Auf dem Definitionsbereich der Potenzfunktion y = x p gelten die folgenden Formeln:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Eigenschaften von Potenzfunktionen und deren Graphen

Potenzfunktion mit Exponent gleich Null, p = 0

Wenn der Exponent der Potenzfunktion y = x p gleich Null ist, p = 0 , dann ist die Potenzfunktion für alle x ≠ 0 definiert und konstant, gleich eins:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Potenzfunktion mit natürlichem ungeraden Exponenten, p = n = 1, 3, 5, ...

Betrachten Sie eine Potenzfunktion y = x p = x n mit natürlichem ungeraden Exponenten n = 1, 3, 5, ... . Ein solcher Indikator kann auch geschrieben werden als: n = 2k + 1, wobei k = 0, 1, 2, 3, ... eine nicht negative ganze Zahl ist. Nachfolgend sind die Eigenschaften und Diagramme solcher Funktionen aufgeführt.

Graph einer Potenzfunktion y = x n mit einem natürlichen ungeraden Exponenten für verschiedene Werte des Exponenten n = 1, 3, 5, ... .

Domain: -∞ < x < ∞
Mehrere Werte: -∞ < y < ∞
Parität: ungerade, y(-x) = - y(x)
Monoton: steigt monoton an
Extreme: Nein
Konvex:
bei -∞< x < 0 выпукла вверх
bei 0< x < ∞ выпукла вниз
Haltepunkte: x=0, y=0
x=0, y=0
Grenzen:
;
Private Werte:
bei x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
für x = 0, y(0) = 0 n = 0
für x = 1, y(1) = 1 n = 1
Umkehrfunktion:
für n = 1 ist die Funktion invers zu sich selbst: x = y
für n ≠ 1 ist die Umkehrfunktion eine Wurzel vom Grad n:

Potenzfunktion mit natürlichem geraden Exponenten, p = n = 2, 4, 6, ...

Betrachten Sie eine Potenzfunktion y = x p = x n mit natürlichem geraden Exponenten n = 2, 4, 6, ... . Ein solcher Indikator kann auch geschrieben werden als: n = 2k, wobei k = 1, 2, 3, ... eine natürliche Zahl ist. Die Eigenschaften und Graphen solcher Funktionen sind unten angegeben.

Graph einer Potenzfunktion y = x n mit einem natürlichen geraden Exponenten für verschiedene Werte des Exponenten n = 2, 4, 6, ... .

Domain: -∞ < x < ∞
Mehrere Werte: 0 ≤ y< ∞
Parität: gerade, y(-x) = y(x)
Monoton:
für x ≤ 0 monoton abnimmt
für x ≥ 0 monoton ansteigend
Extreme: Minimum, x=0, y=0
Konvex: konvex nach unten
Haltepunkte: Nein
Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: x=0, y=0
Grenzen:
;
Private Werte:
für x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
für x = 0, y(0) = 0 n = 0
für x = 1, y(1) = 1 n = 1
Umkehrfunktion:
für n = 2, Quadratwurzel:
für n ≠ 2, Wurzel vom Grad n:

Potenzfunktion mit ganzzahligem negativem Exponenten, p = n = -1, -2, -3, ...

Betrachten Sie eine Potenzfunktion y = x p = x n mit einem negativen ganzzahligen Exponenten n = -1, -2, -3, ... . Wenn wir n = -k setzen, wobei k = 1, 2, 3, ... eine natürliche Zahl ist, dann kann sie wie folgt dargestellt werden:

Graph einer Potenzfunktion y = x n mit einem negativen ganzzahligen Exponenten für verschiedene Werte des Exponenten n = -1, -2, -3, ... .

Ungerader Exponent, n = -1, -3, -5, ...

Unten sind die Eigenschaften der Funktion y = x n mit einem ungeraden negativen Exponenten n = -1, -3, -5, ... .

Domain: x ≠ 0
Mehrere Werte: y ≠ 0
Parität: ungerade, y(-x) = - y(x)
Monoton: nimmt monoton ab
Extreme: Nein
Konvex:
bei x< 0 : выпукла вверх
für x > 0 : konvex nach unten
Haltepunkte: Nein
Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: Nein
Schild:
bei x< 0, y < 0
für x > 0, y > 0
Grenzen:
; ; ;
Private Werte:
für x = 1, y(1) = 1 n = 1
Umkehrfunktion:
für n = -1,
für n< -2 ,

Gerader Exponent, n = -2, -4, -6, ...

Unten sind die Eigenschaften der Funktion y = x n mit einem geraden negativen Exponenten n = -2, -4, -6, ... .

Domain: x ≠ 0
Mehrere Werte: y > 0
Parität: gerade, y(-x) = y(x)
Monoton:
bei x< 0 : монотонно возрастает
für x > 0 : monoton fallend
Extreme: Nein
Konvex: konvex nach unten
Haltepunkte: Nein
Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: Nein
Schild: y > 0
Grenzen:
; ; ;
Private Werte:
für x = 1, y(1) = 1 n = 1
Umkehrfunktion:
für n = -2,
für n< -2 ,

Potenzfunktion mit rationalem (gebrochenem) Exponenten

Stellen Sie sich eine Potenzfunktion y = x p mit einem rationalen (gebrochenen) Exponenten vor, wobei n eine ganze Zahl und m > 1 eine natürliche Zahl ist. Außerdem haben n, m keine gemeinsamen Teiler.

Der Nenner des Bruchindikators ist ungerade

Der Nenner des Bruchexponenten sei ungerade: m = 3, 5, 7, ... . Dabei ist die Potenzfunktion x p sowohl für positive als auch für negative x-Werte definiert. Betrachten Sie die Eigenschaften solcher Potenzfunktionen, wenn der Exponent p innerhalb bestimmter Grenzen liegt.

p ist negativ, p< 0

Der rationale Exponent (mit ungeradem Nenner m = 3, 5, 7, ... ) sei kleiner als Null: .

Graphen von Exponentialfunktionen mit einem rationalen negativen Exponenten für verschiedene Werte des Exponenten, wobei m = 3, 5, 7, ... ungerade ist.

Ungerader Zähler, n = -1, -3, -5, ...

Hier sind die Eigenschaften einer Potenzfunktion y = x p mit einem rationalen negativen Exponenten , wobei n = -1, -3, -5, ... eine ungerade negative ganze Zahl ist, m = 3, 5, 7 ... eine ist ungerade natürliche Zahl.

Domain: x ≠ 0
Mehrere Werte: y ≠ 0
Parität: ungerade, y(-x) = - y(x)
Monoton: nimmt monoton ab
Extreme: Nein
Konvex:
bei x< 0 : выпукла вверх
für x > 0 : konvex nach unten
Haltepunkte: Nein
Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: Nein
Schild:
bei x< 0, y < 0
für x > 0, y > 0
Grenzen:
; ; ;
Private Werte:
für x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
für x = 1, y(1) = 1 n = 1
Umkehrfunktion:

Gerader Zähler, n = -2, -4, -6, ...

Eigenschaften einer Potenzfunktion y = x p mit einem rationalen negativen Exponenten , wobei n = -2, -4, -6, ... eine gerade negative ganze Zahl ist, m = 3, 5, 7 ... eine ungerade natürliche Zahl ist .

Domain: x ≠ 0
Mehrere Werte: y > 0
Parität: gerade, y(-x) = y(x)
Monoton:
bei x< 0 : монотонно возрастает
für x > 0 : monoton fallend
Extreme: Nein
Konvex: konvex nach unten
Haltepunkte: Nein
Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: Nein
Schild: y > 0
Grenzen:
; ; ;
Private Werte:
für x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
für x = 1, y(1) = 1 n = 1
Umkehrfunktion:

Der p-Wert ist positiv, kleiner als eins, 0< p < 1

Graph einer Potenzfunktion mit einem rationalen Exponenten (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Ungerader Zähler, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domain: -∞ < x < +∞
Mehrere Werte: -∞ < y < +∞
Parität: ungerade, y(-x) = - y(x)
Monoton: steigt monoton an
Extreme: Nein
Konvex:
bei x< 0 : выпукла вниз
für x > 0 : konvex nach oben
Haltepunkte: x=0, y=0
Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: x=0, y=0
Schild:
bei x< 0, y < 0
für x > 0, y > 0
Grenzen:
;
Private Werte:
für x = -1, y(-1) = -1
für x = 0, y(0) = 0
für x = 1, y(1) = 1
Umkehrfunktion:

Gerader Zähler, n = 2, 4, 6, ...

Dargestellt sind die Eigenschaften der Potenzfunktion y = x p mit einem rationalen Exponenten , der innerhalb von 0 liegt.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domain: -∞ < x < +∞
Mehrere Werte: 0 ≤ y< +∞
Parität: gerade, y(-x) = y(x)
Monoton:
bei x< 0 : монотонно убывает
für x > 0 : monoton steigend
Extreme: Minimum bei x = 0, y = 0
Konvex: konvex nach oben bei x ≠ 0
Haltepunkte: Nein
Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: x=0, y=0
Schild: für x ≠ 0, y > 0
Grenzen:
;
Private Werte:
für x = -1, y(-1) = 1
für x = 0, y(0) = 0
für x = 1, y(1) = 1
Umkehrfunktion:

Der Exponent p ist größer als eins, p > 1

Graph einer Potenzfunktion mit einem rationalen Exponenten (p > 1 ) für verschiedene Werte des Exponenten , wobei m = 3, 5, 7, ... ungerade ist.

Ungerader Zähler, n = 5, 7, 9, ...

Eigenschaften einer Potenzfunktion y = x p mit einem rationalen Exponenten größer als eins: . Wo n = 5, 7, 9, ... eine ungerade natürliche Zahl ist, ist m = 3, 5, 7 ... eine ungerade natürliche Zahl.

Domain: -∞ < x < ∞
Mehrere Werte: -∞ < y < ∞
Parität: ungerade, y(-x) = - y(x)
Monoton: steigt monoton an
Extreme: Nein
Konvex:
bei -∞< x < 0 выпукла вверх
bei 0< x < ∞ выпукла вниз
Haltepunkte: x=0, y=0
Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: x=0, y=0
Grenzen:
;
Private Werte:
für x = -1, y(-1) = -1
für x = 0, y(0) = 0
für x = 1, y(1) = 1
Umkehrfunktion:

Gerader Zähler, n = 4, 6, 8, ...

Eigenschaften einer Potenzfunktion y = x p mit einem rationalen Exponenten größer als eins: . Wobei n = 4, 6, 8, ... eine gerade natürliche Zahl ist, m = 3, 5, 7 ... eine ungerade natürliche Zahl ist.

Domain: -∞ < x < ∞
Mehrere Werte: 0 ≤ y< ∞
Parität: gerade, y(-x) = y(x)
Monoton:
bei x< 0 монотонно убывает
für x > 0 monoton ansteigend
Extreme: Minimum bei x = 0, y = 0
Konvex: konvex nach unten
Haltepunkte: Nein
Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: x=0, y=0
Grenzen:
;
Private Werte:
für x = -1, y(-1) = 1
für x = 0, y(0) = 0
für x = 1, y(1) = 1
Umkehrfunktion:

Der Nenner des Bruchindikators ist gerade

Der Nenner des Bruchexponenten sei gerade: m = 2, 4, 6, ... . In diesem Fall ist die Potenzfunktion x p für negative Werte des Arguments nicht definiert. Ihre Eigenschaften stimmen mit denen einer Potenzfunktion mit irrationalem Exponenten überein (siehe nächster Abschnitt).

Potenzfunktion mit irrationalem Exponenten

Betrachten Sie eine Potenzfunktion y = x p mit einem irrationalen Exponenten p . Die Eigenschaften solcher Funktionen unterscheiden sich von den oben betrachteten dadurch, dass sie nicht für negative Werte des x-Arguments definiert sind. Bei positiven Werten des Arguments hängen die Eigenschaften nur vom Wert des Exponenten p ab und nicht davon, ob p ganzzahlig, rational oder irrational ist.

y = x p für verschiedene Werte des Exponenten p .

Potenzfunktion mit negativem p< 0

Domain: x > 0
Mehrere Werte: y > 0
Monoton: nimmt monoton ab
Konvex: konvex nach unten
Haltepunkte: Nein
Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: Nein
Grenzen: ;
privater Wert: Für x = 1 ist y(1) = 1 p = 1

Potenzfunktion mit positivem Exponenten p > 0

Der Indikator ist kleiner als eine 0< p < 1

Domain: x ≥ 0
Mehrere Werte: y ≥ 0
Monoton: steigt monoton an
Konvex: konvex nach oben
Haltepunkte: Nein
Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: x=0, y=0
Grenzen:
Private Werte: Für x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Für x = 1 ist y(1) = 1 p = 1

Der Indikator ist größer als eins p > 1

Domain: x ≥ 0
Mehrere Werte: y ≥ 0
Monoton: steigt monoton an
Konvex: konvex nach unten
Haltepunkte: Nein
Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: x=0, y=0
Grenzen:
Private Werte: Für x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Für x = 1 ist y(1) = 1 p = 1

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.

Siehe auch:

Erinnern Sie sich an die Eigenschaften und Graphen von Potenzfunktionen mit einem negativen ganzzahligen Exponenten.

Für gerade n gilt:

Funktionsbeispiel:

Alle Graphen solcher Funktionen gehen durch zwei Fixpunkte: (1;1), (-1;1). Ein Merkmal von Funktionen dieses Typs ist ihre Parität, die Graphen sind bezüglich der op-y-Achse symmetrisch.

Reis. 1. Graph einer Funktion

Für ungerade n gilt:

Funktionsbeispiel:

Alle Graphen solcher Funktionen gehen durch zwei Fixpunkte: (1;1), (-1;-1). Funktionen dieses Typs zeichnen sich durch ihre Ungewöhnlichkeit aus, die Graphen sind symmetrisch zum Ursprung.

Reis. 2. Funktionsgraph

Erinnern wir uns an die Hauptdefinition.

Der Grad einer nichtnegativen Zahl a mit einem rationalen positiven Exponenten heißt Zahl.

Der Grad einer positiven Zahl a mit einem rationalen negativen Exponenten heißt Zahl.

Für die folgende Gleichheit gilt:

Zum Beispiel: ; - der Ausdruck existiert nicht per Definition eines Grades mit negativem rationalen Exponenten; existiert, da der Exponent eine ganze Zahl ist,

Wenden wir uns der Betrachtung von Potenzfunktionen mit rational negativem Exponenten zu.

Zum Beispiel:

Um diese Funktion darzustellen, können Sie eine Tabelle erstellen. Wir werden es anders machen: Zuerst werden wir den Graphen des Nenners erstellen und untersuchen – wir kennen ihn (Abbildung 3).

Reis. 3. Graph einer Funktion

Der Graph der Nennerfunktion geht durch einen Fixpunkt (1;1). Bei der Konstruktion eines Graphen der ursprünglichen Funktion bleibt dieser Punkt erhalten, wenn auch die Wurzel gegen Null geht, strebt die Funktion gegen Unendlich. Und umgekehrt, wenn x gegen unendlich geht, tendiert die Funktion gegen Null (Abbildung 4).

Reis. 4. Funktionsgraph

Betrachten Sie eine weitere Funktion aus der Familie der untersuchten Funktionen.

Es ist wichtig, dass per Definition

Betrachten Sie den Graphen der Funktion im Nenner: Wir kennen den Graphen dieser Funktion, er nimmt in seinem Definitionsbereich zu und geht durch den Punkt (1; 1) (Abbildung 5).

Reis. 5. Funktionsgraph

Bei der Konstruktion eines Graphen der ursprünglichen Funktion bleibt der Punkt (1; 1) übrig, wenn auch die Wurzel gegen Null geht, strebt die Funktion gegen Unendlich. Und umgekehrt, wenn x gegen unendlich geht, tendiert die Funktion gegen Null (Abbildung 6).

Reis. 6. Funktionsgraph

Die betrachteten Beispiele helfen zu verstehen, wie der Graph verläuft und welche Eigenschaften die untersuchte Funktion hat - eine Funktion mit einem negativen rationalen Exponenten.

Funktionsgraphen dieser Schar gehen durch den Punkt (1;1), die Funktion nimmt über den gesamten Definitionsbereich ab.

Funktionsumfang:

Die Funktion ist nicht nach oben beschränkt, sondern nach unten. Die Funktion hat weder einen maximalen noch einen minimalen Wert.

Die Funktion ist stetig, sie nimmt alle positiven Werte von null bis plus unendlich an.

Konvexe Abwärtsfunktion (Abbildung 15.7)

Die Punkte A und B werden auf der Kurve genommen, ein Segment wird durch sie gezogen, die gesamte Kurve liegt unter dem Segment, diese Bedingung ist für zwei beliebige Punkte auf der Kurve erfüllt, daher ist die Funktion nach unten konvex. Reis. 7.

Reis. 7. Konvexität einer Funktion

Es ist wichtig zu verstehen, dass die Funktionen dieser Familie von unten durch Null begrenzt sind, aber sie haben nicht den kleinsten Wert.

Beispiel 1 - Finden Sie das Maximum und Minimum der Funktion auf dem Intervall und steigt mitX und sinkt beiX }