CIs sind auch nützlich, wenn Ergebnisse über mehrere Untergruppen hinweg verglichen werden. Auf Abb. A1.1 zeigt das relative Risiko für Eklampsie bei Frauen mit Präeklampsie in Untergruppen von Frauen aus einer Placebo-kontrollierten RCT mit Magnesiumsulfat.

Reis. A1.2. Das Forest-Diagramm zeigt die Ergebnisse von 11 randomisierten klinischen Studien mit Rinder-Rotavirus-Impfstoff zur Vorbeugung von Durchfall im Vergleich zu Placebo. Zur Abschätzung des relativen Durchfallrisikos wurde das 95 %-Konfidenzintervall verwendet. Die Größe des schwarzen Quadrats ist proportional zur Informationsmenge. Darüber hinaus werden eine zusammenfassende Schätzung der Behandlungswirksamkeit und ein 95-%-Konfidenzintervall (angezeigt durch eine Raute) angezeigt. Die Meta-Analyse verwendete ein Random-Effects-Modell, das einige vorgefertigte übertrifft; Beispielsweise könnte es sich um die Größe handeln, die bei der Berechnung der Stichprobengröße verwendet wird. Unter einem strengeren Kriterium muss die gesamte Palette von CIs einen Nutzen aufweisen, der ein vorgegebenes Minimum übersteigt.

Wir haben bereits den Trugschluss diskutiert, das Fehlen einer statistischen Signifikanz als Hinweis darauf zu nehmen, dass zwei Behandlungen gleich wirksam sind. Ebenso wichtig ist es, statistische Signifikanz nicht mit klinischer Signifikanz gleichzusetzen. Klinische Bedeutung kann angenommen werden, wenn das Ergebnis statistisch signifikant ist und das Ausmaß des Ansprechens auf die Behandlung

Studien können zeigen, ob die Ergebnisse statistisch signifikant sind und welche klinisch bedeutsam sind und welche nicht. Auf Abb. A1.2 zeigt die Ergebnisse von vier Studien, für die das gesamte CI<1, т.е. их результаты статистически значимы при Р <0,05 , . После высказанного предположения о том, что клинически важным различием было бы сокращение риска диареи на 20% (ОР = 0,8), все эти испытания показали клинически значимую оценку сокращения риска, и лишь в исследовании Treanor весь 95% ДИ меньше этой величины. Два других РКИ показали клинически важные результаты, которые не были статистически значимыми. Обратите внимание, что в трёх испытаниях точечные оценки эффективности лечения были почти идентичны, но ширина ДИ различалась (отражает размер выборки). Таким образом, по отдельности доказательная сила этих РКИ различна.

Aus diesem Artikel erfahren Sie:

Was Konfidenzintervall?

Was ist der Sinn 3-Sigma-Regeln?

Wie kann dieses Wissen in die Praxis umgesetzt werden?

Heutzutage, aufgrund einer Fülle von Informationen, die mit einem großen Sortiment an Produkten, Verkaufsrichtungen, Mitarbeitern, Aktivitäten usw. Es ist schwer, das Wichtigste herauszupicken, die es vor allem wert ist, beachtet und bewältigt zu werden. Definition Konfidenzintervall und Analyse, über die Grenzen der tatsächlichen Werte hinauszugehen - eine Technik, die helfen Ihnen, Situationen zu erkennen, Trends beeinflussen. Sie werden in der Lage sein, positive Faktoren zu entwickeln und den Einfluss negativer zu reduzieren. Diese Technologie wird in vielen namhaften Weltunternehmen eingesetzt.

Es gibt sog Warnungen", welche Manager informieren besagt, dass der nächste Wert in eine bestimmte Richtung geht ging darüber hinaus Konfidenzintervall. Was bedeutet das? Dies ist ein Signal dafür, dass ein nicht standardmäßiges Ereignis aufgetreten ist, das den bestehenden Trend in diese Richtung ändern kann. Das ist das Zeichen dazu um es zu sortieren in der Situation und verstehen, was sie beeinflusst hat.

Betrachten Sie beispielsweise mehrere Situationen. Wir haben die Verkaufsprognose mit Prognosegrenzen für 100 Warenartikel für 2011 nach Monaten und tatsächlichen Verkäufen im März berechnet:

1. Für „Sonnenblumenöl“ durchbrachen sie die obere Grenze der Prognose und fielen nicht in das Konfidenzintervall.
2. Für „Trockenhefe“ wurde die untere Grenze der Prognose überschritten.
3. Bei „Oatmeal Porridge“ wurde die Obergrenze durchbrochen.

Bei den restlichen Waren lagen die tatsächlichen Verkäufe innerhalb der vorgegebenen Prognosegrenzen. Jene. ihre Verkäufe entsprachen den Erwartungen. Also identifizierten wir 3 Produkte, die über die Grenzen hinausgingen, und begannen herauszufinden, was das Überschreiten der Grenzen beeinflusste:

1. Mit Sonnenblumenöl sind wir in ein neues Handelsnetz eingetreten, was uns zusätzliches Verkaufsvolumen beschert hat, was dazu geführt hat, dass wir die Obergrenze überschritten haben. Für dieses Produkt lohnt es sich, die Prognose bis Ende des Jahres unter Berücksichtigung der Prognose für den Verkauf an diese Kette neu zu berechnen.
2. Bei Dry Yeast blieb das Auto beim Zoll hängen, und es gab innerhalb von 5 Tagen einen Mangel, der sich auf den Umsatzrückgang und das Überschreiten der unteren Grenze auswirkte. Es kann sich lohnen, herauszufinden, was die Ursache verursacht hat, und zu versuchen, diese Situation nicht zu wiederholen.
3. Für Oatmeal wurde eine Verkaufsaktion gestartet, die zu einer deutlichen Umsatzsteigerung und zu einer Überschreitung der Prognose führte.

Wir haben 3 Faktoren identifiziert, die das Überschießen der Prognose beeinflusst haben. Davon kann es im Leben noch viel mehr geben.Um die Genauigkeit von Prognosen und Planungen zu verbessern, die Faktoren, die dazu führen, dass die tatsächlichen Verkäufe über die Prognose hinausgehen können, lohnt es sich, Prognosen und Pläne für sie gesondert hervorzuheben und zu erstellen. Berücksichtigen Sie dann deren Auswirkungen auf die Hauptumsatzprognose. Sie können auch regelmäßig die Auswirkungen dieser Faktoren bewerten und die Situation zum Besseren verändern durch Verringerung des Einflusses negativer und Erhöhung des Einflusses positiver Faktoren.

Mit einem Konfidenzintervall können wir:

1. Ziele hervorheben, die es wert sind, beachtet zu werden, weil In diesen Bereichen sind Ereignisse eingetreten, die Auswirkungen haben können Trendwende.
2. Faktoren bestimmen das macht tatsächlich einen unterschied.
3. Akzeptieren gewichtete Entscheidung(z.B. über die Beschaffung, bei der Planung etc.).

Schauen wir uns nun anhand eines Beispiels an, was ein Konfidenzintervall ist und wie man es in Excel berechnet.

Was ist ein Konfidenzintervall?

Das Konfidenzintervall sind die prognostizierten Grenzen (obere und untere), innerhalb derer mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit (Sigma) erhalten Sie die tatsächlichen Werte.

Jene. Wir berechnen die Prognose - dies ist unser Hauptmaßstab, aber wir verstehen, dass die tatsächlichen Werte unserer Prognose wahrscheinlich nicht zu 100% entsprechen. Und die Frage stellt sich inwieweit kann tatsächliche Werte erhalten, wenn der aktuelle Trend anhält? Und diese Frage wird uns helfen, sie zu beantworten Berechnung des Konfidenzintervalls, d.h. - Ober- und Untergrenze der Prognose.

Was ist ein gegebenes Wahrscheinlichkeits-Sigma?

Beim Rechnen Konfidenzintervall können wir Wahrscheinlichkeit einstellen trifft tatsächliche Werte innerhalb der vorgegebenen Prognosegrenzen. Wie kann man es machen? Dazu setzen wir den Wert von Sigma und, wenn Sigma gleich ist:

3 Sigma- Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, den nächsten tatsächlichen Wert im Konfidenzintervall zu erreichen, 99,7 % oder 300 zu 1, oder es besteht eine Wahrscheinlichkeit von 0,3 %, die Grenzen zu überschreiten.

2 Sigma- dann ist die Wahrscheinlichkeit, den nächsten Wert innerhalb der Grenzen zu treffen, ≈ 95,5 %, d.h. Die Quoten liegen bei etwa 20 zu 1, oder es besteht eine 4,5-prozentige Chance, die Grenzen zu überschreiten.

1 Sigma- dann ist die Wahrscheinlichkeit ≈ 68,3%, d.h. die Wahrscheinlichkeit liegt bei etwa 2 zu 1, oder es besteht eine Wahrscheinlichkeit von 31,7 %, dass der nächste Wert außerhalb des Konfidenzintervalls liegt.

Wir haben formuliert 3-Sigma-Regel,was das sagt Trefferwahrscheinlichkeit ein weiterer zufälliger Wert in das Konfidenzintervall mit einem bestimmten Wert drei Sigma ist 99,7%.

Der große russische Mathematiker Tschebyschew hat ein Theorem bewiesen, dass es eine 10-prozentige Chance gibt, die Grenzen einer Prognose mit einem gegebenen Wert von drei Sigma zu überschreiten. Jene. Die Wahrscheinlichkeit, in das 3-Sigma-Konfidenzintervall zu fallen, beträgt mindestens 90%, während der Versuch, die Prognose und ihre Grenzen „mit dem Auge“ zu berechnen, mit viel größeren Fehlern behaftet ist.

Wie kann man das Konfidenzintervall in Excel unabhängig berechnen?

Betrachten wir die Berechnung des Konfidenzintervalls in Excel (also der Ober- und Untergrenze der Prognose) anhand eines Beispiels. Wir haben eine Zeitreihe - Verkäufe nach Monaten für 5 Jahre. Siehe angehängte Datei.

Um die Grenzen der Prognose zu berechnen, berechnen wir:

1. Verkaufsprognose().
2. Sigma - Standardabweichung Prognosemodelle aus tatsächlichen Werten.
3. Drei Sigma.
4. Konfidenzintervall.

1. Verkaufsprognose.

=(RC[-14] (Daten in Zeitreihen)-RC[-1] (Modellwert))^2(Quadrat)

3. Summiere für jeden Monat die Abweichungswerte aus Stufe 8 Sum((Xi-Ximod)^2), d.h. Lassen Sie uns Januar, Februar... für jedes Jahr zusammenzählen.

Verwenden Sie dazu die Formel =SUMMEWENN()

SUMIF(Array mit Anzahl der Perioden innerhalb des Zyklus (für Monate von 1 bis 12); Verweis auf die Nummer der Periode im Zyklus; Verweis auf ein Array mit Quadraten der Differenz zwischen den Anfangsdaten und den Werten der Perioden)

4. Berechnen Sie die Standardabweichung für jede Periode im Zyklus von 1 bis 12 (Stufe 10 in der angehängten Datei).

Dazu ziehen wir aus dem in Stufe 9 berechneten Wert die Wurzel und dividieren durch die Anzahl der Perioden in diesem Zyklus minus 1 = ROOT((Sum(Xi-Ximod)^2/(n-1))

Lassen Sie uns Formeln in Excel verwenden =ROOT(R8 (Verweis auf (Summe(Xi-Ximod)^2)/(ZÄHLENWENN($O$8:$O$67 (Referenz auf ein Array mit Zyklusnummern); O8 (Verweis auf eine bestimmte Zyklusnummer, die wir im Array berücksichtigen))-1))

Mit der Excel-Formel = ZÄHLENWENN Wir zählen die Zahl n

Durch die Berechnung der Standardabweichung der tatsächlichen Daten aus dem Prognosemodell haben wir den Sigma-Wert für jeden Monat erhalten - Stufe 10 in der angehängten Datei .

3. Berechnen Sie 3 Sigma.

Auf Stufe 11 stellen wir die Anzahl der Sigmas ein – in unserem Beispiel „3“ (Stufe 11 in der angehängten Datei):

Auch praktische Sigma-Werte:

1,64 Sigma – 10 % Chance, das Limit zu überschreiten (1 Chance von 10);

1,96 Sigma – 5 % Chance, die Grenzen zu überschreiten (1 Chance von 20);

2,6 Sigma – 1 % Chance, die Grenzen zu überschreiten (1 zu 100 Chance).

5) Wir berechnen drei Sigma, dazu multiplizieren wir die „Sigma“-Werte für jeden Monat mit „3“.

3. Bestimmen Sie das Konfidenzintervall.

1. Obere Prognosegrenze- Umsatzprognose unter Berücksichtigung von Wachstum und Saisonalität + (plus) 3 Sigma;
2. Untere Prognosegrenze- Umsatzprognose unter Berücksichtigung von Wachstum und Saisonalität - (minus) 3 Sigma;

Zur bequemen Berechnung des Konfidenzintervalls für einen langen Zeitraum (siehe angehängte Datei) verwenden wir die Excel-Formel =Y8+SVERWEIS(W8;$U$8:$V$19;2;0), wo

Y8- Verkaufsprognose;

W8- die Nummer des Monats, für den wir den Wert von 3 Sigma nehmen;

Jene. Obere Prognosegrenze= "Verkaufsprognose" + "3 Sigma" (im Beispiel SVERWEIS(Monatsnummer; Tabelle mit 3 Sigmawerten; Spalte, aus der wir den Sigmawert extrahieren, der der Monatsnummer in der entsprechenden Zeile entspricht; 0)).

Untere Prognosegrenze= "Umsatzprognose" minus "3 Sigma".

Also haben wir das Konfidenzintervall in Excel berechnet.

Jetzt haben wir eine Prognose und einen Bereich mit Grenzen, innerhalb dessen die tatsächlichen Werte mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit sigma liegen werden.

In diesem Artikel haben wir uns angesehen, was Sigma und die Drei-Sigma-Regel sind, wie man ein Konfidenzintervall bestimmt und wofür Sie diese Technik in der Praxis verwenden können.

Genaue Prognosen und Erfolg für Sie!

Wie Forecast4AC PRO kann Ihnen dabei helfenbei der Berechnung des Konfidenzintervalls?:

Forecast4AC PRO berechnet automatisch die oberen oder unteren Prognosegrenzen für mehr als 1000 Zeitreihen gleichzeitig;

Die Fähigkeit, die Grenzen der Prognose im Vergleich zu Prognose, Trend und tatsächlichen Verkäufen auf dem Diagramm mit einem Tastendruck zu analysieren;

Im Programm Forcast4AC PRO ist es möglich, den Sigma-Wert von 1 bis 3 einzustellen.

Begleiten Sie uns!

Laden Sie kostenlose Prognose- und Business-Intelligence-Apps herunter:

• Novo Prognose Lite- automatisch Prognoseberechnung in übertreffen.
• 4 Analytik- ABC-XYZ-Analyse und Analyse der Emissionen in Excel.
• QlikSense Schreibtisch und QlikViewPersonal Edition - BI-Systeme zur Datenanalyse und Visualisierung.

Testen Sie die Funktionen kostenpflichtiger Lösungen:

• Novo Prognose PRO- Prognosen in Excel für große Datenfelder.