Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form a*x^2 +b*x+c=0, wobei a,b,c einige beliebige reelle (reelle) Zahlen sind und x eine Variable ist. Und die Zahl a=0.

Die Zahlen a,b,c heißen Koeffizienten. Die Zahl a - wird als führender Koeffizient bezeichnet, die Zahl b als Koeffizient bei x und die Zahl c als freies Element.

Lösen quadratischer Gleichungen

Eine quadratische Gleichung zu lösen bedeutet, alle ihre Wurzeln zu finden oder die Tatsache festzustellen, dass die quadratische Gleichung keine Wurzeln hat. Die Wurzel der quadratischen Gleichung a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 ist ein beliebiger Wert der Variablen x, so dass das quadratische Trinom a * x ^ 2 + b * x + c verschwindet. Manchmal wird ein solcher Wert von x Wurzel eines quadratischen Trinoms genannt.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen. Betrachten Sie einen von ihnen - den vielseitigsten. Es kann verwendet werden, um jede quadratische Gleichung zu lösen.

Formeln zum Lösen quadratischer Gleichungen

Die Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung lautet a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), wobei D =b^2-4*a*c.

Diese Formel wird erhalten, indem die Gleichung a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 in allgemeiner Form gelöst wird, indem das Quadrat des Binoms hervorgehoben wird.

In der Formel der Wurzeln einer quadratischen Gleichung wird der Ausdruck D (b^2-4*a*c) als Diskriminante der quadratischen Gleichung a*x^2 +b*x+c=0 bezeichnet. Dieser Name stammt aus dem Lateinischen und wird mit „Unterscheider“ übersetzt. Abhängig vom Wert der Diskriminante hat die quadratische Gleichung zwei oder eine Wurzel oder gar keine Wurzel.

Wenn die Diskriminante größer als Null ist, dann hat die quadratische Gleichung zwei Wurzeln. (x=(-b±√D)/(2*a))

Wenn die Diskriminante Null ist, dann hat die quadratische Gleichung eine Wurzel. (x=(-b/(2*a))

Wenn die Diskriminante negativ ist, dann hat die quadratische Gleichung keine Wurzeln.

Allgemeiner Algorithmus zum Lösen einer quadratischen Gleichung

Basierend auf dem Vorhergehenden formulieren wir einen allgemeinen Algorithmus zum Lösen der quadratischen Gleichung a*x^2 +b*x+c=0 unter Verwendung der Formel:

1. Ermitteln Sie den Wert der Diskriminante mit der Formel D =b^2-4*a*c.

2. Berechnen Sie je nach Wert der Diskriminante die Wurzeln mit den Formeln:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Dieser Algorithmus ist universell und zum Lösen beliebiger quadratischer Gleichungen geeignet. Vollständig und unvollständig, zitiert und nicht zitiert.

Bibliographische Beschreibung: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen // Junger Wissenschaftler. - 2016. - Nr. 6.1. - S. 17-20..04.2019).



Unser Projekt widmet sich der Lösung quadratischer Gleichungen. Der Zweck des Projekts: zu lernen, wie man quadratische Gleichungen auf eine Weise löst, die nicht im Lehrplan der Schule enthalten ist. Aufgabe: Finde alle Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen und lerne, wie man sie selbst anwendet und führe Mitschüler in diese Methoden ein.

Was sind "quadratische Gleichungen"?

Quadratische Gleichung- Gleichung der Form Axt2 + bx + c = 0, wo a, b, c- einige Zahlen ( a ≠ 0), x- Unbekannt.

Die Zahlen a, b, c heißen die Koeffizienten der quadratischen Gleichung.

• a heißt erster Koeffizient;
• b heißt zweiter Koeffizient;
• c - kostenloses Mitglied.

Und wer war der Erste, der quadratische Gleichungen „erfand“?

Einige algebraische Techniken zum Lösen linearer und quadratischer Gleichungen waren bereits vor 4000 Jahren im alten Babylon bekannt. Die gefundenen antiken babylonischen Tontafeln, die irgendwo zwischen 1800 und 1600 v. Chr. datiert wurden, sind die frühesten Beweise für das Studium quadratischer Gleichungen. Dieselben Tablets enthalten Methoden zum Lösen bestimmter Arten von quadratischen Gleichungen.

Die Notwendigkeit, Gleichungen nicht nur des ersten, sondern auch des zweiten Grades in der Antike zu lösen, wurde durch die Notwendigkeit verursacht, Probleme im Zusammenhang mit der Suche nach Land- und Erdarbeiten militärischer Natur sowie der Entwicklung der Astronomie und zu lösen Mathematik selbst.

Die Regel zur Lösung dieser Gleichungen, die in den babylonischen Texten angegeben ist, stimmt im Wesentlichen mit der modernen überein, aber es ist nicht bekannt, wie die Babylonier zu dieser Regel kamen. Fast alle bisher gefundenen Keilschrifttexte geben nur Probleme mit Lösungen in Form von Rezepten an, ohne Hinweis darauf, wie sie gefunden wurden. Trotz des hohen Entwicklungsstandes der Algebra in Babylon fehlen den Keilschrifttexten das Konzept einer negativen Zahl und allgemeine Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen.

Babylonische Mathematiker aus dem 4. Jahrhundert v. verwendet die quadratische Komplementmethode, um Gleichungen mit positiven Wurzeln zu lösen. Um 300 v. Euklid entwickelte eine allgemeinere geometrische Lösungsmethode. Der erste Mathematiker, der Lösungen für eine Gleichung mit negativen Wurzeln in Form einer algebraischen Formel fand, war ein indischer Wissenschaftler. Brahmagupta(Indien, 7. Jahrhundert n. Chr.).

Brahmagupta skizzierte eine allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen, die auf eine einzige kanonische Form reduziert wurden:

ax2 + bx = c, a>0

In dieser Gleichung können die Koeffizienten negativ sein. Brahmaguptas Regel stimmt im Wesentlichen mit unserer überein.

In Indien waren öffentliche Wettbewerbe zur Lösung schwieriger Probleme üblich. In einem der alten indischen Bücher wird über solche Wettbewerbe Folgendes gesagt: „Wie die Sonne die Sterne mit ihrem Glanz überstrahlt, so wird eine gelehrte Person den Ruhm in öffentlichen Versammlungen überstrahlen, indem sie algebraische Probleme vorschlägt und löst.“ Aufgaben wurden oft in poetische Form gekleidet.

In einer algebraischen Abhandlung Al-Chwarizmi eine Klassifikation von linearen und quadratischen Gleichungen ist gegeben. Der Autor listet 6 Arten von Gleichungen auf und drückt sie wie folgt aus:

1) „Quadrate sind gleich Wurzeln“, d.h. ax2 = bx.

2) „Quadrate sind gleich Zahl“, d.h. ax2 = c.

3) "Die Wurzeln sind gleich der Zahl", dh ax2 = c.

4) „Quadrate und Zahlen sind gleich Wurzeln“, d.h. ax2 + c = bx.

5) „Quadrate und Wurzeln sind gleich Zahl“, d.h. ax2 + bx = c.

6) „Wurzeln und Zahlen sind gleich Quadraten“, d.h. bx + c == ax2.

Für Al-Khwarizmi, der die Verwendung negativer Zahlen vermied, sind die Terme jeder dieser Gleichungen Additionen, keine Subtraktionen. In diesem Fall werden Gleichungen, die keine positiven Lösungen haben, offensichtlich nicht berücksichtigt. Der Autor skizziert die Methoden zur Lösung dieser Gleichungen unter Verwendung der Methoden von al-jabr und al-muqabala. Seine Entscheidung stimmt natürlich nicht ganz mit unserer überein. Ganz zu schweigen davon, dass es rein rhetorisch ist, sei beispielsweise angemerkt, dass Al-Khwarizmi beim Lösen einer unvollständigen quadratischen Gleichung des ersten Typs wie alle Mathematiker vor dem 17. Jahrhundert die Null nicht berücksichtigt Lösung, wahrscheinlich weil es bei konkreten praktischen Aufgaben keine Rolle spielt. Beim Lösen vollständiger quadratischer Gleichungen legt Al-Khwarizmi die Regeln für ihre Lösung anhand bestimmter numerischer Beispiele und dann ihrer geometrischen Beweise fest.

Formen zur Lösung quadratischer Gleichungen nach dem Vorbild von Al-Khwarizmi in Europa wurden erstmals im „Buch des Abakus“, geschrieben 1202, beschrieben. Italienischer Mathematiker Leonard Fibonacci. Der Autor hat eigenständig einige neue algebraische Beispiele zur Problemlösung entwickelt und sich als erster in Europa der Einführung negativer Zahlen genähert.

Dieses Buch trug zur Verbreitung des algebraischen Wissens nicht nur in Italien, sondern auch in Deutschland, Frankreich und anderen europäischen Ländern bei. Viele Aufgaben aus diesem Buch wurden in fast alle europäischen Lehrbücher des 14.-17. Jahrhunderts übernommen. Die allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen, reduziert auf eine einzige kanonische Form x2 + bx = c mit allen möglichen Kombinationen von Vorzeichen und Koeffizienten b, c, wurde 1544 in Europa formuliert. M. Stiefel.

Vieta hat eine allgemeine Ableitung der Formel zum Lösen einer quadratischen Gleichung, aber Vieta erkannte nur positive Wurzeln. Italienische Mathematiker Tartaglia, Cardano, Bombelli unter den ersten im 16. Jahrhundert. Berücksichtigen Sie zusätzlich zu positiven und negativen Wurzeln. Erst im 17. Jahrhundert. dank der Arbeit Girard, Descartes, Newton und anderen Wissenschaftlern nimmt die Lösung quadratischer Gleichungen eine moderne Form an.

Betrachten Sie verschiedene Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen.

Standardmethoden zum Lösen quadratischer Gleichungen aus dem Schullehrplan:

1. Faktorisierung der linken Seite der Gleichung.
2. Vollquadrat-Auswahlmethode.
3. Lösung quadratischer Gleichungen nach Formel.
4. Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung.
5. Lösung von Gleichungen mit dem Satz von Vieta.

Lassen Sie uns näher auf die Lösung reduzierter und nicht reduzierter quadratischer Gleichungen unter Verwendung des Vieta-Theorems eingehen.

Denken Sie daran, dass es zum Lösen der obigen quadratischen Gleichungen ausreicht, zwei Zahlen zu finden, deren Produkt gleich dem freien Term ist und deren Summe gleich dem zweiten Koeffizienten mit dem entgegengesetzten Vorzeichen ist.

Beispiel.x 2 -5x+6=0

Sie müssen Zahlen finden, deren Produkt 6 und die Summe 5 ist. Diese Zahlen sind 3 und 2.

Antwort: X 1 =2, x 2 =3.

Sie können diese Methode jedoch für Gleichungen verwenden, bei denen der erste Koeffizient ungleich eins ist.

Beispiel.3x 2 +2x-5=0

Wir nehmen den ersten Koeffizienten und multiplizieren ihn mit dem freien Term: x 2 +2x-15=0

Die Wurzeln dieser Gleichung sind Zahlen, deren Produkt - 15 ist und deren Summe - 2 ist. Diese Zahlen sind 5 und 3. Um die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung zu finden, dividieren wir die erhaltenen Wurzeln durch den ersten Koeffizienten.

Antwort: X 1 =-5/3, x 2 =1

6. Lösung von Gleichungen nach der Methode der "Übertragung".

Betrachten Sie die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0, wobei a≠0.

Wenn wir beide Teile mit a multiplizieren, erhalten wir die Gleichung a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Sei ax = y, womit x = y/a; dann kommen wir zu der Gleichung y 2 + by + ac = 0, die der gegebenen äquivalent ist. Wir finden seine Wurzeln bei 1 und bei 2 unter Verwendung des Vieta-Theorems.

Schließlich erhalten wir x 1 = y 1 /a und x 2 = y 2 /a.

Bei dieser Methode wird der Koeffizient a mit dem freien Term multipliziert, als ob er auf ihn "übertragen" würde, daher wird es als "Übertragungs" -Methode bezeichnet. Diese Methode wird verwendet, wenn es einfach ist, die Wurzeln einer Gleichung mit dem Satz von Vieta zu finden, und vor allem, wenn die Diskriminante ein exaktes Quadrat ist.

Beispiel.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Lassen Sie uns den Koeffizienten 2 auf den freien Term "übertragen" und durch Ersetzen erhalten wir die Gleichung y 2 - 11y + 30 = 0.

Nach dem Umkehrsatz von Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Antwort: X 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Eigenschaften der Koeffizienten einer quadratischen Gleichung.

Die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0 sei gegeben.

1. Wenn a + b + c \u003d 0 (d. H. Die Summe der Koeffizienten der Gleichung ist Null), dann x 1 \u003d 1.

2. Wenn a - b + c \u003d 0 oder b \u003d a + c, dann x 1 \u003d - 1.

Beispiel.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Da a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), dann x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Antwort: X 1 =1; X 2 = -208/345 .

Beispiel.132x 2 + 247x + 115 = 0

weil a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), dann x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Antwort: X 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Es gibt noch andere Eigenschaften der Koeffizienten einer quadratischen Gleichung. aber ihre Verwendung ist komplizierter.

8. Lösen quadratischer Gleichungen mit einem Nomogramm.

Abb. 1. Nomogramm

Dies ist eine alte und derzeit vergessene Methode zum Lösen quadratischer Gleichungen, die auf S. 83 der Sammlung platziert ist: Bradis V.M. Vierstellige mathematische Tabellen. - M., Bildung, 1990.

Tabelle XXII. Nomogramm zum Lösen von Gleichungen z2 + pz + q = 0. Dieses Nomogramm ermöglicht es, ohne die quadratische Gleichung zu lösen, die Wurzeln der Gleichung durch ihre Koeffizienten zu bestimmen.

Die krummlinige Skala des Nomogramms wird nach den Formeln aufgebaut (Abb. 1):

Vorausgesetzt OS = p, ED = q, OE = a(alle in cm), aus Abb. 1 Ähnlichkeit von Dreiecken SAN und CDF wir bekommen den Anteil

woraus nach Substitutionen und Vereinfachungen die Gleichung folgt z 2 + pz + q = 0, und der Brief z bedeutet die Beschriftung eines beliebigen Punktes auf der gekrümmten Skala.

Reis. 2 Lösen einer quadratischen Gleichung mit einem Nomogramm

Beispiele.

1) Für die Gleichung z 2 - 9z + 8 = 0 das Nomogramm ergibt die Wurzeln z 1 = 8,0 und z 2 = 1,0

Antwort: 8,0; 1.0.

2) Lösen Sie die Gleichung mit dem Nomogramm

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Teilen Sie die Koeffizienten dieser Gleichung durch 2, erhalten wir die Gleichung z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Das Nomogramm gibt die Wurzeln z 1 = 4 und z 2 = 0,5.

Antwort: 4; 0,5.

9. Geometrische Methode zum Lösen quadratischer Gleichungen.

Beispiel.X 2 + 10x = 39.

Im Original wird diese Aufgabe wie folgt formuliert: „Das Quadrat und zehn Wurzeln sind gleich 39.“

Stellen Sie sich ein Quadrat mit der Seite x vor, an dessen Seiten Rechtecke so gebaut sind, dass die andere Seite von jedem 2,5 beträgt, daher beträgt die Fläche von jedem 2,5-fach. Die resultierende Figur wird dann zu einem neuen Quadrat ABCD ergänzt, wodurch vier gleiche Quadrate in den Ecken vervollständigt werden, die Seite von jedem von ihnen ist 2,5 und die Fläche ist 6,25

Reis. 3 Grafischer Weg zur Lösung der Gleichung x 2 + 10x = 39

Die Fläche S des Quadrats ABCD kann als Summe der Flächen dargestellt werden: das ursprüngliche Quadrat x 2, vier Rechtecke (4∙2,5x = 10x) und vier angehängte Quadrate (6,25∙4 = 25), d.h. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Wenn wir x 2 + 10x durch die Zahl 39 ersetzen, erhalten wir das S \u003d 39 + 25 \u003d 64, was impliziert, dass die Seite des Quadrats ABCD, d. H. Segment AB \u003d 8. Für die gewünschte Seite x des ursprünglichen Quadrats erhalten wir

10. Lösung von Gleichungen mit dem Satz von Bezout.

Satz von Bezout. Der Rest nach Division des Polynoms P(x) durch das Binom x - α ist gleich P(α) (d. h. dem Wert von P(x) bei x = α).

Wenn die Zahl α die Wurzel des Polynoms P(x) ist, dann ist dieses Polynom ohne Rest durch x - α teilbar.

Beispiel.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Teile P(x) durch (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 oder x-3=0, x=3; Antwort: X1 =2, x2 =3.

Fazit: Die Fähigkeit, quadratische Gleichungen schnell und rational zu lösen, ist einfach notwendig, um komplexere Gleichungen zu lösen, zum Beispiel gebrochene rationale Gleichungen, Gleichungen höherer Potenzen, biquadratische Gleichungen und in der High School trigonometrische, exponentielle und logarithmische Gleichungen. Nachdem wir alle gefundenen Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen studiert haben, können wir Klassenkameraden zusätzlich zu den Standardmethoden raten, nach der Transfermethode (6) zu lösen und Gleichungen nach der Eigenschaft der Koeffizienten (7) zu lösen, da sie für das Verständnis leichter zugänglich sind .

Literatur:

1. Bradis V.M. Vierstellige mathematische Tabellen. - M., Bildung, 1990.
2. Algebra Klasse 8: Lehrbuch für die 8. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15. Aufl., überarbeitet. - M.: Aufklärung, 2015
3. https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glaser G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule. Ein Leitfaden für Lehrer. / Ed. VN Jünger. - M.: Aufklärung, 1964.

1. Finden Sie die Diskriminante D laut Formel D= -4ac.

2.Wenn D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.

3. Wenn D=0, dann hat die Gleichung eine Wurzel:

4. Wenn D>0, dann hat die Gleichung zwei Wurzeln:

Jetzt fangen wir an, unsere Gleichung zu lösen 3 -10x+3=0,

wobei =3, b=-10 und c=3.

Diskriminante finden:

D= -4*3*3=64

Da D > 0, hat diese Gleichung zwei Wurzeln. Wir finden sie:

; .

Also die Wurzeln des Polynoms f(x)=3 -10+3 sind die Nummern 3 und .

Horners Schema

Horners Schema(oder Horner-Regel, Horner-Methode) - ein Algorithmus zur Berechnung des Werts eines Polynoms, geschrieben als Summe von Polynomen (Monomen), für einen bestimmten Wert einer Variablen . Sie wiederum hilft uns herauszufinden, ob die Zahl die Wurzel eines gegebenen Polynoms ist oder nicht.

Überlegen Sie zunächst, wie das Polynom dividiert wird f(x) in ein Binomial g(x).

Dies kann wie folgt geschrieben werden: f(x):g(x)=n(x), wo f(x)- Dividende, g(x)- Teiler a n(x)- Privat.

Aber in dem Fall, wenn f(x) nicht teilbar durch g(x) es gibt eine allgemeine Notation des Ausdrucks

Hier ist der Grad r(x)< deg s(x), в таком случае можно сказать, что делится на с остатком .

Betrachten wir die Division eines Polynoms durch ein Binom. Lassen

,

Wir bekommen

Wobei r eine Zahl ist, weil der Grad von r muss kleiner sein als der Grad von (x-c).

Lass uns multiplizieren s(x) an und bekommen

Somit ist es möglich, bei einer Division durch ein Binom die Koeffizienten des Quotienten aus den erhaltenen Formeln zu bestimmen. Dieses Verfahren zur Bestimmung der Koeffizienten wird als Horner-Schema bezeichnet.

				...
	+			...
c				...	r

Sehen wir uns nun einige Beispiele für die Anwendung des Hornerschen Schemas an.

Beispiel. Führen Sie eine Polynomdivision durch f(x)= auf der x+3.

Entscheidung. Am Anfang muss geschrieben werden x+3) als ( x-(-3)), da genau -3 am Schema selbst teilnehmen. In der oberen Zeile schreiben wir die Koeffizienten, in der unteren Zeile das Ergebnis der Aktionen.

f(x)=(x-2)(1)+16.

Wurzelfindung nach Horners Schema. Root-Typen

Nach Horners Schema kann man ganzzahlige Wurzeln eines Polynoms finden f(x). Schauen wir uns das an einem Beispiel an.

Beispiel. Finden Sie alle ganzzahligen Wurzeln eines Polynoms f(x)= , unter Verwendung des Horner-Schemas.

Entscheidung. Die Koeffizienten dieses Polynoms sind ganze Zahlen. Der Koeffizient vor dem höchsten Abschluss (in unserem Fall davor) ist gleich eins. Daher suchen wir die ganzzahligen Wurzeln des Polynoms unter den Teilern des freien Terms (wir haben 15), das sind Zahlen:

Beginnen wir mit der Zahl 1.

Tabelle 1

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38

Aus der resultierenden Tabelle ist ersichtlich, dass für =1 das Polynom des Polynoms ist f(x)= , erhalten wir den Rest r=192, nicht 0, was bedeutet, dass die Einheit keine Wurzel ist. Daher setzen wir die Prüfung bei =-1 fort. Dazu erstellen wir keine neue Tabelle, sondern fahren in der alten fort und streichen die nicht mehr benötigten Daten durch.

Tischnummer 2

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22

Wie wir aus der Tabelle ersehen können, stellte sich heraus, dass die letzte Zelle Null war, was bedeutet, dass r = 0 ist. Somit? die Zahl -1 ist die Wurzel dieses Polynoms. Dividieren unseres Polynoms Polynom f(x)= auf ()=x+1 haben wir ein Polynom

f(x)=(x+1)(),

die Koeffizienten, für die wir der dritten Zeile der Tabelle Nr. 2 entnommen haben.

Wir können auch die äquivalente Notation machen

(x+1)(). Markiere ihn (1)

Jetzt ist es notwendig, die Suche nach ganzzahligen Wurzeln fortzusetzen, aber erst jetzt werden wir bereits nach den Wurzeln des Polynoms suchen. Wir werden diese Wurzeln im freien Term des Polynoms, der Zahl 45, suchen.

Lassen Sie uns noch einmal die Zahl -1 überprüfen.

Tisch 3

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22

Somit ist die Zahl -1 die Wurzel des Polynoms, sie kann geschrieben werden als

Unter Berücksichtigung von Gleichheit (2) können wir Gleichheit (1) in der folgenden Form schreiben

Nun suchen wir Wurzeln für das Polynom, wieder unter den Teilern des freien Terms. Lassen Sie uns noch einmal die Zahl -1 überprüfen.

Tisch Nr. 4

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21

Gemäß der Tabelle sehen wir, dass die Zahl -1 die Wurzel des Polynoms ist.

Bei (3*) können wir die Gleichheit (2*) umschreiben als:

Jetzt suchen wir nach der Wurzel für . Wieder schauen wir uns die Teiler des freien Terms an. Beginnen wir mit der Überprüfung erneut mit der Zahl -1.

Tischnummer 5

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19

Wir haben einen Rest ungleich Null erhalten, was bedeutet, dass die Zahl -1 keine Wurzel für das Polynom ist. Lassen Sie uns die nächste Nummer 1 überprüfen.

Tisch Nr. 6

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21

Und wir sehen, dass es wieder nicht passt, der Rest ist r(x) = 24. Wir nehmen eine neue Zahl.

Lassen Sie uns die Nummer 3 überprüfen.

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15

Tisch Nummer 7

r(x)= 0, das bedeutet, dass die Zahl 3 die Wurzel des Polynoms ist, wir können dieses Polynom schreiben als:

=(x-3)( )

Angesichts des resultierenden Ausdrucks können wir Gleichheit (5) wie folgt schreiben:

(x-3)( ) (6)

Lassen Sie uns nun nach dem Polynom suchen

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15
	+

Tisch Nr. 8

Anhand der Tabelle sehen wir, dass die Zahl 3 die Wurzel des Polynoms ist . Jetzt schreiben wir folgendes:

Wir schreiben die Gleichheit (5*) unter Berücksichtigung des resultierenden Ausdrucks wie folgt:

(x-3)()= = .

Finden Sie die Wurzel für das Binomial unter den Teilern des freien Terms.

Nehmen wir die Zahl 5

Tisch Nr. 9

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15
	+
	+	-5
-5

r(x)=0, also ist 5 die Wurzel der Binomialzahl.

So können wir schreiben

Die Lösung für dieses Beispiel ist Tisch Nummer 8.

Wie aus der Tabelle ersichtlich, sind die Zahlen -1; 3; 5 die Wurzeln des Polynoms.

Gehen wir jetzt direkt zu Arten von Wurzeln.

1 ist die Wurzel dritten Grades, da die Klammer (x + 1) im dritten Grad liegt;

3- Wurzel zweiten Grades, Klammer (x-3) im zweiten Grad;

5 ist die Wurzel des ersten Grades oder mit anderen Worten einfach.

Quadratische Gleichungen tauchen oft in einer Reihe von Aufgaben in Mathematik und Physik auf, daher sollte jeder Schüler in der Lage sein, sie zu lösen. In diesem Artikel werden die wichtigsten Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen ausführlich erörtert und Beispiele für ihre Verwendung bereitgestellt.

Welche gleichung heißt quadratisch

Zunächst werden wir die Frage dieses Absatzes beantworten, um besser zu verstehen, was in dem Artikel besprochen wird. Die quadratische Gleichung hat also die folgende allgemeine Form: c + b * x + a * x 2 \u003d 0, wobei a, b, c einige Zahlen sind, die als Koeffizienten bezeichnet werden. Dabei ist a≠0 eine zwingende Bedingung, ansonsten entartet die angegebene Gleichung in eine lineare. Die restlichen Koeffizienten (b, c) können absolut beliebige Werte einschließlich Null annehmen. Also Ausdrücke wie a*x 2 =0, wobei b=0 und c=0 oder c+a*x 2 =0, wobei b=0, oder b*x+a*x 2 =0, wobei c=0 - Dies sind auch quadratische Gleichungen, die unvollständig genannt werden, da in ihnen entweder der lineare Koeffizient b gleich Null ist oder der freie Term c Null ist oder beide verschwinden.

Eine Gleichung, in der a \u003d 1 als reduziert bezeichnet wird, hat also die Form: x 2 + c / a + (b / a) * x \u003d 0.

Die Lösung einer quadratischen Gleichung besteht darin, solche Werte von x zu finden, die ihre Gleichheit erfüllen. Diese Werte werden Wurzeln genannt. Da die betrachtete Gleichung ein Ausdruck zweiten Grades ist, bedeutet dies, dass die maximale Anzahl ihrer Wurzeln zwei nicht überschreiten kann.

Welche Methoden zum Lösen von quadratischen Gleichungen gibt es?

Im Allgemeinen gibt es 4 Lösungsmethoden. Ihre Namen sind unten aufgeführt:

1. Faktorisierung.
2. Ergänzung zum Quadrat.
3. Mit einer bekannten Formel (durch die Diskriminante).
4. Die Lösung ist geometrisch.

Wie aus der obigen Liste hervorgeht, sind die ersten drei Methoden algebraisch und werden daher häufiger verwendet als die letzte, bei der ein Funktionsgraph gezeichnet wird.

Es gibt eine andere Möglichkeit, quadratische Gleichungen mit dem Vieta-Theorem zu lösen. Es könnte als 5. in die obige Liste aufgenommen werden, dies wird jedoch nicht getan, da der Satz von Vieta eine einfache Konsequenz der 3. Methode ist.

Methodennummer 1. Faktorisierung

In der Mathematik der quadratischen Gleichungen gibt es für diese Methode einen schönen Namen: Faktorisierung. Das Wesentliche dieser Methode ist wie folgt: Es ist notwendig, die quadratische Gleichung als Produkt zweier Terme (Ausdrücke) darzustellen, die gleich Null sein sollten. Nach einer solchen Darstellung kann man die Produkteigenschaft verwenden, die nur dann gleich Null ist, wenn ein oder mehrere (alle) ihrer Mitglieder Null sind.

Betrachten Sie nun die Abfolge spezifischer Aktionen, die ausgeführt werden müssen, um die Wurzeln der Gleichung zu finden:

1. Übertragen Sie alle Elemente in einen Teil des Ausdrucks (z. B. nach links), sodass im anderen Teil (rechts) nur 0 verbleibt.
2. Drücken Sie die Summe der Terme in einem Teil der Gleichung als Produkt zweier linearer Gleichungen aus.
3. Setzen Sie jeden der linearen Ausdrücke mit Null gleich und lösen Sie sie.

Wie Sie sehen können, ist der Faktorisierungsalgorithmus recht einfach, jedoch haben die meisten Schüler Schwierigkeiten bei der Umsetzung des 2. Punktes, daher werden wir ihn näher erläutern.

Um zu erraten, welche 2 linearen Ausdrücke miteinander multipliziert die gewünschte quadratische Gleichung ergeben, müssen Sie sich zwei einfache Regeln merken:

• Die linearen Koeffizienten zweier linearer Ausdrücke sollten, wenn sie miteinander multipliziert werden, den ersten Koeffizienten der quadratischen Gleichung ergeben, dh die Zahl a.
• Die freien Terme linearer Ausdrücke müssen, wenn sie multipliziert werden, die Zahl c der gewünschten Gleichung ergeben.

Nachdem alle Zahlen der Faktoren ausgewählt wurden, sollten sie multipliziert werden, und wenn sie die gewünschte Gleichung ergeben, gehen Sie zu Schritt 3 im obigen Algorithmus, andernfalls sollten die Faktoren geändert werden, aber dies muss so erfolgen, dass die obigen Regeln eingehalten werden werden immer erfüllt.

Ein Beispiel für eine Faktorisierungslösung

Wir werden deutlich zeigen, wie man einen Algorithmus zum Lösen einer quadratischen Gleichung zusammenstellt und unbekannte Nullstellen findet. Gegeben sei ein beliebiger Ausdruck, zum Beispiel 2*x-5+5*x 2 -2*x 2 = x 2 +2+x 2 +1. Kommen wir zu seiner Lösung, indem wir die Abfolge der Punkte von 1 bis 3 beachten, die im vorherigen Absatz des Artikels dargelegt sind.

Punkt 1. Verschieben wir alle Terme auf die linke Seite und bauen sie in der klassischen Reihenfolge für eine quadratische Gleichung auf. Wir haben folgende Gleichheit: 2*x+(-8)+x 2 =0.

Punkt 2. Wir zerlegen es in ein Produkt linearer Gleichungen. Da a=1 und c=-8, wählen wir beispielsweise ein solches Produkt (x-2)*(x+4). Es erfüllt die im obigen Absatz dargelegten Regeln zum Auffinden der erwarteten Faktoren. Wenn wir die Klammern öffnen, erhalten wir: -8+2*x+x 2 , also genau den gleichen Ausdruck wie auf der linken Seite der Gleichung. Das bedeutet, dass wir die Multiplikatoren richtig erraten haben und mit dem 3. Schritt des Algorithmus fortfahren können.

Punkt 3. Wir setzen jeden Faktor gleich Null, wir erhalten: x=-4 und x=2.

Wenn Zweifel am erhaltenen Ergebnis bestehen, wird empfohlen, dies zu überprüfen, indem die gefundenen Wurzeln in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden. In diesem Fall haben wir: 2*2+2 2 -8=0 und 2*(-4)+(-4) 2 -8=0. Wurzeln richtig gefunden.

Durch die Faktorisierungsmethode haben wir also herausgefunden, dass die gegebene Gleichung zwei verschiedene Wurzeln hat: 2 und -4.

Methode Nr. 2. Ergänzung zum vollen Quadrat

In der Algebra der quadratischen Gleichungen kann die Multiplikatormethode nicht immer verwendet werden, da bei gebrochenen Werten der Koeffizienten der quadratischen Gleichung Schwierigkeiten bei der Implementierung von Absatz 2 des Algorithmus auftreten.

Die Methode der vollständigen Quadrate wiederum ist universell und kann auf quadratische Gleichungen jeder Art angewendet werden. Seine Essenz besteht darin, die folgenden Operationen auszuführen:

1. Die Terme der Gleichung, die die Koeffizienten a und b enthalten, müssen auf einen Teil der Gleichung übertragen werden, und der freie Term c auf den anderen.
2. Außerdem sollten die Teile der Gleichheit (rechts und links) durch den Koeffizienten a dividiert werden, dh die Gleichung sollte in der reduzierten Form (a = 1) dargestellt werden.
3. Die Summe der Terme mit den Koeffizienten a und b wird als Quadrat einer linearen Gleichung dargestellt. Da a \u003d 1, dann ist der lineare Koeffizient gleich 1, wie für den freien Term der linearen Gleichung, dann sollte er gleich der Hälfte des linearen Koeffizienten der reduzierten quadratischen Gleichung sein. Nachdem das Quadrat des linearen Ausdrucks erstellt wurde, muss die entsprechende Zahl auf der rechten Seite der Gleichheit hinzugefügt werden, wo sich der freie Term befindet, der durch Öffnen des Quadrats erhalten wird.
4. Ziehen Sie die Quadratwurzel mit den Zeichen "+" und "-" und lösen Sie die bereits erhaltene lineare Gleichung.

Der beschriebene Algorithmus mag auf den ersten Blick als ziemlich kompliziert empfunden werden, ist jedoch in der Praxis einfacher zu implementieren als das Faktorisierungsverfahren.

Ein Beispiel für eine Lösung, die das Komplement des vollen Quadrats verwendet

Wir geben ein Beispiel einer quadratischen Gleichung, um ihre Lösung mit der im vorherigen Absatz beschriebenen Methode zu trainieren. Gegeben sei die quadratische Gleichung -10 - 6*x+5*x 2 = 0. Wir beginnen sie zu lösen, indem wir dem oben beschriebenen Algorithmus folgen.

Punkt 1. Wir verwenden die Transfermethode beim Lösen von quadratischen Gleichungen, wir erhalten: - 6 * x + 5 * x 2 = 10.

Punkt 2. Die reduzierte Form dieser Gleichung wird durch Teilen durch die Zahl 5 jedes ihrer Mitglieder erhalten (wenn die Gleichheiten beide Teile dividiert oder mit derselben Zahl multipliziert werden, bleibt die Gleichheit erhalten). Als Ergebnis der Transformationen erhalten wir: x 2 - 6/5 * x = 2.

Punkt 3. Die Hälfte des Koeffizienten - 6/5 ist gleich -6/10 = -3/5, wir verwenden diese Zahl, um ein volles Quadrat zu bilden, wir erhalten: (-3/5 + x) 2 . Wir erweitern es und der resultierende freie Term sollte von der linken Seite der Gleichheit subtrahiert werden, um die ursprüngliche Form der quadratischen Gleichung zu erfüllen, was einer Addition auf der rechten Seite entspricht. Als Ergebnis erhalten wir: (-3/5+x) 2 = 59/25.

Punkt 4. Wir berechnen die Quadratwurzel mit positivem und negativem Vorzeichen und finden die Wurzeln: x = 3/5±√59/5 = (3±√59)/5. Die beiden gefundenen Wurzeln haben die folgenden Werte: x 1 = (√59+3)/5 und x 1 = (3-√59)/5.

Da sich die durchgeführten Berechnungen auf die Wurzeln beziehen, besteht eine hohe Wahrscheinlichkeit, einen Fehler zu machen. Daher wird empfohlen, die Richtigkeit der Wurzeln x 2 und x 1 zu überprüfen. Wir erhalten für x 1: 5*((3+√59)/5) 2 -6*(3+√59)/5 - 10 = (9+59+6*√59)/5 - 18/5 - 6 *√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0. Ersetzen Sie nun x 2: 5*((3-√59)/5) 2 -6*(3-√59)/5 - 10 = (9+59-6*√59)/5 - 18/5 + 6*√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0.

Damit haben wir gezeigt, dass die gefundenen Wurzeln der Gleichung wahr sind.

Methodennummer 3. Anwendung der bekannten Formel

Diese Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen ist vielleicht die einfachste, da sie darin besteht, die Koeffizienten in eine bekannte Formel einzusetzen. Um es zu verwenden, müssen Sie nicht über das Kompilieren von Lösungsalgorithmen nachdenken, es reicht aus, sich nur eine Formel zu merken. Es ist in der Abbildung oben dargestellt.

In dieser Formel wird der Wurzelausdruck (b 2 -4*a*c) als Diskriminante (D) bezeichnet. Von seinem Wert hängt es ab, welche Wurzeln erhalten werden. 3 Fälle sind möglich:

• D>0, dann hat die Gleichung der Wurzel zwei reelle und andere.
• D=0, dann wird eine Wurzel erhalten, die aus dem Ausdruck x = -b / (a ​​​​* 2) berechnet werden kann.
• D<0, тогда получается два различных мнимых корня, которые представляются в виде комплексных чисел. Например, число 3-5*i является комплексным, при этом мнимая единица i удовлетворяет свойству: i 2 =-1.

Ein Beispiel für eine Lösung durch die Berechnung der Diskriminante

Hier ist ein Beispiel einer quadratischen Gleichung zum Üben mit der obigen Formel. Finden Sie die Wurzeln für -3*x 2 -6+3*x+4*x = 0. Berechnen Sie zuerst den Wert der Diskriminante, wir erhalten: D = b 2 -4*a*c = 7 2 -4* (-3)* (-6) = -23.

Seitdem erhielt D<0, значит, корни рассматриваемого уравнения являются числами комплексными. Найдем их, подставив найденное значение D в приведенную в предыдущем пункте формулу (она также представлена на фото выше). Получим: x = 7/6±√(-23)/(-6) = (7±i*√23)/6.

Methodennummer 4. Verwenden des Graphen einer Funktion

Es wird auch als grafische Methode zum Lösen quadratischer Gleichungen bezeichnet. Es sollte gesagt werden, dass es in der Regel nicht für eine quantitative, sondern für eine qualitative Analyse der betrachteten Gleichung verwendet wird.

Die Essenz der Methode besteht darin, eine quadratische Funktion y = f(x) zu zeichnen, die eine Parabel ist. Dann ist es notwendig zu bestimmen, an welchen Punkten sich die Abszissenachse (X) der Parabel schneidet, sie werden die Wurzeln der entsprechenden Gleichung sein.

Um festzustellen, ob eine Parabel die x-Achse schneidet, reicht es aus, die Position ihres Minimums (Maximums) und die Richtung ihrer Äste zu kennen (sie können entweder zunehmen oder abnehmen). Es gibt zwei Eigenschaften dieser Kurve, an die man sich erinnern sollte:

• Wenn a>0 - sind die Parabeln des Astes nach oben gerichtet, umgekehrt, wenn a<0, то они идут вниз.
• Die Koordinate des Minimums (Maximums) der Parabel ist immer x = -b/(2*a).

Zum Beispiel muss festgestellt werden, ob die Gleichung -4*x+5*x 2 +10 = 0 Nullstellen hat Die entsprechende Parabel wird nach oben gerichtet sein, da a=5>0. Sein Extremum hat Koordinaten: x=4/10=2/5, y=-4*2/5+5*(2/5) 2 +10 = 9,2. Da das Minimum der Kurve oberhalb der x-Achse liegt (y=9,2), schneidet es diese bei keinem Wert von x. Das heißt, die gegebene Gleichung hat keine echten Wurzeln.

Satz von Vieta

Wie oben erwähnt, ist dieses Theorem eine Folge der Methode Nr. 3, die auf der Anwendung einer Formel mit einer Diskriminante basiert. Die Essenz des Vieta-Theorems besteht darin, dass Sie die Koeffizienten der Gleichung und ihre Wurzeln zu Gleichheit verbinden können. Wir erhalten die entsprechenden Gleichheiten.

Verwenden wir die Formel zur Berechnung der Wurzeln durch die Diskriminante. Fügen wir zwei Wurzeln hinzu, wir erhalten: x 1 + x 2 \u003d -b / a. Jetzt multiplizieren wir die Wurzeln miteinander: x 1 * x 2, nach einer Reihe von Vereinfachungen erhalten wir die Zahl c / a.

Um die quadratischen Gleichungen mit dem Satz von Vieta zu lösen, können Sie also die beiden erhaltenen Gleichungen verwenden. Wenn alle drei Koeffizienten einer Gleichung bekannt sind, können die Wurzeln gefunden werden, indem das entsprechende System dieser beiden Gleichungen gelöst wird.

Ein Beispiel für die Verwendung des Satzes von Vieta

Es ist notwendig, eine quadratische Gleichung aufzustellen, wenn bekannt ist, dass sie die Form x 2 + c \u003d -b * x hat und ihre Wurzeln 3 und -4 sind.

Da in der betrachteten Gleichung a \u003d 1 ist, sehen die Vieta-Formeln so aus: x 2 + x 1 \u003d -b und x 2 * x 1 \u003d c. Wenn wir die bekannten Werte der Wurzeln ersetzen, erhalten wir: b = 1 und c = -12. Als Ergebnis sieht die wiederhergestellte quadratische Gleichung wie folgt aus: x 2 -12 = -1*x. Sie können den Wert der Wurzeln einsetzen und sicherstellen, dass die Gleichheit gilt.

Die umgekehrte Anwendung des Vieta-Theorems, also die Berechnung der Wurzeln nach der bekannten Form der Gleichung, ermöglicht es Ihnen, schnell (intuitiv) Lösungen für kleine ganze Zahlen a, b und c zu finden.

Quadratische Gleichungen werden in der 8. Klasse studiert, also gibt es hier nichts Kompliziertes. Die Fähigkeit, sie zu lösen, ist unerlässlich.

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0, wobei die Koeffizienten a , b und c beliebige Zahlen sind und a ≠ 0.

Bevor wir spezifische Lösungsmethoden untersuchen, stellen wir fest, dass alle quadratischen Gleichungen in drei Klassen unterteilt werden können:

1. Keine Wurzeln haben;
2. Sie haben genau eine Wurzel;
3. Sie haben zwei unterschiedliche Wurzeln.

Dies ist ein wichtiger Unterschied zwischen quadratischen und linearen Gleichungen, bei denen die Wurzel immer existiert und eindeutig ist. Wie bestimmt man, wie viele Wurzeln eine Gleichung hat? Dafür gibt es eine wunderbare Sache - diskriminierend.

Diskriminant

Gegeben sei die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0. Dann ist die Diskriminante einfach die Zahl D = b 2 − 4ac .

Diese Formel muss man auswendig kennen. Woher es kommt, ist jetzt nicht wichtig. Wichtig ist noch etwas: Am Vorzeichen der Diskriminante kann man erkennen, wie viele Wurzeln eine quadratische Gleichung hat. Nämlich:

1. Wenn d< 0, корней нет;
2. Wenn D = 0, gibt es genau eine Wurzel;
3. Wenn D > 0, gibt es zwei Nullstellen.

Bitte beachten Sie: Die Diskriminante gibt die Anzahl der Wurzeln an und keineswegs ihre Vorzeichen, wie viele Leute aus irgendeinem Grund denken. Schauen Sie sich die Beispiele an und Sie werden alles selbst verstehen:

Aufgabe. Wie viele Wurzeln haben quadratische Gleichungen:

1. x2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Wir schreiben die Koeffizienten für die erste Gleichung und finden die Diskriminante:
a = 1, b = –8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Die Diskriminante ist also positiv, also hat die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln. Wir analysieren die zweite Gleichung auf die gleiche Weise:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Die Diskriminante ist negativ, es gibt keine Wurzeln. Als letzte Gleichung bleibt:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Die Diskriminante ist gleich Null - die Wurzel wird eins sein.

Beachten Sie, dass die Koeffizienten für jede Gleichung ausgeschrieben wurden. Ja, es ist lang, ja, es ist mühsam - aber Sie werden die Quoten nicht verwechseln und keine dummen Fehler machen. Wählen Sie selbst: Geschwindigkeit oder Qualität.

Übrigens, wenn Sie Ihre Hand „füllen“, müssen Sie nach einer Weile nicht mehr alle Koeffizienten ausschreiben. Sie werden solche Operationen in Ihrem Kopf durchführen. Die meisten Leute fangen irgendwo nach 50-70 gelösten Gleichungen damit an - im Allgemeinen nicht so sehr.

Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Kommen wir nun zur Lösung. Wenn die Diskriminante D > 0 ist, können die Wurzeln mit den Formeln gefunden werden:

Die Grundformel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Wenn D = 0 ist, können Sie jede dieser Formeln verwenden - Sie erhalten dieselbe Zahl, die die Antwort sein wird. Schließlich, wenn D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Erste Gleichung:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ die Gleichung hat zwei Wurzeln. Finden wir sie:

Zweite Gleichung:
15 − 2x − x2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ die Gleichung hat wieder zwei Wurzeln. Lass sie uns finden

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Schließlich die dritte Gleichung:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ die Gleichung hat eine Wurzel. Jede Formel kann verwendet werden. Zum Beispiel das erste:

Wie Sie an den Beispielen sehen können, ist alles sehr einfach. Wenn Sie die Formeln kennen und zählen können, gibt es keine Probleme. Am häufigsten treten Fehler auf, wenn negative Koeffizienten in die Formel eingesetzt werden. Auch hier hilft wieder die oben beschriebene Technik: Formel buchstäblich anschauen, Schritt für Schritt malen – und Fehler ganz schnell wieder ausmerzen.

Unvollständige quadratische Gleichungen

Es kommt vor, dass die quadratische Gleichung etwas anders ist als in der Definition angegeben. Zum Beispiel:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Es ist leicht zu erkennen, dass einer der Terme in diesen Gleichungen fehlt. Solche quadratischen Gleichungen sind noch einfacher zu lösen als Standardgleichungen: Sie müssen nicht einmal die Diskriminante berechnen. Lassen Sie uns also ein neues Konzept einführen:

Die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 heißt unvollständige quadratische Gleichung, wenn b = 0 oder c = 0, d.h. der Koeffizient der Variablen x oder des freien Elements ist gleich Null.

Natürlich ist ein sehr schwieriger Fall möglich, wenn beide Koeffizienten gleich Null sind: b \u003d c \u003d 0. In diesem Fall hat die Gleichung die Form ax 2 \u003d 0. Offensichtlich hat eine solche Gleichung eine einzige Wurzel: x \u003d 0.

Betrachten wir andere Fälle. Sei b \u003d 0, dann erhalten wir eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 + c \u003d 0. Transformieren wir sie leicht:

Da die arithmetische Quadratwurzel nur aus einer nicht negativen Zahl besteht, macht die letzte Gleichheit nur Sinn, wenn (−c / a ) ≥ 0. Fazit:

1. Wenn eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 + c = 0 die Ungleichung (−c / a ) ≥ 0 erfüllt, gibt es zwei Wurzeln. Die Formel ist oben angegeben;
2. Wenn (−c / a )< 0, корней нет.

Wie Sie sehen können, war die Diskriminante nicht erforderlich - es gibt überhaupt keine komplexen Berechnungen in unvollständigen quadratischen Gleichungen. Tatsächlich ist es nicht einmal notwendig, sich an die Ungleichung (−c / a ) ≥ 0 zu erinnern. Es reicht aus, den Wert von x 2 auszudrücken und zu sehen, was auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens steht. Wenn es eine positive Zahl gibt, gibt es zwei Wurzeln. Wenn negativ, gibt es überhaupt keine Wurzeln.

Betrachten wir nun Gleichungen der Form ax 2 + bx = 0, bei denen das freie Element gleich Null ist. Hier ist alles einfach: Es wird immer zwei Wurzeln geben. Es genügt, das Polynom zu faktorisieren:

Herausnehmen des gemeinsamen Teilers aus der Klammer

Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Hier kommen die Wurzeln her. Abschließend werden wir einige dieser Gleichungen analysieren:

Aufgabe. Lösen Sie quadratische Gleichungen:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Es gibt keine Wurzeln, weil das Quadrat kann nicht gleich einer negativen Zahl sein.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.