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Prüfungsvorbereitungskurs für die Klassen 10-11, sowie für Lehrkräfte. Alles, was Sie brauchen, um Teil 1 der Prüfung in Mathematik (die ersten 12 Aufgaben) und Aufgabe 13 (Trigonometrie) zu lösen. Und das sind mehr als 70 Punkte im Einheitlichen Staatsexamen, und darauf kann weder ein Hundertpunkte-Student noch ein Humanist verzichten.

Die ganze notwendige Theorie. Schnelle Lösungen, Fallen und Geheimnisse der Prüfung. Alle relevanten Aufgaben von Teil 1 der Bank of FIPI-Aufgaben wurden analysiert. Der Kurs entspricht vollständig den Anforderungen des USE-2018.

Der Kurs beinhaltet 5 große Themen zu je 2,5 Stunden. Jedes Thema ist von Grund auf neu, einfach und übersichtlich.

Hunderte von Prüfungsaufgaben. Textprobleme und Wahrscheinlichkeitstheorie. Einfache und leicht zu merkende Problemlösungsalgorithmen. Geometrie. Theorie, Referenzmaterial, Analyse aller Arten von USE-Aufgaben. Stereometrie. Schlaue Tricks zum Lösen, nützliche Spickzettel, Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens. Trigonometrie von Grund auf - zu Aufgabe 13. Verstehen statt pauken. Visuelle Erklärung komplexer Konzepte. Algebra. Wurzeln, Potenzen und Logarithmen, Funktion und Ableitung. Basis zur Lösung komplexer Probleme des 2. Teils der Prüfung.

Messen Sie alle erforderlichen Entfernungen in Metern. Das Volumen vieler dreidimensionaler Figuren lässt sich mit entsprechenden Formeln leicht berechnen. Alle in die Formeln eingesetzten Werte müssen jedoch in Metern gemessen werden. Stellen Sie daher vor dem Einsetzen von Werten in die Formel sicher, dass sie alle in Metern gemessen sind oder dass Sie andere Maßeinheiten in Meter umgerechnet haben.

• 1 mm = 0,001 m
• 1 cm = 0,01 m
• 1 km = 1000 m

Um das Volumen rechteckiger Formen (rechteckiger Kasten, Würfel) zu berechnen, verwenden Sie die Formel: Volumen = L × B × H(Länge mal Breite mal Höhe). Diese Formel kann als Produkt der Oberfläche einer der Flächen der Figur und der zu dieser Fläche senkrechten Kante betrachtet werden.

• Berechnen wir beispielsweise das Volumen eines Raumes mit einer Länge von 4 m, einer Breite von 3 m und einer Höhe von 2,5 m. Dazu multiplizieren Sie einfach die Länge mit der Breite mit der Höhe:
  • 4 × 3 × 2,5
  • = 12 × 2,5
  • = 30. Das Volumen dieses Raumes ist 30 m 3.
• Ein Würfel ist eine dreidimensionale Figur, bei der alle Seiten gleich sind. Somit kann die Formel zur Berechnung des Volumens eines Würfels geschrieben werden als: Volumen \u003d L 3 (oder W 3 oder H 3).

Um das Volumen von Figuren in Form eines Zylinders zu berechnen, verwenden Sie die Formel: Pi× R 2 × H. Die Berechnung des Volumens eines Zylinders reduziert sich auf die Multiplikation der Fläche der runden Basis mit der Höhe (oder Länge) des Zylinders. Finden Sie die Fläche der kreisförmigen Basis, indem Sie die Zahl Pi (3.14) mit dem Quadrat des Radius des Kreises (R) multiplizieren (der Radius ist der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Punkt, der auf diesem Kreis liegt). Dann multiplizieren Sie das Ergebnis mit der Höhe des Zylinders (H) und Sie erhalten das Volumen des Zylinders. Alle Werte sind in Metern gemessen.

• Berechnen wir beispielsweise das Volumen eines Brunnens mit einem Durchmesser von 1,5 m und einer Tiefe von 10 m. Teilen Sie den Durchmesser durch 2, um den Radius zu erhalten: 1,5/2 = 0,75 m.
  • (3,14) × 0,75 2 × 10
  • = (3,14) × 0,5625 × 10
  • = 17,66. Das Volumen des Brunnens ist 17,66 m3.

Um das Volumen einer Kugel zu berechnen, verwenden Sie die Formel: 4/3x Pi× R3. Das heißt, Sie müssen nur den Radius (R) der Kugel kennen.

• Berechnen wir zum Beispiel das Volumen eines Ballons mit einem Durchmesser von 10 m. Teilen Sie den Durchmesser durch 2, um den Radius zu erhalten: 10/2=5 m.
  • 4/3 x pi × (5) 3
  • = 4/3 x (3,14) x 125
  • = 4,189 × 125
  • = 523,6. Das Volumen des Ballons ist 523,6 m3.

Um das Volumen von Figuren in Form eines Kegels zu berechnen, verwenden Sie die Formel: 1/3x Pi× R 2 × H. Das Volumen eines Kegels beträgt 1/3 des Volumens eines Zylinders mit gleicher Höhe und gleichem Radius.

• Wenn wir zum Beispiel das Volumen einer Eiswaffel mit einem Radius von 3 cm und einer Höhe von 15 cm berechnen, erhalten wir bei der Umrechnung in Meter: 0,03 m bzw. 0,15 m.
  • 1/3 x (3,14) x 0,03 2 x 0,15
  • = 1/3 x (3,14) x 0,0009 x 0,15
  • = 1/3 × 0,0004239
  • = 0,000141. Das Volumen einer Eiswaffel ist 0,000141 m 3.

Verwenden Sie mehrere Formeln, um das Volumen unregelmäßiger Formen zu berechnen. Versuchen Sie dazu, die Figur in mehrere Formen der richtigen Form zu zerlegen. Finden Sie dann das Volumen jeder dieser Figuren und addieren Sie die Ergebnisse.

• Lassen Sie uns zum Beispiel das Volumen eines kleinen Getreidespeichers berechnen. Der Speicher hat einen zylindrischen Körper mit einer Höhe von 12 m und einem Radius von 1,5 m. Der Speicher hat auch ein konisches Dach mit einer Höhe von 1 m. Durch getrennte Berechnung des Volumens des Daches und des Volumens des Körpers können wir das Gesamtvolumen des ermitteln Getreidespeicher:
  • Pi × R 2 × H + 1/3 x Pi × R 2 × H
  • (3.14) x 1,5 2 x 12 + 1/3 x (3.14) x 1,5 2 x 1
  • = (3,14) × 2,25 × 12 + 1/3 × (3,14) × 2,25 × 1
  • = (3,14) × 27 + 1/3 × (3,14) × 2,25
  • = 84,822 + 2,356
  • = 87,178. Das Volumen des Getreidespeichers ist 87.178 m3.

Jeder geometrische Körper kann durch Oberfläche (S) und Volumen (V) charakterisiert werden. Fläche und Volumen sind nicht dasselbe. Ein Objekt kann zum Beispiel ein relativ kleines V und ein großes S haben, so funktioniert das menschliche Gehirn. Es ist viel einfacher, diese Indikatoren für einfache geometrische Formen zu berechnen.

Parallelepiped: Definition, Typen und Eigenschaften

Ein Parallelepiped ist ein viereckiges Prisma mit einem Parallelogramm an seiner Basis. Warum brauchen Sie vielleicht eine Formel, um das Volumen einer Figur zu finden? Bücher, Kartons und viele andere Dinge aus dem Alltag haben eine ähnliche Form. Räume in Wohn- und Bürogebäuden sind in der Regel rechteckige Parallelepipede. Um Lüftung und Klimaanlage zu installieren und die Anzahl der Heizelemente in einem Raum zu bestimmen, muss das Raumvolumen berechnet werden.

Die Figur hat 6 Flächen - Parallelogramme und 12 Kanten, zwei willkürlich gewählte Flächen werden Basen genannt. Das Parallelepiped kann von mehreren Arten sein. Die Unterschiede sind auf die Winkel zwischen benachbarten Kanten zurückzuführen. Die Formeln zum Finden der Vs verschiedener Polygone sind etwas anders.

Wenn 6 Flächen einer geometrischen Figur Rechtecke sind, dann wird sie auch rechteckig genannt. Ein Würfel ist ein Sonderfall eines Parallelepipeds, bei dem alle 6 Flächen gleiche Quadrate sind. In diesem Fall müssen Sie, um V zu finden, die Länge von nur einer Seite kennen und sie in die dritte Potenz erheben.

Um Probleme zu lösen, benötigen Sie nicht nur Kenntnisse über vorgefertigte Formeln, sondern auch über die Eigenschaften der Figur. Die Liste der grundlegenden Eigenschaften eines rechteckigen Prismas ist klein und sehr einfach zu verstehen:

1. Gegenüberliegende Flächen der Figur sind gleich und parallel. Das bedeutet, dass die gegenüberliegenden Rippen in Länge und Neigungswinkel gleich sind.
2. Alle Seitenflächen eines geraden Parallelepipeds sind Rechtecke.
3. Die vier Hauptdiagonalen einer geometrischen Figur schneiden sich in einem Punkt und teilen sie in zwei Hälften.
4. Das Quadrat der Diagonale eines Parallelepipeds ist gleich der Summe der Quadrate der Abmessungen der Figur (folgt aus dem Satz des Pythagoras).

Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Flächen der Quadrate, die auf den Beinen eines rechtwinkligen Dreiecks aufgebaut sind, gleich der Fläche des Dreiecks ist, das auf der Hypotenuse desselben Dreiecks aufgebaut ist.

Der Beweis der letzten Eigenschaft ist im Bild unten zu sehen. Die Lösung des Problems ist einfach und erfordert keine detaillierten Erklärungen.

Die Formel für das Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds

Die Formel zum Finden aller Arten von geometrischen Formen ist dieselbe: V=S*h, wobei V das gewünschte Volumen ist, S die Fläche der Basis des Parallelepipeds ist, h die Höhe ist, die vom gegenüberliegenden Scheitel und der Senkrechten abgesenkt ist zur Basis. In einem Rechteck fällt h mit einer der Seiten der Figur zusammen. Um das Volumen eines rechteckigen Prismas zu ermitteln, müssen Sie also drei Messungen multiplizieren.

Das Volumen wird üblicherweise in cm3 angegeben. Wenn Sie alle drei Werte a, b und c kennen, ist es überhaupt nicht schwierig, das Volumen der Figur zu finden. Die häufigste Art von Problemen im USE ist die Suche nach dem Volumen oder der Diagonalen eines Parallelepipeds. Viele typische USE-Aufgaben lassen sich ohne eine Formel für das Volumen eines Rechtecks ​​nicht lösen. Ein Beispiel für eine Aufgabe und das Design ihrer Lösung ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Anmerkung 1. Die Oberfläche eines rechteckigen Prismas kann ermittelt werden, indem die Summe der Flächen der drei Flächen der Figur mit 2 multipliziert wird: die Basis (ab) und zwei benachbarte Seitenflächen (bc + ac).

Anmerkung 2. Die Fläche der Seitenflächen lässt sich leicht ermitteln, indem man den Umfang der Grundfläche mit der Höhe des Quaders multipliziert.

Basierend auf der ersten Eigenschaft von Parallelepipeden, AB = A1B1 und der Fläche B1D1 = BD. Nach den Konsequenzen des Satzes von Pythagoras ist die Summe aller Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck gleich 180 °, und das dem Winkel von 30 ° gegenüberliegende Bein ist gleich der Hypotenuse. Wenn wir dieses Wissen auf ein Dreieck anwenden, können wir leicht die Länge der Seiten AB und AD finden. Dann multiplizieren wir die erhaltenen Werte und berechnen das Volumen des Parallelepipeds.

Die Formel zum Ermitteln des Volumens einer schrägen Box

Um das Volumen eines geneigten Parallelepipeds zu ermitteln, muss die Fläche der Basis der Figur mit der Höhe multipliziert werden, die aus dem entgegengesetzten Winkel auf diese Basis abgesenkt wird.

Somit kann das gewünschte V als h dargestellt werden - die Anzahl der Blätter mit einer Fläche S der Basis, sodass sich das Volumen des Decks aus den Vs aller Karten zusammensetzt.

Beispiele für Problemlösungen

Die Aufgaben der Einzelprüfung müssen innerhalb einer bestimmten Zeit bearbeitet werden. Typische Aufgaben enthalten in der Regel keine große Anzahl von Berechnungen und komplexen Brüchen. Oft wird einem Schüler angeboten, das Volumen einer unregelmäßigen geometrischen Figur zu finden. In solchen Fällen sollten Sie sich an die einfache Regel erinnern, dass das Gesamtvolumen gleich der Summe der V-s der Bestandteile ist.

Wie Sie dem Beispiel im obigen Bild entnehmen können, ist die Lösung solcher Probleme nicht kompliziert. Aufgaben aus komplexeren Abschnitten erfordern die Kenntnis des Satzes des Pythagoras und seiner Konsequenzen sowie der Formel für die Länge der Diagonalen einer Figur. Um Testaufgaben erfolgreich zu lösen, reicht es aus, sich vorab mit Beispielen typischer Aufgabenstellungen vertraut zu machen.

Allgemeine Überprüfung. Formeln der Stereometrie!

Hallo liebe Freunde! In diesem Artikel habe ich beschlossen, einen allgemeinen Überblick über die Probleme in der Stereometrie zu geben, die auftreten werden VERWENDUNG in der Mathematik e) Es muss gesagt werden, dass die Aufgaben dieser Gruppe sehr vielfältig, aber nicht schwierig sind. Das sind Aufgaben zum Finden geometrischer Größen: Längen, Winkel, Flächen, Volumen.

Betrachtet: ein Würfel, ein rechteckiges Parallelepiped, ein Prisma, eine Pyramide, ein zusammengesetztes Polyeder, ein Zylinder, ein Kegel, eine Kugel. Es ist traurig, dass einige Absolventen solche Aufgaben nicht einmal bei der Prüfung selbst übernehmen, obwohl mehr als 50% davon elementar, fast mündlich gelöst werden.

Der Rest erfordert wenig Aufwand, Wissen und spezielle Techniken. In zukünftigen Artikeln werden wir diese Aufgaben berücksichtigen, verpassen Sie es nicht, abonnieren Sie das Blog-Update.

Um es zu lösen, müssen Sie es wissen Oberflächen- und Volumenformeln Quader, Pyramide, Prisma, Zylinder, Kegel und Kugel. Es gibt keine komplexen Aufgaben, sie werden alle in 2-3 Schritten gelöst, es ist wichtig zu "sehen", welche Formel angewendet werden muss.

Alle notwendigen Formeln sind unten dargestellt:

Ball oder Kugel. Eine sphärische oder kugelförmige Oberfläche (manchmal einfach eine Kugel) ist der Ort von Punkten im Raum, die von einem Punkt gleich weit entfernt sind - dem Mittelpunkt der Kugel.

Ballvolumen gleich dem Volumen der Pyramide, deren Grundfläche die gleiche Fläche hat wie die Oberfläche der Kugel, und deren Höhe der Radius der Kugel ist

Das Volumen einer Kugel ist anderthalbmal kleiner als das Volumen eines umschriebenen Zylinders.

Einen runden Kegel erhält man, indem man ein rechtwinkliges Dreieck um einen seiner Schenkel dreht, daher wird ein runder Kegel auch Rotationskegel genannt. Siehe auch Fläche eines Kreiskegels

Volumen eines runden Kegels ist gleich einem Drittel des Produkts aus der Grundfläche S und der Höhe H:

(H - Würfelkantenhöhe)

Ein Parallelepiped ist ein Prisma, dessen Grundfläche ein Parallelogramm ist. Das Parallelepiped hat sechs Seiten, und alle sind Parallelogramme. Ein Parallelepiped, dessen vier Seitenflächen Rechtecke sind, wird als rechtwinkliges Parallelepiped bezeichnet. Eine rechte Box, in der alle sechs Flächen Rechtecke sind, wird als rechteckige Box bezeichnet.

Volumen eines Quaders ist gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe:

(S ist die Fläche der Basis der Pyramide, h ist die Höhe der Pyramide)

Eine Pyramide ist ein Polyeder mit einer Seite - der Basis der Pyramide - einem beliebigen Polygon und dem Rest - Seitenflächen - Dreiecken mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt, der als Spitze der Pyramide bezeichnet wird.

Ein Abschnitt parallel zur Basis der Pyramide teilt die Pyramide in zwei Teile. Der Teil der Pyramide zwischen ihrer Basis und diesem Abschnitt ist ein Pyramidenstumpf.

Volumen eines Pyramidenstumpfes ist gleich einem Drittel des Produkts der Höhe h (Betriebssystem) durch die Summe der Flächen der oberen Basis S1 (abcde), die untere Basis des Pyramidenstumpfes S2 (ABCD) und das durchschnittliche Verhältnis zwischen ihnen.

1.

v=

n - die Anzahl der Seiten eines regelmäßigen Polygons - die Basen einer regelmäßigen Pyramide
a - Seite eines regelmäßigen Polygons - Basen einer regelmäßigen Pyramide
h - die Höhe der regelmäßigen Pyramide

Eine regelmäßige dreieckige Pyramide ist ein Polyeder mit einer Fläche - der Basis der Pyramide - einem regelmäßigen Dreieck und dem Rest - Seitenflächen - gleichen Dreiecken mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt. Die Höhe nimmt von oben bis zur Mitte der Basis ab.

Volumen einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide ist gleich einem Drittel des Produkts der Fläche eines gleichseitigen Dreiecks, das die Basis ist S (ABC) zur Höhe h (Betriebssystem)

a - Seite eines regelmäßigen Dreiecks - Basen einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide
h - die Höhe einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide

Herleitung der Formel für das Volumen eines Tetraeders

Das Volumen eines Tetraeders wird mit der klassischen Formel für das Volumen einer Pyramide berechnet. Es ist notwendig, die Höhe des Tetraeders und die Fläche eines regelmäßigen (gleichseitigen) Dreiecks darin zu ersetzen.

Volumen eines Tetraeders- ist gleich dem Bruch im Zähler, dessen Quadratwurzel aus zwei im Nenner zwölf ist, multipliziert mit der dritten Potenz der Kantenlänge des Tetraeders

(h ist die Seitenlänge der Raute)

Umfang p ist etwa drei ganze und ein Siebtel der Länge des Durchmessers eines Kreises. Das genaue Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser wird mit dem griechischen Buchstaben bezeichnet π

Als Ergebnis wird der Umfang eines Kreises oder der Umfang eines Kreises nach der Formel berechnet

π rn

(r ist der Radius des Bogens, n ist der Mittelpunktswinkel des Bogens in Grad.)