Kegel. Stumpf

Konische Oberfläche wird die Fläche genannt, die durch alle geraden Linien gebildet wird, die durch jeden Punkt der gegebenen Kurve und einen Punkt außerhalb der Kurve gehen (Abb. 32).

Diese Kurve heißt Führung , Direkte - Erstellen , Punkt - Gipfel konische Oberfläche.

Gerade kreisförmige konische Oberfläche wird die Fläche genannt, die aus allen Linien besteht, die durch jeden Punkt des gegebenen Kreises gehen, und einem Punkt auf der Linie, der senkrecht zur Ebene des Kreises steht und durch seinen Mittelpunkt geht. Im Folgenden wird diese Oberfläche kurz als bezeichnet konische Oberfläche (Abb.33).

Kegel (gerader Kreiskegel ) wird als geometrischer Körper bezeichnet, der von einer Kegelfläche und einer Ebene begrenzt wird, die parallel zur Ebene des Führungskreises liegt (Abb. 34).

Reis. 32 Abb. 33 Abb. 34

Ein Kegel kann als ein Körper betrachtet werden, der durch Drehen eines rechtwinkligen Dreiecks um eine Achse entsteht, die einen der Schenkel des Dreiecks enthält.

Der Kreis, der den Kegel begrenzt, wird genannt Basis . Der Scheitelpunkt einer Kegelfläche wird genannt Gipfel Kegel. Die Strecke, die die Spitze eines Kegels mit der Mitte seiner Basis verbindet, heißt hoch Kegel. Die Segmente, die eine konische Oberfläche bilden, werden genannt Erstellen Kegel. Achse eines Kegels ist eine gerade Linie, die durch die Spitze des Kegels und den Mittelpunkt seiner Basis verläuft. Axialschnitt wird der Schnitt genannt, der durch die Achse des Kegels verläuft. Laterale Oberflächenentwicklung Ein Kegel ist ein Sektor, dessen Radius gleich der Länge der Erzeugenden des Kegels ist, und die Länge des Bogens des Sektors ist gleich dem Umfang der Basis des Kegels.

Für einen Kegel gelten die folgenden Formeln:

wo R ist der Radius der Basis;

H- Höhe;

l- die Länge der Erzeugenden;

S Haupt- Grundfläche;

S-Seite

S voll

v ist das Volumen des Kegels.

Kegelstumpf bezeichnet den Teil des Kegels, der zwischen der Basis und der Schnittebene parallel zur Basis des Kegels eingeschlossen ist (Abb. 35).

Ein Kegelstumpf kann als ein Körper betrachtet werden, der durch Drehen eines rechteckigen Trapezes um eine Achse erhalten wird, die die laterale Seite des Trapezes senkrecht zu den Basen enthält.

Die beiden Kreise, die den Kegel begrenzen, werden sein genannt Gründen . Höhe eines Kegelstumpfes ist der Abstand zwischen seinen Grundflächen. Die Segmente, die die konische Oberfläche eines Kegelstumpfes bilden, werden genannt Erstellen . Die gerade Linie, die durch die Mittelpunkte der Basen verläuft, wird genannt Achse Kegelstumpf. Axialschnitt wird der Schnitt genannt, der durch die Achse des Kegelstumpfes verläuft.

Für einen Kegelstumpf gelten die folgenden Formeln:

(8)

wo R ist der Radius der unteren Basis;

r ist der Radius der oberen Basis;

H ist die Höhe, l ist die Länge der Erzeugenden;

S-Seite ist die seitliche Oberfläche;

S voll ist die Gesamtoberfläche;

v ist das Volumen des Kegelstumpfes.

Beispiel 1 Der zur Basis parallele Abschnitt des Kegels teilt die Höhe im Verhältnis 1:3, von oben gezählt. Finden Sie die Fläche der Mantelfläche eines Kegelstumpfes, wenn der Radius der Basis und die Höhe des Kegels 9 cm und 12 cm betragen.

Entscheidung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 36).

Um die Fläche der Mantelfläche eines Kegelstumpfes zu berechnen, verwenden wir Formel (8). Finden Sie die Radien der Basen Etwa 1 A und Etwa 1 V und generieren AB.

Betrachten Sie ähnliche Dreiecke SO2B und SO1A, Ähnlichkeitskoeffizient , dann

Von hier

Seit damals

Die Fläche der Mantelfläche eines Kegelstumpfes ist gleich:

Antworten: .

Beispiel2. Ein Viertelkreis mit Radius wird zu einer Kegelfläche gefaltet. Finden Sie den Radius der Basis und die Höhe des Kegels.

Entscheidung. Das Kreisviereck ist eine Entwicklung der Mantelfläche des Kegels. Bezeichnen r ist der Radius seiner Basis, H- Höhe. Die Seitenfläche wird nach folgender Formel berechnet: . Es ist gleich der Fläche eines Viertelkreises: . Wir erhalten eine Gleichung mit zwei Unbekannten r und l(Erzeuger eines Kegels). In diesem Fall ist die Erzeugende gleich dem Radius eines Viertelkreises R, also erhalten wir die folgende Gleichung:

Antworten: 2 cm, .

Beispiel 3 Ein rechteckiges Trapez mit einem spitzen Winkel von 45 °, einer kleineren Basis von 3 cm und einer geneigten Seite gleich , dreht sich um die Seite senkrecht zu den Basen. Finden Sie das Volumen des erhaltenen Rotationskörpers.

Entscheidung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 37).

Als Ergebnis der Drehung erhalten wir einen Kegelstumpf; um sein Volumen zu finden, berechnen wir den Radius der größeren Basis und die Höhe. im Trapez O 1 O 2 AB wir werden ausgeben AC^O 1B. In haben wir: also ist dieses Dreieck gleichschenklig AC=BC\u003d 3 cm.

Antworten:

Beispiel 4 Ein Dreieck mit den Seitenlängen 13 cm, 37 cm und 40 cm dreht sich um eine Außenachse, die parallel zur größeren Seite verläuft und 3 cm von ihr entfernt ist (die Achse liegt in der Ebene des Dreiecks). Finden Sie die Oberfläche des resultierenden Rotationskörpers.

Entscheidung . Machen wir eine Zeichnung (Abb. 38).

Die Oberfläche des resultierenden Rotationskörpers besteht aus den Seitenflächen zweier Kegelstümpfe und der Seitenfläche des Zylinders. Um diese Flächen zu berechnen, ist es notwendig, die Radien der Grundflächen der Kegel und des Zylinders zu kennen ( SEIN und OK) Zapfen bilden ( BC und AC) und die Höhe des Zylinders ( AB). Das Unbekannte ist nur CO. ist der Abstand von der Seite des Dreiecks zur Rotationsachse. Lass uns finden Gleichstrom. Die Fläche des Dreiecks ABC auf einer Seite ist gleich dem Produkt aus der Hälfte der Seite AB und der darauf gezeichneten Höhe Gleichstrom Da wir jedoch alle Seiten des Dreiecks kennen, berechnen wir seine Fläche mit der Heron-Formel.

Wenn Sie das Material des Themas studieren, müssen Sie lernen:

Arten von Revolutionskörpern;

Definitionen von Revolutionskörpern;

Definitionen von Elementen von Revolutionskörpern;

Konzepte der Entwicklung eines Zylinders und eines Kegels;

Definition und Berechnung der Mantel- und Vollfläche von Zylinder und Kegel;

Definition der Tangentialebene an die Kugel und ihrer Eigenschaften;

das Konzept der Oberfläche einer Kugel;

Definition eines Polyeders, der in eine Kugel eingeschrieben und um sie herum beschrieben ist.

Bei der Lösung von Problemen werden die folgenden Fähigkeiten getestet:

Revolutionskörper darstellen;

Elemente von Rotationskörpern berechnen;

Ausschnitte von Körpern darstellen;

Berechnen Sie die Fläche der seitlichen und vollen Oberfläche von Zylinder und Kegel;

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Kugel.

Fragen der theoretischen Prüfung

Variante 1

1. Das Konzept einer zylindrischen Oberfläche und ihrer Elemente. Formulieren Sie die Definition eines Zylinders und seiner Elemente.

2. Leiten Sie eine Formel zur Berechnung der Oberfläche einer Kugel ab.

3. Ermitteln Sie das Verhältnis von Mantelfläche und Axialschnitt des Kegels.

Option 2

1. Das Konzept einer Kegelfläche. Formulieren Sie die Definition eines Kegels und seiner Elemente.

2. Bestimmen Sie die Position des Mittelpunkts der um eine regelmäßige viereckige Pyramide umschriebenen Kugel. Beweisen Sie Ihre Behauptung.

3. Finden Sie das Verhältnis der Fläche der Mantelfläche und des axialen Abschnitts des Zylinders.

Möglichkeit 3

1. Formulieren Sie die Definition eines Kegelstumpfes und seiner Elemente.

2. Bestimmen Sie die Position des Mittelpunkts der Kugel, die in eine regelmäßige dreieckige Pyramide eingeschrieben ist. Beweisen Sie Ihre Behauptung.

3. Beweisen Sie, dass die gesamte Oberfläche eines gleichseitigen Kegels gleich der Oberfläche einer Kugel ist, deren Durchmesser der Höhe des Kegels entspricht.

Möglichkeit 4

1. Formulieren Sie die Definitionen einer Kugel und einer Kugel. Schreiben Sie die Gleichungen einer Kugel mit Radius R auf, deren Mittelpunkt im Punkt O(0; 0; 0) und im Punkt A(x0; y0; z0) liegt.

2. Leiten Sie eine Formel zur Berechnung der Mantelfläche eines Kegels her.

3. Beweisen Sie, dass die Fläche der Gesamtfläche eines Zylinders gleich der Fläche der Mantelfläche eines anderen Zylinders mit gleichem Radius ist, dessen Höhe gleich der Summe aus Radius und Höhe dieses Zylinders ist .

Selbständiges Arbeiten 17

Variante 1

1. Die Fläche des axialen Abschnitts des Zylinders beträgt 16. Finden Sie die Fläche des Abschnitts dieses Zylinders, der parallel zur Achse liegt und sich in einem Abstand von ihr befindet, der dem halben Radius der Basis entspricht der Zylinder.

2. Der Halbkreis wird zu einer Kegelfläche gefaltet. Finden Sie den Winkel zwischen der Erzeugenden und der Höhe des Kegels.

3. Die Radien zweier Kugeln betragen 16 und 20 dm, der Abstand zwischen ihren Mittelpunkten 25 dm. Finden Sie den Umfang des Kreises, wo sich ihre Flächen schneiden.

Option 2

1. Der Radius der Basis des Zylinders beträgt 26 cm und bildet 4,8 dm. In welchem ​​Abstand von der Achse des Zylinders soll ein achsenparalleler Schnitt gezeichnet werden, der die Form eines Quadrats hat?

2. Der Radius des Sektors beträgt 3 m, sein Winkel 120°. Der Sektor ist zu einer Kegelfläche gefaltet. Finden Sie den Radius der Basis des Kegels.

3. Die Diagonalen der Raute betragen 30 und 40 cm, die Kugeloberfläche berührt alle Seiten der Raute. Finden Sie den Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Ebene der Raute, wenn der Radius der Kugel 13 cm beträgt.

Möglichkeit 3

1. Der Radius der Basis des Zylinders beträgt 12 cm. Ermitteln Sie den Abstand zwischen dem axialen Abschnitt und dem Abschnitt mit der halben Fläche.

2. Der Abwicklungswinkel der Seitenfläche des Kegels beträgt 120°. Die Mantellinie des Kegels beträgt 15 cm Berechnen Sie den Durchmesser der Kegelbasis.

3. Eine Raute wird auf eine Kugel mit einem Radius von 10 cm gelegt, so dass jede Seite davon, gleich 12,5 cm, die Kugel berührt. Die Ebene der Raute ist 8 cm von der Mitte der Kugel entfernt. Finde die Fläche der Raute.

Möglichkeit 4

1. Durch die Erzeugende des Zylinders werden zwei zueinander senkrechte Schnitte gezogen, deren Flächen gleich 60 und 80 dm sind. Finden Sie die Fläche des Axialschnitts.

2. Der Radius der Basis des Kegels beträgt 12 cm und bildet 40 cm. Berechnen Sie den Schwenkwinkel dieses Kegels.

3. Die Seiten des Dreiecks sind 10 dm, 10 dm und 12 dm. Finden Sie den Abstand von der Ebene des Dreiecks zum Mittelpunkt der Kugel, die die Seiten des Dreiecks tangiert. Der Radius der Kugel beträgt 5 dm.

Selbständiges Arbeiten 18

Variante 1

1. Die Diagonale des Axialschnitts des Zylinders ist um 25 % größer als der Durchmesser seiner Basis. Finden Sie die Gesamtfläche des Zylinders, wenn der Abstand zwischen seinen Mittelpunkten 15 cm beträgt.

2. Entwicklung der Seitenfläche des Zylinders - ein Quadrat mit einer Seite von 4 dm. Berechne das Volumen des Zylinders.

3. Die Diagonalen des axialen Schnitts des Kegelstumpfes stehen senkrecht aufeinander, die Höhe des Kegels ist H und bildet l. Finden Sie die Seitenfläche des Kegels.

4. Der Radius der Kegelbasis beträgt 12 cm und bildet 40 cm. Ermitteln Sie den Entwicklungswinkel der Seitenfläche des Kegels.

5. Generator eines Kegelstumpfes 10 cm, Basisdifferenz 6 cm, axiale Schnittfläche 112 cm2. Finden Sie die Seitenfläche des Kegels.

6. Ein Parallelogramm mit Seitenlängen von 21 cm und 89 cm und einer Diagonalen von 100 cm dreht sich um die kleinere Seite. Finden Sie das Volumen des Rotationskörpers.

7. Ein rechtwinkliges Dreieck mit Schenkeln von 16 und 12 cm dreht sich um die Hypotenuse. Finden Sie das Volumen und den Rotationsbereich.

Option 2

1. Die Seitenfläche des Zylinders ist die Hälfte seiner Gesamtfläche. Ermitteln Sie die Gesamtfläche des Zylinders, wenn die Diagonale des axialen Schnitts 10 Zoll beträgt.

2. Die Gesamtfläche des Zylinders beträgt 500 p cm2, der Durchmesser seiner Basis beträgt 20 cm. Ermitteln Sie das Volumen des Zylinders.

3. Die Erzeugende eines Kegelstumpfes bezieht sich auf seine Höhe als 41:40. Die Basisradien sind 24 und 6 cm.Finde die Mantelfläche des Kegels.

4. Der Abwicklungswinkel der Seitenfläche des Kegels beträgt 120°. Die Erzeugende des Kegels beträgt 15 cm. Berechne die gesamte Oberfläche des Kegels.

5. Ermitteln Sie die Höhe eines Kegelstumpfes, wenn seine Seitenfläche gleich der Summe der Flächen der Grundflächen ist und die Radien der Grundflächen R und r sind.

6. Ein gleichschenkliges Trapez mit einer Grundfläche von 12 und 18 cm und einem spitzen Winkel von 60° dreht sich um eine kleinere Grundfläche. Finden Sie die Oberfläche und das Volumen des Rotationskörpers.

7. Ein Dreieck mit zwei Seiten gleich 5 cm und 8 cm, bildet einen Winkel von 60 °, dreht sich um die größte Seite. Finden Sie die Oberfläche und das Volumen des Rotationskörpers.

Selbständiges Arbeiten 19

Variante 1

1. Ein rechtwinkliges Dreieck mit Schenkeln von 16 und 12 cm dreht sich um die Hypotenuse. Finden Sie die Oberfläche des Rotationskörpers.

2. Die Radien der Basen des Kugelgürtels betragen 63 und 39 cm, seine Höhe beträgt 36 cm. Finden Sie die Oberfläche des Kugelgürtels.

3. Die Höhe einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide h. Seitliche Rippen sind zueinander senkrecht. Finden Sie den Radius der umschriebenen Kugel.

4. In einem regelmäßigen dreieckigen Pyramidenstumpf beträgt die Höhe 17 cm, die Radien der um die Basen beschriebenen Kreise betragen 5 und 12 cm. Finden Sie den Radius der umschriebenen Kugel.

5. Ein Quadrat mit einer Seitenlänge von a dreht sich um eine Senkrechte zur Diagonale, die durch sein Ende gezogen wird. Finden Sie die Oberfläche des resultierenden Körpers.

Option 2

1. Ein Dreieck, dessen zwei Seiten 5 und 8 cm lang sind, einen Winkel von 60 ° bilden, dreht sich um die größte Seite. Finden Sie die Oberfläche des Rotationskörpers.

2. Die Gesamtfläche des Kugelsegments ist gleich S. Bestimmen Sie die Höhe des Segments, wenn der Radius der Kugel R ist.

3. Die Basis der Pyramide ist ein regelmäßiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 3 dm. Eine der Seitenkanten ist 2 dm lang und senkrecht zur Basis. Finden Sie den Radius der umschriebenen Kugel.

4. Die Seiten der Grundflächen eines regelmäßigen viereckigen Pyramidenstumpfes betragen 7 und 1 dm. Die Seitenkante ist in einem Winkel von 45° zur Basis geneigt. Ermitteln Sie den Radius der umschriebenen Kugel.

5. Ein regelmäßiges Sechseck mit der Seite a dreht sich um die äußere Achse, die parallel zur Seite ist und von ihr um die Länge des Apothems beabstandet ist. Finden Sie die Oberfläche des resultierenden Körpers.

Selbständiges Arbeiten 20

Variante 1

1. Die Seitenkante einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide ist gleich b und bildet mit der Basisebene einen Winkel a. Einer Pyramide wird ein gleichseitiger Zylinder so eingeschrieben, dass die Ebene der Grundfläche in der Ebene der Grundfläche der Pyramide liegt. Berechne das Volumen des Zylinders.

2. Die Basis der Pyramide ist ein regelmäßiges Dreieck. Eine Seitenkante steht senkrecht auf der Grundebene und ist gleich l, die anderen beiden bilden mit der Grundebene einen Winkel a. In die Pyramide ist ein gerades Prisma eingeschrieben, von dem drei Spitzen auf den Seitenkanten der Pyramide und die anderen drei auf der Basis der Pyramide liegen, wobei die Diagonale der Seitenfläche des Prismas mit der Ebene der Basis zusammenfällt Ð b. Finde die Höhe des Prismas.

3. In einem regelmäßigen viereckigen Prisma ist die Fläche der Seitenfläche gleich q. Finden Sie die Fläche des Diagonalschnitts.

4. Eine Ebene senkrecht zum Durchmesser des Balls teilt ihn in Teile von 3 und 9 cm In welche Teile wird das Volumen des Balls unterteilt?

Option 2

1. Der Winkel an der Spitze des Axialschnitts des Kegels beträgt 2b. Der Umfang der Basis beträgt c. Bestimmen Sie die Fläche der Mantelfläche des Kegels.

2. Die Diagonalen des Axialschnitts eines Kegelstumpfes werden durch den Schnittpunkt im Verhältnis 2: 1 geteilt, von der großen Basis aus gerechnet. Der Winkel zwischen den der Basis zugewandten Diagonalen ist a. Die Diagonale ist l. Finde das Volumen des Kegels.

3. Die Seitenkante eines rechten Parallelepipeds beträgt 5 cm, die Seiten der Basis 6 und 8 cm, eine der Diagonalen der Basis 12 cm. Finde die Diagonalen des Parallelepipeds.

4. Welcher Teil des Kugelvolumens ist das Volumen eines Kugelsegments mit einer Höhe von 0,1 des Kugeldurchmessers?

Möglichkeit 3

1. Die Erzeugende des Kegels ist gleich l und in einem Winkel a zur Ebene der Basis geneigt. Bestimmen Sie die Gesamtoberfläche des eingeschriebenen Würfels.

2. In die Basis des Kegels ist ein Quadrat eingeschrieben, dessen Seite a ist. Die Ebene, die durch eine der Seiten dieses Quadrats und die Spitze des Kegels verläuft, bildet beim Schnitt mit der Oberfläche des Kegels ein gleichschenkliges Dreieck mit einem Winkel an der Spitze gleich a. Finde das Volumen des Kegels.

3. Die Seite der Basis eines regulären viereckigen Prismas beträgt 15 cm und die Höhe 20 cm. Finden Sie den kürzesten Abstand von der Seite der Basis zur Diagonale des Prismas, die es nicht schneidet.

4. Zwei gleiche Kugeln werden so angeordnet, dass der Mittelpunkt der einen auf der Oberfläche der anderen liegt. Wie verhält sich das Volumen des gesamten Teils der Kugeln zum Volumen der ganzen Kugel?

Möglichkeit 4

1. Ein gerades dreieckiges Prisma mit gleichen Rippen ist in einen Kegel einbeschrieben, dessen Erzeugende unter einem Winkel a zur Ebene der Basis geneigt ist. Bestimme das Volumen des Prismas, wenn der Radius der Kegelbasis R ist.

2. Das Volumen des Kegels ist V. In den Kegel ist eine Pyramide eingeschrieben, an deren Basis ein gleichschenkliges Dreieck mit einem Winkel a zwischen den Seiten liegt. Finden Sie das Volumen der Pyramide.

3. Bei einem geraden Parallelepiped beträgt die Seitenkante 1 m, die Seiten der Grundfläche 23 dm und 11 dm, die Diagonalen der Grundfläche 2: 3. Finde die Flächen der Diagonalschnitte.

4. Finden Sie auf der Seite der Basis a und der Seitenkante b die volle Oberfläche eines regelmäßigen sechseckigen Prismas.

. Kegel. Grundlegendes Konzept.

Definition. Kegel wird eine geometrische Figur genannt, die durch Drehen eines rechtwinkligen Dreiecks um eines seiner Beine erhalten wird. Das Bein, relativ zu dem die Drehung erfolgt - Achse Kegel, numerisch gleich seiner Höhe; zweites Bein - Radius Gründen; Hypotenuse - Erzeugerin (bildet bei Rotation die Mantelfläche des Kegels).

M- Spitze des Kegels Ö- Basiszentrum MO- die Achse des Kegels, MO = H ist die Höhe des Kegels, OA = OV =…= R ist der Radius der Basis, BIN= BM =…= l ist die Erzeugende eines Kegels. Axialschnitt des Kegels gleichschenkliges Dreieck (z.B. Dreieck AMB). Der Schnitt eines Kegels durch eine zur Grundfläche parallele Ebene ist ein der Grundfläche ähnlicher Kreis.

Die Abwicklung der Kegeloberfläche besteht aus einem Kreis und einem Kreissektor.

. Stumpf.

Definition. Kegelstumpf wird eine geometrische Figur genannt, die durch Drehen eines rechteckigen Trapezes um seine kleinere Seite erhalten wird. Mit anderen Worten: Ein Kegelstumpf ist der Teil des Kegels, der zwischen der Basis und dem Abschnitt des Kegels parallel zur Basis eingeschlossen ist. Axialschnitt gleichschenkliges Trapez (z. ABB 1 SONDERN 1 ) .

B 1 EIN 1

. Volumen und Oberfläche eines Kegels.

	gekürzt

Hier R ist der Radius der unteren Basis, r ist der Radius der oberen Basis, H- Höhe, l- Erstellen.

Fragen und Aufgaben

Aus Papier wird ein Beutel gefaltet, der die Form eines Kegels mit einem Basisradius von 5 cm und einer Höhe von 10 cm hat.Bestimmen Sie die Oberfläche des Beutels.

Die Erzeugende des Kegels beträgt 2 cm und der Radius der Basis 1 cm. Erklären Sie, ob die Fläche seiner Gesamtoberfläche mehr oder weniger als 6 cm 2 beträgt.

Finden Sie die Gesamtoberfläche des Kegels, wenn:

a) der Radius seiner Basis ist 2 und die Erzeugende ist 4;

b) der Radius der Basis ist 3 und die Höhe ist 4;

c) der Radius der Basis ist 4, und der Neigungswinkel der Erzeugenden zur Basis ist 30 0 .

Finden Sie das Volumen des Kegels, wenn:

a) sein Basisradius ist 2 und seine Höhe ist 3;

b) der Radius seiner Basis ist 3 und die Erzeugende ist 5;

c) der Radius der Basis ist gleich 2 und die Erzeugende ist in einem Winkel von 30 ° zur Ebene der Basis geneigt;

d) Der Radius der Basis beträgt 3 und die Fläche des Axialschnitts 12.

a und b (a < b) dreht sich zuerst um einen von ihnen und dann um den anderen. Vergleichen:

a) die Fläche der Seitenflächen der erhaltenen Kegel;

b) die Flächen der Gesamtflächen der resultierenden Kegel.

Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit Schenkeln der Länge 2 wird um die Hypotenuse gedreht. Finden Sie die Fläche der resultierenden Oberfläche.

Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Beinen 3 und 4 wird um die Hypotenuse gedreht. Finden Sie die Fläche der resultierenden Oberfläche.

Ein rechtwinkliges Dreieck mit Beinen von 6 cm und 8 cm dreht sich um das kleinere Bein. Berechnen Sie die Flächen der Seiten- und Vollflächen des Kegels, die sich bei dieser Drehung bilden.

Rechtwinkliges Dreieck mit Beinen a und b kreisen um die Hypotenuse. Finden Sie das Volumen des resultierenden Rotationskörpers.

Ein Parallelogramm mit Seitenlängen von 6 cm und 8 cm und einem Winkel von 60° wird um eine Gerade gedreht, die die größere Seite des Parallelogramms enthält. Finden Sie die Fläche der resultierenden Oberfläche.

Der Winkel zwischen der Mantellinie und der Kegelachse beträgt 45°, die Mantellinie 6,5 cm. Finden Sie die Fläche der Mantelfläche des Kegels.

Die Fläche des Axialschnitts des Kegels beträgt 0,6 cm². Die Höhe des Kegels beträgt 1,2 cm Berechnen Sie die Gesamtoberfläche des Kegels.

Bestimme das Volumen eines Kegels, wenn seine Grundfläche gleich Q und seine Seitenfläche gleich P ist.

Die Höhe eines Kegels ist gleich dem Durchmesser seiner Basis. Berechne das Volumen eines Kegels, wenn seine Höhe H ist.

Finden Sie das Volumen eines Kegels, wenn seine Erzeugende 13 cm und die Fläche des Axialschnitts 60 cm² beträgt.

Die Radien der Basen des Kegelstumpfes betragen 3 m und 6 m, und die Erzeugende beträgt 5 m. Finden Sie das Volumen des Kegelstumpfes.

Betrachtet wird ein Kegel mit einem Basisradius von 5 cm und einer Erzeugenden von 3 cm. Durch einen Punkt der Erzeugenden, der 1 cm von der Spitze entfernt ist, wird ein Schnitt parallel zur Basis des Kegels gezogen. Führen Sie die folgenden Aufgaben nacheinander aus:

a) finden Sie den Bereich dieses Abschnitts;

b) finden Sie die Fläche der Mantelfläche dieses Kegels;

c) Finden Sie den Bereich der Mantelfläche des Kegels, der von der gezeichneten Ebene abgeschnitten wird.

d) Finden Sie den Bereich der Mantelfläche des Kegelstumpfes, der von der gezeichneten Ebene abgeschnitten wird.

e) Finden Sie die Gesamtoberfläche dieses Kegelstumpfes.

Finden Sie die Erzeugende eines Kegelstumpfes, wenn die Radien der Basen 3 cm und 6 cm betragen und die Höhe 4 cm beträgt.

Die Fläche der Basis des Kegels beträgt 12 cm², seine Höhe beträgt 6 cm. Finden Sie die Fläche seines Abschnitts, parallel zur Basis und gezeichnet:

a) durch die mittlere Höhe;

b) in einem Abstand von 2 cm von der Spitze des Kegels;

c) in einem Abstand von 4 cm von der Spitze des Kegels.

Finden Sie die Volumina von Kegeln, deren Basen die betrachteten Abschnitte sind und deren Scheitel der Scheitel des gegebenen Kegels ist.

Die Fläche der Basis des Kegels beträgt 25 cm² und die Höhe 5 cm.Ein Abschnitt parallel zur Basis wird in einem Abstand von 1 cm von der Spitze gezeichnet. Finden Sie das Volumen des Kegelstumpfes, der durch den gezeichneten Abschnitt abgeschnitten wird.

Der Kegel hat eine Höhe von 5 cm und wird in einem Abstand von 2 cm von der Spitze von einer Ebene parallel zur Basis gekreuzt. Finden Sie das Volumen des ursprünglichen Kegels, wenn das Volumen des kleineren Kegels, der vom ursprünglichen abgeschnitten ist, 24 cm³ beträgt.

Bei einem Kegelstumpf ist die Höhe bekannt h, bilden l und Fläche S Seitenfläche. Finden Sie die Fläche des Axialschnitts und das Volumen des Kegelstumpfs.

Wie bekannt; Wenn sich ein Punkt um eine Achse dreht, bewegt er sich in einer Ebene senkrecht zur Rotationsachse und beschreibt einen Kreis. Um die Rotationsmethode anzuwenden, um die Zeichnung zu transformieren, beachten wir die folgenden vier Elemente (Abb. 5.8):

Rotationsachse (MN);

Punkt Rotationsebene(pl. S ist senkrecht (MN));

Rotationszentrum;

Rotationsradius (R; R= |OA|).

Als Rotationsachse werden üblicherweise gerade Linien, senkrecht oder parallel zu den Projektionsebenen, verwendet. Betrachten Sie die Drehung um Achsen senkrecht zu den Projektionsebenen.

Punkt A Drehung auf der Zeichnung um die Achse MN, senkrecht zur Ebene H, in Abbildung 5.9 gezeigt. Rotationsebene S ist parallel zur H-Ebene und wird auf der Frontalprojektion wie folgt dargestellt S v. Horizontale Projektion um das Rotationszentrum herum stimmt mit der Projektion überein tp Achsen und die horizontale Projektion o.ä Rotationsradius OA ist sein natürlicher Wert. Punktdrehung SONDERN in Bild 5.9 erfolgt um einen Winkel φ gegen den Uhrzeigersinn, damit in der neuen Lage der Punkt mit Vorsprüngen a1", a1 der Rotationsradius war parallel zur EbeneV Wenn sich ein Punkt um die vertikale Achse dreht, bewegt sich seine horizontale Projektion entlang des Kreises, und die frontale Projektion bewegt sich parallel zur x-Achse und senkrecht zur Rotationsachse.

Wenn ein Punkt um eine Achse senkrecht zur V-Ebene gedreht wird, bewegt sich seine Frontalprojektion kreisförmig und die horizontale Projektion parallel zur x-Achse.

Die Drehung eines Punktes um eine vorstehende Linie wird zur Lösung einiger Probleme verwendet, beispielsweise zur Bestimmung der natürlichen Größe eines Liniensegments. Dazu (Abb. 5.10) genügt eine Rotationsachse mit Vorsprüngen t "p", tp Wählen Sie so, dass es durch einen der Extrempunkte des Segments verläuft, z. B. einen Punkt mit Vorsprüngen b", b. Dann beim Drehen der Spitze SONDERN Winkel φ in Position bringen A1 (OA1 || Quadrat V, oa, || x-Achse) Segment AB bewegt sich auf Position A1B, parallel zur Ebene v und wird daher in voller Größe darauf projiziert. Gleichzeitig wird der Winkel a der Segmentsteigung in voller Größe projiziert AB zur Ebene H.

Drehung (Rotation) eines Punktes mit Projektionen b", b relativ zur Achse mit Vorsprüngen t"p", tp, senkrecht zur Ebene V, siehe Abbildung 5.11. Beim Drehen des Punktes BEIM in der Rotationsebene bewegt T (Th) zu positionieren mit Vorsprüngen b1", b1 damit der Rotationsradius OV parallel zur Ebene werden H (o "b" || x-Achse).

Anwendung der Rotationsmethode ohne Angabe der Rotationsachsen senkrecht zu den Projektionsebenen in der Zeichnung.Wenn Sie eine geometrische Figur um eine Achse senkrecht zur Projektionsebene drehen, dann ändert sich die Projektion auf dieser Ebene weder im Aussehen noch in der Größe (nur die Position der Projektion relativ zur Projektionsachse ändert sich). Projektionen von Punkten einer geometrischen Figur auf einer Ebene parallel zur Rotationsachse bewegen sich entlang gerader Linien parallel zur Projektionsachse (mit Ausnahme von Projektionen von Punkten, die sich auf der Rotationsachse befinden), und die Projektion als Ganzes ändert sich Form und Größe. Daher ist es möglich, die Rotationsmethode anzuwenden, ohne die Darstellung der Rotationsachse anzugeben. Darin

Verschieben Sie in diesem Fall, ohne die Größe und Form einer der Projektionen des geometrischen Bildes zu ändern, diese Projektion an die erforderliche Position und erstellen Sie dann eine weitere Projektion wie oben angegeben.

Abbildung 5.12 zeigt die Verwendung der Rotationsmethode ohne Angabe der Achsen zur Bestimmung der tatsächlichen Größe des Dreiecks ABC, durch Projektionen gegeben a"b"c", abc. Dazu werden zwei Drehungen der Ebene in allgemeiner Position, in der sich das Dreieck befindet, durchgeführt, so dass diese Ebene nach der ersten Drehung senkrecht zu der Ebene wird V, und nach dem zweiten - parallel zur Ebene H. Die erste Drehung um die Achse senkrecht zur Ebene H, ohne Angabe ihrer Position, wurde mit einer Horizontalen mit Vorsprüngen durchgeführt s"1", s-1 in der Ebene des Dreiecks. In diesem Fall die horizontale Projektion ein entsprechend der Projektionsrichtung gedreht. Die horizontale Projektion des Dreiecks behält seine Form und Größe bei, nur seine Position ändert sich. Punkte A, B und C bei einer solchen Drehung bewegen sie sich in Ebenen parallel zur Ebene H. Projektionen a1", c1, b1" a"a1", b"b1" und c"c1". Die Frontalprojektion des Dreiecks in der neuen Position ist das Segment a1"b1"c1".

Die zweite Drehung, die das Dreieck in eine Position parallel zur Ebene H bringt, erfolgt um die Drehachse senkrecht zur Ebene H (die Position der Achse ist ebenfalls nicht angegeben). Die Frontalprojektion behält bei der zweiten Drehung das Aussehen und die Größe bei, die nach der ersten Drehung erhalten wurden. Punkte A1, D1 und C1 bewegen sich in Ebenen parallel zur Ebene V Vorsprünge a 2 , b 2 , c 2 befinden sich auf horizontalen Kommunikationslinien a, a 2, blb2, c1c2. Projektion a2b2c 2 ist die tatsächliche Größe des gegebenen Dreiecks.

Bei der Durchführung der betrachteten Drehungen um Achsen senkrecht zu den Projektionsebenen werden diese Achsen nicht angezeigt, können aber leicht gefunden werden. Zum Beispiel, wenn Sie Segmente zeichnen aa1, b1b2 und Senkrechte durch ihre Mittelpunkte ziehen, dann ist der resultierende Schnittpunkt dieser Senkrechten die horizontale Projektion der Rotationsachse senkrecht zur Ebene H.

Die Verwendung der Rotationsmethode ohne Angabe der Achsen vereinfacht die Konstruktion etwas, es gibt keine Überlappung von einer

Abschnitt auf einem anderen, aber die Zeichnung nimmt eine große Fläche ein. (Der betrachtete Rotationsfall ohne Darstellung der Rotationsachsen ist ein Spezialfall der Methode der planparallelen Bewegung.)

Eine Rotationsmethode um gerade Linien parallel zu Projektionsebenen.Die natürliche Größe einer flachen Figur kann ermittelt werden, indem man sich um eine Achse parallel zur Projektionsebene dreht und die Figur mit einer Drehung in eine Position parallel zur Projektionsebene bringt.

Abbildung 5.13 zeigt die Definition der Größe eines Dreiecks mit Projektionen a"b"c", abc Drehung um die Horizontale.In diesem Fall alle Punkte des Dreiecks(mit Ausnahme der auf der Rotationsachse liegenden)um eine Achse in Kreisen in Ebenen senkrecht zur Achse drehen.Wenn das Dreieck eine Position parallel zur Projektionsebene einnimmt, sind die Rotationsradien seiner Punkte parallel zu dieser Ebene, dh sie werden auf die Ebene projiziert H echte Größe.

Als Rotationsachse wurde die Horizontale mit Vorsprüngen genommen s"1", s-1.

Punkt C auf der Rotationsachse bleibt fest. Um die horizontale Projektion des Dreiecks nach der Drehung abzubilden, müssen Sie die Position der Projektionen seiner anderen beiden Eckpunkte finden. Scheitelpunkte mit Vorsprüngen a", a und b", b Verdrängungsdreieck-

sind in Flugzeugen P und Q Bewegung dieser Punkte. Horizontale ProjektionÜber Scheitel Rotationszentrum SONDERN ist der Schnittpunkt der horizontalen Projektion s-1 Rotationsachsen mit horizontaler Projektion Ph.h. Seine frontale Projektion ist darauf markiert. o. Segmente oa - horizontal, o "ein" - Frontalprojektion des Rotationsradius des Punktes SONDERN. Lebensgröße oA Rotationsradius des Punktes SONDERN wie in 2.3 diskutiert definiert (siehe Abb. 2.9), d.h. durch Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks. An den Beinen oa und aA \u003d o "2" ein Dreieck entsteht oaa, seine Hypotenuse ist gleich dem Rotationsradius des Punktes SONDERN.

Aus einer Projektion ca Drehpunkt SONDERN in Richtung der Spur Ph seiner Bewegungsebene lassen wir den natürlichen Wert des Rotationsradius außer Acht. Markierung der horizontalen Projektion a, Punkte A, in die Position eines Dreiecks parallel zur Ebene gedreht N. Bt-Punkt der horizontalen Projektion BEIM in der gedrehten Position finden wir als Schnittpunkt der Horizontalprojektion 1-at mit Spur Q h . Horizontale Projektion a1cb1 drückt den natürlichen Wert von A aus ABC, da nach der Drehung die Ebene des Dreiecks parallel zur Ebene ist N. Die Frontalprojektion des gedrehten Dreiecks fällt mit der Frontalprojektion der Horizontalen zusammen 1"s", d.h. es ist ein gerades Liniensegment.

Wenn Sie ein flaches geometrisches Bild in eine Position parallel zur Ebene drehen möchten V, dann wird die Stirnseite als Rotationsachse gewählt.

Drehen Sie die Ebene um ihre Spur, bis sie mit der entsprechenden Projektionsebene übereinstimmt(dieser Fall wird auch Kombinationsverfahren genannt). Wird die Ebene um ihre Spur gedreht, bis sie mit der Projektionsebene zusammenfällt, in der sich diese Spur befindet, so werden die in der Ebene befindlichen geometrischen Bilder unverzerrt dargestellt. Dieses Verfahren ist ein Spezialfall der Drehung um eine Horizontale oder Frontal, da die horizontale Spur der Ebene als die „Null“-Horizontale der horizontalen Ebene und die Frontalspur als die „Null“-Front betrachtet werden kann.

Abbildung 5.14 zeigt eine visuelle Darstellung der Drehung der Ebene der allgemeinen Position R um die horizontale Bahn Ph in die Richtung aus dem Flugzeug v zum Betrachter, bis sie mit der Ebene ausgerichtet sind N. In planer Ausrichtposition R mit Ebene

H Gerade P Uq ist eine Spur R und, mit Ebene ausgerichtet N. Spur Ph wie die Rotationsachse ihre Position nicht ändert. Punkt Empfang Auch der Schnittpunkt von Spuren ändert seine Position nicht. Um eine kombinierte Position aufzubauen P L , eine Spur P v Es reicht aus, einen weiteren Punkt zu finden, zum Beispiel den Punkt N, diese Spur (bis auf den Punkt Rx) in einer mit der Ebene ausgerichteten Position N.

Punkt N beschreibt einen Bogen in einer Ebene Q, senkrecht zur Rotationsachse. CenterÖ dieser Bogen ist der Schnittpunkt der Ebene Q mit Spur P h . Punkt N 0 auf der Ebene H ist der Schnittpunkt des Radiusbogens ON in der Ebene Q mit Spur Q h . Zieht man eine Gerade durch P x und N 0, erhält man P U0 . Abschnitt P X N ändert seine Länge nicht, wenn sich das Flugzeug dreht; also Punkt N0 kann durch Kreuzen erhalten werden Qh mit einem in einer Ebene beschriebenen Bogen H, vom Punkt Р x mit Radius P X N.

Führen Sie die betrachteten Konstruktionen auf der Zeichnung (Abb. 5.15) auf der Spur aus R und beliebiger Punkt ausgewählt N (es stimmt mit seiner Projektion überein P"). Durch seine horizontale Projektion P Direkte An, senkrecht zur Rotationsachse - Spur Ph.h. Auf dieser Linie wird ein Punkt gefunden N 0 , also Punkt N nach Ausrichtung mit der Ebene N. Sie wurde in der Ferne gefunden P X N 0 \u003d P x n "vom Punkt P x oder auf Distanz oN 0 vom Punkt o, gleich dem Rotationsradius des Punktes N. Radiuslänge oN 0 = oN definiert zum Beispiel als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Beinen on und nN (nN=nn"). Gerade P U0 , Punkte passieren P x und N 0, - kombinierte Spurposition R ich.

Die kombinierte Position des C0-Punktes ist ähnlich konstruiert C. Rotationsradius oC als Hypotenuse eines Rechtecks ​​gefunden

Dreieck mit einem Bein oc, das andere Bein cc = s "1. Die zweite Version der Konstruktion erfolgt in der horizontalen Ebene P mit Vorsprüngen c"2", c -2. Bogenradius verwenden R x 2" passende Position gefunden 2o Punkte 2 auf der Linie Pv0, und in der kombinierten Position 20С0 eine horizontale Linie durch einen Punkt 2 0 parallel zur Spur von Ph.

Wenn es erforderlich ist, die Ebene mit der Frontalprojektionsebene zu kombinieren, sollte die Ebene um ihre Frontalspur gedreht werden.

Wir zeichnen

6.1. Sei ein richtiges Prisma. Die Übertragung ist gegeben durch den Vektor: a) 0,5AB; b) AO, wobei O das Zentrum der unteren Basis ist. Zeichnen Sie während dieser Verschiebung das Bild des Prismas. Zeichnen Sie die Vereinigung und den Schnittpunkt des ursprünglichen und des resultierenden Prismas.

6.2. Gegeben sei ein regelmäßiges Tetraeder. Zeichnen Sie einen Tetraeder, der sich aus dem gegebenen ergibt durch: a) zentrale Symmetrie um die Mitte der Höhe; b) Spiegelsymmetrie in Bezug auf die Ebene, die durch die Mitte der dazu senkrechten Höhe geht; c) Drehung um 60° um seine Höhe; d) eine 90-Zoll-Drehung um die Linie, die die Mittelpunkte ihrer gegenüberliegenden Kanten verbindet. Zeichnen Sie die Vereinigung und den Schnittpunkt der ursprünglichen und resultierenden Tetraeder.

6.3. Würfel gegeben. Zeichnen Sie einen Würfel, der aus dem gegebenen erhalten wird als Ergebnis von: a) Übertragung auf einen Vektor, der entlang seiner Diagonale gerichtet ist, mit einer Länge von der Hälfte dieser Diagonale; b) zentrale Symmetrie um einen Punkt, der sich auf seiner Diagonalen befindet und ihn im Verhältnis 2: 1 teilt; c) Spiegelsymmetrie in Bezug auf eine Ebene, die sie entlang eines regelmäßigen Sechsecks schneidet; d) Drehen Sie 90 Zoll um eine gerade Linie, die durch die Mittelpunkte zweier paralleler Kanten verläuft, die nicht auf derselben Fläche liegen. Zeichnen Sie die Vereinigung und den Schnittpunkt des ursprünglichen und des resultierenden Würfels.

6.4. Zeichne die Körper, die durch Drehen des Kreises erhalten werden können

6.5. Zeichnen Sie die Körper, die Sie erhalten, indem Sie Folgendes drehen: a) einen Würfel um eine Kante; b) ein Würfel um die Diagonale; c) ein regelmäßiges Tetraeder um eine Kante; d) ein Kegel um eine gerade Linie, die parallel zur Achse verläuft und außerhalb davon verläuft.

Sind am Planen

6.6. Wie finde ich das Volumen und die Oberfläche von Figuren - Vereinigungen und Schnittmengen - aus den Aufgaben 6.1, 6.2?

6.7. Wie findet man Volumen und Oberfläche der Figuren aus Aufgabe 6.5?

Einführung

6.8. Kann das Symmetriezentrum eines Körpers nicht zu ihm gehören?

6.9. Zwei gleiche Segmente: a) parallel; b) genau einen gemeinsamen Punkt haben; c) sich kreuzen. Welche Bewegung kann einer von ihnen auf dem anderen zeigen?

6.10. Zwei Segmente sind bezüglich zweier Ebenen zueinander symmetrisch. Wie groß wird die Zahl sein, wenn ihre Enden durch Segmente in Reihe geschaltet werden?

6.11. Alle möglichen Ebenen werden durch eine Gerade gezogen. Dieser Punkt wird von all diesen Ebenen reflektiert. Welche Form haben alle erhaltenen Punkte?

6.12. Stimmt es, dass: a) ein geneigtes Parallelepiped, dessen zwei Flächen senkrecht zur Grundfläche stehen, eine Symmetrieebene hat; b) unter den Flächen eines Parallelepipeds mit einer Symmetrieebene gibt es Rechtecke; c) ist ein Quader mit zwei Symmetrieebenen rechteckig?

6.13. Wie schneidet man einen Würfel in drei gleiche Pyramiden?

Bewerten

6.14. Ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse d dreht sich um einen der Schenkel. Unter welcher Bedingung wird das Volumen des Rotationskörpers am größten sein?

6.15. Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks ist P. Dieses Dreieck dreht sich um die Basis. Welches dieser Dreiecke ergibt das größte Volumen des Rotationskörpers?

Wir denken

6.16. Der Mittelpunkt eines Würfels spiegelt sich in der Ebene jeder seiner Flächen wider. Beweisen Sie, dass die erhaltenen Punkte die Eckpunkte des Oktaeders sind. Ist es möglich, auf diese Weise andere reguläre Polyeder zu erhalten?

6.17. Dieser Ball enthält:

a) ein regelmäßiger Tetraeder;

b) Würfel. Die Flächen dieses Polyeders wurden bis zum Schnittpunkt mit der Kugel verlängert. In welche Formen ist die Kugel unterteilt? In welche Form ist der Ball unterteilt? Wie viele von ihnen sind einander gleich?

Erkunden

6.18. Ist die Bewegung des Raums eine solche Transformation, die einen Punkt mit Koordinaten einem Punkt mit Koordinaten zuordnet:

6.19. Ein Polyeder hat ein Symmetriezentrum, ein Zentrum einer eingeschriebenen Kugel, ein Zentrum einer eingeschriebenen Kugel und ein Massenzentrum. Wie viele dieser Punkte können zusammenfallen?

Wir betreten die Universität

6.20. Vom Ende des Durchmessers der Kugel wird eine Sehne gezogen, so dass die durch Drehen um diesen Durchmesser gebildete Oberfläche das Volumen der Kugel in zwei gleiche Teile teilt. Bestimmen Sie den Winkel zwischen Sehne und Durchmesser.

6.21. Ein gleichseitiges Dreieck mit der Seite a dreht sich um eine Außenachse, die parallel zur Seite des Dreiecks und in einem Abstand von der Hälfte der Höhe des Dreiecks von ihr beabstandet ist. Finden Sie das Volumen des Rotationskörpers.

6.22. Das Dreieck dreht sich um die Winkelhalbierende AD. Beweisen Sie, dass die Flächeninhalte der in diesem Fall durch die Seiten AB und AC beschriebenen Flächen sich wie die Volumen verhalten, die durch Drehen der Teile ABD und erhalten werden

6.23. Ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Basis a und der Winkel an der Basis a ist, dreht sich um eine gerade Linie, die durch eines der Enden der Basis senkrecht zu ihr verläuft. Finden Sie die Oberfläche des resultierenden Rotationskörpers.

6.24. Der Teil des Quadrats ABCD, der nach einem Viertelkreis mit einem Centum am Scheitelpunkt D und Radien gleich der Seite des Quadrats übrig bleibt, dreht sich um eine Achse, die parallel zur Diagonale AC durch D verläuft . Finden Sie das Volumen des resultierenden Rotationskörpers, wenn die Seite des Quadrats a ist.

6.25. Die Fläche eines rechteckigen Trapezes ABCD ist gleich , die Länge der Höhe AB ist gleich h, dem Wert des spitzen Winkels ADC des Trapezes

gleich a. Punkt E wird auf der Seite von CD genommen, so dass . Finden Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie das Viereck ABED um die Linie AB drehen.

6.26. Finden Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie ein regelmäßiges Sechseck um seine Seite drehen, das gleich a ist

6.27. Die Punkte A und B sind auf dem Kreis eines Halbkreises mit dem Radius R angegeben. Wenn N eines der Enden des Durchmessers und O der Mittelpunkt des Kreises ist, dann Bestimmen Sie die Gesamtoberfläche des Körpers, der von gebildet wird Drehung des Kreissektors AOB um den Durchmesser.

6.28. Gegeben sei ein regulärer Tetraeder ABCD. Jeder seiner Scheitelpunkte wird bezüglich der Ebene der ihm gegenüberliegenden Fläche symmetrisch gespiegelt, wodurch jeweils die KLMN-Punkte erhalten werden. Finden Sie das Verhältnis der Volumina des ursprünglichen und des resultierenden Tetraeders.

6.29. Segmente werden in den Tetraeder gezeichnet, der seine Eckpunkte mit den Schnittpunkten der Mittelstreifen gegenüberliegender Flächen verbindet. Sie schneiden sich alle im Punkt O. Der zweite Tetraeder ist bezüglich des Punktes O symmetrisch zum ersten. Das Volumen des ursprünglichen Tetraeders ist V. Finde das Volumen des gemeinsamen Teils der beiden Tetraeder.

Antwort: 0,5 V.

6.30. Die Seite der Grundfläche eines regelmäßigen Prismas hat die Länge a und die Seitenkante hat die Länge 1,125 a. Punkt E ist die Mitte der Kante AB, und Punkt M liegt auf der Strecke EC und EM EC. Das zweite Prisma ist in Bezug auf eine gerade Linie symmetrisch zum Prisma. Bestimmen Sie das Volumen des gemeinsamen Teils dieser Prismen.

6.31. Gegeben sei ein regelmäßiger Tetraeder vom Volumen V. Der zweite Tetraeder entsteht aus dem ersten durch Drehung um den Winkel

und um die gerade Linie, die die Mittelpunkte der sich kreuzenden Kanten des Tetraeders verbindet. Finden Sie das Volumen des gemeinsamen Teils dieser beiden Tetraeder.

6.32. Ein Würfel mit einer Kante a wird um 90 Zoll um eine gerade Linie gedreht, die die Mittelpunkte zweier paralleler Kanten verbindet, die nicht auf derselben Fläche liegen. Finden Sie das Volumen des gemeinsamen Teils des ursprünglichen Würfels und des gedrehten.

6.33. Eine regelmäßige dreieckige Pyramide mit der Grundseite a wird um einen Winkel von 60° um die Symmetrieachse gedreht. Bestimmen Sie das Volumen des gemeinsamen Teils der ursprünglichen und der gedrehten Pyramide, wenn die Seitenflächen rechtwinklige Dreiecke sind.

6.34. Ein regelmäßiger Tetraeder ist in eine Kugel mit Radius R eingeschrieben. Durch Drehen in einem Winkel - um die Höhe herum - wird ein neuer Tetraeder erhalten, der in eine Kugel eingeschrieben ist. Finden Sie das Volumen des Teils der Kugel außerhalb beider Tetraeder.

6.35. Ein Rotationskegel um eine Achse - eine gerade Linie, die senkrecht zu seiner Höhe verläuft und durch den Scheitelpunkt verläuft. Ermitteln Sie die Querschnittsfläche des resultierenden Rotationskörpers durch eine Ebene, die durch die Rotationsachse verläuft, wenn die Erzeugende des Kegels 5 und die Höhe 4 beträgt.

AUFGABEN Zu § 26

Ergänzung der Theorie

6.36. Beweisen Sie, dass eine Ebene in eine Ebene parallel zu ihr (wenn nicht in sich selbst) übergeht als Ergebnis von:

eine Überweisung; b) zentrale Symmetrie.

Sind am Planen

6.37. In einem Würfel ist Punkt O der Mittelpunkt der Fläche ABCD. So berechnen Sie den Winkel zwischen Linie B, O und:

a) gerade gerade Ebene

d) Ebene

6.38. Sei PABCD eine Pyramide, deren Basis die Raute ABCD ist. RVCAVS). Die Fläche der RVS-Fläche ist gleich S. Durch den Punkt K - die Mitte der Kante AD - wird ein Schnitt parallel zur Ebene PAB gezogen. Wie findet man seinen Bereich?

6.39. Jede Seitenfläche eines regelmäßigen Tetraeders hat sich um die Kanten der Basis um den gleichen Winkel nach außen gedreht. Dies führte zu einem Polyeder mit sechs Ecken und gleichen Kanten. In welchem ​​Winkel haben sich die Kanten gedreht?

Einführung

6.40. Können zwei ungleiche Kegel zwei gleiche Kreisabschnitte mit derselben Ebene haben, wenn sie auf einer Seite derselben Ebene stehen?

6.41. Die beiden Kreise sind zentralsymmetrisch und liegen nicht in der gleichen Ebene. Stimmt es, dass sie auf der Oberfläche liegen von: a) einer Kugel; b) ein Zylinder? Was ist, wenn diese Kreise spiegelsymmetrisch sind?

6.42. In diesem Fall sind zwei gleich:

a) eine Kugel b) ein Zylinder; c) Sind die Zapfen zentralsymmetrisch? Spiegelsymmetrisch?

6.43. Durch welche Drehungen lässt sich die Kugel auf sich selbst abbilden?

6.44. Durch welche Drehungen wird eine dieser Figuren auf die andere abgebildet, wenn diese Figuren sind: a) zwei gerade Linien; b) zwei Ebenen; c) zwei gleiche Bälle? Gibt es eine Drehung, die die zweite Figur auf die erste abbildet?

6.45. Erhalten wir immer einen konvexen Körper, indem wir eine konvexe Figur drehen?

Wir denken

6.46. Beweisen Sie unter Verwendung von Translationseigenschaften, dass: a) zwei Senkrechte zu einer Ebene parallel sind; b) zwei Ebenen senkrecht zu einer Geraden sind parallel; c) wenn eine Linie parallel zu einer Linie senkrecht zu einer Ebene ist, dann ist sie senkrecht zu der Ebene; d) die linearen Winkel eines Diederwinkels sind einander gleich.

6.47. Beweisen Sie, dass die Vereinigung zweier Ebenen eine Figur ist: a) zentralsymmetrisch; b) spiegelsymmetrisch.

6.48. Die Linie b wird aus der Linie a durch Spiegelung in der Ebene a erhalten. Diese Linien haben einen gemeinsamen Punkt. Beweisen Sie, dass dieser Punkt in der Ebene a liegt.

6.49. In einer Kugel mit Radius R werden zwei Ebenen durch die Mitte gezogen, die einen Winkel zwischen sich bilden. Wie kann man herausfinden, in welchem ​​​​Verhältnis sie das Volumen des Balls gebrochen haben?

6.50. Eine Ebene wird durch die Winkelhalbierende gezogen. Beweisen Sie, dass die Seiten eines Winkels mit ihm gleiche Winkel bilden.

Erkunden

6.51. Ist es möglich, den gesamten Raum mit gleichen Quadern zu füllen? Kann dies durch andere gleiche Polyeder erreicht werden?

6.52. Wird der durch das Symmetriezentrum verlaufende Schnitt eines zentralsymmetrischen Körpers zentralsymmetrisch sein?

6.53. Der Körper ist zentralsymmetrisch. Wird seine orthogonale Projektion zentralsymmetrisch sein? Wäre das Gegenteil wahr?

6.54. Jeder der beiden Körper ist zentralsymmetrisch. Werden sie zentralsymmetrisch sein: a) Vereinigung; b) Kreuzung?

6.55. Ein zentralsymmetrischer Körper wird durch eine Ebene geteilt. Ein Teil davon erwies sich als zentralsymmetrisch. Wird es einen weiteren Teil davon geben?

6.56. Gibt es ein Polyeder mit einer vorgegebenen Anzahl von Symmetrieebenen?

AUFGABEN Zu § 27

Ergänzung der Theorie

6.57. Beweisen Sie, dass die Zusammensetzung zweier Spiegelungen in sich schneidenden Ebenen eine Rotation und in zwei parallelen Ebenen eine Translation ist.

6.58. Zeichnen Sie eine Figur, die in sich selbst übergeht als Ergebnis von: a) einer Schraube; b) Spiegel drehen; c) Gleitreflexion.

6.59. Lassen Sie den Würfel Als Ergebnis einer Bewegung geht es in einen anderen Würfel über. Zeichnen Sie diesen anderen Würfel, wenn die Bewegung: a) eine Schraube ist, deren Rotationsachse durch die Mittelpunkte der Flächen verläuft

Vektor a, der Rotationswinkel ist gleich der Spiegeldrehung an der Rotationsachse , und Spiegelung in einer Ebene, die senkrecht zur Geraden steht und durch den Mittelpunkt des Würfels geht; c) Gleitreflexion, bei der die Reflexion in einer Ebene senkrecht zur Diagonale des Würfels erfolgt und durch die Mitte des Würfels geht und der Vektor gleich AC ist.

6.60. Sei RABC ein regulärer Tetraeder. Durch Bewegung geht es in einen anderen Tetraeder über. Zeichnen Sie dieses andere Tetraeder, wenn die Bewegung so ist:

a) eine Schraube mit einem Drehachsenzentrum der Basis), einem Drehwinkel von 60 "und einem Vektor

b) Spiegeldrehung mit Drehachse PQ, Drehwinkel 60° und Spiegelebene senkrecht zu PQ und durch die Mittelhöhe gehend

c) Streifreflexion mit einer Reflexionsebene, die durch PB und K verläuft - die Mitte des AC und ein Vektor von 0,5 KV.

Einführung

6.61. Bewahrt die Orientierung der Basis: a) Übersetzung; b) zentrale Symmetrie; c) Spiegelsymmetrie; d) drehen; e) Schraube; e) Spiegeldrehung; g) Gleitreflexion?

6.62. Hat die Bewegung Fixpunkte, wenn diese Bewegung: a) übergeht; b) zentrale Symmetrie; c) Spiegelsymmetrie; d) drehen; e) Schraube; e) Spiegelrotation; g) Gleitreflexion?

6.63. Gegeben sind zwei gleiche gleichschenklige Dreiecke. Welche Bewegungen können sie kombinieren, wenn sie Folgendes gemeinsam haben: a) die Oberseite gleicher Seiten; b) die Seite der Basis; c) laterale Seite; d) Median zur Basis; e) die Mittellinie der Seiten?

c) eine seiner Höhen zu einer anderen;

d) ein Segment, das die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten mit einem anderen solchen Segment verbindet;

e) der Schnitt von einer Symmetrieebene zur anderen ist gleich;

f) ein Abschnitt, der ein Quadrat zu einem anderen ist, der derselbe ist? Wird in einer solchen Bewegung die zweite Figur auf die erste abgebildet?

6.66. Als Ergebnis welcher Bewegungen wird auf sich selbst angezeigt:

ein Schnitt b) Gerade; c) ein Kreis; d) Quadrat; e) ein regelmäßiges Vieleck; e) Raute; g) Ebene; h) Flächenwinkel?

6.67. Als Ergebnis welcher Bewegungen wird der Tetraeder RABC auf sich selbst angezeigt, wobei: a) ; b)

6.68. Der Körper ist die Vereinigung zweier Kugeln, aber keine Kugel. Welche Bewegungen wird es auf sich selbst angezeigt?

6.69. Eine viereckige Pyramide hat: a) alle Seitenkanten sind gleich und die gegenüberliegenden flachen Winkel an der Spitze sind gleich;

b) alle flachen Winkel am Scheitel sind gleich und gegenüberliegende Seitenkanten sind gleich. Mit welchen Bewegungen lässt es sich selbst kombinieren?

6.70. Welche Bewegungen spiegeln das Antiprisma auf sich selbst?

6.71. So teilen Sie einen Würfel in: a) 8 gleiche Würfel; b) 6 gleiche Pyramiden; c) 3 gleiche Pyramiden; d) 4 gleiche dreieckige Prismen?

6.72. Wie teilt man ein rechtwinkliges Dreiecksprisma in 3 gleiche Tetraeder? Sind einige von ihnen gleich?

6.73. So teilen Sie ein Parallelepiped in: a) 6 gleich große Pyramiden; b) drei gleiche Pyramiden? Sind einige von ihnen gleich?

6.74. In eine Kugel mit Radius 1 wurden drei Radien OA, OB, OS eingezeichnet, von denen je zwei senkrecht zueinander stehen. Welcher Teil des Volumens der Kugel wird durch Viertel der Großkreise der Kugel OAB, OAC, OBC und der Oberfläche begrenzt? Welcher Teil der Oberfläche?

Wir denken

6.75. Zwei regelmäßige viereckige Pyramiden und haben eine gemeinsame Basis ABCD. Punkt K ist die Mitte der Kante, Punkt L ist die Mitte der Kante, Punkt M ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden im Gesicht, Punkt N ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden im Gesicht. Beweise das:

e) der Abstand vom Punkt K zur Ebene ist gleich dem Abstand vom Punkt L zur Ebene des RHVS.

Erkunden

6.76. Nehmen Sie die Zusammensetzung zweier Ihnen bekannter Bewegungen und finden Sie heraus: a) ändert sie die Ausrichtung der Ebene; b) hat es Fixpunkte?

6.77. Wie viele Fixpunkte kann jede Ihnen bekannte Bewegung haben? Wie befinden sie sich? Und wie viele Festnetzanschlüsse darf es haben? Flugzeuge?

6.78. Die Linie b wird aus der Linie a durch eine Bewegung erhalten. Stellen Sie die Position dieser Linien untereinander fest, wenn diese Bewegung: a) eine Schraube ist; b) Spiegel drehen; c) Spiegelreflexion.

Schalten

6,79. Ein Draht wird auf einen Zylinder mit Radius R und Höhe H gewickelt. Woher weißt du seine Länge?

6,80. Sie müssen eine Wendeltreppe entwerfen. Wie werden Sie handeln?

6.81. Können Sie erklären, wie ein Eckreflektor funktioniert? Es besteht aus drei paarweise senkrecht stehenden Spiegeln.