Gleichung einer Linie in einer Ebene.

Wie bekannt ist, wird jeder Punkt in der Ebene durch zwei Koordinaten in irgendeinem Koordinatensystem bestimmt. Koordinatensysteme können je nach Wahl der Basis und des Ursprungs unterschiedlich sein.

Definition. Liniengleichung ist die Beziehung y = f(x) zwischen den Koordinaten der Punkte, die diese Linie bilden.

Beachten Sie, dass die Liniengleichung parametrisch ausgedrückt werden kann, d. h. jede Koordinate jedes Punktes wird durch einen unabhängigen Parameter ausgedrückt t.

Ein typisches Beispiel ist die Trajektorie eines sich bewegenden Punktes. In diesem Fall spielt die Zeit die Rolle eines Parameters.

Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene.

Definition. Jede Linie in der Ebene kann durch eine Gleichung erster Ordnung gegeben werden

Ah + Wu + C = 0,

außerdem sind die Konstanten A, B nicht gleichzeitig gleich Null, d.h. A 2 + B 2  0. Diese Gleichung erster Ordnung wird aufgerufen die allgemeine Geradengleichung.

Abhängig von den Werten der Konstanten A, B und C sind folgende Sonderfälle möglich:

C \u003d 0, A  0, B  0 - die Linie verläuft durch den Ursprung

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - die Linie verläuft parallel zur Ox-Achse

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - die Linie ist parallel zur Oy-Achse

B \u003d C \u003d 0, A  0 - die gerade Linie fällt mit der Oy-Achse zusammen

A \u003d C \u003d 0, B  0 - die gerade Linie fällt mit der Ox-Achse zusammen

Die Geradengleichung kann je nach gegebenen Anfangsbedingungen in verschiedenen Formen dargestellt werden.

Gleichung einer Geraden durch einen Punkt und einen Normalenvektor.

Definition. In einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem steht ein Vektor mit den Komponenten (A, B) senkrecht auf der Linie, die durch die Gleichung Ax + By + C = 0 gegeben ist.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch den Punkt A (1, 2) senkrecht zum Vektor verläuft (3, -1).

Lassen Sie uns bei A \u003d 3 und B \u003d -1 die Gleichung der geraden Linie zusammensetzen: 3x - y + C \u003d 0. Um den Koeffizienten C zu finden, ersetzen wir die Koordinaten des gegebenen Punktes A in den resultierenden Ausdruck.

Wir erhalten: 3 - 2 + C \u003d 0, also C \u003d -1.

Gesamt: die gewünschte Gleichung: 3x - y - 1 \u003d 0.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht.

Seien zwei Punkte M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2) im Raum gegeben, dann ist die Gleichung einer geraden Linie, die durch diese Punkte verläuft:

Wenn einer der Nenner gleich Null ist, sollte der entsprechende Zähler gleich Null gesetzt werden.

In einer Ebene vereinfacht sich die oben geschriebene Geradengleichung:

wenn x 1  x 2 und x \u003d x 1, wenn x 1 \u003d x 2.

Fraktion
=k wird aufgerufen Neigungsfaktor gerade.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch die Punkte A(1, 2) und B(3, 4) verläuft.

Wenden wir die obige Formel an, erhalten wir:

Gleichung einer Geraden durch einen Punkt und eine Steigung.

Wenn die allgemeine Gleichung der Geraden Ax + Vy + C = 0 zu der Form führt:

und benennen
, dann wird die resultierende Gleichung aufgerufen Gleichung einer Geraden mit einer Steigungk.

Die Gleichung einer Geraden auf einem Punkt und einem Richtungsvektor.

Analog zur Punktbetrachtung der Geradengleichung durch den Normalenvektor können Sie die Zuordnung einer Geraden durch einen Punkt und eines Richtungsvektors einer Geraden eingeben.

Definition. Jeder Nicht-Null-Vektor ( 1 ,  2), dessen Komponenten die Bedingung A 1 + B 2 = 0 erfüllen, heißt Richtungsvektor der Geraden

Ah + Wu + C = 0.

Beispiel. Finde die Gleichung einer Geraden mit einem Richtungsvektor (1, -1) und geht durch den Punkt A(1, 2).

Wir suchen die Gleichung der gesuchten Geraden in der Form: Ax + By + C = 0. Gemäß der Definition müssen die Koeffizienten die Bedingungen erfüllen:

1A + (-1)B = 0, d.h. A = B.

Dann hat die Geradengleichung die Form: Ax + Ay + C = 0, oder x + y + C/A = 0.

bei x = 1, y = 2 erhalten wir С/A = -3, d.h. Gewünschte Gleichung:

Gleichung einer Geraden in Segmenten.

Wenn in der allgemeinen Gleichung der Geraden Ah + Wu + C = 0 C 0, dann erhalten wir durch Division durch –C:
oder

, wo

Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten ist, dass der Koeffizient a ist die Koordinate des Schnittpunkts der Linie mit der x-Achse, und b- die Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Oy-Achse.

Beispiel. Gegeben sei die allgemeine Gleichung der Linie x - y + 1 = 0. Finde die Gleichung dieser Linie in den Segmenten.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Normalgleichung einer Geraden.

Wenn beide Seiten der Gleichung Ax + Wy + C = 0 durch die Zahl geteilt werden
, welches heisst normalisierender Faktor, dann bekommen wir

xcos + ysin - p = 0 –

Normalgleichung einer Geraden.

Das Vorzeichen  des Normierungsfaktors muss so gewählt werden, dass С< 0.

p ist die Länge der vom Ursprung auf die Gerade fallenden Senkrechten und  ist der Winkel, den diese Senkrechte mit der positiven Richtung der Ox-Achse bildet.

Beispiel. Angesichts der allgemeinen Gleichung der Linie 12x - 5y - 65 = 0. Es ist erforderlich, verschiedene Arten von Gleichungen für diese Linie zu schreiben.

die Gleichung dieser Geraden in Segmenten:

die Gleichung dieser Geraden mit der Steigung: (dividiere durch 5)

Normalgleichung einer Geraden:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Es ist zu beachten, dass nicht jede Gerade durch eine Streckengleichung dargestellt werden kann, z. B. Geraden, die parallel zu den Achsen verlaufen oder durch den Ursprung gehen.

Beispiel. Die Gerade schneidet gleiche positive Segmente auf den Koordinatenachsen ab. Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie, wenn die Fläche des von diesen Segmenten gebildeten Dreiecks 8 cm 2 beträgt.

Die Geradengleichung hat die Form:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 passt nicht zur Bedingung des Problems.

Gesamt:
oder x + y - 4 = 0.

Beispiel. Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch den Punkt A (-2, -3) und den Ursprung geht.

Die Geradengleichung hat die Form:
, wobei x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Winkel zwischen Linien in einer Ebene.

Definition. Wenn zwei Linien gegeben sind y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , dann wird der spitze Winkel zwischen diesen Linien definiert als

.

Zwei Geraden sind parallel, wenn k 1 = k 2 .

Zwei Geraden sind senkrecht, wenn k 1 = –1/k 2 .

Satz. Geraden Ax + Vy + C = 0 und A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sind parallel, wenn die Koeffizienten A proportional sind 1 =  A, B 1 =  B. Wenn auch C 1 =  C, dann fallen die Linien zusammen.

Als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden werden die Koordinaten des Schnittpunktes zweier Geraden gefunden.

Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft

senkrecht zu dieser Linie.

Definition. Die Linie, die durch den Punkt M 1 (x 1, y 1) und senkrecht zur Linie y \u003d kx + b verläuft, wird durch die Gleichung dargestellt:

Der Abstand von einem Punkt zu einer Linie.

Satz. Wenn ein Punkt M(x 0 , j 0 ), dann ist der Abstand zur Linie Ax + Vy + C = 0 definiert als

.

Nachweisen. Der Punkt M 1 (x 1, y 1) sei die Basis der Senkrechten, die vom Punkt M auf eine gegebene Linie fällt. Dann ist der Abstand zwischen den Punkten M und M 1:

Die Koordinaten x 1 und y 1 finden sich als Lösung des Gleichungssystems:

Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer geraden Linie, die durch einen gegebenen Punkt M 0 senkrecht zu einer gegebenen geraden Linie verläuft.

Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form umwandeln:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dann erhalten wir beim Lösen:

Setzen wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) ein, finden wir:

.

Der Satz ist bewiesen.

Beispiel. Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Linien: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2tg =
;  = /4.

Beispiel. Zeigen Sie, dass die Geraden 3x - 5y + 7 = 0 und 10x + 6y - 3 = 0 senkrecht zueinander stehen.

Wir finden: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, daher sind die Linien senkrecht.

Beispiel. Die Eckpunkte des Dreiecks A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) sind gegeben. Finden Sie die Gleichung für die vom Scheitelpunkt C gezogene Höhe.

Wir finden die Gleichung der Seite AB:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Die gesuchte Höhengleichung lautet: Ax + By + C = 0 oder y = kx + b.

k = . Dann y =
. weil die Höhe durch den Punkt C geht, dann erfüllen ihre Koordinaten diese Gleichung:
womit b = 17. Gesamt:
.

Antwort: 3x + 2y - 34 = 0.

Analytische Geometrie im Raum.

Liniengleichung im Raum.

Die Gleichung einer geraden Linie im Raum durch einen Punkt und

Richtungsvektor.

Nehmen Sie eine beliebige Linie und einen Vektor (m, n, p) parallel zur gegebenen Linie. Vektor namens Führungsvektor gerade.

Nehmen wir zwei beliebige Punkte M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) und M(x, y, z) auf der Geraden.

z

M1

Lassen Sie uns die Radiusvektoren dieser Punkte bezeichnen als und , Es ist klar, dass - =
.

weil Vektoren
und kollinear sind, dann ist die Beziehung wahr
= t, wobei t ein Parameter ist.

Insgesamt können wir schreiben: = + t.

weil Diese Gleichung wird durch die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Linie erfüllt, dann ist die resultierende Gleichung Parametergleichung einer Geraden.

Diese Vektorgleichung kann in Koordinatenform dargestellt werden:

Wenn wir dieses System transformieren und die Werte des Parameters t gleichsetzen, erhalten wir die kanonischen Gleichungen einer geraden Linie im Raum:

.

Definition. Richtungskosinus direkt sind die Richtungskosinusse des Vektors , die sich nach den Formeln berechnen lässt:

;

.

Daraus erhalten wir: m: n: p = cos : cos : cos.

Die Zahlen m, n, p werden aufgerufen Neigungsfaktoren gerade. weil ein Vektor ungleich Null ist, können m, n und p nicht gleichzeitig Null sein, aber eine oder zwei dieser Zahlen können Null sein. In diesem Fall sind in der Geradengleichung die entsprechenden Zähler gleich Null zu setzen.

Gleichung einer geraden Linie im Raumdurchgang

durch zwei Punkte.

Wenn zwei beliebige Punkte M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2) auf einer geraden Linie im Raum markiert werden, dann müssen die Koordinaten dieser Punkte die Gleichung der erfüllen oben erhaltene Gerade:

.

Außerdem können wir für Punkt M 1 schreiben:

.

Wenn wir diese Gleichungen zusammen lösen, erhalten wir:

.

Das ist die Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte im Raum geht.

Allgemeine Gleichungen einer Geraden im Raum.

Die Gleichung einer Geraden kann als die Gleichung einer Schnittlinie zweier Ebenen betrachtet werden.

Wie oben diskutiert, kann eine Ebene in Vektorform durch die Gleichung gegeben werden:

+ D = 0, wobei

- Ebene normal; - Radius-Vektor eines beliebigen Punktes der Ebene.

Lektion aus der Reihe "Geometrische Algorithmen"

Hallo lieber Leser!

Heute werden wir anfangen, Algorithmen zu lernen, die sich auf Geometrie beziehen. Tatsache ist, dass es in der Informatik ziemlich viele Olympiade-Probleme im Zusammenhang mit Computergeometrie gibt und die Lösung solcher Probleme oft Schwierigkeiten bereitet.

In einigen Lektionen werden wir eine Reihe elementarer Teilprobleme betrachten, auf denen die Lösung der meisten Probleme der Computergeometrie basiert.

In dieser Lektion schreiben wir ein Programm für Finden der Geradengleichung durch das Gegebene gehen zwei Punkte. Um geometrische Probleme zu lösen, benötigen wir einige Kenntnisse der Computergeometrie. Wir werden einen Teil der Lektion darauf verwenden, sie kennenzulernen.

Informationen aus der Computergeometrie

Computational Geometry ist ein Zweig der Informatik, der Algorithmen zur Lösung geometrischer Probleme untersucht.

Die Anfangsdaten für solche Probleme können eine Reihe von Punkten auf der Ebene, eine Reihe von Segmenten, ein Polygon (gegeben zum Beispiel durch eine Liste seiner Eckpunkte im Uhrzeigersinn) usw. sein.

Das Ergebnis kann entweder eine Antwort auf eine Frage sein (z. B. gehört ein Punkt zu einem Segment, schneiden sich zwei Segmente, ...) oder ein geometrisches Objekt (z. B. das kleinste konvexe Polygon, das gegebene Punkte verbindet, die Fläche von ein Polygon usw.) .

Wir werden Probleme der Computergeometrie nur in der Ebene und nur im kartesischen Koordinatensystem betrachten.

Vektoren und Koordinaten

Um die Methoden der Computergeometrie anzuwenden, ist es notwendig, geometrische Bilder in die Sprache der Zahlen zu übersetzen. Wir nehmen an, dass auf der Ebene ein kartesisches Koordinatensystem gegeben ist, in dem die Drehrichtung gegen den Uhrzeigersinn als positiv bezeichnet wird.

Nun erhalten geometrische Objekte einen analytischen Ausdruck. Um also einen Punkt festzulegen, reicht es aus, seine Koordinaten anzugeben: ein Zahlenpaar (x; y). Ein Segment kann durch Angabe der Koordinaten seiner Enden angegeben werden, eine gerade Linie kann durch Angabe der Koordinaten eines Paars ihrer Punkte angegeben werden.

Aber das Hauptwerkzeug zur Lösung von Problemen werden Vektoren sein. Lassen Sie mich Sie daher an einige Informationen über sie erinnern.

Liniensegment AB, was einen Punkt hat SONDERN betrachtet den Anfang (Anwendungspunkt) und den Punkt BEIM- Das Ende wird als Vektor bezeichnet AB und beispielsweise entweder mit , oder einem fettgedruckten Kleinbuchstaben gekennzeichnet a .

Um die Länge eines Vektors (d. h. die Länge des entsprechenden Segments) anzugeben, verwenden wir das Modulsymbol (z. B. ).

Ein beliebiger Vektor hat Koordinaten, die gleich der Differenz zwischen den entsprechenden Koordinaten seines Endes und Anfangs sind:

,

Punkte hier EIN und B Koordinaten haben bzw.

Für Berechnungen verwenden wir das Konzept orientierten Winkel, also ein Winkel, der die relative Position der Vektoren berücksichtigt.

Orientierter Winkel zwischen Vektoren a und b positiv, wenn die Drehung vom Vektor weg ist a zum Vektor b erfolgt in positiver Richtung (gegen den Uhrzeigersinn) und negativ im anderen Fall. Siehe Abb.1a, Abb.1b. Es wird auch gesagt, dass ein Paar von Vektoren a und b positiv (negativ) orientiert.

Somit hängt der Wert des orientierten Winkels von der Reihenfolge der Aufzählung der Vektoren ab und kann Werte im Intervall annehmen.

Viele Computergeometrieprobleme verwenden das Konzept von Vektorprodukten (schräg oder pseudoskalar) von Vektoren.

Das Vektorprodukt der Vektoren a und b ist das Produkt der Längen dieser Vektoren und des Sinus des Winkels zwischen ihnen:

.

Vektorprodukt von Vektoren in Koordinaten:

Der rechte Ausdruck ist eine Determinante zweiter Ordnung:

Im Gegensatz zur Definition in der analytischen Geometrie ist dies ein Skalar.

Das Vorzeichen des Kreuzprodukts bestimmt die Lage der Vektoren zueinander:

a und b positiv orientiert.

Wenn der Wert ist, dann das Vektorpaar a und b negativ orientiert.

Das Kreuzprodukt von Vektoren ungleich Null ist genau dann Null, wenn sie kollinear sind ( ). Das bedeutet, dass sie auf derselben Linie oder auf parallelen Linien liegen.

Betrachten wir einige einfache Aufgaben, die zur Lösung komplexerer Aufgaben erforderlich sind.

Lassen Sie uns die Gleichung einer geraden Linie durch die Koordinaten zweier Punkte definieren.

Die Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei verschiedene Punkte verläuft, die durch ihre Koordinaten gegeben sind.

Auf der Geraden seien zwei nicht übereinstimmende Punkte gegeben: mit Koordinaten (x1;y1) und mit Koordinaten (x2;y2). Dementsprechend hat der Vektor mit dem Anfang am Punkt und dem Ende am Punkt Koordinaten (x2-x1, y2-y1). Wenn P(x, y) ein beliebiger Punkt auf unserer Linie ist, dann sind die Koordinaten des Vektors (x-x1, y - y1).

Mit Hilfe des Kreuzprodukts lässt sich die Bedingung für die Kollinearität der Vektoren und wie folgt schreiben:

Jene. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Wir schreiben die letzte Gleichung wie folgt um:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Die Gerade kann also durch eine Gleichung der Form (1) gegeben werden.

Aufgabe 1. Die Koordinaten zweier Punkte sind gegeben. Finde seine Darstellung in der Form ax + by + c = 0.

In dieser Lektion haben wir einige Informationen aus der Computergeometrie kennengelernt. Wir haben das Problem gelöst, die Geradengleichung durch die Koordinaten zweier Punkte zu finden.

In der nächsten Lektion werden wir ein Programm schreiben, um den Schnittpunkt zweier Geraden zu finden, die durch unsere Gleichungen gegeben sind.

Eigenschaften einer Geraden in der euklidischen Geometrie.

Es gibt unendlich viele Linien, die durch jeden Punkt gezogen werden können.

Durch zwei beliebige Punkte, die nicht zusammenfallen, gibt es nur eine Gerade.

Zwei nicht zusammenfallende Linien in der Ebene schneiden sich entweder in einem einzigen Punkt oder sind es

parallel (folgt aus dem vorherigen).

Im dreidimensionalen Raum gibt es drei Möglichkeiten für die relative Position zweier Linien:

• Linien schneiden sich;

• gerade Linien sind parallel;

• Geraden schneiden sich.

Gerade Linie- algebraische Kurve erster Ordnung: im kartesischen Koordinatensystem eine Gerade

ist in der Ebene durch eine Gleichung ersten Grades (lineare Gleichung) gegeben.

Allgemeine Geradengleichung.

Definition. Jede Linie in der Ebene kann durch eine Gleichung erster Ordnung gegeben werden

Ah + Wu + C = 0,

und konstant A, B gleichzeitig nicht gleich Null. Diese Gleichung erster Ordnung wird aufgerufen Allgemeines

Gerade Gleichung. Abhängig von den Werten der Konstanten A, B und Mit Folgende Sonderfälle sind möglich:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- Die Linie geht durch den Ursprung

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- Gerade parallel zur Achse Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- Gerade parallel zur Achse OU

. B = C = 0, A ≠ 0- Die Linie fällt mit der Achse zusammen OU

. A = C = 0, B ≠ 0- Die Linie fällt mit der Achse zusammen Oh

Die Geradengleichung kann je nach Vorgabe in verschiedenen Formen dargestellt werden

Anfangsbedingungen.

Gleichung einer Geraden durch einen Punkt und einen Normalenvektor.

Definition. In einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem ein Vektor mit den Komponenten (A, B)

senkrecht zu der durch die Gleichung gegebenen Linie

Ah + Wu + C = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt geht A(1, 2) senkrecht zum Vektor (3, -1).

Entscheidung. Lassen Sie uns bei A \u003d 3 und B \u003d -1 die Gleichung der geraden Linie zusammenstellen: 3x - y + C \u003d 0. Um den Koeffizienten C zu finden

wir setzen die Koordinaten des gegebenen Punktes A in den resultierenden Ausdruck ein und erhalten somit: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Gesamt: die gewünschte Gleichung: 3x - y - 1 \u003d 0.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht.

Gegeben seien zwei Punkte im Raum M 1 (x 1 , y 1 , z 1) und M2 (x 2, y 2 , z 2), dann Gerade Gleichung,

diese Punkte durchlaufen:

Wenn einer der Nenner gleich Null ist, sollte der entsprechende Zähler gleich Null gesetzt werden. Auf der

Ebene wird die oben geschriebene Geradengleichung vereinfacht:

Wenn x1 ≠ x2 und x = x 1, Wenn x1 = x2 .

Fraktion = k namens Neigungsfaktor gerade.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch die Punkte A(1, 2) und B(3, 4) verläuft.

Entscheidung. Wenden wir die obige Formel an, erhalten wir:

Gleichung einer Geraden durch einen Punkt und eine Steigung.

Wenn die allgemeine Gleichung einer geraden Linie Ah + Wu + C = 0 ins Formular bringen:

und benennen , dann wird die resultierende Gleichung aufgerufen

Gleichung einer Geraden mit Steigung k.

Die Gleichung einer Geraden auf einem Punkt und einem Richtungsvektor.

Analog zum Punkt, der die Gleichung einer Geraden durch den Normalenvektor betrachtet, können Sie die Aufgabe eingeben

eine Gerade durch einen Punkt und einen Richtungsvektor einer Geraden.

Definition. Jeder Nicht-Null-Vektor (α 1 , α 2), deren Komponenten die Bedingung erfüllen

Aα 1 + Bα 2 = 0 namens Richtungsvektor der Geraden.

Ah + Wu + C = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer geraden Linie mit Richtungsvektor (1, -1) und durch den Punkt A(1, 2) verlaufend.

Entscheidung. Wir suchen die Gleichung der gewünschten Geraden in der Form: Ax + By + C = 0. Laut Definition ist

Koeffizienten müssen die Bedingungen erfüllen:

1 * A + (-1) * B = 0, d.h. A = B.

Dann hat die Geradengleichung die Form: Ax + Ay + C = 0, oder x + y + C / A = 0.

beim x=1, y=2 wir bekommen C/A = -3, d.h. Gewünschte Gleichung:

x + y - 3 = 0

Gleichung einer Geraden in Segmenten.

Wenn in der allgemeinen Gleichung der geraden Linie Ah + Wu + C = 0 C≠0, dann erhalten wir durch Teilen durch -C:

oder wo

Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten ist, dass der Koeffizient a die Koordinate des Schnittpunkts ist

gerade mit Achse Oh, a b- die Koordinate des Schnittpunkts der Linie mit der Achse OU.

Beispiel. Die allgemeine Geradengleichung ist gegeben x - y + 1 = 0. Finden Sie die Gleichung dieser geraden Linie in Segmenten.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normalgleichung einer Geraden.

Wenn beide Seiten der Gleichung Ah + Wu + C = 0 durch Zahl dividieren , welches heisst

normalisierender Faktor, dann bekommen wir

xcosφ + ysinφ - p = 0 -Normalgleichung einer Geraden.

Das Vorzeichen ± des Normierungsfaktors muss so gewählt werden, dass μ * C< 0.

R- die Länge der vom Ursprung zur Linie fallenden Senkrechten,

a φ - der Winkel, den diese Senkrechte mit der positiven Richtung der Achse bildet Oh.

Beispiel. Gegeben sei die allgemeine Geradengleichung 12x - 5y - 65 = 0. Erforderlich, um verschiedene Arten von Gleichungen zu schreiben

diese Gerade.

Die Gleichung dieser Geraden in Segmenten:

Die Gleichung dieser Geraden mit Steigung: (durch 5 teilen)

Gleichung einer geraden Linie:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Zu beachten ist, dass nicht jede Gerade durch eine Segmentgleichung dargestellt werden kann, z. B. Geraden,

parallel zu den Achsen oder durch den Ursprung gehend.

Winkel zwischen Linien in einer Ebene.

Definition. Wenn zwei Zeilen angegeben sind y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, dann der spitze Winkel zwischen diesen Linien

wird definiert als

Zwei Geraden sind parallel, wenn k1 = k2. Zwei Geraden sind senkrecht

Wenn k1 \u003d -1 / k2 .

Satz.

Direkte Ah + Wu + C = 0 und A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sind parallel, wenn die Koeffizienten proportional sind

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Wenn auch С 1 \u003d λС, dann fallen die Linien zusammen. Koordinaten des Schnittpunktes zweier Geraden

werden als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden gefunden.

Die Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft, steht senkrecht auf einer gegebenen Geraden.

Definition. Eine Linie, die durch einen Punkt verläuft M 1 (x 1, y 1) und senkrecht zur Linie y = kx + b

dargestellt durch die Gleichung:

Der Abstand von einem Punkt zu einer Linie.

Satz. Wenn ein Punkt vergeben wird M(x 0, y 0), dann die Entfernung zur Linie Ah + Wu + C = 0 definiert als:

Nachweisen. Lassen Sie den Punkt M 1 (x 1, y 1)- Die Basis der Senkrechten fällt vom Punkt ab M für ein gegebenes

Direkte. Dann der Abstand zwischen den Punkten M und M 1:

(1)

Koordinaten x 1 und 1 kann als Lösung des Gleichungssystems gefunden werden:

Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer geraden Linie, die senkrecht durch einen gegebenen Punkt M 0 verläuft

gegebene Zeile. Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form umwandeln:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dann erhalten wir beim Lösen:

Setzen wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) ein, finden wir:

Der Satz ist bewiesen.

Die kanonischen Gleichungen einer geraden Linie im Raum sind Gleichungen, die eine gerade Linie definieren, die durch einen gegebenen Punkt kollinear zu einem Richtungsvektor verläuft.

Gegeben sei ein Punkt und ein Richtungsvektor. Ein beliebiger Punkt liegt auf einer Geraden l nur wenn die Vektoren und kollinear sind, also die Bedingung erfüllen:

.

Die obigen Gleichungen sind die kanonischen Gleichungen der Linie.

Zahlen m , n und p sind Projektionen des Richtungsvektors auf die Koordinatenachsen. Da der Vektor nicht Null ist, dann alle Zahlen m , n und p kann nicht gleichzeitig Null sein. Aber ein oder zwei davon können Null sein. In der analytischen Geometrie ist beispielsweise folgende Notation erlaubt:

,

was bedeutet, dass die Projektionen des Vektors auf die Achsen Ey und Unze gleich Null sind. Daher stehen sowohl der Vektor als auch die durch die kanonischen Gleichungen gegebene Gerade senkrecht zu den Achsen Ey und Unze, also Flugzeuge yOz .

Beispiel 1 Stellen Sie Gleichungen einer geraden Linie im Raum senkrecht zu einer Ebene auf und durch den Schnittpunkt dieser Ebene mit der Achse verläuft Unze .

Entscheidung. Finden Sie den Schnittpunkt der gegebenen Ebene mit der Achse Unze. Da jeder Punkt auf der Achse Unze, hat dann Koordinaten , vorausgesetzt, in der gegebenen Gleichung der Ebene x=y= 0, wir bekommen 4 z- 8 = 0 bzw z= 2 . Also der Schnittpunkt der gegebenen Ebene mit der Achse Unze hat Koordinaten (0; 0; 2) . Da die gesuchte Linie senkrecht zur Ebene steht, ist sie parallel zu ihrem Normalenvektor. Daher kann der Normalenvektor als Richtungsvektor der Geraden dienen Flugzeug gegeben.

Jetzt schreiben wir die gewünschten Gleichungen der Geraden, die durch den Punkt geht EIN= (0; 0; 2) in Richtung des Vektors :

Gleichungen einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft

Eine Gerade kann durch zwei darauf liegende Punkte definiert werden und Dabei kann der Richtungsvektor der Geraden der Vektor sein. Dann nehmen die kanonischen Gleichungen der Linie die Form an

.

Die obigen Gleichungen definieren eine gerade Linie, die durch zwei gegebene Punkte verläuft.

Beispiel 2 Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie im Raum, die durch die Punkte und verläuft.

Entscheidung. Wir schreiben die gewünschten Gleichungen der Geraden in der oben im theoretischen Nachschlagewerk angegebenen Form:

.

Da , dann ist die gesuchte Linie senkrecht zur Achse Ey .

Gerade als Schnittlinie von Ebenen

Eine gerade Linie im Raum kann als Schnittlinie zweier nicht paralleler Ebenen definiert werden, d.h. als eine Menge von Punkten, die ein System von zwei linearen Gleichungen erfüllen

Die Gleichungen des Systems werden auch die allgemeinen Gleichungen einer Raumgeraden genannt.

Beispiel 3 Stellen Sie kanonische Gleichungen einer geraden Linie in dem durch allgemeine Gleichungen gegebenen Raum auf

Entscheidung. Um die kanonischen Gleichungen einer geraden Linie oder, was dasselbe ist, die Gleichung einer geraden Linie zu schreiben, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, müssen Sie die Koordinaten von zwei beliebigen Punkten auf der geraden Linie finden. Dies können beispielsweise die Schnittpunkte einer Geraden mit zwei beliebigen Koordinatenebenen sein yOz und xOz .

Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene yOz hat eine Abszisse x= 0 . Daher wird in diesem Gleichungssystem angenommen x= 0 erhalten wir ein System mit zwei Variablen:

Ihre Entscheidung j = 2 , z= 6 zusammen mit x= 0 definiert einen Punkt EIN(0; 2; 6) der gewünschten Zeile. Geht man dann in das gegebene Gleichungssystem ein j= 0 erhalten wir das System

Ihre Entscheidung x = -2 , z= 0 zusammen mit j= 0 definiert einen Punkt B(-2; 0; 0) Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene xOz .

Jetzt schreiben wir die Gleichungen einer geraden Linie, die durch die Punkte geht EIN(0; 2; 6) und B (-2; 0; 0) :

,

oder nach Division der Nenner durch -2:

,

Dieser Artikel setzt das Thema der Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene fort: Betrachten Sie eine solche Art von Gleichung als die allgemeine Gleichung einer geraden Linie. Lassen Sie uns ein Theorem definieren und seinen Beweis geben; Lassen Sie uns herausfinden, was eine unvollständige allgemeine Gleichung einer geraden Linie ist und wie man Übergänge von einer allgemeinen Gleichung zu anderen Arten von Gleichungen einer geraden Linie macht. Wir werden die gesamte Theorie mit Illustrationen und der Lösung praktischer Probleme festigen.

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Gegeben sei ein rechtwinkliges Koordinatensystem O x y in der Ebene.

Satz 1

Jede Gleichung ersten Grades mit der Form A x + B y + C \u003d 0, wobei A, B, C einige reelle Zahlen sind (A und B sind nicht gleichzeitig gleich Null), definiert eine gerade Linie in ein rechtwinkliges Koordinatensystem in der Ebene. Jede Linie in einem rechteckigen Koordinatensystem in der Ebene wird wiederum durch eine Gleichung bestimmt, die die Form A x + B y + C = 0 für einen bestimmten Satz von Werten A, B, C hat.

Nachweisen

Dieser Satz besteht aus zwei Punkten, wir werden jeden von ihnen beweisen.

1. Lassen Sie uns beweisen, dass die Gleichung A x + B y + C = 0 eine Linie in der Ebene definiert.

Es gebe einen Punkt M 0 (x 0 , y 0), dessen Koordinaten der Gleichung A x + B y + C = 0 entsprechen. Also: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Subtrahieren Sie von der linken und rechten Seite der Gleichungen A x + B y + C \u003d 0 die linke und rechte Seite der Gleichung A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, wir erhalten eine neue Gleichung, die wie A aussieht (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Es ist äquivalent zu A x + B y + C = 0 .

Die resultierende Gleichung A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Rechtwinkligkeit der Vektoren n → = (A, B) und M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Die Punktmenge M (x, y) definiert also in einem rechtwinkligen Koordinatensystem eine Gerade senkrecht zur Richtung des Vektors n → = (A, B) . Wir können davon ausgehen, dass dies nicht so ist, aber dann wären die Vektoren n → = (A, B) und M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) nicht senkrecht, und die Gleichheit A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 wäre nicht wahr.

Daher definiert die Gleichung A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 eine Linie in einem rechteckigen Koordinatensystem in der Ebene, und daher definiert die äquivalente Gleichung A x + B y + C \u003d 0 dieselbe Zeile. Damit haben wir den ersten Teil des Satzes bewiesen.

1. Beweisen wir, dass jede gerade Linie in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf einer Ebene durch eine Gleichung ersten Grades A x + B y + C = 0 gegeben werden kann.

Setzen wir eine Gerade a in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf der Ebene; Punkt M 0 (x 0 , y 0), durch den diese Gerade verläuft, sowie der Normalenvektor dieser Geraden n → = (A , B) .

Lassen Sie es auch einen Punkt M (x , y) geben - einen Gleitpunkt der Linie. In diesem Fall stehen die Vektoren n → = (A , B) und M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) senkrecht aufeinander und ihr Skalarprodukt ist Null:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Schreiben wir die Gleichung A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 um, definieren C: C = - A x 0 - B y 0 und erhalten schließlich die Gleichung A x + B y + C = 0 .

Wir haben also den zweiten Teil des Satzes bewiesen, und wir haben den ganzen Satz als Ganzes bewiesen.

Bestimmung 1

Eine Gleichung, die aussieht wie A x + B y + C = 0 - Das allgemeine Geradengleichung auf einer Ebene in einem rechtwinkligen KoordinatensystemO x y .

Basierend auf dem bewiesenen Satz können wir schließen, dass eine gerade Linie, die in einer Ebene in einem festen rechtwinkligen Koordinatensystem gegeben ist, und ihre allgemeine Gleichung untrennbar miteinander verbunden sind. Mit anderen Worten, die ursprüngliche Linie entspricht ihrer allgemeinen Gleichung; die allgemeine Geradengleichung entspricht einer gegebenen Geraden.

Aus dem Beweis des Satzes folgt auch, dass die Koeffizienten A und B für die Variablen x und y die Koordinaten des Normalenvektors der Geraden sind, der durch die allgemeine Geradengleichung A x + B y + gegeben ist C = 0 .

Betrachten Sie ein spezifisches Beispiel der allgemeinen Gleichung einer geraden Linie.

Gegeben sei die Gleichung 2 x + 3 y - 2 = 0, die einer geraden Linie in einem gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem entspricht. Der Normalenvektor dieser Linie ist der Vektor n → = (2 , 3) ​​​​. Zeichne eine vorgegebene gerade Linie in die Zeichnung.

Man kann auch argumentieren: Die Gerade, die wir in der Zeichnung sehen, ist durch die allgemeine Gleichung 2 x + 3 y - 2 = 0 bestimmt, da die Koordinaten aller Punkte einer gegebenen Gerade dieser Gleichung entsprechen.

Wir können die Gleichung λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 erhalten, indem wir beide Seiten der allgemeinen Geradengleichung mit einer Zahl λ multiplizieren, die nicht Null ist. Die resultierende Gleichung entspricht der ursprünglichen allgemeinen Gleichung und beschreibt daher dieselbe Linie in der Ebene.

Bestimmung 2

Vollständige allgemeine Gleichung einer Geraden- eine solche allgemeine Gleichung der Linie A x + B y + C \u003d 0, in der die Zahlen A, B, C nicht Null sind. Ansonsten ist die Gleichung unvollständig.

Analysieren wir alle Varianten der unvollständigen allgemeinen Geradengleichung.

1. Wenn A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, wird die allgemeine Gleichung zu B y + C \u003d 0. Eine solche unvollständige allgemeine Gleichung definiert eine gerade Linie in einem rechtwinkligen Koordinatensystem O x y, die parallel zur O x -Achse ist, da für jeden reellen Wert von x die Variable y den Wert annimmt -C.B. Mit anderen Worten, die allgemeine Gleichung der Linie A x + B y + C \u003d 0, wenn A \u003d 0, B ≠ 0, definiert den Ort von Punkten (x, y), deren Koordinaten gleich der gleichen Zahl sind -C.B.
2. Wenn A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, wird die allgemeine Gleichung zu y \u003d 0. Eine solche unvollständige Gleichung definiert die x-Achse O x .
3. Wenn A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, erhalten wir eine unvollständige allgemeine Gleichung A x + C \u003d 0, die eine gerade Linie parallel zur y-Achse definiert.
4. Sei A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, dann nimmt die unvollständige allgemeine Gleichung die Form x \u003d 0 an, und dies ist die Gleichung der Koordinatenlinie O y.
5. Wenn schließlich A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0 ist, nimmt die unvollständige allgemeine Gleichung die Form A x + B y \u003d 0 an. Und diese Gleichung beschreibt eine Gerade, die durch den Ursprung geht. Tatsächlich entspricht das Zahlenpaar (0 , 0) der Gleichheit A x + B y = 0 , da A · 0 + B · 0 = 0 .

Lassen Sie uns alle oben genannten Arten der unvollständigen allgemeinen Geradengleichung grafisch veranschaulichen.

Beispiel 1

Es ist bekannt, dass die gegebene Gerade parallel zur y-Achse ist und durch den Punkt 2 7 , -11 geht. Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung einer gegebenen geraden Linie aufzuschreiben.

Entscheidung

Eine gerade Linie parallel zur y-Achse ist durch eine Gleichung der Form A x + C \u003d 0 gegeben, wobei A ≠ 0 ist. Die Bedingung gibt auch die Koordinaten des Punktes an, durch den die Linie verläuft, und die Koordinaten dieses Punktes entsprechen den Bedingungen der unvollständigen allgemeinen Gleichung A x + C = 0 , d.h. Gleichheit ist richtig:

A 2 7 + C = 0

Es ist möglich, C daraus zu bestimmen, indem A ein Wert ungleich Null gegeben wird, zum Beispiel A = 7 . In diesem Fall erhalten wir: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Wir kennen beide Koeffizienten A und C, setzen sie in die Gleichung A x + C = 0 ein und erhalten die benötigte Geradengleichung: 7 x - 2 = 0

Antworten: 7 x - 2 = 0

Beispiel 2

Die Zeichnung zeigt eine gerade Linie, es ist notwendig, ihre Gleichung aufzuschreiben.

Entscheidung

Die gegebene Zeichnung ermöglicht es uns, die ersten Daten zur Lösung des Problems leicht zu entnehmen. Wir sehen in der Zeichnung, dass die angegebene Linie parallel zur O x -Achse ist und durch den Punkt (0 , 3) ​​​​geht.

Die zur Abszisse parallele Gerade wird durch die unvollständige allgemeine Gleichung B y + С = 0 bestimmt. Finden Sie die Werte von B und C . Die Koordinaten des Punktes (0, 3) erfüllen, da eine gegebene Gerade durch ihn verläuft, die Gleichung der Geraden B y + С = 0, dann gilt die Gleichheit: В · 3 + С = 0. Lassen Sie uns B auf einen anderen Wert als Null setzen. Nehmen wir an, B \u003d 1, in diesem Fall können wir aus der Gleichheit B · 3 + C \u003d 0 C finden: C \u003d - 3. Unter Verwendung der bekannten Werte von B und C erhalten wir die erforderliche Geradengleichung: y - 3 = 0.

Antworten: y - 3 = 0 .

Allgemeine Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt der Ebene verläuft

Lassen Sie die gegebene Linie durch den Punkt M 0 (x 0, y 0) verlaufen, dann entsprechen ihre Koordinaten der allgemeinen Gleichung der Linie, d.h. die Gleichheit gilt: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Subtrahiere die linke und rechte Seite dieser Gleichung von der linken und rechten Seite der allgemeinen vollständigen Gleichung der geraden Linie. Wir erhalten: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, diese Gleichung entspricht der ursprünglichen allgemeinen, geht durch den Punkt M 0 (x 0, y 0) und hat a Normalvektor n → \u003d (A, B) .

Das erhaltene Ergebnis ermöglicht es, die allgemeine Geradengleichung für bekannte Koordinaten des Normalenvektors der Geraden und die Koordinaten eines bestimmten Punktes dieser Geraden zu schreiben.

Beispiel 3

Gegeben sei ein Punkt M 0 (- 3, 4), durch den die Gerade verläuft, und der Normalenvektor dieser Geraden n → = (1 , - 2) . Es ist notwendig, die Gleichung einer gegebenen geraden Linie aufzuschreiben.

Entscheidung

Die Anfangsbedingungen ermöglichen es uns, die erforderlichen Daten zum Erstellen der Gleichung zu erhalten: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Dann:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Das Problem hätte auch anders gelöst werden können. Die allgemeine Geradengleichung hat die Form A x + B y + C = 0 . Der gegebene Normalenvektor ermöglicht es Ihnen, die Werte der Koeffizienten A und B zu erhalten, dann:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Lassen Sie uns nun den Wert von C ermitteln, indem wir den Punkt M 0 (- 3, 4) verwenden, der durch die Bedingung des Problems gegeben ist, durch das die Linie verläuft. Die Koordinaten dieses Punktes entsprechen der Gleichung x - 2 · y + C = 0 , d.h. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Also C = 11. Die benötigte Geradengleichung hat die Form: x - 2 · y + 11 = 0 .

Antworten: x - 2 y + 11 = 0 .

Beispiel 4

Gegeben sei eine Linie 2 3 x - y - 1 2 = 0 und ein auf dieser Linie liegender Punkt M 0 . Nur die Abszisse dieses Punktes ist bekannt und sie ist gleich - 3. Es ist notwendig, die Ordinate des gegebenen Punktes zu bestimmen.

Entscheidung

Setzen wir die Bezeichnung der Koordinaten des Punktes M 0 als x 0 und y 0 . Die Anfangsdaten zeigen an, dass x 0 \u003d - 3. Da der Punkt zu einer bestimmten Linie gehört, entsprechen seine Koordinaten der allgemeinen Gleichung dieser Linie. Dann gilt folgende Gleichheit:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definiere y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Antworten: - 5 2

Übergang von der allgemeinen Geradengleichung zu anderen Arten von Geradengleichungen und umgekehrt

Wie wir wissen, gibt es mehrere Arten von Gleichungen derselben Geraden in der Ebene. Die Wahl des Gleichungstyps hängt von den Bedingungen des Problems ab; Es ist möglich, diejenige auszuwählen, die für ihre Lösung bequemer ist. Hier erweist sich die Fähigkeit, eine Gleichung einer Art in eine Gleichung einer anderen Art umzuwandeln, als sehr praktisch.

Betrachten Sie zunächst den Übergang von der allgemeinen Gleichung der Form A x + B y + C = 0 zur kanonischen Gleichung x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Ist A ≠ 0, dann übertragen wir den Term B y auf die rechte Seite der allgemeinen Gleichung. Auf der linken Seite entfernen wir A aus Klammern. Als Ergebnis erhalten wir: A x + C A = - B y .

Diese Gleichheit kann als Verhältnis geschrieben werden: x + C A - B = y A .

Wenn B ≠ 0, lassen wir nur den Term A x auf der linken Seite der allgemeinen Gleichung, wir übertragen die anderen auf die rechte Seite, wir erhalten: A x \u003d - B y - C. Wir nehmen - B aus Klammern heraus, dann: A x \u003d - B y + C B.

Schreiben wir die Gleichheit als Proportion um: x - B = y + C B A .

Natürlich müssen Sie sich die resultierenden Formeln nicht merken. Es reicht aus, den Aktionsalgorithmus beim Übergang von der allgemeinen Gleichung zur kanonischen zu kennen.

Beispiel 5

Die allgemeine Gleichung der Linie 3 y - 4 = 0 ist gegeben. Es muss in eine kanonische Gleichung umgewandelt werden.

Entscheidung

Wir schreiben die ursprüngliche Gleichung als 3 y - 4 = 0 . Als nächstes verfahren wir nach dem Algorithmus: Der Term 0 x bleibt auf der linken Seite; und auf der rechten Seite nehmen wir - 3 aus Klammern heraus; wir erhalten: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Schreiben wir die resultierende Gleichheit als Verhältnis: x - 3 = y - 4 3 0 . Damit haben wir eine Gleichung der kanonischen Form erhalten.

Antwort: x - 3 = y - 4 3 0.

Um die allgemeine Gleichung einer geraden Linie in parametrische Gleichungen umzuwandeln, wird zuerst der Übergang zur kanonischen Form und dann der Übergang von der kanonischen Gleichung der geraden Linie zu parametrischen Gleichungen durchgeführt.

Beispiel 6

Die Gerade ist gegeben durch die Gleichung 2 x - 5 y - 1 = 0 . Schreiben Sie die Parametergleichungen dieser Geraden auf.

Entscheidung

Machen wir den Übergang von der allgemeinen Gleichung zur kanonischen:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Nehmen wir nun beide Teile der resultierenden kanonischen Gleichung gleich λ, dann:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Antworten:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Die allgemeine Gleichung kann in die Gleichung einer geraden Linie mit der Steigung y \u003d k x + b umgewandelt werden, jedoch nur, wenn B ≠ 0. Für den Übergang auf der linken Seite lassen wir den Term B y stehen, der Rest wird nach rechts verlegt. Wir erhalten: B y = - A x - C . Lassen Sie uns beide Teile der resultierenden Gleichheit durch B dividieren, das von Null verschieden ist: y = - A B x - C B .

Beispiel 7

Die allgemeine Geradengleichung ist gegeben: 2 x + 7 y = 0 . Sie müssen diese Gleichung in eine Steigungsgleichung umwandeln.

Entscheidung

Lassen Sie uns die erforderlichen Aktionen gemäß dem Algorithmus ausführen:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Antworten: y = - 2 7 x .

Aus der allgemeinen Gleichung einer geraden Linie reicht es aus, einfach eine Segmentgleichung der Form x a + y b \u003d 1 zu erhalten. Um einen solchen Übergang zu machen, übertragen wir die Zahl C auf die rechte Seite der Gleichheit, dividieren beide Teile der resultierenden Gleichheit durch - С und übertragen schließlich die Koeffizienten für die Variablen x und y auf die Nenner:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Beispiel 8

Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung der geraden Linie x - 7 y + 1 2 = 0 in die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten umzuwandeln.

Entscheidung

Lassen Sie uns 1 2 auf die rechte Seite verschieben: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Antworten: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Im Allgemeinen ist auch der umgekehrte Übergang einfach: von anderen Gleichungstypen zu den allgemeinen.

Die Gleichung einer Geraden in Segmenten und die Gleichung mit einer Steigung lassen sich leicht in eine allgemeine umwandeln, indem man einfach alle Terme auf der linken Seite der Gleichung zusammenfasst:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Die kanonische Gleichung wird nach folgendem Schema in die allgemeine umgewandelt:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Um vom Parametrischen überzugehen, wird zuerst der Übergang zum Kanonischen und dann zum Allgemeinen durchgeführt:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Beispiel 9

Gegeben sind die Parametergleichungen der Geraden x = - 1 + 2 · λ y = 4. Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung dieser Linie aufzuschreiben.

Entscheidung

Machen wir den Übergang von parametrischen Gleichungen zu kanonischen:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Gehen wir von kanonisch zu allgemein über:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Antworten: y - 4 = 0

Beispiel 10

Gegeben ist die Gleichung einer Geraden in Segmenten x 3 + y 1 2 = 1. Es ist notwendig, den Übergang zur allgemeinen Form der Gleichung durchzuführen.

Entscheidung:

Schreiben wir einfach die Gleichung in der erforderlichen Form um:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Antworten: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Aufstellen einer allgemeinen Geradengleichung

Oben haben wir gesagt, dass die allgemeine Gleichung mit bekannten Koordinaten des Normalenvektors und den Koordinaten des Punktes, durch den die Gerade verläuft, geschrieben werden kann. Eine solche Gerade ist durch die Gleichung A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 definiert. An gleicher Stelle haben wir das entsprechende Beispiel analysiert.

Betrachten wir nun komplexere Beispiele, bei denen zunächst die Koordinaten des Normalenvektors bestimmt werden müssen.

Beispiel 11

Gegeben sei eine Linie parallel zur Linie 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Bekannt ist auch der Punkt M 0 (4 , 1), durch den die gegebene Gerade verläuft. Es ist notwendig, die Gleichung einer gegebenen geraden Linie aufzuschreiben.

Entscheidung

Die Anfangsbedingungen sagen uns, dass die Linien parallel sind, während wir als Normalenvektor der Linie, deren Gleichung geschrieben werden muss, den Richtungsvektor der Linie nehmen n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Jetzt kennen wir alle notwendigen Daten, um die allgemeine Geradengleichung aufzustellen:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Antworten: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Beispiel 12

Die gegebene Gerade geht durch den Ursprung senkrecht zur Geraden x - 2 3 = y + 4 5 . Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung einer gegebenen geraden Linie zu schreiben.

Entscheidung

Der Normalenvektor der gegebenen Linie ist der Richtungsvektor der Linie x - 2 3 = y + 4 5 .

Dann ist n → = (3 , 5) . Die Gerade geht durch den Ursprung, d.h. durch den Punkt O (0, 0) . Lassen Sie uns die allgemeine Gleichung einer gegebenen geraden Linie aufstellen:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Antworten: 3 x + 5 y = 0 .

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