Dieser Artikel ist über gemeinsame Brüche. Hier machen wir uns mit dem Konzept eines Bruchteils eines Ganzen vertraut, was uns zur Definition eines gewöhnlichen Bruchs führt. Als nächstes werden wir uns mit der akzeptierten Notation für gewöhnliche Brüche befassen und Beispiele für Brüche geben, beispielsweise über den Zähler und den Nenner eines Bruchs. Danach geben wir Definitionen von richtigen und falschen, positiven und negativen Brüchen und betrachten auch die Position von Bruchzahlen auf dem Koordinatenstrahl. Abschließend listen wir die Hauptaktionen mit Brüchen auf.

Seitennavigation.

Anteile am Ganzen

Zuerst stellen wir vor Share-Konzept.

Nehmen wir an, wir haben ein Objekt, das aus mehreren absolut identischen (d. h. gleichen) Teilen besteht. Zur Verdeutlichung können Sie sich zum Beispiel einen Apfel vorstellen, der in mehrere gleiche Teile geschnitten ist, oder eine Orange, die aus mehreren gleichen Scheiben besteht. Jeder dieser gleichen Teile, die das gesamte Objekt ausmachen, wird aufgerufen Anteil am Ganzen oder einfach Anteile.

Beachten Sie, dass die Anteile unterschiedlich sind. Lassen Sie uns das erklären. Nehmen wir an, wir haben zwei Äpfel. Schneiden wir den ersten Apfel in zwei gleiche Teile und den zweiten in 6 gleiche Teile. Es ist klar, dass der Anteil des ersten Apfels anders sein wird als der Anteil des zweiten Apfels.

Abhängig von der Anzahl der Anteile, aus denen das gesamte Objekt besteht, haben diese Anteile eigene Namen. Lassen Sie uns analysieren Namen teilen. Wenn das Objekt aus zwei Teilen besteht, wird jeder von ihnen ein zweiter Teil des ganzen Objekts genannt; wenn das Objekt aus drei Teilen besteht, dann wird jeder von ihnen ein dritter Teil genannt und so weiter.

Ein Sekundenschlag hat einen besonderen Namen - halb. Ein Drittel wird aufgerufen Dritter, und ein Vierfach - Quartal.

Der Kürze halber folgendes Bezeichnungen teilen. Ein zweiter Anteil wird als oder 1/2 bezeichnet, ein dritter Anteil - als oder 1/3; ein Viertel Anteil - wie oder 1/4, und so weiter. Beachten Sie, dass die Notation mit einem horizontalen Balken häufiger verwendet wird. Um das Material zu konsolidieren, geben wir noch ein Beispiel: Der Eintrag bezeichnet einhundertsiebenundsechzigstel des Ganzen.

Der Begriff des Anteils erstreckt sich natürlich von Objekten auf Größen. Eines der Längenmaße ist zum Beispiel der Meter. Um Längen unter einem Meter zu messen, können Bruchteile eines Meters verwendet werden. So können Sie zum Beispiel einen halben Meter oder ein Zehntel oder Tausendstel eines Meters verwenden. Anteile anderer Mengen werden analog aufgebracht.

Gemeinsame Brüche, Definition und Beispiele für Brüche

Zur Beschreibung werden die Anzahl der Aktien verwendet gemeinsame Brüche. Lassen Sie uns ein Beispiel geben, das es uns ermöglicht, uns der Definition gewöhnlicher Brüche zu nähern.

Lass eine Orange aus 12 Teilen bestehen. Jede Aktie entspricht in diesem Fall einem Zwölftel einer ganzen Orange, also . Lassen Sie uns zwei Schläge als bezeichnen, drei Schläge als und so weiter, 12 Schläge als . Jeder dieser Einträge wird als gewöhnlicher Bruch bezeichnet.

Jetzt geben wir einen General Definition gemeinsamer Brüche.

Die stimmhafte Definition gewöhnlicher Brüche ermöglicht es uns, zu bringen Beispiele für gemeinsame Brüche: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . Und hier sind die Aufzeichnungen passen nicht zur stimmhaften Definition gewöhnlicher Brüche, das heißt, sie sind keine gewöhnlichen Brüche.

Zähler und Nenner

Der Einfachheit halber unterscheiden wir in gewöhnlichen Brüchen Zähler und Nenner.

Definition.

Zähler gewöhnlicher Bruch (m / n) ist eine natürliche Zahl m.

Definition.

Nenner gewöhnlicher Bruch (m / n) ist eine natürliche Zahl n.

Der Zähler befindet sich also über dem Bruchstrich (links vom Schrägstrich) und der Nenner unter dem Bruchstrich (rechts vom Schrägstrich). Nehmen wir zum Beispiel einen gewöhnlichen Bruch 17/29, der Zähler dieses Bruchs ist die Zahl 17 und der Nenner ist die Zahl 29.

Es bleibt zu diskutieren, welche Bedeutung Zähler und Nenner eines gewöhnlichen Bruchs haben. Der Nenner des Bruchs gibt an, aus wie vielen Anteilen ein Posten besteht, der Zähler wiederum gibt die Anzahl solcher Anteile an. Zum Beispiel bedeutet der Nenner 5 des Bruchs 12/5, dass ein Element aus fünf Teilen besteht, und der Zähler 12 bedeutet, dass 12 solcher Teile genommen werden.

Natürliche Zahl als Bruch mit Nenner 1

Der Nenner eines gewöhnlichen Bruchs kann gleich eins sein. In diesem Fall können wir davon ausgehen, dass das Objekt unteilbar ist, also etwas Ganzes. Der Zähler eines solchen Bruchs gibt an, wie viele ganze Elemente genommen werden. Ein gewöhnlicher Bruch der Form m/1 hat also die Bedeutung einer natürlichen Zahl m. So haben wir die Gleichheit m/1=m begründet.

Schreiben wir die letzte Gleichheit wie folgt um: m=m/1 . Diese Gleichheit erlaubt es uns, jede natürliche Zahl m als gewöhnlichen Bruch darzustellen. Beispielsweise ist die Zahl 4 der Bruch 4/1 und die Zahl 103498 der Bruch 103498/1.

So, jede natürliche Zahl m kann als gewöhnlicher Bruch mit dem Nenner 1 als m/1 dargestellt werden, und jeder gewöhnliche Bruch der Form m/1 kann durch eine natürliche Zahl m ersetzt werden.

Bruchstrich als Divisionszeichen

Die Darstellung des ursprünglichen Objekts in Form von n Anteilen ist nichts anderes als eine Teilung in n gleiche Teile. Nachdem der Gegenstand in n Anteile aufgeteilt wurde, können wir ihn gleichmäßig auf n Personen aufteilen – jeder erhält einen Anteil.

Wenn wir zunächst m identische Objekte haben, die jeweils in n Anteile aufgeteilt sind, dann können wir diese m Objekte gleichmäßig auf n Personen aufteilen, wobei jeder Person ein Anteil von jedem der m Objekte gegeben wird. In diesem Fall hat jede Person m Anteile 1/n, und m Anteile 1/n ergeben einen gewöhnlichen Bruch m/n. Somit kann der gemeinsame Bruch m/n verwendet werden, um die Aufteilung von m Gegenständen auf n Personen darzustellen.

Wir haben also einen expliziten Zusammenhang zwischen gewöhnlichen Brüchen und Division (siehe die allgemeine Idee der Division natürlicher Zahlen). Diese Beziehung wird wie folgt ausgedrückt: Der Balken eines Bruches kann als Teilungszeichen verstanden werden, also m/n=m:n.

Mit Hilfe eines gewöhnlichen Bruchs können Sie das Ergebnis der Division zweier natürlicher Zahlen schreiben, für die keine Division durch eine ganze Zahl durchgeführt wird. Zum Beispiel kann das Ergebnis der Teilung von 5 Äpfeln durch 8 Personen als 5/8 geschrieben werden, das heißt, jeder erhält fünf Achtel eines Apfels: 5:8=5/8.

Gleiche und ungleiche gewöhnliche Brüche, Vergleich von Brüchen

Eine ziemlich natürliche Aktion ist Vergleich gemeinsamer Brüche, denn es ist klar, dass 1/12 einer Orange anders ist als 5/12 und 1/6 eines Apfels dasselbe ist wie das andere 1/6 dieses Apfels.

Als Ergebnis des Vergleichs zweier gewöhnlicher Brüche erhält man eines der Ergebnisse: Die Brüche sind entweder gleich oder ungleich. Im ersten Fall haben wir gleiche gemeinsame Brüche, und im zweiten ungleiche gemeinsame Brüche. Lassen Sie uns eine Definition von gleichen und ungleichen gewöhnlichen Brüchen geben.

Definition.

gleich, wenn die Gleichheit a d=b c wahr ist.

Definition.

Zwei gemeinsame Brüche a/b und c/d nicht gleich, falls die Gleichheit a d=b c nicht erfüllt ist.

Hier sind einige Beispiele für gleiche Brüche. Beispielsweise ist der gewöhnliche Bruch 1/2 gleich dem Bruch 2/4, da 1 4=2 2 (siehe ggf. Regeln und Beispiele zur Multiplikation natürlicher Zahlen). Zur Verdeutlichung können Sie sich zwei identische Äpfel vorstellen, der erste ist in zwei Hälften geschnitten und der zweite in 4 Anteile. Es ist offensichtlich, dass zwei Viertel eines Apfels 1/2 einer Aktie sind. Andere Beispiele für gleiche gemeinsame Brüche sind die Brüche 4/7 und 36/63 sowie das Bruchpaar 81/50 und 1620/1000.

Und die gewöhnlichen Brüche 4/13 und 5/14 sind nicht gleich, da 4 14=56 und 13 5=65, also 4 14≠13 5. Ein weiteres Beispiel für ungleiche gemeinsame Brüche sind die Brüche 17/7 und 6/4.

Wenn sich beim Vergleich zweier gewöhnlicher Brüche herausstellt, dass sie nicht gleich sind, müssen Sie möglicherweise herausfinden, welcher dieser gewöhnlichen Brüche kleiner eine andere, und welche mehr. Um dies herauszufinden, wird die Regel zum Vergleichen gewöhnlicher Brüche verwendet, deren Kern darin besteht, die verglichenen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen und dann die Zähler zu vergleichen. Ausführliche Informationen zu diesem Thema finden Sie im Artikel Vergleich von Brüchen: Regeln, Beispiele, Lösungen.

Bruchzahlen

Jeder Bruchteil ist ein Rekord Bruchzahl. Das heißt, ein Bruch ist nur eine „Hülle“ einer Bruchzahl, ihr Aussehen und die gesamte semantische Last ist genau in einer Bruchzahl enthalten. Der Kürze und Einfachheit halber werden jedoch das Konzept eines Bruchs und einer Bruchzahl kombiniert und einfach als Bruch bezeichnet. Hier ist es angebracht, ein bekanntes Sprichwort zu paraphrasieren: wir sagen einen Bruch – wir meinen eine Bruchzahl, wir sagen eine Bruchzahl – wir meinen einen Bruch.

Brüche auf dem Koordinatenstrahl

Alle Bruchzahlen, die gewöhnlichen Brüchen entsprechen, haben ihren eigenen eindeutigen Platz auf , das heißt, es gibt eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen Brüchen und Punkten des Koordinatenstrahls.

Um zu dem Punkt zu gelangen, der dem Bruchteil m / n auf dem Koordinatenstrahl entspricht, müssen m Segmente vom Ursprung in positiver Richtung verschoben werden, deren Länge 1 / n des Einheitssegments beträgt. Solche Segmente erhält man, indem man ein einzelnes Segment in n gleiche Teile teilt, was immer mit Zirkel und Lineal möglich ist.

Lassen Sie uns zum Beispiel den Punkt M auf dem Koordinatenstrahl zeigen, der dem Bruch 14/10 entspricht. Die Länge des Segments mit Enden am Punkt O und dem nächstgelegenen Punkt, der mit einem kleinen Strich gekennzeichnet ist, beträgt 1/10 des Einheitssegments. Der Punkt mit der Koordinate 14/10 wird um 14 solcher Segmente vom Ursprung entfernt.

Gleiche Brüche entsprechen der gleichen Bruchzahl, dh gleiche Brüche sind die Koordinaten desselben Punktes auf dem Koordinatenstrahl. Beispielsweise entspricht ein Punkt den Koordinaten 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 auf dem Koordinatenstrahl, da alle geschriebenen Brüche gleich sind (er befindet sich im Abstand von der Hälfte des Einheitssegments, verschoben von der Ursprung in positiver Richtung).

Auf einem horizontalen und nach rechts gerichteten Koordinatenstrahl befindet sich der Punkt, dessen Koordinate ein großer Bruch ist, rechts von dem Punkt, dessen Koordinate ein kleinerer Bruch ist. Ebenso liegt der Punkt mit der kleineren Koordinate links vom Punkt mit der größeren Koordinate.

Echte und unechte Brüche, Definitionen, Beispiele

Unter gewöhnlichen Brüchen gibt es echte und unechte Brüche. Diese Division hat im Grunde einen Vergleich von Zähler und Nenner.

Lassen Sie uns eine Definition von echten und unechten gewöhnlichen Brüchen geben.

Definition.

Richtiger Bruchteil ist ein gewöhnlicher Bruch, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist, das heißt, wenn m

Definition.

Unechter Bruch ist ein gewöhnlicher Bruch, bei dem der Zähler größer oder gleich dem Nenner ist, das heißt, wenn m≥n, dann ist der gewöhnliche Bruch unecht.

Hier sind einige Beispiele für echte Brüche: 1/4 , , 32 765/909 003 . Tatsächlich ist in jedem der geschriebenen gewöhnlichen Brüche der Zähler kleiner als der Nenner (siehe ggf. den Artikelvergleich der natürlichen Zahlen), sie sind also per Definition korrekt.

Und hier sind Beispiele für unechte Brüche: 9/9, 23/4,. Tatsächlich ist der Zähler des ersten der geschriebenen gewöhnlichen Brüche gleich dem Nenner, und bei den verbleibenden Brüchen ist der Zähler größer als der Nenner.

Es gibt auch Definitionen von echten und unechten Brüchen, die auf dem Vergleich von Brüchen mit Eins basieren.

Definition.

Korrekt wenn es weniger als eins ist.

Definition.

Der gemeinsame Bruch heißt falsch, wenn es entweder gleich eins oder größer als 1 ist.

Der gewöhnliche Bruch 7/11 ist also seit 7/11 korrekt<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 und 27/27=1 .

Denken wir darüber nach, wie gewöhnliche Brüche mit einem Zähler größer oder gleich dem Nenner einen solchen Namen verdienen - "falsch".

Nehmen wir als Beispiel den unechten Bruch 9/9. Dieser Bruch bedeutet, dass neun Teile eines Objekts genommen werden, das aus neun Teilen besteht. Das heißt, aus den verfügbaren neun Anteilen können wir ein ganzes Fach bilden. Das heißt, der unechte Bruch 9/9 ergibt im Wesentlichen ein ganzes Objekt, also 9/9=1. Im Allgemeinen bezeichnen unechte Brüche mit einem Zähler gleich dem Nenner ein ganzes Objekt, und ein solcher Bruch kann durch eine natürliche Zahl 1 ersetzt werden.

Betrachten Sie nun die unechten Brüche 7/3 und 12/4. Es ist ziemlich offensichtlich, dass wir aus diesen sieben Dritteln zwei ganze Objekte machen können (ein ganzes Objekt sind 3 Anteile, dann brauchen wir zum Zusammensetzen von zwei ganzen Objekten 3 + 3 = 6 Anteile) und es wird immer noch einen Drittelanteil geben. Das heißt, der unechte Bruch 7/3 bedeutet im Wesentlichen 2 Artikel und sogar 1/3 des Anteils eines solchen Artikels. Und aus zwölf Vierteln können wir drei ganze Objekte machen (drei Objekte mit je vier Teilen). Das heißt, der Bruch 12/4 bedeutet im Wesentlichen 3 ganze Objekte.

Die betrachteten Beispiele führen uns zu folgendem Schluss: Unechte Brüche können entweder durch natürliche Zahlen ersetzt werden, wenn der Zähler ganz durch den Nenner dividiert wird (zB 9/9=1 und 12/4=3), oder durch die Summe von eine natürliche Zahl und ein echter Bruch, wenn der Zähler nicht ohne Rest durch den Nenner teilbar ist (z. B. 7/3=2+1/3 ). Vielleicht verdienen unechte Brüche genau deshalb einen solchen Namen – „falsch“.

Von besonderem Interesse ist die Darstellung eines unechten Bruchs als Summe einer natürlichen Zahl und eines echten Bruchs (7/3=2+1/3). Dieser Vorgang wird als Extraktion eines ganzzahligen Teils aus einem unechten Bruch bezeichnet und verdient eine separate und sorgfältigere Betrachtung.

Es ist auch erwähnenswert, dass es eine sehr enge Beziehung zwischen unechten Brüchen und gemischten Zahlen gibt.

Positive und negative Brüche

Jeder gewöhnliche Bruch entspricht einer positiven Bruchzahl (siehe Artikel positive und negative Zahlen). Das heißt, gewöhnliche Brüche sind positive Brüche. Zum Beispiel sind gewöhnliche Brüche 1/5, 56/18, 35/144 positive Brüche. Wenn es notwendig ist, die Positivität eines Bruchs hervorzuheben, wird ihm ein Pluszeichen vorangestellt, z. B. +3/4, +72/34.

Wenn Sie einem gewöhnlichen Bruch ein Minuszeichen voranstellen, entspricht dieser Eintrag einer negativen Bruchzahl. In diesem Fall kann man von sprechen negative Brüche. Hier sind einige Beispiele für negative Brüche: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

Die positiven und negativen Brüche m/n und −m/n sind entgegengesetzte Zahlen. Beispielsweise sind die Brüche 5/7 und –5/7 entgegengesetzte Brüche.

Positive Brüche bezeichnen, wie positive Zahlen im Allgemeinen, eine Steigerung, ein Einkommen, eine Wertänderung nach oben usw. Negative Brüche entsprechen Kosten, Schulden, einer Wertänderung in Richtung Abnahme. Beispielsweise kann ein negativer Bruchteil -3/4 als Schuld interpretiert werden, deren Wert 3/4 beträgt.

Auf der Horizontalen und nach rechts gerichtete negative Brüche befinden sich links vom Bezugspunkt. Die Punkte der Koordinatenlinie, deren Koordinaten der positive Bruch m/n und der negative Bruch –m/n sind, befinden sich im gleichen Abstand vom Ursprung, aber auf gegenüberliegenden Seiten des Punktes O .

Erwähnenswert sind hier Brüche der Form 0/n. Diese Brüche sind gleich der Zahl Null, also 0/n=0 .

Positive Brüche, negative Brüche und 0/n-Brüche bilden zusammen rationale Zahlen.

Aktionen mit Brüchen

Eine Aktion mit gewöhnlichen Brüchen – das Vergleichen von Brüchen – haben wir bereits oben betrachtet. Vier weitere Arithmetik sind definiert Operationen mit Brüchen- Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen. Lassen Sie uns auf jeden von ihnen eingehen.

Das allgemeine Wesen von Aktionen mit Brüchen ähnelt dem Wesen der entsprechenden Aktionen mit natürlichen Zahlen. Lassen Sie uns eine Analogie ziehen.

Multiplikation von Brüchen kann als eine Aktion betrachtet werden, bei der ein Bruch aus einem Bruch gefunden wird. Nehmen wir zur Verdeutlichung ein Beispiel. Angenommen, wir haben 1/6 eines Apfels und wir müssen 2/3 davon nehmen. Der Teil, den wir brauchen, ist das Ergebnis der Multiplikation der Brüche 1/6 und 2/3. Das Ergebnis der Multiplikation zweier gewöhnlicher Brüche ist ein gewöhnlicher Bruch (der in einem bestimmten Fall einer natürlichen Zahl entspricht). Außerdem empfehlen wir, die Informationen des Artikels Multiplikation von Brüchen - Regeln, Beispiele und Lösungen zu studieren.

Referenzliste.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematik: Lehrbuch für 5 Zellen. Bildungsinstitutionen.
• Wilenkin N.Ja. usw. Mathematik. Klasse 6: Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen).

Ein Teil einer Einheit oder mehrere ihrer Teile wird einfacher oder gewöhnlicher Bruch genannt. Die Anzahl der gleichen Teile, in die die Einheit geteilt wird, wird Nenner genannt, und die Anzahl der genommenen Teile wird Zähler genannt. Der Bruch wird geschrieben als:

In diesem Fall ist a der Zähler, b der Nenner.

Wenn der Zähler kleiner als der Nenner ist, dann ist der Bruch kleiner als 1 und wird als echter Bruch bezeichnet. Wenn der Zähler größer als der Nenner ist, dann ist der Bruch größer als 1, dann wird der Bruch als unechter Bruch bezeichnet.

Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs gleich sind, dann ist der Bruch gleich.

1. Wenn der Zähler durch den Nenner geteilt werden kann, dann ist dieser Bruch gleich dem Quotienten der Division:

Wenn die Division mit Rest durchgeführt wird, kann dieser unechte Bruch durch eine gemischte Zahl dargestellt werden, zum Beispiel:

Dann ist 9 ein unvollständiger Quotient (der ganzzahlige Teil der gemischten Zahl),
1 - Rest (Zähler des Bruchteils),
5 ist der Nenner.

Um eine gemischte Zahl in einen Bruch umzuwandeln, multiplizieren Sie den ganzzahligen Teil der gemischten Zahl mit dem Nenner und addieren Sie den Zähler des Bruchteils.

Das erhaltene Ergebnis ist der Zähler eines gewöhnlichen Bruchs, und der Nenner bleibt gleich.

Aktionen mit Brüchen

Fraktionserweiterung. Der Wert eines Bruchs ändert sich nicht, wenn Zähler und Nenner mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert werden.
zum Beispiel:

Fraktionsreduktion. Der Wert eines Bruchs ändert sich nicht, wenn Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl ungleich Null dividiert werden.
zum Beispiel:

Bruchvergleich. Von zwei Brüchen mit gleichem Zähler ist der größere der mit dem kleineren Nenner:

Von zwei Brüchen mit gleichem Nenner ist der mit dem größeren Zähler größer:

Um Brüche mit unterschiedlichen Zählern und Nennern zu vergleichen, müssen sie erweitert, dh auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Betrachten Sie zum Beispiel die folgenden Brüche:

Addition und Subtraktion von Brüchen. Wenn die Nenner von Brüchen gleich sind, müssen zum Addieren der Brüche ihre Zähler addiert werden, und um die Brüche zu subtrahieren, müssen ihre Zähler subtrahiert werden. Die resultierende Summe oder Differenz ist der Zähler des Ergebnisses, während der Nenner gleich bleibt. Wenn die Nenner der Brüche unterschiedlich sind, müssen Sie die Brüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Beim Addieren gemischter Zahlen werden ihre ganzzahligen und gebrochenen Teile separat addiert. Beim Subtrahieren von gemischten Zahlen müssen Sie diese zunächst in unechte Brüche umwandeln, dann voneinander subtrahieren und das Ergebnis gegebenenfalls wieder in die Form einer gemischten Zahl bringen.

Multiplikation von Brüchen. Um Brüche zu multiplizieren, musst du ihre Zähler und Nenner separat multiplizieren und das erste Produkt durch das zweite dividieren.

Division von Brüchen. Um eine Zahl durch einen Bruch zu teilen, musst du diese Zahl mit ihrem Kehrwert multiplizieren.

Dezimal ist das Ergebnis der Division von Eins durch Zehn, Hundert, Tausend usw. Teile. Zuerst wird der ganzzahlige Teil der Zahl geschrieben, dann wird der Dezimalpunkt rechts gesetzt. Die erste Ziffer nach dem Komma bedeutet die Anzahl der Zehntel, die zweite - die Anzahl der Hundertstel, die dritte - die Anzahl der Tausendstel usw. Die Zahlen nach dem Komma werden als Dezimalstellen bezeichnet.

Zum Beispiel:

Dezimaleigenschaften

Eigenschaften:

• Der Dezimalbruch ändert sich nicht, wenn rechts Nullen hinzugefügt werden: 4,5 = 4,5000.
• Der Dezimalbruch ändert sich nicht, wenn die am Ende des Dezimalbruchs befindlichen Nullen entfernt werden: 0,0560000 = 0,056.
• Die Dezimalstelle erhöht sich bei 10, 100, 1000 und so weiter. Mal, wenn Sie den Dezimalpunkt auf eins, zwei, drei usw. verschieben. Positionen rechts: 4,5 45 (der Bruch hat sich um das 10-fache erhöht).
• Die Dezimalstelle wird um 10, 100, 1000 usw. reduziert. Mal, wenn Sie den Dezimalpunkt auf eins, zwei, drei usw. verschieben. Positionen nach links: 4,5 0,45 (der Bruch hat sich um das 10-fache verringert).

Eine periodische Dezimalzahl enthält eine sich unendlich wiederholende Gruppe von Ziffern, die Punkt genannt wird: 0,321321321321…=0,(321)

Operationen mit Dezimalstellen

Das Addieren und Subtrahieren von Dezimalstellen funktioniert genauso wie das Addieren und Subtrahieren von ganzen Zahlen, du musst nur die entsprechenden Dezimalstellen untereinander schreiben.
Zum Beispiel:

Die Multiplikation von Dezimalbrüchen erfolgt in mehreren Schritten:

• Wir multiplizieren Dezimalzahlen als ganze Zahlen, ohne den Dezimalpunkt zu berücksichtigen.
• Es gilt die Regel: Die Anzahl der Nachkommastellen im Produkt ist gleich der Summe der Nachkommastellen aller Faktoren.

zum Beispiel:

Die Summe der Nachkommastellen in den Faktoren ist: 2+1=3. Jetzt müssen Sie 3 Ziffern vom Ende der resultierenden Zahl zählen und einen Dezimalpunkt setzen: 0,675.

Division von Dezimalzahlen. Dividieren einer Dezimalzahl durch eine Ganzzahl: Wenn der Dividende kleiner als der Divisor ist, müssen Sie in den ganzzahligen Teil des Quotienten eine Null schreiben und einen Dezimalpunkt dahinter setzen. Addieren Sie dann, ohne den Dezimalpunkt des Dividenden zu berücksichtigen, die nächste Ziffer des Bruchteils zu seinem ganzzahligen Teil und vergleichen Sie den resultierenden ganzzahligen Teil des Dividenden erneut mit dem Divisor. Wenn die neue Zahl wieder kleiner als der Divisor ist, muss die Operation wiederholt werden. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis der resultierende Dividende größer als der Divisor ist. Danach erfolgt die Division wie bei ganzen Zahlen. Wenn der Dividende größer oder gleich dem Divisor ist, dividieren wir zuerst seinen ganzzahligen Teil, schreiben das Ergebnis der Division in den Quotienten und setzen einen Dezimalpunkt. Danach wird wie bei ganzen Zahlen weiter dividiert.

Dividieren eines Dezimalbruchs durch einen anderen: Zuerst werden die Dezimalstellen im Dividenden und Divisor durch die Anzahl der Dezimalstellen im Divisor übertragen, dh wir machen den Divisor zu einer ganzen Zahl, und die oben beschriebenen Aktionen werden ausgeführt.

Um einen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch umzuwandeln, ist es notwendig, die Zahl nach dem Dezimalkomma als Zähler und die k-te Zehnerpotenz als Nenner zu nehmen (k ist die Anzahl der Dezimalstellen). Der ganzzahlige Teil ungleich Null wird im gemeinsamen Bruch beibehalten; der ganzzahlige Teil mit Null wird weggelassen.
Zum Beispiel:

Um einen gewöhnlichen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln, muss der Zähler gemäß den Divisionsregeln durch den Nenner dividiert werden.

Ein Prozentsatz ist ein Hundertstel einer Einheit, zum Beispiel: 5 % bedeutet 0,05. Ein Verhältnis ist der Quotient aus der Division einer Zahl durch eine andere. Proportion ist die Gleichheit zweier Verhältnisse.

Zum Beispiel:

Die Haupteigenschaft des Anteils: Das Produkt der äußersten Mitglieder des Anteils ist gleich dem Produkt seiner mittleren Mitglieder, dh 5x30 = 6x25. Zwei voneinander abhängige Größen heißen proportional, wenn das Verhältnis ihrer Größen unverändert bleibt (Proportionalitätskoeffizient).

Somit werden die folgenden arithmetischen Operationen offenbart.
Zum Beispiel:

Die Menge der rationalen Zahlen umfasst positive und negative Zahlen (ganze und gebrochene) und Null. Eine genauere Definition rationaler Zahlen, die in die Mathematik übernommen wurde, lautet wie folgt: Eine Zahl heißt rational, wenn sie als gewöhnlicher irreduzibler Bruch der Form: dargestellt werden kann, wobei a und b ganze Zahlen sind.

Bei einer negativen Zahl ist der Absolutwert (Modulus) eine positive Zahl, die man erhält, indem man ihr Vorzeichen von „-“ auf „+“ ändert; für eine positive Zahl und Null die Zahl selbst. Um den Betrag einer Zahl zu bezeichnen, verwendet man zwei gerade Linien, in die diese Zahl geschrieben wird, zum Beispiel: |–5|=5.

Absolute Werteigenschaften

Gegeben sei der Betrag einer Zahl , für die die Eigenschaften gelten:

Ein Monom ist das Produkt von zwei oder mehr Faktoren, von denen jeder entweder eine Zahl oder ein Buchstabe oder die Potenz eines Buchstabens ist: 3 x a x b. Der Koeffizient wird meistens nur als numerischer Faktor bezeichnet. Monome werden als ähnlich bezeichnet, wenn sie gleich sind oder sich nur in Koeffizienten unterscheiden. Der Grad eines Monoms ist die Summe der Exponenten aller seiner Buchstaben. Wenn es unter der Summe der Monome ähnliche gibt, kann die Summe auf eine einfachere Form reduziert werden: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2). Diese Operation wird Erzwingen gleicher Terme oder Klammern genannt.

Ein Polynom ist eine algebraische Summe von Monomen. Der Grad eines Polynoms ist der größte der Grade der Monome, die in dem gegebenen Polynom enthalten sind.

Für die abgekürzte Multiplikation gibt es folgende Formeln:

Factoring-Methoden:

Ein algebraischer Bruch ist ein Ausdruck der Form , wobei A und B eine Zahl, ein Monom, ein Polynom sein können.

Wenn zwei Ausdrücke (numerisch und alphabetisch) durch das Zeichen „=“ verbunden sind, werden sie als Gleichheit bezeichnet. Jede wahre Gleichheit, gültig für alle zulässigen Zahlenwerte der darin enthaltenen Buchstaben, wird als Identität bezeichnet.

Eine Gleichung ist eine wörtliche Gleichheit, die für bestimmte Werte der darin enthaltenen Buchstaben gültig ist. Diese Buchstaben werden Unbekannte (Variablen) genannt, und ihre Werte, bei denen die gegebene Gleichung zu einer Identität wird, werden die Wurzeln der Gleichung genannt.

Das Lösen einer Gleichung bedeutet, alle ihre Wurzeln zu finden. Zwei oder mehr Gleichungen heißen äquivalent, wenn sie die gleichen Wurzeln haben.

• Null war die Wurzel der Gleichung;
• Die Gleichung hat nur endlich viele Wurzeln.

Haupttypen algebraischer Gleichungen:

Die lineare Gleichung hat ax + b = 0:

• wenn a x 0, gibt es eine einzelne Wurzel x = -b/a;
• wenn a = 0, b ≠ 0, keine Wurzeln;
• wenn a = 0, b = 0, ist die Wurzel eine beliebige reelle Zahl.

Gleichung xn = a, n N:

• wenn n eine ungerade Zahl ist, hat eine reelle Wurzel gleich a/n für jedes a;
• Wenn n eine gerade Zahl ist, dann hat es für eine 0 zwei Wurzeln.

Grundlegende identische Transformationen: Ersetzen eines Ausdrucks durch einen anderen, identisch gleich; Übertragung der Terme der Gleichung von einer Seite auf die andere mit entgegengesetzten Vorzeichen; Multiplikation oder Division beider Teile der Gleichung durch denselben Ausdruck (Zahl) ungleich Null.

Eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten ist eine Gleichung der Form: ax+b=0, wobei a und b bekannte Zahlen sind und x ein unbekannter Wert ist.

Systeme aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten haben die Form:

Wobei a, b, c, d, e, f gegebene Zahlen sind; x, y sind unbekannt.

Zahlen a, b, c, d - Koeffizienten für Unbekannte; e, f - freie Mitglieder. Die Lösung dieses Gleichungssystems kann durch zwei Hauptmethoden gefunden werden: die Substitutionsmethode: Aus einer Gleichung drücken wir eine der Unbekannten durch die Koeffizienten und die andere Unbekannte aus, und dann setzen wir sie in die zweite Gleichung ein und lösen die letzte Gleichung , finden wir zuerst eine Unbekannte, dann setzen wir den gefundenen Wert in die erste Gleichung ein und finden die zweite Unbekannte; Methode zum Addieren oder Subtrahieren einer Gleichung von einer anderen.

Operationen mit Wurzeln:

Die arithmetische Wurzel des n-ten Grades einer nicht-negativen Zahl a ist eine nicht-negative Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist. Die algebraische Wurzel n-ten Grades aus einer gegebenen Zahl ist die Menge aller Wurzeln aus dieser Zahl.

Irrationale Zahlen können im Gegensatz zu rationalen Zahlen nicht als gewöhnlicher irreduzibler Bruch der Form m/n dargestellt werden, wobei m und n ganze Zahlen sind. Das sind Zahlen eines neuen Typs, die beliebig genau berechnet, aber nicht durch eine rationale Zahl ersetzt werden können. Sie können zum Beispiel als Ergebnis geometrischer Messungen auftreten: Das Verhältnis der Länge der Diagonale eines Quadrats zur Länge seiner Seite ist gleich.

Eine quadratische Gleichung ist eine algebraische Gleichung zweiten Grades ax2+bx+c=0, wobei a, b, c numerische oder alphabetische Koeffizienten sind, x eine Unbekannte ist. Wenn wir alle Terme dieser Gleichung durch a teilen, erhalten wir als Ergebnis x2+px+q=0 - die reduzierte Gleichung p=b/a, q=c/a. Seine Wurzeln werden durch die Formel gefunden:

Wenn b2-4ac>0, dann gibt es zwei unterschiedliche Wurzeln, b2-4ac=0, dann gibt es zwei gleiche Wurzeln; b2-4ac Gleichungen, die Module enthalten

Haupttypen von Gleichungen, die Module enthalten:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, wobei f(x), g(x), fk(x), gk(x) gegebene Funktionen sind.

In der Mathematik ist ein Bruch eine Zahl, die aus einem oder mehreren Teilen (Brüchen) einer Einheit besteht. Je nach Schreibweise werden Brüche in gewöhnliche (Beispiel \frac (5) (8)) und Dezimalzahlen (z. B. 123,45) unterteilt.

Definition. Gewöhnlicher Bruch (oder einfacher Bruch)

Gewöhnlicher (einfacher) Bruch ist eine Zahl der Form \pm\frac(m)(n), wobei m und n natürliche Zahlen sind. Die Zahl m wird aufgerufen Zähler dieser Bruch, und die Zahl n ist seine Nenner.

Ein Quer- oder Schrägstrich zeigt ein Divisionszeichen an, also \frac(m)(n)=()^m/n=m:n

Gewöhnliche Brüche werden in zwei Arten unterteilt: echte und unechte.

Definition. Echte und unechte Brüche

Korrekt Ein Bruch wird aufgerufen, wenn der Betrag des Zählers kleiner als der Betrag des Nenners ist. Zum Beispiel \frac(9)(11) , weil 9

Falsch Ein Bruch wird aufgerufen, wenn der Modul des Zählers größer oder gleich dem Modul des Nenners ist. Ein solcher Bruch ist eine rationale Zahl, modulo größer oder gleich eins. Ein Beispiel wären Brüche \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1)

Neben einem unechten Bruch gibt es noch eine andere Schreibweise für eine Zahl, die als gemischter Bruch (gemischte Zahl) bezeichnet wird. Eine solche Fraktion ist nicht gewöhnlich.

Definition. Gemischter Bruch (gemischte Zahl)

gemischte Fraktion heißt Bruch geschrieben als ganze Zahl und echter Bruch und versteht sich als Summe aus dieser Zahl und einem Bruch. Zum Beispiel 2\frac(5)(7)

(als gemischte Zahl geschrieben) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19 )(7) (nicht als unechter Bruch geschrieben)

Ein Bruch ist nur eine Darstellung einer Zahl. Dieselbe Zahl kann verschiedenen Brüchen entsprechen, sowohl gewöhnlichen als auch dezimalen. Lassen Sie uns ein Zeichen der Gleichheit von zwei gewöhnlichen Brüchen bilden.

Definition. Zeichen der Gleichheit von Brüchen

Die beiden Brüche \frac(a)(b) und \frac(c)(d) sind gleich, wenn a\cdot d=b\cdot c . Zum Beispiel \frac(2)(3)=\frac(8)(12) da 2\cdot12=3\cdot8

Die Haupteigenschaft des Bruchs folgt aus dem angegebenen Vorzeichen.

Eigentum. Grundlegende Eigenschaft eines Bruchs

Wenn Zähler und Nenner eines gegebenen Bruchs mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, erhält man einen Bruch gleich dem gegebenen.

\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0

Unter Verwendung der grundlegenden Eigenschaft eines Bruchs können Sie einen gegebenen Bruch durch einen anderen Bruch ersetzen, der gleich dem gegebenen ist, aber einen kleineren Zähler und Nenner hat. Diese Substitution wird Fraktionsreduktion genannt. Zum Beispiel \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (hier werden Zähler und Nenner zuerst durch 2 dividiert und dann durch weitere 2). Ein Bruch kann genau dann gekürzt werden, wenn Zähler und Nenner keine teilerfremden Zahlen sind. Wenn Zähler und Nenner eines gegebenen Bruchs teilerfremd sind, kann der Bruch nicht gekürzt werden, zum Beispiel ist \frac(3)(4) ein irreduzibler Bruch.

Regeln für positive Brüche:

Aus zwei Fraktionen mit gleichen Nennern größer ist der Bruch, dessen Zähler größer ist. Zum Beispiel \frac(3)(15)

Aus zwei Fraktionen mit den gleichen Zählern größer ist der Bruch, dessen Nenner kleiner ist. Zum Beispiel \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .

Um zwei Brüche mit unterschiedlichen Zählern und Nennern zu vergleichen, musst du beide Brüche so umwandeln, dass ihre Nenner gleich werden. Diese Transformation nennt man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Wir beginnen unsere Betrachtung dieses Themas mit dem Studium des Konzepts eines Bruchs als Ganzes, was uns ein vollständigeres Verständnis der Bedeutung eines gewöhnlichen Bruchs vermitteln wird. Lassen Sie uns die Hauptbegriffe und ihre Definition geben, das Thema in einer geometrischen Interpretation untersuchen, d.h. auf der Koordinatenlinie und definieren Sie auch eine Liste grundlegender Aktionen mit Brüchen.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Anteile am Ganzen

Stellen Sie sich ein Objekt vor, das aus mehreren, völlig gleichen Teilen besteht. Das kann zum Beispiel eine Orange sein, die aus mehreren identischen Scheiben besteht.

Bestimmung 1

Anteil an einem Ganzen oder Anteil ist jeder der gleichen Teile, die das gesamte Objekt ausmachen.

Offensichtlich können die Anteile unterschiedlich sein. Um diese Aussage klar zu erklären, stellen Sie sich zwei Äpfel vor, von denen einer in zwei gleiche Teile und der zweite in vier Teile geschnitten wird. Es ist klar, dass die Größe der resultierenden Anteile für verschiedene Äpfel variieren wird.

Die Aktien haben ihre eigenen Namen, die von der Anzahl der Aktien abhängen, aus denen das gesamte Subjekt besteht. Wenn ein Artikel zwei Teile hat, dann wird jeder von ihnen als ein zweiter Teil dieses Artikels definiert; wenn ein Objekt aus drei Teilen besteht, dann ist jeder von ihnen ein Drittel und so weiter.

Bestimmung 2

Halb- ein zweiter Teil des Themas.

Dritter- ein Drittel des Themas.

Quartal- ein Viertel des Themas.

Um die Aufzeichnungen zu verkürzen, wurde die folgende Notation für Aktien eingeführt: halb - 1 2 oder 1 / 2 ; Dritter - 1 3 oder 1 / 3 ; ein Viertel teilen 1 4 oder 1/4 und so weiter. Einträge mit einem horizontalen Balken werden häufiger verwendet.

Das Konzept eines Anteils erweitert sich natürlich von Objekten zu Größen. Sie können also Bruchteile eines Meters (ein Drittel oder ein Hundertstel) verwenden, um kleine Objekte als eine der Längeneinheiten zu messen. Anteile anderer Mengen können in ähnlicher Weise aufgebracht werden.

Gemeinsame Brüche, Definition und Beispiele

Gewöhnliche Brüche werden verwendet, um die Anzahl der Aktien zu beschreiben. Betrachten Sie ein einfaches Beispiel, das uns der Definition eines gewöhnlichen Bruchs näher bringt.

Stellen Sie sich eine Orange vor, die aus 12 Scheiben besteht. Jede Aktie wird dann - ein Zwölftel oder 1 / 12 sein. Zwei Anteile - 2/12; drei Aktien - 3 / 12 usw. Alle 12 Teile oder eine Ganzzahl würden so aussehen: 12 / 12 . Jeder der im Beispiel verwendeten Einträge ist ein Beispiel für einen gewöhnlichen Bruch.

Bestimmung 3

Gemeinsamer Bruch ist eine Aufzeichnung des Formulars m n oder m / n , wobei m und n beliebige natürliche Zahlen sind.

Beispiele für gewöhnliche Brüche können nach dieser Definition die Eingaben sein: 4 / 9, 1134, 91754. Und diese Einträge: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 sind keine gewöhnlichen Brüche.

Zähler und Nenner

Bestimmung 4

Zähler gemeinsamer Bruchteil m n oder m / n ist eine natürliche Zahl m .

Nenner gemeinsamer Bruchteil m n oder m / n ist eine natürliche Zahl n .

Jene. Der Zähler ist die Zahl über dem Strich eines gewöhnlichen Bruchs (oder links vom Schrägstrich), und der Nenner ist die Zahl unter dem Strich (rechts vom Schrägstrich).

Was bedeuten Zähler und Nenner? Der Nenner eines gewöhnlichen Bruchs gibt an, aus wie vielen Anteilen ein Posten besteht, und der Zähler gibt uns Auskunft darüber, wie viele solcher Anteile berücksichtigt werden. Zum Beispiel zeigt uns der gemeinsame Bruch 7 54 an, dass ein bestimmtes Objekt aus 54 Aktien besteht, und wir haben 7 solcher Aktien zur Prüfung genommen.

Natürliche Zahl als Bruch mit Nenner 1

Der Nenner eines gewöhnlichen Bruchs kann gleich eins sein. In diesem Fall kann man sagen, dass der betrachtete Gegenstand (Wert) unteilbar ist, etwas Ganzes. Der Zähler in einem solchen Bruch gibt an, wie viele solcher Elemente genommen werden, d.h. ein gewöhnlicher Bruch der Form m 1 hat die Bedeutung einer natürlichen Zahl m . Diese Aussage dient als Begründung für die Gleichheit m 1 = m .

Schreiben wir die letzte Gleichheit so: m = m 1 . Es gibt uns die Möglichkeit, jede natürliche Zahl in Form eines gewöhnlichen Bruchs zu verwenden. Beispielsweise ist die Zahl 74 ein gewöhnlicher Bruch der Form 74 1 .

Bestimmung 5

Jede natürliche Zahl m kann als gewöhnlicher Bruch geschrieben werden, wobei der Nenner eins ist: m 1 .

Jeder gewöhnliche Bruch der Form m 1 kann wiederum durch eine natürliche Zahl m dargestellt werden.

Bruchstrich als Divisionszeichen

Die obige Darstellung eines bestimmten Objekts als n Aktien ist nichts anderes als eine Teilung in n gleiche Teile. Wenn ein Objekt in n Teile geteilt wird, haben wir die Möglichkeit, es gleichmäßig auf n Personen aufzuteilen – jeder bekommt seinen Anteil.

Wenn wir zunächst m identische Objekte haben (jeweils in n Teile geteilt), dann können diese m Objekte gleichmäßig auf n Personen aufgeteilt werden, wobei jeder von ihnen einen Anteil von jedem der m Objekte erhält. In diesem Fall hat jede Person m Aktien 1 n , und m Aktien 1 n ergeben einen ordentlichen Bruch m n . Daher kann der gemeinsame Bruch m n verwendet werden, um die Aufteilung von m Gegenständen auf n Personen darzustellen.

Die resultierende Aussage stellt eine Verbindung zwischen gewöhnlichen Brüchen und Division her. Und diese Beziehung kann wie folgt ausgedrückt werden : es ist möglich, den Bruchstrich als Teilungszeichen zu meinen, d.h. m/n=m:n.

Mit Hilfe eines gewöhnlichen Bruchs können wir das Ergebnis der Division zweier natürlicher Zahlen schreiben. Zum Beispiel wird das Teilen von 7 Äpfeln durch 10 Personen als 7 10 geschrieben: Jede Person erhält sieben Zehntel.

Gleiche und ungleiche gemeinsame Brüche

Die logische Handlung besteht darin, gewöhnliche Brüche zu vergleichen, da es offensichtlich ist, dass zum Beispiel 1 8 eines Apfels anders ist als 7 8 .

Das Ergebnis des Vergleichs gewöhnlicher Brüche kann sein: gleich oder ungleich.

Bestimmung 6

Gleiche gemeinsame Brüche sind gewöhnliche Brüche a b und c d , für die die Gleichheit gilt: a d = b c .

Ungleiche gemeinsame Brüche- gewöhnliche Brüche a b und c d , für die die Gleichheit: a · d = b · c nicht gilt.

Ein Beispiel für gleiche Brüche: 1 3 und 4 12 - da die Gleichheit 1 12 \u003d 3 4 wahr ist.

Stellt sich heraus, dass Brüche ungleich sind, muss man in der Regel auch herausfinden, welcher der angegebenen Brüche kleiner und welcher größer ist. Um diese Fragen zu beantworten, werden gewöhnliche Brüche verglichen, indem man sie auf einen gemeinsamen Nenner bringt und dann die Zähler vergleicht.

Bruchzahlen

Jeder Bruch ist eine Aufzeichnung einer Bruchzahl, die eigentlich nur eine „Hülle“ ist, eine Visualisierung der semantischen Last. Aber der Einfachheit halber kombinieren wir die Konzepte eines Bruchs und einer Bruchzahl, einfach gesagt - ein Bruch.

Alle Bruchzahlen haben wie jede andere Zahl ihre eigene eindeutige Position auf dem Koordinatenstrahl: Es besteht eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen Brüchen und Punkten auf dem Koordinatenstrahl.

Um einen Punkt auf dem Koordinatenstrahl zu finden, der den Bruchteil m n bezeichnet, ist es notwendig, m Segmente in positiver Richtung vom Koordinatenursprung zu verschieben, deren Länge jeweils 1 n einem Bruchteil eines Einheitssegments ist. Segmente können erhalten werden, indem ein einzelnes Segment in n identische Teile geteilt wird.

Als Beispiel sei der Punkt M auf dem Koordinatenstrahl bezeichnet, der dem Bruch 14 10 entspricht. Die Länge des Segments, dessen Enden der Punkt O ist und dessen nächster Punkt mit einem kleinen Strich markiert ist, entspricht 1 10 Bruchteilen des Einheitssegments. Der dem Bruchteil 14 10 entsprechende Punkt befindet sich in einem Abstand vom Koordinatenursprung in einem Abstand von 14 solcher Segmente.

Sind die Brüche gleich, d.h. entsprechen sie derselben Bruchzahl, dann dienen diese Brüche als Koordinaten desselben Punktes auf dem Koordinatenstrahl. Beispielsweise entsprechen die Koordinaten in Form von gleichen Brüchen 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 demselben Punkt auf dem Koordinatenstrahl, der sich in einem Abstand von einem Drittel des Einheitssegments befindet, verschoben von dem Ursprung in positiver Richtung.

Hier funktioniert das gleiche Prinzip wie bei ganzen Zahlen: Auf einem nach rechts gerichteten horizontalen Koordinatenstrahl liegt der Punkt, dem der große Bruch entspricht, rechts von dem Punkt, dem der kleinere Bruch entspricht. Und umgekehrt: Der Punkt, dessen Koordinate der kleinere Bruch ist, befindet sich links von dem Punkt, der der größeren Koordinate entspricht.

Echte und unechte Brüche, Definitionen, Beispiele

Die Aufteilung von Brüchen in echte und unechte Brüche basiert auf dem Vergleich von Zähler und Nenner innerhalb desselben Bruchs.

Bestimmung 7

Richtiger Bruchteil ist ein gewöhnlicher Bruch, bei dem der Zähler kleiner als der Nenner ist. Das heißt, wenn die Ungleichung m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

Unechter Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler größer oder gleich dem Nenner ist. Das heißt, wenn die Ungleichung undefined wahr ist, dann ist der gewöhnliche Bruch m n uneigentlich.

Hier einige Beispiele: - echte Brüche:

Beispiel 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

Unechte Brüche:

Beispiel 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

Es ist auch möglich, anhand des Vergleichs eines Bruchs mit einer Einheit eine Definition von echten und unechten Brüchen zu geben.

Bestimmung 8

Richtiger Bruchteil ist ein gemeinsamer Bruch, der kleiner als eins ist.

Unechter Bruch ein gemeinsamer Bruch gleich oder größer als eins ist.

Zum Beispiel ist der Bruch 8 12 richtig, weil 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 und 14 14 = 1 .

Lassen Sie uns ein wenig tiefer darüber nachdenken, warum Brüche, bei denen der Zähler größer oder gleich dem Nenner ist, als „falsch“ bezeichnet werden.

Betrachten Sie den unechten Bruch 8 8: Er sagt uns, dass 8 Teile eines Objekts, das aus 8 Teilen besteht, genommen werden. So können wir aus den verfügbaren acht Anteilen ein ganzes Objekt zusammensetzen, d.h. Der angegebene Bruchteil 8 8 stellt im Wesentlichen das gesamte Objekt dar: 8 8 \u003d 1. Brüche, bei denen Zähler und Nenner gleich sind, ersetzen die natürliche Zahl 1 vollständig.

Betrachten Sie auch Brüche, bei denen der Zähler den Nenner übersteigt: 11 5 und 36 3 . Es ist klar, dass der Bruch 11 5 anzeigt, dass wir zwei ganze Objekte daraus machen können und es wird immer noch ein Fünftel davon geben. Jene. Bruchteil 11 5 sind 2 Objekte und weitere 1 5 davon. 36 3 wiederum ist ein Bruch, was im Wesentlichen 12 ganze Objekte bedeutet.

Diese Beispiele lassen den Schluss zu, dass unechte Brüche durch natürliche Zahlen (wenn der Zähler ohne Rest durch den Nenner teilbar ist: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) oder die Summe einer natürlichen Zahl und a ersetzt werden können echter Bruch (wenn der Zähler nicht ohne Rest durch den Nenner teilbar ist: 11 5 = 2 + 1 5). Das ist wahrscheinlich der Grund, warum solche Brüche als "unecht" bezeichnet werden.

Auch hier begegnen wir einer der wichtigsten Zahlenfertigkeiten.

Bestimmung 9

Extrahieren des ganzzahligen Teils aus einem unechten Bruch ist ein unechter Bruch, der als Summe einer natürlichen Zahl und eines echten Bruchs geschrieben wird.

Beachten Sie auch, dass es eine enge Beziehung zwischen unechten Brüchen und gemischten Zahlen gibt.

Positive und negative Brüche

Oben haben wir gesagt, dass jeder gewöhnliche Bruch einer positiven Bruchzahl entspricht. Jene. Gewöhnliche Brüche sind positive Brüche. Zum Beispiel sind die Brüche 5 17 , 6 98 , 64 79 positiv, und wenn es notwendig ist, die „Positivität“ eines Bruchs hervorzuheben, wird er mit einem Pluszeichen geschrieben: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .

Wenn wir einem gewöhnlichen Bruch ein Minuszeichen zuweisen, ist der resultierende Datensatz ein Datensatz mit einer negativen Bruchzahl, und in diesem Fall sprechen wir von negativen Brüchen. Zum Beispiel - 8 17 , - 78 14 usw.

Positive und negative Brüche m n und - m n sind entgegengesetzte Zahlen, beispielsweise sind die Brüche 7 8 und - 7 8 entgegengesetzt.

Positive Brüche bedeuten, wie alle positiven Zahlen im Allgemeinen, eine Addition, eine Veränderung nach oben. Negative Brüche wiederum entsprechen dem Verbrauch, einer Änderung der Abnahmerichtung.

Wenn wir die Koordinatenlinie betrachten, sehen wir, dass sich negative Brüche links vom Referenzpunkt befinden. Die Punkte, denen die gegenüberliegenden Brüche entsprechen (m n und - m n), befinden sich im gleichen Abstand vom Ursprung der O-Koordinaten, jedoch auf gegenüberliegenden Seiten davon.

Hier sprechen wir auch separat über Brüche, die in der Form 0 n geschrieben sind. Ein solcher Bruch ist gleich Null, d.h. 0 n = 0 .

Wenn wir all das Obige zusammenfassen, sind wir zum wichtigsten Konzept der rationalen Zahlen gekommen.

Bestimmung 10

Rationale Zahlen ist eine Menge positiver Brüche, negativer Brüche und Brüche der Form 0 n .

Aktionen mit Brüchen

Lassen Sie uns die grundlegenden Operationen mit Brüchen auflisten. Im Allgemeinen ist ihr Wesen das gleiche wie die entsprechenden Operationen mit natürlichen Zahlen

1. Vergleich von Brüchen - wir haben diese Aktion oben besprochen.
2. Addition von Brüchen - das Ergebnis der Addition von gewöhnlichen Brüchen ist ein gewöhnlicher Bruch (in einem bestimmten Fall auf eine natürliche Zahl reduziert).
3. Die Subtraktion von Brüchen ist eine Aktion, das Gegenteil der Addition, wenn ein unbekannter Bruch aus einem bekannten Bruch und einer gegebenen Summe von Brüchen bestimmt wird.
4. Multiplikation von Brüchen - diese Aktion kann als Finden eines Bruchs aus einem Bruch beschrieben werden. Das Ergebnis der Multiplikation zweier gewöhnlicher Brüche ist ein gewöhnlicher Bruch (in einem bestimmten Fall gleich einer natürlichen Zahl).
5. Die Division von Brüchen ist die Umkehrung der Multiplikation, wenn wir den Bruch bestimmen, mit dem der gegebene multipliziert werden muss, um ein bekanntes Produkt aus zwei Brüchen zu erhalten.

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Enter

Aktien einer Einheit und wird als dargestellt \frac(a)(b).

Bruchzähler (a)- die Zahl über der Bruchlinie, die die Anzahl der Anteile angibt, in die der Anteil aufgeteilt wurde.

Bruch Nenner (b)- die Zahl unter dem Anteilsstrich, die anzeigt, in wie viele Anteile der Anteil geteilt wurde.

Verstecken anzeigen

Grundlegende Eigenschaft eines Bruchs

Wenn ad=bc , dann zwei Brüche \frac(a)(b) und \frac(c)(d) gelten als gleich. Zum Beispiel sind Brüche gleich \frac35 und \frac(9)(15), da 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) und \frac(24)(14), da 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Aus der Definition der Gleichheit von Brüchen folgt, dass die Brüche gleich sein werden \frac(a)(b) und \frac(am)(bm), da a(bm)=b(am) ein klares Beispiel für die Verwendung der assoziativen und kommutativen Eigenschaften der Multiplikation natürlicher Zahlen in Aktion ist.

Meint \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- sieht aus wie das Grundeigenschaft eines Bruchs.

Mit anderen Worten, wir erhalten einen Bruch, der dem gegebenen entspricht, indem wir Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs mit derselben natürlichen Zahl multiplizieren oder dividieren.

Fraktionsreduktion ist der Vorgang des Ersetzens eines Bruchs, bei dem der neue Bruch gleich dem ursprünglichen ist, aber mit einem kleineren Zähler und Nenner.

Es ist üblich, Brüche basierend auf der Haupteigenschaft eines Bruchs zu kürzen.

Zum Beispiel, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(Zähler und Nenner sind durch die Zahl 3 teilbar); der resultierende Bruch kann wiederum durch Division durch 5 gekürzt werden, d.h. \frac(15)(20)=\frac 34.

irreduzibler Bruch ist ein Bruchteil der Form \frac 34, wobei Zähler und Nenner relative Primzahlen sind. Der Hauptzweck der Bruchreduktion besteht darin, den Bruch irreduzibel zu machen.

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen

Nehmen wir als Beispiel zwei Brüche: \frac(2)(3) und \frac(5)(8) mit unterschiedlichen Nennern 3 und 8 . Um diese Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, multiplizieren Sie zunächst Zähler und Nenner des Bruchs \frac(2)(3) um 8. Wir erhalten folgendes Ergebnis: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Dann multipliziere Zähler und Nenner des Bruchs \frac(5)(8) um 3 . Als Ergebnis erhalten wir: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Also werden die ursprünglichen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner 24 gebracht.

Arithmetische Operationen mit gewöhnlichen Brüchen

Addition gewöhnlicher Brüche

a) Bei gleichen Nennern wird der Zähler des ersten Bruchs zum Zähler des zweiten Bruchs addiert, wobei der Nenner gleich bleibt. Wie im Beispiel zu sehen:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Bei unterschiedlichen Nennern werden die Brüche zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und dann die Zähler nach Regel a) addiert:

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Subtraktion gewöhnlicher Brüche

a) Subtrahieren Sie bei gleichen Nennern den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs, wobei der Nenner gleich bleibt:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Wenn die Nenner der Brüche unterschiedlich sind, dann werden zuerst die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und dann die Schritte wie in Absatz a) wiederholt.

Multiplikation gewöhnlicher Brüche

Die Multiplikation von Brüchen folgt der folgenden Regel:

\frac(a)(b)\cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

das heißt, multiplizieren Sie die Zähler und Nenner separat.

Zum Beispiel:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Division gewöhnlicher Brüche

Brüche werden wie folgt geteilt:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

das ist ein Bruchteil \frac(a)(b) mit einem Bruch multipliziert \frac(d)(c).

Beispiel: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Reziproke Zahlen

Wenn ab=1 , dann ist die Zahl b umgekehrte Nummer für Nummer a.

Beispiel: Bei der Zahl 9 ist es umgekehrt \frac(1)(9), als 9 \cdot \frac(1)(9)=1, für die Zahl 5 - \frac(1)(5), als 5 \cdot \frac(1)(5)=1.

Dezimalstellen

Dezimal ist ein echter Bruch, dessen Nenner 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n ist.

Zum Beispiel: \frac(6)(10)=0.6;\enspace \frac(44)(1000)=0.044.

Genauso werden falsche Zahlen mit einem Nenner 10 ^ n oder gemischte Zahlen geschrieben.

Zum Beispiel: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

In Form eines Dezimalbruchs wird jeder gewöhnliche Bruch dargestellt, dessen Nenner ein Teiler einer bestimmten Potenz der Zahl 10 ist.

Beispiel: 5 ist ein Teiler von 100 also der Bruch \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0{,}2.

Arithmetische Operationen mit Dezimalbrüchen

Dezimalstellen hinzufügen

Um zwei Dezimalbrüche zu addieren, musst du sie so anordnen, dass dieselben Ziffern und ein Komma unter einem Komma untereinander erscheinen, und dann die Brüche als gewöhnliche Zahlen addieren.

Subtraktion von Dezimalzahlen

Es funktioniert genauso wie die Addition.

Dezimale Multiplikation

Bei der Multiplikation von Dezimalzahlen reicht es aus, die angegebenen Zahlen zu multiplizieren, wobei die Kommas (als natürliche Zahlen) ignoriert werden, und in der erhaltenen Antwort trennt das Komma rechts so viele Ziffern, wie in beiden Faktoren insgesamt Nachkommastellen vorhanden sind .

Machen wir die Multiplikation von 2,7 mit 1,3. Wir haben 27 \cdot 13=351 . Wir trennen zwei Ziffern von rechts mit einem Komma (die erste und zweite Zahl haben eine Nachkommastelle; 1+1=2). Als Ergebnis erhalten wir 2,7 \cdot 1,3=3,51 .

Wenn das Ergebnis weniger Stellen hat, als durch ein Komma getrennt werden müssen, dann werden die fehlenden Nullen vorangestellt, zum Beispiel:

Um mit 10, 100, 1000 in einem Dezimalbruch zu multiplizieren, verschieben Sie das Komma 1, 2, 3 Stellen nach rechts (falls erforderlich, wird rechts eine bestimmte Anzahl von Nullen zugewiesen).

Zum Beispiel: 1,47 \cdot 10\,000 = 14.700 .

Dezimalteilung

Die Division eines Dezimalbruchs durch eine natürliche Zahl erfolgt genauso wie die Division einer natürlichen Zahl durch eine natürliche Zahl. Ein Komma im privaten wird gesetzt, nachdem die Division des ganzzahligen Teils abgeschlossen ist.

Wenn der ganzzahlige Teil des Dividenden kleiner als der Divisor ist, lautet die Antwort null ganze Zahlen, zum Beispiel:

Ziehen Sie in Betracht, eine Dezimalzahl durch eine Dezimalzahl zu dividieren. Nehmen wir an, wir müssen 2,576 durch 1,12 teilen. Zunächst multiplizieren wir den Dividenden und den Divisor des Bruchs mit 100, d.h. wir verschieben das Komma im Dividenden und Divisor um so viele Stellen nach rechts, wie im Divisor nach dem Komma stehen (in diesem Beispiel , zwei). Dann müssen Sie den Bruch 257,6 durch die natürliche Zahl 112 dividieren, dh das Problem wird auf den bereits betrachteten Fall reduziert:

Es kommt vor, dass beim Teilen einer Zahl durch eine andere nicht immer der endgültige Dezimalbruch erhalten wird. Das Ergebnis ist eine unendliche Dezimalzahl. Gehen Sie in solchen Fällen zu gewöhnlichen Brüchen.

2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac( 1)(9).