In diesem Artikel werfen wir einen umfassenden Blick auf . Grundlegende trigonometrische Identitäten sind Gleichheiten, die eine Beziehung zwischen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels herstellen und es Ihnen ermöglichen, jede dieser trigonometrischen Funktionen durch einen bekannten anderen zu finden.

Wir listen sofort die wichtigsten trigonometrischen Identitäten auf, die wir in diesem Artikel analysieren werden. Wir schreiben sie in einer Tabelle auf, und unten geben wir die Herleitung dieser Formeln und geben die notwendigen Erklärungen.

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Zusammenhang zwischen Sinus und Cosinus eines Winkels

Manchmal sprechen sie nicht über die in der obigen Tabelle aufgeführten trigonometrischen Hauptidentitäten, sondern über eine einzige grundlegende trigonometrische Identität nett . Die Erklärung für diese Tatsache ist ganz einfach: Die Gleichheiten werden aus der trigonometrischen Grundidentität erhalten, nachdem beide Teile durch bzw. und die Gleichheiten dividiert wurden und folgen aus den Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens. Darauf gehen wir in den folgenden Absätzen näher ein.

Das heißt, es ist die Gleichheit von besonderem Interesse, die den Namen der trigonometrischen Hauptidentität erhielt.

Bevor wir die grundlegende trigonometrische Identität beweisen, geben wir ihre Formulierung an: Die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines Winkels ist identisch gleich Eins. Jetzt beweisen wir es.

Die grundlegende trigonometrische Identität wird sehr oft in verwendet Transformation trigonometrischer Ausdrücke. Damit kann die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines Winkels durch eins ersetzt werden. Nicht weniger oft wird die grundlegende trigonometrische Identität in umgekehrter Reihenfolge verwendet: Die Einheit wird durch die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines beliebigen Winkels ersetzt.

Tangens und Kotangens durch Sinus und Cosinus

Identitäten, die den Tangens und den Kotangens mit dem Sinus und Kosinus eines Winkels der Form und verbinden folgen unmittelbar aus den Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens. Tatsächlich ist per Definition der Sinus die Ordinate von y, der Kosinus die Abszisse von x, der Tangens das Verhältnis der Ordinate zur Abszisse, d.h. , und der Kotangens ist das Verhältnis der Abszisse zur Ordinate, also .

Aufgrund dieser Offensichtlichkeit der Identitäten und oft werden die Definitionen von Tangens und Kotangens nicht durch das Verhältnis von Abszisse und Ordinate gegeben, sondern durch das Verhältnis von Sinus und Cosinus. Der Tangens eines Winkels ist also das Verhältnis des Sinus zum Kosinus dieses Winkels, und der Kotangens ist das Verhältnis des Kosinus zum Sinus.

Zum Abschluss dieses Abschnitts sei darauf hingewiesen, dass die Identitäten und gelten für alle solche Winkel, für die die trigonometrischen Funktionen in ihnen Sinn machen. Die Formel gilt also für alle anderen als (andernfalls ist der Nenner Null, und wir haben die Division durch Null nicht definiert) und die Formel - für alle, anders als , wobei z beliebig ist.

Zusammenhang zwischen Tangens und Kotangens

Eine noch offensichtlichere trigonometrische Identität als die beiden vorherigen ist die Identität, die die Tangente und den Kotangens eines Winkels der Form verbindet . Es ist klar, dass es für alle anderen Winkel als , andernfalls entweder der Tangens oder der Kotangens nicht definiert ist.

Beweis der Formel sehr einfach. Per Definition und woher . Der Beweis hätte auch etwas anders geführt werden können. Seit und , dann .

Also sind der Tangens und der Kotangens eines Winkels, bei dem sie Sinn machen, gleich.

Vorlesung: Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens eines beliebigen Winkels

Sinus, Cosinus eines beliebigen Winkels

Um zu verstehen, was trigonometrische Funktionen sind, wenden wir uns einem Kreis mit einem Einheitsradius zu. Dieser Kreis ist im Ursprung der Koordinatenebene zentriert. Um die gegebenen Funktionen zu bestimmen, verwenden wir den Radiusvektor ODER, die in der Mitte des Kreises beginnt, und dem Punkt R ist ein Punkt auf dem Kreis. Dieser Radiusvektor bildet mit der Achse einen Winkel Alpha OH. Da der Kreis einen Radius gleich eins hat, dann ODER = R = 1.

Wenn vom Punkt R fallen Sie eine Senkrechte auf die Achse OH, dann erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse gleich eins.

Wenn sich der Radiusvektor im Uhrzeigersinn bewegt, wird diese Richtung aufgerufen Negativ, aber wenn es sich gegen den Uhrzeigersinn bewegt - positiv.

Der Sinus eines Winkels ODER, ist die Ordinate des Punktes R Vektoren auf einem Kreis.

Das heißt, um den Wert des Sinus eines gegebenen Winkels Alpha zu erhalten, ist es notwendig, die Koordinate zu bestimmen Beim auf der Oberfläche.

Wie wurde dieser Wert ermittelt? Da wir wissen, dass der Sinus eines beliebigen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse ist, erhalten wir das

Und seit R = 1, dann sin(α) = y 0 .

Im Einheitskreis kann der Ordinatenwert nicht kleiner als -1 und größer als 1 sein, was bedeutet, dass

Der Sinus ist im ersten und zweiten Viertel des Einheitskreises positiv und im dritten und vierten negativ.

Kosinus eines Winkels gegebener Kreis, der durch den Radiusvektor gebildet wird ODER, ist die Abszisse des Punktes R Vektoren auf einem Kreis.

Das heißt, um den Wert des Kosinus eines gegebenen Winkels Alpha zu erhalten, ist es notwendig, die Koordinate zu bestimmen X auf der Oberfläche.

Der Kosinus eines beliebigen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse, das bekommen wir

Und seit R = 1, dann cos(α) = x 0 .

Im Einheitskreis kann der Wert der Abszisse nicht kleiner als -1 und größer als 1 sein, was bedeutet, dass

Der Kosinus ist im ersten und vierten Quadranten des Einheitskreises positiv und im zweiten und dritten negativ.

Tangentebeliebigen Winkel das Verhältnis von Sinus zu Cosinus wird berechnet.

Betrachten wir ein rechtwinkliges Dreieck, dann ist dies das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten. Wenn wir von einem Einheitskreis sprechen, dann ist dies das Verhältnis der Ordinate zur Abszisse.

Nach diesen Beziehungen zu urteilen, kann verstanden werden, dass die Tangente nicht existieren kann, wenn der Wert der Abszisse Null ist, dh bei einem Winkel von 90 Grad. Die Tangente kann alle anderen Werte annehmen.

Die Tangente ist im ersten und dritten Viertel des Einheitskreises positiv und im zweiten und vierten negativ.

Dieser Artikel hat gesammelt Tabellen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens. Zuerst geben wir eine Tabelle der Hauptwerte trigonometrischer Funktionen, dh eine Tabelle mit Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens der Winkel 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 Grad ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π Bogenmaß). Danach geben wir eine Tabelle mit Sinus und Cosinus sowie eine Tabelle mit Tangenten und Kotangens von V. M. Bradis und zeigen, wie diese Tabellen verwendet werden, wenn die Werte trigonometrischer Funktionen ermittelt werden.

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Sinus-, Kosinus-, Tangens- und Kotangenstabelle für Winkel 0, 30, 45, 60, 90, ... Grad

Referenzliste.

• Algebra: Proz. für 9 Zellen. durchschn. Schule / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 S.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra und Beginn der Analysis: Proc. für 10-11 Zellen. durchschn. Schule - 3. Aufl. - M.: Aufklärung, 1993. - 351 S.: Abb. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra und Beginn der Analyse: Proc. für 10-11 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn und andere; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. Aufl.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 S.: Abb.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.
• Bradis V.M. Vierstellige mathematische Tabellen: Für die allgemeine Bildung. Lehrbuch Betriebe. - 2. Aufl. - M.: Bustard, 1999.- 96 S.: mit Abb. ISBN 5-7107-2667-2

|BD| - die Länge des Kreisbogens mit Mittelpunkt A.
α ist der im Bogenmaß ausgedrückte Winkel.

Tangente ( tga) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt, der gleich dem Verhältnis der Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| ist auf die Länge des angrenzenden Schenkels |AB| .
Kotangens ( ctgα) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt, der gleich dem Verhältnis der Länge des benachbarten Schenkels |AB| ist auf die Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| .

Tangente

Woher n- ganz.

In der westlichen Literatur wird die Tangente wie folgt bezeichnet:
.
;
;
.

Graph der Tangensfunktion, y = tg x

Kotangens

Woher n- ganz.

In der westlichen Literatur wird der Kotangens wie folgt bezeichnet:
.
Die folgende Notation wurde ebenfalls übernommen:
;
;
.

Graph der Kotangensfunktion, y = ctg x

Eigenschaften von Tangens und Kotangens

Periodizität

Funktionen y= tg x und y= ctg x sind periodisch mit der Periode π.

Parität

Die Funktionen Tangens und Kotangens sind ungerade.

Definitions- und Wertebereiche, aufsteigend, absteigend

Die Funktionen Tangens und Kotangens sind auf ihrem Definitionsbereich stetig (siehe Stetigkeitsbeweis). Die Haupteigenschaften von Tangens und Kotangens sind in der Tabelle dargestellt ( n- Ganzzahl).

	y= tg x	y= ctg x
Reichweite und Kontinuität
Wertebereich	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Aufsteigend		-
Absteigend	-
Extreme	-	-
Nullen, y= 0
Schnittpunkte mit der y-Achse, x = 0	y= 0	-

Formeln

Ausdrücke in Bezug auf Sinus und Cosinus

; ;
; ;
;

Formeln für Tangens und Kotangens von Summe und Differenz

Die restlichen Formeln sind beispielsweise leicht zu beschaffen

Produkt von Tangenten

Die Formel für die Summe und Differenz von Tangenten

Diese Tabelle zeigt die Werte von Tangenten und Kotangens für einige Werte des Arguments.

Ausdrücke in Bezug auf komplexe Zahlen

Ausdrücke in Bezug auf hyperbolische Funktionen

;
;

Derivate

; .

.
Ableitung n-ter Ordnung nach der Variablen x der Funktion :
.
Herleitung von Formeln für Tangens > > > ; für Kotangens > > >

Integrale

Erweiterungen zur Serie

Um die Entwicklung des Tangens in Potenzen von x zu erhalten, müssen Sie für die Funktionen mehrere Terme der Entwicklung in eine Potenzreihe nehmen Sünde x und cos x und dividiere diese Polynome ineinander , . Daraus ergeben sich die folgenden Formeln.

Beim .

beim .
wo B n- Bernoulli-Zahlen. Sie werden entweder aus der Wiederholungsrelation bestimmt:
;
;
wo .
Oder nach der Laplace-Formel:

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktionen zu Tangens und Kotangens sind Arkustangens bzw. Arkuskotangens.

Arctangens, arctg

, wo n- ganz.

Bogentangente, arcctg

, wo n- ganz.

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.
G. Korn, Handbuch der Mathematik für Forscher und Ingenieure, 2012.

Siehe auch:

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