Im fünften Jahrhundert v. Chr. formulierte der antike griechische Philosoph Zeno von Elea seine berühmten Aporien, von denen die berühmteste die Aporie „Achilles und die Schildkröte“ ist. So klingt es:

Nehmen wir an, Achilles läuft zehnmal schneller als die Schildkröte und ist ihr tausend Schritte hinterher. In der Zeit, in der Achilles diese Strecke läuft, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte gelaufen ist, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird auf unbestimmte Zeit fortgesetzt, Achilles wird die Schildkröte niemals einholen.

Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Alle betrachteten sie auf die eine oder andere Weise als Zenons Aporien. Der Schock war so stark, dass " ... die Diskussionen werden derzeit fortgesetzt, die wissenschaftliche Gemeinschaft hat es noch nicht geschafft, zu einer gemeinsamen Meinung über das Wesen von Paradoxien zu gelangen ... mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze waren an der Untersuchung des Problems beteiligt ; keiner von ihnen wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ..."[Wikipedia," Zenos Aporien "]. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, was die Täuschung ist.

Aus mathematischer Sicht hat Zeno in seiner Aporie den Übergang vom Wert zu deutlich demonstriert. Dieser Übergang impliziert die Anwendung anstelle von Konstanten. Soweit ich weiß, ist der mathematische Apparat zur Anwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder auf Zenos Aporie nicht angewendet worden. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Durch die Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Physikalisch sieht das wie eine Verlangsamung der Zeit aus, bis sie in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, komplett zum Stillstand kommt. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles die Schildkröte nicht mehr überholen.

Wenn wir die gewohnte Logik umdrehen, ergibt sich alles. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jedes nachfolgende Segment seines Weges ist zehnmal kürzer als das vorherige. Dementsprechend ist die Zeit, die für die Überwindung aufgewendet wird, zehnmal kürzer als die vorherige. Wenn wir in dieser Situation den Begriff „Unendlichkeit“ anwenden, dann wäre es richtig zu sagen „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell überholen“.

Wie vermeidet man diese logische Falle? Bleiben Sie in konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Werten. In Zenos Sprache sieht das so aus:

In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, gleich dem ersten, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.

Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unüberwindbarkeit der Lichtgeschwindigkeit ist Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“ sehr ähnlich. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen, sondern in Maßeinheiten gesucht werden.

Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:

Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt ruht, und da er zu jedem Zeitpunkt ruht, ruht er immer.

In dieser Aporie wird das logische Paradoxon sehr einfach überwunden – es genügt zu verdeutlichen, dass der fliegende Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich Bewegung ist. Hier ist noch ein weiterer Punkt zu beachten. Aus einem Foto eines Autos auf der Straße kann weder die Tatsache seiner Bewegung noch die Entfernung zu ihm bestimmt werden. Um die Tatsache der Bewegung des Autos zu bestimmen, werden zwei Fotos benötigt, die vom selben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aber sie können nicht zur Bestimmung der Entfernung verwendet werden. Um die Entfernung zum Auto zu bestimmen, benötigen Sie zwei Fotos, die gleichzeitig von verschiedenen Punkten im Weltraum aufgenommen wurden, aber Sie können daraus nicht die Tatsache der Bewegung bestimmen (Sie benötigen natürlich noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft Ihnen). . Was ich besonders hervorheben möchte, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum zwei verschiedene Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten der Erforschung bieten.

Mittwoch, 4. Juli 2018

Sehr gut sind die Unterschiede zwischen Menge und Multimenge in Wikipedia beschrieben. Wir schauen.

Wie Sie sehen können, "kann die Menge nicht zwei identische Elemente haben", aber wenn es identische Elemente in der Menge gibt, wird eine solche Menge als "Multimenge" bezeichnet. Vernünftige Wesen werden niemals eine solche Logik der Absurdität verstehen. Dies ist die Ebene sprechender Papageien und abgerichteter Affen, auf der der Verstand dem Wort „vollständig“ abwesend ist. Mathematiker agieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.

Es war einmal, dass die Ingenieure, die die Brücke gebaut haben, während der Tests der Brücke in einem Boot unter der Brücke waren. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der begabte Ingenieur andere Brücken.

So sehr sich Mathematiker auch hinter dem Satz „wohlgemerkt, ich bin im Haus“ oder vielmehr „Mathematik studiert abstrakte Konzepte“ verstecken, es gibt eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Wenden wir die mathematische Mengenlehre auf Mathematiker selbst an.

Wir haben sehr gut Mathematik studiert und jetzt sitzen wir an der Kasse und zahlen Gehälter aus. Hier kommt ein Mathematiker auf sein Geld zu uns. Wir zählen ihm den gesamten Betrag vor und legen ihn auf unserem Tisch in verschiedenen Stapeln aus, in die wir Scheine der gleichen Stückelung legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben dem Mathematiker seinen „mathematischen Gehaltssatz“. Wir erklären die Mathematik, dass er die restlichen Rechnungen nur erhält, wenn er beweist, dass die Menge ohne identische Elemente nicht gleich der Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.

Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: "Sie können es auf andere anwenden, aber nicht auf mich!" Außerdem wird zugesichert, dass auf Banknoten derselben Stückelung unterschiedliche Banknotennummern vorhanden sind, was bedeutet, dass sie nicht als identische Elemente angesehen werden können. Nun, wir zählen das Gehalt in Münzen - es gibt keine Zahlen auf den Münzen. Hier erinnert sich der Mathematiker hektisch an die Physik: Verschiedene Münzen haben unterschiedlich viel Schmutz, die Kristallstruktur und Anordnung der Atome für jede Münze ist einzigartig ...

Und jetzt habe ich die interessanteste Frage: Wo ist die Grenze, ab der Elemente einer Multimenge zu Elementen einer Menge werden und umgekehrt? Eine solche Linie gibt es nicht - alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft ist hier nicht einmal annähernd.

Schau hier. Wir wählen Fußballstadien mit gleicher Spielfeldfläche aus. Die Fläche der Felder ist gleich, was bedeutet, dass wir eine Multimenge haben. Aber wenn wir die Namen der gleichen Stadien betrachten, bekommen wir viel, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen können, ist dieselbe Menge von Elementen gleichzeitig eine Menge und eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Schüler ein Trumpf-Ass aus seinem Ärmel und beginnt uns entweder von einem Set oder einem Multiset zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.

Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengentheorie arbeiten und sie an die Realität binden, genügt es, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich werde es Ihnen zeigen, ohne „als nicht ein Ganzes denkbar“ oder „nicht als ein Ganzes denkbar“.

Sonntag, 18. März 2018

Die Quersumme einer Zahl ist ein Schamanentanz mit Tamburin, der nichts mit Mathematik zu tun hat. Ja, im Mathematikunterricht wird uns beigebracht, die Summe der Ziffern einer Zahl zu finden und zu verwenden, aber dafür sind sie Schamanen, um ihren Nachkommen ihre Fähigkeiten und Weisheit beizubringen, sonst sterben Schamanen einfach aus.

Benötigen Sie einen Nachweis? Öffnen Sie Wikipedia und versuchen Sie, die Seite „Summe der Ziffern einer Zahl“ zu finden. Sie existiert nicht. In der Mathematik gibt es keine Formel, mit der man die Quersumme einer beliebigen Zahl ermitteln kann. Schließlich sind Zahlen grafische Symbole, mit denen wir Zahlen schreiben, und in der Sprache der Mathematik klingt die Aufgabe so: „Finde die Summe von grafischen Symbolen, die eine beliebige Zahl darstellen.“ Mathematiker können dieses Problem nicht lösen, aber Schamanen können es elementar.

Lassen Sie uns herausfinden, was und wie wir tun, um die Summe der Ziffern einer bestimmten Zahl zu finden. Nehmen wir also an, wir haben die Zahl 12345. Was muss getan werden, um die Quersumme dieser Zahl zu finden? Betrachten wir alle Schritte der Reihe nach.

1. Notieren Sie die Nummer auf einem Blatt Papier. Was haben wir getan? Wir haben die Zahl in ein grafisches Zahlensymbol umgewandelt. Dies ist keine mathematische Operation.

2. Wir schneiden ein empfangenes Bild in mehrere Bilder mit separaten Nummern. Das Schneiden eines Bildes ist keine mathematische Operation.

3. Wandeln Sie einzelne Grafikzeichen in Zahlen um. Dies ist keine mathematische Operation.

4. Addieren Sie die resultierenden Zahlen. Das ist jetzt Mathematik.

Die Quersumme der Zahl 12345 ist 15. Dies sind die „Schneide- und Nähkurse“ von Schamanen, die von Mathematikern verwendet werden. Aber das ist noch nicht alles.

Aus mathematischer Sicht spielt es keine Rolle, in welchem ​​Zahlensystem wir die Zahl schreiben. In verschiedenen Zahlensystemen ist die Summe der Ziffern derselben Zahl also unterschiedlich. In der Mathematik wird das Zahlensystem als Index rechts neben der Zahl angegeben. Bei einer großen Zahl von 12345 möchte ich mir nicht den Kopf verdrehen, betrachten Sie die Zahl 26 aus dem Artikel darüber. Lassen Sie uns diese Zahl in binären, oktalen, dezimalen und hexadezimalen Zahlensystemen schreiben. Wir werden nicht jeden Schritt unter die Lupe nehmen, das haben wir bereits getan. Schauen wir uns das Ergebnis an.

Wie Sie sehen können, ist in verschiedenen Zahlensystemen die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. Dieses Ergebnis hat nichts mit Mathematik zu tun. Es ist, als würde man die Fläche eines Rechtecks ​​in Metern und Zentimetern zu ganz anderen Ergebnissen bringen.

Die Null sieht in allen Zahlensystemen gleich aus und hat keine Quersumme. Dies ist ein weiteres Argument dafür, dass . Eine Frage an die Mathematiker: Wie bezeichnet man in der Mathematik das, was keine Zahl ist? Was existiert für Mathematiker nur aus Zahlen? Für Schamanen kann ich das zulassen, aber für Wissenschaftler nicht. Realität besteht nicht nur aus Zahlen.

Das erhaltene Ergebnis sollte als Beweis dafür angesehen werden, dass Zahlensysteme Maßeinheiten für Zahlen sind. Schließlich können wir Zahlen mit unterschiedlichen Maßeinheiten nicht vergleichen. Wenn gleiche Handlungen mit unterschiedlichen Maßeinheiten derselben Größe nach dem Vergleich zu unterschiedlichen Ergebnissen führen, dann hat das nichts mit Mathematik zu tun.

Was ist echte Mathematik? Dies ist der Fall, wenn das Ergebnis einer mathematischen Aktion nicht vom Wert der Zahl, der verwendeten Maßeinheit und davon abhängt, wer diese Aktion ausführt.

Schild an der Tür Öffnet die Tür und sagt:

Autsch! Ist das nicht die Damentoilette?
- Junge Frau! Dies ist ein Labor zum Studium der unbestimmten Heiligkeit der Seelen beim Aufstieg in den Himmel! Nimbus oben und Pfeil nach oben. Welche andere Toilette?

Weiblich ... Ein Heiligenschein oben und ein Pfeil nach unten sind männlich.

Wenn Sie ein solches Designkunstwerk mehrmals täglich vor Augen haben,

Dann ist es nicht verwunderlich, dass Sie plötzlich ein seltsames Symbol in Ihrem Auto finden:

Ich persönlich gebe mir Mühe, bei einer kackenden Person (ein Bild) minus vier Grad zu sehen (Zusammensetzung mehrerer Bilder: Minuszeichen, Zahl vier, Gradbezeichnung). Und ich halte dieses Mädchen nicht für einen Narren, der keine Physik versteht. Sie hat nur ein Bogenstereotyp der Wahrnehmung von grafischen Bildern. Und Mathematiker lehren uns das ständig. Hier ist ein Beispiel.

1A ist nicht "minus vier Grad" oder "ein a". Das ist „pooping man“ oder die Zahl „sechsundzwanzig“ im hexadezimalen Zahlensystem. Wer ständig in diesem Zahlensystem arbeitet, nimmt Zahl und Buchstabe automatisch als ein grafisches Symbol wahr.

Unterrichtsthema: "Die Reihenfolge der Ausführung von Aktionen in Ausdrücken ohne Klammern und mit Klammern.

Der Zweck des Unterrichts: Bedingungen schaffen, um die Fähigkeiten zu festigen, das Wissen über die Reihenfolge der Ausführung von Aktionen in Ausdrücken ohne Klammern und mit Klammern in verschiedenen Situationen anzuwenden, die Fähigkeit, Probleme mit einem Ausdruck zu lösen.

Unterrichtsziele.

Lehrreich:

Das Wissen der Schüler über die Regeln für die Ausführung von Aktionen in Ausdrücken ohne Klammern und mit Klammern festigen; ihre Fähigkeit zu entwickeln, diese Regeln bei der Berechnung bestimmter Ausdrücke zu verwenden; Computerkenntnisse verbessern; wiederhole die tabellarischen Fälle von Multiplikation und Division;

Entwicklung:

Entwickeln Sie Rechenfähigkeiten, logisches Denken, Aufmerksamkeit, Gedächtnis, kognitive Fähigkeiten der Schüler,

Kommunikationsfähigkeit;

Lehrreich:

Pflegen Sie einen toleranten Umgang miteinander, gegenseitiges Miteinander,

Verhaltenskultur im Unterricht, Genauigkeit, Selbständigkeit, Interesse an Mathematik fördern.

Gebildetes UUD:

Behördliche UUD:

Arbeit nach dem vorgeschlagenen Plan, Anweisungen;

ihre Hypothesen auf der Grundlage von Unterrichtsmaterial aufstellen;

Selbstbeherrschung ausüben.

Kognitives UUD:

kennen die Reihenfolge der Operationen:

ihren Inhalt erklären können;

die Regel der Reihenfolge der Aktionen verstehen;

finden Sie die Werte von Ausdrücken gemäß den Regeln der Ausführungsreihenfolge;

Aktionen unter Verwendung von Textaufgaben dafür;

schreibe die Lösung des Problems mit einem Ausdruck;

Regeln für die Reihenfolge der Aktionen anwenden;

das erworbene Wissen bei der Durchführung von Kontrollarbeiten anwenden können.

Kommunikatives UUD:

zuhören und die Sprache anderer verstehen;

ihre Gedanken mit ausreichender Vollständigkeit und Genauigkeit ausdrücken;

die Möglichkeit unterschiedlicher Standpunkte zulassen, sich bemühen, die Position des Gesprächspartners zu verstehen;

im Team mit unterschiedlichen Inhalten arbeiten (Paar, Kleingruppe, ganze Klasse), an Diskussionen teilnehmen, zu zweit arbeiten;

Persönliche UUD:

eine Beziehung zwischen dem Zweck der Aktivität und ihrem Ergebnis herstellen;

gemeinsame Verhaltensregeln definieren;

die Fähigkeit zur Selbsteinschätzung anhand des Erfolgskriteriums von Bildungsaktivitäten auszudrücken.

Geplantes Ergebnis:

Gegenstand:

Kennen Sie die Regeln für die Anordnung von Aktionen.

Deren Inhalt erklären können.

Probleme mithilfe von Ausdrücken lösen können.

Persönlich:
Selbsteinschätzung anhand des Erfolgskriteriums von Bildungsaktivitäten durchführen können.

Metasubjekt:

Das Unterrichtsziel mit Hilfe eines Lehrers bestimmen und formulieren können; die Reihenfolge der Aktionen in der Lektion aussprechen; Arbeit nach einem kollektiven Plan; Bewertung der Richtigkeit der Maßnahme auf der Ebene einer angemessenen rückblickenden Bewertung; Planen Sie Ihre Aktion in Übereinstimmung mit der Aufgabe; nach Abschluss der Maßnahme auf der Grundlage ihrer Bewertung und unter Berücksichtigung der Art der begangenen Fehler die erforderlichen Anpassungen vornehmen; eine Vermutung anstellen Regulatorisches UUD ).

Ihre Gedanken mündlich formulieren können; zuhören und die Sprache anderer verstehen; Verhaltens- und Kommunikationsregeln in der Schule gemeinsam vereinbaren und befolgen ( Kommunikatives UUD ).

In ihrem Wissenssystem navigieren können: mit Hilfe eines Lehrers das Neue vom bereits Bekannten unterscheiden; Neues Wissen erwerben: Finden Sie Antworten auf Fragen anhand eines Lehrbuchs, Ihrer Lebenserfahrung und der im Unterricht erhaltenen Informationen (Kognitives UUD ).

Während des Unterrichts

1. Organisatorischer Moment.

Um unseren Unterricht heller zu machen,

Wir werden das Gute teilen.

Strecke deine Handflächen aus

Legen Sie Ihre Liebe in sie

Und lächeln einander an.

Nimm deine Jobs.

Sie öffneten Hefte, notierten Datum und Aufgaben.

2. Aktualisierung des Wissens.

In der Lektion müssen wir uns im Detail mit der Reihenfolge befassen, in der Rechenoperationen in Ausdrücken ohne Klammern und mit Klammern ausgeführt werden.

Verbale Zählung.

Finden Sie das richtige Antwortspiel.

(Jeder Schüler hat ein Blatt mit Zahlen)

Ich habe die Aufgaben gelesen, und Sie müssen, nachdem Sie die Aktionen in Ihrem Kopf ausgeführt haben, das Ergebnis, dh die Antwort, mit einem Kreuz durchstreichen.

Ich habe mir eine Zahl ausgedacht, 80 davon abgezogen und 18 bekommen. Welche Zahl habe ich mir ausgedacht? (98)

Ich habe mir eine Zahl ausgedacht, 12 dazu addiert und 70 bekommen. Welche Zahl habe ich mir ausgedacht? (58)

Der erste Term ist 90, der zweite Term ist 12. Finden Sie die Summe. (102)

Verbinden Sie Ihre Ergebnisse.

Welche Geometrie hast du genommen? (Dreieck)

Sagen Sie uns, was Sie über diese geometrische Figur wissen. (Hat 3 Seiten, 3 Oberseiten, 3 Ecken)

Wir arbeiten weiter an der Karte.

Finde den Unterschied zwischen den Zahlen 100 und 22 . (78)

Reduziert 99, subtrahiert 19. Finden Sie den Unterschied. (80).

Nehmen Sie die Zahl 25 4 Mal. (100)

Zeichne 1 weiteres Dreieck innerhalb des Dreiecks und verbinde die Ergebnisse.

Wie viele Dreiecke hast du bekommen? (5)

3. Bearbeiten Sie das Thema der Lektion. Beobachten der Wertänderung eines Ausdrucks in Abhängigkeit von der Reihenfolge, in der arithmetische Operationen ausgeführt werden

Im Leben führen wir ständig irgendeine Art von Handlung aus: Wir gehen, lernen, lesen, schreiben, zählen, lächeln, streiten und versöhnen uns. Wir führen diese Schritte in einer anderen Reihenfolge durch. Manchmal können sie ausgetauscht werden, manchmal nicht. Wenn Sie beispielsweise morgens zur Schule gehen, können Sie zuerst Übungen machen und dann das Bett machen oder umgekehrt. Aber man kann nicht erst zur Schule gehen und sich dann anziehen.

Und ist es in der Mathematik notwendig, arithmetische Operationen in einer bestimmten Reihenfolge durchzuführen?

Lass uns das Prüfen

Vergleichen wir die Ausdrücke:
8-3+4 und 8-3+4

Wir sehen, dass beide Ausdrücke genau gleich sind.

Lassen Sie uns Aktionen in einem Ausdruck von links nach rechts und in einem anderen von rechts nach links ausführen. Zahlen können die Reihenfolge angeben, in der Aktionen ausgeführt werden (Abb. 1).

Reis. 1. Verfahren

Im ersten Ausdruck führen wir zuerst die Subtraktionsoperation durch und addieren dann die Zahl 4 zum Ergebnis.

Im zweiten Ausdruck finden wir zuerst den Wert der Summe und subtrahieren dann das Ergebnis 7 von 8.

Wir sehen, dass die Werte der Ausdrücke unterschiedlich sind.

Lassen Sie uns schließen: Die Reihenfolge, in der arithmetische Operationen ausgeführt werden, kann nicht geändert werden..

Arithmetische Ordnung in Ausdrücken ohne Klammern

Lernen wir die Regel für die Durchführung arithmetischer Operationen in Ausdrücken ohne Klammern.

Wenn der Ausdruck ohne Klammern nur Addition und Subtraktion oder nur Multiplikation und Division enthält, werden die Aktionen in der Reihenfolge ausgeführt, in der sie geschrieben sind.

Lass uns üben.

Betrachten Sie den Ausdruck

Dieser Ausdruck hat nur Additions- und Subtraktionsoperationen. Diese Aktionen werden aufgerufen Aktionen im ersten Schritt.

Wir führen die Aktionen der Reihe nach von links nach rechts aus (Abb. 2).

Reis. 2. Verfahren

Betrachten Sie den zweiten Ausdruck

In diesem Ausdruck gibt es nur Multiplikations- und Divisionsoperationen - Dies sind die Maßnahmen des zweiten Schrittes.

Wir führen die Aktionen der Reihe nach von links nach rechts aus (Abb. 3).

Reis. 3. Verfahren

In welcher Reihenfolge werden Rechenoperationen ausgeführt, wenn der Ausdruck nicht nur Addition und Subtraktion, sondern auch Multiplikation und Division enthält?

Wenn der Ausdruck ohne Klammern nicht nur Addition und Subtraktion, sondern auch Multiplikation und Division oder beide Operationen enthält, führen Sie zuerst Multiplikation und Division der Reihe nach (von links nach rechts) und dann Addition und Subtraktion durch.

Betrachten Sie einen Ausdruck.

Wir argumentieren so. Dieser Ausdruck enthält die Operationen Addition und Subtraktion, Multiplikation und Division. Wir handeln nach der Regel. Zuerst führen wir der Reihe nach (von links nach rechts) Multiplikation und Division und dann Addition und Subtraktion durch. Lassen Sie uns das Verfahren darlegen.

Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks berechnen.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

Reihenfolge der Ausführung von arithmetischen Operationen in Ausdrücken mit Klammern

In welcher Reihenfolge werden Rechenoperationen ausgeführt, wenn der Ausdruck Klammern enthält?

Wenn der Ausdruck Klammern enthält, wird zuerst der Wert der Ausdrücke in den Klammern berechnet.

Betrachten Sie einen Ausdruck.

30 + 6 * (13 - 9)

Wir sehen, dass in diesem Ausdruck eine Aktion in Klammern steht, was bedeutet, dass wir diese Aktion zuerst ausführen, dann der Reihe nach Multiplikation und Addition. Lassen Sie uns das Verfahren darlegen.

30 + 6 * (13 - 9)

Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks berechnen.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Die Regel zur Durchführung von arithmetischen Operationen in Ausdrücken ohne Klammern und mit Klammern

Wie muss man argumentieren, um die Reihenfolge der arithmetischen Operationen in einem numerischen Ausdruck richtig festzulegen?

Bevor Sie mit den Berechnungen fortfahren, müssen Sie den Ausdruck berücksichtigen (herausfinden, ob er Klammern enthält, welche Aktionen er hat) und erst danach die Aktionen in der folgenden Reihenfolge ausführen:

1. in Klammern geschriebene Handlungen;

2. Multiplikation und Division;

3. Addition und Subtraktion.

Das Diagramm hilft Ihnen, sich diese einfache Regel zu merken (Abb. 4).

Reis. 4. Verfahren

4. Festigung Erfüllung von Trainingsaufgaben für die erlernte Regel

Lass uns üben.

Betrachten Sie die Ausdrücke, legen Sie die Reihenfolge der Operationen fest und führen Sie die Berechnungen durch.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Halten wir uns an die Regeln. Der Ausdruck 43 - (20 - 7) +15 enthält Operationen in Klammern sowie Additions- und Subtraktionsoperationen. Legen wir die Vorgehensweise fest. Der erste Schritt besteht darin, die Aktion in Klammern auszuführen, und dann in der Reihenfolge von links nach rechts, Subtraktion und Addition.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

Der Ausdruck 32 + 9 * (19 - 16) hat Operationen in Klammern sowie Multiplikations- und Additionsoperationen. Gemäß der Regel führen wir zuerst die Aktion in Klammern aus, dann die Multiplikation (die Zahl 9 wird mit dem durch Subtraktion erhaltenen Ergebnis multipliziert) und die Addition.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

Im Ausdruck 2*9-18:3 gibt es keine Klammern, aber es gibt Multiplikations-, Divisions- und Subtraktionsoperationen. Wir handeln nach der Regel. Zuerst führen wir eine Multiplikation und Division von links nach rechts durch, und dann subtrahieren wir von dem durch Multiplikation erhaltenen Ergebnis das durch Division erhaltene Ergebnis. Das heißt, die erste Aktion ist die Multiplikation, die zweite die Division und die dritte die Subtraktion.

2*9-18:3=18-6=12

Lassen Sie uns herausfinden, ob die Reihenfolge der Aktionen in den folgenden Ausdrücken richtig definiert ist.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Wir argumentieren so.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

In diesem Ausdruck gibt es keine Klammern, was bedeutet, dass wir zuerst von links nach rechts multiplizieren oder dividieren, dann addieren oder subtrahieren. In diesem Ausdruck ist die erste Aktion die Division, die zweite die Multiplikation. Die dritte Aktion sollte Addition sein, die vierte - Subtraktion. Fazit: Die Reihenfolge der Aktionen ist richtig definiert.

Ermitteln Sie den Wert dieses Ausdrucks.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Wir streiten weiter.

Der zweite Ausdruck enthält Klammern, was bedeutet, dass wir zuerst die Aktion in Klammern ausführen, dann von links nach rechts Multiplikation oder Division, Addition oder Subtraktion. Wir prüfen: Die erste Aktion steht in Klammern, die zweite ist Division, die dritte ist Addition. Fazit: Die Reihenfolge der Aktionen ist falsch definiert. Korrigieren Sie die Fehler, finden Sie den Wert des Ausdrucks.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

Dieser Ausdruck enthält auch Klammern, was bedeutet, dass wir zuerst die Aktion in Klammern ausführen, dann von links nach rechts Multiplikation oder Division, Addition oder Subtraktion. Wir prüfen: Die erste Aktion steht in Klammern, die zweite ist Multiplikation, die dritte ist Subtraktion. Fazit: Die Reihenfolge der Aktionen ist falsch definiert. Korrigieren Sie die Fehler, finden Sie den Wert des Ausdrucks.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Lassen Sie uns die Aufgabe erledigen.

Lassen Sie uns die Reihenfolge der Aktionen im Ausdruck anhand der untersuchten Regel anordnen (Abb. 5).

Reis. 5. Verfahren

Wir sehen keine Zahlenwerte, also werden wir die Bedeutung von Ausdrücken nicht finden können, aber wir werden die Anwendung der gelernten Regel üben.

Wir handeln nach dem Algorithmus.

Der erste Ausdruck hat Klammern, also steht die erste Aktion in Klammern. Dann von links nach rechts Multiplikation und Division, dann von links nach rechts Subtraktion und Addition.

Der zweite Ausdruck enthält auch Klammern, was bedeutet, dass wir die erste Aktion in Klammern ausführen. Danach von links nach rechts Multiplikation und Division, danach Subtraktion.

Prüfen wir uns selbst (Abb. 6).

Reis. 6. Verfahren

5. Zusammenfassend.

Heute haben wir in der Lektion die Regel der Ausführungsreihenfolge von Aktionen in Ausdrücken ohne Klammern und mit Klammern kennengelernt. Im Zuge von Aufgabenerledigungen wurde festgestellt, ob die Bedeutung von Ausdrücken von der Reihenfolge der Rechenoperationen abhängt, herausgefunden, ob sich die Reihenfolge der Rechenoperationen bei Ausdrücken ohne Klammern und mit Klammern unterscheidet, die Anwendung der erlernten Regel geübt, gesucht und korrigierte Fehler bei der Bestimmung der Reihenfolge der Aktionen.

Und bei der Berechnung der Werte von Ausdrücken werden Aktionen in einer bestimmten Reihenfolge ausgeführt, mit anderen Worten, Sie müssen beachten Reihenfolge der Aktionen.

In diesem Artikel werden wir herausfinden, welche Aktionen zuerst ausgeführt werden sollten und welche danach. Beginnen wir mit den einfachsten Fällen, wenn der Ausdruck nur Zahlen oder Variablen enthält, die durch Plus, Minus, Multiplizieren und Dividieren verbunden sind. Als nächstes erklären wir, welche Reihenfolge der Ausführung von Aktionen in Ausdrücken mit Klammern eingehalten werden sollte. Betrachten Sie schließlich die Reihenfolge, in der Aktionen in Ausdrücken ausgeführt werden, die Potenzen, Wurzeln und andere Funktionen enthalten.

Seitennavigation.

Erst Multiplikation und Division, dann Addition und Subtraktion

Die Schule bietet folgendes an eine Regel, die die Reihenfolge bestimmt, in der Aktionen in Ausdrücken ohne Klammern ausgeführt werden:

• Aktionen werden in der Reihenfolge von links nach rechts ausgeführt,
• wobei zuerst multipliziert und dividiert wird und dann addiert und subtrahiert wird.

Die genannte Regel wird ganz selbstverständlich wahrgenommen. Das Ausführen von Aktionen in der Reihenfolge von links nach rechts erklärt sich aus der Tatsache, dass es für uns üblich ist, Aufzeichnungen von links nach rechts zu führen. Und die Tatsache, dass Multiplikation und Division vor Addition und Subtraktion durchgeführt werden, erklärt sich aus der Bedeutung, die diese Aktionen in sich tragen.

Schauen wir uns einige Beispiele für die Anwendung dieser Regel an. Als Beispiele nehmen wir die einfachsten numerischen Ausdrücke, um nicht durch Berechnungen abgelenkt zu werden, sondern um uns auf die Reihenfolge zu konzentrieren, in der Aktionen ausgeführt werden.

Beispiel.

Befolgen Sie die Schritte 7−3+6 .

Entscheidung.

Der ursprüngliche Ausdruck enthält weder Klammern noch Multiplikation und Division. Daher sollten wir alle Aktionen der Reihe nach von links nach rechts ausführen, dh zuerst subtrahieren wir 3 von 7, wir erhalten 4, danach addieren wir 6 zur resultierenden Differenz 4, wir erhalten 10.

Kurz gesagt kann die Lösung wie folgt geschrieben werden: 7−3+6=4+6=10 .

Antworten:

7−3+6=10 .

Beispiel.

Geben Sie die Reihenfolge an, in der Aktionen im Ausdruck 6:2·8:3 ausgeführt werden.

Entscheidung.

Um die Frage des Problems zu beantworten, wenden wir uns der Regel zu, die die Reihenfolge angibt, in der Aktionen in Ausdrücken ohne Klammern ausgeführt werden. Der ursprüngliche Ausdruck enthält nur die Operationen Multiplikation und Division, und gemäß der Regel müssen sie in der Reihenfolge von links nach rechts ausgeführt werden.

Antworten:

Zunaechst 6 geteilt durch 2, dieser Quotient wird mit 8 multipliziert, schließlich wird das Ergebnis durch 3 geteilt.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks 17−5·6:3−2+4:2 .

Entscheidung.

Lassen Sie uns zunächst bestimmen, in welcher Reihenfolge die Aktionen im ursprünglichen Ausdruck ausgeführt werden sollen. Es umfasst sowohl Multiplikation und Division als auch Addition und Subtraktion. Zuerst müssen Sie von links nach rechts multiplizieren und dividieren. Also multiplizieren wir 5 mit 6, wir bekommen 30, wir teilen diese Zahl durch 3, wir bekommen 10. Jetzt teilen wir 4 durch 2, wir bekommen 2. Wir ersetzen den gefundenen Wert 10 statt 5 6:3 im ursprünglichen Ausdruck, und den Wert 2 statt 4:2 haben wir 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.

Es gibt keine Multiplikation und Division im resultierenden Ausdruck, also müssen die verbleibenden Aktionen in der Reihenfolge von links nach rechts ausgeführt werden: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

Antworten:

17−5 6:3−2+4:2=7 .

Um die Reihenfolge der Ausführung von Aktionen bei der Berechnung des Werts eines Ausdrucks nicht zu verwechseln, ist es zunächst zweckmäßig, Zahlen über den Zeichen der Aktionen zu platzieren, die der Reihenfolge entsprechen, in der sie ausgeführt werden. Für das vorherige Beispiel würde es so aussehen: .

Die gleiche Reihenfolge der Operationen – zuerst Multiplikation und Division, dann Addition und Subtraktion – sollte bei der Arbeit mit wörtlichen Ausdrücken befolgt werden.

Schritte 1 und 2

In einigen Lehrbüchern der Mathematik gibt es eine Einteilung der Rechenoperationen in Operationen des ersten und zweiten Schrittes. Lassen Sie uns damit umgehen.

Definition.

Aktionen im ersten Schritt heißen Addition und Subtraktion, Multiplikation und Division Maßnahmen im zweiten Schritt.

In diesem Sinne wird die Regel aus dem vorherigen Absatz, die die Reihenfolge bestimmt, in der Aktionen ausgeführt werden, wie folgt geschrieben: Wenn der Ausdruck keine Klammern enthält, werden die Aktionen der zweiten Stufe von links nach rechts ( Multiplikation und Division) werden zuerst ausgeführt, dann die Aktionen der ersten Stufe (Addition und Subtraktion).

Reihenfolge der Ausführung von arithmetischen Operationen in Ausdrücken mit Klammern

Ausdrücke enthalten oft Klammern, um die Reihenfolge anzugeben, in der Aktionen ausgeführt werden sollen. In diesem Fall eine Regel, die die Reihenfolge angibt, in der Aktionen in Ausdrücken mit Klammern ausgeführt werden, wird wie folgt formuliert: Zuerst werden die Aktionen in Klammern ausgeführt, während von links nach rechts ebenfalls Multiplikation und Division ausgeführt werden, dann Addition und Subtraktion.

Ausdrücke in Klammern werden also als Bestandteile des ursprünglichen Ausdrucks betrachtet, und die uns bereits bekannte Reihenfolge der Aktionen bleibt in ihnen erhalten. Betrachten Sie die Lösungen von Beispielen für mehr Klarheit.

Beispiel.

Führen Sie die angegebenen Schritte 5+(7−2 3) (6−4):2 aus.

Entscheidung.

Der Ausdruck enthält Klammern, also führen wir zuerst die Operationen in den Ausdrücken durch, die in diese Klammern eingeschlossen sind. Beginnen wir mit dem Ausdruck 7−2 3 . Darin müssen Sie zuerst die Multiplikation durchführen und erst dann die Subtraktion, wir haben 7−2 3=7−6=1 . Wir gehen zum zweiten Ausdruck in Klammern 6−4 über. Hier gibt es nur eine Aktion - Subtraktion, wir führen sie 6−4=2 aus.

Wir ersetzen die erhaltenen Werte in den ursprünglichen Ausdruck: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2. Im resultierenden Ausdruck führen wir zuerst eine Multiplikation und Division von links nach rechts durch, dann eine Subtraktion, wir erhalten 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6 . Damit alle Aktionen abgeschlossen sind, haben wir uns an die folgende Reihenfolge ihrer Ausführung gehalten: 5+(7−2 3) (6−4):2 .

Lassen Sie uns eine kurze Lösung schreiben: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.

Antworten:

5+(7−2 3)(6−4):2=6 .

Es kommt vor, dass ein Ausdruck Klammern in Klammern enthält. Sie sollten davor keine Angst haben, Sie müssen nur die stimmhafte Regel zum Ausführen von Aktionen in Ausdrücken mit Klammern konsequent anwenden. Lassen Sie uns eine Beispiellösung zeigen.

Beispiel.

Führen Sie die Aktionen im Ausdruck 4+(3+1+4·(2+3)) aus.

Entscheidung.

Dies ist ein Ausdruck mit Klammern, was bedeutet, dass die Ausführung von Aktionen mit dem Ausdruck in Klammern beginnen muss, also mit 3+1+4 (2+3) . Dieser Ausdruck enthält auch Klammern, daher müssen Sie zuerst Aktionen in ihnen ausführen. Machen wir das: 2+3=5 . Wenn wir den gefundenen Wert ersetzen, erhalten wir 3+1+4 5 . In diesem Ausdruck führen wir zuerst eine Multiplikation durch, dann eine Addition, wir haben 3+1+4 5=3+1+20=24 . Der Anfangswert hat nach dem Ersetzen dieses Werts die Form 4+24 , und es bleibt nur noch, die Aktionen abzuschließen: 4+24=28 .

Antworten:

4+(3+1+4 (2+3))=28 .

Wenn in einem Ausdruck Klammern innerhalb von Klammern vorhanden sind, ist es im Allgemeinen praktisch, mit den inneren Klammern zu beginnen und sich zu den äußeren vorzuarbeiten.

Angenommen, wir müssen Operationen im Ausdruck (4+(4+(4−6:2))−1)−1 ausführen. Zuerst führen wir Aktionen in internen Klammern aus, da 4−6:2=4−3=1 , danach nimmt der ursprüngliche Ausdruck die Form (4+(4+1)−1)−1 an. Wieder führen wir die Aktion in der inneren Klammer aus, da 4+1=5 , dann kommen wir zu folgendem Ausdruck (4+5−1)−1 . Wieder führen wir die Aktionen in Klammern aus: 4+5−1=8 , während wir zu der Differenz 8−1 kommen, die gleich 7 ist.

In dieser Lektion wird das Verfahren zur Durchführung von Rechenoperationen in Ausdrücken ohne Klammern und mit Klammern im Detail betrachtet. Den Studierenden wird im Rahmen der Bearbeitung von Aufgaben Gelegenheit gegeben, festzustellen, ob die Bedeutung von Ausdrücken von der Reihenfolge der Rechenoperationen abhängt, herauszufinden, ob sich die Reihenfolge der Rechenoperationen bei Ausdrücken ohne Klammern und mit Klammern unterscheidet, die Anwendung zu üben die erlernte Regel, um Fehler bei der Bestimmung der Reihenfolge der Aktionen zu finden und zu korrigieren.

Im Leben führen wir ständig irgendeine Art von Handlung aus: Wir gehen, lernen, lesen, schreiben, zählen, lächeln, streiten und versöhnen uns. Wir führen diese Schritte in einer anderen Reihenfolge durch. Manchmal können sie ausgetauscht werden, manchmal nicht. Wenn Sie beispielsweise morgens zur Schule gehen, können Sie zuerst Übungen machen und dann das Bett machen oder umgekehrt. Aber man kann nicht erst zur Schule gehen und sich dann anziehen.

Und ist es in der Mathematik notwendig, arithmetische Operationen in einer bestimmten Reihenfolge durchzuführen?

Lass uns das Prüfen

Vergleichen wir die Ausdrücke:
8-3+4 und 8-3+4

Wir sehen, dass beide Ausdrücke genau gleich sind.

Lassen Sie uns Aktionen in einem Ausdruck von links nach rechts und in einem anderen von rechts nach links ausführen. Zahlen können die Reihenfolge angeben, in der Aktionen ausgeführt werden (Abb. 1).

Reis. 1. Verfahren

Im ersten Ausdruck führen wir zuerst die Subtraktionsoperation durch und addieren dann die Zahl 4 zum Ergebnis.

Im zweiten Ausdruck finden wir zuerst den Wert der Summe und subtrahieren dann das Ergebnis 7 von 8.

Wir sehen, dass die Werte der Ausdrücke unterschiedlich sind.

Lassen Sie uns schließen: Die Reihenfolge, in der arithmetische Operationen ausgeführt werden, kann nicht geändert werden..

Lernen wir die Regel für die Durchführung arithmetischer Operationen in Ausdrücken ohne Klammern.

Wenn der Ausdruck ohne Klammern nur Addition und Subtraktion oder nur Multiplikation und Division enthält, werden die Aktionen in der Reihenfolge ausgeführt, in der sie geschrieben sind.

Lass uns üben.

Betrachten Sie den Ausdruck

Dieser Ausdruck hat nur Additions- und Subtraktionsoperationen. Diese Aktionen werden aufgerufen Aktionen im ersten Schritt.

Wir führen die Aktionen der Reihe nach von links nach rechts aus (Abb. 2).

Reis. 2. Verfahren

Betrachten Sie den zweiten Ausdruck

In diesem Ausdruck gibt es nur Multiplikations- und Divisionsoperationen - Dies sind die Maßnahmen des zweiten Schrittes.

Wir führen die Aktionen der Reihe nach von links nach rechts aus (Abb. 3).

Reis. 3. Verfahren

In welcher Reihenfolge werden Rechenoperationen ausgeführt, wenn der Ausdruck nicht nur Addition und Subtraktion, sondern auch Multiplikation und Division enthält?

Wenn der Ausdruck ohne Klammern nicht nur Addition und Subtraktion, sondern auch Multiplikation und Division oder beide Operationen enthält, führen Sie zuerst Multiplikation und Division der Reihe nach (von links nach rechts) und dann Addition und Subtraktion durch.

Betrachten Sie einen Ausdruck.

Wir argumentieren so. Dieser Ausdruck enthält die Operationen Addition und Subtraktion, Multiplikation und Division. Wir handeln nach der Regel. Zuerst führen wir der Reihe nach (von links nach rechts) Multiplikation und Division und dann Addition und Subtraktion durch. Lassen Sie uns das Verfahren darlegen.

Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks berechnen.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

In welcher Reihenfolge werden Rechenoperationen ausgeführt, wenn der Ausdruck Klammern enthält?

Wenn der Ausdruck Klammern enthält, wird zuerst der Wert der Ausdrücke in den Klammern berechnet.

Betrachten Sie einen Ausdruck.

30 + 6 * (13 - 9)

Wir sehen, dass in diesem Ausdruck eine Aktion in Klammern steht, was bedeutet, dass wir diese Aktion zuerst ausführen, dann der Reihe nach Multiplikation und Addition. Lassen Sie uns das Verfahren darlegen.

30 + 6 * (13 - 9)

Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks berechnen.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Wie muss man argumentieren, um die Reihenfolge der arithmetischen Operationen in einem numerischen Ausdruck richtig festzulegen?

Bevor Sie mit den Berechnungen fortfahren, müssen Sie den Ausdruck berücksichtigen (herausfinden, ob er Klammern enthält, welche Aktionen er hat) und erst danach die Aktionen in der folgenden Reihenfolge ausführen:

1. in Klammern geschriebene Handlungen;

2. Multiplikation und Division;

3. Addition und Subtraktion.

Das Diagramm hilft Ihnen, sich diese einfache Regel zu merken (Abb. 4).

Reis. 4. Verfahren

Lass uns üben.

Betrachten Sie die Ausdrücke, legen Sie die Reihenfolge der Operationen fest und führen Sie die Berechnungen durch.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Halten wir uns an die Regeln. Der Ausdruck 43 - (20 - 7) +15 enthält Operationen in Klammern sowie Additions- und Subtraktionsoperationen. Legen wir die Vorgehensweise fest. Der erste Schritt besteht darin, die Aktion in Klammern auszuführen, und dann in der Reihenfolge von links nach rechts, Subtraktion und Addition.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

Der Ausdruck 32 + 9 * (19 - 16) hat Operationen in Klammern sowie Multiplikations- und Additionsoperationen. Gemäß der Regel führen wir zuerst die Aktion in Klammern aus, dann die Multiplikation (die Zahl 9 wird mit dem durch Subtraktion erhaltenen Ergebnis multipliziert) und die Addition.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

Im Ausdruck 2*9-18:3 gibt es keine Klammern, aber es gibt Multiplikations-, Divisions- und Subtraktionsoperationen. Wir handeln nach der Regel. Zuerst führen wir eine Multiplikation und Division von links nach rechts durch, und dann subtrahieren wir von dem durch Multiplikation erhaltenen Ergebnis das durch Division erhaltene Ergebnis. Das heißt, die erste Aktion ist die Multiplikation, die zweite die Division und die dritte die Subtraktion.

2*9-18:3=18-6=12

Lassen Sie uns herausfinden, ob die Reihenfolge der Aktionen in den folgenden Ausdrücken richtig definiert ist.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Wir argumentieren so.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

In diesem Ausdruck gibt es keine Klammern, was bedeutet, dass wir zuerst von links nach rechts multiplizieren oder dividieren, dann addieren oder subtrahieren. In diesem Ausdruck ist die erste Aktion die Division, die zweite die Multiplikation. Die dritte Aktion sollte Addition sein, die vierte - Subtraktion. Fazit: Die Reihenfolge der Aktionen ist richtig definiert.

Ermitteln Sie den Wert dieses Ausdrucks.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Wir streiten weiter.

Der zweite Ausdruck enthält Klammern, was bedeutet, dass wir zuerst die Aktion in Klammern ausführen, dann von links nach rechts Multiplikation oder Division, Addition oder Subtraktion. Wir prüfen: Die erste Aktion steht in Klammern, die zweite ist Division, die dritte ist Addition. Fazit: Die Reihenfolge der Aktionen ist falsch definiert. Korrigieren Sie die Fehler, finden Sie den Wert des Ausdrucks.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

Dieser Ausdruck enthält auch Klammern, was bedeutet, dass wir zuerst die Aktion in Klammern ausführen, dann von links nach rechts Multiplikation oder Division, Addition oder Subtraktion. Wir prüfen: Die erste Aktion steht in Klammern, die zweite ist Multiplikation, die dritte ist Subtraktion. Fazit: Die Reihenfolge der Aktionen ist falsch definiert. Korrigieren Sie die Fehler, finden Sie den Wert des Ausdrucks.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Lassen Sie uns die Aufgabe erledigen.

Lassen Sie uns die Reihenfolge der Aktionen im Ausdruck anhand der untersuchten Regel anordnen (Abb. 5).

Reis. 5. Verfahren

Wir sehen keine Zahlenwerte, also werden wir die Bedeutung von Ausdrücken nicht finden können, aber wir werden die Anwendung der gelernten Regel üben.

Wir handeln nach dem Algorithmus.

Der erste Ausdruck hat Klammern, also steht die erste Aktion in Klammern. Dann von links nach rechts Multiplikation und Division, dann von links nach rechts Subtraktion und Addition.

Der zweite Ausdruck enthält auch Klammern, was bedeutet, dass wir die erste Aktion in Klammern ausführen. Danach von links nach rechts Multiplikation und Division, danach Subtraktion.

Prüfen wir uns selbst (Abb. 6).

Reis. 6. Verfahren

Heute haben wir in der Lektion die Regel der Ausführungsreihenfolge von Aktionen in Ausdrücken ohne Klammern und mit Klammern kennengelernt.

Referenzliste

1. MI Moro, MA Bantova und andere Mathematik: Lehrbuch. Note 3: in 2 Teilen, Teil 1. - M.: "Aufklärung", 2012.
2. MI Moro, MA Bantova und andere Mathematik: Lehrbuch. Note 3: in 2 Teilen, Teil 2. - M.: "Aufklärung", 2012.
3. MI Moreau. Mathematikunterricht: Leitfaden für Lehrerinnen und Lehrer. 3. Klasse -M.: Bildung, 2012.
4. Zulassungsdokument. Überwachung und Bewertung der Lernergebnisse. - M.: "Aufklärung", 2011.
5. "School of Russia": Programme für die Grundschule. - M.: "Aufklärung", 2011.
6. S.I. Wolkow. Mathematik: Testarbeiten. 3. Klasse -M.: Bildung, 2012.
7. VN Rudnizkaja. Prüfungen. - M.: "Klausur", 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Sosnowoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openclass.ru ().

Hausaufgaben

1. Bestimmen Sie die Reihenfolge der Aktionen in diesen Ausdrücken. Finde die Bedeutung von Ausdrücken.

2. Bestimmen Sie, in welchem ​​Ausdruck diese Aktionsreihenfolge ausgeführt wird:

1. Multiplikation; 2. Abteilung;. 3. Ergänzung; 4. Subtraktion; 5. Zusatz. Ermitteln Sie den Wert dieses Ausdrucks.

3. Verfassen Sie drei Ausdrücke, in denen die folgende Reihenfolge von Aktionen ausgeführt wird:

1. Multiplikation; 2. Ergänzung; 3. Subtraktion

1. Ergänzung; 2. Subtraktion; 3. Zusatz

1. Multiplikation; 2. Abteilung; 3. Zusatz

Finde die Bedeutung dieser Ausdrücke.

Die Grundschule neigt sich dem Ende zu, bald tritt das Kind in die tiefe Welt der Mathematik ein. Aber schon in dieser Zeit wird der Student mit den Schwierigkeiten der Wissenschaft konfrontiert. Wenn das Kind eine einfache Aufgabe ausführt, wird es verwirrt und verliert sich, was zu einer negativen Note für die geleistete Arbeit führt. Um solche Probleme zu vermeiden, müssen Sie beim Lösen von Beispielen in der Lage sein, in der Reihenfolge zu navigieren, in der Sie das Beispiel lösen müssen. Durch die falsche Verteilung von Aktionen führt das Kind die Aufgabe nicht richtig aus. Der Artikel enthüllt die Grundregeln zum Lösen von Beispielen, die die gesamte Bandbreite mathematischer Berechnungen einschließlich Klammern enthalten. Die Reihenfolge der Aktionen in Mathematik Klasse 4 Regeln und Beispiele.

Bevor Sie die Aufgabe erledigen, bitten Sie Ihr Kind, die Aktionen zu nummerieren, die es ausführen wird. Wenn Sie irgendwelche Schwierigkeiten haben, helfen Sie bitte.

Einige Regeln zum Lösen von Beispielen ohne Klammern:

Wenn eine Aufgabe eine Reihe von Aktionen ausführen muss, müssen Sie zuerst dividieren oder multiplizieren. Alle Aktionen werden während des Schreibens durchgeführt. Andernfalls wird das Ergebnis der Lösung nicht korrekt sein.

Wenn im Beispiel eine Ausführung erforderlich ist, führen wir der Reihe nach von links nach rechts aus.

27-5+15=37 (Bei der Lösung des Beispiels orientieren wir uns an der Regel. Zuerst führen wir eine Subtraktion durch, dann eine Addition).

Bringen Sie Ihrem Kind bei, die auszuführenden Aktionen immer zu planen und zu nummerieren.

Die Antworten zu jeder gelösten Aktion stehen über dem Beispiel. So wird es für das Kind viel einfacher, durch die Aktionen zu navigieren.

Ziehen Sie eine andere Option in Betracht, bei der es notwendig ist, die Aktionen der Reihe nach zu verteilen:

Wie Sie sehen können, wird beim Lösen die Regel beachtet, zuerst suchen wir nach dem Produkt, danach - dem Unterschied.

Dies sind einfache Beispiele, deren Lösung Aufmerksamkeit erfordert. Viele Kinder verfallen beim Anblick einer Aufgabe, bei der es nicht nur um Multiplikation und Division, sondern auch um Klammern geht, in Betäubung. Ein Schüler, der die Reihenfolge der Ausführung von Aktionen nicht kennt, hat Fragen, die ihn daran hindern, die Aufgabe zu erledigen.

Wie es in der Regel heißt, finden wir zuerst ein Werk oder ein bestimmtes und dann alles andere. Aber dann gibt es Klammern! Wie ist in diesem Fall vorzugehen?

Lösungsbeispiele mit Klammern

Nehmen wir ein konkretes Beispiel:

• Suchen Sie bei der Ausführung dieser Aufgabe zuerst den Wert des in Klammern eingeschlossenen Ausdrucks.
• Beginnen Sie mit der Multiplikation, dann addieren Sie.
• Nachdem der Ausdruck in den Klammern gelöst ist, fahren wir mit den Aktionen außerhalb fort.
• Gemäß der Reihenfolge der Operationen ist der nächste Schritt die Multiplikation.
• Der letzte Schritt wird sein.

Wie Sie im anschaulichen Beispiel sehen können, sind alle Aktionen nummeriert. Um das Thema zu festigen, bitten Sie das Kind, mehrere Beispiele selbst zu lösen:

Die Reihenfolge, in der der Wert des Ausdrucks ausgewertet werden soll, ist bereits festgelegt. Das Kind muss die Entscheidung nur direkt ausführen.

Lassen Sie uns die Aufgabe erschweren. Lassen Sie das Kind die Bedeutung der Ausdrücke selbst finden.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Bringen Sie Ihrem Kind bei, alle Aufgaben in einer Entwurfsversion zu lösen. In diesem Fall hat der Schüler die Möglichkeit, die falsche Entscheidung oder den Fehler zu korrigieren. Korrekturen sind in der Arbeitsmappe nicht erlaubt. Wenn Kinder Aufgaben alleine erledigen, sehen sie ihre Fehler.

Eltern wiederum sollten auf Fehler achten, dem Kind helfen, sie zu verstehen und zu korrigieren. Überladen Sie das Gehirn des Schülers nicht mit großen Mengen an Aufgaben. Durch solche Handlungen werden Sie den Wissensdurst des Kindes abwehren. Es muss bei allem Augenmaß vorhanden sein.

Machen Sie eine Pause. Das Kind sollte abgelenkt werden und sich vom Unterricht ausruhen. Die Hauptsache, an die man sich erinnern sollte, ist, dass nicht jeder eine mathematische Denkweise hat. Vielleicht wird Ihr Kind zu einem berühmten Philosophen.