Boltzmann-Verteilung für Teilchen in einem Potentialfeld. Ideales Gas in einem äußeren Potentialfeld

Ein ideales Gas befinde sich im Bereich der konservativen Kräfte unter Bedingungen des thermischen Gleichgewichts. In diesem Fall wird die Gaskonzentration an Punkten mit unterschiedlichen potentiellen Energien unterschiedlich sein, was notwendig ist, um die Bedingungen des mechanischen Gleichgewichts einzuhalten. Also die Anzahl der Moleküle in einer Volumeneinheit n mit der Entfernung von der Erdoberfläche abnimmt, und der Druck aufgrund der Relation P = nkt, Stürze.

Wenn die Anzahl der Moleküle in einer Volumeneinheit bekannt ist, dann ist auch der Druck bekannt und umgekehrt. Druck und Dichte sind proportional zueinander, da die Temperatur in unserem Fall konstant ist. Der Druck muss mit abnehmender Höhe zunehmen, da die unterste Schicht das Gewicht aller darüber befindlichen Atome tragen muss.

Basierend auf der Grundgleichung der molekularkinetischen Theorie: P = nkt, ersetzen P und P0 in der barometrischen Formel (2.4.1) auf n und n 0 und bekomme Boltzmann-Verteilung für die Molmasse von Gas:

Da a , dann kann (2.5.1) dargestellt werden als

Abbildung 2.11 zeigt die Abhängigkeit der Konzentration verschiedener Gase von der Höhe. Es ist ersichtlich, dass die Anzahl der schwereren Moleküle mit der Höhe schneller abnimmt als die der leichten.

Boltzmann hat bewiesen, dass die Beziehung (2.5.3) nicht nur im Potentialfeld der Gravitationskräfte gültig ist, sondern in jedem Potentialfeld für eine Ansammlung beliebiger identischer Teilchen in einem Zustand chaotischer thermischer Bewegung.

Boltzmannsches Gesetz für die Verteilung von Teilchen in einem äußeren Potentialfeld

MOLEKULARPHYSIK UND THERMODYNAMIK

Boltzmann Ludwig(1844-1906), österreichischer Physiker, einer der Begründer der statistischen Physik und physikalischen Kinetik, ausländisches korrespondierendes Mitglied der St. Petersburger Akademie der Wissenschaften (1899). Er leitete die nach ihm benannte Verteilungsfunktion und die kinetische Grundgleichung von Gasen ab. Gab (1872) eine statistische Begründung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik. Er leitete eines der Gesetze der Wärmestrahlung ab (das Stefan-Boltzmann-Gesetz).

Aufgrund der chaotischen Bewegung sind Änderungen in der Position jedes Teilchens (Molekül, Atom usw.) eines physikalischen Systems (makroskopischer Körper) naturgemäß ein zufälliger Prozess. Daher können wir über die Wahrscheinlichkeit sprechen, ein Teilchen in einer bestimmten Region des Weltraums zu finden.

Aus der Kinematik ist bekannt, dass die Position eines Teilchens im Raum durch seinen Radiusvektor oder seine Koordinaten gekennzeichnet ist.

Betrachten Sie die Wahrscheinlichkeit dW(), ein Teilchen in einem Raumbereich zu entdecken, der durch ein kleines Intervall von Werten des Radius-Vektors definiert ist, wenn sich das physikalische System in einem Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts befindet.

Das Vektorintervall wird durch das Volumen dV=dxdydz gemessen.

Wahrscheinlichkeitsdichte (Wahrscheinlichkeitsfunktion der Verteilung von Radius-Vektor-Werten)

Das Teilchen befindet sich zu einem bestimmten Zeitpunkt tatsächlich irgendwo im angegebenen Raum, was bedeutet, dass die Normierungsbedingung erfüllt sein muss:

Lassen Sie uns die Teilchenverteif() eines klassischen idealen Gases finden. Das Gas nimmt das gesamte Volumen V ein und befindet sich im thermodynamischen Gleichgewicht mit der Temperatur T.

In Abwesenheit eines äußeren Kraftfeldes sind alle Positionen jedes Teilchens gleich wahrscheinlich, d.h. Gas nimmt das gesamte Volumen mit gleicher Dichte ein. Also f() = const.

Unter Verwendung der Normalisierungsbedingung finden wir das

Wenn die Anzahl der Gasteilchen N ist, dann ist die Konzentration n = N/V.

Also f(r) =n/N .

Fazit: Ohne äußeres Kraftfeld hängt die Wahrscheinlichkeit dW(), ein ideales Gasteilchen in einem Volumen dV zu entdecken, nicht von der Lage dieses Volumens im Raum ab, d.h. .

Stellen wir ein ideales Gas in ein äußeres Kraftfeld.

Als Folge der räumlichen Umverteilung von Gasteilchen ist die Wahrscheinlichkeitsdichte f() ¹ const.

Die Konzentration der Gasteilchen n und ihr Druck P werden unterschiedlich sein, d.h. in der Grenze, wobei D N die durchschnittliche Anzahl von Teilchen im Volumen D V und der Druck in der Grenze ist, wobei D F der Absolutwert der durchschnittlichen Kraft ist, die normal auf die Fläche D S wirkt.

Wenn die Kräfte des äußeren Feldes potentiell sind und in die gleiche Richtung wirken (beispielsweise ist die Schwerkraft der Erde entlang der z-Achse gerichtet), dann wirken die Druckkräfte auf das obere dS 2 und das untere dS 1 der Basis aus die Volumina dV werden nicht gleich sein (Abb. 2.2) .

In diesem Fall muss die Differenz der Druckkräfte dF auf die Stützpunkte dS 1 und dS 2 durch die Einwirkung der Kräfte des äußeren Feldes ausgeglichen werden.

Gesamtdruckdifferenz dF = nGdV,

wobei G die Kraft ist, die vom externen Feld auf ein Teilchen wirkt.

Die Differenz der Druckkräfte (per Definition des Drucks) dF = dPdxdy. Daher ist dP = nGdz.

Aus der Mechanik ist bekannt, dass die potentielle Energie eines Teilchens in einem äußeren Kraftfeld mit der Stärke dieses Feldes durch die Beziehung in Beziehung steht.

Dann ist die Druckdifferenz an der oberen und unteren Basis des ausgewählten Volumens dP = -n dW p .

Im thermodynamischen Gleichgewichtszustand eines physikalischen Systems ist seine Temperatur T innerhalb des Volumens dV überall gleich. Daher verwenden wir die ideale Gaszustandsgleichung für den Druck dP = kTdn.

Wenn wir die letzten beiden Gleichungen zusammen lösen, bekommen wir das

— ndW p = kTdn oder .

Nach Transformationen finden wir das

wo ℓ n n o ist die Integrationskonstante (n o ist die Teilchenkonzentration an der Stelle im Raum, an der Wp = 0).

Nach der Potenzierung erhalten wir

Schlussfolgerung: In einem Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts ändert sich die Konzentration (Dichte) idealer Gasteilchen in einem äußeren Kraftfeld gemäß dem durch Formel (2.11) bestimmten Gesetz, das aufgerufen wird Boltzmann-Verteilung.

Unter Berücksichtigung von (2.11) nimmt die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Verteilung von Molekülen im Schwerefeld die Form an

Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen eines idealen Gases in einem Volumen dV zu entdecken, das sich an einem durch den Radiusvektor bestimmten Punkt befindet, kann dargestellt werden als

Bei einem idealen Gas unterscheidet sich der Druck nur um einen konstanten Faktor kT (P=nkT) von der Konzentration.

Daher ist für solche Gase der Druck

Wenden wir die Boltzmann-Verteilung auf atmosphärische Luft im Gravitationsfeld der Erde an.

Die Zusammensetzung der Erdatmosphäre umfasst Gase: Stickstoff - 78,1%; Sauerstoff - 21 %; Argon-0,9 %. Die Masse der Atmosphäre beträgt -5,15 × 10 18 kg. In einer Höhe von 20-25 km befindet sich eine Ozonschicht.

Nahe der Erdoberfläche ist die potentielle Energie von Luftteilchen in einer Höhe h W p = m o gh , wobei m o die Masse des Teilchens ist.

Die potentielle Energie auf Erdniveau (h=0) ist gleich Null (W p =0).

Haben die Teilchen der Erdatmosphäre im thermodynamischen Gleichgewicht eine Temperatur T, so erfolgt die Änderung des atmosphärischen Luftdrucks mit der Höhe gesetzmäßig

Formel (2.15) wird aufgerufen barometrische Formel; gilt für verdünnte Gasgemische.

Fazit: für die Erdatmosphäre gilt: Je schwerer das Gas, desto schneller sinkt sein Druck in Abhängigkeit von der Höhe, d.h. mit zunehmender Höhe sollte die Atmosphäre immer mehr mit leichten Gasen angereichert werden. Aufgrund von Temperaturänderungen befindet sich die Atmosphäre nicht im Gleichgewicht. Daher kann die barometrische Formel auf kleine Bereiche angewendet werden, in denen es keine Temperaturänderung gibt. Darüber hinaus wird das Ungleichgewicht der Erdatmosphäre durch das Gravitationsfeld der Erde beeinflusst, das sie nicht nahe an der Oberfläche des Planeten halten kann. Es gibt eine Streuung der Atmosphäre und je schneller, desto schwächer das Gravitationsfeld. Zum Beispiel löst sich die Erdatmosphäre ziemlich langsam auf. Während der Existenz der Erde (

4-5 Milliarden Jahren) verlor es einen kleinen Teil seiner Atmosphäre (hauptsächlich leichte Gase: Wasserstoff, Helium usw.).

Das Gravitationsfeld des Mondes ist schwächer als das der Erde, daher hat er seine Atmosphäre fast vollständig verloren.

Das Nichtgleichgewicht der Erdatmosphäre kann wie folgt nachgewiesen werden. Nehmen wir an, die Erdatmosphäre befindet sich im thermodynamischen Gleichgewicht und hat an jedem Punkt ihres Raumes eine konstante Temperatur. Wir wenden die Boltzmann-Formel (2.11) an, in der die Rolle der potentiellen Energie die potentielle Energie des Gravitationsfeldes der Erde spielt, d.h.

wobei g die Gravitationskonstante ist; Mz ist die Masse der Erde; m o die Masse eines Luftteilchens ist; r ist der Abstand des Teilchens vom Erdmittelpunkt.

Für r ® ¥ W p =0. Daher nimmt die Boltzmann-Verteilung (2.11) die Form an

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11.2 Das Verteilungsgesetz idealer Gasmoleküle in einem äußeren Kraftfeld

Bei der Betrachtung der kinetischen Gastheorie und des Maxwellschen Verteilungsgesetzes wurde angenommen, dass auf Gasmoleküle außer molekularen Stößen keine Kräfte wirken. Daher werden die Moleküle gleichmäßig im Gefäß verteilt. Tatsächlich befinden sich die Moleküle jedes Gases immer im Gravitationsfeld der Erde. Dadurch erfährt jedes Molekül der Masse m die Wirkung der Schwerkraft f = mg.

Nehmen wir ein horizontales Element des Gasvolumens mit einer Höhe dh und einer Grundfläche S heraus (Abb. 11.2). Wir gehen davon aus, dass das Gas homogen und seine Temperatur konstant ist. Die Anzahl der Moleküle in diesem Volumen ist gleich dem Produkt seines Volumens dV=Sdh mit der Anzahl der Moleküle pro Volumeneinheit. Das Gesamtgewicht der Moleküle im ausgewählten Element ist gleich

Die Wirkung des Gewichts dF verursacht einen Druck gleich

minus - weil mit zunehmendem dh nimmt der Druck ab. Gemäß der Grundgleichung der Molekularkinetik-Theorie

Durch Gleichsetzen der rechten Seiten von (11.2) und (11.3) erhalten wir

oder

Integration dieses Ausdrucks im Bereich von bis h (entsprechend variiert die Konzentration von bis n):

wir bekommen

Wir potenzieren den resultierenden Ausdruck, finden wir

Der Exponent bei exp hat einen Faktor , der die Zunahme der potentiellen Energie von Gasmolekülen bestimmt. Wenn wir ein Molekül von Ebene zu Ebene h bewegen, ändert sich seine potentielle Energie

Dann wird die Gleichung für die Konzentration von Molekülen in die Form umgewandelt

Diese Gleichung spiegelt das allgemeine Boltzmann-Gesetz wider und gibt die Verteilung der Anzahl der Teilchen in Abhängigkeit von ihrer potentiellen Energie an. Es ist auf jedes System von Teilchen in einem Kraftfeld anwendbar, beispielsweise in einem elektrischen.

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Boltzmann-Verteilung

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Nehmen wir an, das Gas befinde sich in einem äußeren Potentialfeld. In diesem Fall hat ein Gasmolekül der Masse $m_0\ ,$, das sich mit einer Geschwindigkeit $\overrightarrow \ $ bewegt, die Energie $_p$, die durch die Formel ausgedrückt wird:

Die Wahrscheinlichkeit ($dw$), dieses Teilchen im Phasenvolumen $dxdydzdp_xdp_ydp_z$ zu finden, beträgt:

Die Wahrscheinlichkeitsdichten der Koordinaten des Teilchens und seiner Impulse sind unabhängig, also:

Formel (5) gibt die Maxwell-Verteilung für Molekulargeschwindigkeiten an. Schauen wir uns den Ausdruck (4) genauer an, der zur Boltzmann-Verteilung führt. $dw_1\left(x,y,z\right)$ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, ein Teilchen im Volumen $dxdydz$ in der Nähe des Punktes mit den Koordinaten $\left(x,y,z\right)$ zu finden. Wir gehen davon aus, dass die Gasmoleküle unabhängig sind und sich im gewählten Gasvolumen n Teilchen befinden. Dann erhalten wir gemäß der Formel zum Addieren von Wahrscheinlichkeiten:

Der Koeffizient $A_1$ ergibt sich aus der Normierungsbedingung, was in unserem Fall bedeutet, dass es n Teilchen im zugeordneten Volumen gibt:

Was ist die Boltzmann-Verteilung

Die Boltzmann-Verteilung heißt der Ausdruck:

Ausdruck (8) spezifiziert die räumliche Verteilung der Teilchenkonzentration in Abhängigkeit von ihrer potentiellen Energie. Der Koeffizient $A_1$ wird nicht berechnet, wenn nur die Partikelkonzentrationsverteilung und nicht ihre Anzahl bekannt sein muss. Nehmen wir an, die Konzentration $n_0$=$n_0$ $(x_0,y_ z_0)=\frac $ sei am Punkt ($x_0,y_ z_0$) gegeben, die potentielle Energie am selben Punkt sei $U_0=U_0 \left(x_0,y_ z_0\right).$ Bezeichne die Partikelkonzentration am Punkt (x,y,z) mit $n_0\ \left(x,y,z\right).\ $Setze die Daten in die Formel ein (8) erhalten wir für einen Punkt:

zum zweiten punkt:

Drücken Sie $A_1$ aus (9) aus, ersetzen Sie es durch (10):

Am häufigsten wird die Boltzmann-Verteilung in der Form (11) verwendet. Besonders praktisch ist es, eine Normierung so zu wählen, dass $U_0\left(x,y,z\right)=0$.

Boltzmann-Verteilung im Gravitationsfeld

Die Boltzmann-Verteilung im Schwerefeld lässt sich in folgender Form schreiben:

wobei $U\left(x,y,z\right)=m_0gz$ die potentielle Energie eines Moleküls der Masse $m_0$ im Gravitationsfeld der Erde ist, $g$ die Erdbeschleunigung ist, $z$ die Höhe ist. Oder für die Gasdichte wird die Verteilung (12) geschrieben als:

Ausdruck (13) wird barometrische Formel genannt.

Bei der Ableitung der Boltzmann-Verteilung wurden keine Beschränkungen bezüglich der Masse des Teilchens angewendet. Daher ist es auch auf schwere Partikel anwendbar. Wenn die Masse des Teilchens groß ist, ändert sich der Exponent schnell mit der Höhe. Somit geht der Exponent selbst schnell gegen Null. Damit schwere Teilchen „nicht zu Boden sinken“, muss ihre potentielle Energie klein sein. Dies wird erreicht, wenn die Partikel beispielsweise in eine dichte Flüssigkeit eingebracht werden. Die potentielle Energie eines Teilchens U(h) in der Höhe h, suspendiert in einer Flüssigkeit:

wobei $V_0$ das Volumen der Partikel ist, $\rho $ die Dichte der Partikel ist, $_0$ die Dichte der Flüssigkeit ist, h der Abstand (Höhe) vom Boden des Gefäßes ist. Daher ist die Verteilung der Konzentration von in einer Flüssigkeit suspendierten Partikeln:

Damit sich der Effekt bemerkbar macht, müssen die Partikel klein sein. Visuell wird dieser Effekt unter Verwendung eines Mikroskops beobachtet.

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Durchschnittlicher freier Weg Molekül ist gleich dem Verhältnis der vom Molekül in 1 s zurückgelegten Strecke zur Anzahl der in dieser Zeit aufgetretenen Stöße: = / =1/(42r 2 n 0).

24. Innere Energie eines idealen Gases.

Innere Energie ist die Summe der Energien molekularer Wechselwirkungen und der Energie der thermischen Bewegung von Molekülen.

Die innere Energie eines Systems hängt nur von seinem Zustand ab und ist eine einwertige Funktion des Zustands.

Innere Energie ideales Gas ist proportional zur Masse des Gases und seiner thermodynamischen Temperatur.

Die Arbeit eines Gases während der Expansion.

Im Zylinder unter dem Kolben sei ein Gas, das unter dem Druck p das Volumen V einnimmt. Kolbenfläche S. Die Kraft, mit der das Gas auf den Kolben drückt, F=pS. Wenn sich das Gas ausdehnt, wird der Kolben auf eine Höhe dh verstanden, während das Gas A=Fdh=pSdh arbeitet. Aber Sdh=dV ist eine Zunahme des Gasvolumens. Also elementare Arbeit A=pdV. Die Gesamtarbeit A, die das Gas verrichtet, wenn sich sein Volumen von V1 nach V2 ändert, wird durch Integrieren ermittelt

Das Ergebnis der Integration hängt von dem in Gasen ablaufenden Prozess ab.

Bei einem isochoren Prozess ist V=const, also dV=0 und A=0.

Bei einem isobaren Prozess ist also p=const

Die bei der isobaren Expansion eines Gases verrichtete Arbeit ist gleich dem Produkt aus Gasdruck und Volumenzunahme.

Bei einem isothermen Prozess T=const. p=(mRT)/(MV).

Wärmemenge.

Die durch Wärmeaustausch auf das Gas übertragene Energie wird genannt Menge an Wärme Q.

Wenn dem System eine unendlich kleine Wärmemenge Q zugeführt wird, ändert sich seine Temperatur um dT.

26. Wärmekapazität C des Systems wird als Wert bezeichnet, der dem Verhältnis der dem System zugeführten Wärmemenge Q zur Temperaturänderung dT des Systems entspricht: C=Q/dT.

Unterscheiden spezifische Wärmekapazität(Wärmekapazität von 1 kg Stoff) c=Q/(mdT) und molare Wärmekapazität(Wärmekapazität von 1 Mol Substanz) c=Mc.

Bei verschiedenen Prozessen, die in thermodynamischen Systemen ablaufen, sind die Wärmekapazitäten unterschiedlich.

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Die barometrische Formel ist die Abhängigkeit des Drucks oder der Dichte eines Gases von der Höhe in einem Gravitationsfeld. Für ein ideales Gas mit konstanter Temperatur T und in einem gleichmäßigen Gravitationsfeld (an allen Punkten seines Volumens ist die Gravitationsbeschleunigung g gleich) hat die barometrische Formel folgende Form:

wobei p der Druck des Gases in der auf der Höhe h befindlichen Schicht ist, p0 der Druck am Nullniveau (h = h0), M die Molmasse des Gases, R die Gaskonstante, T der Absolutwert Temperatur. Aus der barometrischen Formel folgt, dass die Konzentration der Moleküle n (oder die Gasdichte) nach demselben Gesetz mit der Höhe abnimmt: wobei M die Molmasse des Gases ist, R die Gaskonstante ist. Die barometrische Formel zeigt, dass die Dichte eines Gases exponentiell mit der Höhe abnimmt. Wert, die die Dichtezerfallsrate bestimmt, ist das Verhältnis der potentiellen Energie von Teilchen zu ihrer durchschnittlichen kinetischen Energie, die proportional zu kT ist. Je höher die Temperatur T, desto langsamer nimmt die Dichte mit der Höhe ab. Andererseits führt eine Erhöhung der Gewichtskraft mg (bei konstanter Temperatur) zu einer deutlich stärkeren Verdichtung der unteren Schichten und einer Zunahme des Dichteunterschieds (Gradient). Die auf die Teilchen wirkende Gewichtskraft mg kann durch zwei Größen verändert werden: die Beschleunigung g und die Teilchenmasse m. Folglich sind in einem Gasgemisch, das sich in einem Gravitationsfeld befindet, Moleküle unterschiedlicher Masse unterschiedlich hoch verteilt. Ein ideales Gas befinde sich im Bereich der konservativen Kräfte unter Bedingungen des thermischen Gleichgewichts.

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Durchschnittlicher freier Weg Molekül ist gleich dem Verhältnis der vom Molekül in 1 s zurückgelegten Strecke zur Anzahl der in dieser Zeit aufgetretenen Stöße: = / =1/(42r 2 n 0).

24. Innere Energie eines idealen Gases.

Innere Energie ist die Summe der Energien molekularer Wechselwirkungen und der Energie der thermischen Bewegung von Molekülen.

Die innere Energie eines Systems hängt nur von seinem Zustand ab und ist eine einwertige Funktion des Zustands.

Innere Energie ideales Gas ist proportional zur Masse des Gases und seiner thermodynamischen Temperatur.

Die Arbeit eines Gases während der Expansion.

Das Ergebnis der Integration hängt von dem in Gasen ablaufenden Prozess ab.

Bei einem isochoren Prozess ist V=const, also dV=0 und A=0.

Bei einem isobaren Prozess ist also p=const

Die bei der isobaren Expansion eines Gases verrichtete Arbeit ist gleich dem Produkt aus Gasdruck und Volumenzunahme.

Bei einem isothermen Prozess T=const. p=(mRT)/(MV).

Wärmemenge.

Die durch Wärmeaustausch auf das Gas übertragene Energie wird genannt Menge an Wärme Q.

Wenn dem System eine unendlich kleine Wärmemenge Q zugeführt wird, ändert sich seine Temperatur um dT.

26. Wärmekapazität C des Systems wird als Wert bezeichnet, der dem Verhältnis der dem System zugeführten Wärmemenge Q zur Temperaturänderung dT des Systems entspricht: C=Q/dT.

Unterscheiden spezifische Wärmekapazität(Wärmekapazität von 1 kg Stoff) c=Q/(mdT) und molare Wärmekapazität(Wärmekapazität von 1 Mol Substanz) c=Mc.

Bei verschiedenen Prozessen, die in thermodynamischen Systemen ablaufen, sind die Wärmekapazitäten unterschiedlich.

Boltzmann-Verteilung

Boltzmann-Verteilung, die statistisch gleichgewichtige Verteilungsfunktion in Impulsen p und Koordinaten r von Teilchen eines idealen Gases, dessen Moleküle sich nach den Gesetzen der klassischen Mechanik bewegen, in einem äußeren Potentialfeld:

Dabei ist p 2 /2m die kinetische Energie eines Moleküls der Masse m, U(ν) seine potentielle Energie in einem äußeren Feld, T die absolute Temperatur des Gases. Die Konstante A wird aus der Bedingung bestimmt, dass die Gesamtzahl der Teilchen in verschiedenen möglichen Zuständen gleich der Gesamtzahl der Teilchen im System ist (Normierungsbedingung).
Die Boltzmann-Verteilung ist ein Spezialfall der kanonischen Gibbs-Verteilung für ein ideales Gas in einem externen Potentialfeld, da sich die Gibbs-Verteilung ohne Wechselwirkung zwischen Teilchen in das Boltzmann-Produkt der Verteilung für einzelne Teilchen zerlegt. Die Boltzmann-Verteilung bei U=0 ergibt die Maxwell-Verteilung. Die Verteilungsfunktion (1) wird manchmal als Maxwell-Boltzmann-Verteilung bezeichnet, und die Boltzmann-Verteilung ist die Verteilungsfunktion (1), die über alle Teilchenimpulse integriert ist und die Dichte der Anzahl der Teilchen am Punkt ν darstellt:

wobei n 0 die Dichte der Anzahl der Teilchen im System in Abwesenheit eines externen Feldes ist. Das Verhältnis der Dichte der Anzahl der Teilchen an verschiedenen Punkten hängt von der Differenz der Werte der potentiellen Energie an diesen Punkten ab

wobei ΔU= U(ν 1)-U(ν 2). Insbesondere folgt aus (3) eine barometrische Formel, die die Höhenverteilung von Gas im Gravitationsfeld über der Erdoberfläche bestimmt. In diesem Fall ist ΔU=mgh, wobei g die Freifallbeschleunigung ist, m die Masse des Teilchens ist, h die Höhe über der Erdoberfläche ist. Für ein Gasgemisch mit unterschiedlichen Massen von Boltzmann-Teilchen zeigt die Verteilung, dass die Verteilung der partiellen Teilchendichten für jede der Komponenten unabhängig von den anderen Komponenten ist. Für ein Gas in einem rotierenden Gefäß bestimmt U (r) das Potential des Zentrifugalkraftfeldes U (r) = -mω 2 r 2 /2, wobei ω die Rotationswinkelgeschwindigkeit ist. Die Trennung von Isotopen und hochdispersen Systemen mit einer Ultrazentrifuge basiert auf diesem Effekt.
Für quantenideale Gase wird der Zustand einzelner Teilchen nicht durch Impulse und Koordinaten bestimmt, sondern durch die Quantenenergieniveaus Ε i des Teilchens im Feld U(r). In diesem Fall ist die durchschnittliche Anzahl von Teilchen im i-ten Quantenzustand oder die durchschnittliche Besetzungszahl:

wobei μ das chemische Potential ist, das aus der Bedingung bestimmt wird, dass die Gesamtzahl der Teilchen auf allen Quantenniveaus Ε i gleich der Gesamtzahl der Teilchen N im System ist: Σin i = N. Formel (4) gilt bei solchen Temperaturen, Pax und Dichten, wenn der durchschnittliche Abstand zwischen Partikeln viel größer ist als die de Broglie-Wellenlänge, die der durchschnittlichen thermischen Geschwindigkeit entspricht, d.h. wenn man nicht nur die Kraftwechselwirkung der Partikel, sondern auch ihre gegenseitige vernachlässigen kann quantenmechanischer Einfluss (es gibt keine Quantengasentartung (vgl degeneriertes Gas). Somit ist die Boltzmann-Verteilung der Grenzfall sowohl der Fermi-Dirac-Verteilung als auch der Bose-Einstein-Verteilung für Gase geringer Dichte.

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