Vorbereitung auf die Prüfung in Mathematik

Experiment

Lektion 9 Inverse trigonometrische Funktionen.

Trainieren

Zusammenfassung der Lektion

Die Fähigkeit, mit Bogenfunktionen zu arbeiten, wird uns vor allem beim Lösen trigonometrischer Gleichungen und Ungleichungen nützlich sein.

Die Aufgaben, die wir jetzt betrachten werden, sind in zwei Arten unterteilt: die Berechnung der Werte inverser trigonometrischer Funktionen und ihre Umrechnung anhand grundlegender Eigenschaften.

Berechnung der Werte von Bogenfunktionen

Beginnen wir mit der Berechnung der Werte der Bogenfunktionen.

Aufgabe 1. Berechnung .

Wie Sie sehen können, sind alle Argumente der Bogenfunktionen positiv und tabellarisch, was bedeutet, dass wir den Wert der Winkel aus dem ersten Teil der Wertetabelle trigonometrischer Funktionen für Winkel von bis wiederherstellen können. Dieser Winkelbereich ist im Wertebereich jeder der Bogenfunktionen enthalten, also verwenden wir einfach die Tabelle, finden den Wert der trigonometrischen Funktion darin und stellen wieder her, welchem ​​Winkel sie entspricht.

a)

b)

in)

G)

Antworten. .

Aufgabe Nr. 2. Berechnung

.

In diesem Beispiel sehen wir bereits negative Argumente. Ein typischer Fehler in diesem Fall besteht darin, einfach das Minus unter der Funktion zu entfernen und die Aufgabe einfach auf die vorherige zu reduzieren. Dies ist jedoch möglicherweise nicht in allen Fällen möglich. Erinnern wir uns, wie wir im theoretischen Teil der Lektion die Parität aller Bogenfunktionen festgelegt haben. Die ungeraden sind Arkussinus und Arkustangens, das heißt, das Minus wird aus ihnen entfernt, und Arkuskosinus und Arkuskotangens sind Funktionen einer allgemeinen Form, um das Minus im Argument zu vereinfachen, haben sie spezielle Formeln. Nach der Berechnung überprüfen wir, um Fehler zu vermeiden, ob das Ergebnis im Wertebereich enthalten ist.

Wenn die Funktionsargumente zu einer positiven Form vereinfacht werden, schreiben wir die entsprechenden Winkelwerte aus der Tabelle aus.

Es stellt sich die Frage, warum man den Wert des entsprechenden Winkels nicht zum Beispiel sofort aus der Tabelle herausschreibt? Erstens, weil die vorherige Tabelle schwerer zu merken ist als zuvor, und zweitens, weil sie keine negativen Werte des Sinus enthält und negative Werte des Tangens den falschen Winkel ergeben Die Tabelle. Es ist besser, einen einheitlichen Lösungsansatz zu haben, als sich von vielen verschiedenen Ansätzen verwirren zu lassen.

Aufgabe Nr. 3. Berechnung .

a) Ein typischer Fehler in diesem Fall ist, ein Minus wegzulassen und etwas zu vereinfachen. Als erstes fällt auf, dass das Arcussinus-Argument außerhalb des Geltungsbereichs liegt

Daher spielt dieser Eintrag keine Rolle, und der Arkussinus kann nicht berechnet werden.

b) Der Standardfehler in diesem Fall ist, dass sie die Werte des Arguments und der Funktion verwechseln und die Antwort geben. Das ist nicht wahr! Natürlich kommt die Idee auf, dass der Wert in der Tabelle dem Kosinus entspricht, aber in diesem Fall wird verwirrt, dass die Bogenfunktionen nicht aus Winkeln, sondern aus den Werten trigonometrischer Funktionen berechnet werden. Das ist nicht .

Da wir außerdem herausgefunden haben, was genau das Argument des Arkuskosinus ist, muss überprüft werden, ob es im Definitionsbereich enthalten ist. Denken Sie daran, um dies zu tun , d.h. der Arkuskosinus macht keinen Sinn und kann nicht berechnet werden.

Übrigens macht der Ausdruck zum Beispiel Sinn, weil, aber da der Wert des Kosinus gleich nicht tabellarisch ist, dann ist es unmöglich, den Arkuskosinus anhand der Tabelle zu berechnen.

Antworten. Die Ausdrücke ergeben keinen Sinn.

In diesem Beispiel berücksichtigen wir Arkustangens und Arkotangens nicht, da sie keinen begrenzten Umfang haben und die Werte der Funktionen für beliebige Argumente gelten.

Aufgabe Nr. 4. Berechnung .

Tatsächlich reduziert sich die Aufgabe auf die allererste, wir müssen nur die Werte der beiden Funktionen separat berechnen und sie dann in den ursprünglichen Ausdruck einsetzen.

Das Arcus-Tangens-Argument ist tabellarisch und das Ergebnis liegt im Bereich.

Das Arkuskosinus-Argument ist nicht tabellarisch, aber das sollte uns nicht erschrecken, denn was auch immer der Arkuskosinus ist, sein Wert, wenn er mit Null multipliziert wird, ergibt Null. Eine wichtige Anmerkung bleibt: Es muss geprüft werden, ob das Argument des Arkuskosinus in den Definitionsbereich gehört, denn wenn dies nicht der Fall ist, ergibt der gesamte Ausdruck keinen Sinn, unabhängig davon, dass er die Multiplikation mit Null enthält. Aber , also können wir argumentieren, dass es Sinn macht und wir erhalten Null in der Antwort.

Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel geben, bei dem es notwendig ist, eine Bogenfunktion berechnen zu können, wenn man den Wert einer anderen kennt.

Aufgabe Nr. 5. Berechnen Sie, ob bekannt ist, dass .

Es mag den Anschein haben, dass es notwendig ist, zuerst den Wert von x aus der angegebenen Gleichung zu berechnen und ihn dann in den gewünschten Ausdruck, d. h. in den Bogenkotangens, einzusetzen, aber das ist nicht notwendig.

Erinnern wir uns an die Formel, durch die diese Funktionen miteinander verbunden sind:

Und wir werden daraus ausdrücken, was wir brauchen:

Zur Sicherheit können Sie überprüfen, ob das Ergebnis im Bereich des Arcuscotangens liegt.

Transformationen von Bogenfunktionen anhand ihrer Grundeigenschaften

Lassen Sie uns nun zu einer Reihe von Aufgaben übergehen, bei denen wir Transformationen von Bogenfunktionen unter Verwendung ihrer grundlegenden Eigenschaften verwenden müssen.

Aufgabe Nr. 6. Berechnung .

Für die Lösung verwenden wir die Haupteigenschaften der angegebenen Bogenfunktionen und prüfen nur notwendigerweise die ihnen entsprechenden Einschränkungen.

a)

b) .

Antworten. a) ; b) .

Aufgabe Nr. 7. Berechnung .

Ein typischer Fehler in diesem Fall besteht darin, in die Antwort sofort 4 zu schreiben.Wie wir im vorherigen Beispiel angedeutet haben, ist es notwendig, um die Haupteigenschaften von Bogenfunktionen zu verwenden, die entsprechenden Einschränkungen für ihr Argument zu überprüfen. Wir haben es mit einer Immobilie zu tun:

beim

Aber . Die Hauptsache in diesem Stadium der Entscheidung ist, nicht zu glauben, dass der angegebene Ausdruck keinen Sinn ergibt und nicht berechnet werden kann. Schließlich können wir das Quadrupel, das Argument der Tangente, reduzieren, indem wir die Periode der Tangente subtrahieren, und dies hat keinen Einfluss auf den Wert des Ausdrucks. Nachdem wir solche Aktionen ausgeführt haben, haben wir die Möglichkeit, das Argument so zu reduzieren, dass es in den angegebenen Bereich eintritt.

Da also , da .

Aufgabe Nr. 8. Berechnung.

In diesem Beispiel haben wir es mit einem Ausdruck zu tun, der der Haupteigenschaft des Arkussinus ähnelt, aber nur Kofunktionen enthält. Er muss auf die Form des Sinus des Arkussinus oder des Kosinus des Arkuskosinus gebracht werden. Da es einfacher ist, direkte trigonometrische Funktionen umzuwandeln als inverse, gehen wir von Sinus zu Cosinus, indem wir die Formel "trigonometrische Einheit" verwenden.

Wie wir bereits wissen:

In unserem Fall in der Rolle . Der Einfachheit halber berechnen wir zuerst .

Bevor wir ihn in die Formel einsetzen, ermitteln wir sein Vorzeichen, also das Vorzeichen des ursprünglichen Sinus. Wir müssen den Sinus aus dem Wert des Arkuskosinus berechnen, was auch immer dieser Wert sein mag, wir wissen, dass er im Bereich liegt. Dieser Bereich entspricht den Winkeln des ersten und zweiten Viertels, in denen der Sinus positiv ist (überzeugen Sie sich selbst anhand des trigonometrischen Kreises).

In der heutigen Übung haben wir uns mit der Berechnung und Transformation von Ausdrücken befasst, die inverse trigonometrische Funktionen enthalten

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Lektionen 32-33. Inverse trigonometrische Funktionen

09.07.2015 6432 0

Ziel: Betrachten Sie inverse trigonometrische Funktionen, ihre Verwendung zum Schreiben von Lösungen für trigonometrische Gleichungen.

I. Vermittlung von Thema und Zielen des Unterrichts

II. Neues Material lernen

1. Inverse trigonometrische Funktionen

Beginnen wir dieses Thema mit dem folgenden Beispiel.

Beispiel 1

Lösen wir die Gleichung: a) sin x = 1/2; b) Sünde x \u003d a.

a) Legen Sie auf der Ordinatenachse den Wert 1/2 beiseite und tragen Sie die Winkel ein x 1 und x2, wofür Sünde x = 1/2. In diesem Fall ist x1 + x2 = π, also x2 = π – x 1 . Gemäß der Wertetabelle trigonometrischer Funktionen finden wir dann den Wert x1 = π/6Wir berücksichtigen die Periodizität der Sinusfunktion und schreiben die Lösungen dieser Gleichung auf:wobei k ∈ Z .

b) Es ist offensichtlich, dass der Algorithmus zum Lösen der Gleichung Sünde x = a ist dasselbe wie im vorigen Absatz. Natürlich ist jetzt der Wert von a entlang der y-Achse aufgetragen. Es besteht die Notwendigkeit, den Winkel x1 irgendwie zu bezeichnen. Wir haben uns darauf geeinigt, einen solchen Winkel mit dem Symbol zu kennzeichnen Bogensünde a. Dann können die Lösungen dieser Gleichung geschrieben werden alsDiese beiden Formeln können zu einer kombiniert werden: dabei

Andere inverse trigonometrische Funktionen werden ähnlich eingeführt.

Sehr oft ist es notwendig, den Wert eines Winkels aus dem bekannten Wert seiner trigonometrischen Funktion zu bestimmen. Ein solches Problem ist mehrwertig - es gibt unendlich viele Winkel, deren trigonometrische Funktionen denselben Wert haben. Daher werden basierend auf der Monotonie trigonometrischer Funktionen die folgenden inversen trigonometrischen Funktionen eingeführt, um die Winkel eindeutig zu bestimmen.

Der Arkussinus von a (Arkussin , dessen Sinus gleich a ist, also

Arkuskosinus einer Zahl ein (Arccos a) - ein solcher Winkel a aus dem Intervall, dessen Kosinus gleich a ist, d.h.

Arkustangens einer Zahl ein (Arktg a) - ein solcher Winkel a aus dem Intervalldessen Tangens a ist, d.h.tg a = a.

Arkustangens einer Zahl ein (Arktg a) - ein solcher Winkel a aus dem Intervall (0; π), dessen Kotangens gleich a ist, d.h. ctg a = a.

Beispiel 2

Lass uns finden:

Angesichts der Definitionen von inversen trigonometrischen Funktionen erhalten wir:

Beispiel 3

Berechnen

Sei Winkel a = arcsin 3/5, dann per Definition sin a = 3/5 und . Deshalb müssen wir finden cos a. Unter Verwendung der grundlegenden trigonometrischen Identität erhalten wir:Es wird berücksichtigt, dass cos a ≥ 0 ist. Also

Funktionseigenschaften	Funktion
	y = arcsin x	y = arccos x	y = arctg x	y = arcctg x
Domain	x ∈ [-1; ein]	x ∈ [-1; ein]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Wertebereich	y ∈ [-π/2 ; π/2]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0; π)
Parität	seltsam	Weder gerade noch ungerade	seltsam	Weder gerade noch ungerade
Funktionsnullstellen (y = 0)	Wenn x = 0	Für x = 1	Wenn x = 0	y ≠ 0
Konstanzintervalle	y > 0 für x ∈ (0; 1], beim< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 für x ∈ [-1; ein)	y > 0 für x ∈ (0; +∞), beim< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 für x ∈ (-∞; +∞)
Monoton	Zunehmend	Sinkt	Zunehmend	Sinkt
Zusammenhang mit der trigonometrischen Funktion	Sünde y \u003d x	cos y = x	tg y = x	ctg y=x
Plan

Lassen Sie uns einige typische Beispiele geben, die sich auf die Definitionen und grundlegenden Eigenschaften inverser trigonometrischer Funktionen beziehen.

Beispiel 4

Finde den Definitionsbereich der Funktion

Damit die Funktion y definiert werden kann, ist es notwendig, dass die Ungleichungwas dem Ungleichungssystem entsprichtDie Lösung der ersten Ungleichung ist das Intervall x∈ (-∞; +∞), die zweite - Dieses Intervall und ist eine Lösung für das System der Ungleichungen und damit der Bereich der Funktion

Beispiel 5

Finden Sie den Änderungsbereich der Funktion

Betrachten Sie das Verhalten der Funktion z \u003d 2x - x2 (siehe Abbildung).

Man sieht, dass z ∈ (-∞; 1). Da das Argument z Die Funktion des umgekehrten Tangens variiert innerhalb der angegebenen Grenzen, aus den Daten in der Tabelle erhalten wir diesAlso der Bereich der Veränderung

Beispiel 6

Beweisen wir, dass die Funktion y = arctg x ungerade. LassenDann tg a \u003d -x oder x \u003d - tg a \u003d tg (- a) und Daher - a \u003d arctg x oder a \u003d - arctg X. So sehen wir dasd.h. y(x) ist eine ungerade Funktion.

Beispiel 7

Wir drücken in Bezug auf alle inversen trigonometrischen Funktionen aus

Lassen Es ist klar, dass Dann seit

Lassen Sie uns einen Winkel einführen Als dann

Also ähnlich und

So,

Beispiel 8

Lassen Sie uns ein Diagramm der Funktion y \u003d erstellen cos (Arkussin x).

Bezeichnen Sie dann a \u003d arcsin x Wir berücksichtigen, dass x \u003d sin a und y \u003d cos a, d.h. x 2 + y2 = 1, und Beschränkungen auf x (x∈ [-ein; 1]) und y (y ≥ 0). Dann der Graph der Funktion y = cos (Arkussin x) ist ein Halbkreis.

Beispiel 9

Lassen Sie uns ein Diagramm der Funktion y \u003d erstellen arccos(cosx).

Da die Funktion cos x ändert sich auf dem Segment [-1; 1], dann ist die Funktion y auf der gesamten reellen Achse definiert und ändert sich im Intervall . Wir werden uns merken, dass y = arccos(cosx) \u003d x auf dem Segment; die Funktion y ist gerade und periodisch mit einer Periode von 2π. In Anbetracht dessen, dass die Funktion diese Eigenschaften hat cos x , Jetzt ist es einfach zu plotten.

Wir stellen einige nützliche Gleichungen fest:

Beispiel 10

Finden Sie den kleinsten und größten Wert der Funktion Bezeichnen dann Holen Sie sich eine Funktion Diese Funktion hat an der Stelle ein Minimum z = π/4, und es ist gleich Der Maximalwert der Funktion wird an der Stelle erreicht z = -π/2, und es ist gleich So und

Beispiel 11

Lösen wir die Gleichung

Das berücksichtigen wir Dann sieht die Gleichung so aus:oder wo Durch Definition des Arcustangens erhalten wir:

2. Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen

Ähnlich wie in Beispiel 1 erhalten Sie Lösungen für die einfachsten trigonometrischen Gleichungen.

Die gleichung	Entscheidung
tgx = a
ctgx = a

Beispiel 12

Lösen wir die Gleichung

Da die Sinusfunktion ungerade ist, schreiben wir die Gleichung in der FormLösungen dieser Gleichung:wo finden wir

Beispiel 13

Lösen wir die Gleichung

Nach obiger Formel schreiben wir die Lösungen der Gleichung:und finde

Beachten Sie, dass in bestimmten Fällen (a = 0; ±1) beim Lösen der Gleichungen sin x = a und cos x \u003d Es ist jedoch einfacher und bequemer, keine allgemeinen Formeln zu verwenden, sondern Lösungen auf der Grundlage eines Einheitskreises zu schreiben:

für die Gleichung sin x = 1 Lösung

für die Gleichung sin x \u003d 0 Lösungen x \u003d π k;

für die Gleichung sin x = -1 Lösung

für die Gleichung cos x = 1 Lösungen x = 2π k;

für die Gleichung cos x = 0 Lösung

für die Gleichung cos x = -1 Lösung

Beispiel 14

Lösen wir die Gleichung

Da es sich bei diesem Beispiel um einen Sonderfall der Gleichung handelt, schreiben wir die Lösung mit der entsprechenden Formel:wo finden wir

III. Kontrollfragen (Frontalbefragung)

1. Definieren und listen Sie die Haupteigenschaften inverser trigonometrischer Funktionen auf.

2. Geben Sie Graphen von inversen trigonometrischen Funktionen an.

3. Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen.

IV. Aufgabe im Unterricht

§ 15 Nr. 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12(b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16 Nr. 4 (a, b); 7(a); 8(b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

§ 17 Nr. 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9(b); 10 (a,c).

V. Hausaufgaben

§ 15 Nr. 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8(b); 12(a); 13(b); 15 (d); 16(b); 18 (c, d); 19 (d); 22;

§ 16 Nr. 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16 (c, d); 18(b); 19 (a, b);

§ 17 Nr. 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

VI. Kreative Aufgaben

1. Ermitteln Sie den Umfang der Funktion:

Antworten :

2. Finden Sie den Bereich der Funktion:

Antworten:

3. Stellen Sie die Funktion graphisch dar:

VII. Zusammenfassung der Lektionen

Föderale Agentur für Bildung der Russischen Föderation

SEI HPE "Mari State University"

Institut für Mathematik und MPM

Kursarbeit

Inverse trigonometrische Funktionen

Aufgeführt:

Schüler

33 JNF-Gruppen

Yashmetova L. N.

Wissenschaftlicher Leiter:

Ph.D. AssistenzprofessorIn

Borodina M. V.

Joschkar-Ola

Einführung………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Kapitel I. Definition der inversen trigonometrischen Funktionen.

1.1. Funktion y=Bogensünde x……………………………………………………........4

1.2. Funktion y=arccos x…………………………………………………….......5

1.3. Funktion y=arctg x………………………………………………………….6

1.4. Funktion y=arcctg x…………………………………………………….......7

Kapitel II. Lösung von Gleichungen mit inversen trigonometrischen Funktionen.

Grundbeziehungen für inverse trigonometrische Funktionen ... .8

Lösen von Gleichungen mit inversen trigonometrischen Funktionen ………………………………………………………………………..11

Berechnung der Werte von inversen trigonometrischen Funktionen .................... 21

Fazit …………………………………………………………………………….25

Liste der verwendeten Literatur…………………………………………...26

Einführung

Bei vielen Problemen müssen nicht nur die Werte trigonometrischer Funktionen für einen bestimmten Winkel gefunden werden, sondern umgekehrt auch ein Winkel oder ein Bogen für einen bestimmten Wert einer trigonometrischen Funktion.

Probleme mit inversen trigonometrischen Funktionen sind in den USE-Aufgaben enthalten (besonders viel in den Teilen B und C). Zum Beispiel war es in Teil B der Einheitlichen Staatsprüfung erforderlich, den entsprechenden Wert der Tangente durch den Wert des Sinus (Cosinus) zu finden oder den Wert eines Ausdrucks zu berechnen, der Tabellenwerte von inversen trigonometrischen Funktionen enthält. In Bezug auf diese Art von Aufgaben stellen wir fest, dass solche Aufgaben in Schulbüchern nicht ausreichen, um eine solide Fähigkeit zu ihrer Umsetzung zu entwickeln.

Dass. Der Zweck der Kursarbeit besteht darin, inverse trigonometrische Funktionen und ihre Eigenschaften zu betrachten und zu lernen, wie man Probleme mit inversen trigonometrischen Funktionen löst.

Um das Ziel zu erreichen, müssen wir die folgenden Aufgaben lösen:

Um die theoretischen Grundlagen inverser trigonometrischer Funktionen zu studieren,

Zeigen Sie die Anwendung des theoretischen Wissens in der Praxis.

Kapitelich. Definition von inversen trigonometrischen Funktionen

1.1. Funktion y =Bogensündex

Betrachten Sie die Funktion
. (1)

In diesem Intervall ist die Funktion monoton (steigt von -1 auf 1), daher gibt es eine inverse Funktion

,
. (2)

Für jeden gegebenen Wert beim(Sinuswert) aus dem Intervall [-1,1] entspricht einem wohldefinierten Wert X(Bogenwert) von span
. Wenn wir zur allgemein akzeptierten Notation übergehen, erhalten wir

Woher
. (3)

Dies ist die analytische Spezifikation der zu Funktion (1) inversen Funktion. Funktion (3) wird aufgerufen Arkussinus Streit . Der Graph dieser Funktion ist eine Kurve, die symmetrisch zum Graphen der Funktion ist, wobei , in Bezug auf die Winkelhalbierende der I- und III-Koordinatenwinkel.

Lassen Sie uns die Eigenschaften der Funktion darstellen, wobei .

Eigentum 1.Änderungsbereich der Funktionswerte: .

Eigenschaft 2. Die Funktion ist ungerade, d.h.

Eigenschaft 3. Die Funktion, wobei , hat eine einzelne Wurzel
.

Eigenschaft 4. Wenn, dann
; Wenn , dann.

Eigenschaft 5. Die Funktion ist monoton: Wenn das Argument von -1 auf 1 ansteigt, steigt der Wert der Funktion von an
Vor
.

1.2. Funktionj = armitcosx

Betrachten Sie die Funktion
, . (4)

In diesem Intervall ist die Funktion monoton (nimmt von +1 auf -1 ab), was bedeutet, dass es eine inverse Funktion dafür gibt

, , (5)

jene. jeder Wert (Kosinuswert) aus dem Intervall [-1,1] entspricht einem wohldefinierten Wert (Bogenwert) aus dem Intervall . Wenn wir zur allgemein akzeptierten Notation übergehen, erhalten wir

, . (6)

Dies ist die analytische Spezifikation der zu Funktion (4) inversen Funktion. Funktion (6) wird aufgerufen Arkuskosinus Streit X. Der Graph dieser Funktion kann auf der Grundlage der Eigenschaften von Graphen von zueinander inversen Funktionen aufgebaut werden.

Die Funktion , wobei , hat die folgenden Eigenschaften.

Eigentum 1.Änderungsbereich der Funktionswerte:
.

Eigenschaft 2. Mengen
und
durch das Verhältnis verbunden

Eigenschaft 3. Die Funktion hat eine einzelne Wurzel
.

Eigenschaft 4. Die Funktion akzeptiert keine negativen Werte.

Eigenschaft 5. Die Funktion ist monoton: Wenn das Argument von -1 auf +1 ansteigt, nehmen die Funktionswerte von auf 0 ab.

1.3. Funktionj = arctgx

Betrachten Sie die Funktion
,
. (7)

Beachten Sie, dass diese Funktion für alle Werte definiert ist, die strikt innerhalb des Intervalls von bis liegen; es existiert nicht an den Enden dieses Intervalls, da die Werte

- Haltepunkte der Tangente.

In der Zwischenzeit
die Funktion ist monoton (steigt von -
Vor
), also gibt es für Funktion (1) eine Umkehrfunktion:

,
, (8)

jene. zu jedem gegebenen Wert (Tangens-Wert) aus dem Intervall
entspricht einem wohldefinierten Wert (der Größe des Bogens) aus dem Intervall .

Wenn wir zur allgemein akzeptierten Notation übergehen, erhalten wir

,
. (9)

Dies ist die analytische Spezifikation der zu (7) inversen Funktion. Funktion (9) wird aufgerufen Bogentangente Streit X. Beachten Sie, wann
Funktionswert
, und wann

, d.h. Der Funktionsgraph hat zwei Asymptoten:
und.

Die Funktion , , hat die folgenden Eigenschaften.

Eigentum 1. Bereich der Funktionswerte
.

Eigenschaft 2. Die Funktion ist ungerade, d.h. .

Eigenschaft 3. Die Funktion hat eine einzelne Wurzel .

Eigenschaft 4. Wenn ein
, dann

; Wenn , dann
.

Eigenschaft 5. Die Funktion ist monoton: Wenn das Argument von bis zunimmt, steigen die Funktionswerte von bis +.

1.4. Funktionj = arcctgx

Betrachten Sie die Funktion
,
. (10)

Diese Funktion ist für alle Werte definiert, die im Intervall von 0 bis liegen; es existiert nicht an den Enden dieses Intervalls, da die Werte von und die Diskontinuitätspunkte des Kotangens sind. Im Intervall (0,) ist die Funktion monoton (fällt von bis ab), daher gibt es für die Funktion (1) eine Umkehrfunktion

, (11)

jene. zu jedem gegebenen Wert (Kotangenswert) aus dem Intervall (
) entspricht einem wohldefinierten Wert (der Größe des Bogens) aus dem Intervall (0,). Wenden wir uns der allgemein anerkannten Schreibweise zu, so werden wir durch die Relation verbunden: Zusammenfassung >> Mathematik durch Trigonometrie Funktionen. Zu umkehren trigonometrisch Funktionen normalerweise als sechs bezeichnet Funktionen: Arkussinus...

Die Dialektik der Begriffsentwicklung Funktionen in der Schulmathematik

Diplomarbeit >> Pädagogik

... . Umkehren trigonometrisch Funktionen. Das Hauptziel ist es, die Eigenschaften zu untersuchen trigonometrisch Funktionen, bringen Sie den Schülern bei, ihre Diagramme zu erstellen. Zuerst trigonometrisch Funktion ...

Wie entstand und entwickelte sich das Konzept? Funktionen

Zusammenfassung >> Mathematik

Wie beinhaltet diese Gleichung umkehren trigonometrisch Funktion, die Zykloide ist nicht algebraisch ... und auch die Notation trigonometrisch) umkehren trigonometrisch, exponentiell und logarithmisch Funktionen. Solch Funktionen elementar genannt. Bald...

Abschnitte: Mathematik

Inverse trigonometrische Funktionen werden in der Analysis häufig verwendet.

Aufgaben im Zusammenhang mit inversen trigonometrischen Funktionen bereiten Gymnasiasten oft erhebliche Schwierigkeiten. Dies liegt vor allem daran, dass in den aktuellen Lehrbüchern und Handbüchern solchen Aufgaben nicht allzu viel Aufmerksamkeit geschenkt wird und wenn die Schüler die Aufgaben zur Berechnung der Werte inverser trigonometrischer Funktionen noch irgendwie bewältigen, dann die Gleichungen und Ungleichungen, die diese Funktionen enthalten, verwirren sie oft. Letzteres ist nicht verwunderlich, da praktisch kein Lehrbuch (auch nicht Lehrbücher für mathematisch vertiefende Klassen) eine Methode zur Lösung selbst einfachster Gleichungen und Ungleichungen dieser Art beschreibt. Das vorgeschlagene Programm widmet sich Methoden zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen und der Transformation von Ausdrücken, die inverse trigonometrische Funktionen enthalten.

Es wird für Lehrkräfte der Oberstufe nützlich sein - sowohl für Allgemeinbildung und Mathematik als auch für Schüler, die sich für Mathematik interessieren.

Dieser Kurs erweitert den Grundkurs Mathematik und bietet Gelegenheit, sich mit interessanten Fragestellungen der Mathematik vertraut zu machen. Die in der Lehrveranstaltung behandelten Fragestellungen liegen außerhalb des Umfangs der Pflichtveranstaltung Mathematik. Sie sind jedoch eng mit dem Hauptgericht verbunden. Daher trägt dieses Wahlfach zur Verbesserung und Entwicklung der mathematischen Kenntnisse und Fähigkeiten der Studierenden bei.

Bei der Durchführung von Lehrveranstaltungen sollten traditionelle Formen wie Vorlesung und Seminar genutzt werden, aber solche Organisationsformen wie Diskussion, Debatte, Präsentation, Verfassen von Aufsätzen sollten in den Vordergrund gerückt werden.

Optionen für die Abschlusszertifizierung können die folgenden sein: Tests, Tests, Schreiben von Aufsätzen zu Themen, die vom Lehrer vorgeschlagen werden; individuelle Aufgaben, bei denen unabhängige Recherchen, thematische Tests durchgeführt werden müssen.

Die Ziele des Kurses sind die Schaffung von Voraussetzungen für die Durchführung einer Fachausbildung; Bildung eines integralen Systems mathematischen Wissens und der Grundlage für die mathematische Weiterbildung an Universitäten unterschiedlicher Profile.

Kursziele:

• den Umfang des mathematischen Wissens der Schüler erweitern;
• das Verständnis der Schüler für inverse trigonometrische Funktionen erweitern;
• Verallgemeinern Sie die wichtigsten Methoden zum Lösen von Gleichungen, Ungleichungen, die inverse trigonometrische Funktionen enthalten.
• Betrachten Sie Methoden zum Konstruieren von Graphen inverser trigonometrischer Funktionen.

Anforderungen an das Ausbildungsniveau der Studierenden.

• Studenten sollten es wissen:
  – Definition der inversen trigonometrischen Funktionen, ihrer Eigenschaften;
  – Grundformeln;
  – Methoden zur Lösung von Gleichungen und Ungleichungen, die inverse trigonometrische Funktionen enthalten;
  – Methoden zum Zeichnen von Funktionsgraphen: y=arcsinx, y= arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.
• Schüler müssen können:
  - die Eigenschaften und Grundformeln inverser trigonometrischer Funktionen anwenden;
  – die einfachsten Gleichungen und Ungleichungen lösen;
  – Transformation von Ausdrücken durchführen, die inverse trigonometrische Funktionen enthalten;
  – verschiedene Methoden zur Lösung von Gleichungen und Ungleichungen anwenden;
  – Gleichungen und Ungleichungen mit Parametern lösen, die inverse trigonometrische Funktionen enthalten;
  - Erstellen Sie Graphen von inversen trigonometrischen Funktionen.

Die vorgegebene thematische Kursplanung ist vorbildlich. Der Lehrer kann die Anzahl der Stunden, die dem Studium einzelner Themen zugewiesen werden, unter Berücksichtigung des Vorbereitungsniveaus der Schüler variieren.

Thematische Planung

	Gegenstand	Anzahl der Stunden	Formen von Lernaktivitäten
	Inverse trigonometrische Funktionen und ihre Eigenschaften. Werte von inversen trigonometrischen Funktionen.		Selbständiges Arbeiten mit pädagogischer Literatur, Seminar.
	Graphen von inversen trigonometrischen Funktionen.		Praktische Arbeit.
	Konvertieren von Ausdrücken mit inversen trigonometrischen Funktionen.		Parsing und Analyse von Lösungen. Testen.
	Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen und Ungleichungen.		Seminarsitzung.
	Methoden zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen, die inverse trigonometrische Funktionen enthalten.		Parsing und Analyse von Lösungen. Disput. Prüfen.
	Lösung von Gleichungen und Ungleichungen mit Parametern.		Parsing und Analyse von Lösungen. Diskussion.
	Verallgemeinernde Wiederholung		Entwicklung und Schutz des Projekts.
	Letzte Kurskontrolle.		Prüfung. Abstrakter Schutz.

„Inverse trigonometrische Funktionen, ihre Graphen. Werte inverser trigonometrischer Funktionen“.

Definition von inversen trigonometrischen Funktionen, ihre Eigenschaften. Finden der Werte von inversen trigonometrischen Funktionen.

"Graphen von inversen trigonometrischen Funktionen".

Funktionenj= arcsinx, j= arccosx, j= arctgx, j= arcctgx, ihre Diagramme.

"Umwandlung von Ausdrücken mit inversen trigonometrischen Funktionen".

Berechnung von Werten trigonometrischer Funktionen aus den Werten inverser trigonometrischer Funktionen. Überprüfung der Gültigkeit von Gleichungen, die inverse trigonometrische Funktionen enthalten. Vereinfachung von Ausdrücken, die Bilder enthaltensolide trigonometrische Funktionen» .

"Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen und Ungleichungen mit inversen trigonometrischen Funktionen".

Gleichungen:arcsinx= ein,arccosx= ein,arctgx= ein,arcctgx= ein.
Ungleichheiten:arcsinx>a,arccosx>a,arctgx>a,arcctgx>a,arcsinx<а, arccosx<а, arctgx<а, arcctgx<а.

"Methoden zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen mit inversen trigonometrischen Funktionen".

Gleichungen und Ungleichungen, deren linker und rechter Teil gleichnamige inverse trigonometrische Funktionen sind. Gleichungen und Ungleichungen, deren linker und rechter Teil entgegengesetzte inverse trigonometrische Funktionen sind. Variable Substitution. Verwendung der Monotonie und Beschränktheit inverser trigonometrischer Funktionen.

"Gleichungen und Ungleichungen mit Parametern lösen".

Methoden zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen, die Parameter enthalten.

"Verallgemeinerte Wiederholung".

Lösen von Gleichungen und Ungleichungen auf verschiedenen Ebenen.

Endkontrolle des Kurses (2 Stunden).

Controlling-Aktivitäten können im Formular dargestellt werdenTests in mehreren Varianten und unterschiedlicher Komplexität. Schutz von Abstracts zu bestimmten Themen.

Literatur für Studierende:

1. Kramor V.S., Mikhailov P.A. trigonometrische Funktionen. – M.: Aufklärung, 1983.
2. Litvinenko VN, Mordkovich AG Workshop zur Lösung mathematischer Probleme. – M.: Aufklärung, 1984.
3. Tsypkin A. G., Pinsky A. I. Handbuch zu Problemlösungsmethoden für die Sekundarschule. – M.: Nauka, 1983.
4. CD Disk 1C: Tutor Mathematik. 1 Teil.
5. Internetquellen: Sammlung von Abstracts.

Literatur für den Lehrer:

1. Ershov V., Raychmist R.B. Konstruktion von Funktionsgraphen. – M.: Aufklärung, 1984.
2. Vasil'eva V. A., Kudrina T. D., Molodozhnikova R. N. Methodologisches Handbuch in Mathematik für Bewerber an Universitäten. – M.: MAI, 1992.
3. Ershova A. P., Goloborodko V. V. Algebra. Der Beginn der Analyse. – M.: ILEKSA, 2003.
4. Aufgabensammlung Mathematik für Auswahlverfahren an Technischen Hochschulen / Ed. M. I. Skanavi. - M.: Gymnasium, 2003.
5. Zeitschriften "Mathematik in der Schule".