Bisher haben wir die Liniengleichungen in der Ebene betrachtet, die die aktuellen Koordinaten der Punkte dieser Linien direkt in Beziehung setzen. Häufig wird jedoch eine andere Art der Linienangabe verwendet, bei der die aktuellen Koordinaten als Funktionen einer dritten Variablen betrachtet werden.

Gegeben seien zwei Funktionen einer Variablen

betrachtet für die gleichen Werte von t. Dann entspricht jeder dieser Werte von t einem bestimmten Wert und einem bestimmten Wert von y und folglich einem bestimmten Punkt . Wenn die Variable t alle Werte aus dem Funktionsdefinitionsbereich (73) durchläuft, beschreibt der Punkt in der Ebene eine Linie C. Gleichungen (73) heißen parametrische Gleichungen dieser Linie, und die Variable heißt Parameter.

Angenommen, die Funktion hat eine inverse Funktion. Durch Einsetzen dieser Funktion in die zweite der Gleichungen (73) erhalten wir die Gleichung

y als Funktion ausdrücken

Vereinbaren wir, dass diese Funktion parametrisch durch die Gleichungen (73) gegeben ist. Der Übergang von diesen Gleichungen zu Gleichung (74) wird als Elimination des Parameters bezeichnet. Bei der Betrachtung parametrisch definierter Funktionen ist der Ausschluss des Parameters nicht nur nicht notwendig, sondern auch praktisch nicht immer möglich.

In vielen Fällen ist es bei unterschiedlichen Werten des Parameters viel bequemer, dann mithilfe von Formeln (73) die entsprechenden Werte des Arguments und der Funktion y zu berechnen.

Betrachten Sie Beispiele.

Beispiel 1. Sei ein beliebiger Punkt eines Kreises mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius R. Die kartesischen Koordinaten x und y dieses Punktes werden in Bezug auf seinen Polarradius und Polarwinkel ausgedrückt, die wir hier mit t bezeichnen, wie folgt ( siehe Kap. I, § 3, Punkt 3):

Die Gleichungen (75) heißen parametrische Kreisgleichungen. Der Parameter in ihnen ist der Polarwinkel, der von 0 bis variiert.

Werden die Gleichungen (75) quadriert und Term für Term addiert, so wird aufgrund der Identität der Parameter eliminiert und man erhält die Kreisgleichung im kartesischen Koordinatensystem, die zwei elementare Funktionen definiert:

Jede dieser Funktionen wird parametrisch durch Gleichungen (75) spezifiziert, aber die Bereiche der Parametervariation für diese Funktionen sind unterschiedlich. Für den ersten; der Graph dieser Funktion ist der obere Halbkreis. Der Graph der zweiten Funktion ist der untere Halbkreis.

Beispiel 2. Betrachten Sie gleichzeitig eine Ellipse

und ein Kreis, der am Ursprung und Radius a zentriert ist (Abb. 138).

Jedem Punkt M der Ellipse ordnen wir einen Punkt N des Kreises zu, der die gleiche Abszisse wie der Punkt M hat und mit ihm auf der gleichen Seite der Ochsenachse liegt. Die Position des Punktes N und damit des Punktes M wird vollständig durch den Polarwinkel des Punktes bestimmt t. In diesem Fall erhalten wir für ihre gemeinsame Abszisse den folgenden Ausdruck: x \u003d a. Wir finden die Ordinate am Punkt M aus der Ellipsengleichung:

Das Vorzeichen wird gewählt, weil die Ordinate am Punkt M und die Ordinate am Punkt N das gleiche Vorzeichen haben müssen.

Damit ergeben sich für die Ellipse folgende Parametergleichungen:

Hier ändert sich der Parameter t von 0 auf .

Beispiel 3. Betrachten Sie einen Kreis mit einem Mittelpunkt im Punkt a) und einem Radius a, der offensichtlich die x-Achse im Ursprung berührt (Abb. 139). Angenommen, es ist dieser Kreis, der ohne Schlupf entlang der x-Achse rollt. Dann beschreibt der Punkt M des Kreises, der im Anfangsmoment mit dem Ursprung zusammenfiel, eine Gerade, die als Zykloide bezeichnet wird.

Wir leiten die parametrischen Gleichungen der Zykloide ab, indem wir als Parameter t den Rotationswinkel des Kreises MSW nehmen, wenn sein fester Punkt von der Position O zur Position M verschoben wird. Dann erhalten wir für die Koordinaten und y des Punktes M die folgenden Ausdrücke:

Da der Kreis ohne Schlupf auf der Achse abrollt, ist die Länge der Strecke OB gleich der Bogenlänge VM. Da die Länge des VM-Bogens gleich dem Produkt aus Radius a und Zentriwinkel t ist, gilt . So . Aber deshalb

Diese Gleichungen sind die parametrischen Gleichungen der Zykloide. Wenn der Parameter t von 0 auf geändert wird, macht der Kreis eine vollständige Umdrehung. Punkt M beschreibt einen Bogen der Zykloide.

Der Ausschluss des Parameters t führt hier zu umständlichen Ausdrücken und ist praktisch unpraktisch.

Die parametrische Definition von Linien wird besonders häufig in der Mechanik verwendet, und die Zeit spielt die Rolle eines Parameters.

Beispiel 4. Lassen Sie uns die Flugbahn eines Projektils bestimmen, das von einer Kanone mit einer Anfangsgeschwindigkeit in einem Winkel a zum Horizont abgefeuert wird. Luftwiderstand und Projektilabmessungen werden, wenn man es als materiellen Punkt betrachtet, vernachlässigt.

Wählen wir ein Koordinatensystem. Für den Koordinatenursprung nehmen wir den Ausgangspunkt des Projektils von der Mündung. Richten wir die Ox-Achse horizontal und die Oy-Achse vertikal aus und platzieren sie in derselben Ebene wie die Mündung der Waffe. Wenn es keine Gravitationskraft gäbe, würde sich das Projektil entlang einer geraden Linie bewegen, die einen Winkel a mit der Ochsenachse bildet, und bis zum Zeitpunkt t hätte das Projektil die Strecke zurückgelegt. Aufgrund der Erdanziehungskraft muss das Projektil zu diesem Zeitpunkt vertikal um einen Betrag absinken, daher sind in Wirklichkeit zum Zeitpunkt t die Koordinaten des Projektils durch die Formeln bestimmt:

Diese Gleichungen sind Konstanten. Wenn sich t ändert, ändern sich auch die Koordinaten des Flugbahnpunkts des Geschosses. Die Gleichungen sind parametrische Gleichungen der Flugbahn des Geschosses, bei denen der Parameter die Zeit ist

Ausdrücken aus der ersten Gleichung und Einsetzen in

Mit der zweiten Gleichung erhalten wir die Gleichung der Flugbahn des Projektils in der Form Dies ist die Gleichung einer Parabel.

Betrachten Sie die Definition einer Linie auf einer Ebene, in der die Variablen x, y Funktionen der dritten Variablen t (genannt Parameter) sind:

Für jeden Wert t aus irgendeinem Intervall entsprechen bestimmte Werte x und y, und, also ein bestimmter Punkt M(x, y) der Ebene. Wann t Durchläuft alle Werte aus einem vorgegebenen Intervall, dann der Punkt M (x, y) beschreibt eine Zeile L. Die Gleichungen (2.2) heißen parametrische Geradengleichungen L.

Wenn die Funktion x = φ(t) eine Umkehrung t = Ä(x) hat, dann erhalten wir durch Einsetzen dieses Ausdrucks in die Gleichung y = g(t) y = g(Ä(x)), was spezifiziert j als Funktion von x. In diesem Fall sollen die Gleichungen (2.2) die Funktion definieren j parametrisch.

Beispiel 1 Lassen M (x, y) ein beliebiger Punkt des Radiuskreises ist R und am Ursprung zentriert. Lassen t- der Winkel zwischen den Achsen Ochse und Radius Om(Siehe Abbildung 2.3). Dann x, y ausgedrückt durch t:

Gleichungen (2.3) sind Parametergleichungen des Kreises. Lassen Sie uns den Parameter t aus den Gleichungen (2.3) ausschließen. Dazu quadrieren wir jede der Gleichungen und addieren sie, wir erhalten: x 2 + y 2 \u003d R 2 (cos 2 t + sin 2 t) oder x 2 + y 2 \u003d R 2 - die Kreisgleichung im kartesischen Koordinatensystem. Es definiert zwei Funktionen: Jede dieser Funktionen ist durch parametrische Gleichungen (2.3) gegeben, aber für die erste Funktion , und für die zweite .

Beispiel 2. Parametrische Gleichungen

Definiere eine Ellipse mit Halbachsen ein, b(Abb. 2.4). Eliminieren des Parameters aus den Gleichungen t, erhalten wir die kanonische Gleichung der Ellipse:

Beispiel 3. Eine Zykloide ist eine Gerade, die durch einen auf einem Kreis liegenden Punkt beschrieben wird, wenn dieser Kreis ohne Schlupf auf einer Geraden abrollt (Abb. 2.5). Lassen Sie uns die parametrischen Gleichungen der Zykloide einführen. Der Radius des rollenden Kreises sei a, Punkt M, die Zykloide beschreibend, am Beginn der Bewegung fiel mit dem Ursprung zusammen.

Lassen Sie uns die Koordinaten bestimmen x, y Punkte M nachdem sich der Kreis um einen Winkel gedreht hat t
(Abb. 2.5), t = ÐMCB. Bogenlänge MB gleich der Segmentlänge OB, da rollt der kreis ohne zu rutschen, also

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – aKosten = a(1 – Kosten).

Damit erhält man die parametrischen Gleichungen der Zykloide:

Beim Ändern des Parameters t von 0 bis 2π der Kreis wird um eine Umdrehung gedreht, während der Punkt M beschreibt einen Bogen der Zykloide. Gleichungen (2.5) definieren j als Funktion von x. Obwohl die Funktion x = a(t - sint) hat eine umgekehrte Funktion, aber sie wird nicht in elementaren Funktionen ausgedrückt, also der Funktion y = f(x) wird nicht in elementaren Funktionen ausgedrückt.

Betrachten Sie die Ableitung der durch Gleichungen (2.2) parametrisch gegebenen Funktion. Die Funktion x = φ(t) auf einem bestimmten Änderungsintervall t hat eine inverse Funktion t = Ф(x), dann y = g(Ф(x)). Lassen x = φ(t), y = g(t) Derivate haben, und x"t≠0. Nach der Ableitungsregel einer komplexen Funktion y"x=y"t×t"x. Aufgrund der Umkehrfunktions-Differenzierungsregel also:

Die resultierende Formel (2.6) erlaubt es, die Ableitung für eine parametrisch gegebene Funktion zu finden.

Beispiel 4. Lassen Sie die Funktion j, es hängt davon ab x, wird parametrisch eingestellt:

Entscheidung. .
Beispiel 5 Steigung finden k Tangente an die Zykloide am Punkt M 0 entsprechend dem Wert des Parameters .
Entscheidung. Aus den Zykloidengleichungen: y" t = asint, x" t = a(1 - Kosten), Deshalb

Steigung einer Tangente an einem Punkt M0 gleich dem Wert bei t 0 \u003d π / 4:

FUNKTION DIFFERENZ

Lassen Sie die Funktion an einem Punkt x0 hat ein Derivat. A-Priorat:
daher durch die Eigenschaften der Grenze (Abschn. 1.8) , wobei a ist bei unendlich klein ∆x → 0. Von hier

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Da Δx → 0 ist, ist der zweite Term in Gleichung (2.7) eine infinitesimale höhere Ordnung im Vergleich zu , daher sind Δy und f "(x 0) × Δx äquivalent, infinitesimal (für f "(x 0) ≠ 0).

Somit besteht das Inkrement der Funktion Δy aus zwei Termen, von denen der erste f"(x 0) × Δx ist Hauptteil Inkremente Δy, linear in Bezug auf Δx (für f "(x 0) ≠ 0).

Differential die Funktion f(x) an der Stelle x 0 heißt der Hauptteil des Inkrements der Funktion und wird bezeichnet als: dy oder df(x0). Somit,

df (x0) = f "(x0)×Δx. (2.8)

Beispiel 1 Finden Sie das Differential einer Funktion dy und das Inkrement der Funktion Δy für die Funktion y \u003d x 2, wenn:
1) willkürlich x und Δ x; 2) x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0,1.

Entscheidung

1) Δy \u003d (x + Δx) 2 - x 2 \u003d x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 \u003d 2xΔx + (Δx) 2, dy \u003d 2xΔx.

2) Wenn x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0,1, dann Δy \u003d 40 × 0,1 + (0,1) 2 \u003d 4,01; dy = 40 × 0,1 = 4.

Wir schreiben Gleichheit (2.7) in der Form:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

Das Inkrement Δy weicht vom Differential ab dy zu einer infinitesimal höheren Ordnung im Vergleich zu Δx, daher wird in Näherungsrechnungen die Näherungsgleichung Δy ≈ dy verwendet, wenn Δx hinreichend klein ist.

Wenn man bedenkt, dass Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0), erhalten wir eine ungefähre Formel:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Beispiel 2. Rechnen Sie ungefähr.

Entscheidung. Prüfen:

Mit Formel (2.10) erhalten wir:

Daher ≈ 2,025.

Betrachten Sie die geometrische Bedeutung des Differentials df(x0)(Abb. 2.6).

Zeichnen Sie eine Tangente an den Graphen der Funktion y = f (x) am Punkt M 0 (x0, f (x 0)), sei φ der Winkel zwischen der Tangente KM0 und der Achse Ox, dann f "(x 0 ) = tgφ Aus ΔM0NP:
PN \u003d tgφ × Δx \u003d f "(x 0) × Δx \u003d df (x 0). PN ist jedoch das Inkrement der Tangentenordinate, wenn sich x von x 0 auf x 0 + Δx ändert.

Daher ist das Differential der Funktion f(x) am Punkt x 0 gleich dem Inkrement der tangentialen Ordinate.

Finden wir das Differential der Funktion
y=x. Da (x)" = 1, dann ist dx = 1 × Δx = Δx. Wir nehmen an, dass das Differential der unabhängigen Variablen x gleich ihrem Inkrement ist, also dx = Δx.

Wenn x eine beliebige Zahl ist, dann erhalten wir aus Gleichung (2.8) df(x) = f "(x)dx, woraus .
Somit ist die Ableitung für die Funktion y = f(x) gleich dem Verhältnis ihres Differentials zum Differential des Arguments.

Betrachten Sie die Eigenschaften des Differentials einer Funktion.

Sind u(x), v(x) differenzierbare Funktionen, dann gelten folgende Formeln:

Um diese Formeln zu beweisen, werden Ableitungsformeln für Summe, Produkt und Quotient verwendet. Beweisen wir zum Beispiel Formel (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Betrachten Sie das Differential einer komplexen Funktion: y = f(x), x = φ(t), d.h. y = f(φ(t)).

Dann ist dy = y" t dt, aber y" t = y" x ×x" t , also dy = y" x x" t dt. In Anbetracht,

dass x" t = dx, erhalten wir dy = y" x dx =f "(x)dx.

Somit hat das Differential einer komplexen Funktion y \u003d f (x), wobei x \u003d φ (t), die Form dy \u003d f "(x) dx, genauso wie wenn x eine unabhängige Variable ist. Diese Eigenschaft wird genannt forminvariantes Differential a.

Logarithmische Ableitung

Ableitungen elementarer Funktionen

Grundregeln der Differenzierung

Funktion Differential

Linearer Hauptteil des Funktionsinkrements EIN D x in der Definition der Differenzierbarkeit einer Funktion

D f=f(x)-f(x 0)=A(x-x 0)+o(x-x 0), x®x 0

heißt Differential der Funktion f(x) am Punkt x 0 und bezeichnet

df(x 0)=f¢(x 0)D x = A D x.

Die Differenz hängt vom Punkt ab x 0 und ab Inkrement D x. Auf D x wenn man es als unabhängige Variable betrachtet, so dass an jedem Punkt ist das Differential eine lineare Funktion des Inkrements D x.

Betrachten wir als Funktion f(x)=x, dann bekommen wir dx= D x, dy=Adx. Dies ist konsistent mit der Leibniz-Notation

Geometrische Interpretation des Differentials als Inkrement der Tangenten-Ordinaten.

Reis. 4.3

1) f= konst , f¢= 0, df= 0D x= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

Folge. (vgl(x))¢=cf¢(x), (c 1 f 1 (x)+…+c n f n(x))¢= c 1 f¢ 1 (x)+…+ c n f¢ n(x)

4) f=u/v, v(x 0)¹0 und die Ableitung existiert dann f¢=(u¢v-v¢ u)/v 2 .

Der Kürze halber werden wir bezeichnen u=u(x), u 0 = u(x 0), dann

Grenzübergang bei D x® 0 wir erhalten die geforderte Gleichheit.

5) Ableitung einer komplexen Funktion.

Satz. Wenn es f¢(x 0), g¢(x 0)und x 0 =g(t 0), dann in irgendeiner Nachbarschaft t 0 eine komplexe Funktion f(g(t)), sie ist im Punkt t differenzierbar 0 und

Nachweisen.

f(x)-f(x 0)=f¢(x 0)(x-x 0)+ a( x)(x-x 0), xÎ U(x 0).

f(g(t))-f(g(t 0))= f¢(x 0)(g(t)-g(t 0))+ a( g(t))(g(t)-g(t 0)).

Teilen Sie beide Seiten dieser Gleichheit durch ( t - t 0) und bis zur Grenze bei passieren t®t 0 .

6) Berechnung der Ableitung der Umkehrfunktion.

Satz. Sei f stetig und streng monoton[ein, b]. Lassen Sie an der Stelle x 0 Î( ein, b)existiert f¢(x 0)¹ 0 , dann die Umkehrfunktion x=f -1 (j)hat am Punkt y 0 Ableitung gleich

Nachweisen. Wir glauben f also streng monoton steigend f -1 (j) ist stetig, monoton steigend auf [ f(a),f(b)]. Lasst uns j 0 = f(x 0), y=f(x), x-x 0=D x,

y-y 0=D j. Aufgrund der Stetigkeit der Umkehrfunktion D j®0 Þ D x®0 haben wir

Beim Übergang zur Grenze erhalten wir die geforderte Gleichheit.

7) Die Ableitung einer geraden Funktion ist ungerade, die Ableitung einer ungeraden Funktion ist gerade.

In der Tat, wenn x-x 0 , dann - x® x 0 , Deshalb

Für eine gerade Funktion für eine ungerade Funktion

1) f= konstant, f¢(x)=0.

2) f(x)=x, f¢(x)=1.

3) f(x)=e x, f¢(x)= e x ,

4) f(x)= ein x,(ein x)¢ = x ln a.

5) ln a.

6) f(x)=ln x ,

Folge. (die Ableitung einer geraden Funktion ist ungerade)

7) (x m )¢= m x m-1 , x>0, x m =e m ln x .

8) (Sünde x)¢= cos x,

9) (Kos x)¢=- Sünde x,(Kos x)¢= (Sünde( x+ p/2)) ¢= weil ( x+ p/2)=-sünde x.

10) (tlg x)¢= 1/cos 2 x.

11) (vgl x)¢= -1/sünde2 x.

16) sch x, CH x.

f(x),, woraus folgt f¢(x)= f(x)(Ln f(x))¢ .

Dieselbe Formel kann unterschiedlich erhalten werden f(x)=e ln f(x) , f¢=e ln f(x) (Ln f(x))¢.

Beispiel. Berechne die Ableitung einer Funktion f=x x .

= x x = x x = x x = x x(Ln x + 1).

Ortskurve von Punkten auf einer Ebene

wird der Graph der Funktion genannt, parametrisch gegeben. Sie sprechen auch über die parametrische Definition einer Funktion.

Bemerkung 1. Wenn ein x, y durchgehend an [ein, b] und x(t) streng monoton auf dem Segment (zum Beispiel streng monoton steigend), dann auf [ ein, b], a=x(a) ,b=x(b) Funktion definiert f(x)= ja(t(x)), wo t(x) – Funktion umgekehrt zu x(t). Der Graph dieser Funktion ist derselbe wie der Graph der Funktion

Wenn der Umfang parametrisch definierte Funktion kann in eine endliche Anzahl von Segmenten unterteilt werden ,k= 1,2,…,n, auf denen jeweils die Funktion x(t) streng monoton ist, dann zerfällt die parametrisch definierte Funktion in eine endliche Anzahl gewöhnlicher Funktionen f k(x)= ja(t -1 (x)) mit Zielfernrohren [ x(a k), x(b k)] für ansteigende Bereiche x(t) und mit Domänen [ x(b k), x(a k)] für absteigende Abschnitte der Funktion x(t). Die auf diese Weise erhaltenen Funktionen werden als einwertige Zweige einer parametrisch definierten Funktion bezeichnet.

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer parametrisch definierten Funktion

Bei der gewählten Parametrisierung der Definitionsbereich ist in fünf Abschnitte strikter Monotonie der Funktion sin(2 t), exakt: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , und dementsprechend zerfällt der Graph in fünf einwertige Zweige, die diesen Abschnitten entsprechen.

Reis. 4.4

Reis. 4.5

Sie können eine andere Parametrisierung desselben Punkteortes wählen

In diesem Fall gibt es nur vier solcher Zweige. Sie entsprechen Bereichen strikter Monotonie tÎ ,tÎ , tÎ ,tÎ Funktionen Sünde (2 t).

Reis. 4.6

Vier Monotonieabschnitte der Funktion sin(2 t) auf einem Segment lang.

Reis. 4.7

Die Abbildung beider Graphen in einer Abbildung ermöglicht es Ihnen, den Graphen einer parametrisch gegebenen Funktion näherungsweise darzustellen, indem Sie die Monotoniebereiche beider Funktionen verwenden.

Betrachten Sie zum Beispiel den ersten Zweig, der dem Segment entspricht tÎ . Am Ende dieses Abschnitts wird die Funktion x= Sünde (2 t) nimmt die Werte -1 an und 1 , also wird dieser Zweig auf [-1,1] definiert. Danach müssen Sie sich die Monotoniebereiche der zweiten Funktion ansehen y= weil ( t), Sie hat zwei Bereiche der Monotonie . Dies erlaubt uns zu sagen, dass der erste Zweig zwei Segmente von Monotonie hat. Nachdem Sie die Endpunkte des Diagramms gefunden haben, können Sie sie mit geraden Linien verbinden, um die Art der Monotonie des Diagramms anzuzeigen. Nachdem wir dies mit jedem Zweig getan haben, erhalten wir Bereiche der Monotonie von einwertigen Zweigen des Diagramms (in der Abbildung sind sie rot hervorgehoben).

Reis. 4.8

Erster Einzelast f 1 (x)= ja(t(x)) , entsprechend dem Abschnitt bestimmt wird für xí[-1,1] . Erster Einzelast tÎ , xО[-1,1].

Alle anderen drei Zweige haben ebenfalls die Menge [-1,1] als ihre Domäne .

Reis. 4.9

Zweiter Zweig tÎ xО[-1,1].

Reis. 4.10

Dritter Zweig tÎ xí[-1,1]

Reis. 4.11

Vierter Zweig tÎ xí[-1,1]

Reis. 4.12

Kommentar 2. Dieselbe Funktion kann unterschiedliche parametrische Zuweisungen haben. Unterschiede können beide Funktionen selbst betreffen x(t), ja(t) , und Definitionsbereiche diese Funktionen.

Beispiel für verschiedene parametrische Zuweisungen derselben Funktion

und tí[-1, 1] .

Bemerkung 3. Wenn x,y kontinuierlich an sind , x(t)- streng monoton auf dem Segment und es gibt Derivate y¢(t 0),x¢(t 0)¹0, dann existiert f¢(x 0)= .

Wirklich, .

Die letzte Anweisung erstreckt sich auch auf einwertige Zweige einer parametrisch definierten Funktion.

4.2 Derivate und Differentiale höherer Ordnung

Höhere Ableitungen und Differentiale. Differentiation parametrisch gegebener Funktionen. Leibniz-Formel.

Die Funktion sei parametrisch gegeben:
(1)
wo ist eine Variable namens Parameter. Und lassen Sie die Funktionen und Ableitungen bei einem bestimmten Wert der Variablen haben. Darüber hinaus hat die Funktion auch eine inverse Funktion in irgendeiner Umgebung des Punktes . Dann hat die Funktion (1) an dem Punkt eine Ableitung, die in parametrischer Form durch die Formeln bestimmt wird:
(2)

Hier und sind Ableitungen der Funktionen und in Bezug auf die Variable (Parameter) . Sie werden oft in folgender Form geschrieben:
;
.

Dann lässt sich System (2) wie folgt schreiben:

Nachweisen

Per Bedingung hat die Funktion eine Umkehrfunktion. Bezeichnen wir es als
.
Dann kann die ursprüngliche Funktion als komplexe Funktion dargestellt werden:
.
Lassen Sie uns seine Ableitung finden, indem wir die Ableitungsregeln von komplexen und inversen Funktionen anwenden:
.

Die Regel hat sich bewährt.

Beweis auf dem zweiten Weg

Lassen Sie uns die Ableitung auf die zweite Weise finden, basierend auf der Definition der Ableitung der Funktion am Punkt:
.
Führen wir die Notation ein:
.
Dann nimmt die vorherige Formel die Form an:
.

Nutzen wir die Tatsache, dass die Funktion in der Nähe des Punktes eine Umkehrfunktion hat.
Wir führen die Notation ein:
; ;
; .
Teile Zähler und Nenner des Bruchs durch:
.
Beim , . Dann
.

Die Regel hat sich bewährt.

Ableitungen höherer Ordnung

Um Ableitungen höherer Ordnung zu finden, muss mehrmals differenziert werden. Angenommen, wir müssen die Ableitung zweiter Ordnung einer parametrisch gegebenen Funktion der folgenden Form finden:
(1)

Nach Formel (2) finden wir die ebenfalls parametrisch bestimmte erste Ableitung:
(2)

Bezeichne die erste Ableitung durch eine Variable:
.
Dann, um die zweite Ableitung der Funktion in Bezug auf die Variable zu finden, müssen Sie die erste Ableitung der Funktion in Bezug auf die Variable finden. Auch die Abhängigkeit einer Variablen von einer Variablen wird parametrisch angegeben:
(3)
Wenn wir (3) mit den Formeln (1) und (2) vergleichen, finden wir:

Lassen Sie uns nun das Ergebnis in Bezug auf die Funktionen und ausdrücken. Dazu ersetzen wir und wenden die Formel für die Ableitung eines Bruchs an:
.
Dann
.

Daraus erhalten wir die zweite Ableitung der Funktion nach der Variablen:

Es wird auch in parametrischer Form angegeben. Beachten Sie, dass die erste Zeile auch wie folgt geschrieben werden kann:
.

Wenn man den Prozess fortsetzt, ist es möglich, Ableitungen von Funktionen aus einer Variablen dritter und höherer Ordnung zu erhalten.

Beachten Sie, dass es möglich ist, die Notation für die Ableitung nicht einzuführen. Es kann so geschrieben werden:
;
.

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitung einer parametrisch gegebenen Funktion:

Entscheidung

Wir finden Ableitungen von und in Bezug auf .
Aus der Ableitungstabelle finden wir:
;
.
Wir bewerben uns:

.
Hier .

.
Hier .

Gewünschtes Derivat:
.

Antworten

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung der durch den Parameter ausgedrückten Funktion:

Entscheidung

Lassen Sie uns die Klammern mit Formeln für Potenzfunktionen und Wurzeln öffnen:
.

Wir finden die Ableitung:

.

Wir finden die Ableitung. Dazu führen wir eine Variable ein und wenden die Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion an.

.

Wir finden die gewünschte Ableitung:
.

Antworten

Beispiel 3

Finde die zweite und dritte Ableitung der in Beispiel 1 parametrisch gegebenen Funktion:

Entscheidung

In Beispiel 1 haben wir die Ableitung erster Ordnung gefunden:

Führen wir die Notation ein. Dann ist die Funktion die Ableitung nach . Sie wird parametrisch eingestellt:

Um die zweite Ableitung nach zu finden, müssen wir die erste Ableitung nach finden.

Wir differenzieren bzgl.
.
Wir haben die Ableitung von in Beispiel 1 gefunden:
.
Die Ableitung zweiter Ordnung bezüglich ist gleich der Ableitung erster Ordnung bezüglich:
.

Wir haben also die Ableitung zweiter Ordnung in Bezug auf die parametrische Form gefunden:

Jetzt finden wir die Ableitung dritter Ordnung. Führen wir die Notation ein. Dann müssen wir die erste Ableitung der Funktion finden, die parametrisch gegeben ist:

Wir finden die Ableitung nach . Dazu schreiben wir in äquivalenter Form um:
.
Aus
.

Die Ableitung dritter Ordnung bezüglich ist gleich der Ableitung erster Ordnung bezüglich:
.

Kommentar

Es ist möglich, die Variablen und nicht einzuführen, die Ableitungen von bzw. sind. Dann kannst du es so schreiben:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Antworten

In der parametrischen Darstellung hat die Ableitung zweiter Ordnung folgende Form:

Ableitung dritter Ordnung.

Die Funktion kann auf verschiedene Arten definiert werden. Es hängt von der Regel ab, die bei der Einstellung verwendet wird. Die explizite Form der Funktionsdefinition ist y = f (x) . Es gibt Fälle, in denen seine Beschreibung unmöglich oder unbequem ist. Wenn es eine Menge von Paaren (x; y) gibt, die für den Parameter t über das Intervall (a; b) berechnet werden müssen. Um das System x = 3 cos t y = 3 sin t mit 0 ≤ t zu lösen< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Parametrische Funktionsdefinition

Also sind x = φ (t) , y = ψ (t) für den Wert t ∈ (a ; b) definiert und haben dann eine Umkehrfunktion t = Θ (x) für x = φ (t) wir sprechen über das Aufstellen einer Parametergleichung einer Funktion der Form y = ψ (Θ (x)) .

Es gibt Fälle, in denen zur Untersuchung einer Funktion die Ableitung nach x gesucht werden muss. Betrachten Sie die Formel für die Ableitung einer parametrisch gegebenen Funktion der Form y x " = ψ " (t) φ " (t) , sprechen wir über die Ableitung der 2. und n. Ordnung.

Herleitung der Formel für die Ableitung einer parametrisch gegebenen Funktion

Wir haben x = φ (t) , y = ψ (t) , definiert und differenzierbar für t ∈ a ; b , wobei x t " = φ " (t) ≠ 0 und x = φ (t) , dann gibt es eine Umkehrfunktion der Form t = Θ (x) .

Zunächst sollten Sie von einer parametrischen Aufgabe zu einer expliziten wechseln. Dazu benötigen Sie eine komplexe Funktion der Form y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) , wobei es ein Argument x gibt.

Basierend auf der Regel zum Ermitteln der Ableitung einer komplexen Funktion erhalten wir, dass y "x \u003d ψ Θ (x) \u003d ψ " Θ x Θ" x.

Dies zeigt, dass t = Θ (x) und x = φ (t) Umkehrfunktionen sind aus der Umkehrfunktionsformel Θ "(x) = 1 φ" (t) , dann y "x = ψ" Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Betrachten wir nun die Lösung mehrerer Beispiele unter Verwendung einer Ableitungstabelle gemäß der Ableitungsregel.

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitung für die Funktion x = t 2 + 1 y = t .

Entscheidung

Durch die Bedingung haben wir, dass φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, daher erhalten wir, dass φ "(t) = t 2 + 1" , ψ "(t) = t" = 1. Es ist notwendig, die abgeleitete Formel zu verwenden und die Antwort in der Form zu schreiben:

y "x = ψ" (t) φ "(t) = 1 2 t

Antworten: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Beim Arbeiten mit der Ableitung einer Funktion gibt der Parameter t den Ausdruck des Arguments x durch denselben Parameter t an, um den Zusammenhang zwischen den Werten der Ableitung und der parametrisch definierten Funktion mit dem Argument, zu dem diese stehen, nicht zu verlieren Werte entsprechen.

Um die Ableitung zweiter Ordnung einer parametrisch gegebenen Funktion zu bestimmen, müssen Sie die Formel für die Ableitung erster Ordnung auf die resultierende Funktion anwenden, dann bekommen wir das

y""x = ψ"(t)φ"(t)"φ"(t) = ψ""(t) φ"(t) - ψ"(t) φ""(t)φ"( t) 2 φ "(t) = ψ "" (t) φ "(t) - ψ "(t) φ "" (t) φ "(t) 3 .

Beispiel 2

Finde die Ableitungen 2. und 2. Ordnung der gegebenen Funktion x = cos (2 t) y = t 2 .

Entscheidung

Durch Bedingung erhalten wir, dass φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

Dann nach der Verwandlung

φ "(t) \u003d cos (2 t)" \u003d - Sünde (2 t) 2 t " \u003d - 2 Sünde (2 t) ψ (t) \u003d t 2 " \u003d 2 t

Daraus folgt, dass y x "= ψ" (t) φ "(t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Wir erhalten, dass die Form der Ableitung 1. Ordnung x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) ist.

Um es zu lösen, müssen Sie die Ableitungsformel zweiter Ordnung anwenden. Wir bekommen einen Ausdruck wie

y x "" \u003d - t Sünde (2 t) φ "t \u003d - t " Sünde (2 t) - t (Sünde (2 t)) " Sünde 2 (2 t) - 2 Sünde (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Stellen Sie dann die Ableitung 2. Ordnung mit der parametrischen Funktion ein

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Eine ähnliche Lösung kann durch eine andere Methode gelöst werden. Dann

φ "t \u003d (cos (2 t)) " \u003d - Sünde (2 t) 2 t " \u003d - 2 Sünde (2 t) ⇒ φ "" t \u003d - 2 Sünde (2 t) " \u003d - 2 sin (2 t) "= - 2 cos (2 t) (2 t)" = - 4 cos (2 t) ψ "(t) = (t 2)" = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

Daher bekommen wir das

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 Sünde 2 t 3 \u003d \u003d Sünde (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s ich n 3 (2 t)

Antworten: y "" x \u003d Sünde (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s ich n 3 (2 t)

In ähnlicher Weise werden Ableitungen höherer Ordnung mit parametrisch spezifizierten Funktionen gefunden.

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