Logarithmische Gleichung wird eine Gleichung aufgerufen, in der die Unbekannte (x) und Ausdrücke damit unter dem Vorzeichen einer logarithmischen Funktion stehen. Das Lösen von logarithmischen Gleichungen setzt voraus, dass Sie bereits mit und vertraut sind.
Wie löst man logarithmische Gleichungen?

Die einfachste Gleichung ist Loga x = b, wobei a und b Zahlen sind, x eine Unbekannte ist.
Lösen der logarithmischen Gleichung ist x = a b vorausgesetzt: a > 0, a 1.

Es sollte beachtet werden, dass, wenn x irgendwo außerhalb des Logarithmus liegt, zum Beispiel log 2 x \u003d x-2, eine solche Gleichung bereits als gemischt bezeichnet wird und ein spezieller Ansatz erforderlich ist, um sie zu lösen.

Der Idealfall ist, wenn Sie auf eine Gleichung stoßen, in der nur Zahlen unter dem Vorzeichen des Logarithmus stehen, zum Beispiel x + 2 \u003d log 2 2. Hier reicht es aus, die Eigenschaften von Logarithmen zu kennen, um sie zu lösen. Aber diese Art von Glück passiert nicht oft, also machen Sie sich bereit für schwierigere Sachen.

Aber fangen wir doch erstmal mit einfachen Gleichungen an. Um sie zu lösen, ist es wünschenswert, die allgemeinste Vorstellung vom Logarithmus zu haben.

Lösen einfacher logarithmischer Gleichungen

Dazu gehören Gleichungen wie log 2 x \u003d log 2 16. Mit bloßem Auge ist zu erkennen, dass wir durch Weglassen des Vorzeichens des Logarithmus x \u003d 16 erhalten.

Um eine komplexere logarithmische Gleichung zu lösen, wird üblicherweise zur Lösung einer gewöhnlichen algebraischen Gleichung oder zur Lösung der einfachsten logarithmischen Gleichung log a x = b geführt. Bei den einfachsten Gleichungen geschieht dies in einer Bewegung, weshalb sie die einfachsten genannt werden.

Die obige Methode zum Löschen von Logarithmen ist eine der Hauptmethoden zum Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen. In der Mathematik nennt man diese Operation Potenzierung. Existieren bestimmte Regeln oder Einschränkungen für diese Art von Operationen:

• Logarithmen haben die gleiche Zahlenbasis
• Logarithmen in beiden Teilen der Gleichung sind frei, d.h. ohne irgendwelche Koeffizienten und andere verschiedene Arten von Ausdrücken.

Nehmen wir an, in der Gleichung log 2 x \u003d 2log 2 (1- x), Potenzierung ist nicht anwendbar - der Koeffizient 2 auf der rechten Seite erlaubt dies nicht. Im folgenden Beispiel ist log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) eine der Einschränkungen ebenfalls nicht erfüllt - es gibt zwei Logarithmen auf der linken Seite. Das wäre eine - eine ganz andere Sache!

Im Allgemeinen können Sie Logarithmen nur entfernen, wenn die Gleichung die Form hat:

log a(...) = log a(...)

Es können absolut beliebige Ausdrücke in Klammern stehen, dies hat absolut keinen Einfluss auf die Potenzierungsoperation. Und nach der Eliminierung von Logarithmen bleibt eine einfachere Gleichung übrig - linear, quadratisch, exponentiell usw., die Sie hoffentlich bereits lösen können.

Nehmen wir ein anderes Beispiel:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Durch Potenzieren erhalten wir:

log 3 (2x-1) = 2

Basierend auf der Definition des Logarithmus, nämlich dass der Logarithmus die Zahl ist, zu der die Basis erhoben werden muss, um einen Ausdruck zu erhalten, der unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht, also (4x-1) erhalten wir:

Wieder bekamen wir eine nette Antwort. Hier haben wir auf die Eliminierung von Logarithmen verzichtet, aber Potenzierung ist auch hier anwendbar, denn der Logarithmus kann aus jeder Zahl gemacht werden, und zwar genau aus der, die wir brauchen. Diese Methode ist sehr hilfreich beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und insbesondere von Ungleichungen.

Lösen wir unsere logarithmische Gleichung log 3 (2x-1) = 2 mit Potenzierung:

Stellen wir die Zahl 2 beispielsweise als Logarithmus dar, also log 3 9, denn 3 2 = 9.

Dann log 3 (2x-1) = log 3 9 und wieder bekommen wir die gleiche Gleichung 2x-1 = 9. Ich hoffe, alles ist klar.

Also haben wir uns angesehen, wie man die einfachsten logarithmischen Gleichungen löst, die eigentlich sehr wichtig sind, weil Lösung logarithmischer Gleichungen, selbst die schrecklichsten und verdrehtesten, läuft am Ende immer darauf hinaus, die einfachsten Gleichungen zu lösen.

Bei allem, was wir oben getan haben, haben wir einen sehr wichtigen Punkt übersehen, der in Zukunft eine entscheidende Rolle spielen wird. Tatsache ist, dass die Lösung jeder logarithmischen Gleichung, selbst der elementarsten, aus zwei äquivalenten Teilen besteht. Das erste ist die Lösung der Gleichung selbst, das zweite ist die Arbeit mit dem Bereich der zulässigen Werte (ODV). Das ist nur der erste Teil, den wir gemeistert haben. In den obigen Beispielen beeinflusst die ODZ die Antwort in keiner Weise, daher haben wir sie nicht berücksichtigt.

Nehmen wir ein anderes Beispiel:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Äußerlich unterscheidet sich diese Gleichung nicht von der elementaren, die sehr erfolgreich gelöst wird. Aber es ist nicht so. Nein, natürlich werden wir es lösen, aber höchstwahrscheinlich wird es falsch sein, denn es ist ein kleiner Hinterhalt drin, in den sowohl C-Studenten als auch Honours-Studenten sofort hineinfallen. Schauen wir es uns genauer an.

Angenommen, Sie müssen die Wurzel der Gleichung oder die Summe der Wurzeln finden, wenn es mehrere gibt:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Wir wenden Potenzierung an, hier ist es zulässig. Als Ergebnis erhalten wir die übliche quadratische Gleichung.

Wir finden die Wurzeln der Gleichung:

Es gibt zwei Wurzeln.

Antwort: 3 und -1

Auf den ersten Blick stimmt alles. Aber lassen Sie uns das Ergebnis überprüfen und es in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.

Beginnen wir mit x 1 = 3:

Log 3 6 = Log 3 6

Die Prüfung war erfolgreich, jetzt ist die Warteschlange x 2 = -1:

Log 3 (-2) = Log 3 (-2)

Ja, halt! Äußerlich ist alles perfekt. Einen Moment - es gibt keine Logarithmen von negativen Zahlen! Und das bedeutet, dass die Wurzel x \u003d -1 nicht zur Lösung unserer Gleichung geeignet ist. Und deshalb ist die richtige Antwort 3, nicht 2, wie wir geschrieben haben.

Hier spielte die ODZ ihre fatale Rolle, die wir vergessen haben.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass unter dem Bereich der zulässigen Werte solche Werte von x akzeptiert werden, die für das ursprüngliche Beispiel zulässig oder sinnvoll sind.

Ohne ODZ wird jede Lösung, selbst eine absolut korrekte, einer beliebigen Gleichung zu einer Lotterie - 50/50.

Wie könnten wir beim Lösen eines scheinbar elementaren Beispiels erwischt werden? Und hier ist es im Moment der Potenzierung. Die Logarithmen sind weg und mit ihnen alle Einschränkungen.

Was tun in einem solchen Fall? Sich weigern, Logarithmen zu eliminieren? Und die Lösung dieser Gleichung ganz aufgeben?

Nein, wir werden einfach wie echte Helden aus einem berühmten Song herumlaufen!

Bevor wir mit der Lösung einer logarithmischen Gleichung fortfahren, schreiben wir die ODZ auf. Aber danach kannst du mit unserer Gleichung machen, was dein Herz begehrt. Nachdem wir die Antwort erhalten haben, werfen wir einfach die Wurzeln weg, die nicht in unserer ODZ enthalten sind, und schreiben die endgültige Version auf.

Lassen Sie uns nun entscheiden, wie die ODZ geschrieben werden soll. Dazu untersuchen wir die ursprüngliche Gleichung genau und suchen darin nach verdächtigen Stellen, wie z. B. Division durch x, Wurzel eines geraden Grades usw. Bis wir die Gleichung gelöst haben, wissen wir nicht, was x gleich ist, aber wir wissen sicher, dass solche x, die beim Ersetzen eine Division durch 0 oder das Ziehen der Quadratwurzel einer negativen Zahl ergeben, sind offensichtlich nicht geeignet für die Antwort. Daher sind solche x nicht akzeptabel, während der Rest die ODZ darstellt.

Lassen Sie uns die gleiche Gleichung noch einmal verwenden:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Wie Sie sehen können, gibt es keine Division durch 0, es gibt auch keine Quadratwurzeln, aber es gibt Ausdrücke mit x im Hauptteil des Logarithmus. Wir erinnern uns sofort daran, dass der Ausdruck innerhalb des Logarithmus immer > 0 sein muss. Diese Bedingung wird in Form von ODZ geschrieben:

Jene. Wir haben noch nichts gelöst, aber wir haben bereits eine zwingende Bedingung für den gesamten sublogarithmischen Ausdruck aufgeschrieben. Die geschweifte Klammer bedeutet, dass diese Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen.

Die ODZ wird aufgeschrieben, aber es ist auch notwendig, das resultierende Ungleichungssystem zu lösen, was wir tun werden. Wir erhalten die Antwort x > v3. Jetzt wissen wir sicher, welches x nicht zu uns passt. Und dann fangen wir an, die logarithmische Gleichung selbst zu lösen, was wir oben getan haben.

Nachdem wir die Antworten x 1 \u003d 3 und x 2 \u003d -1 erhalten haben, ist leicht zu erkennen, dass nur x1 \u003d 3 für uns geeignet ist, und wir schreiben es als endgültige Antwort auf.

Für die Zukunft ist es sehr wichtig, sich an Folgendes zu erinnern: Wir lösen jede logarithmische Gleichung in 2 Stufen. Das erste - wir lösen die Gleichung selbst, das zweite - wir lösen die Bedingung der ODZ. Beide Schritte werden unabhängig voneinander durchgeführt und erst beim Schreiben der Antwort verglichen, d.h. wir verwerfen alles Unnötige und schreiben die richtige Antwort auf.

Zur Festigung des Materials empfehlen wir dringend, sich das Video anzusehen:

Im Video weitere Beispiele zum Lösen des Protokolls. Gleichungen und Ausarbeitung der Methode der Intervalle in der Praxis.

Dazu zum Thema wie man logarithmische gleichungen löst bis alles. Wenn etwas nach der Entscheidung des Protokolls. Gleichungen unklar oder unverständlich geblieben sind, schreiben Sie Ihre Fragen in die Kommentare.

Hinweis: Die Akademie für Sozialpädagogik (KSUE) ist bereit, neue Studierende aufzunehmen.

Beispiele:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

So lösen Sie logarithmische Gleichungen:

Wenn Sie eine logarithmische Gleichung lösen, müssen Sie versuchen, sie in die Form \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) umzuwandeln und dann den Übergang zu \(f( x)=g(x)\).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Beispiel:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Entscheidung: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Untersuchung:\(10>2\) - geeignet für ODZ Antworten:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Sehr wichtig! Dieser Übergang ist nur möglich, wenn:

Sie haben für die ursprüngliche Gleichung geschrieben und prüfen am Ende, ob die gefundenen im DPV enthalten sind. Wenn dies nicht getan wird, können zusätzliche Wurzeln erscheinen, was eine falsche Entscheidung bedeutet.

Die Zahl (oder der Ausdruck) ist links und rechts gleich;

Die Logarithmen links und rechts sind "rein", d.h. es dürfen keine Multiplikationen, Divisionen etc. - nur einsame Logarithmen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens.

Zum Beispiel:

Beachten Sie, dass die Gleichungen 3 und 4 leicht gelöst werden können, indem die gewünschten Eigenschaften von Logarithmen angewendet werden.

Beispiel . Löse die Gleichung \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Entscheidung :

		Schreiben wir ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Links vor dem Logarithmus steht der Koeffizient, rechts die Summe der Logarithmen. Das stört uns. Übertragen wir die beiden auf den Exponenten \(x\) durch die Eigenschaft: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Wir stellen die Summe der Logarithmen als einen einzigen Logarithmus dar durch die Eigenschaft: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Wir haben die Gleichung auf die Form \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) gebracht und die ODZ aufgeschrieben, was bedeutet, dass wir den Übergang zur Form \(f (x)=g(x)\ ).
		Passiert . Wir lösen es und finden die Wurzeln.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Wir prüfen, ob die Wurzeln unter die ODZ passen. Dazu ersetzen wir in \(x>0\) statt \(x\) \(5\) und \(-5\). Diese Operation kann oral durchgeführt werden.
\(5>0\), \(-5>0\)		Die erste Ungleichung ist wahr, die zweite nicht. Also ist \(5\) die Wurzel der Gleichung, aber \(-5\) ist es nicht. Wir schreiben die Antwort auf.

Antworten : \(5\)

Beispiel : Löse die Gleichung \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Entscheidung :

		Schreiben wir ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		Eine typische Gleichung gelöst mit . Ersetzen Sie \(\log_2⁡x\) durch \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Das Übliche erhalten. Auf der Suche nach seinen Wurzeln.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Eine umgekehrte Substitution vornehmen
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Wir transformieren die rechten Teile und stellen sie als Logarithmen dar: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) und \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Jetzt sind unsere Gleichungen \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) und wir können zu \(f(x)=g(x)\) springen.
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Wir überprüfen die Übereinstimmung der Wurzeln der ODZ. Dazu setzen wir statt \(x\) \(4\) und \(2\) in die Ungleichung \(x>0\) ein.
\(4>0\) \(2>0\)		Beide Ungleichungen sind wahr. Also sind sowohl \(4\) als auch \(2\) die Wurzeln der Gleichung.

Antworten : \(4\); \(2\).

Mit diesem Video beginne ich eine lange Reihe von Lektionen über logarithmische Gleichungen. Jetzt haben Sie drei Beispiele auf einmal, anhand derer wir lernen, die einfachsten Aufgaben zu lösen, die so genannt werden - Protozoen.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Ich möchte Sie daran erinnern, dass die einfachste logarithmische Gleichung die folgende ist:

loga f(x) = b

Wichtig ist, dass die Variable x nur innerhalb des Arguments vorhanden ist, also nur in der Funktion f(x). Und die Zahlen a und b sind nur Zahlen und keinesfalls Funktionen, die die Variable x enthalten.

Grundlegende Lösungsmethoden

Es gibt viele Möglichkeiten, solche Strukturen zu lösen. Zum Beispiel schlagen die meisten Lehrer in der Schule diesen Weg vor: Drücken Sie die Funktion f ( x ) sofort mit der Formel aus f( x) = ein b . Das heißt, wenn Sie auf die einfachste Konstruktion treffen, können Sie ohne zusätzliche Aktionen und Konstruktionen sofort zur Lösung übergehen.

Ja, natürlich wird sich die Entscheidung als richtig herausstellen. Das Problem mit dieser Formel ist jedoch, dass die meisten Studenten verstehen nicht, wo kommt es her und warum genau erhöhen wir den Buchstaben a auf den Buchstaben b.

Infolgedessen beobachte ich oft sehr anstößige Fehler, wenn zum Beispiel diese Buchstaben vertauscht werden. Diese Formel muss entweder verstanden oder auswendig gelernt werden, und die zweite Methode führt zu Fehlern in den unpassendsten und entscheidendsten Momenten: in Prüfungen, Tests usw.

Deshalb empfehle ich allen meinen Schülern, die Standard-Schulformel aufzugeben und den zweiten Ansatz zum Lösen von logarithmischen Gleichungen zu verwenden, der, wie Sie wahrscheinlich anhand des Namens erraten haben, heißt kanonische Form.

Die Idee der kanonischen Form ist einfach. Schauen wir uns noch einmal unsere Aufgabe an: Links haben wir log a , wobei der Buchstabe a genau die Zahl bedeutet und auf keinen Fall die Funktion, die die Variable x enthält. Daher unterliegt dieser Buchstabe allen Beschränkungen, die der Basis des Logarithmus auferlegt werden. nämlich:

1 ≠ a > 0

Andererseits sehen wir aus derselben Gleichung, dass der Logarithmus gleich der Zahl b sein muss und diesem Buchstaben keine Beschränkungen auferlegt werden, da er jeden Wert annehmen kann – sowohl positiv als auch negativ. Es hängt alles davon ab, welche Werte die Funktion f(x) annimmt.

Und hier erinnern wir uns an unsere wunderbare Regel, dass jede Zahl b als Logarithmus zur Basis a von a hoch b dargestellt werden kann:

b = log a a b

Wie kann man sich diese Formel merken? Ja, ganz einfach. Schreiben wir folgende Konstruktion:

b = b 1 = b log a a

Natürlich gelten in diesem Fall alle Einschränkungen, die wir eingangs aufgeschrieben haben. Und jetzt nutzen wir die Grundeigenschaft des Logarithmus und geben den Faktor b als Potenz von a ein. Wir bekommen:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Als Ergebnis wird die ursprüngliche Gleichung in der folgenden Form umgeschrieben:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Das ist alles. Die neue Funktion enthält keinen Logarithmus mehr und wird mit Standardalgebratechniken gelöst.

Natürlich wird jetzt jemand einwenden: Warum musste man sich überhaupt eine Art kanonische Formel einfallen lassen, warum zwei zusätzliche unnötige Schritte durchführen, wenn es möglich war, sofort von der ursprünglichen Konstruktion zur endgültigen Formel zu gelangen? Ja, schon allein deshalb, weil die meisten Studierenden nicht verstehen, woher diese Formel kommt und sich dadurch regelmäßig Fehler bei der Anwendung machen.

Aber eine solche Abfolge von Aktionen, die aus drei Schritten besteht, ermöglicht es Ihnen, die ursprüngliche logarithmische Gleichung zu lösen, auch wenn Sie nicht verstehen, woher diese endgültige Formel kommt. Dieser Eintrag heißt übrigens die kanonische Formel:

log a f(x) = log a a b

Die Bequemlichkeit der kanonischen Form liegt auch in der Tatsache, dass sie verwendet werden kann, um eine sehr breite Klasse von logarithmischen Gleichungen zu lösen, und nicht nur die einfachsten, die wir heute betrachten.

Lösungsbeispiele

Schauen wir uns nun reale Beispiele an. Entscheiden wir also:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Schreiben wir es so um:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Viele Schüler haben es eilig und versuchen, die Zahl 0,5 sofort mit der Potenz zu potenzieren, die uns aus der ursprünglichen Aufgabe zugekommen ist. Und tatsächlich, wenn Sie bereits gut darin trainiert sind, solche Probleme zu lösen, können Sie diesen Schritt sofort ausführen.

Wenn Sie jedoch gerade erst anfangen, sich mit diesem Thema zu befassen, ist es besser, sich nirgendwohin zu beeilen, um keine beleidigenden Fehler zu machen. Wir haben also die kanonische Form. Wir haben:

3x - 1 = 0,5 -3

Dies ist keine logarithmische Gleichung mehr, sondern eine lineare bezüglich der Variablen x. Um es zu lösen, beschäftigen wir uns zunächst mit der Zahl 0,5 hoch −3. Beachten Sie, dass 0,5 1/2 ist.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Wandle alle Dezimalzahlen in Brüche um, wenn du eine logarithmische Gleichung löst.

Wir schreiben um und erhalten:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

Alles, was wir haben, ist die Antwort. Die erste Aufgabe ist gelöst.

Zweite Aufgabe

Kommen wir zur zweiten Aufgabe:

Wie Sie sehen können, ist diese Gleichung nicht mehr die einfachste. Schon allein deshalb, weil die Differenz links ist und nicht ein einziger Logarithmus in einer Basis.

Daher müssen Sie diesen Unterschied irgendwie beseitigen. In diesem Fall ist alles sehr einfach. Schauen wir uns die Basen genauer an: Links steht die Zahl unter der Wurzel:

Generelle Empfehlung: Versuchen Sie bei allen logarithmischen Gleichungen, Radikale loszuwerden, also von Sätzen mit Wurzeln und schalten Sie auf Potenzfunktionen um, einfach weil die Exponenten dieser Potenzen leicht aus dem Vorzeichen des Logarithmus genommen werden und letztlich so eine Notation vereinfacht und beschleunigt Berechnungen erheblich. Schreiben wir es so:

Jetzt erinnern wir uns an die bemerkenswerte Eigenschaft des Logarithmus: Sowohl aus dem Argument als auch aus der Basis kann man Grade ableiten. Bei Basen passiert folgendes:

log a k b = 1/k loga b

Mit anderen Worten, die Zahl, die im Grad der Basis stand, wird vorgezogen und gleichzeitig umgedreht, das heißt, sie wird zum Kehrwert der Zahl. In unserem Fall gab es einen Basengrad mit einem Indikator von 1/2. Daher können wir es als 2/1 herausnehmen. Wir bekommen:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Bitte beachten Sie: Auf keinen Fall sollten Sie bei diesem Schritt auf Logarithmen verzichten. Denken Sie an Mathematik der 4. bis 5. Klasse und die Reihenfolge der Operationen zurück: Zuerst wird multipliziert, und erst dann werden Addition und Subtraktion durchgeführt. In diesem Fall subtrahieren wir eines der gleichen Elemente von 10 Elementen:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Jetzt sieht unsere Gleichung so aus, wie sie sollte. Dies ist die einfachste Konstruktion, und wir lösen sie mit der kanonischen Form:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

Das ist alles. Das zweite Problem ist gelöst.

Drittes Beispiel

Kommen wir zur dritten Aufgabe:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Erinnern Sie sich an die folgende Formel:

log b = log 10 b

Wenn Sie aus irgendeinem Grund durch das Schreiben von lg b verwirrt sind, können Sie bei allen Berechnungen einfach log 10 b schreiben. Du kannst mit dezimalen Logarithmen genauso arbeiten wie mit anderen: Potenzen ziehen, addieren und jede Zahl als lg 10 darstellen.

Genau diese Eigenschaften werden wir nun zur Lösung des Problems verwenden, da es nicht das einfachste ist, das wir ganz am Anfang unserer Lektion aufgeschrieben haben.

Beachten Sie zunächst, dass der Faktor 2 vor lg 5 eingesetzt werden kann und zu einer Potenz zur Basis 5 wird. Außerdem kann der freie Term 3 auch als Logarithmus dargestellt werden – dies lässt sich anhand unserer Notation sehr gut beobachten.

Überzeugen Sie sich selbst: Jede Zahl kann als Logarithmus zur Basis 10 dargestellt werden:

3 = Protokoll 10 10 3 = Protokoll 10 3

Schreiben wir das ursprüngliche Problem unter Berücksichtigung der erhaltenen Änderungen um:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

Vor uns liegt wieder die kanonische Form, und wir haben sie erhalten, indem wir die Stufe der Transformationen umgangen haben, d. H. Die einfachste logarithmische Gleichung ist bei uns nirgendwo aufgetaucht.

Das war es, worüber ich ganz am Anfang der Lektion gesprochen habe. Die kanonische Form ermöglicht die Lösung einer größeren Klasse von Problemen als die Standardschulformel, die von den meisten Schullehrern gegeben wird.

Das ist alles, wir entfernen das Vorzeichen des Dezimallogarithmus und erhalten eine einfache lineare Konstruktion:

x + 3 = 25.000
x = 24997

Alles! Problem gelöst.

Eine Anmerkung zum Umfang

Hier möchte ich eine wichtige Bemerkung zum Definitionsbereich machen. Sicherlich gibt es jetzt Schüler und Lehrer, die sagen werden: „Wenn wir Ausdrücke mit Logarithmen lösen, müssen wir unbedingt daran denken, dass das Argument f (x) größer als Null sein muss!“ In diesem Zusammenhang stellt sich eine logische Frage: Warum haben wir bei keinem der betrachteten Probleme gefordert, dass diese Ungleichung erfüllt ist?

Machen Sie sich keine Sorgen. In diesen Fällen werden keine zusätzlichen Wurzeln angezeigt. Und dies ist ein weiterer großartiger Trick, mit dem Sie die Lösung beschleunigen können. Wisse nur, dass, wenn in der Aufgabe die Variable x nur an einer Stelle vorkommt (oder besser gesagt, im einzigen Argument des einzigen Logarithmus) und nirgendwo sonst in unserem Fall die Variable x vorkommt, dann schreibe den Definitionsbereich nicht nötig weil es automatisch läuft.

Überzeugen Sie sich selbst: In der ersten Gleichung haben wir 3x - 1 erhalten, d.h. das Argument sollte gleich 8 sein. Dies bedeutet automatisch, dass 3x - 1 größer als Null ist.

Mit gleichem Erfolg können wir schreiben, dass im zweiten Fall x gleich 5 2 sein muss, also auf jeden Fall größer als Null ist. Und im dritten Fall, wo x + 3 = 25.000, also wieder offensichtlich größer als Null. Mit anderen Worten, der Geltungsbereich ist automatisch, aber nur, wenn x nur im Argument von nur einem Logarithmus vorkommt.

Das ist alles, was Sie wissen müssen, um einfache Probleme zu lösen. Allein diese Regel zusammen mit den Transformationsregeln ermöglicht es Ihnen, eine sehr breite Klasse von Problemen zu lösen.

Aber seien wir ehrlich: Um diese Technik endlich zu verstehen, um zu lernen, wie man die kanonische Form der logarithmischen Gleichung anwendet, reicht es nicht aus, nur eine Videolektion anzusehen. Laden Sie daher jetzt die Optionen für eine unabhängige Lösung herunter, die diesem Video-Tutorial beigefügt sind, und beginnen Sie mit der Lösung mindestens einer dieser beiden unabhängigen Arbeiten.

Es dauert nur ein paar Minuten. Aber der Effekt eines solchen Trainings wird viel größer sein, als wenn Sie sich nur dieses Video-Tutorial angesehen hätten.

Ich hoffe, diese Lektion wird Ihnen helfen, logarithmische Gleichungen zu verstehen. Wenden Sie die kanonische Form an, vereinfachen Sie Ausdrücke mit den Regeln für die Arbeit mit Logarithmen - und Sie werden keine Angst vor Aufgaben haben. Und das ist alles, was ich für heute habe.

Scope-Betrachtung

Lassen Sie uns nun über den Definitionsbereich der logarithmischen Funktion sprechen und wie sich dies auf die Lösung logarithmischer Gleichungen auswirkt. Betrachten Sie eine Konstruktion des Formulars

loga f(x) = b

Ein solcher Ausdruck wird als der einfachste bezeichnet - er hat nur eine Funktion, und die Zahlen a und b sind nur Zahlen und auf keinen Fall eine Funktion, die von der Variablen x abhängt. Es ist ganz einfach gelöst. Sie müssen nur die Formel verwenden:

b = log a a b

Diese Formel ist eine der Schlüsseleigenschaften des Logarithmus, und wenn wir sie in unseren ursprünglichen Ausdruck einsetzen, erhalten wir Folgendes:

log a f(x) = log a a b

f(x) = ein b

Das ist bereits eine bekannte Formel aus Schulbüchern. Viele Studenten werden wahrscheinlich eine Frage haben: Da die Funktion f ( x ) im ursprünglichen Ausdruck unter dem Log-Zeichen steht, werden ihr folgende Einschränkungen auferlegt:

f(x) > 0

Diese Einschränkung gilt, weil der Logarithmus negativer Zahlen nicht existiert. Vielleicht sollten Sie aufgrund dieser Einschränkung eine Überprüfung auf Antworten einführen? Vielleicht müssen sie in der Quelle ersetzt werden?

Nein, bei den einfachsten logarithmischen Gleichungen erübrigt sich eine zusätzliche Prüfung. Und deshalb. Werfen Sie einen Blick auf unsere endgültige Formel:

f(x) = ein b

Tatsache ist, dass die Zahl a in jedem Fall größer als 0 ist - diese Anforderung wird auch durch den Logarithmus auferlegt. Die Zahl a ist die Basis. In diesem Fall werden der Anzahl b keine Beschränkungen auferlegt. Aber das spielt keine Rolle, denn egal wie stark wir eine positive Zahl erhöhen, wir werden immer noch eine positive Zahl am Ausgang erhalten. Damit ist die Bedingung f (x) > 0 automatisch erfüllt.

Was sich wirklich lohnt, ist der Funktionsumfang unter dem Log-Zeichen. Es kann ziemlich komplexe Designs geben, und bei der Lösung müssen Sie ihnen unbedingt folgen. Werfen wir einen Blick darauf.

Erste Aufgabe:

Erster Schritt: Wandle den rechten Bruch um. Wir bekommen:

Wir werden das Vorzeichen des Logarithmus los und erhalten die übliche irrationale Gleichung:

Von den erhaltenen Wurzeln passt nur die erste zu uns, da die zweite Wurzel kleiner als Null ist. Die einzige Antwort wird die Nummer 9 sein. Das war's, das Problem ist gelöst. Es sind keine zusätzlichen Überprüfungen erforderlich, ob der Ausdruck unter dem Logarithmuszeichen größer als 0 ist, da er nicht nur größer als 0, sondern durch die Bedingung der Gleichung gleich 2 ist. Daher ist die Anforderung "größer als Null" automatisch zufrieden.

Kommen wir zur zweiten Aufgabe:

Hier ist alles dasselbe. Wir schreiben die Konstruktion um und ersetzen das Tripel:

Wir werden die Vorzeichen des Logarithmus los und erhalten eine irrationale Gleichung:

Wir quadrieren beide Teile unter Berücksichtigung der Restriktionen und erhalten:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Wir lösen die resultierende Gleichung durch die Diskriminante:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = –1

x 2 \u003d -6

Aber x = −6 passt nicht zu uns, denn wenn wir diese Zahl in unsere Ungleichung einsetzen, erhalten wir:

−6 + 4 = −2 < 0

In unserem Fall ist es erforderlich, dass es größer als 0 oder im Extremfall gleich ist. Aber x = −1 passt zu uns:

−1 + 4 = 3 > 0

Die einzige Antwort in unserem Fall ist x = −1. Das ist die Lösung. Gehen wir zurück zum Anfang unserer Berechnungen.

Die wichtigste Schlussfolgerung aus dieser Lektion ist, dass es nicht erforderlich ist, die Grenzwerte für eine Funktion in den einfachsten logarithmischen Gleichungen zu überprüfen. Denn im Prozess der Lösung werden alle Constraints automatisch ausgeführt.

Dies bedeutet jedoch keineswegs, dass Sie die Verifizierung ganz vergessen können. Bei der Arbeit an einer logarithmischen Gleichung kann daraus eine irrationale werden, die ihre eigenen Einschränkungen und Anforderungen für die rechte Seite hat, wie wir heute an zwei verschiedenen Beispielen gesehen haben.

Fühlen Sie sich frei, solche Probleme zu lösen, und seien Sie besonders vorsichtig, wenn das Argument eine Wurzel hat.

Logarithmische Gleichungen mit verschiedenen Basen

Wir studieren weiterhin logarithmische Gleichungen und analysieren zwei weitere ziemlich interessante Tricks, mit denen es in Mode ist, komplexere Strukturen zu lösen. Aber erinnern wir uns zuerst, wie die einfachsten Aufgaben gelöst werden:

loga f(x) = b

In dieser Notation sind a und b nur Zahlen, und in der Funktion f (x) muss die Variable x vorhanden sein, und nur dort, dh x darf nur im Argument stehen. Wir werden solche logarithmischen Gleichungen in die kanonische Form umwandeln. Dafür merken wir das an

b = log a a b

Und a b ist nur ein Argument. Schreiben wir diesen Ausdruck wie folgt um:

log a f(x) = log a a b

Genau das versuchen wir zu erreichen, sodass sowohl links als auch rechts ein Logarithmus zur Basis a steht. In diesem Fall können wir bildlich gesprochen die Vorzeichen von log durchstreichen und aus mathematischer Sicht können wir sagen, dass wir die Argumente einfach gleichsetzen:

f(x) = ein b

Als Ergebnis erhalten wir einen neuen Ausdruck, der viel einfacher gelöst werden kann. Wenden wir diese Regel heute auf unsere Aufgaben an.

Also der erste Entwurf:

Zunächst stelle ich fest, dass rechts ein Bruch steht, dessen Nenner log ist. Wenn Sie einen Ausdruck wie diesen sehen, sollten Sie sich an die wunderbare Eigenschaft von Logarithmen erinnern:

Ins Russische übersetzt bedeutet dies, dass jeder Logarithmus als Quotient zweier Logarithmen mit beliebiger Basis c dargestellt werden kann. Natürlich 0< с ≠ 1.

Also: Diese Formel hat einen wunderbaren Spezialfall, wenn die Variable c gleich der Variablen ist b. In diesem Fall erhalten wir eine Konstruktion der Form:

Es ist diese Konstruktion, die wir anhand des Vorzeichens rechts in unserer Gleichung beobachten. Ersetzen wir diese Konstruktion durch log a b , erhalten wir:

Das heißt, wir haben im Vergleich zur ursprünglichen Aufgabe das Argument und die Basis des Logarithmus vertauscht. Stattdessen mussten wir den Bruch umdrehen.

Wir erinnern daran, dass jeder Abschluss gemäß der folgenden Regel aus der Basis genommen werden kann:

Mit anderen Worten, der Koeffizient k, der der Grad der Basis ist, wird als umgekehrter Bruch herausgenommen. Nehmen wir es als umgekehrten Bruch heraus:

Der Bruchfaktor kann nicht vorangestellt werden, da wir in diesem Fall diesen Eintrag nicht als kanonische Form darstellen können (schließlich gibt es in der kanonischen Form keinen zusätzlichen Faktor vor dem zweiten Logarithmus). Setzen wir also den Bruch 1/4 als Potenz in das Argument ein:

Jetzt setzen wir die Argumente gleich, deren Basen gleich sind (und wir haben wirklich die gleichen Basen) und schreiben:

x + 5 = 1

x = −4

Das ist alles. Wir haben die Antwort auf die erste logarithmische Gleichung. Achtung: In der ursprünglichen Aufgabe kommt die Variable x nur in einem Protokoll vor, und zwar in ihrem Argument. Daher ist es nicht nötig, den Definitionsbereich zu überprüfen, und unsere Zahl x = −4 ist tatsächlich die Antwort.

Kommen wir nun zum zweiten Ausdruck:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

Hier müssen wir zusätzlich zu den üblichen Logarithmen mit lg f (x) arbeiten. Wie löst man eine solche Gleichung? Es mag einem unvorbereiteten Schüler scheinen, dass dies eine Art Zinn ist, aber tatsächlich ist alles elementar gelöst.

Sehen Sie sich den Begriff lg 2 log 2 7 genau an. Was können wir dazu sagen? Die Grundlagen und Argumente von log und lg sind gleich, und dies sollte einige Hinweise geben. Erinnern wir uns noch einmal daran, wie die Grade unter dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:

log a b n = n log a b

Mit anderen Worten, die Potenz der Zahl b im Argument wird zu einem Faktor vor log selbst. Wenden wir diese Formel auf den Ausdruck lg 2 log 2 7 an. Keine Angst vor lg 2 – das ist der gebräuchlichste Ausdruck. Du kannst es so umschreiben:

Für ihn gelten alle Regeln, die für jeden anderen Logarithmus gelten. Insbesondere kann der Faktor in front in die Kraft des Arguments eingebracht werden. Lass uns schreiben:

Sehr oft sehen die Schüler diese Aktion nicht, weil es nicht gut ist, ein Protokoll unter dem Zeichen eines anderen einzugeben. Tatsächlich ist daran nichts Kriminelles. Außerdem erhalten wir eine Formel, die leicht zu berechnen ist, wenn Sie sich an eine wichtige Regel erinnern:

Diese Formel kann sowohl als Definition als auch als eine ihrer Eigenschaften betrachtet werden. Wenn Sie eine logarithmische Gleichung umformen, sollten Sie diese Formel auf jeden Fall genauso kennen wie die Darstellung einer beliebigen Zahl in Form von log.

Wir kehren zu unserer Aufgabe zurück. Wir schreiben es unter Berücksichtigung der Tatsache um, dass der erste Term rechts vom Gleichheitszeichen einfach gleich lg 7 ist. Wir haben:

lg 56 = lg 7 − 3 lg (x + 4)

Bewegen wir lg 7 nach links, erhalten wir:

lg 56 - lg 7 = -3 lg (x + 4)

Wir subtrahieren die Ausdrücke auf der linken Seite, weil sie dieselbe Basis haben:

lg (56/7) = -3 lg (x + 4)

Schauen wir uns nun die Gleichung, die wir haben, genauer an. Es ist praktisch die kanonische Form, aber rechts steht ein Faktor −3. Setzen wir es in das richtige lg-Argument:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Vor uns liegt die kanonische Form der logarithmischen Gleichung, also streichen wir die Zeichen von lg und setzen die Argumente gleich:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

Das ist alles! Wir haben die zweite logarithmische Gleichung gelöst. In diesem Fall sind keine zusätzlichen Prüfungen erforderlich, da x im ursprünglichen Problem nur in einem Argument vorhanden war.

Lassen Sie mich die wichtigsten Punkte dieser Lektion zusammenfassen.

Die Hauptformel, die in allen Lektionen auf dieser Seite zum Lösen logarithmischer Gleichungen studiert wird, ist die kanonische Form. Und lassen Sie sich nicht davon abschrecken, dass die meisten Schulbücher Ihnen beibringen, wie Sie diese Art von Problemen anders lösen können. Dieses Tool arbeitet sehr effizient und ermöglicht es Ihnen, eine viel breitere Klasse von Problemen zu lösen als die einfachsten, die wir zu Beginn unserer Lektion studiert haben.

Um logarithmische Gleichungen zu lösen, ist es außerdem hilfreich, die grundlegenden Eigenschaften zu kennen. Nämlich:

1. Die Formel für das Bewegen zu einer Basis und ein Sonderfall, wenn wir das Protokoll umdrehen (dies war für uns bei der ersten Aufgabe sehr nützlich);
2. Die Formel zum Einbringen und Herausnehmen von Potenzen unter dem Vorzeichen des Logarithmus. Hier bleiben viele Studenten stecken und sehen nicht sofort, dass die entnommene und eingebrachte Leistung selbst log f (x) enthalten kann. Daran ist nichts auszusetzen. Wir können ein Protokoll nach dem Vorzeichen eines anderen einführen und gleichzeitig die Lösung des Problems erheblich vereinfachen, was wir im zweiten Fall beobachten.

Abschließend möchte ich hinzufügen, dass es nicht erforderlich ist, in jedem dieser Fälle den Gültigkeitsbereich zu überprüfen, da die Variable x überall nur in einem Vorzeichen von log und gleichzeitig in ihrem Argument vorhanden ist. Dadurch werden alle Domain-Anforderungen automatisch erfüllt.

Probleme mit variabler Basis

Heute werden wir logarithmische Gleichungen betrachten, die vielen Schülern nicht standardmäßig, wenn nicht gar unlösbar erscheinen. Wir sprechen von Ausdrücken, die nicht auf Zahlen basieren, sondern auf Variablen und sogar Funktionen. Wir werden solche Konstruktionen mit unserer Standardtechnik lösen, nämlich durch die kanonische Form.

Erinnern wir uns zunächst daran, wie die einfachsten Probleme gelöst werden, die auf gewöhnlichen Zahlen basieren. So heißt die einfachste Konstruktion

loga f(x) = b

Um solche Probleme zu lösen, können wir die folgende Formel verwenden:

b = log a a b

Wir schreiben unseren ursprünglichen Ausdruck um und erhalten:

log a f(x) = log a a b

Dann setzen wir die Argumente gleich, d.h. wir schreiben:

f(x) = ein b

Somit werden wir das Protokollzeichen los und lösen das übliche Problem. In diesem Fall sind die in der Lösung erhaltenen Wurzeln die Wurzeln der ursprünglichen logarithmischen Gleichung. Außerdem wird die Aufzeichnung, wenn sowohl links als auch rechts auf demselben Logarithmus mit derselben Basis stehen, als kanonische Form bezeichnet. Auf diese Aufzeichnung werden wir versuchen, die heutigen Konstruktionen zu reduzieren. So lass uns gehen.

Erste Aufgabe:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Ersetze 1 durch log x − 2 (x − 2) 1 . Der Grad, den wir in dem Argument beobachten, ist tatsächlich die Zahl b , die rechts vom Gleichheitszeichen stand. Schreiben wir also unseren Ausdruck um. Wir bekommen:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Was sehen wir? Vor uns liegt die kanonische Form der logarithmischen Gleichung, sodass wir die Argumente sicher gleichsetzen können. Wir bekommen:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Aber die Lösung endet hier nicht, weil diese Gleichung nicht der ursprünglichen entspricht. Schließlich besteht die resultierende Konstruktion aus Funktionen, die auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert sind, und unsere ursprünglichen Logarithmen sind nicht überall und nicht immer definiert.

Daher müssen wir den Definitionsbereich separat aufschreiben. Seien wir nicht klüger und schreiben zuerst alle Anforderungen auf:

Erstens muss das Argument jedes Logarithmus größer als 0 sein:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Zweitens muss die Basis nicht nur größer als 0, sondern auch ungleich 1 sein:

x − 2 ≠ 1

Als Ergebnis erhalten wir das System:

Aber keine Sorge: Bei der Verarbeitung von logarithmischen Gleichungen kann ein solches System stark vereinfacht werden.

Urteilen Sie selbst: Einerseits wird von uns verlangt, dass die quadratische Funktion größer als Null ist, und andererseits wird diese quadratische Funktion einem bestimmten linearen Ausdruck gleichgesetzt, der ebenfalls erforderlich ist, dass sie größer als Null ist.

Wenn wir in diesem Fall fordern, dass x − 2 > 0, dann ist die Bedingung 2x 2 − 13x + 18 > 0 automatisch erfüllt, sodass wir die Ungleichung, die eine quadratische Funktion enthält, getrost streichen können. Somit wird die Anzahl der in unserem System enthaltenen Ausdrücke auf drei reduziert.

Natürlich könnten wir genauso gut die lineare Ungleichung streichen, also x - 2 > 0 streichen und fordern, dass 2x 2 - 13x + 18 > 0 ist. Aber Sie müssen zugeben, dass das Lösen der einfachsten linearen Ungleichung viel schneller und einfacher ist, als quadratisch, selbst wenn wir als Ergebnis der Lösung dieses gesamten Systems dieselben Nullstellen erhalten.

Versuchen Sie im Allgemeinen, Berechnungen nach Möglichkeit zu optimieren. Und bei logarithmischen Gleichungen streichen Sie die schwierigsten Ungleichungen durch.

Schreiben wir unser System um:

Hier ist ein solches System von drei Ausdrücken, von denen wir tatsächlich zwei bereits herausgefunden haben. Lassen Sie uns die quadratische Gleichung separat aufschreiben und lösen:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Vor uns liegt ein reduziertes quadratisches Trinom und daher können wir die Vieta-Formeln verwenden. Wir bekommen:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Nun, zurück zu unserem System, stellen wir fest, dass x = 2 nicht zu uns passt, da x unbedingt größer als 2 sein muss.

Aber x \u003d 5 passt ganz gut zu uns: Die Zahl 5 ist größer als 2 und gleichzeitig ist 5 nicht gleich 3. Daher ist x \u003d 5 die einzige Lösung für dieses System.

Alles, die Aufgabe ist gelöst, einschließlich der Berücksichtigung der ODZ. Kommen wir zur zweiten Gleichung. Hier warten wir auf weitere interessante und aussagekräftige Berechnungen:

Der erste Schritt: Wie auch beim letzten Mal bringen wir all diese Geschäfte in eine kanonische Form. Dazu können wir die Zahl 9 wie folgt schreiben:

Die Basis mit der Wurzel kann nicht berührt werden, aber es ist besser, das Argument umzuwandeln. Gehen wir von der Wurzel zur Potenz mit einem rationalen Exponenten. Lass uns schreiben:

Lassen Sie mich nicht unsere ganze große logarithmische Gleichung umschreiben, sondern gleich die Argumente gleichsetzen:

x 3 + 10 x 2 + 31 x + 30 = x 3 + 9 x 2 + 27 x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Vor uns liegt das wieder reduzierte quadratische Trinom, wir verwenden die Vieta-Formeln und schreiben:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Also haben wir die Wurzeln bekommen, aber niemand hat uns garantiert, dass sie auf die ursprüngliche logarithmische Gleichung passen würden. Immerhin bringen Logzeichen zusätzliche Einschränkungen mit sich (hier müssten wir das System aufschreiben, aber aufgrund der Umständlichkeit der ganzen Konstruktion habe ich mich entschieden, den Definitionsbereich separat zu berechnen).

Denken Sie zunächst daran, dass die Argumente größer als 0 sein müssen, nämlich:

Dies sind die Anforderungen, die der Definitionsbereich auferlegt.

Wir bemerken sofort, dass wir, da wir die ersten beiden Ausdrücke des Systems miteinander gleichsetzen, jeden von ihnen streichen können. Lassen Sie uns das erste durchstreichen, weil es bedrohlicher aussieht als das zweite.

Beachten Sie außerdem, dass die Lösungen der zweiten und dritten Ungleichung dieselben Mengen sind (der Würfel einer Zahl ist größer als Null, wenn diese Zahl selbst größer als Null ist; ähnlich wie bei der Wurzel dritten Grades - diese Ungleichungen sind völlig ähnlich, also können wir eine davon streichen).

Aber mit der dritten Ungleichung wird das nicht funktionieren. Lassen Sie uns das Zeichen des Radikals auf der linken Seite los, für das wir beide Teile zu einem Würfel erheben. Wir bekommen:

Wir erhalten also folgende Anforderungen:

−2 ≠ x > −3

Welche unserer Wurzeln: x 1 = -3 oder x 2 = -1 erfüllt diese Anforderungen? Offensichtlich nur x = −1, weil x = −3 die erste Ungleichung nicht erfüllt (weil unsere Ungleichung streng ist). Insgesamt erhalten wir, zurück zu unserem Problem, eine Wurzel: x = −1. Das ist es, Problem gelöst.

Noch einmal die Kernpunkte dieser Aufgabe:

1. Fühlen Sie sich frei, logarithmische Gleichungen in kanonischer Form anzuwenden und zu lösen. Studenten, die eine solche Aufzeichnung machen und nicht direkt von der ursprünglichen Aufgabe zu einer Konstruktion wie log a f ( x ) = b gehen, machen viel weniger Fehler als diejenigen, die irgendwo in Eile sind und Zwischenschritte bei Berechnungen überspringen;
2. Sobald im Logarithmus eine variable Basis auftritt, ist das Problem nicht mehr das einfachste. Daher muss bei der Lösung der Definitionsbereich berücksichtigt werden: Die Argumente müssen größer als Null sein, und die Basen dürfen nicht nur größer als 0, sondern auch nicht gleich 1 sein.

Sie können die letzten Anforderungen an die endgültigen Antworten auf verschiedene Arten stellen. Beispielsweise ist es möglich, ein ganzes System zu lösen, das alle Domänenanforderungen enthält. Andererseits können Sie zuerst das Problem selbst lösen und sich dann an den Definitionsbereich erinnern, es in Form eines Systems separat ausarbeiten und auf die erhaltenen Wurzeln anwenden.

Welchen Weg Sie beim Lösen einer bestimmten logarithmischen Gleichung wählen, liegt ganz bei Ihnen. In jedem Fall wird die Antwort dieselbe sein.

Die letzten Videos einer langen Reihe von Lektionen zum Lösen logarithmischer Gleichungen. Diesmal werden wir hauptsächlich mit der ODZ des Logarithmus arbeiten - es liegt an der falschen Berücksichtigung (oder gar Nichtbeachtung) des Definitionsbereichs, dass die meisten Fehler bei der Lösung solcher Probleme auftreten.

In diesem kurzen Video-Tutorial analysieren wir die Anwendung der Additions- und Subtraktionsformeln für Logarithmen, sowie beschäftigen uns mit gebrochenen rationalen Gleichungen, mit denen viele Schüler ebenfalls Probleme haben.

Was wird besprochen? Die Hauptformel, mit der ich mich befassen möchte, sieht folgendermaßen aus:

log a (f g ) = log a f + log a g

Dies ist der Standardübergang vom Produkt zur Summe der Logarithmen und umgekehrt. Sie kennen diese Formel wahrscheinlich aus den Anfängen des Studiums der Logarithmen. Allerdings gibt es hier einen Haken.

Solange die Variablen a , f und g gewöhnliche Zahlen sind, gibt es keine Probleme. Diese Formel funktioniert super.

Sobald jedoch Funktionen anstelle von f und g auftreten, stellt sich das Problem, den Definitionsbereich zu erweitern oder einzuengen, je nachdem, wie umgerechnet wird. Überzeugen Sie sich selbst: Im links geschriebenen Logarithmus ist der Definitionsbereich wie folgt:

f > 0

Aber in der rechts geschriebenen Summe ist der Definitionsbereich schon etwas anders:

f > 0

g > 0

Diese Reihe von Anforderungen ist strenger als die ursprüngliche. Im ersten Fall werden wir uns mit der Option f begnügen< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 wird ausgeführt).

Beim Übergang von der linken zur rechten Konstruktion wird also der Definitionsbereich enger. Wenn wir zuerst eine Summe hatten und sie als Produkt umschreiben, dann wird der Definitionsbereich erweitert.

Mit anderen Worten, im ersten Fall könnten wir Wurzeln verlieren, und im zweiten könnten wir zusätzliche bekommen. Dies muss beim Lösen reeller logarithmischer Gleichungen berücksichtigt werden.

Die erste Aufgabe lautet also:

[Bilderüberschrift]

Links sehen wir die Summe der Logarithmen in derselben Basis. Daher können diese Logarithmen addiert werden:

[Bilderüberschrift]

Wie Sie sehen können, haben wir rechts die Null durch die Formel ersetzt:

a = log b b a

Stellen wir unsere Gleichung noch ein wenig um:

log 4 (x − 5) 2 = log 4 1

Vor uns liegt die kanonische Form der logarithmischen Gleichung, wir können das Logzeichen streichen und die Argumente gleichsetzen:

(x − 5) 2 = 1

|x−5| = 1

Achtung: Woher kommt das Modul? Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Wurzel des exakten Quadrats genau gleich dem Modul ist:

[Bilderüberschrift]

Dann lösen wir die klassische Gleichung mit dem Modul:

|f| = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒ x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Hier sind zwei Kandidaten für die Antwort. Sind sie Lösungen der ursprünglichen logarithmischen Gleichung? Auf keinen Fall!

Wir haben kein Recht, alles einfach so stehen zu lassen und die Antwort aufzuschreiben. Schauen Sie sich den Schritt an, in dem wir die Summe der Logarithmen durch einen Logarithmus des Produkts der Argumente ersetzen. Das Problem ist, dass wir in den ursprünglichen Ausdrücken Funktionen haben. Daher sollte gefordert werden:

x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.

Als wir das Produkt transformierten und ein exaktes Quadrat erhielten, änderten sich die Anforderungen:

(x − 5) 2 > 0

Wann ist diese Anforderung erfüllt? Ja, fast immer! Außer für den Fall, dass x − 5 = 0 ist. Das heißt, die Ungleichung wird auf einen Punkt reduziert:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

Wie Sie sehen können, hat es eine Erweiterung des Definitionsbereichs gegeben, über die wir ganz am Anfang der Lektion gesprochen haben. Daher können auch zusätzliche Wurzeln auftreten.

Wie kann man das Auftreten dieser zusätzlichen Wurzeln verhindern? Es ist ganz einfach: Wir schauen uns unsere erhaltenen Wurzeln an und vergleichen sie mit dem Definitionsbereich der ursprünglichen Gleichung. Lass uns zählen:

x (x − 5) > 0

Wir lösen mit der Intervallmethode:

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

Wir markieren die empfangenen Nummern auf einer geraden Linie. Alle Punkte sind punktiert, weil die Ungleichung streng ist. Wir nehmen jede Zahl größer als 5 und ersetzen:

[Bilderüberschrift]

Uns interessieren die Intervalle (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Wenn wir unsere Wurzeln auf dem Segment markieren, sehen wir, dass x = 4 nicht zu uns passt, weil diese Wurzel außerhalb des Definitionsbereichs der ursprünglichen logarithmischen Gleichung liegt.

Wir kehren zur Bevölkerung zurück, streichen die Wurzel x \u003d 4 und schreiben die Antwort auf: x \u003d 6. Dies ist die endgültige Antwort auf die ursprüngliche logarithmische Gleichung. Alles, die Aufgabe ist gelöst.

Wir gehen zur zweiten logarithmischen Gleichung über:

[Bilderüberschrift]

Wir lösen es. Beachten Sie, dass der erste Term ein Bruch ist und der zweite derselbe Bruch, aber invertiert. Lassen Sie sich vom lgx-Ausdruck nicht einschüchtern – es ist nur ein Logarithmus zur Basis 10, wir können schreiben:

lgx = log 10 x

Da wir zwei umgekehrte Brüche haben, schlage ich vor, eine neue Variable einzuführen:

[Bilderüberschrift]

Daher kann unsere Gleichung wie folgt umgeschrieben werden:

t + 1/t = 2;

t + 1/t − 2 = 0;

(t2 − 2t + 1)/t = 0;

(t − 1) 2 /t = 0.

Wie du siehst, ist der Zähler des Bruchs ein exaktes Quadrat. Ein Bruch ist Null, wenn sein Zähler Null und sein Nenner nicht Null ist:

(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0

Wir lösen die erste Gleichung:

t − 1 = 0;

t = 1.

Dieser Wert erfüllt die zweite Anforderung. Daher kann argumentiert werden, dass wir unsere Gleichung vollständig gelöst haben, aber nur in Bezug auf die Variable t . Erinnern wir uns jetzt, was t ist:

[Bilderüberschrift]

Wir haben das Verhältnis:

lgx = 2 lgx + 1

2 lgx − lgx = −1

logx = −1

Wir bringen diese Gleichung auf die kanonische Form:

lgx = lg 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

Als Ergebnis haben wir die einzige Wurzel, die theoretisch die Lösung der ursprünglichen Gleichung ist. Gehen wir jedoch trotzdem auf Nummer sicher und schreiben den Definitionsbereich der ursprünglichen Gleichung aus:

[Bilderüberschrift]

Daher erfüllt unsere Wurzel alle Anforderungen. Wir haben eine Lösung für die ursprüngliche logarithmische Gleichung gefunden. Antwort: x = 0,1. Problem gelöst.

In der heutigen Lektion gibt es nur einen wichtigen Punkt: Beachten Sie bei der Verwendung der Formel für den Übergang von Produkt zu Summe und umgekehrt, dass sich der Definitionsbereich verengen oder erweitern kann, je nachdem, in welche Richtung der Übergang erfolgt.

Wie kann man verstehen, was passiert: Kontraktion oder Expansion? Sehr einfach. Wenn die Funktionen früher zusammen waren und jetzt getrennt wurden, dann hat sich der Definitionsbereich eingeengt (weil es mehr Anforderungen gibt). Waren die Funktionen zunächst getrennt und sind sie jetzt zusammen, dann erweitert sich der Definitionsbereich (es werden weniger Anforderungen an das Produkt als an einzelne Faktoren gestellt).

Angesichts dieser Bemerkung möchte ich anmerken, dass die zweite logarithmische Gleichung diese Transformationen überhaupt nicht benötigt, d.h. wir addieren oder multiplizieren die Argumente nirgendwo. An dieser Stelle möchte ich Sie jedoch auf einen weiteren wunderbaren Trick aufmerksam machen, mit dem Sie die Lösung erheblich vereinfachen können. Es geht darum, eine Variable zu ändern.

Denken Sie jedoch daran, dass keine Ersetzung uns nicht vom Geltungsbereich befreit. Deshalb waren wir, nachdem alle Wurzeln gefunden waren, nicht zu faul und kehrten zur ursprünglichen Gleichung zurück, um ihre ODZ zu finden.

Beim Ändern einer Variablen passiert oft ein ärgerlicher Fehler, wenn die Schüler den Wert von t finden und denken, dass die Lösung zu Ende ist. Auf keinen Fall!

Wenn Sie den Wert von t gefunden haben, müssen Sie zur ursprünglichen Gleichung zurückkehren und sehen, was genau wir mit diesem Buchstaben bezeichnet haben. Als Ergebnis müssen wir eine weitere Gleichung lösen, die jedoch viel einfacher sein wird als die ursprüngliche.

Genau an dieser Stelle wird eine neue Variable eingeführt. Wir teilen die ursprüngliche Gleichung in zwei Zwischengleichungen auf, von denen jede viel einfacher zu lösen ist.

Wie man "verschachtelte" logarithmische Gleichungen löst

Heute studieren wir weiterhin logarithmische Gleichungen und analysieren Konstruktionen, wenn ein Logarithmus unter dem Vorzeichen eines anderen Logarithmus steht. Wir werden beide Gleichungen mit der kanonischen Form lösen.

Heute studieren wir weiterhin logarithmische Gleichungen und analysieren Konstruktionen, wenn ein Logarithmus unter dem Vorzeichen eines anderen steht. Wir werden beide Gleichungen mit der kanonischen Form lösen. Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir, wenn wir die einfachste logarithmische Gleichung der Form log a f (x) \u003d b haben, die folgenden Schritte ausführen, um eine solche Gleichung zu lösen. Zuerst müssen wir die Zahl b ersetzen:

b = log a a b

Beachten Sie, dass a b ein Argument ist. In ähnlicher Weise ist das Argument in der ursprünglichen Gleichung die Funktion f(x). Dann schreiben wir die Gleichung um und erhalten diese Konstruktion:

log a f(x) = log a a b

Danach können wir den dritten Schritt ausführen - das Vorzeichen des Logarithmus loswerden und einfach schreiben:

f(x) = ein b

Als Ergebnis erhalten wir eine neue Gleichung. In diesem Fall werden der Funktion f(x) keine Beschränkungen auferlegt. An ihrer Stelle kann beispielsweise auch eine logarithmische Funktion stehen. Und dann erhalten wir wieder eine logarithmische Gleichung, die wir wieder auf das Einfachste reduzieren und durch die kanonische Form lösen.

Aber genug der Texte. Lassen Sie uns das eigentliche Problem lösen. Also Aufgabe Nummer 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2

Wie Sie sehen können, haben wir eine einfache logarithmische Gleichung. Die Rolle von f (x) ist die Konstruktion 1 + 3 log 2 x, und die Zahl b ist die Zahl 2 (die Rolle von a ist auch zwei). Schreiben wir diese beiden wie folgt um:

Es ist wichtig zu verstehen, dass die ersten beiden Zweien von der Basis des Logarithmus zu uns kamen, das heißt, wenn die ursprüngliche Gleichung 5 enthielte, würden wir 2 = log 5 5 2 erhalten. Im Allgemeinen hängt die Basis nur vom Logarithmus ab, der anfänglich in der Aufgabe angegeben ist. Und in unserem Fall ist diese Zahl 2.

Also schreiben wir unsere logarithmische Gleichung um und berücksichtigen dabei, dass die Zwei rechts auch ein Logarithmus ist. Wir bekommen:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

Wir gehen zum letzten Schritt unseres Schemas über - wir entfernen die kanonische Form. Wir können sagen, streichen Sie einfach die Zeichen des Protokolls. Aus mathematischer Sicht ist es jedoch unmöglich, "log zu streichen" - richtiger ist zu sagen, dass wir die Argumente einfach gleichsetzen:

1 + 3 Log 2 x = 4

Von hier aus ist es einfach, 3 log 2 x zu finden:

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Wir haben wieder die einfachste logarithmische Gleichung, bringen wir sie zurück auf die kanonische Form. Dazu müssen wir folgende Änderungen vornehmen:

1 = Protokoll 2 2 1 = Protokoll 2 2

Warum gibt es eine Zwei an der Basis? Denn in unserer kanonischen Gleichung links steht der Logarithmus genau zur Basis 2. Wir schreiben die Aufgabe unter Berücksichtigung dieser Tatsache um:

log 2 x = log 2 2

Auch hier verzichten wir wieder auf das Vorzeichen des Logarithmus, d.h. wir setzen die Argumente einfach gleich. Wir haben das Recht dazu, weil die Grundlagen die gleichen sind und weder rechts noch links weitere zusätzliche Aktionen durchgeführt wurden:

Das ist alles! Problem gelöst. Wir haben eine Lösung für die logarithmische Gleichung gefunden.

Beachten Sie! Obwohl die Variable x im Argument enthalten ist (d. h. es gibt Anforderungen für den Definitionsbereich), werden wir keine zusätzlichen Anforderungen stellen.

Wie ich oben sagte, ist diese Prüfung überflüssig, wenn die Variable nur in einem Argument von nur einem Logarithmus vorkommt. In unserem Fall steht x wirklich nur im Argument und nur unter einem Logzeichen. Daher sind keine zusätzlichen Prüfungen erforderlich.

Wenn Sie dieser Methode jedoch nicht vertrauen, können Sie leicht überprüfen, ob x = 2 tatsächlich eine Wurzel ist. Es reicht aus, diese Zahl in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen.

Kommen wir zur zweiten Gleichung, sie ist etwas interessanter:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

Wenn wir den Ausdruck innerhalb des großen Logarithmus mit der Funktion f (x) bezeichnen, erhalten wir die einfachste logarithmische Gleichung, mit der wir die heutige Videolektion begonnen haben. Daher ist es möglich, die kanonische Form anzuwenden, für die es notwendig ist, die Einheit in der Form log 2 2 1 = log 2 2 darzustellen.

Umschreiben unserer großen Gleichung:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Wir werden das Vorzeichen des Logarithmus los, indem wir die Argumente gleichsetzen. Wir haben das Recht dazu, weil die Basen links und rechts gleich sind. Beachten Sie auch, dass log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

Vor uns liegt wieder die einfachste logarithmische Gleichung der Form log a f (x) \u003d b. Wir gehen zur kanonischen Form über, d.h. wir stellen die Null in der Form log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1 dar.

Wir schreiben unsere Gleichung um und beseitigen das Log-Zeichen, indem wir die Argumente gleichsetzen:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

Auch hier erhielten wir umgehend eine Antwort. Es sind keine weiteren Überprüfungen erforderlich, da in der ursprünglichen Gleichung nur ein Logarithmus die Funktion im Argument enthält.

Daher sind keine zusätzlichen Prüfungen erforderlich. Wir können mit Sicherheit sagen, dass x = 1 die einzige Wurzel dieser Gleichung ist.

Aber wenn es im zweiten Logarithmus anstelle von vier eine Funktion von x geben würde (oder 2x nicht im Argument, sondern in der Basis wäre), dann müsste der Definitionsbereich überprüft werden. Andernfalls besteht eine große Chance, auf zusätzliche Wurzeln zu stoßen.

Woher kommen diese zusätzlichen Wurzeln? Dieser Punkt muss sehr klar verstanden werden. Schau dir die Originalgleichungen an: überall steht die Funktion x unter dem Vorzeichen des Logarithmus. Da wir also log 2 x geschrieben haben, setzen wir automatisch die Anforderung x > 0. Sonst macht dieser Satz einfach keinen Sinn.

Wenn wir jedoch die logarithmische Gleichung lösen, werden wir alle Logzeichen los und erhalten einfache Konstruktionen. Hier sind bereits keine Einschränkungen gesetzt, da die lineare Funktion für beliebige Werte von x definiert ist.

Dieses Problem, wenn die Endfunktion überall und immer definiert ist und die Anfangsfunktion keineswegs überall und nicht immer, ist der Grund, warum bei der Lösung von logarithmischen Gleichungen sehr oft zusätzliche Wurzeln auftreten.

Aber ich wiederhole noch einmal: Dies geschieht nur in einer Situation, in der die Funktion entweder in mehreren Logarithmen oder an der Basis eines von ihnen steht. Bei den Problemen, die wir heute betrachten, gibt es im Prinzip keine Probleme, den Definitionsbereich zu erweitern.

Fälle aus verschiedenen Gründen

Diese Lektion ist komplexeren Strukturen gewidmet. Die Logarithmen in heutigen Gleichungen werden nicht mehr "leer" gelöst - zuerst müssen Sie einige Transformationen durchführen.

Wir beginnen, logarithmische Gleichungen mit völlig unterschiedlichen Basen zu lösen, die keine exakten Potenzen voneinander sind. Haben Sie keine Angst vor solchen Aufgaben - sie sind nicht schwieriger zu lösen als die einfachsten Designs, die wir oben analysiert haben.

Aber bevor ich direkt zu den Problemen übergehe, möchte ich Sie an die Formel zur Lösung der einfachsten logarithmischen Gleichungen mit der kanonischen Form erinnern. Stellen Sie sich ein Problem wie dieses vor:

loga f(x) = b

Es ist wichtig, dass die Funktion f (x) nur eine Funktion ist und die Zahlen a und b genau die Zahlen (ohne Variablen x) sein sollten. Natürlich werden wir buchstäblich in einer Minute auch solche Fälle betrachten, in denen es anstelle der Variablen a und b Funktionen gibt, aber darum geht es jetzt nicht.

Wie wir uns erinnern, muss die Zahl b durch einen Logarithmus mit der gleichen Basis a ersetzt werden, die auf der linken Seite steht. Das geht ganz einfach:

b = log a a b

Natürlich bedeuten die Wörter "jede Zahl b" und "jede Zahl a" solche Werte, die den Definitionsbereich erfüllen. Insbesondere befasst sich diese Gleichung nur mit der Basis a > 0 und a ≠ 1.

Diese Voraussetzung ist jedoch automatisch erfüllt, da die ursprüngliche Aufgabe bereits einen Logarithmus zur Basis a enthält – dieser wird sicherlich größer als 0 und ungleich 1 sein. Deshalb setzen wir die Lösung der logarithmischen Gleichung fort:

log a f(x) = log a a b

Eine solche Notation wird als kanonische Form bezeichnet. Seine Bequemlichkeit besteht darin, dass wir das Protokollzeichen sofort loswerden können, indem wir die Argumente gleichsetzen:

f(x) = ein b

Es ist diese Technik, die wir jetzt verwenden werden, um logarithmische Gleichungen mit einer variablen Basis zu lösen. So lass uns gehen!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Was weiter? Jemand wird jetzt sagen, dass Sie den richtigen Logarithmus berechnen oder auf eine Basis reduzieren müssen oder etwas anderes. Und tatsächlich müssen Sie jetzt beide Basen auf die gleiche Form bringen - entweder 2 oder 0,5. Aber lasst uns die folgende Regel ein für alle Mal lernen:

Wenn die logarithmische Gleichung Dezimalbrüche enthält, stelle sicher, dass du diese Brüche von der Dezimalschreibweise in die gewöhnliche Schreibweise umwandelst. Eine solche Transformation kann die Lösung erheblich vereinfachen.

Ein solcher Übergang muss sofort durchgeführt werden, noch bevor irgendwelche Aktionen und Transformationen durchgeführt werden. Schauen wir mal:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1/2 1/8

Was gibt uns eine solche Aufzeichnung? Wir können 1/2 und 1/8 als negative Exponenten darstellen:

[Bilderüberschrift]

Wir haben die kanonische Form. Gleichen Sie die Argumente und erhalten Sie die klassische quadratische Gleichung:

x 2 + 4 x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Vor uns liegt die gegebene quadratische Gleichung, die mit den Vieta-Formeln leicht zu lösen ist. Sie sollten ähnliche Berechnungen in der High School buchstäblich mündlich sehen:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Das ist alles! Die ursprüngliche logarithmische Gleichung wird gelöst. Wir haben zwei Wurzeln.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass es in diesem Fall nicht erforderlich ist, den Gültigkeitsbereich zu definieren, da die Funktion mit der Variablen x nur in einem Argument vorhanden ist. Daher wird der Umfang automatisch durchgeführt.

Damit ist die erste Gleichung gelöst. Kommen wir zum zweiten:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

Und nun beachte, dass das Argument des ersten Logarithmus auch als Potenz mit negativem Exponenten geschrieben werden kann: 1/2 = 2 −1. Dann kannst du die Potenzen auf beiden Seiten der Gleichung herausnehmen und alles durch −1 teilen:

[Bilderüberschrift]

Und jetzt haben wir einen sehr wichtigen Schritt bei der Lösung der logarithmischen Gleichung abgeschlossen. Vielleicht hat jemand etwas nicht bemerkt, also lassen Sie es mich erklären.

Schauen Sie sich unsere Gleichung an: Log steht links und rechts, aber der Logarithmus zur Basis 2 steht links und der Logarithmus zur Basis 3 rechts.

Es handelt sich also um Logarithmen mit unterschiedlichen Basen, die nicht durch einfaches Potenzieren aufeinander reduziert werden. Die einzige Möglichkeit, solche Probleme zu lösen, besteht darin, einen dieser Logarithmen loszuwerden. Da wir in diesem Fall immer noch ziemlich einfache Probleme betrachten, wurde der Logarithmus auf der rechten Seite einfach berechnet, und wir haben die einfachste Gleichung erhalten - genau die, über die wir ganz am Anfang der heutigen Lektion gesprochen haben.

Stellen wir die Zahl 2 auf der rechten Seite als log 2 2 2 = log 2 4 dar. Und dann entfernen wir das Vorzeichen des Logarithmus, wonach uns nur noch eine quadratische Gleichung bleibt:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x2 + 9x + 2 = 4

5x2 + 9x − 2 = 0

Vor uns liegt die übliche quadratische Gleichung, die jedoch nicht reduziert wird, da der Koeffizient bei x 2 von Eins verschieden ist. Daher lösen wir es mit der Diskriminante:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 \u003d (–9 - 11) / 10 \u003d -2

Das ist alles! Wir haben beide Wurzeln gefunden, was bedeutet, dass wir die Lösung der ursprünglichen logarithmischen Gleichung erhalten haben. Tatsächlich ist im ursprünglichen Problem die Funktion mit der Variablen x nur in einem Argument vorhanden. Daher sind keine zusätzlichen Überprüfungen des Definitionsbereichs erforderlich - beide Wurzeln, die wir gefunden haben, erfüllen sicherlich alle möglichen Einschränkungen.

Dies könnte das Ende des heutigen Video-Tutorials sein, aber zum Schluss möchte ich noch einmal sagen: Stellen Sie sicher, dass Sie alle Dezimalbrüche in gewöhnliche umwandeln, wenn Sie logarithmische Gleichungen lösen. In den meisten Fällen vereinfacht dies ihre Lösung erheblich.

Selten, sehr selten gibt es Probleme, bei denen das Weglassen von Dezimalbrüchen die Berechnungen nur erschwert. Bei solchen Gleichungen ist jedoch in der Regel zunächst klar, dass es nicht notwendig ist, Dezimalbrüche loszuwerden.

In den meisten anderen Fällen (besonders wenn Sie gerade erst anfangen, logarithmische Gleichungen zu lösen), können Sie die Dezimalbrüche loswerden und sie in gewöhnliche Brüche übersetzen. Denn die Praxis zeigt, dass Sie auf diese Weise die spätere Lösung und Berechnung erheblich vereinfachen.

Feinheiten und Tricks der Lösung

Heute wenden wir uns komplexeren Problemen zu und lösen eine logarithmische Gleichung, die nicht auf einer Zahl, sondern auf einer Funktion basiert.

Und selbst wenn diese Funktion linear ist, müssen kleine Änderungen am Lösungsschema vorgenommen werden, deren Bedeutung auf zusätzliche Anforderungen an den Definitionsbereich des Logarithmus hinausläuft.

Schwierige Aufgaben

Diese Lektion wird ziemlich lang sein. Darin werden wir zwei ziemlich ernste logarithmische Gleichungen analysieren, bei deren Lösung viele Schüler Fehler machen. Während meiner Tätigkeit als Nachhilfelehrer in Mathematik bin ich ständig auf zwei Arten von Fehlern gestoßen:

1. Das Auftreten zusätzlicher Wurzeln aufgrund der Erweiterung des Definitionsbereichs von Logarithmen. Um solche offensiven Fehler zu vermeiden, behalten Sie einfach jede Transformation genau im Auge.
2. Verlust der Wurzeln aufgrund der Tatsache, dass der Student vergessen hat, einige "subtile" Fälle zu berücksichtigen - auf solche Situationen werden wir uns heute konzentrieren.

Dies ist die letzte Lektion über logarithmische Gleichungen. Es wird lange dauern, wir werden komplexe logarithmische Gleichungen analysieren. Machen Sie es sich bequem, machen Sie sich einen Tee und wir fangen an.

Die erste Gleichung sieht ganz normal aus:

log x + 1 (x - 0,5) = log x - 0,5 (x + 1)

Wir stellen sofort fest, dass beide Logarithmen invertierte Kopien voneinander sind. Erinnern wir uns an die wunderbare Formel:

log a b = 1/log b a

Allerdings hat diese Formel eine Reihe von Einschränkungen, die entstehen, wenn anstelle der Zahlen a und b Funktionen der Variablen x stehen:

b > 0

1 ≠ a > 0

Diese Anforderungen werden auf der Basis des Logarithmus auferlegt. Andererseits müssen wir in einem Bruch 1 ≠ a > 0 haben, da nicht nur die Variable a im Argument des Logarithmus ist (also a > 0), sondern der Logarithmus selbst im Nenner von steht der Bruchteil. Aber log b 1 = 0, und der Nenner muss ungleich Null sein, also a ≠ 1.

Die Einschränkungen für die Variable a bleiben also erhalten. Aber was passiert mit der Variablen b? Zum einen folgt aus der Basis b > 0, zum anderen folgt die Variable b ≠ 1, weil die Basis des Logarithmus von 1 verschieden sein muss. Insgesamt folgt aus der rechten Seite der Formel, dass 1 ≠ b > 0.

Aber hier ist das Problem: Die zweite Bedingung (b ≠ 1) fehlt bei der ersten Ungleichung auf dem linken Logarithmus. Mit anderen Worten, wenn wir diese Transformation durchführen, müssen wir separat prüfen dass das Argument b von eins verschieden ist!

Hier, lass es uns überprüfen. Wenden wir unsere Formel an:

[Bilderüberschrift]

1 ≠ x – 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

Wir haben also festgestellt, dass bereits aus der ursprünglichen logarithmischen Gleichung folgt, dass sowohl a als auch b größer als 0 und ungleich 1 sein müssen. Wir können also die logarithmische Gleichung leicht umdrehen:

Ich schlage vor, eine neue Variable einzuführen:

log x + 1 (x − 0,5) = t

In diesem Fall wird unsere Konstruktion wie folgt umgeschrieben:

(t 2 − 1)/t = 0

Beachten Sie, dass wir im Zähler die Differenz von Quadraten haben. Wir zeigen die Differenz von Quadraten mit der abgekürzten Multiplikationsformel:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

Ein Bruch ist Null, wenn sein Zähler Null und sein Nenner nicht Null ist. Aber der Zähler enthält das Produkt, also setzen wir jeden Faktor mit Null gleich:

t1 = 1;

t2 = −1;

t ≠ 0.

Wie Sie sehen, passen beide Werte der Variablen t zu uns. Die Lösung endet jedoch nicht dort, weil wir nicht t finden müssen, sondern den Wert von x . Wir kehren zum Logarithmus zurück und erhalten:

log x + 1 (x − 0,5) = 1;

log x + 1 (x − 0,5) = −1.

Bringen wir jede dieser Gleichungen in kanonische Form:

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1

Im ersten Fall streichen wir das Vorzeichen des Logarithmus und setzen die Argumente gleich:

x − 0,5 = x + 1;

x - x \u003d 1 + 0,5;

Eine solche Gleichung hat keine Wurzeln, daher hat die erste logarithmische Gleichung auch keine Wurzeln. Aber bei der zweiten Gleichung ist alles viel interessanter:

(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Wir lösen den Anteil - wir bekommen:

(x − 0,5)(x + 1) = 1

Ich erinnere Sie daran, dass es beim Lösen von logarithmischen Gleichungen viel bequemer ist, alle gängigen Dezimalbrüche anzugeben, also schreiben wir unsere Gleichung wie folgt um:

(x − 1/2)(x + 1) = 1;

x2 + x – 1/2x – 1/2 – 1 = 0;

x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.

Vor uns liegt die gegebene quadratische Gleichung, sie lässt sich leicht mit den Vieta-Formeln lösen:

(x + 3/2) (x − 1) = 0;

x 1 \u003d -1,5;

x2 = 1.

Wir haben zwei Wurzeln - sie sind Kandidaten für die Lösung der ursprünglichen logarithmischen Gleichung. Um zu verstehen, welche Wurzeln wirklich in die Antwort einfließen, gehen wir zurück zum ursprünglichen Problem. Jetzt überprüfen wir jede unserer Wurzeln, um zu sehen, ob sie mit dem Bereich übereinstimmen:

1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.

Diese Anforderungen kommen einer doppelten Ungleichung gleich:

1 ≠ x > 0,5

Von hier aus sehen wir sofort, dass die Wurzel x = −1,5 nicht zu uns passt, aber x = 1 ist ganz zufrieden. Daher ist x = 1 die endgültige Lösung der logarithmischen Gleichung.

Kommen wir zur zweiten Aufgabe:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

Auf den ersten Blick scheint es, dass alle Logarithmen unterschiedliche Basen und unterschiedliche Argumente haben. Was tun mit solchen Strukturen? Beachten Sie zunächst, dass die Zahlen 25, 5 und 625 Potenzen von 5 sind:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Und jetzt werden wir die bemerkenswerte Eigenschaft des Logarithmus verwenden. Tatsache ist, dass man die Grade aus dem Argument in Form von Faktoren herausnehmen kann:

log a b n = n ∙ log a b

Einschränkungen sind dieser Transformation auch dann auferlegt, wenn anstelle von b eine Funktion steht. Aber bei uns ist b nur eine Zahl, und es ergeben sich keine zusätzlichen Einschränkungen. Schreiben wir unsere Gleichung um:

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

Wir haben eine Gleichung mit drei Termen, die das Log-Zeichen enthalten. Außerdem sind die Argumente aller drei Logarithmen gleich.

Es ist an der Zeit, die Logarithmen umzudrehen, um sie auf die gleiche Basis zu bringen – 5. Da die Variable b eine Konstante ist, gibt es keine Änderung im Gültigkeitsbereich. Wir schreiben einfach um:

[Bilderüberschrift]

Im Nenner sind erwartungsgemäß die gleichen Logarithmen „herausgekrochen“. Ich schlage vor, die Variable zu ändern:

log 5 x = t

In diesem Fall wird unsere Gleichung wie folgt umgeschrieben:

Schreiben wir den Zähler aus und öffnen die Klammern:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Wir kehren zu unserer Fraktion zurück. Der Zähler muss Null sein:

[Bilderüberschrift]

Und der Nenner ist von Null verschieden:

t ≠ 0; t ≠ –3; t ≠ −2

Die letzten Anforderungen werden automatisch erfüllt, da sie alle an ganze Zahlen "gebunden" sind und alle Antworten irrational sind.

Die fraktional-rationale Gleichung wird also gelöst, die Werte der Variablen t werden gefunden. Wir kehren zur Lösung der logarithmischen Gleichung zurück und erinnern uns, was t ist:

[Bilderüberschrift]

Bringen wir diese Gleichung auf die kanonische Form, erhalten wir eine Zahl mit irrationalem Grad. Lassen Sie sich davon nicht verwirren - auch solche Argumente können gleichgesetzt werden:

[Bilderüberschrift]

Wir haben zwei Wurzeln. Genauer gesagt, zwei Kandidaten für Antworten - prüfen wir sie auf Einhaltung des Definitionsbereichs. Da die Basis des Logarithmus die Variable x ist, benötigen wir Folgendes:

1 ≠ x > 0;

Mit gleichem Erfolg behaupten wir, dass x ≠ 1/125 ist, sonst wird die Basis des zweiten Logarithmus zu Eins. Schließlich ist x ≠ 1/25 für den dritten Logarithmus.

Insgesamt haben wir vier Einschränkungen:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

Nun stellt sich die Frage: Erfüllen unsere Wurzeln diese Anforderungen? Auf jeden Fall zufrieden! Weil 5 hoch beliebig größer als Null ist und die Bedingung x > 0 automatisch erfüllt ist.

Andererseits 1 \u003d 5 0, 1/25 \u003d 5 −2, 1/125 \u003d 5 −3, was bedeutet, dass diese Einschränkungen für unsere Wurzeln (die, ich möchte Sie daran erinnern, eine irrationale Zahl enthalten der Indikator) sind ebenfalls erfüllt, und beide Antworten sind Lösungen für das Problem.

Wir haben also die endgültige Antwort. Es gibt zwei wichtige Punkte in dieser Ausgabe:

1. Sei vorsichtig, wenn du den Logarithmus umkehrst, wenn Argument und Basis umgekehrt sind. Solche Transformationen erlegen dem Definitionsbereich unnötige Beschränkungen auf.
2. Scheuen Sie sich nicht, Logarithmen umzurechnen: Sie können sie nicht nur umdrehen, sondern auch mit der Summenformel öffnen und im Allgemeinen mit allen Formeln ändern, die Sie beim Lösen von logarithmischen Ausdrücken gelernt haben. Denken Sie jedoch immer daran, dass einige Transformationen den Anwendungsbereich erweitern und andere ihn einschränken.

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