In Mathematik und Physik stoßen Studenten und Schüler häufig auf Aufgabenstellungen zu vektoriellen Größen und zur Durchführung verschiedener Operationen an ihnen. Was ist der Unterschied zwischen vektoriellen Größen und uns bekannten skalaren Größen, deren einzige Eigenschaft ein Zahlenwert ist? Weil sie eine Richtung haben.
Die Verwendung von Vektorgrößen wird am deutlichsten in der Physik erklärt. Die einfachsten Beispiele sind Kräfte (Reibkraft, Federkraft, Gewichtskraft), Geschwindigkeit und Beschleunigung, da sie neben Zahlenwerten auch eine Wirkrichtung haben. Nehmen wir zum Vergleich skalares Beispiel: Dies kann der Abstand zwischen zwei Punkten oder die Masse des Körpers sein. Warum ist es notwendig, Operationen mit Vektorgrößen wie Addition oder Subtraktion durchzuführen? Dies ist notwendig, um das Ergebnis der Wirkung eines aus 2 oder mehr Elementen bestehenden Vektorsystems bestimmen zu können.
Definitionen der Vektormathematik
Lassen Sie uns die wichtigsten Definitionen vorstellen, die bei der Durchführung linearer Operationen verwendet werden.
- Ein Vektor ist ein gerichtetes Segment (mit einem Startpunkt und einem Endpunkt).
- Die Länge (Modul) ist die Länge des gerichteten Segments.
- Kollineare Vektoren sind zwei Vektoren, die entweder parallel zu derselben Linie sind oder gleichzeitig auf ihr liegen.
- Entgegengesetzte Vektoren heißen kollinear und gleichzeitig in unterschiedliche Richtungen gerichtet. Wenn ihre Richtung übereinstimmt, dann sind sie gleichgerichtet.
- Vektoren sind gleich, wenn sie kodirektional sind und den gleichen Absolutwert haben.
- Die Summe zweier Vektoren a und b ist ein solcher Vektor c, dessen Anfang mit dem Anfang des ersten und das Ende mit dem Ende des zweiten zusammenfällt, sofern dies der Fall ist b beginnt an der gleichen Stelle, an der es endet a.
- Vektorunterschied a und b nennen Sie den Betrag a und ( - b ), wo ( - b ) - gegenüber dem Vektor b. Auch die Definition der Differenz zweier Vektoren kann wie folgt angegeben werden: durch die Differenz c Paar Vektoren a und b nenne das c, die, wenn sie zum Subtrahend hinzugefügt werden b bildet eine reduzierte a.
Analytische Methode
Das analytische Verfahren besteht darin, die Koordinaten der Differenz gemäß der Formel ohne Konstruktion zu erhalten. Es ist möglich, eine Berechnung für einen flachen (zweidimensionalen), volumetrischen (dreidimensionalen) oder n-dimensionalen Raum durchzuführen.
Für den zweidimensionalen Raum u Vektorgrößen a {a₁;ein₂) und b {b₁;b₂} die Berechnungen sehen so aus: c {c₁; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂}.
Im Fall des Hinzufügens einer dritten Koordinate wird die Berechnung auf ähnliche Weise durchgeführt, und z a {a₁;ein₂; a₃) und b {b₁;b₂; b₃) erhält man die Koordinaten der Differenz ebenfalls durch paarweise Subtraktion: c {c₁; c₂; c₃} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂; a₃–b₃}.
Differenz grafisch berechnen
Um die Differenz grafisch darzustellen, sollten Sie die Dreiecksregel anwenden. Dazu müssen Sie die folgende Abfolge von Aktionen ausführen:
- Konstruieren Sie für die gegebenen Koordinaten die Vektoren, für die Sie die Differenz finden müssen.
- Kombinieren Sie ihre Enden (d. h. konstruieren Sie zwei gerichtete Segmente, die den gegebenen entsprechen und am selben Punkt enden).
- Verbinden Sie die Anfänge der beiden gerichteten Segmente und geben Sie die Richtung an; Das Ergebnis beginnt am selben Punkt, an dem der Vektor, der minuend ist, gestartet wurde, und endet am Startpunkt des Vektors, der subtrahiert wird.
Das Ergebnis der Subtraktionsoperation ist in der folgenden Abbildung dargestellt..
Es gibt auch eine Methode zur Konstruktion einer Differenz, die sich geringfügig von der vorherigen unterscheidet. Sein Wesen liegt in der Anwendung des Satzes über die Differenz von Vektoren, der wie folgt formuliert ist: Um die Differenz eines Paares gerichteter Segmente zu finden, reicht es aus, die Summe des ersten von ihnen mit dem gegenüberliegenden Segment zu finden zum zweiten. Der Konstruktionsalgorithmus sieht folgendermaßen aus:
- Konstruieren Sie anfängliche gerichtete Segmente.
- Derjenige, der subtrahend ist, muss gespiegelt werden, dh ein entgegengesetzt gerichtetes und gleiches Segment konstruieren; dann kombiniere seinen Anfang mit dem reduzierten.
- Bilden Sie die Summe: Verbinden Sie den Anfang des ersten Segments mit dem Ende des zweiten.
Das Ergebnis dieser Entscheidung ist in der Abbildung dargestellt:
Probleme lösen
Um die Fertigkeit zu festigen, analysieren wir mehrere Aufgaben, bei denen es erforderlich ist, die Differenz analytisch oder grafisch zu berechnen.
Aufgabe 1. Es gibt 4 Punkte auf der Ebene: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2). Bestimmen Sie die Koordinaten des Vektors q = AB - CD und berechnen Sie auch seine Länge.
Entscheidung. Zuerst müssen Sie die Koordinaten finden AB und CD. Subtrahieren Sie dazu die Koordinaten der Anfangspunkte von den Koordinaten der Endpunkte. Für AB der Anfang ist EIN(1; -3), und das Ende - B(0; 4). Berechnen Sie die Koordinaten des gerichteten Segments:
AB {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}
Eine ähnliche Berechnung wird für durchgeführt CD:
CD {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}
Wenn Sie nun die Koordinaten kennen, können Sie die Differenz der Vektoren ermitteln. Die Formel zur analytischen Lösung von ebenen Problemen wurde früher betrachtet: z c = a- b Koordinaten sehen aus wie ( c₁; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂). Für einen bestimmten Fall können Sie schreiben:
q = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}
Um die Länge zu finden q, verwenden wir die Formel | q| = √(q₁² + q₂²) = √((- 9)² + (- 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,06.
Aufgabe 2. Die Abbildung zeigt die Vektoren m, n und p.
Es ist notwendig, für sie Unterschiede zu konstruieren: p- n; m- n; m-n- p. Finden Sie heraus, welches den kleinsten Modul hat.
Entscheidung. Die Aufgabe erfordert drei Konstruktionen. Sehen wir uns jeden Teil der Aufgabe genauer an.
Teil 1. Um zu porträtieren p-n, Wenden wir die Dreiecksregel an. Dazu verbinden wir durch parallele Übersetzung die Segmente so, dass ihre Endpunkte zusammenfallen. Verbinden wir nun die Startpunkte und definieren die Richtung. In unserem Fall beginnt der Differenzvektor an der gleichen Stelle wie der subtrahierte. n.
Teil 2. Lassen Sie uns porträtieren m-n. Für die Lösung verwenden wir nun den Satz über die Differenz von Vektoren. Konstruieren Sie dazu einen entgegengesetzten Vektor n, und finde dann seine Summe mit m. Das Ergebnis wird wie folgt aussehen:
Teil 3 Um den Unterschied zu finden m-n-p, Teilen Sie den Ausdruck in zwei Schritte auf. Da in der Vektoralgebra ähnliche Gesetze wie in der Arithmetik gelten, sind folgende Möglichkeiten möglich:
- m-(n+p): In diesem Fall wird zuerst die Summe gebildet n+p, von dem dann subtrahiert wird m;
- (m-n)-p: hier müssen Sie zuerst finden m-n, und subtrahieren Sie dann von dieser Differenz p;
- (m-p)-n: Die erste Aktion wird bestimmt m-p, danach müssen Sie vom Ergebnis subtrahieren n.
Da wir im vorherigen Teil des Problems bereits den Unterschied gefunden haben m-n, wir können davon nur subtrahieren p. Konstruieren wir die Differenz zweier gegebener Vektoren mit Hilfe des Differenzensatzes. Die Antwort wird im Bild unten angezeigt (Rot zeigt das Zwischenergebnis an und Grün zeigt das Endergebnis an).
Es bleibt zu bestimmen, welches der Segmente den kleinsten Modul hat. Denken Sie daran, dass die Konzepte von Länge und Modul in der Vektormathematik identisch sind. Schätzen Sie die Längen visuell ab p- n, m-n und m-n-p. Offensichtlich ist die Antwort im letzten Teil der Aufgabe die kürzeste und hat den kleinsten Modul, nämlich m-n-p.
Summe der Vektoren. Die Länge des Vektors. Liebe Freunde, es gibt eine Aufgabengruppe mit Vektoren in den Typen der Hinterprüfung. Aufgaben von ziemlich breitem Spektrum (es ist wichtig, die theoretischen Grundlagen zu kennen). Die meisten werden mündlich gelöst. Fragen beziehen sich auf die Ermittlung der Länge eines Vektors, der Summe (Differenz) von Vektoren, des Skalarprodukts. Es gibt auch viele Aufgaben, bei deren Lösung Aktionen mit den Koordinaten der Vektoren ausgeführt werden müssen.
Die Theorie hinter Vektoren ist einfach und sollte gut verstanden werden. In diesem Artikel werden wir die Aufgaben analysieren, die mit dem Ermitteln der Länge eines Vektors sowie der Summe (Differenz) von Vektoren verbunden sind. Einige theoretische Punkte:
Vektorkonzept
Ein Vektor ist eine gerichtete Strecke.
Alle Vektoren, die die gleiche Richtung haben und gleich lang sind, sind gleich.
*Alle vier obigen Vektoren sind gleich!
Das heißt, wenn wir eine parallele Übersetzung verwenden, um den uns gegebenen Vektor zu verschieben, erhalten wir immer einen Vektor, der dem ursprünglichen entspricht. Es kann also unendlich viele gleiche Vektoren geben.
Vektornotation
Ein Vektor kann zum Beispiel mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet werden:
Bei dieser Schreibweise wird zuerst der Buchstabe geschrieben, der den Anfang des Vektors bezeichnet, dann der Buchstabe, der das Ende des Vektors bezeichnet.
Ein anderer Vektor wird mit einem Buchstaben des lateinischen Alphabets (Großbuchstaben) bezeichnet:
Auch eine Bezeichnung ohne Pfeile ist möglich:
Die Summe der beiden Vektoren AB und BC wird der Vektor AC sein.
Es wird als AB + BC \u003d AC geschrieben.
Diese Regel heißt - Dreiecksregel.
Das heißt, wenn wir zwei Vektoren haben - nennen wir sie bedingt (1) und (2) und das Ende des Vektors (1) mit dem Anfang des Vektors (2) zusammenfällt, dann ist die Summe dieser Vektoren a Vektor, dessen Anfang mit dem Anfang des Vektors (1) zusammenfällt, und dessen Ende mit dem Ende des Vektors (2) zusammenfällt.
Fazit: Wenn wir zwei Vektoren in der Ebene haben, können wir immer ihre Summe finden. Mithilfe der parallelen Übersetzung können Sie jeden dieser Vektoren verschieben und seinen Anfang mit dem Ende eines anderen verbinden. Zum Beispiel:
Lassen Sie uns den Vektor verschieben b, oder anders - wir werden gleich konstruieren:
Wie wird die Summe mehrerer Vektoren gefunden? Nach dem gleichen Prinzip:
* * *
Parallelogrammregel
Diese Regel ist eine Folge des oben Gesagten.
Bei Vektoren mit gemeinsamem Ursprung wird ihre Summe durch die Diagonale des auf diesen Vektoren aufgebauten Parallelogramms dargestellt.
Lassen Sie uns einen Vektor konstruieren, der dem Vektor entspricht b so dass sein Anfang mit dem Ende des Vektors zusammenfällt a, und wir können einen Vektor bilden, der ihre Summe ist:
Einige weitere wichtige Informationen, die zur Lösung von Problemen benötigt werden.
Ein Vektor, der gleich lang wie der ursprüngliche, aber entgegengesetzt gerichtet ist, wird ebenfalls bezeichnet, hat aber das entgegengesetzte Vorzeichen:
Diese Informationen sind äußerst nützlich, um Probleme zu lösen, bei denen es darum geht, den Unterschied von Vektoren zu finden. Wie Sie sehen können, ist die Differenz der Vektoren dieselbe Summe in modifizierter Form.
Gegeben seien zwei Vektoren, finde ihre Differenz:
Wir haben einen dem Vektor b entgegengesetzten Vektor aufgebaut und den Unterschied gefunden.
Vektorkoordinaten
Um die Vektorkoordinaten zu finden, müssen Sie die entsprechenden Startkoordinaten von den Endkoordinaten subtrahieren:
Das heißt, die Koordinaten des Vektors sind ein Zahlenpaar.
Wenn ein
Und die Koordinaten der Vektoren sehen so aus:
Dann c 1 \u003d a 1 + b 1 c 2 \u003d a 2 + b 2
Wenn ein
Dann c 1 \u003d a 1 - b 1 c 2 \u003d a 2 - b 2
Vektormodul
Der Modul eines Vektors ist seine Länge, bestimmt durch die Formel:
Die Formel zur Bestimmung der Länge eines Vektors, wenn die Koordinaten seines Anfangs und Endes bekannt sind:
Betrachten Sie die Aufgaben:
Die beiden Seiten des Rechtecks ABCD sind 6 und 8. Die Diagonalen schneiden sich im Punkt O. Finde die Länge der Differenz zwischen den Vektoren AO und BO.
Lassen Sie uns einen Vektor finden, der das Ergebnis von AO - VO ist:
AO -VO \u003d AO + (-VO) \u003d AB
Das heißt, die Differenz zwischen den Vektoren AO und VO wird ein Vektor sein AB. Und seine Länge beträgt acht.
Rautendiagonalen A B C D sind 12 und 16. Finden Sie die Länge des Vektors AB + AD.
Lassen Sie uns einen Vektor finden, der die Summe der Vektoren AD und AB BC ist und gleich dem Vektor AD ist. Also AB+AD=AB+BC=AC
AC ist die Länge der Diagonalen der Raute AC, es ist gleich 16.Die Diagonalen der Raute ABCD schneiden sich in einem Punkt Ö und sind gleich 12 und 16. Finden Sie die Länge des Vektors AO + BO.
Lassen Sie uns einen Vektor finden, der die Summe der Vektoren AO und BO ist. BO ist gleich dem Vektor OD,
AD ist die Seitenlänge der Raute. Das Problem wird darauf reduziert, die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck AOD zu finden. Lassen Sie uns die Beine berechnen:
Nach dem Satz des Pythagoras:
Die Diagonalen der Raute ABCD schneiden sich im Punkt O und sind gleich 12 und 16. Ermitteln Sie die Länge des Vektors AO –BO.
Lassen Sie uns einen Vektor finden, der das Ergebnis von AO - VO ist:
AB ist die Seitenlänge der Raute. Das Problem reduziert sich darauf, die Hypotenuse AB in einem rechtwinkligen Dreieck AOB zu finden. Beine berechnen:
Nach dem Satz des Pythagoras:
Die Seiten eines regelmäßigen Dreiecks ABC sind 3.
Finden Sie die Länge des Vektors AB-AC.
Lassen Sie uns das Ergebnis der Differenz der Vektoren finden:
CB ist gleich drei, weil die Bedingung besagt, dass das Dreieck gleichseitig ist und seine Seiten gleich 3 sind.27663. Finde die Länge des Vektors a (6; 8).
27664. Finden Sie das Quadrat der Länge des Vektors AB.
Mathematische oder physikalische Größen können als skalare Größen (Zahlenwert) oder vektorielle Größen (Betrag und Richtung im Raum) dargestellt werden.
Ein Vektor ist ein gerichtetes Stück einer Geraden, bei dem angegeben ist, welcher ihrer Randpunkte der Anfang und welcher das Ende ist. Somit gibt es zwei Komponenten im Vektor - das ist seine Länge und Richtung.
Das Bild des Vektors in der Zeichnung.
Beim Arbeiten mit Vektoren wird oft ein bestimmtes kartesisches Koordinatensystem eingeführt, bei dem die Koordinaten des Vektors durch Zerlegung in Basisvektoren bestimmt werden:
Für einen Vektor, der sich im Koordinatenraum (x,y,z) befindet und den Ursprung verlässt
Der Abstand zwischen Anfang und Ende eines Vektors wird als seine Länge bezeichnet, und das Modulsymbol wird verwendet, um die Länge des Vektors (sein absoluter Wert) anzugeben.
Vektoren, die entweder auf derselben Linie oder auf parallelen Linien liegen, werden als kollinear bezeichnet. Der Nullvektor wird als kollinear zu jedem Vektor betrachtet. Unter kollinearen Vektoren werden gleichgerichtete (gleichgerichtete) und entgegengesetzt gerichtete Vektoren unterschieden. Vektoren heißen koplanar, wenn sie entweder auf derselben Ebene oder auf geraden Linien parallel zu derselben Ebene liegen.
1. Vektorlänge (Vektormodul)
Die Länge eines Vektors bestimmt seinen Skalarwert und hängt von seinen Koordinaten ab, aber nicht von seiner Richtung. Die Länge eines Vektors (oder Modulus eines Vektors) wird unter Verwendung der arithmetischen Quadratwurzel der Summe der Quadrate der Koordinaten (Komponenten) des Vektors berechnet (es wird die Regel zur Berechnung der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck verwendet, wobei die Vektor selbst wird zur Hypotenuse).
Über die Koordinaten errechnet sich der Modul des Vektors wie folgt:
Für einen Vektor, der sich im Koordinatenraum (x,y) befindet und aus dem Ursprung kommt
Für einen Vektor, der sich im Koordinatenraum (x, y, z) befindet und aus dem Ursprung herauskommt, ähnelt die Formel der Formel für die Diagonale eines rechteckigen Parallelepipeds, da der Vektor im Raum die gleiche Position relativ zur Koordinate einnimmt Achsen.
2. Winkel zwischen Vektoren
Der Winkel zwischen zwei von einem Punkt aus gezeichneten Vektoren ist der kürzeste Winkel, um den einer der Vektoren um seinen Ursprung auf die Position des zweiten Vektors gedreht werden muss. Der Winkel zwischen Vektoren wird unter Verwendung eines Ausdrucks bestimmt, um das Skalarprodukt von Vektoren zu bestimmen
Somit ist der Kosinus des Winkels zwischen Vektoren gleich dem Verhältnis des Skalarprodukts zum Produkt der Längen oder Module der Vektoren. Diese Formel kann verwendet werden, wenn die Längen der Vektoren und ihr Skalarprodukt bekannt sind oder die Vektoren durch Koordinaten in einem rechtwinkligen Koordinatensystem in der Ebene oder im Raum in der Form: und gegeben sind.
Wenn die Vektoren A und B im dreidimensionalen Raum gegeben sind und die Koordinaten von jedem von ihnen in der Form gegeben sind: und , dann wird der Winkel zwischen den Vektoren durch den folgenden Ausdruck bestimmt:
Es sei darauf hingewiesen, dass der Winkel zwischen den Vektoren und auch durch Anwendung des Kosinussatzes für ein Dreieck bestimmt werden kann: Das Quadrat einer beliebigen Seite des Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten minus dem doppelten Produkt von diese Seiten durch den Kosinus des Winkels zwischen ihnen.
wobei AB, OA, OB die entsprechende Seite des Dreiecks ist.
Kosinussatz für ein Dreieck
In Bezug auf die Vektorrechnung wird diese Formel wie folgt umgeschrieben:
Somit wird der Winkel zwischen den Vektoren und durch den folgenden Ausdruck bestimmt:
wobei und der Modul (Länge) des Vektors ist und der Modul (Länge) des Vektors ist, der aus der Differenz zweier Vektoren bestimmt wird. Die in die Gleichung eingehenden Unbekannten werden durch die Koordinaten der Vektoren und bestimmt.
3. Vektoraddition
Die Addition von zwei Vektoren und (die Summe von zwei Vektoren) ist die Operation zur Berechnung des Vektors , dessen alle Elemente gleich der paarweisen Summe der entsprechenden Elemente der Vektoren und sind. Wenn die Vektoren in einem rechtwinkligen Koordinatensystem angegeben sind Summe der Vektoren
Grafisch mit Position zweier freier Vektoren kann sowohl nach der Regel eines Dreiecks als auch nach der Regel eines Parallelogramms ausgeführt werden.
Addition zweier Vektoren
Die Addition zweier Gleitvektoren ist nur in dem Fall definiert, in dem sich die Linien schneiden, auf denen sie sich befinden. Die Addition zweier fester Vektoren ist nur dann definiert, wenn sie einen gemeinsamen Ursprung haben.
Dreiecksregel.
Um zwei Vektoren zu addieren und gemäß der Dreiecksregel werden diese beiden Vektoren parallel zu sich selbst übertragen, so dass der Anfang des einen mit dem Ende des anderen zusammenfällt. Dann ist der Summenvektor durch die dritte Seite des gebildeten Dreiecks gegeben, und sein Anfang fällt mit dem Anfang des ersten Vektors und das Ende mit dem Ende des zweiten Vektors zusammen.
wo ist der Winkel zwischen den Vektoren, wenn der Anfang des einen mit dem Ende des anderen zusammenfällt.
Parallelogrammregel.
Um zwei Vektoren zu addieren und gemäß der Parallelogrammregel werden diese beiden Vektoren parallel zu sich selbst übertragen, so dass ihre Anfänge zusammenfallen. Dann ergibt sich der Summenvektor aus der Diagonale des darauf aufgebauten Parallelogramms, das von ihrem gemeinsamen Ursprung herrührt.
Der Modul (Länge) des Summenvektors wird durch den Kosinussatz bestimmt:
wo ist der Winkel zwischen den Vektoren, die aus demselben Punkt kommen.
Notiz:
Wie man sieht, ändert sich in der Formel zur Bestimmung des Moduls (Länge) des Summenvektors das Vorzeichen vor dem Kosinus des Winkels, je nachdem welcher Winkel gewählt wird.
4. Differenz der Vektoren
Die Differenz der Vektoren und (Vektorsubtraktion) ist die Berechnung eines Vektors , dessen Elemente alle gleich der paarweisen Differenz der entsprechenden Elemente der Vektoren und sind. Wenn die Vektoren in einem rechtwinkligen Koordinatensystem angegeben sind Vektordifferenz und kann mit der folgenden Formel gefunden werden:
In grafischer Form ist die Differenz der Vektoren und die Summe des Vektors und des dem Vektor entgegengesetzten Vektors, d.h. 
Unterschied zweier freier Vektoren
Die Differenz zweier freier Vektoren in grafischer Form kann sowohl durch die Dreiecksregel als auch durch die Parallelogrammregel bestimmt werden. Der Betrag (Länge) des Differenzvektors wird durch den Kosinussatz bestimmt. Je nach dem in der Formel verwendeten Winkel ändert sich das Vorzeichen vor dem Kosinus (siehe oben).
5. Skalarprodukt von Vektoren
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine reelle Zahl, die gleich dem Produkt der Längen der multiplizierten Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen ist. Das Skalarprodukt von Vektoren und wird durch eine der folgenden Notationen oder oder bezeichnet und wird durch die Formel bestimmt:
wo sind die Längen der Vektoren bzw. und ist der Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren.
Skalarprodukt zweier Vektoren
Das Skalarprodukt kann auch durch die Koordinaten von Vektoren in einem rechtwinkligen Koordinatensystem in einer Ebene oder im Raum berechnet werden.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren in einer Ebene oder im dreidimensionalen Raum in einem rechtwinkligen Koordinatensystem ist die Summe der Produkte der entsprechenden Koordinaten der Vektoren und .
Für Vektoren und auf einer Ebene in einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem lautet die Formel zur Berechnung des Skalarprodukts also wie folgt:
Für einen dreidimensionalen Raum hat die Formel zur Berechnung des Skalarprodukts von Vektoren und die folgende Form:
Eigenschaften des Skalarprodukts.
1. Die Kommutativitätseigenschaft des Skalarprodukts
2. Die Distributivitätseigenschaft des Skalarprodukts
3. Assoziative Eigenschaft des Skalarprodukts (Assoziativität)
wobei eine beliebige reelle Zahl ist.
Zu beachten ist bei:
Wenn das Skalarprodukt positiv ist, ist der Winkel zwischen den Vektoren spitz (weniger als 90 Grad);
Wenn das Skalarprodukt negativ ist, dann ist der Winkel zwischen den Vektoren stumpf (größer als 90 Grad);
Wenn das Skalarprodukt 0 ist, dann sind die Vektoren orthogonal (die senkrecht zueinander liegen);
Wenn das Skalarprodukt gleich dem Produkt der Längen der Vektoren ist, dann sind diese Vektoren zueinander kollinear (parallel).
6. Vektorprodukt von Vektoren
Ein Vektorprodukt zweier Vektoren ist ein Vektor, für den die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1. der Vektor ist orthogonal (senkrecht) zur Ebene der Vektoren und ;
Viele physikalische Größen werden vollständig durch die Zuordnung einer Zahl bestimmt. Das sind zum Beispiel Volumen, Masse, Dichte, Körpertemperatur etc. Solche Größen nennt man Skalare. Aus diesem Grund werden Zahlen manchmal Skalare genannt. Es gibt aber auch solche Größen, die bestimmt werden, indem nicht nur eine Zahl, sondern auch eine bestimmte Richtung vorgegeben wird. Wenn sich beispielsweise ein Körper bewegt, sollte man nicht nur die Geschwindigkeit angeben, mit der sich der Körper bewegt, sondern auch die Bewegungsrichtung. Ebenso ist es bei der Untersuchung der Wirkung einer Kraft erforderlich, nicht nur den Wert dieser Kraft, sondern auch die Richtung ihrer Wirkung anzugeben. Solche Mengen werden aufgerufen Vektor. Um sie zu beschreiben, wurde das Konzept eines Vektors eingeführt, das sich für die Mathematik als nützlich herausstellte.
Vektordefinition
Jedes geordnete Paar von Punkten A bis B im Raum definiert gerichtetes Segment, d.h. Segment zusammen mit der darauf angegebenen Richtung. Wenn Punkt A der erste ist, dann wird er der Anfang des gerichteten Segments genannt und Punkt B wird sein Ende genannt. Die Richtung des Segments ist die Richtung vom Anfang zum Ende.
Definition
Ein gerichtetes Segment wird als Vektor bezeichnet.
Wir bezeichnen den Vektor mit dem Symbol \(\overrightarrow(AB) \), wobei der erste Buchstabe den Anfang des Vektors bedeutet und der zweite sein Ende.
Ein Vektor, dessen Anfang und Ende gleich sind, heißt Null und wird mit \(\vec(0) \) oder einfach 0 bezeichnet.
Den Abstand zwischen Anfang und Ende eines Vektors nennt man seinen lang und bezeichnet mit \(|\overrightarrow(AB)| \) oder \(|\vec(a)| \).
Die Vektoren \(\vec(a) \) und \(\vec(b) \) heißen kollinear ob sie auf derselben Linie oder auf parallelen Linien liegen. Kollineare Vektoren können gleich oder entgegengesetzt gerichtet sein.
Nun können wir den wichtigen Begriff der Gleichheit zweier Vektoren formulieren.
Definition
Vektoren \(\vec(a) \) und \(\vec(b) \) heißen gleich (\(\vec(a) = \vec(b) \)), wenn sie kollinear sind, die gleiche Richtung haben, und ihre Längen sind gleich.
Auf Abb. In 1 sind links ungleiche Vektoren und rechts gleiche Vektoren \(\vec(a) \) und \(\vec(b) \) dargestellt. Aus der Definition der Gleichheit von Vektoren folgt, dass, wenn ein gegebener Vektor parallel zu sich selbst bewegt wird, ein Vektor gleich dem gegebenen erhalten wird. In diesem Zusammenhang werden Vektoren in der analytischen Geometrie genannt frei.
Projektion eines Vektors auf eine Achse
Seien die Achse \(u\) und ein Vektor \(\overrightarrow(AB)\) im Raum gegeben. Lassen Sie uns die Punkte A und B in der Ebene senkrecht zur Achse \ (u \) durchziehen. Lassen Sie uns mit A "und B" die Schnittpunkte dieser Ebenen mit der Achse bezeichnen (siehe Abbildung 2).
Die Projektion des Vektors \(\overrightarrow(AB) \) auf die \(u\)-Achse ist der Wert A"B" der gerichteten Strecke A"B" auf der \(u\)-Achse. Erinnere dich daran
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B")| \) , falls die Richtung \(\overrightarrow(A"B") \) gleich der Richtung der Achse \(u \) ist,
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) wenn die Richtung von \(\overrightarrow(A"B") \) entgegengesetzt zur Richtung der \(u \)-Achse ist,
Die Projektion des Vektors \(\overrightarrow(AB)\) auf die Achse \(u\) wird wie folgt bezeichnet: \(Pr_u \overrightarrow(AB)\).
Satz
Die Projektion des Vektors \(\overrightarrow(AB) \) auf die Achse \(u \) ist gleich der Länge des Vektors \(\overrightarrow(AB) \) mal dem Kosinus des Winkels zwischen dem Vektor \( \overrightarrow(AB) \) und die Achse \( u \) , also
Kommentar
Sei \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) und eine Achse \(u \) gegeben. Wenden wir die Formel des Satzes auf jeden dieser Vektoren an, erhalten wir
Vektorprojektionen auf Koordinatenachsen
Gegeben seien ein rechtwinkliges Koordinatensystem Oxyz und ein beliebiger Vektor \(\overrightarrow(AB) \) im Raum. Sei weiter \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). Die Projektionen X, Y, Z des Vektors \(\overrightarrow(AB) \) auf die Koordinatenachsen nennen es Koordinaten. Gleichzeitig schreiben sie
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z)\)
Satz
Was auch immer zwei Punkte A(x 1 ; y 1 ; z 1) und B(x 2 ; y 2 ; z 2) sind, die Koordinaten des Vektors \(\overrightarrow(AB) \) werden durch die folgenden Formeln definiert :
X \u003d x 2 -x 1, Y \u003d y 2 -y 1, Z \u003d z 2 -z 1
Kommentar
Verlässt der Vektor \(\overrightarrow(AB) \) den Ursprung, d.h. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, dann sind die X-, Y-, Z-Koordinaten des Vektors \(\overrightarrow(AB) \) gleich den Koordinaten seines Endes:
X=x, Y=y, Z=z.
Vektorrichtungskosinus
Sei ein beliebiger Vektor \(\vec(a) = (X;Y;Z) \); wir nehmen an, dass \(\vec(a) \) den Ursprung verlässt und in keiner Koordinatenebene liegt. Zeichnen wir durch den Punkt A Ebenen senkrecht zu den Achsen. Zusammen mit den Koordinatenebenen bilden sie ein rechteckiges Parallelepiped, dessen Diagonale die Strecke OA ist (siehe Abbildung).
Aus der Elementargeometrie ist bekannt, dass das Quadrat der Länge der Diagonalen eines rechteckigen Parallelepipeds gleich der Summe der Quadrate der Längen seiner drei Dimensionen ist. Somit,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
Aber \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); so bekommen wir
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
oder
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
Diese Formel drückt die Länge eines beliebigen Vektors in Bezug auf seine Koordinaten aus.
Bezeichne mit \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) die Winkel zwischen dem Vektor \(\vec(a) \) und den Koordinatenachsen. Aus den Formeln für die Projektion des Vektors auf die Achse und die Länge des Vektors erhalten wir
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) heißen Richtungskosinus des Vektors \(\vec(a) \).
Wenn wir die linke und rechte Seite jeder der vorherigen Gleichheiten quadrieren und die Ergebnisse zusammenfassen, haben wir
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
jene. die Summe der quadrierten Richtungskosinusse jedes Vektors ist gleich eins.
Lineare Operationen auf Vektoren und ihre Haupteigenschaften
Lineare Operationen an Vektoren sind die Operationen zum Addieren und Subtrahieren von Vektoren und zum Multiplizieren von Vektoren mit Zahlen.Addition zweier Vektoren
Seien zwei Vektoren \(\vec(a) \) und \(\vec(b) \) gegeben. Die Summe \(\vec(a) + \vec(b) \) ist ein Vektor, der vom Anfang des Vektors \(\vec(a) \) bis zum Ende des Vektors \(\vec(b) geht \) vorausgesetzt, dass der Vektor \(\vec(b) \) an das Ende des Vektors \(\vec(a) \) angehängt wird (siehe Abbildung).Kommentar
Die Wirkung des Subtrahierens von Vektoren ist das Gegenteil der Wirkung der Addition, d.h. die Differenz \(\vec(b) - \vec(a) \) der Vektoren \(\vec(b) \) und \(\vec(a) \) ist der Vektor, der zusammen mit dem Vektor \( \vec(a) ) \) ergibt den Vektor \(\vec(b) \) (siehe Abbildung).
Kommentar
Nachdem man die Summe zweier Vektoren bestimmt hat, kann man die Summe einer beliebigen Anzahl gegebener Vektoren finden. Seien zum Beispiel drei gegebene Vektoren \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). Durch Addition von \(\vec(a) \) und \(\vec(b) \) erhalten wir den Vektor \(\vec(a) + \vec(b) \). Fügen wir nun den Vektor \(\vec(c) \) hinzu, erhalten wir den Vektor \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \) 
Das Produkt eines Vektors mit einer Zahl
Gegeben seien ein Vektor \(\vec(a) \neq \vec(0) \) und eine Zahl \(\lambda \neq 0 \) gegeben. Das Produkt \(\lambda \vec(a) \) ist ein Vektor, der kollinear zum Vektor \(\vec(a) \) ist, hat eine Länge gleich \(|\lambda| |\vec(a)| \), und eine Richtung gleich dem Vektor \(\vec(a) \) falls \(\lambda > 0 \), und umgekehrt falls \(\lambda (0) \) um die Zahl \(\lambda \neq 0 \) kann wie folgt ausgedrückt werden: Wenn \(|\lambda| >1 \), dann wird bei Multiplikation des Vektors \(\vec(a) \) mit der Zahl \( \lambda \) der Vektor \( \vec(a) \) wird um \(\lambda \) mal "gedehnt", und wenn \(|\lambda| 1 \).Wenn \(\lambda=0\) oder \(\vec(a)=\vec(0)\), dann wird angenommen, dass das Produkt \(\lambda\vec(a)\) gleich dem Nullvektor ist.
Kommentar
Anhand der Definition der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl lässt sich leicht beweisen, dass wenn die Vektoren \(\vec(a) \) und \(\vec(b) \) kollinear sind und \(\vec(a) \neq \vec(0) \), dann gibt es (und nur eine) Zahl \(\lambda \), so dass \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)
Grundlegende Eigenschaften linearer Operationen
1. Kommutativgesetz der Addition
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)
2. Assoziative Eigenschaft der Addition
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)
3. Assoziativgesetz der Multiplikation
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)
4. Distributives Eigentum in Bezug auf die Summe von Zahlen
\((\lambda+\mu)\vec(a)=\lambda\vec(a)+\mu\vec(a)\)
5. Distributivgesetz bezüglich der Summe von Vektoren
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)
Kommentar
Diese Eigenschaften linearer Operationen sind von grundlegender Bedeutung, da sie es ermöglichen, gewöhnliche algebraische Operationen an Vektoren durchzuführen. Beispielsweise ist es aufgrund der Eigenschaften 4 und 5 möglich, die Multiplikation eines Skalarpolynoms mit einem Vektorpolynom „Term für Term“ durchzuführen.
Vektorprojektionstheoreme
Satz
Die Projektion der Summe zweier Vektoren auf eine Achse ist gleich der Summe ihrer Projektionen auf diese Achse, d.h.
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)
Der Satz kann auf den Fall beliebig vieler Terme verallgemeinert werden.
Satz
Bei der Multiplikation des Vektors \(\vec(a) \) mit der Zahl \(\lambda \) wird auch seine Projektion auf die Achse mit dieser Zahl multipliziert, d.h. \(Ex_u \lambda \vec(a) = \lambda Ex_u \vec(a) \)
Folge
Wenn \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) und \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), dann
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)
Folge
Wenn \(\vec(a) = (x;y;z) \), dann ist \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) für beliebige Zahl \(\lambda \)
Von hier aus ist es leicht abzuleiten Bedingung der Kollinearität zweier Vektoren in Koordinaten.
Tatsächlich ist die Gleichheit \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) äquivalent zu den Gleichungen \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) oder
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) d.h. die Vektoren \(\vec(a) \) und \(\vec(b) \) sind genau dann kollinear, wenn ihre Koordinaten proportional sind.
Zerlegung eines Vektors in eine Basis
Die Vektoren \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) seien die Einheitsvektoren der Koordinatenachsen, also \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1 \), und jeder von ihnen ist gleichgerichtet mit der entsprechenden Koordinatenachse (siehe Abbildung). Ein Tripel von Vektoren \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) heißt Basis.
Es gilt der folgende Satz.
Satz
Jeder Vektor \(\vec(a) \) kann eindeutig in der Basis \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \) entwickelt werden, d.h. im Formular dargestellt
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
wobei \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) einige Zahlen sind. 
