Trifanova Marina Anatoljewna
Mathematiklehrer, Gymnasium Nr. 48 (Multiprofil)

Der dreieinige Zweck der Lektion:

Lehrreich:
Systematisierung und Verallgemeinerung des Wissens über das Lösen von Gleichungen höheren Grades.
Entwicklung:
Förderung der Entwicklung des logischen Denkens, der Fähigkeit zum selbstständigen Arbeiten, der Fähigkeit zur gegenseitigen Kontrolle und Selbstkontrolle, der Fähigkeit zu sprechen und zuzuhören.
Pflege:
Entwicklung der Gewohnheit der ständigen Beschäftigung, Erziehung der Reaktionsfähigkeit, harte Arbeit, Genauigkeit.

Unterrichtsart:

eine Lektion in der komplexen Anwendung von Wissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten.

Unterrichtsformular:

Lüften, körperliche Minute, verschiedene Formen der Arbeit.

Ausrüstung:

Referenznotizen, Aufgabenkarten, Unterrichtsüberwachungsmatrix.

WÄHREND DER KLASSEN

I. Organisatorischer Moment

1. Teilen Sie den Schülern den Zweck der Lektion mit.
2. Überprüfung der Hausaufgaben (Anlage 1). Arbeiten Sie mit dem Basic Abstract (Anhang 2).

Gleichungen und Lösungen für jeden sind an der Tafel geschrieben. Die Schüler überprüfen die Antworten und analysieren kurz die Lösung jeder Gleichung oder beantworten die Fragen des Lehrers (Frontalbefragung). Selbstkontrolle - Die Schüler geben sich selbst Noten und übergeben dem Lehrer Notizbücher, um die Korrektur der Noten oder ihre Zustimmung zu überprüfen. Grundschule an die Tafel geschrieben:

„5+“ - 6 Gleichungen;
„5“ - 5 Gleichungen;
„4“ - 4 Gleichungen;
„3“ - 3 Gleichungen.

Lehrerfragen für Hausaufgaben:

1 Gleichung

1. Was ist die Änderung der Variablen in der Gleichung?
2. Welche Gleichung ergibt sich nach der Änderung der Variablen?

2 Gleichung

1. Welches Polynom teilt beide Seiten der Gleichung?
2. Welche Substitution von Variablen wurde erhalten?

3 Gleichung

1. Welche Polynome müssen multipliziert werden, um die Lösung dieser Gleichung zu vereinfachen?

4 Gleichung

1. Benennen Sie die Funktion f(x).
2. Wie wurden die anderen Wurzeln gefunden?

5 Gleichung

1. Wie viele Intervalle wurden erhalten, um die Gleichung zu lösen?

6 Gleichung

1. Wie könnte diese Gleichung gelöst werden?
2. Welche Lösung ist rationaler?

II. Gruppenarbeit ist der Hauptteil des Unterrichts.

Die Klasse wird in 4 Gruppen eingeteilt. Jede Gruppe erhält eine Karte mit theoretischen und praktischen (Anlage 3) Fragen: „Zerlegen Sie die vorgeschlagene Methode zur Lösung der Gleichung und erläutern Sie sie anhand dieses Beispiels.“

1. Gruppenarbeit 15 Minuten.
2. Beispiele werden an die Tafel geschrieben (die Tafel ist in 4 Teile geteilt).
3. Der Gruppenbericht dauert 2-3 Minuten.
4. Der Lehrer korrigiert die Berichte der Gruppen und hilft bei Schwierigkeiten.

Die Gruppenarbeit wird auf den Karten Nr. 5 - 8 fortgesetzt. Für jede Gleichung sind 5 Minuten für die Diskussion in der Gruppe vorgesehen. Dann hat die Tafel einen Bericht über diese Gleichung - eine kurze Analyse der Lösung. Die Gleichung ist möglicherweise nicht vollständig gelöst - sie wird zu Hause fertig gestellt, aber der gesamte Ablauf ihrer Lösung wird in der Klasse besprochen.

III. Selbstständige Arbeit. Anhang 4.

1. Jeder Schüler bekommt eine individuelle Aufgabe.
2. Die Arbeit dauert 20 Minuten.
3. 5 Minuten vor Unterrichtsende gibt der Lehrer offene Antworten für jede Gleichung.
4. Die Schüler tauschen die Hefte im Kreis aus und überprüfen die Antworten mit einem Freund. Bewertungen abgeben.
5. Hefte werden dem Lehrer zur Kontrolle und Korrektur der Noten ausgehändigt.

IV. Zusammenfassung der Lektion.

Hausaufgaben.

Vervollständigen Sie die Lösung unvollständiger Gleichungen. Bereiten Sie sich auf den Kontrollschnitt vor.

Benotung.

Die Verwendung von Gleichungen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, Konstruktionen und sogar im Sport verwendet. Gleichungen werden seit der Antike vom Menschen verwendet, und seitdem hat ihre Verwendung nur zugenommen. In der Mathematik sind Gleichungen höheren Grades mit ganzzahligen Koeffizienten weit verbreitet. Um eine solche Gleichung zu lösen, benötigen Sie:

Bestimmen Sie die rationalen Wurzeln der Gleichung;

Faktorisieren Sie das Polynom heraus, das auf der linken Seite der Gleichung steht;

Finden Sie die Wurzeln der Gleichung.

Angenommen, wir haben eine Gleichung der folgenden Form:

Lassen Sie uns alle seine wahren Wurzeln finden. Multipliziere die linke und rechte Seite der Gleichung mit \

Lassen Sie uns die Variablen ändern \

So haben wir eine reduzierte Gleichung vierten Grades erhalten, die nach dem Standardalgorithmus gelöst wird: Wir überprüfen die Teiler, führen die Division durch und stellen als Ergebnis fest, dass die Gleichung zwei reelle Wurzeln \ und zwei komplexe hat Einsen. Auf unsere Gleichung vierten Grades erhalten wir folgende Antwort:

Wo kann ich eine Gleichung höherer Potenzen online mit einem Löser lösen?

Sie können die Gleichung auf unserer Website https: // site. Mit dem kostenlosen Online-Solver können Sie eine Online-Gleichung beliebiger Komplexität in Sekundenschnelle lösen. Sie müssen lediglich Ihre Daten in den Solver eingeben. Sie können sich auch die Videoanleitung ansehen und lernen, wie Sie die Gleichung auf unserer Website lösen. Und wenn Sie Fragen haben, können Sie diese in unserer Vkontakte-Gruppe http://vk.com/pocketteacher stellen. Treten Sie unserer Gruppe bei, wir helfen Ihnen gerne weiter.

"Methoden zum Lösen von Gleichungen höheren Grades"

( Kiselevsky-Lesungen)

Mathematiklehrerin Afanasyeva L.A.

Sekundarschule MKOU Verkhnekarachanskaya

Bezirk Gribanowski, Oblast Woronesch

2015

Die mathematische Bildung an einer allgemeinbildenden Schule ist ein wesentlicher Bestandteil der allgemeinen Bildung und der allgemeinen Kultur eines modernen Menschen.

Der berühmte deutsche Mathematiker Courant schrieb: „Seit mehr als zweitausend Jahren ist der Besitz einiger, nicht zu oberflächlicher Kenntnisse auf dem Gebiet der Mathematik ein notwendiger Bestandteil des intellektuellen Inventars eines jeden gebildeten Menschen.“ Und unter diesen Kenntnissen gehört nicht zuletzt die Fähigkeit, Gleichungen zu lösen.

Schon in der Antike erkannten die Menschen, wie wichtig es war, das Lösen algebraischer Gleichungen zu lernen. Vor etwa 4.000 Jahren beherrschten babylonische Wissenschaftler die Lösung einer quadratischen Gleichung und lösten Systeme aus zwei Gleichungen, von denen eine Gleichung zweiten Grades war. Mit Hilfe von Gleichungen wurden verschiedene Probleme der Landvermessung, Architektur und des Militärwesens gelöst, mannigfaltige Fragen der Praxis und Naturwissenschaft auf sie reduziert, da die exakte Sprache der Mathematik es ermöglicht, Tatsachen und Zusammenhänge einfach auszudrücken, die, in gewöhnlicher Sprache ausgedrückt werden, kann verwirrend und komplex erscheinen. Eine Gleichung ist eines der wichtigsten Konzepte in der Mathematik. Die Entwicklung von Methoden zum Lösen von Gleichungen, beginnend mit der Geburt der Mathematik als Wissenschaft, war lange Zeit das Hauptthema des Studiums der Algebra. Und heute wird im Mathematikunterricht ab der ersten Bildungsstufe viel Wert darauf gelegt, Gleichungen verschiedener Art zu lösen.

Es gibt keine universelle Formel, um die Wurzeln einer algebraischen Gleichung n-ten Grades zu finden. Viele kamen natürlich auf die verlockende Idee, irgendeinen Abschluss zu finden n Formeln, die die Wurzeln der Gleichung in Form ihrer Koeffizienten ausdrücken würden, das heißt, würden die Gleichung in Radikalen lösen. Das "düstere Mittelalter" erwies sich jedoch in Bezug auf das zur Diskussion stehende Problem als so düster wie möglich - sieben Jahrhunderte lang fand niemand die erforderlichen Formeln! Erst im 16. Jahrhundert gelang es den italienischen Mathematikern weiter zu gehen - Formeln für zu finden n =3 und n =4 . Gleichzeitig beschäftigten sich Scipio Dal Ferro, sein Schüler Fiori und Tartaglia mit der Frage der allgemeinen Lösung von Gleichungen 3. Grades. 1545 wurde das Buch des italienischen Mathematikers D. Cardano "Great Art, or On the Rules of Algebra" veröffentlicht, in dem neben anderen Fragen der Algebra allgemeine Methoden zur Lösung kubischer Gleichungen sowie eine Lösungsmethode betrachtet werden Gleichungen 4. Grades, entdeckt von seinem Schüler L. Ferrari. Eine vollständige Darstellung der Probleme im Zusammenhang mit der Lösung von Gleichungen 3. und 4. Grades wurde von F. Viet gegeben. Und in den 20er Jahren des 19. Jahrhunderts bewies der norwegische Mathematiker N. Abel, dass die Wurzeln von Gleichungen des 5. und höheren Grades nicht durch Radikale ausgedrückt werden können.

Der Prozess, Lösungen für eine Gleichung zu finden, besteht normalerweise darin, die Gleichung durch eine äquivalente zu ersetzen. Das Ersetzen einer Gleichung durch eine äquivalente basiert auf der Anwendung von vier Axiomen:

1. Wenn gleiche Werte um die gleiche Zahl erhöht werden, sind die Ergebnisse gleich.

2. Wenn dieselbe Zahl von gleichen Werten subtrahiert wird, sind die Ergebnisse gleich.

3. Wenn gleiche Werte mit derselben Zahl multipliziert werden, sind die Ergebnisse gleich.

4. Wenn gleiche Werte durch dieselbe Zahl geteilt werden, sind die Ergebnisse gleich.

Da die linke Seite der Gleichung P(x) = 0 ein Polynom n-ten Grades ist, ist es sinnvoll, sich an folgende Aussagen zu erinnern:

Aussagen über die Wurzeln eines Polynoms und seiner Teiler:

1. Das Polynom n-ten Grades hat eine Anzahl von Wurzeln, die die Anzahl n nicht überschreitet, und die Wurzeln der Multiplizität m kommen genau m mal vor.

2. Ein Polynom ungeraden Grades hat mindestens eine reelle Nullstelle.

3. Wenn α die Wurzel von Р(х) ist, dann Р n (х) = (х - α)·Q n - 1 (x), wobei Q n - 1 (x) ein Polynom vom Grad (n - 1) ist. .

4. Jede ganzzahlige Wurzel eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist ein Teiler des freien Terms.

5. Ein reduziertes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten kann keine gebrochen rationalen Wurzeln haben.

6. Für ein Polynom dritten Grades

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d Eines von zwei Dingen ist möglich: Entweder zerfällt es in ein Produkt aus drei Binomen

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ) oder zerfällt in das Produkt eines Binoms und eines quadratischen Trinoms P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x2 + βx + γ).

7. Jedes Polynom vierten Grades wird zum Produkt zweier quadratischer Trinome.

8. Ein Polynom f(x) ist ohne Rest durch ein Polynom g(x) teilbar, wenn es ein Polynom q(x) gibt, so dass f(x) = g(x) q(x). Um Polynome zu dividieren, wird die Regel der "Division durch eine Ecke" angewendet.

9. Damit das Polynom P(x) durch das Binomial (x – c) teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass c die Wurzel von P(x) ist (Korollar zum Satz von Bezout).

10. Satz von Vieta: Wenn x 1, x 2, ..., x n die reellen Nullstellen des Polynoms sind

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, dann gelten die folgenden Gleichungen:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n ein n / ein 0.

Lösung von Beispielen

Beispiel 1 . Finden Sie den Rest, nachdem Sie P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 durch (x - 1/3) geteilt haben.

Entscheidung. Gemäß der Folgerung aus dem Satz von Bezout: "Der Rest der Division eines Polynoms durch ein Binom (x - c) ist gleich dem Wert des Polynoms in c." Lassen Sie uns P(1/3) = 0 finden. Daher ist der Rest 0 und die Zahl 1/3 ist die Wurzel des Polynoms.

Antwort: R = 0.

Beispiel 2 . Teilen Sie die "Ecke" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 durch (x + 2). Finde den Rest und den unvollständigen Quotienten.

Entscheidung:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – x

X2 - 2x

X2 - 2x

Antwort: R = 3; Quotient: 2x 2 - x.

Grundlegende Methoden zum Lösen von Gleichungen höheren Grades

1. Einführung einer neuen Variablen

Die Methode zum Einführen einer neuen Variablen besteht darin, dass zum Lösen der Gleichung f (x) \u003d 0 eine neue Variable (Substitution) t \u003d x n oder t \u003d g (x) eingeführt und f (x) durch t ausgedrückt wird , wodurch eine neue Gleichung r (t) erhalten wird. Lösen Sie dann die Gleichung r(t), finden Sie die Wurzeln: (t 1 , t 2 , …, t n). Danach wird ein Satz von n Gleichungen q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n erhalten, aus denen die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung gefunden werden.

Beispiel;(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Lösung: (x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Ersatz (x 2 + x + 1) = t.

t2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Umgekehrter Austausch:

x 2 + x + 1 = 2 oder x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 \u003d 0 oder x 2 + x \u003d 0;

Aus der ersten Gleichung: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, aus der zweiten: 0 und -1.

Die Methode der Einführung einer neuen Variablen findet Anwendung beim Lösen rückgabefähig Gleichungen, dh Gleichungen der Form a 0 x n + a 1 x n - 1 + .. + a n - 1 x + a n \u003d 0, bei denen die Koeffizienten der Terme der Gleichung gleich weit vom Anfang und Ende entfernt sind , sind gleich.

2. Faktorisierung durch die Gruppierungsmethode und abgekürzte Multiplikationsformeln

Grundlage dieser Methode ist es, Terme so zu gruppieren, dass jede Gruppe einen gemeinsamen Faktor enthält. Dazu müssen Sie manchmal einige künstliche Tricks anwenden.

Beispiel: x 4 - 3 x 2 + 4 x - 3 = 0.

Entscheidung. Stellen Sie sich vor - 3x 2 \u003d -2x 2 - x 2 und Gruppe:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 oder x 2 + x - 3 \u003d 0.

In der ersten Gleichung gibt es keine Wurzeln, ab der zweiten: x 1, 2 = (-1 ± √13) / 2.

3. Faktorisierung nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten

Das Wesen des Verfahrens besteht darin, dass das ursprüngliche Polynom in Faktoren mit unbekannten Koeffizienten zerlegt wird. Unter Verwendung der Eigenschaft, dass Polynome gleich sind, wenn ihre Koeffizienten bei denselben Potenzen gleich sind, werden die unbekannten Entwicklungskoeffizienten gefunden.

Beispiel: x 3 + 4 x 2 + 5 x + 2 = 0.

Entscheidung. Ein Polynom 3. Grades lässt sich in ein Produkt aus Linear- und Quadratfaktor zerlegen.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b - a) x 2 + (c - ab) x - ac.

Lösung des Systems:

wir bekommen

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Die Wurzeln der Gleichung (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 sind leicht zu finden.

Antwort 1; -2.

4. Die Methode zur Auswahl der Wurzel nach dem höchsten und freien Koeffizienten

Die Methode basiert auf der Anwendung von Theoremen:

1) Jede ganzzahlige Wurzel eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist ein Teiler des freien Terms.

2) Damit der irreduzible Bruch p / q (p ist eine ganze Zahl, q ist eine natürliche) die Wurzel einer Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ist, muss die Zahl p ein ganzzahliger Teiler des freien Terms a 0 sein , und q ist ein natürlicher Teiler des höchsten Koeffizienten.

Beispiel: 6x3 + 7x2 - 9x + 2 = 0.

Entscheidung:

2: p = ±1, ±2

6: q = 1, 2, 3, 6.

Also p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Nachdem wir eine Wurzel gefunden haben, zum Beispiel - 2, werden wir andere Wurzeln finden, indem wir eine Division durch eine Ecke, die Methode der unbestimmten Koeffizienten oder das Horner-Schema verwenden.

Antwort: -2; 1/2; 1/3.

5. Grafische Methode.

Diese Methode besteht darin, Diagramme zu zeichnen und die Eigenschaften von Funktionen zu verwenden.

Beispiel: x 5 + x - 2 = 0

Stellen wir die Gleichung in der Form x 5 \u003d - x + 2 dar. Die Funktion y \u003d x 5 nimmt zu und die Funktion y \u003d - x + 2 ab. Dies bedeutet, dass die Gleichung x 5 + x - 2 \u003d 0 eine einzige Wurzel -1 hat.

6. Multiplikation einer Gleichung mit einer Funktion.

Manchmal wird die Lösung einer algebraischen Gleichung erheblich erleichtert, indem beide Teile mit einer Funktion multipliziert werden - einem Polynom im Unbekannten. Gleichzeitig muss daran erinnert werden, dass zusätzliche Wurzeln auftreten können - die Wurzeln des Polynoms, mit dem die Gleichung multipliziert wurde. Daher muss man entweder mit einem Polynom multiplizieren, das keine Wurzeln hat, und eine äquivalente Gleichung erhalten, oder mit einem Polynom mit Wurzeln multiplizieren, und dann muss jede dieser Wurzeln in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden und bestimmt werden, ob diese Zahl ihre Wurzel ist.

Beispiel. Löse die Gleichung:

X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1 = 0. (1)

Entscheidung: Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit dem Polynom X 2 + 1, das keine Wurzeln hat, erhalten wir die Gleichung:

(X 2 + 1) (X 8 - X 6 + X 4 - X 2 + 1) \u003d 0 (2)
Äquivalent zu Gleichung (1). Gleichung (2) kann geschrieben werden als:

X 10 + 1= 0 (3)
Es ist klar, dass Gleichung (3) keine echten Wurzeln hat, also hat Gleichung (1) keine.

Antworten: es gibt keine lösungen.

Zusätzlich zu den oben genannten Methoden zum Lösen von Gleichungen höheren Grades gibt es noch andere. Zum Beispiel Auswahl eines vollen Quadrats, Horner-Schema, Darstellung eines Bruchs in Form von zwei Brüchen. Von den allgemeinen Methoden zum Lösen von Gleichungen höheren Grades, die am häufigsten verwendet werden, verwenden sie: die Methode, die linke Seite der Gleichung in Faktoren zu zerlegen;

Variablenersetzungsmethode (Methode zur Einführung einer neuen Variablen); grafische Weise. Wir stellen diese Methoden den Schülern der 9. Klasse beim Studium des Themas „Die ganze Gleichung und ihre Wurzeln“ vor. In dem Lehrbuch Algebra 9 (Autoren Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk und andere) der letzten Veröffentlichungsjahre werden die wichtigsten Methoden zum Lösen von Gleichungen höheren Grades ausführlich genug behandelt. Darüber hinaus wird im Abschnitt „Für diejenigen, die mehr wissen möchten“ meines Erachtens auf zugängliche Weise Material zur Anwendung von Sätzen auf die Wurzel eines Polynoms und ganzzahlige Wurzeln einer ganzen Gleichung beim Lösen höherer Gleichungen präsentiert Grad. Gut vorbereitete Schüler setzen sich interessiert mit diesem Material auseinander und präsentieren die gelösten Gleichungen dann ihren Mitschülern.

Fast alles, was uns umgibt, ist auf die eine oder andere Weise mit Mathematik verbunden. Erfolge in Physik, Ingenieurwesen, Informatik bestätigen dies nur. Und was sehr wichtig ist – die Lösung vieler praktischer Probleme läuft darauf hinaus, verschiedene Arten von Gleichungen zu lösen, die Sie lernen müssen, wie man sie löst.

Prüfen Lösen von Gleichungen mit einer Variablen höheren Grades als die zweite.

Der Grad der Gleichung P(x) = 0 ist der Grad des Polynoms P(x), d.h. die größte der Potenzen ihrer Terme mit einem Koeffizienten ungleich Null.

So hat zum Beispiel die Gleichung (x 3 - 1) 2 + x 5 \u003d x 6 - 2 einen fünften Grad, weil Nach dem Öffnen von Klammern und dem Bringen ähnlicher Klammern erhalten wir eine äquivalente Gleichung x 5 - 2x 3 + 3 \u003d 0 fünften Grades.

Erinnern Sie sich an die Regeln, die erforderlich sind, um Gleichungen mit höherem Grad als dem zweiten zu lösen.

Aussagen über die Wurzeln eines Polynoms und seiner Teiler:

1. Das Polynom n-ten Grades hat eine Anzahl von Wurzeln, die die Anzahl n nicht überschreitet, und die Wurzeln der Multiplizität m kommen genau m mal vor.

2. Ein Polynom ungeraden Grades hat mindestens eine reelle Nullstelle.

3. Wenn α die Wurzel von Р(х) ist, dann Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), wobei Q n – 1 (x) ein Polynom vom Grad (n – 1) ist .

4.

5. Ein reduziertes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten kann keine gebrochen rationalen Wurzeln haben.

6. Für ein Polynom dritten Grades

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d Eines von zwei Dingen ist möglich: Entweder zerfällt es in ein Produkt aus drei Binomen

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ) oder zerfällt in das Produkt eines Binoms und eines quadratischen Trinoms P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x2 + βx + γ).

7. Jedes Polynom vierten Grades wird zum Produkt zweier quadratischer Trinome.

8. Ein Polynom f(x) ist ohne Rest durch ein Polynom g(x) teilbar, wenn es ein Polynom q(x) gibt, so dass f(x) = g(x) q(x). Um Polynome zu dividieren, wird die Regel der "Division durch eine Ecke" angewendet.

9. Damit das Polynom P(x) durch das Binomial (x – c) teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die Zahl c die Wurzel von P(x) ist (Korollar zum Satz von Bezout).

10. Satz von Vieta: Wenn x 1, x 2, ..., x n die reellen Nullstellen des Polynoms sind

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, dann gelten die folgenden Gleichungen:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n ein n / ein 0.

Lösung von Beispielen

Beispiel 1

Finden Sie den Rest, nachdem Sie P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 durch (x - 1/3) geteilt haben.

Entscheidung.

Gemäß der Folgerung aus dem Satz von Bezout: "Der Rest der Division eines Polynoms durch ein Binom (x - c) ist gleich dem Wert des Polynoms in c." Lassen Sie uns P(1/3) = 0 finden. Daher ist der Rest 0 und die Zahl 1/3 ist die Wurzel des Polynoms.

Antwort: R = 0.

Beispiel 2

Teilen Sie die "Ecke" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 durch (x + 2). Finde den Rest und den unvollständigen Quotienten.

Entscheidung:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Antwort: R = 3; Quotient: 2x 2 - x.

Grundlegende Methoden zum Lösen von Gleichungen höheren Grades

1. Einführung einer neuen Variablen

Die Methode zur Einführung einer neuen Variablen ist bereits vom Beispiel biquadratischer Gleichungen bekannt. Es besteht darin, dass zur Lösung der Gleichung f (x) \u003d 0 eine neue Variable (Substitution) t \u003d x n oder t \u003d g (x) eingeführt und f (x) durch t ausgedrückt wird, wodurch a erhalten wird neue Gleichung r (t). Lösen Sie dann die Gleichung r(t), finden Sie die Wurzeln:

(t 1 , t 2 , …, t n). Danach wird ein Satz von n Gleichungen q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n erhalten, aus denen die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung gefunden werden.

Beispiel 1

(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Entscheidung:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Ersatz (x 2 + x + 1) = t.

t2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Umgekehrter Austausch:

x 2 + x + 1 = 2 oder x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x – 1 = 0 oder x 2 + x = 0;

Antwort: Aus der ersten Gleichung: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, aus der zweiten: 0 und -1.

2. Faktorisierung durch die Gruppierungsmethode und abgekürzte Multiplikationsformeln

Die Grundlage dieser Methode ist ebenfalls nicht neu und besteht darin, Begriffe so zu gruppieren, dass jede Gruppe einen gemeinsamen Faktor enthält. Dazu müssen Sie manchmal einige künstliche Tricks anwenden.

Beispiel 1

x 4 - 3 x 2 + 4 x - 3 = 0.

Entscheidung.

Stellen Sie sich vor - 3x 2 = -2x 2 - x 2 und gruppieren Sie:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 oder x 2 + x - 3 \u003d 0.

Antwort: In der ersten Gleichung gibt es keine Wurzeln, von der zweiten: x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2.

3. Faktorisierung nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten

Das Wesen des Verfahrens besteht darin, dass das ursprüngliche Polynom in Faktoren mit unbekannten Koeffizienten zerlegt wird. Unter Verwendung der Eigenschaft, dass Polynome gleich sind, wenn ihre Koeffizienten bei denselben Potenzen gleich sind, werden die unbekannten Entwicklungskoeffizienten gefunden.

Beispiel 1

x 3 + 4 x 2 + 5 x + 2 = 0.

Entscheidung.

Ein Polynom 3. Grades lässt sich in ein Produkt aus Linear- und Quadratfaktor zerlegen.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.

Lösung des Systems:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac=2,

(a = -1,
(b=3,
(c = 2, d.h.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Die Wurzeln der Gleichung (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 sind leicht zu finden.

Antwort 1; -2.

4. Die Methode zur Auswahl der Wurzel nach dem höchsten und freien Koeffizienten

Die Methode basiert auf der Anwendung von Theoremen:

1) Jede ganzzahlige Wurzel eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist ein Teiler des freien Terms.

2) Damit der irreduzible Bruch p / q (p ist eine ganze Zahl, q ist eine natürliche) die Wurzel einer Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ist, ist es notwendig, dass die Zahl p ein ganzzahliger Teiler des freien Terms a 0 ist, und q ist ein natürlicher Teiler des höchsten Koeffizienten.

Beispiel 1

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

Entscheidung:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Also p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Nachdem wir eine Wurzel gefunden haben, zum Beispiel - 2, werden wir andere Wurzeln finden, indem wir eine Division durch eine Ecke, die Methode der unbestimmten Koeffizienten oder das Horner-Schema verwenden.

Antwort: -2; 1/2; 1/3.

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