Wir haben bereits darüber geschrieben, wie die abstrakte mathematische Theorie des Chaos in einer Vielzahl von Wissenschaften Anwendung gefunden hat – von der Physik über die Wirtschafts- und Politikwissenschaften. Jetzt geben wir ein weiteres ähnliches Beispiel - die Theorie der Fraktale. Auch in der Mathematik gibt es keine strenge Definition des Begriffs „Fraktal“. Sie sagen natürlich so etwas. Aber der „normale Mensch“ versteht das nicht. Wie kommt man zum Beispiel auf einen solchen Satz: "Ein Fraktal ist eine Menge mit einer gebrochenen Hausdorff-Dimension, die größer ist als die topologische." Dennoch umgeben sie uns, Fraktale, und helfen, viele Phänomene aus verschiedenen Lebensbereichen zu verstehen.

Wie alles begann

Lange Zeit interessierte sich außer professionellen Mathematikern niemand für Fraktale. Vor dem Aufkommen von Computern und zugehöriger Software. Alles änderte sich 1982, als Benoit Mandelbrots Buch „The Fractal Geometry of Nature“ veröffentlicht wurde. Dieses Buch ist zu einem Bestseller geworden, nicht so sehr wegen der einfachen und verständlichen Darstellung des Stoffes (obwohl diese Aussage sehr relativ ist - wer keine professionelle mathematische Ausbildung hat, wird nichts davon verstehen), sondern wegen der Computerillustrationen von Fraktalen gegeben, die wirklich hypnotisierend sind. Sehen wir uns diese Bilder an. Sie sind es wirklich wert.

Und solche Bilder gibt es viele. Doch was hat all diese Pracht mit unserem wirklichen Leben und dem, was uns in Natur und Alltag umgibt, zu tun? Es stellt sich am direktesten heraus.

Aber lassen Sie uns zuerst ein paar Worte über die Fraktale selbst als geometrische Objekte sagen.

Was ist ein Fraktal, in einfachen Worten

Zuerst. Wie sie, Fraktale, aufgebaut sind. Dies ist ein ziemlich kompliziertes Verfahren, das spezielle Transformationen auf der komplexen Ebene verwendet (Sie müssen nicht wissen, was es ist). Wichtig ist nur, dass diese Transformationen repetitiv sind (es kommt vor, wie man in der Mathematik sagt, Iterationen). Als Ergebnis dieser Wiederholung entstehen Fraktale (die Sie oben gesehen haben).

Zweite. Ein Fraktal ist eine selbstähnliche (genau oder ungefähr) Struktur. Dies bedeutet Folgendes. Wenn Sie ein Mikroskop zu einem der gezeigten Bilder bringen, das Bild beispielsweise 100-fach vergrößern und ein Fragment eines fraktalen Stücks betrachten, das in das Okular gefallen ist, werden Sie feststellen, dass es mit dem Originalbild identisch ist. Wenn Sie ein stärkeres Mikroskop nehmen, das das Bild 1000-fach vergrößert, werden Sie feststellen, dass ein Stück des Fragments des vorherigen Bildes, das in das Okular gefallen ist, die gleiche oder eine sehr ähnliche Struktur hat.

Dies führt zu einer sehr wichtigen Schlussfolgerung für das Folgende. Ein Fraktal hat eine äußerst komplexe Struktur, die sich auf verschiedenen Skalen wiederholt. Aber je tiefer wir in sein Gerät einsteigen, desto komplexer wird es im Allgemeinen. Und die quantitativen Schätzungen der Eigenschaften des ursprünglichen Bildes können sich ändern.

Jetzt verlassen wir die abstrakte Mathematik und wenden uns den Dingen um uns herum zu - so scheint es, einfach und verständlich.

Fraktale Objekte in der Natur

Küste

Stellen Sie sich vor, Sie fotografieren eine Insel wie Großbritannien aus der Erdumlaufbahn. Sie erhalten das gleiche Bild wie auf der geografischen Karte. Die glatte Kontur der Küste, von allen Seiten - das Meer.

Die Länge der Küstenlinie zu ermitteln ist sehr einfach. Nehmen Sie einen gewöhnlichen Faden und legen Sie ihn vorsichtig entlang der Grenzen der Insel. Messen Sie dann seine Länge in Zentimetern und multiplizieren Sie die resultierende Zahl mit dem Maßstab der Karte - ein Zentimeter entspricht einigen Kilometern. Hier ist das Ergebnis.

Und jetzt das nächste Experiment. Sie fliegen in einem Flugzeug aus der Vogelperspektive und fotografieren die Küste. Es stellt sich ein Bild heraus, das Fotos von einem Satelliten ähnelt. Aber diese Küste ist eingerückt. Auf deinen Bildern erscheinen kleine Buchten, Golfe, ins Meer ragende Landstücke. All dies ist wahr, konnte aber vom Satelliten aus nicht gesehen werden. Die Küstenstruktur wird immer komplexer.

Nehmen wir an, Sie haben nach Ihrer Ankunft zu Hause anhand Ihrer Bilder eine detaillierte Karte der Küste erstellt. Und wir haben uns entschieden, seine Länge mit Hilfe desselben Fadens zu messen und ihn streng nach den neuen Daten auszulegen, die Sie erhalten haben. Der neue Wert für die Küstenlänge wird den alten überschreiten. Und bedeutsam. Das ist intuitiv klar. Schließlich sollte Ihr Faden jetzt die Ufer aller Buchten und Buchten umrunden und nicht nur entlang der Küste verlaufen.

Notiz. Wir haben herausgezoomt und die Dinge wurden viel komplexer und verwirrender. Wie Fraktale.

Und jetzt für eine weitere Iteration. Sie gehen an derselben Küste entlang. Und fixieren Sie das Relief der Küste. Es stellt sich heraus, dass die Ufer der Buchten und Buchten, die Sie aus dem Flugzeug fotografiert haben, überhaupt nicht so glatt und einfach sind, wie Sie auf Ihren Bildern dachten. Sie haben eine komplexe Struktur. Wenn Sie also diese „Fußgänger“-Küste kartieren, wird sie noch länger.

Ja, es gibt keine Unendlichkeiten in der Natur. Aber es ist ziemlich klar, dass die Küste ein typisches Fraktal ist. Es bleibt gleich, aber sein Aufbau wird bei genauerem Hinsehen immer komplexer (denken Sie an das Mikroskop-Beispiel).

Das ist wirklich ein erstaunliches Phänomen. Wir sind daran gewöhnt, dass jedes geometrische Objekt mit begrenzter Größe auf einer Ebene (Quadrat, Dreieck, Kreis) eine feste und endliche Länge seiner Grenzen hat. Aber hier ist alles anders. Die Länge der Küstenlinie im Grenzbereich erweist sich als unendlich.

Holz

Stellen wir uns einen Baum vor. Gewöhnlicher Baum. Eine Art lose Linde. Schauen wir uns ihren Koffer an. um die Wurzel. Es ist ein leicht deformierter Zylinder. Jene. hat eine sehr einfache Form.

Heben wir unsere Augen auf. Aus dem Stamm beginnen Äste zu wachsen. Jeder Ast hat zu Beginn die gleiche Struktur wie der Stamm - zylindrisch in Bezug auf die Geometrie. Aber die Struktur des gesamten Baums hat sich geändert. Es ist viel komplexer geworden.

Schauen wir uns nun diese Zweige an. Von ihnen gehen kleinere Zweige aus. An ihrer Basis haben sie die gleiche leicht deformierte zylindrische Form. Wie derselbe Stamm. Und dann weichen viel kleinere Zweige von ihnen ab. Usw.

Der Baum reproduziert sich selbst, auf jeder Ebene. Gleichzeitig wird seine Struktur immer komplexer, bleibt sich aber ähnlich. Ist es nicht ein Fraktal?

Verkehr

Hier ist das menschliche Kreislaufsystem. Es hat auch eine fraktale Struktur. Es gibt Arterien und Venen. Nach einer von ihnen kommt Blut zum Herzen (Venen), nach anderen kommt es davon (Arterien). Und dann beginnt das Kreislaufsystem dem gleichen Baum zu ähneln, über den wir oben gesprochen haben. Gefäße werden unter Beibehaltung ihrer Struktur dünner und verzweigter. Sie dringen in die entlegensten Bereiche unseres Körpers ein, bringen Sauerstoff und andere lebenswichtige Komponenten in jede Zelle. Dies ist eine typische fraktale Struktur, die sich in immer kleineren Maßstäben reproduziert.

Flussabflüsse

"Aus der Ferne fließt die Wolga lange Zeit." Auf einer geografischen Karte ist das so eine blaue gewundene Linie. Nun, die großen Nebenflüsse sind markiert. Okay Kama. Was ist, wenn wir herauszoomen? Es stellt sich heraus, dass diese Nebenflüsse viel größer sind. Nicht nur in der Nähe der Wolga selbst, sondern auch in der Nähe von Oka und Kama. Und sie haben ihre eigenen Nebenflüsse, nur kleinere. Und die haben ihre. Es entsteht eine Struktur, die dem menschlichen Kreislauf verblüffend ähnlich ist. Und wieder stellt sich die Frage. Welchen Umfang hat dieses gesamte Wassersystem? Wenn Sie nur die Länge des Hauptkanals messen, ist alles klar. Das kann man in jedem Lehrbuch nachlesen. Was ist, wenn alles gemessen wird? Auch hier wird in der Grenze Unendlich erreicht.

Unser Universum

Natürlich ist es, das Universum, im Maßstab von Milliarden Lichtjahren einheitlich angeordnet. Aber schauen wir es uns genauer an. Und dann werden wir sehen, dass es darin keine Homogenität gibt. Irgendwo gibt es Galaxien (Sternhaufen), irgendwo ist Leere. Wieso den? Warum die Verteilung der Materie unregelmäßigen hierarchischen Gesetzen gehorcht. Und was in Galaxien passiert (ein weiteres Zoom heraus). Irgendwo gibt es mehr Sterne, irgendwo weniger. Irgendwo gibt es Planetensysteme, wie in unserem Sonnensystem, aber irgendwo nicht.

Manifestiert sich hier nicht die fraktale Essenz der Welt? Nun klafft natürlich eine riesige Lücke zwischen der allgemeinen Relativitätstheorie, die die Entstehung unseres Universums und seiner Struktur erklärt, und der fraktalen Mathematik. Aber wer weiß? Vielleicht wird all dies eines Tages auf einen "gemeinsamen Nenner" gebracht und wir werden den Raum um uns herum mit ganz anderen Augen betrachten.

Zu praktischen Dingen

Viele solcher Beispiele lassen sich anführen. Aber kehren wir zu prosaischeren Dingen zurück. Nehmen Sie zum Beispiel die Wirtschaftswissenschaften. Es würde scheinen, und hier Fraktale. Es stellt sich heraus, sehr sogar. Ein Beispiel hierfür sind die Aktienmärkte.

Die Praxis zeigt, dass wirtschaftliche Prozesse oft chaotisch und unberechenbar sind. Bis heute existierende mathematische Modelle, die versuchten, diese Prozesse zu beschreiben, berücksichtigten einen sehr wichtigen Faktor nicht – die Fähigkeit des Marktes, sich selbst zu organisieren.

Hier kommt die Theorie der Fraktale zu Hilfe, die die Eigenschaften der "Selbstorganisation" haben und sich auf der Ebene verschiedener Maßstäbe reproduzieren. Natürlich ist ein Fraktal ein rein mathematisches Objekt. Und in der Natur und in der Wirtschaft existieren sie nicht. Aber es gibt ein Konzept fraktaler Phänomene. Sie sind nur im statistischen Sinne Fraktale. Dennoch ermöglicht die Symbiose von fraktaler Mathematik und Statistik, hinreichend genaue und adäquate Prognosen zu erhalten. Dieser Ansatz ist besonders effektiv bei der Analyse von Aktienmärkten. Und das sind keine "Begriffe" von Mathematikern. Expertendaten zeigen, dass viele Börsenteilnehmer viel Geld ausgeben, um Spezialisten auf dem Gebiet der fraktalen Mathematik zu bezahlen.

Was liefert die Theorie der Fraktale? Sie postuliert eine generelle, globale Abhängigkeit der Preisbildung von dem, was in der Vergangenheit passiert ist. Natürlich ist der Preisfindungsprozess vor Ort zufällig. Aber zufällige Preissprünge und -rückgänge, die vorübergehend auftreten können, haben die Besonderheit, dass sie sich in Clustern ansammeln. Die auf einer großen Zeitskala reproduziert werden. Daher können wir durch die Analyse dessen, was einmal war, vorhersagen, wie lange dieser oder jener Marktentwicklungstrend (Wachstum oder Rückgang) andauern wird.

Auf globaler Ebene "reproduziert" sich also dieser oder jener Markt selbst. Unter der Annahme zufälliger Schwankungen, die zu jedem bestimmten Zeitpunkt durch eine Vielzahl externer Faktoren verursacht werden. Aber die globalen Trends halten an.

Fazit

Warum ist die Welt nach dem Fraktalprinzip angeordnet? Die Antwort lautet vielleicht, dass Fraktale als mathematisches Modell die Eigenschaft der Selbstorganisation und Selbstähnlichkeit haben. Gleichzeitig ist jede ihrer Formen (siehe die Bilder am Anfang des Artikels) beliebig komplex, lebt aber ihr eigenes Leben und entwickelt ähnliche Formen für sich. Funktioniert unsere Welt nicht so?

Und hier ist die Gesellschaft. Irgendeine Idee kommt auf. Zunächst recht abstrakt. Und dann "durchdringt die Massen". Ja, es ändert sich irgendwie. Aber im Allgemeinen ist es erhalten. Und es wird auf der Ebene der meisten Menschen zu einer Zielbezeichnung des Lebensweges. Hier ist die gleiche UdSSR. Der nächste Parteitag der KPdSU verabschiedete die nächsten wegweisenden Beschlüsse, und es ging bergab. In kleinerem Maßstab. Stadtkomitees, Parteikomitees. Und so weiter für jede Person. sich wiederholende Struktur.

Natürlich erlaubt uns die Fraktaltheorie nicht, zukünftige Ereignisse vorherzusagen. Und das ist kaum möglich. Aber vieles, was uns umgibt und was in unserem täglichen Leben passiert, lässt uns mit ganz anderen Augen sehen. Bewusst.

Kacharava AS ein

Kholinova O.A. ein

1 Regionale staatliche Ha"Kostroma Trade and Economic College" (OGBPOU "KTEK")

Der Text der Arbeit wird ohne Bilder und Formeln platziert.
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EINLEITUNG

Die Relevanz der Forschung.

Die Macht der Mathematik darf nicht unterschätzt werden. Aber leider glauben viele Menschen, dass Mathematik eine „trockene“ Wissenschaft ist und nichts Interessantes darin ist: nur Zahlen und Formeln. Dem mag man nicht zustimmen. Bertrand Russell, ein englischer Mathematiker und Philosoph, sagte: „Mathematik spiegelt, wenn man es richtig betrachtet, nicht nur Wahrheit, sondern auch unvergleichliche Schönheit wider.“

Die genialsten Entdeckungen der Wissenschaft können das menschliche Leben radikal verändern. Eine dieser „unmerklichen“ Entdeckungen sind Fraktale.

Die Welt der Fraktale ist eine erstaunliche, riesige und vielfältige Welt. Es fesselt, erobert, aber manchmal ist es schwer zu verstehen. Fraktale Zeichnungen sind der Höhepunkt der Inspiration des Meisters auf dem Weg zur perfekten Einheit von Mathematik, Informatik und Kunst. In letzter Zeit wurden geometrische Modelle natürlicher Objekte unter Verwendung von Kombinationen einfacher Formen wie Linien, Dreiecke, Kreise, Kugeln und Polyeder dargestellt. Aber es ist nicht einfach, komplexere Naturobjekte, wie poröse Materialien, Wolkenformen, Baumkronen usw., mit einem Satz dieser bekannten Figuren zu beschreiben. Neue Computerwerkzeuge bringen die Mathematik auf ein extrem hohes Niveau. Wenn Sie Fraktale studieren, verstehen Sie, dass es sehr schwierig ist, eine Grenze zwischen Mathematik und Informatik zu ziehen, da sie eng miteinander verflochten sind und versuchen, einzigartige, einzigartige Modelle zu entdecken. Fraktale bringen uns dem Verständnis einiger natürlicher Prozesse und Phänomene näher. Daher ist das Thema Fraktale am interessantesten und spannendsten zu studieren.

Ziel: Entdecken Sie einen neuen Zweig der Mathematik - Fraktale und die Grundlagen der Anwendung im wirklichen Leben.

Aufgaben:

analysieren und bearbeiten die Literatur zum Forschungsthema.

Bekanntschaft mit Konzept, Entstehungsgeschichte und Forschung von B. Mandelbrot;

um eine Vorstellung von den Fraktalen zu geben, denen wir in unserem Leben begegnen.

Bestätigung der Theorie der Fraktalität der umgebenden Welt zu finden;

den Umfang von Fraktalen bestimmen;

Studienobjekt - Fraktale in der Mathematik und in der realen Welt. Fraktale und ihre praktische Anwendung.

Gegenstand der Studie - fraktale Geometrie.

Forschungsmethoden in der Arbeit: Analyse, Synthese, Suche, Modellierung.

Die Geschichte des Begriffs "Fraktal"

Die ersten Ideen der fraktalen Geometrie entstanden im 19. Jahrhundert.

Georg Cantor (Cantor, 1845-1918) - Deutscher Mathematiker, Logiker, Theologe, Schöpfer der Theorie der unendlichen Mengen, verwandelte eine Linie mit einem einfachen rekursiven (wiederholenden) Verfahren in eine Menge nicht verbundener Punkte. Er nahm die Linie und entfernte das mittlere Drittel und wiederholte dann dasselbe mit den verbleibenden Segmenten. Es stellte sich heraus, die sogenannte Kantor Staub.

Giuseppe Peano (1858-1932) - italienischer Mathematiker stellte eine besondere Linie dar. Er nahm eine gerade Linie und ersetzte sie durch 9 Segmente, die dreimal kürzer waren als die Länge der ursprünglichen Linie. Dann tat er dasselbe mit jedem Segment. Und so weiter bis ins Unendliche. Die Einzigartigkeit einer solchen Linie besteht darin, dass sie die gesamte Ebene ausfüllt. Später wurde eine ähnliche Konstruktion im dreidimensionalen Raum durchgeführt.

Das Wort "Fraktal" ist dank des brillanten Wissenschaftlers Benoit Mandelbrot entstanden.

Er hat den Begriff in den 1970er Jahren selbst geprägt und das Wort fractus aus dem Lateinischen entlehnt, wo es wörtlich „gebrochen“ oder „zerquetscht“ bedeutet. Was ist es? Heutzutage wird das Wort "Fraktal" am häufigsten verwendet, um eine grafische Darstellung einer Struktur zu bezeichnen, die sich selbst in einem größeren Maßstab ähnlich ist.

Die von Mandelbrot gegebene Definition eines Fraktals lautet wie folgt: „Ein Fraktal ist eine Struktur, die aus Teilen besteht, die in gewissem Sinne dem Ganzen ähnlich sind.“

Die mathematische Grundlage für die Entstehung der Fraktaltheorie wurde viele Jahre vor der Geburt von Benoit Mandelbrot gelegt, aber sie konnte sich erst mit dem Aufkommen von Computergeräten entwickeln. Zu Beginn seiner wissenschaftlichen Laufbahn arbeitete Benoit im Forschungszentrum von IBM. Damals arbeiteten die Mitarbeiter des Zentrums an der Datenfernübertragung. Im Zuge der Forschung sahen sich die Wissenschaftler mit dem Problem großer Verluste durch Störgeräusche konfrontiert. Benoit stand vor einer schwierigen und sehr wichtigen Aufgabe – zu verstehen, wie das Auftreten von Rauschinterferenzen in elektronischen Schaltungen vorhergesagt werden kann, wenn die statistische Methode unwirksam ist.

Beim Durchsehen der Ergebnisse der Rauschmessungen machte Mandelbrot auf ein seltsames Muster aufmerksam - die Rauschdiagramme in verschiedenen Maßstäben sahen gleich aus. Ein identisches Muster wurde beobachtet, unabhängig davon, ob es sich um eine Rauschkurve für einen Tag, eine Woche oder eine Stunde handelte. Es hat sich gelohnt, den Maßstab der Grafik zu ändern, und das Bild wurde jedes Mal wiederholt.

Benoit Mandelbrot sagte zu Lebzeiten immer wieder, dass er sich nicht mit Formeln auseinandersetze, sondern einfach mit Bildern spiele. Dieser Mann dachte sehr bildlich und übersetzte jedes algebraische Problem in das Gebiet der Geometrie, wo seiner Meinung nach die richtige Antwort immer offensichtlich ist.

Es ist nicht verwunderlich, dass ein Mann mit einem so reichen räumlichen Vorstellungsvermögen zum Vater der fraktalen Geometrie wurde. Schließlich kommt die Erkenntnis der Essenz von Fraktalen genau dann, wenn Sie anfangen, Zeichnungen zu studieren und über die Bedeutung seltsamer Muster nachzudenken - Wirbel.

Ein fraktales Muster hat keine identischen Elemente, ist aber in jedem Maßstab ähnlich. Bisher war es einfach unmöglich, ein solches Bild mit einem hohen Detailgrad manuell zu erstellen, es erforderte einen enormen Rechenaufwand.

Eine der ersten Zeichnungen eines Fraktals war eine grafische Interpretation der Mandelbrot-Menge, die aus der Forschung von Gaston Maurice Julia hervorgegangen ist.

Viele Objekte in der Natur haben fraktale Eigenschaften, wie Küsten, Wolken, Baumkronen, Schneeflocken, das Kreislaufsystem und das Alveolarsystem von Menschen oder Tieren.

Anwendung von Fraktalen

Fraktale finden immer mehr Anwendungen in der Wissenschaft. Der Hauptgrund dafür ist, dass sie die reale Welt manchmal sogar besser beschreiben als traditionelle Physik oder Mathematik.

Fraktale Malerei.

Fraktale Malerei ist einer der Trends in der zeitgenössischen Kunst, der bei Digitalkünstlern beliebt ist. Fraktale Gemälde haben eine ungewöhnliche und bezaubernde Wirkung auf den Betrachter und lassen helle, flammende Bilder entstehen. Fabelhafte Abstraktionen werden durch langweilige mathematische Formeln geschaffen, aber die Vorstellungskraft nimmt sie lebendig wahr.

Fraktale in Grafiken

Die nützlichste Verwendung von Fraktalen in der Informatik ist die fraktale Datenkomprimierung. Diese Art der Komprimierung basiert auf der Tatsache, dass die reale Welt durch die fraktale Geometrie gut beschrieben wird. Gleichzeitig werden Bilder deutlich besser komprimiert als mit herkömmlichen Verfahren (zB jpeg oder gif). Ein weiterer Vorteil der fraktalen Komprimierung besteht darin, dass beim Vergrößern des Bildes kein Pixelierungseffekt auftritt (Erhöhen der Punktgröße auf Größen, die das Bild verzerren). Bei fraktaler Komprimierung sieht das Bild nach dem Zoomen oft noch besser aus als vorher. Fraktale werden häufig in der Computergrafik verwendet - beim Erstellen von Bildern von Bäumen, Büschen, der Meeresoberfläche, Berglandschaften und anderen natürlichen Objekten. Dank fraktaler Grafiken wurde ein effektiver Weg gefunden, komplexe nicht-euklidische Objekte zu implementieren, deren Bilder natürlichen ähneln: Dies sind Algorithmen zur Synthese fraktaler Koeffizienten, mit denen Sie eine Kopie eines beliebigen Bildes so nah wie möglich am Original reproduzieren können. Interessanterweise gibt es neben fraktaler „Malerei“ auch fraktale Musik und fraktale Animation. In der bildenden Kunst gibt es eine Richtung, in der es darum geht, ein Bild eines zufälligen Fraktals zu erhalten - „fraktale Monotypie“ oder „Stochaty“.

Die mathematische Grundlage fraktaler Grafiken ist die fraktale Geometrie, bei der die Methoden zum Konstruieren von "Bild-Nachfolgern" auf dem Prinzip der Vererbung von den ursprünglichen "Objekt-Eltern" basieren. Die Konzepte fraktaler Geometrie und fraktaler Grafik selbst sind erst vor etwa 30 Jahren aufgetaucht, haben sich aber bereits fest im Alltag von Computerdesignern und Mathematikern etabliert.

Die grundlegenden Konzepte der fraktalen Computergrafik sind:

Fraktales Dreieck - Fraktale Figur - Fraktales Objekt (Hierarchie in absteigender Reihenfolge)

fraktale Linie

fraktale Zusammensetzung

"Elternobjekt" und "Nachfolgerobjekt"

Genau wie bei Vektor- und 3D-Grafiken ist die Erstellung fraktaler Bilder mathematisch berechenbar. Der Hauptunterschied zu den ersten beiden Arten von Grafiken besteht darin, dass ein Fraktalbild gemäß einer Gleichung oder einem Gleichungssystem aufgebaut ist – nichts weiter als eine Formel muss im Computerspeicher gespeichert werden, um alle Berechnungen durchzuführen – und eine so kompakte Mathematik Apparat ermöglichte die Verwendung dieser Idee in der Computergrafik. Durch einfaches Ändern der Koeffizienten der Gleichung erhalten Sie leicht ein völlig anderes Fraktalbild - mit Hilfe mehrerer mathematischer Koeffizienten werden Oberflächen und Linien mit sehr komplexer Form angegeben, mit denen Sie Kompositionstechniken wie Horizontale und Vertikale implementieren können , Symmetrie und Asymmetrie, diagonale Richtungen und vieles mehr.

Fraktale in dezentralen Netzwerken

Das Prinzip der fraktalen Informationskomprimierung zur kompakten Speicherung von Informationen über die Knoten des Netsukuku-Netzwerks verwendet das IP-Adresszuweisungssystem. Jeder seiner Knoten speichert 4 Kilobyte an Informationen über den Zustand benachbarter Knoten. Jeder neue Knoten verbindet sich mit dem öffentlichen Internet, ohne dass eine zentrale Regulierung der Verteilung von IP-Adressen erforderlich ist. Daraus können wir schließen, dass das Prinzip der fraktalen Informationskomprimierung den dezentralen Betrieb des gesamten Netzwerks gewährleistet und daher die Arbeit darin so stabil wie möglich ist.

Fraktale in der Funktechnik

fraktale Antennen. Um Daten über Distanzen zu übertragen, werden fraktalförmige Antennen verwendet, was ihre Größe und ihr Gewicht stark reduziert.

Die Verwendung fraktaler Geometrie beim Design von Antennengeräten wurde erstmals von dem amerikanischen Ingenieur Nathan Cohen angewendet, der in der Innenstadt von Boston lebte, wo es verboten war, externe Antennen auf Missionen zu installieren. Um das Verbot der Bostoner Behörden zur Installation von Außenantennen in Wohnhäusern zu umgehen, tarnte er die Antenne seines Radiosenders als dekorative Figur, die auf einer fraktalen unterbrochenen Linie basiert, die der schwedische Mathematiker Helge von Koch 1904 beschrieben hatte. Nathan schnitt eine Figur in Form einer Koch-Kurve aus Alufolie aus, klebte sie auf ein Blatt Papier und befestigte sie dann am Empfänger. Cohen gründete seine eigene Firma und startete deren Serienproduktion.

Die von Cohen veröffentlichten Ergebnisse von Studien zu den Eigenschaften des neuen Antennendesigns erregten die Aufmerksamkeit von Spezialisten. Dank der Bemühungen vieler Forscher ist die Theorie der fraktalen Antennen heute zu einem unabhängigen, ziemlich entwickelten Apparat für die Synthese und Analyse von EMA geworden.

Fraktale Antennen sind eine relativ neue Klasse elektrisch kleiner Antennen (ESA), die sich in ihrer Geometrie grundlegend von den bekannten Lösungen unterscheiden. Tatsächlich basierte die traditionelle Entwicklung von Antennen auf der euklidischen Geometrie und arbeitete mit Objekten ganzzahliger Dimension (Linie, Kreis, Ellipse, Paraboloid usw.).

Der Hauptunterschied zwischen fraktalen geometrischen Formen ist ihre gebrochene Dimension, die sich äußerlich in einer rekursiven Wiederholung auf einer zunehmenden oder abnehmenden Skala der ursprünglichen deterministischen oder zufälligen Muster manifestiert. Fraktale Technologien sind bei der Bildung von Signalfilterwerkzeugen, der Synthese von dreidimensionalen Computermodellen natürlicher Landschaften und der Bildkomprimierung weit verbreitet

Es ist ganz natürlich, dass die fraktale „Mode“ die Theorie der Antennen nicht umgangen hat. Darüber hinaus waren die Mitte der 60er Jahre des letzten Jahrhunderts vorgeschlagenen logarithmisch-periodischen und spiralförmigen Konstruktionen der Prototyp moderner fraktaler Technologien in der Antennentechnologie. Im streng mathematischen Sinne hatten solche Konstruktionen zur Zeit der Entwicklung allerdings nichts mit fraktaler Geometrie zu tun, sondern waren nur Fraktale erster Art. Jetzt versuchen Forscher, hauptsächlich durch Versuch und Irrtum, Fraktale, die in der Geometrie bekannt sind, in Antennenlösungen zu verwenden.

Mit Fractal-Antennen erzielen Sie fast den gleichen Gewinn wie mit herkömmlichen Antennen, jedoch mit kleineren Abmessungen, was für mobile Anwendungen wichtig ist. Betrachten wir die Ergebnisse, die auf dem Gebiet der Erstellung fraktaler Antennen verschiedener Typen erzielt wurden.

Die ersten Veröffentlichungen zur Elektrodynamik fraktaler Strukturen stammen aus den 80er Jahren des letzten Jahrhunderts. In Veröffentlichungen zur Geschichte fraktaler Antennen wird normalerweise die Arbeit der Wissenschaftler Y. Kim und D. L. Jaggard von der Pennsylvania State University erwähnt. Dem Wissenschaftler der Technischen Universität von Katalonien, C. Puente, wird die Überlegenheit in theoretischen Studien über die Möglichkeit der Verwendung fraktaler Formen zur Bildung von Mehrbandfrequenzantennen zugeschrieben. Das erste Design einer fraktalen Antenne mit den am besten untersuchten elektromagnetischen und gerichteten Eigenschaften war eine Antenne, die auf der präfraktalen Koch-Kurve basierte.

Fraktale in der Digitaltechnik

Die fraktale Geometrie hat einen unschätzbaren Beitrag zur Entwicklung neuer Technologien im Bereich der digitalen Musik geleistet und auch die Komprimierung digitaler Bilder ermöglicht. Existierende Fraktalbild-Komprimierungsalgorithmen basieren auf dem Prinzip des Speicherns eines komprimierenden Bildes anstelle des digitalen Bildes selbst. Bei einem Kompressionsbild bleibt das Hauptbild ein Fixpunkt. Microsoft verwendete eine der Varianten dieses Algorithmus bei der Veröffentlichung seiner Enzyklopädie, aber aus dem einen oder anderen Grund wurde diese Idee nicht weit verbreitet.

Fraktale in den Naturwissenschaften.

In der Physik entstehen Fraktale natürlicherweise bei der Modellierung nichtlinearer Prozesse, wie z. B. turbulenter Flüssigkeitsströmungen, komplexer Diffusions-Adsorptions-Prozesse, Flammen, Wolken usw. Fraktale werden verwendet, um poröse Materialien zu modellieren, beispielsweise in der Petrochemie. Das Studium der Turbulenz in Strömungen lässt sich sehr gut an Fraktale anpassen. Turbulente Strömungen sind chaotisch und daher schwierig genau zu modellieren. Und hier hilft der Übergang zu einer fraktalen Darstellung, die Ingenieuren und Physikern die Arbeit erheblich erleichtert und ihnen ermöglicht, die Dynamik komplexer Strömungen besser zu verstehen. In der Biologie werden sie zur Modellierung von Populationen und zur Beschreibung von Systemen innerer Organe verwendet. Derzeit werden und werden Fraktale wahrscheinlich in der Medizin verwendet. Der menschliche Körper selbst besteht aus vielen fraktalartigen Strukturen: Kreislaufsystem, Muskeln, Bronchien etc.

Sehr oft werden Fraktale in der Geologie und Geophysik verwendet. Es ist kein Geheimnis, dass die Küsten von Inseln und Kontinenten eine gewisse fraktale Dimension haben, mit deren Wissen man die Länge der Küsten sehr genau berechnen kann.

Physikalische Interpretation von Fraktalen

Betrachten Sie ein einfaches Experiment, um das algebraische Fraktal zu verstehen. Eine an einem Faden aufgehängte Kugel wird aus der Senkrechten abgelenkt und losgelassen. Es gibt Schwankungen. Wird die Kugel leicht ausgelenkt, so wird ihre Bewegung durch lineare Gleichungen beschrieben. Wenn die Abweichung groß genug gemacht wird, sind die Gleichungen nicht länger linear. Was ändert sich damit? Im ersten Fall hängt die Oszillationsfrequenz (und dementsprechend die Periode) nicht vom Grad der anfänglichen Abweichung ab. Im zweiten - solche Abhängigkeit findet statt. Ein vollständiges Analogon eines mechanischen Pendels als Schwingungssystem ist ein Schwingkreis oder "elektrisches Pendel". Er besteht im einfachsten Fall aus einer Induktivität, einem Kondensator (Kapazität) und einem Widerstand (Widerstand). Wenn alle drei dieser Elemente linear sind, entsprechen die Schwingungen in der Schaltung den Schwingungen eines linearen Pendels. Wenn aber beispielsweise die Kapazität nichtlinear ist, hängt die Schwingungsdauer von ihrer Amplitude ab.

Die Dynamik eines Schwingkreises wird durch zwei Größen bestimmt, beispielsweise den Strom im Kreis und die Spannung über der Kapazität. Wenn wir diese Größen entlang der Achsen auftragen X und Y, dann entspricht jeder Zustand des Systems einem bestimmten Punkt auf der resultierenden Koordinatenebene. Eine solche Ebene wird Phasenebene genannt. (Wenn demnach ein dynamisches System durch n Variablen definiert ist, dann kann ihm statt einer zweidimensionalen Phasenebene ein n-dimensionaler Phasenraum zugeordnet werden).

Beginnen wir nun damit, mit einem externen periodischen Signal auf unsere Pendel einzuwirken. Die Reaktion linearer und nichtlinearer Systeme ist unterschiedlich. Im ersten Fall werden allmählich regelmäßige periodische Schwingungen mit der gleichen Frequenz wie die Frequenz des Ansteuersignals aufgebaut. Auf der Phasenebene entspricht eine solche Bewegung einer geschlossenen Kurve, die Attraktor genannt wird (vom englischen Verb anziehen- anziehen), - eine Reihe von Trajektorien, die den stetigen Prozess charakterisieren. Bei einem nichtlinearen Pendel können komplexe, nichtperiodische Schwingungen entstehen, wenn sich die Bahn auf der Phasenebene nicht in beliebig langer Zeit schließt. In diesem Fall ähnelt das Verhalten eines deterministischen Systems äußerlich einem völlig zufälligen Prozess.

Somit wird der Phasenraum des Systems in Anziehungsgebiete von Attraktoren unterteilt. Ist der Phasenraum zweidimensional, so kann man durch Einfärben der Anziehungsbereiche mit unterschiedlichen Farben ein farbiges Phasenporträt dieses Systems erhalten (Iterationsprozess). Durch Ändern des Farbauswahlalgorithmus können Sie komplexe Fraktalmuster mit ausgefallenen mehrfarbigen Mustern erhalten.

Fraktale werden verwendet, um die Krümmung von Oberflächen zu beschreiben. Eine unebene Oberfläche zeichnet sich durch eine Kombination zweier unterschiedlicher Fraktale aus.

Fraktale in der Natur.

Die Natur erschafft oft erstaunliche und schöne Fraktale mit perfekter Geometrie und einer solchen Harmonie, dass Sie vor Bewunderung einfach erstarren.

Fraktale kommen in der Natur häufig vor. Die Natur erschafft erstaunliche und wunderschöne Fraktale mit perfekter Geometrie und einer solchen Harmonie, dass Sie vor Bewunderung einfach erstarren. Dies ist ein Blitz, der den Himmel bis zum Horizont durchdringt; gegliederte Festlandküste und Bergketten; Unterwasserkorallen, in der Natur gibt es über 3500 Arten davon und Muscheln; ein Oktopus mit fraktaler Körperstruktur und Saugnäpfen an allen acht Tentakeln und eine Nacktschnecke; Blumenkohl-Korallenkohl mit einem nicht standardmäßigen konvexen Relief; Bäume Blätter Blumen; das menschliche Kreislaufsystem und vieles mehr.In dem Bild des japanischen Künstlers Hokusai „The Great Wave“ ist zu sehen, dass der Künstler beim Zeichnen des Wellenkamms ein in der Natur auffälliges Fraktal verwendete, als bestünde es aus zahlreichen Raubwassern Pfoten.

Fraktale werden in der Computergrafik häufig verwendet, um Bilder von natürlichen Objekten wie Bäumen, Büschen, Berglandschaften, Meeresoberflächen usw. zu konstruieren. Die Rolle von Fraktalen in der Computergrafik ist heute ziemlich groß. Sie kommen zum Beispiel dann zum Einsatz, wenn es darum geht, sehr komplex geformte Linien und Flächen zu erhalten. Fraktale werden verwendet, um die Krümmung von Oberflächen zu beschreiben. Eine unebene Oberfläche zeichnet sich durch eine Kombination zweier unterschiedlicher Fraktale aus. Aus Sicht der Computergrafik ist die fraktale Geometrie für die Erzeugung künstlicher Wolken, dreidimensionaler Reliefberge und der Meeresoberfläche unverzichtbar. Tatsächlich wurde ein Weg gefunden, komplexe nicht-euklidische Objekte, deren Bilder natürlichen sehr ähnlich sind, einfach darzustellen. Fraktale Computergrafiken werden häufig bei der Erstellung von Cartoons und Science-Fiction-Filmen verwendet. Es werden Antennen mit fraktalen Formen verwendet, was ihre Größe und ihr Gewicht stark reduziert. Wenn wir Fraktale aus biologischer Sicht betrachten, dann ist dies die Modellierung jeglicher chaotischer Prozesse, insbesondere bei der Beschreibung von Populationsmodellen.

Verwendung von Fraktalen im Devisenhandel

Fraktale werden von vielen Devisenhändlern beim Handel verwendet. Bill Williams begann, sie aktiv im Handel zu verwenden, aber es sollte beachtet werden, dass sie lange vor ihm verwendet wurden, wenn auch unter einem anderen Namen. Dr. Williams kam aufgrund seiner wissenschaftlichen Arbeit zu dem Schluss, dass sich der Markt genauso bewegt wie chaotische Systeme. Mit anderen Worten, der Blutfluss im Herzen, die Küstenlinie und der Baumwollpreis bewegen sich in ähnlicher Weise mit derselben Struktur. Die Forschung von Bill Williams zeigt, dass der Markt kein lineares System ist, sondern ein chaotisches. Dementsprechend wird die Verwendung von Standardindikatoren, die auf linearen Funktionen basieren, für seine Analyse kein angemessenes Ergebnis bringen. Daraus folgt auch, dass die Stabilität des Marktes vorübergehend ist und die dauerhafte genau das Chaos ist. Forex-Fraktale wurden im Prozess der Computersimulation entdeckt, gleichzeitig wurden Rückkopplungen entdeckt, die die Struktur des Marktes beschreiben. Ein Fraktal ist von Natur aus eine sich wiederholende Formation, die jedem Stop-Loss innewohnt. Bei Forex sind dies alle Märkte, alle Zeitrahmen. Und ihr Ursprung, der der Rohstoff- und Aktienmarkt-Fraktale, der der Küsten-Fraktale, ist von gleicher Natur.

Fractals ist ein Indikator, der von Bill Williams entwickelt wurde. Es ist einfach und gleichzeitig facettenreich. Es kann sowohl als eigenständiger Indikator als auch in Kombination mit anderen technischen Analysetools verwendet werden.

Handel mit Fraktalen nach "Chaos Theory" von Bill Williams

Der Fraktalindikator ist einer der fünf Handelssystemindikatoren von Bill Williams. Gemäß dem System müssen Signale, die von Fraktalen kommen, mit einem Indikator namens Alligator gefiltert werden.

So handeln Sie mit Fraktalen:

· Wenn das Fraktal, das ein Kaufsignal gibt, über den Zähnen des Alligators (rote Linie) liegt, sollten Trader eine ausstehende Kauforder ein paar Pips über dem Fraktal platzieren.

· Wenn das Fraktal, das ein Verkaufssignal gibt, unter den Zähnen des Alligators liegt, sollten Händler eine ausstehende Verkaufsorder ein paar Pips unter dem Fraktal platzieren.

In anderen Fällen sollten Sie den Handelssignalen des Fraktalindikators nicht vertrauen.

Wenn Sie mit der Bill-Williams-Methode handeln, sollten Sie die wichtigste Regel befolgen: Vertrauen Sie niemals den Handelssignalen anderer Indikatoren (Gator-Indikator, Awesome Oscillator, MFI usw.), wenn das erste bullische / bärische Fraktal nicht außerhalb des Alligators gebildet wird Zähne (ist dann auf der anderen Seite der roten Linie)

Das Signal bleibt relevant, bis die Pending Order ausgelöst wird oder ein neues Signal erscheint (in diesem Fall müssen Sie das Level der Pending Order ändern). Jedes neue Trendfraktal kann zum Aufbau einer Handelsposition verwendet werden.

fraktale Antennen.

Die Entwicklung von Mobiltelekommunikationstechnologien, Radar und Mikrowellenbewegungssensoren diktiert die Notwendigkeit, neue Mehrelement-Antennensysteme zu entwickeln, die aus Emittern mit kleinen Abmessungen und optimaler Konfiguration bestehen. Die Antenne ist ein integraler Bestandteil jedes funktechnischen Geräts, das dazu bestimmt ist, Informationen unter Verwendung von Funkwellen durch den umgebenden Raum zu senden oder zu empfangen. Wie oben erwähnt, haben fraktale Antennen eine Geometrie, die sich von allen anderen Antennentypen unterscheidet. Das Hauptmerkmal fraktaler geometrischer Formen ist ihre gebrochene Dimension. Unter der großen Vielfalt fraktaler Strukturen sind Minkowski-Fraktale eine der bequemsten zum Erstellen von Antennen. Der „Initiator“ des Fraktals ist ein Segment, und der „Erzeuger“ ist eine unterbrochene Linie aus acht Gliedern (zwei gleiche Glieder setzen sich fort).

In Antennenlösungen werden keine echten Fraktale verwendet, sondern nur einige ihrer ersten iterativen Formen, die in der Geometrie als raumfüllende Kurven (SFC) oder eben (Plane-Filling Curves, PFC) bezeichnet werden. Der Begriff "Präfraktale" wird seltener verwendet. Alle diese Konzepte in Bezug auf Antennenstrukturen können als Synonyme verwendet werden. Dies ist die historische Terminologie der Theorie fraktaler Antennen, obwohl sie nicht den anerkannten mathematischen Definitionen entspricht.

SFCs können als Schablonen für die Herstellung von Monopolen und Dipolarmen verwendet werden, die Topologie von gedruckten Antennen, frequenzselektiven Oberflächen (Frequency Selection Surfaces, FSS) oder Spiegelreflektorschalen formen, Rahmenantennenkonturen und Hornblendenprofile konstruieren sowie Nuten einfräsen Schlitzantennen. In der englischsprachigen Literatur werden die entsprechenden Antennen oft als „Space-Filling Antenna“ (SFA) (Space-Filling Antennas) bezeichnet.

Bei Drahtantennen ist SFC-Selbstkreuzung nur am Start- (oder Endpunkt) erlaubt. Mit anderen Worten, eine fraktale Linie kann wie eine geschlossene Kontur aussehen, aber keiner ihrer Teile kann ein geschlossenes Fragment sein. Das Fehlen von Selbstkontaktpunkten in SFC-Objekten ermöglicht es uns, von ihnen als "sich selbst vermeidende" Kurven zu sprechen. Von hier kommt übrigens ein anderer Name für diese unterbrochenen Linien – FASS-Kurven (Space-Filling Self-Avoidance Simplicity Similarity – sich selbst ausweichende Kurven ähnlicher Segmente, die den Raum füllen).

Es gibt eine weitere Einschränkung aller Arten von fraktalen Antennen: Die Segmente der darin verwendeten SFC-Leitungen müssen kürzer als ein Zehntel der Betriebswellenlänge der Antenne im freien Raum sein. In diesem Fall ist es wünschenswert, dass die Gesamtzahl der verbundenen SFC-Segmente in Antennentopologien 10 überschreitet.

Experimentelle Daten, die von Cushcraft-Spezialisten für die Koch-Kurve, vier Iterationen des Mäanders und die spiralförmige Antenne erhalten wurden, ermöglichen es, die elektrischen Eigenschaften der Koch-Antenne mit anderen Emittern mit periodischer Struktur zu vergleichen. Alle verglichenen Emitter hatten Multifrequenzeigenschaften, was sich in periodischen Resonanzen in den Impedanzkurven äußerte. Für Mehrbereichsanwendungen ist jedoch das Koch-Fraktal am besten geeignet, bei dem mit zunehmender Frequenz die Spitzenwerte von Blind- und Wirkwiderständen abnehmen, während sie für Mäander und Spirale zunehmen.

Generell ist anzumerken, dass es aufgrund fehlender analytischer Beschreibung von Wellenvorgängen in einem Leiter mit komplexer Topologie schwierig ist, den Mechanismus der Wechselwirkung zwischen einer fraktalen Empfangsantenne und darauf einfallenden elektromagnetischen Wellen theoretisch darzustellen. In einer solchen Situation ist es ratsam, die Hauptparameter fraktaler Antennen durch mathematische Modellierung zu bestimmen. Ziemlich viel Arbeit wurde der numerischen Untersuchung elektromagnetischer Prozesse gewidmet, die in fraktalen Antennen und während ihrer Wechselwirkung mit Umweltobjekten ablaufen. Ihre detaillierte Überprüfung und Analyse würde den Rahmen dieses Artikels sprengen. Ein gemeinsamer Nachteil aller bekannten Veröffentlichungen zu Untersuchungsergebnissen fraktaler Antennen ist das Fehlen von Hinweisen zur statistischen Aufbereitung von Versuchsergebnissen. Insbesondere geben sie keine Auskunft über die Konfidenzintervalle der gemessenen Parameter, was keine Aussage über die Genauigkeit der resultierenden empirischen Zusammenhänge zulässt. Im Allgemeinen wartet die statistische Theorie fraktaler Antennen, wenn sie mit numerischen Methoden berechnet wird, noch auf ihre Entwickler.

Somit ermöglicht die Möglichkeit, einen Satz verschiedener Parameter des Antennensystems basierend auf der unterbrochenen Linie von Koch auszuwählen, dass die Konstruktion verschiedene Anforderungen an den Wert des Innenwiderstands und die Verteilung der Resonanzfrequenzen erfüllt. Da jedoch die gegenseitige Abhängigkeit der rekursiven Dimension und der Antenneneigenschaften nur für eine bestimmte Geometrie erhalten werden kann, muss die Gültigkeit der betrachteten Eigenschaften für andere rekursive Konfigurationen weiter untersucht werden.

FAZIT

Die Wissenschaft der Fraktale ist sehr jung, da sie mit der Entwicklung der Computertechnologie auftauchten. Vieles ist also noch nicht erforscht und vieles bleibt zu entdecken. Der Hauptgrund für die Verwendung von Fraktalen in verschiedenen Wissenschaften ist, dass sie die reale Welt manchmal sogar besser beschreiben als die traditionelle Physik oder Mathematik. Wir haben herausgefunden, dass Fraktale nicht nur in den exakten Wissenschaften verwendet werden können, sondern in fast allem, was uns umgibt: Kleidung, Einrichtungselemente, Gestaltung von Postkarten, Vorhänge und vieles mehr.

Neben der nützlichen Rolle, die die fraktale Geometrie bei der Beschreibung der Komplexität natürlicher Objekte spielt, bietet sie auch eine gute Gelegenheit, mathematisches Wissen bekannt zu machen. Die Konzepte der fraktalen Geometrie sind klar und intuitiv. Seine Formen sind ästhetisch ansprechend und vielseitig einsetzbar. Daher kann die fraktale Geometrie dazu beitragen, die Ansicht der Mathematik als trockene und unzugängliche Disziplin zu widerlegen, und wird zu einem zusätzlichen Anreiz für Studenten, diese interessante und faszinierende Wissenschaft zu meistern.

In allem, was uns umgibt, sehen wir oft Chaos, aber tatsächlich ist dies kein Zufall, sondern eine ideale Form, die uns durch Fraktale zu erkennen hilft. Die Natur ist der beste Architekt, der ideale Baumeister und Ingenieur. Es ist sehr logisch angeordnet, und wenn wir irgendwo keine Muster sehen, bedeutet dies, dass wir es in einem anderen Maßstab suchen müssen. Die Menschen verstehen das immer besser und versuchen, natürliche Formen in vielerlei Hinsicht nachzuahmen. Ingenieure entwerfen Lautsprechersysteme in Form einer Hülle, erstellen Antennen mit Schneeflockengeometrie und so weiter. Wir sind sicher, dass Fraktale noch viele Geheimnisse bergen, und viele davon müssen noch vom Menschen entdeckt werden.

Nach der Entdeckung der Fraktale wurde vielen klar, dass die guten alten Formen der euklidischen Geometrie den meisten natürlichen Objekten weit unterlegen sind, da ihnen einige Unregelmäßigkeiten, Unordnung und Unvorhersehbarkeit fehlen. Es ist möglich, dass die neuen Ideen der fraktalen Geometrie helfen werden, viele mysteriöse Phänomene der umgebenden Natur zu studieren.

Wir konnten zeigen, dass alles, was in der realen Welt existiert, ein Fraktal ist. Wir haben dafür gesorgt, dass diejenigen, die sich mit Fraktalen beschäftigen, eine wunderschöne, erstaunliche Welt entdecken, in der Mathematik, Natur und Kunst regieren. Wir hoffen, dass Sie, nachdem Sie sich mit unserer Arbeit vertraut gemacht haben, wie wir davon überzeugt sind, dass Mathematik schön und erstaunlich ist.

Neben der großartigen Funktionalität, der Möglichkeit, Fraktale in verschiedenen Lebensbereichen zu verwenden, sind dies sehr helle, saftige, erstaunlich schöne Bilder, die großen ästhetischen Genuss bringen und es Ihnen ermöglichen, sie zu genießen. Jeder kann seine eigenen Fraktale mit verfügbaren Grafikprogrammen erstellen. Schon allein der Prozess, für uns etwas völlig Neues und gleichzeitig unglaublich Schönes, manchmal Fantastisches zu schaffen, bereitet Ihnen viel Freude. Fraktale sind sehr vielfältig, ebenso wie ihre Anwendungen. Durch das Studium fraktaler Modelle für die praktische Anwendung wird jeder in der Lage sein, die für ihn passende Richtung zu wählen.

Der Anwendungsbereich fraktaler Antennen ist nicht auf den Empfang / die Übertragung eines TV-Signals beschränkt. Sie werden erfolgreich verwendet, um Wi-Fi-Netzwerke, Mobilfunkkommunikation, einschließlich geschlossener militärischer Funkkanäle, zu organisieren. Daraus können wir schließen, dass die Beherrschung der Techniken zur Konstruktion von Fraktalen und die Kenntnis ihres Anwendungsbereichs dazu beitragen, die Effizienz der Untersuchung vieler Objekte und Prozesse der belebten und unbelebten Natur zu steigern. Dies wiederum motiviert einerseits zum Studium der praktischen Anwendungsgebiete von Geometrie, Physik, Informatik und anderen Fächern des naturwissenschaftlichen Zyklus, erlaubt andererseits aber auch, der Verbindung von Wissenschaft und Lebenswelt nachzuspüren und zwischen einzelnen Abschnitten

Man kann sagen, dass tatsächlich ein Weg für eine einfache und bequeme Darstellung komplexer nicht-euklidischer Objekte gefunden wurde, deren Bilder natürlichen ähnlich sind.

Fraktale ermöglichen es Ihnen, die Mathematik aus einer ganz anderen Perspektive zu betrachten. Es scheint, dass gewöhnliche Berechnungen mit gewöhnlichen Zahlen durchgeführt werden, aber dies führt zu einzigartigen, unnachahmlichen Ergebnissen, die Ihnen das Gefühl geben, ein Schöpfer der Natur zu sein. Fraktale machen deutlich, dass Mathematik auch die Wissenschaft der Schönheit ist.

Die Bedeutung der Entdeckung von Fraktalen für die Wissenschaft kann kaum überschätzt werden. Die Erstellung von praktisch genauen Modellen der Umwelt wird es uns ermöglichen, die Faktoren, die ihren Zustand und ihre Entwicklung beeinflussen, genauer zu betrachten und zu bewerten.

Hinter den Fraktalen verbergen sich enorme praktische Entwicklungsperspektiven. Fraktale erwiesen sich als eine grundlegend neue Entdeckung in der Geometrie, die in der Lage war, die bis vor kurzem alten Vorstellungen über die geometrische Struktur der Welt zu ändern.

Heutzutage wird die Theorie der Fraktale in verschiedenen Bereichen der menschlichen Tätigkeit weit verbreitet. Neben einem rein wissenschaftlichen Forschungsgegenstand und der bereits erwähnten Fraktalmalerei werden Fraktale in der Informationstheorie zur Komprimierung von Grafikdaten verwendet (hier wird hauptsächlich die Selbstähnlichkeitseigenschaft von Fraktalen genutzt – immerhin, um sich ein kleines Fragment zu merken einer Zeichnung und Transformationen, mit denen Sie die restlichen Teile erhalten können, wird viel weniger Speicherplatz benötigt, als die gesamte Datei zu speichern). Indem man zufällige Störungen zu den Formeln hinzufügt, die das Fraktal definieren, kann man stochastische Fraktale erhalten, die einige reale Objekte sehr plausibel wiedergeben – Reliefelemente, die Oberfläche von Wasserkörpern, einige Pflanzen, was in der Physik, Geographie und Computergrafik erfolgreich eingesetzt wird größere Ähnlichkeit simulierter Objekte mit realen. In der Funkelektronik begann man im letzten Jahrzehnt damit, Antennen mit fraktaler Form herzustellen. Sie nehmen wenig Platz ein und bieten einen recht hochwertigen Signalempfang. Ökonomen verwenden Fraktale, um Währungsschwankungskurven zu beschreiben (diese Eigenschaft wurde vor über 30 Jahren von Mandelbrot entdeckt). Damit beenden wir diesen kurzen Ausflug in die Welt der Fraktale, die an Schönheit und Vielfalt verblüfft.

Im Zuge dieser Forschungsarbeit wurden die gestellten Aufgaben erledigt, das Ziel erreicht und die Hypothese bestätigt.

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Sie stammen gerade aus den Grundlagen der mathematischen Analyse. Die Theorie der Fraktale im mathematischen Konzept basiert auf der Tatsache, dass alle Phänomene, die uns umgeben, oft aus einer Art sich selbst wiederholender Figuren bestehen.

Beispielsweise können eine Küstenlinie oder ein Blatt eines Baumes als fraktale Formen bezeichnet werden. In der Theorie der Mathematik ist ein Fraktal unendlich selbstähnlich, bei dem sich jedes Fragment wiederholt, wenn der Maßstab verkleinert wird.

Wenn Sie die Linie einer Küste von der Seite des Flugzeugs aus betrachten, können Sie die Linie ohne eine einzige Biegung sehen, aber sobald wir mit dem Abstieg beginnen, erscheinen immer mehr Biegungen an der Küste, mit anderen Worten, die Figur wird beginnen, klarere Umrisse anzunehmen.

Die Hauptmerkmale der Theorie der Fraktale

Die Theorie der Fraktale untersucht die Entstehungsmuster solcher Zufallsphänomene. Der Markt ist eine perfekte Figur, die aus verschiedenen Dimensionen besteht. In dieser Hinsicht kann das Auffinden wichtiger Punkte auf dem Graphen unter Verwendung von Methoden durchgeführt werden, die auf Fraktalanalyse basieren.

Am zugänglichsten waren die Thesen der Theorie der Fraktale von dem berühmten Händler seiner Zeit, Bill Gilms.

Er war es, der das Fraktal in Form von Fünf-Balken-Tiefs und -Hochs auf den Chart setzte. Die Hauptidee dieser Hypothese ist, dass das Preisniveau während 5 separater Zeitintervalle nicht höher oder niedriger als das Maximum einer bestimmten Zeit (z. B. eine Minute, eine Stunde oder ein Tag) steigen oder fallen sollte.

Empfohlen: Fraktale, die von Handelsspezialisten verwendet werden:

Es ist nicht so wichtig, welche Art von Zeitplänen dies sein wird, aber in der Praxis bieten sie im Bereich des russischen Marktes die größte Effizienz. In vielen Fällen bilden die Tiefs und Hochs Unterstützungs- und Widerstandslinien. Und nachdem der Preis diese Niveaus überschritten hat, bewegt er sich normalerweise noch eine Weile in die gleiche Richtung.

Meistens in einem Trendmarkt, wenn die oben genannten Niveaus überschritten werden, (lassen Sie es sein) Verkaufen oder Kaufen, gibt dem Händler oft ein gutes Einkommen.

Kommt es jedoch zu einer Marktflaute, kann das gesamte Einkommen des Anlegers durch die Provision blockiert werden, und um dies zu verhindern, ist es sinnvoll, zusätzliche in Ihre Handelsstrategie einzuführen.

Mathematik,
wenn man es richtig sieht,
spiegelt nicht nur die Wahrheit wider,
sondern auch unvergleichliche Schönheit.
Bertrand Russell.

Sie haben natürlich schon von Fraktalen gehört. Sie haben sicherlich diese atemberaubenden Bilder von Bryce3d gesehen, die realer sind als die Realität selbst. Berge, Wolken, Baumrinde – all das geht über die übliche euklidische Geometrie hinaus. Wir können den Stein oder die Grenzen der Insel nicht mit Linien, Kreisen und Dreiecken beschreiben. Hier kommen Fraktale zur Rettung. Was sind diese vertrauten Fremden? Wann sind sie erschienen?

Geschichte des Aussehens.

Die ersten Ideen der fraktalen Geometrie entstanden im 19. Jahrhundert. Kantor verwandelte die Linie mithilfe eines einfachen rekursiven (wiederholenden) Verfahrens in eine Reihe nicht verbundener Punkte (den sogenannten Cantor-Staub). Er nahm die Linie und entfernte das mittlere Drittel und wiederholte dann dasselbe mit den verbleibenden Segmenten. Peano zeichnete eine besondere Art von Linie (Zeichnung Nr. 1). Peano verwendete den folgenden Algorithmus, um es zu zeichnen.

Im ersten Schritt nahm er eine gerade Linie und ersetzte sie durch 9 Segmente, die dreimal kürzer waren als die Länge der ursprünglichen Linie (Teil 1 und 2 von Abbildung 1). Dann tat er dasselbe mit jedem Segment der resultierenden Linie. Und so weiter bis ins Unendliche. Seine Einzigartigkeit liegt darin, dass es die gesamte Ebene ausfüllt. Es ist bewiesen, dass man für jeden Punkt in der Ebene einen Punkt finden kann, der zur Peano-Linie gehört. Peanos Kurve und Cantors Staub gingen über gewöhnliche geometrische Objekte hinaus. Sie hatten keine klare Dimension. Cantors Staub war scheinbar auf der Grundlage einer eindimensionalen Geraden konstruiert, bestand aber aus Punkten (Dimension 0). Und die Peano-Kurve wurde auf der Grundlage einer eindimensionalen Linie erstellt, und das Ergebnis war eine Ebene. In vielen anderen Bereichen der Wissenschaft traten Probleme auf, die zu seltsamen Ergebnissen führten, wie den oben beschriebenen (Brownsche Bewegung, Aktienkurse).

Vater der Fraktale

Bis ins 20. Jahrhundert häuften sich Daten zu solchen seltsamen Objekten, ohne dass versucht wurde, sie zu systematisieren. So war es, bis sie von Benoit Mandelbrot aufgegriffen wurden – dem Vater der modernen fraktalen Geometrie und des Wortes Fraktal. Während er bei IBM als mathematischer Analyst arbeitete, untersuchte er Rauschen in elektronischen Schaltungen, das mit Statistiken nicht beschrieben werden konnte. Nach und nach verglich er die Fakten und entdeckte eine neue Richtung in der Mathematik - die fraktale Geometrie.

Was ist ein fraktal. Mandelbrot selbst leitete das Wort Fraktal vom lateinischen Wort fractus ab, was gebrochen (in Teile geteilt) bedeutet. Und eine der Definitionen eines Fraktals ist eine geometrische Figur, die aus Teilen besteht und die in Teile geteilt werden kann, von denen jedes eine kleinere Kopie des Ganzen ist (zumindest ungefähr).

Um sich ein Fraktal klarer vorzustellen, betrachten wir ein Beispiel aus dem Buch von B. Mandelbrot „Die fraktale Geometrie der Natur“ („Fractal Geometry of Nature“), das zu einem Klassiker geworden ist – „Wie lang ist die Küste von Großbritannien?". Die Antwort auf diese Frage ist nicht so einfach, wie es scheint. Es hängt alles von der Länge des Werkzeugs ab, das wir verwenden werden. Nachdem wir die Küste mit Hilfe eines Kilometerlineals vermessen haben, erhalten wir eine gewisse Länge. Allerdings werden wir viele kleine Buchten und Halbinseln vermissen, die viel kleiner sind als unser Verbreitungsgebiet. Indem wir die Größe des Lineals beispielsweise auf 1 Meter reduzieren, berücksichtigen wir diese Details der Landschaft, und dementsprechend wird die Länge der Küste länger. Lassen Sie uns fortfahren und die Länge der Küste mit einem Millimeterlineal messen. Wir berücksichtigen Details, die mehr als einen Millimeter betragen, die Länge wird noch länger. Infolgedessen kann die Antwort auf eine so scheinbar einfache Frage jeden verwirren - die Länge der Küste Großbritanniens ist unendlich.

Ein wenig über Abmessungen.

In unserem täglichen Leben begegnen uns ständig Dimensionen. Wir schätzen die Länge der Straße (250 m), ermitteln die Fläche der Wohnung (78 m2) und suchen das Volumen einer Flasche Bier (0,33 dm3) auf dem Aufkleber. Dieses Konzept ist ganz intuitiv klar und bedarf, wie es scheint, keiner Klärung. Die Linie hat die Dimension 1. Das bedeutet, dass wir durch die Wahl eines Bezugspunkts jeden Punkt auf dieser Linie mit 1 Zahl bestimmen können - positiv oder negativ. Und das gilt für alle Linien - einen Kreis, ein Quadrat, eine Parabel usw.

Dimension 2 bedeutet, dass wir jeden Punkt eindeutig durch zwei Zahlen definieren können. Denken Sie nicht, dass zweidimensional flach bedeutet. Die Oberfläche einer Kugel ist ebenfalls zweidimensional (sie kann mit zwei Werten definiert werden - Winkel wie Breite und Länge).

Aus mathematischer Sicht ist die Dimension wie folgt definiert: Bei eindimensionalen Objekten führt die Verdoppelung ihrer linearen Größe zu einer zweifachen Vergrößerung (in diesem Fall der Länge) (2 ^ 1).

Bei zweidimensionalen Objekten führt die Verdoppelung der linearen Abmessungen zu einer vierfachen (2^2) Vergrößerung (z. B. der Fläche eines Rechtecks).

Bei dreidimensionalen Objekten führt eine Verdoppelung der linearen Abmessungen zu einer Verachtfachung des Volumens (2^3) und so weiter.

Somit kann das Maß D basierend auf der Abhängigkeit der Zunahme der "Größe" des Objekts S von der Zunahme der linearen Abmessungen L berechnet werden. D = log(S)/log(L). Für Zeile D=log(2)/log(2)=1. Für die Ebene D=log(4)/log(2)=2. Für Volumen D=log(8)/log(2)=3. Es kann ein wenig verwirrend sein, aber im Allgemeinen ist es einfach und verständlich.

Warum erzähle ich das alles? Und um zu verstehen, wie man Fraktale von beispielsweise Würstchen trennt. Versuchen wir, die Dimension für die Peano-Kurve zu berechnen. Wir haben also die ursprüngliche Linie, bestehend aus drei Segmenten der Länge X, ersetzt durch 9 Segmente, die dreimal kürzer sind. Wenn also das minimale Segment um das 3-fache erhöht wird, erhöht sich die Länge der gesamten Linie um das 9-fache und D=log(9)/log(3)=2 ist ein zweidimensionales Objekt!!!

Wenn also die Dimension einer aus einigen einfachen Objekten (Segmenten) erhaltenen Figur größer ist als die Dimension dieser Objekte, haben wir es mit einem Fraktal zu tun.

Fraktale werden in Gruppen eingeteilt. Die größten Gruppen sind:

Geometrische Fraktale.

Mit ihnen begann die Geschichte der Fraktale. Diese Art von Fraktalen wird durch einfache geometrische Konstruktionen erhalten. Üblicherweise geht man beim Konstruieren dieser Fraktale wie folgt vor: Man nimmt einen „Samen“ – ein Axiom – eine Menge von Segmenten, auf deren Grundlage das Fraktal aufgebaut wird. Außerdem wird auf diesen „Samen“ eine Reihe von Regeln angewendet, die ihn in eine geometrische Figur verwandeln. Ferner wird derselbe Satz von Regeln wieder auf jeden Teil dieser Figur angewendet. Mit jedem Schritt wird die Figur immer komplexer, und wenn wir (zumindest gedanklich) unendlich viele Transformationen durchführen, erhalten wir ein geometrisches Fraktal.

Die oben betrachtete Peano-Kurve ist ein geometrisches Fraktal. Die folgende Abbildung zeigt weitere Beispiele für geometrische Fraktale (von links nach rechts, Koch-Schneeflocke, Liszt, Sierpinski-Dreieck).

Schneeflocke Koch

Blatt

Sierpinski-Dreieck

Von diesen geometrischen Fraktalen ist das erste sehr interessant und ziemlich berühmt – die Koch-Schneeflocke. Es ist auf der Grundlage eines gleichseitigen Dreiecks aufgebaut. Jede Zeile davon ___ wird durch 4 Zeilen ersetzt, die jeweils 1/3 der ursprünglichen _/\_ Länge haben. Somit erhöht sich die Länge der Kurve mit jeder Iteration um ein Drittel. Und wenn wir unendlich viele Iterationen machen, erhalten wir ein Fraktal – eine Koch-Schneeflocke von unendlicher Länge. Es stellt sich heraus, dass unsere unendliche Kurve einen begrenzten Bereich abdeckt. Versuchen Sie dasselbe mit Methoden und Figuren der euklidischen Geometrie.

Dimension einer Koch-Schneeflocke (wenn eine Schneeflocke um das Dreifache zunimmt, nimmt ihre Länge um das Vierfache zu) D = log (4) / log (3) = 1,2619 ...

Die sogenannten L-Systeme sind gut geeignet, um geometrische Fraktale zu konstruieren. Das Wesen dieser Systeme besteht darin, dass es einen bestimmten Satz von Symbolen des Systems gibt, von denen jedes eine bestimmte Aktion und einen Satz von Regeln zum Konvertieren von Symbolen bezeichnet. Zum Beispiel die Beschreibung der Koch-Schneeflocke mit L-Systems im Fractint-Programm

; Adrian Mariano aus „Die fraktale Geometrie der Natur“ von Mandelbrot Koch1 ( ;Drehwinkel 360/6=60 Grad einstellen Winkel 6 ; Erste Zeichnung zum Bauen Axiom F--F--F ; Zeichenumwandlungsregel F=F+F--F+F )

In dieser Beschreibung sind die geometrischen Bedeutungen der Symbole wie folgt:

F bedeutet Linie ziehen + im Uhrzeigersinn drehen - gegen den Uhrzeigersinn drehen

Die zweite Eigenschaft von Fraktalen ist die Selbstähnlichkeit. Nehmen wir zum Beispiel das Sierpinski-Dreieck. Um es aus der Mitte eines gleichseitigen Dreiecks zu konstruieren, "schneiden" wir das Dreieck aus. Das gleiche Verfahren wiederholen wir für die drei gebildeten Dreiecke (mit Ausnahme des mittleren) und so weiter bis ins Unendliche. Wenn wir nun eines der gebildeten Dreiecke nehmen und vergrößern, erhalten wir eine exakte Kopie des Ganzen. In diesem Fall haben wir es mit vollständiger Selbstähnlichkeit zu tun.

Ich werde sofort reservieren, dass die meisten Fraktalzeichnungen in diesem Artikel mit dem Fractint-Programm erhalten wurden. Wenn Sie sich für Fraktale interessieren, dann ist dies ein Muss für Sie. Mit seiner Hilfe kannst du Hunderte von verschiedenen Fraktalen bauen, dich umfassend darüber informieren und dir sogar anhören, wie die Fraktale klingen;).

Zu sagen, dass das Programm gut ist, ist nichts zu sagen. Es ist großartig, bis auf eine Sache - die neueste Version 20.0 ist nur in einer DOS-Version verfügbar :(. Sie finden dieses Programm (neueste Version 20.0) unter http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html .

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Bemerkungen

Nun, für einen Snack ein interessantes Beispiel von Microsoft Excel: In den Zellen A2 und B2 liegen die gleichen Werte zwischen 0 und 1. Bei einem Wert von 0,5 gibt es keine Auswirkung.

Hallo an alle, die es geschafft haben, aus dem Bild der Frat ein Programm zu machen. Wer kann mir sagen, welche Zyklusmethode ich verwenden soll, um eine Wiese aus Farnfraktal mit einem 3D-Max-Hintergrund mit 100 000 Iterationen auf einem Stein mit 2800 mH zu bauen

Es gibt eine Quelle mit einem Programm zum Zeichnen der Drachenkurve, ebenfalls ein Fraktal.

Der Artikel ist toll. Und Excel ist wahrscheinlich ein Coprozessorfehler (auf den letzten niedrigen Bits)

Wie das Fraktal entdeckt wurde

Die als Fraktale bekannten mathematischen Formen gehören dem Genie des bedeutenden Wissenschaftlers Benoit Mandelbrot. Die meiste Zeit seines Lebens lehrte er Mathematik an der Yale University in den Vereinigten Staaten. In den Jahren 1977 - 1982 veröffentlichte Mandelbrot wissenschaftliche Arbeiten, die sich dem Studium der "fraktaler Geometrie" oder "Geometrie der Natur" widmeten, in denen er scheinbar zufällige mathematische Formen in konstituierende Elemente zerlegte, die sich bei näherer Betrachtung als wiederholt herausstellten, was bewiesen wurde die Existenz eines bestimmten Musters zum Kopieren. Mandelbrots Entdeckung hatte bedeutende Konsequenzen für die Entwicklung der Physik, Astronomie und Biologie.

Fraktale in der Natur

In der Natur haben viele Objekte fraktale Eigenschaften, zum Beispiel: Baumkronen, Blumenkohl, Wolken, die Kreislauf- und Alveolarsysteme von Menschen und Tieren, Kristalle, Schneeflocken, deren Elemente sich in einer komplexen Struktur aneinanderreihen, Küsten (das fraktale Konzept erlaubte Wissenschaftler, um die Küstenlinie der britischen Inseln und andere zuvor nicht messbare Objekte zu vermessen).

Betrachten Sie die Struktur von Blumenkohl. Wenn Sie eine der Blumen schneiden, ist es offensichtlich, dass der gleiche Blumenkohl in den Händen bleibt, nur kleiner. Wir können immer wieder schneiden, sogar unter dem Mikroskop – aber alles, was wir bekommen, sind winzige Kopien des Blumenkohls. In diesem einfachsten Fall enthält sogar ein kleiner Teil des Fraktals Informationen über die gesamte endgültige Struktur.

Fraktale in der Digitaltechnik

Die fraktale Geometrie hat einen unschätzbaren Beitrag zur Entwicklung neuer Technologien im Bereich der digitalen Musik geleistet und auch die Komprimierung digitaler Bilder ermöglicht. Existierende Fraktalbild-Komprimierungsalgorithmen basieren auf dem Prinzip des Speicherns eines komprimierenden Bildes anstelle des digitalen Bildes selbst. Bei einem Kompressionsbild bleibt das Hauptbild ein Fixpunkt. Microsoft verwendete eine der Varianten dieses Algorithmus bei der Veröffentlichung seiner Enzyklopädie, aber aus dem einen oder anderen Grund wurde diese Idee nicht weit verbreitet.

Die mathematische Grundlage fraktaler Grafiken ist die fraktale Geometrie, bei der die Methoden zum Konstruieren von "Bild-Nachfolgern" auf dem Prinzip der Vererbung von den ursprünglichen "Objekt-Eltern" basieren. Die Konzepte fraktaler Geometrie und fraktaler Grafik selbst sind erst vor etwa 30 Jahren aufgetaucht, haben sich aber bereits fest im Alltag von Computerdesignern und Mathematikern etabliert.

Die grundlegenden Konzepte der fraktalen Computergrafik sind:

• Fraktales Dreieck - Fraktale Figur - Fraktales Objekt (Hierarchie in absteigender Reihenfolge)
• fraktale Linie
• fraktale Zusammensetzung
• "Elternobjekt" und "Nachfolgerobjekt"

Genau wie bei Vektor- und 3D-Grafiken ist die Erstellung fraktaler Bilder mathematisch berechenbar. Der Hauptunterschied zu den ersten beiden Arten von Grafiken besteht darin, dass ein Fraktalbild gemäß einer Gleichung oder einem Gleichungssystem aufgebaut ist – nichts weiter als eine Formel muss im Computerspeicher gespeichert werden, um alle Berechnungen durchzuführen – und eine so kompakte Mathematik Apparat ermöglichte die Verwendung dieser Idee in der Computergrafik. Durch einfaches Ändern der Koeffizienten der Gleichung erhalten Sie leicht ein völlig anderes Fraktalbild - mit Hilfe mehrerer mathematischer Koeffizienten werden Oberflächen und Linien mit sehr komplexer Form angegeben, mit denen Sie Kompositionstechniken wie Horizontale und Vertikale implementieren können , Symmetrie und Asymmetrie, diagonale Richtungen und vieles mehr.

Wie baut man ein Fraktal?

Der Schöpfer von Fraktalen spielt gleichzeitig die Rolle eines Künstlers, Fotografen, Bildhauers und Wissenschaftler-Erfinders. In welchen Phasen wird eine Zeichnung von Grund auf neu erstellt?

• Legen Sie die Form des Bildes mit einer mathematischen Formel fest
• Untersuchen Sie die Konvergenz des Prozesses und variieren Sie seine Parameter
• Bildtyp wählen
• Wählen Sie eine Farbpalette

Zu den fraktalen Grafikeditoren und anderen Grafikprogrammen gehören:

• „Kunstfreak“
• "Maler" (ohne Computer wird kein Künstler jemals die Möglichkeiten erreichen, die Programmierer nur mit Hilfe von Bleistift und Pinselstift vorgeben)
• "Adobe Photoshop" (aber hier wird das Bild nicht von Grund auf neu erstellt, sondern in der Regel nur bearbeitet)

Betrachten Sie die Anordnung einer beliebigen fraktalen geometrischen Figur. In seiner Mitte befindet sich das einfachste Element - ein gleichseitiges Dreieck, das den gleichen Namen erhielt: "Fraktal". Auf dem mittleren Segment der Seiten konstruieren wir gleichseitige Dreiecke mit einer Seite, die einem Drittel der Seite des ursprünglichen fraktalen Dreiecks entspricht. Nach dem gleichen Prinzip werden noch kleinere Dreiecke gebaut - Erben der zweiten Generation - und so weiter bis ins Unendliche. Das resultierende Objekt wird als "fraktale Figur" bezeichnet, aus deren Sequenzen wir eine "fraktale Komposition" erhalten.

Quelle: http://www.iknowit.ru/

Fraktale und alte Mandalas

Dies ist ein Mandala, um Geld anzuziehen. Rot soll wie ein Geldmagnet wirken. Erinnern dich die kunstvollen Muster an irgendetwas? Sie kamen mir sehr bekannt vor und ich begann Mandalas als Fraktale zu studieren.

Ein Mandala ist im Prinzip ein geometrisches Symbol einer komplexen Struktur, die als Modell des Universums, als „Landkarte des Kosmos“ interpretiert wird. Hier ist das erste Anzeichen von Fraktalität!

Sie werden auf Stoff gestickt, auf Sand gemalt, mit farbigen Pulvern hergestellt und aus Metall, Stein und Holz hergestellt. Sein helles und faszinierendes Aussehen macht es zu einer wunderschönen Dekoration für Böden, Wände und Decken von Tempeln in Indien. In der altindischen Sprache bedeutet "Mandala" den mystischen Kreis der Beziehung zwischen den spirituellen und materiellen Energien des Universums oder auf andere Weise die Blume des Lebens.

Ich wollte einen sehr kurzen Überblick über fraktale Mandalas schreiben, mit einem Minimum an Absätzen, der zeigt, dass die Beziehung eindeutig besteht. Als ich jedoch versuchte, Informationen über Fraktale und Mandalas zu finden und zu einem Ganzen zu verbinden, hatte ich das Gefühl eines Quantensprungs in einen unbekannten Raum.

Ich demonstriere die Unermesslichkeit dieses Themas mit einem Zitat: „Solche fraktalen Kompositionen oder Mandalas können sowohl in Form von Gemälden, Gestaltungselementen von Wohn- und Arbeitsräumen, tragbaren Amuletten, in Form von Videokassetten, Computerprogrammen … „Im Allgemeinen ist das Thema für das Studium von Fraktalen einfach riesig.

Eines kann ich mit Sicherheit sagen, die Welt ist viel vielfältiger und reicher als die jämmerlichen Vorstellungen unseres Verstandes darüber.

Fraktale Meerestiere

Meine Vermutungen über fraktale Meerestiere waren nicht unbegründet. Hier sind die ersten Vertreter. Der Tintenfisch ist ein Meeresbodentier aus der Ordnung der Kopffüßer.

Beim Betrachten dieses Fotos wurde mir die fraktale Struktur seines Körpers und die Saugnäpfe an allen acht Tentakeln dieses Tieres deutlich. Die Saugnäpfe an den Tentakeln eines erwachsenen Oktopus erreichen bis zu 2000.

Eine interessante Tatsache ist, dass der Tintenfisch drei Herzen hat: Eines (Haupt-) treibt blaues Blut durch den Körper, und die anderen beiden - Kiemen - drücken Blut durch die Kiemen. Einige Arten dieser Tiefseefraktale sind giftig.

Indem er sich an seine Umgebung anpasst und verkleidet, hat der Oktopus eine sehr nützliche Fähigkeit, die Farbe zu ändern.

Oktopusse gelten als die "intelligentsten" aller Wirbellosen. Sie erkennen Menschen, gewöhnen sich an diejenigen, die sie füttern. Es wäre interessant, sich Kraken anzusehen, die leicht zu trainieren sind, ein gutes Gedächtnis haben und sogar zwischen geometrischen Formen unterscheiden können. Aber das Alter dieser fraktalen Tiere ist nicht lang - maximal 4 Jahre.

Der Mensch verwendet die Tinte dieses lebenden Fraktals und anderer Kopffüßer. Sie werden von Künstlern wegen ihrer Haltbarkeit und ihres schönen Brauntons gesucht. In der mediterranen Küche ist Tintenfisch eine Quelle der Vitamine B3, B12, Kalium, Phosphor und Selen. Aber ich denke, dass diese Meeresfraktale kochen können müssen, um ihre Verwendung als Nahrung genießen zu können.

Übrigens ist zu beachten, dass Tintenfische Raubtiere sind. Mit ihren fraktalen Tentakeln halten sie Beute in Form von Mollusken, Krebstieren und Fischen. Schade, wenn ein so schönes Weichtier die Nahrung dieser Meeresfraktale wird. Meiner Meinung nach ist es auch ein typischer Vertreter der Fraktale des Meeresreichs.

Dies ist ein Verwandter der Schnecken, die Schnecken-Nacktschnecke Glaucus, alias Glaucus, alias Glaucus atlanticus, alias Glaucilla marginata. Dieses Fraktal ist auch insofern ungewöhnlich, als es unter der Wasseroberfläche lebt und sich bewegt und von der Oberflächenspannung gehalten wird. weil die Molluske ist ein Hermaphrodit, dann legen beide "Partner" nach der Paarung Eier. Dieses Fraktal findet sich in allen Ozeanen der tropischen Zone.

Meeresreich-Fraktale

Jeder von uns hat mindestens einmal in seinem Leben eine Muschel in den Händen gehalten und mit echtem kindlichem Interesse untersucht.

Normalerweise sind Muscheln ein schönes Souvenir, das an einen Ausflug ans Meer erinnert. Wenn Sie sich diese spiralförmige Formation wirbelloser Weichtiere ansehen, gibt es keinen Zweifel an ihrer fraktalen Natur.

Wir Menschen sind so etwas wie diese Weichtiere, die in bequemen fraktalen Betonhäusern leben und unseren Körper in schnellen Autos platzieren und bewegen.

Ein weiterer typischer Vertreter der fraktalen Unterwasserwelt ist die Koralle.
In der Natur sind mehr als 3.500 Korallenarten bekannt, in deren Palette bis zu 350 Farbnuancen unterschieden werden.

Koralle ist das Material des Skeletts einer Kolonie von Korallenpolypen, ebenfalls aus der Familie der Wirbellosen. Ihre riesigen Ansammlungen bilden ganze Korallenriffe, deren fraktale Entstehungsweise offensichtlich ist.

Koralle mit vollem Vertrauen kann als Fraktal aus dem Meeresreich bezeichnet werden.

Es wird auch vom Menschen als Souvenir oder Rohstoff für Schmuck und Ornamente verwendet. Aber es ist sehr schwierig, die Schönheit und Perfektion der fraktalen Natur zu wiederholen.

Aus irgendeinem Grund habe ich keinen Zweifel, dass viele fraktale Tiere auch in der Unterwasserwelt zu finden sein werden.

Wieder einmal ein Ritual in der Küche mit einem Messer und einem Schneidebrett durchführen und dann das Messer in kaltes Wasser tauchen, war ich wieder einmal in Tränen aufgelöst, um herauszufinden, wie ich mit dem Tränenfraktal umgehen soll, das fast täglich vor meinen Augen erscheint.

Das Prinzip der Fraktalität ist das gleiche wie das der berühmten Nistpuppe - Nesting. Deshalb fällt Fraktalität nicht sofort auf. Darüber hinaus tragen eine gleichmäßige Lichtfarbe und ihre natürliche Fähigkeit, unangenehme Empfindungen hervorzurufen, nicht zur genauen Beobachtung des Universums und zur Identifizierung fraktaler mathematischer Muster bei.

Aber die lilafarbene Salatzwiebel erinnerte aufgrund ihrer Farbe und des Fehlens von Tränenphytonziden an die natürliche Fraktalität dieses Gemüses. Natürlich ist es ein einfaches Fraktal, gewöhnliche Kreise mit unterschiedlichen Durchmessern, man könnte sogar sagen, das primitivste Fraktal. Aber es würde nicht schaden, sich daran zu erinnern, dass der Ball als ideale geometrische Figur in unserem Universum gilt.

Im Internet wurden viele Artikel über die wohltuenden Eigenschaften von Zwiebeln veröffentlicht, aber irgendwie hat niemand versucht, dieses natürliche Exemplar unter dem Gesichtspunkt der Fraktalität zu untersuchen. Ich kann nur sagen, wie nützlich es ist, ein Fraktal in Form einer Zwiebel in meiner Küche zu verwenden.

P.S. Und ich habe bereits einen Gemüseschneider zum Zerkleinern eines Fraktals gekauft. Jetzt muss man sich überlegen, wie fraktal ein so gesundes Gemüse wie gewöhnlicher Weißkohl ist. Das gleiche Prinzip der Verschachtelung.

Fraktale in der Volkskunst

Meine Aufmerksamkeit wurde auf die Geschichte des weltberühmten Spielzeugs „Matroschka“ gelenkt. Bei genauerem Hinsehen können wir getrost sagen, dass es sich bei diesem Souvenir-Spielzeug um ein typisches Fraktal handelt.

Das Prinzip der Fraktalität wird offensichtlich, wenn alle Figuren eines Holzspielzeugs aneinandergereiht und nicht ineinander verschachtelt sind.

Meine kleine Recherche zur Geschichte des Erscheinens dieses Spielzeugfraktals auf dem Weltmarkt ergab, dass diese Schönheit japanische Wurzeln hat. Matroschka galt schon immer als originelles russisches Souvenir. Aber es stellte sich heraus, dass sie der Prototyp der japanischen Figur des alten Weisen Fukurum war, der einst aus Japan nach Moskau gebracht wurde.

Aber es war das russische Spielzeughandwerk, das dieser japanischen Figur Weltruhm einbrachte. Woher die Idee einer fraktalen Verschachtelung eines Spielzeugs kam, ist mir persönlich ein Rätsel geblieben. Höchstwahrscheinlich verwendete der Autor dieses Spielzeugs das Prinzip, Figuren ineinander zu verschachteln. Und der einfachste Weg, um zu investieren, sind ähnliche Figuren unterschiedlicher Größe, und dies ist bereits ein Fraktal.

Ein ebenso interessantes Studienobjekt ist die Bemalung eines fraktalen Spielzeugs. Dies ist ein dekoratives Gemälde - Chochloma. Die traditionellen Elemente von Khokhloma sind Kräutermuster aus Blumen, Beeren und Zweigen.

Wieder alles Anzeichen von Fraktalität. Schließlich kann das gleiche Element mehrmals in verschiedenen Versionen und Proportionen wiederholt werden. Das Ergebnis ist eine fraktale Volksmalerei.

Und wenn Sie niemanden mit der neumodischen Lackierung von Computermäusen, Laptophüllen und Telefonen überraschen werden, dann ist das fraktale Tuning eines Autos im Folk-Stil etwas Neues im Autodesign. Es bleibt nur zu überraschen, wie sich die Welt der Fraktale in unserem Leben auf so ungewöhnliche Weise in so gewöhnlichen Dingen für uns manifestiert.

Fraktale in der Küche

Jedes Mal, wenn ich einen Blumenkohl in kleine Röschen schneide, um ihn in kochendem Wasser zu blanchieren, habe ich nie auf die offensichtlichen Anzeichen von Fraktalität geachtet, bis ich dieses Exemplar in meinen Händen hatte.

Auf meinem Küchentisch prangte ein typischer Vertreter eines Fraktals aus der Pflanzenwelt.

Bei aller Liebe zum Blumenkohl bin ich immer wieder auf Exemplare mit einer einheitlichen Oberfläche ohne sichtbare Anzeichen von Fraktalität gestoßen, und selbst viele ineinander verschachtelte Blütenstände gaben mir keinen Anlass, in diesem nützlichen Gemüse ein Fraktal zu sehen.

Doch die Oberfläche dieses besonderen Exemplars mit ausgeprägter fraktaler Geometrie ließ keinen Zweifel an der fraktalen Herkunft dieser Kohlsorte.

Ein weiterer Besuch im Supermarkt bestätigte nur den fraktalen Status des Kohls. Unter der riesigen Menge an exotischem Gemüse gab es eine ganze Kiste mit Fraktalen. Es war Romanescu oder romanischer Brokkoli, ein Korallenblumenkohl.

Es stellt sich heraus, dass Designer und 3D-Künstler seine exotischen fraktalartigen Formen bewundern.

Kohlknospen wachsen in einer logarithmischen Spirale. Die erste Erwähnung des Romanescu-Kohls stammt aus Italien im 16. Jahrhundert.

Und Brokkoli ist überhaupt kein häufiger Gast auf meinem Speiseplan, obwohl er dem Blumenkohl in Bezug auf den Gehalt an Nährstoffen und Spurenelementen um ein Vielfaches überlegen ist. Aber seine Oberfläche und Form sind so einheitlich, dass ich nie auf die Idee gekommen wäre, darin ein pflanzliches Fraktal zu sehen.

Fraktale in Quilling

Als ich durchbrochenes Kunsthandwerk mit der Quilling-Technik sah, verließ ich nie das Gefühl, dass sie mich an etwas erinnern. Die Wiederholung gleicher Elemente in unterschiedlichen Größen – das ist natürlich das Prinzip der Fraktalität.

Nachdem ich die nächste Quilling-Meisterklasse gesehen hatte, gab es nicht einmal einen Zweifel an der Fraktalität des Quillings. In der Tat wird für die Herstellung verschiedener Elemente für das Quilling-Handwerk ein spezielles Lineal mit Kreisen unterschiedlicher Durchmesser verwendet. Bei aller Schönheit und Originalität der Produkte ist dies eine unglaublich einfache Technik.

Fast alle Grundelemente für das Quilling-Handwerk bestehen aus Papier. Um sich mit kostenlosem Quilling-Papier einzudecken, sehen Sie sich Ihre Bücherregale zu Hause an. Sicherlich finden Sie dort ein paar helle Hochglanzmagazine.

Quilling-Werkzeuge sind einfach und kostengünstig. Alles, was Sie für Hobby-Quilling-Arbeiten benötigen, finden Sie in Ihrem Briefpapier.

Und die Geschichte des Quillings beginnt im 18. Jahrhundert in Europa. In der Renaissance verwendeten Mönche aus französischen und italienischen Klöstern Quilling zur Verzierung von Buchumschlägen und waren sich der Fraktalität der von ihnen erfundenen Papierrolltechnik nicht einmal bewusst. Mädchen aus der High Society nahmen sogar an einem Quilling-Kurs an Sonderschulen teil. So begann sich diese Technik über Länder und Kontinente zu verbreiten.

Diese Video-Quilling-Meisterklasse zur Herstellung luxuriöser Gefieder kann sogar als „Do-it-yourself-Fraktale“ bezeichnet werden. Mit Hilfe von Papierfraktalen entstehen wunderschöne exklusive Valentinskarten und viele andere interessante Dinge. Schließlich ist die Fantasie wie die Natur unerschöpflich.

Es ist kein Geheimnis, dass die Japaner im Leben räumlich sehr begrenzt sind und sich daher in jeder möglichen Weise in ihrer effektiven Nutzung auszeichnen müssen. Takeshi Miyakawa zeigt, wie dies effektiv und ästhetisch zugleich gelingen kann. Sein fraktaler Kleiderschrank bestätigt, dass die Verwendung von Fraktalen im Design nicht nur eine Hommage an die Mode ist, sondern auch eine harmonische Designlösung auf begrenztem Raum.

Dieses Beispiel für die Verwendung von Fraktalen im wirklichen Leben in Bezug auf Möbeldesign hat mir gezeigt, dass Fraktale nicht nur auf dem Papier in mathematischen Formeln und Computerprogrammen real sind.

Und es scheint, dass die Natur das Prinzip der Fraktalität überall anwendet. Sie müssen es nur genauer betrachten, und es wird sich in seiner ganzen großartigen Fülle und Unendlichkeit des Seins manifestieren.