Dieser Artikel enthält grundlegende Informationen über reale Nummern. Zuerst wird die Definition reeller Zahlen gegeben und Beispiele gegeben. Als nächstes wird die Position der reellen Zahlen auf der Koordinatenlinie gezeigt. Abschließend wird analysiert, wie reelle Zahlen in Form von numerischen Ausdrücken gegeben werden.

Seitennavigation.

Definition und Beispiele reeller Zahlen

Reelle Zahlen als Ausdrücke

Aus der Definition reeller Zahlen geht hervor, dass reelle Zahlen sind:

• jede natürliche Zahl;
• jede ganze Zahl ;
• jeder gewöhnliche Bruch (sowohl positiv als auch negativ);
• jede gemischte Zahl;
• jeder Dezimalbruch (positiv, negativ, endlich, unendlich periodisch, unendlich nicht periodisch).

Aber sehr oft sind reelle Zahlen in der Form zu sehen usw. Außerdem sind Summe, Differenz, Produkt und Quotient reeller Zahlen ebenfalls reelle Zahlen (vgl Operationen mit reellen Zahlen). Das sind zum Beispiel reelle Zahlen.

Und wenn Sie noch weiter gehen, dann von reellen Zahlen mit arithmetischen Zeichen, Wurzelzeichen, Grad, logarithmischen, trigonometrischen Funktionen usw. Sie können alle Arten von numerischen Ausdrücken zusammenstellen, deren Werte auch reelle Zahlen sein werden. Zum Beispiel Ausdruckswerte und sind reelle Zahlen.

Zum Abschluss dieses Artikels stellen wir fest, dass der nächste Schritt zur Erweiterung des Zahlenbegriffs der Übergang von reellen Zahlen zu ist komplexe Zahlen.

Referenzliste.

• Wilenkin N.Ja. usw. Mathematik. Klasse 6: Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Bildungsinstitutionen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen).

Copyright von cleveren Studenten

Alle Rechte vorbehalten.
Urheberrechtlich geschützt. Kein Teil der Website www.site, einschließlich interner Materialien und externer Gestaltung, darf ohne vorherige schriftliche Genehmigung des Urheberrechtsinhabers in irgendeiner Form reproduziert oder verwendet werden.

Wiederholung der Realschule

Integral

Derivat

Volumen von Körpern

Solide der Revolution

Methode der Koordinaten im Raum

Rechteckiges Koordinatensystem. Beziehung zwischen Vektorkoordinaten und Punktkoordinaten. Die einfachsten Probleme in Koordinaten. Skalarprodukt von Vektoren.

Das Konzept eines Zylinders. Die Oberfläche eines Zylinders. Das Konzept eines Kegels.

Die Oberfläche eines Kegels. Kugel und Kugel. Die Fläche der Kugel. Gegenseitige Anordnung von Kugel und Ebene.

Das Konzept des Volumens. Das Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds. Volumen eines geraden Prismas, Zylinders. Das Volumen der Pyramide und des Kegels. Das Volumen des Balls.

Abschnitt III. Anfänge der mathematischen Analysis

Derivat. Ableitung einer Potenzfunktion. Abgrenzungsregeln. Ableitungen einiger elementarer Funktionen. Die geometrische Bedeutung der Ableitung.

Anwendung der Ableitung auf das Studium von Funktionen Zunehmende und abnehmende Funktion. Extrema der Funktion. Anwendung der Ableitung zum Zeichnen von Graphen. Die größten, kleinsten Werte der Funktion.

Primitive. Regeln zum Finden von Primitives. Die Fläche eines krummlinigen Trapezes und das Integral. Berechnung von Integralen. Flächenberechnung mit Integralen.

Trainingsaufgaben für Prüfungen

Abschnitt I. Algebra

Zahl ist eine Abstraktion, die verwendet wird, um Objekte zu quantifizieren. Zahlen entstanden in der primitiven Gesellschaft im Zusammenhang mit dem Bedürfnis der Menschen, Gegenstände zu zählen. Mit der Entwicklung der Wissenschaft ist die Zahl im Laufe der Zeit zum wichtigsten mathematischen Konzept geworden.

Um Probleme zu lösen und verschiedene Theoreme zu beweisen, müssen Sie verstehen, welche Arten von Zahlen es gibt. Die wichtigsten Arten von Zahlen sind: natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen.

Natürliche Zahlen sind Zahlen, die man durch natürliches Zählen von Objekten bzw. durch ihre Nummerierung („erste“, „zweite“, „dritte“ ...) erhält. Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit dem lateinischen Buchstaben N bezeichnet (Sie können sich erinnern, basierend auf dem englischen Wort natürlich). Wir können sagen, dass N = (1,2,3,....)

Durch die Ergänzung natürlicher Zahlen mit Null und negativen Zahlen (d. h. Zahlen, die den natürlichen Zahlen entgegengesetzt sind), wird die Menge der natürlichen Zahlen auf die Menge der ganzen Zahlen erweitert.

Ganze Zahlen sind Zahlen aus der Menge (0, 1, -1, 2, -2, ....). Dieses Set besteht aus drei Teilen - natürliche Zahlen, negative ganze Zahlen (das Gegenteil von natürlichen Zahlen) und die Zahl 0 (Null). Ganze Zahlen werden mit dem lateinischen Buchstaben Z bezeichnet. Wir können sagen, dass Z=(1,2,3,....). Rationale Zahlen sind Zahlen, die als Bruch ausgedrückt werden können, wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist.

Es gibt zum Beispiel rationale Zahlen, die nicht als endlicher Dezimalbruch geschrieben werden können. Versucht man beispielsweise eine Zahl als Dezimalbruch mit dem bekannten Divisionsecken-Algorithmus zu schreiben, erhält man einen unendlichen Dezimalbruch. Eine unendliche Dezimalzahl wird aufgerufen Zeitschrift, Nummer 3 wiederholen - sie Zeitraum. Ein periodischer Bruch wird kurz wie folgt geschrieben: 0, (3); lautet: "Null ganze Zahlen und drei in der Periode."

Im Allgemeinen ist ein periodischer Bruch ein unendlicher Dezimalbruch, bei dem sich ab einer bestimmten Dezimalstelle dieselbe Ziffer oder mehrere Ziffern wiederholen - die Periode des Bruchs.

Beispielsweise ist eine Dezimalzahl periodisch mit einer Periode von 56; lautet "23 ganze Zahlen, 14 Hundertstel und 56 in der Periode."

Jede rationale Zahl kann also als unendlicher periodischer Dezimalbruch dargestellt werden.

Auch die umgekehrte Aussage gilt: Jeder unendliche periodische Dezimalbruch ist eine rationale Zahl, da er als Bruch dargestellt werden kann, wobei eine ganze Zahl eine natürliche Zahl ist.

Reelle (reelle) Zahlen sind Zahlen, die zur Messung kontinuierlicher Größen verwendet werden. Die Menge der reellen Zahlen wird mit dem lateinischen Buchstaben R bezeichnet. Zu den reellen Zahlen gehören rationale Zahlen und irrationale Zahlen. Irrationale Zahlen sind Zahlen, die man durch verschiedene Operationen mit rationalen Zahlen erhält (z. B. Wurzel ziehen, Logarithmen berechnen), aber gleichzeitig nicht rational sind. Beispiele für irrationale Zahlen sind .

Jede reelle Zahl kann auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden:

Für die oben aufgeführten Zahlenmengen gilt: Die Menge der natürlichen Zahlen ist in der Menge der ganzen Zahlen enthalten, die Menge der ganzen Zahlen ist in der Menge der rationalen Zahlen enthalten und die Menge der rationalen Zahlen ist in der Menge der rationalen Zahlen enthalten Menge reeller Zahlen. Diese Aussage lässt sich mit Eulerkreisen veranschaulichen.

Übungen zur Selbstlösung

Kann die Zahl α nicht als irreduzibler Bruch $$\frac(p)(q)$$ dargestellt werden, so heißt sie irrational.
Eine irrationale Zahl wird als unendlicher nichtperiodischer Dezimalbruch geschrieben.

Die Tatsache der Existenz irrationaler Zahlen soll an einem Beispiel demonstriert werden.
Beispiel 1.4.1. Beweisen Sie, dass es keine rationale Zahl gibt, deren Quadrat 2 ist.
Entscheidung. Angenommen, es gibt einen irreduziblen Bruch $$\frac(p)(q)$$, so dass $$(\frac(p)(q))^(2)=2$$
oder $$p^(2)=2q^(2)$$. Daraus folgt, dass $$p^(2)$$ ein Vielfaches von 2 ist, und daher ist p ein Vielfaches von 2. Andernfalls, wenn p nicht durch 2 teilbar ist, d. h. $$p=2k-1$$, dann ist $$p^(2)=(2k-1)^(2)=4k^(2)-4k+1$$ auch nicht durch 2 teilbar, also $ $ p=2k$$ $$\Rightarrow$$ $$p^(2)=4k^(2)$$ $$\Rightarrow$$ $$4k^(2)=2q^(2)$$ $$ \ Rechtspfeil$$ $$q^(2)=2k^(2)$$.
Da $$q^(2)$$ ein Vielfaches von 2 ist, ist q auch ein Vielfaches von 2, d.h. $$q=2m$$.
Die Zahlen p und q haben also einen gemeinsamen Faktor – die Zahl 2, was bedeutet, dass der Bruch $$\frac(p)(q)$$ gekürzt wird.
Dieser Widerspruch bedeutet, dass die getroffene Annahme falsch ist, die Aussage also bewiesen ist.
Die Menge der rationalen und irrationalen Zahlen heißt die Menge der reellen Zahlen.
In der Menge der reellen Zahlen werden die Operationen Addition und Multiplikation axiomatisch eingeführt: Jeweils zwei reellen Zahlen a und b wird die Zahl $$a+b$$ und das Produkt $$a\cdot b$$ zugeordnet.
Außerdem werden in dieser Menge die Relationen „größer als“, „kleiner als“ und Gleichheit eingeführt:
$$a>b$$ genau dann, wenn a - b eine positive Zahl ist;
$$ein a = b genau dann, wenn a - b = 0.
Lassen Sie uns die Haupteigenschaften numerischer Ungleichungen auflisten.
1. Wenn $$a>b$$ und $$b>c$$ $$\Rightarrow$$ $$a>c$$.
2. Wenn $$a>b$$ und $$c>0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bc$$.
3. Wenn $$a>b$$ und $$c<0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac4. Wenn $$a>b$$ und c eine beliebige Zahl ist $$\Rightarrow$$ $$a+c>b+c$$.
5. Wenn a, b, c, d positive Zahlen sind, so dass $$a>b$$ und $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bd$$.
Folge. Wenn a und b positive Zahlen sind und $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$a^(2)>b^(2)$$.
6. Wenn $$a>b$$ und $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$a+c>b+d$$.
7. Wenn $$a>0$$, $$b>0$$ und $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac(1)(a)<\frac{1}{b}$$.

Geometrische Interpretation reeller Zahlen.
Nehmen wir eine gerade Linie l, siehe Abb. 1.4.1, und fixiere einen Punkt O darauf - den Ursprung.
Punkt O teilt die Linie in zwei Teile - Strahlen. Der nach rechts gerichtete Strahl wird positiver Strahl genannt, und der nach links gerichtete Strahl wird negativer Strahl genannt. Auf der Geraden markieren wir das als Längeneinheit genommene Segment, d.h. Skala eingeben.

Reis. 1.4.1. Geometrische Interpretation reeller Zahlen.

Eine gerade Linie mit ausgewähltem Ursprung, positiver Richtung und Maßstab wird als Zahlenstrahl bezeichnet.
Jedem Punkt des Zahlenstrahls kann nach folgender Regel eine reelle Zahl zugeordnet werden:

- Punkt O wird Null zugewiesen;
– Jedem Punkt N auf dem positiven Strahl wird eine positive Zahl a zugeordnet, wobei a die Länge des Segments ON ist;
– Jedem Punkt M auf dem negativen Strahl wird eine negative Zahl b zugeordnet, wobei $$b=-\left | OM \right |$$ (die Länge des Segments OM, genommen mit einem Minuszeichen).
Somit wird eine Eins-zu-Eins-Beziehung zwischen der Menge aller Punkte des reellen Zahlenstrahls und der Menge der reellen Zahlen hergestellt, d.h. :
1) jedem Punkt auf dem Zahlenstrahl ist eine und nur eine reelle Zahl zugeordnet;
2) verschiedenen Punkten werden verschiedene Nummern zugewiesen;
3) Es gibt keine einzige reelle Zahl, die keinem Punkt auf dem Zahlenstrahl entspricht.

Beispiel 1.4.2. Markieren Sie auf dem Zahlenstrahl die Punkte, die den Zahlen entsprechen:
1) $$1\frac(5)(7)$$ 2) $$\sqrt(2)$$ 3) $$\sqrt(3)$$
Entscheidung. 1) Um die Bruchzahl $$\frac(12)(7)$$ zu markieren, müssen Sie einen Punkt konstruieren, der $$\frac(12)(7)$$ entspricht.
Dazu müssen Sie ein Segment der Länge 1 in 7 gleiche Teile teilen. Wir lösen dieses Problem auf diese Weise.
Wir zeichnen einen beliebigen Strahl von t.O und legen 7 gleiche Segmente auf diesem Strahl ab. Werden
Segment OA, und von Punkt A ziehen wir eine gerade Linie zum Schnittpunkt mit 1.

Reis. 1.4.2. Teilung eines einzelnen Segments in 7 gleiche Teile.

Die parallel zur Geraden A1 durch die Enden der abgelegten Segmente gezogenen Geraden teilen das Segment der Einheitslänge in 7 gleiche Teile (Abb. 1.4.2). Dadurch ist es möglich, einen Punkt zu konstruieren, der die Zahl $$1\frac(5)(7)$$ darstellt (Abb.1.4.3).

Reis. 1.4.3. Ein Punkt auf der Zahlenachse, der der Zahl $$1\frac(5)(7)$$ entspricht.

2) Die Zahl $$\sqrt(2)$$ erhält man so. Wir konstruieren ein rechtwinkliges Dreieck mit Einheitsschenkeln. Dann ist die Länge der Hypotenuse $$\sqrt(2)$$; dieses Segment wird auf dem Zahlenstrahl von O abgesetzt (Abb. 1.4.4).
3) Um einen von PO entfernten Punkt im Abstand $$\sqrt(3)$$ (nach rechts) zu konstruieren, ist es notwendig, ein rechtwinkliges Dreieck mit Schenkeln der Länge 1 und $$\sqrt(2) zu konstruieren $$. Dann hat seine Hypotenuse die Länge $$\sqrt(2)$$, wodurch Sie den gewünschten Punkt auf der reellen Achse angeben können.
Für reelle Zahlen ist das Konzept eines Moduls (oder Absolutwerts) definiert.

Reis. 1.4.4. Der Punkt auf der Zahlenachse, der der Zahl $$\sqrt(2)$$ entspricht.

Der Betrag einer reellen Zahl a heißt:
ist die Zahl selbst, wenn a ist eine positive Zahl;
- Null wenn a- Null;
– -a, Wenn a- eine negative Zahl.
Der absolute Wert einer Zahl a gekennzeichnet durch $$\left | ein \right |$$.
Die Definition des Moduls (oder Absolutwerts) kann geschrieben werden als

$$\links | a \right |=\left\(\begin(matrix)a, a\geq0\\-a, a<0\end{matrix}\right.$$

(1.4.1)

Geometrisch bedeutet das Modul der Zahl a den Abstand auf dem Zahlenstrahl vom Ursprung O bis zu dem der Zahl entsprechenden Punkt a.
Wir notieren einige Eigenschaften des Moduls.
1. Für eine beliebige Zahl a die Gleichheit $$\left | a \rechts |=\links | -a \right |$$.
2. Für beliebige Zahlen a und b Gleichheiten sind wahr

$$\links | ab \rechts |=\links | a \right |\cdot \left | b \rechts |$$; $$\links | \frac(a)(b) \right |=\frac(\left | a \right |)(\left | b \right |)$$ $$(b\neq 0)$$; $$\links | a \right |^(2)=a^(2)$$.

3. Für eine beliebige Nummer a die Ungleichung $$\left | a \right |\geq 0$$.
4. Für eine beliebige Zahl a die Ungleichung $$-\left | a\right |\leq a\leq \left | ein \right |$$.
5. Für beliebige Zahlen a und b die Ungleichheit

$$\links | a+b \rechts |\leq \links | a \rechts |+\links | b \richtig |$$

Betrachten Sie die folgenden Zahlenmengen.
Wenn $$a 1) Eine Strecke ist die Menge aller reellen Zahlen α für die jeweils gilt: $$a\leq \alpha \leq b$$;
2) das Intervall (a; b) ist die Menge aller reellen Zahlen α , für die jeweils wahr ist: $$a<\alpha 3) ein halbes Intervall (a; b] ist die Menge aller reellen Zahlen α für die jeweils wahr ist: $$a<\alpha \leq b$$.
Ebenso können Sie ein halbes Intervall eingeben.
In manchen Fällen spricht man von "Lücken", meint damit entweder einen Strahl oder ein Segment oder ein Intervall oder ein halbes Intervall.

Ein Haufen R alle reellen Zahlen werden wie folgt bezeichnet: $$(-\infty; \infty)$$.
Für jede reelle Zahl a führen wir den Begriff Grad mit natürlichem Exponenten ein n, nämlich

$$a^(n)=\underbrace (a\cdot a\cdot a\cdot a...a)$$, $$n\geq 2$$ und $$a^(1)=a$$.

Lassen a eine beliebige Zahl ungleich Null ist, dann ist per Definition $$a^(0)=1$$.
Die Nullpotenz von Null ist nicht definiert.
Lassen a- jede Zahl ungleich Null, m ist eine beliebige ganze Zahl. Dann wird die Zahl $$a^(m)$$ durch die Regel bestimmt:

$$a^(m)=\left\(\begin(matrix)a, m=1;\\\underbrace(a\cdot a\cdot a\cdot a...a), m\in N, m \geq2;\\1, m=0;\\\frac(1)(a^(n)), m=-n, n\in N\end(matrix)\right.$$

dabei bin heißt Grad mit ganzzahligem Exponenten.

Bevor wir den Begriff Grad mit rationalem Exponenten definieren, führen wir den Begriff arithmetische Wurzel ein.
Arithmetischer Wurzelgrad n (n ∈ N, n > 2) nicht negative Zahl a eine nicht negative Zahl genannt b so dass b n = a. Anzahl b bezeichnet als $$b\sqrt[n](a)$$.
Eigenschaften von arithmetischen Wurzeln ( a > 0, b > 0, n, m, k- ganze Zahlen.)

1. $$\sqrt[n](ab)=\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)$$	5. $$\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$$
2. $$(a)^(\frac(k)(n))=\sqrt[n](a^(k))$$	6. $$\sqrt[n](a^(m))=\sqrt(a^(mk))$$
3. $$(\sqrt[n](a))^(k)=\sqrt[n](a^(k))$$	7. $$\sqrt(a^(2))=\links | ein \right |$$
4. $$\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b)) (b\neq 0)$$	8. $$\sqrt(a^(2n))=\links | ein \right |$$

Lassen a< 0 , a n eine natürliche Zahl größer als 1 ist. Wenn n eine gerade Zahl ist, dann ist die Gleichheit b n = a gilt nicht für einen realen Wert b. Das bedeutet, dass es im Bereich der reellen Zahlen unmöglich ist, die Wurzel einer geraden Gradzahl aus einer negativen Zahl zu bestimmen. Ob n eine ungerade Zahl ist, dann gibt es nur eine reelle Zahl b so dass b n = a. Diese Zahl wird mit √n a bezeichnet und heißt ungerade Wurzel einer negativen Zahl.
Unter Verwendung der Definition des Potenzierens mit einer ganzen Zahl und der Definition einer arithmetischen Wurzel geben wir eine Definition eines Grades mit einem rationalen Exponenten.
Lassen a eine positive Zahl und $$r=\frac(p)(q)$$ eine rationale Zahl ist, und q- natürliche Zahl.

positive Zahl

$$b=\sqrt[q](a^(p))$$

heißt Potenz von a mit Exponent r und wird als bezeichnet

$$b=a^(r)$$, oder $$a^(\frac(p)(q))=\sqrt[q](a^(r))$$, hier $$q\in N $$, $$q\geq2$$.

Betrachten Sie die grundlegenden Eigenschaften eines Grads mit einem rationalen Exponenten.

Lassen a und b beliebige positive Zahlen sind, r 1 und r 2 beliebige rationale Zahlen sind. Dann gelten folgende Eigenschaften:

1. $$(ab)^(r_(1))=a^(r_(1))\cdot b^(r_(1))$$
2. $$(\frac(a)(b))^(r_(1))=\frac(a^(r_(1)))(b^(r_(1)))$$
3. $$a^(r_(1))\cdot a^(r_(2))=a^(r_(1)+r_(2))$$
4. $$\frac(a^(r_(1)))(a^(r_(2)))=a^(r_(1)-r_(2))$$
5. $$(a^(r_(1)))^(r_(2))=a^(r_(1)r_(2))$$	(1.4.2)
6. $$a^(0)=1$$
7. Wenn $$a>1$$ und $$r_(1)>0\Rightarrow a^(r_(1))> 1$$
8. Wenn $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>0\Rechtspfeil 0< a^{r_{1}}< 1$$
9. Wenn $$a>1$$ und $$r_(1)>r_(2)\Rightarrow a^(r_(1))> a^(r_(2))$$
10. Wenn $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>r_(2)\Rechtspfeil a^(r_(1))> a^(r_(2))$$

Das Konzept des Grades einer positiven Zahl wird für jeden reellen Exponenten verallgemeinert α .
Bestimmung des Grades einer positiven Zahl a mit reellen Exponenten α .

1. Wenn $$\alpha > 0$$ und

1) $$\alpha=m$$, $$m\in N \Rightarrow a^(\alpha)=\left\(\begin(matrix)a, m=1\\\underbrace(a\cdot a\ cdot a\cdot a....a), m\geq 2\end(matrix)\right.$$

2) $$\alpha=\frac(p)(q)$$, wobei p und q- natürliche Zahlen $$\Rightarrow a^(\alpha)=\sqrt[q](a^(p))$$

3) α ist dann eine irrationale Zahl

a) wenn a > 1, dann ein α- Zahl größer als a r i und kleiner als a r k, wo r ich α mit nachteil rk- jede rationale Annäherung an eine Zahl α im Übermaß;
b) wenn 0< a< 1, то ein α- eine Zahl größer als a r k und weniger als ein r i;
c) wenn a= 1, dann ist α = 1.

2. Wenn $$\alpha=0$$, dann ist α = 1.

3. Wenn $$\alpha<0$$, то $$a^{\alpha}=\frac{1}{a^{\left | \alpha \right |}}$$.

Anzahl ein α heißt Grad, die Zahl a ist die Basis des Grades, der Zahl α - Exponent.
Eine Potenz einer positiven Zahl mit einem reellen Exponenten hat die gleichen Eigenschaften wie eine Potenz mit einem rationalen Exponenten.

Beispiel 1.4.3. Berechnen Sie $$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))$$.

Entscheidung. Lassen Sie uns die Root-Eigenschaft verwenden:

$$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))=\sqrt(\frac(81\cdot16)(6))=\sqrt(\frac(3^(4)\cdot2 ^(4))(3\cdot2))=\sqrt(3^(3)\cdot2^(3))=6$$

Antworten. 6.

Beispiel 1.4.4. Berechnen Sie $$$6,25^(1,5)-2,25^(1,5)$$

1) 4

2) 8

3) 8,25

4) 12,25

Aber sind diese Brüche immer periodisch? Die Antwort auf diese Frage ist negativ: Es gibt Segmente, deren Längen nicht durch einen unendlichen periodischen Bruch (dh eine positive rationale Zahl) mit einer gewählten Längeneinheit ausgedrückt werden können. Dies war die wichtigste Entdeckung in der Mathematik, aus der folgte, dass rationale Zahlen nicht ausreichen, um die Längen von Segmenten zu messen.

Wenn die Längeneinheit die Länge einer Seite eines Quadrats ist, dann kann die Länge der Diagonalen dieses Quadrats nicht durch eine positive rationale Zahl ausgedrückt werden.

Aus dieser Aussage folgt, dass es Segmente gibt, deren Längen nicht als positive Zahl (mit der gewählten Längeneinheit), also als unendlicher periodischer Bruch geschrieben werden können. Dies bedeutet, dass die unendlichen Dezimalbrüche, die durch Messen der Längen von Segmenten erhalten werden, nicht periodisch sein können.

Es wird angenommen, dass unendliche nicht periodische Dezimalbrüche eine Aufzeichnung neuer Zahlen sind - positive irrationale zahlen. Da die Zahlenbegriffe und ihre Notation oft identifiziert werden, sagen sie, dass unendliche periodische Dezimalbrüche positive irrationale Zahlen sind.

Die Menge der positiven irrationalen Zahlen wird mit dem Symbol J+ bezeichnet.

Die Vereinigung zweier Mengen von Zahlen: positiv rational und positiv irrational heißt die Menge positiver reeller Zahlen und wird mit dem Symbol R+ bezeichnet.

Jede positive reelle Zahl kann durch einen unendlichen Dezimalbruch dargestellt werden – periodisch (wenn sie rational ist) oder nicht periodisch (wenn sie irrational ist).

Aktionen auf positive reelle Zahlen werden auf Aktionen auf positive rationale Zahlen reduziert. In diesem Zusammenhang werden für jede positive reelle Zahl ihre ungefähren Werte in Bezug auf Mangel und Überschuss eingeführt.

Gegeben seien zwei positive reelle Zahlen a und b, ein und Mrd- nach ihren Annäherungen an den Mangel, ein¢n und b¢n sind ihre Annäherungen im Überschuss.

Die Summe reeller Zahlen a und b a+ b n erfüllt die Ungleichung ein+ Mrd ≤ a + b< a¢n + b¢n.

Das Produkt reeller Zahlen a und b eine solche reelle Zahl wird aufgerufen a× b, was für jede natürliche n erfüllt die Ungleichung ein× Mrd ≤ a b × b¢n.

Differenz positiver reeller Zahlen a und b eine solche reelle Zahl wird aufgerufen mit, was a= b+c.

Quotient positiver reeller Zahlen a und b eine solche reelle Zahl wird aufgerufen mit, was a= b × s.

Die Vereinigung der Menge der positiven reellen Zahlen mit der Menge der negativen reellen Zahlen und Null ist die Menge R aller reellen Zahlen.

Der Vergleich von reellen Zahlen und die Operationen auf ihnen werden nach den Regeln durchgeführt, die aus dem Schulmathematikkurs bekannt sind.

Aufgabe 60. Finden Sie die ersten drei Dezimalstellen der Summe 0,333… + 1,57079…

Entscheidung. Nehmen wir Dezimalannäherungen von Termen mit vier Dezimalstellen:

0,3333 < 0,3333… < 0,3334

1,5707 < 1,57079… < 1,5708.

Addiere: 1,9040 ≤ 0,333… + 1,57079…< 1,9042.

Also 0,333… + 1,57079…= 1,904…

Aufgabe 61. Finden Sie die ersten beiden Dezimalstellen des Produkts ein x b, Wenn a= 1,703604… und b = 2,04537…

Entscheidung. Wir nehmen dezimale Annäherungen dieser Zahlen mit drei Dezimalstellen:

1,703 < a <1,704 и 2,045 < b < 2,046. По определению произведения действительных чисел имеем:

1,703 × 2,045 ≤ ein x b < 1,704 × 2,046 или 3,483 ≤ ab < 3,486.

Auf diese Weise, ein x b= 3,48…

Übungen zum selbstständigen Arbeiten

1. Schreiben Sie die dezimalen Näherungen der irrationalen Zahl π = 3,1415 ... in Bezug auf Unter- und Überschuss mit einer Genauigkeit von:

a) 0,1; b) 0,01; c) 0,001.

2. Finden Sie die ersten drei Dezimalstellen der Summe a+ b, Wenn:

a) a = 2,34871…, b= 5,63724…; b) a = , b= π; in) a = ; b= ; G) a = ; b = .