Sorokina Vika

Es werden Beweise für die Eigenschaften der Winkelhalbierenden eines Dreiecks gegeben und die Anwendung der Theorie zur Lösung von Problemen betrachtet.

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Komitee für Bildung der Verwaltung von Saratov, Oktyabrsky District Municipal Autonome Bildungseinrichtung Lyzeum Nr. 3 benannt nach. A. S. Puschkin.

Städtische Wissenschaft und Praxis

Konferenz

"Erste Schritte"

Gegenstand: Winkelhalbierende und ihre Eigenschaften.

Die Arbeit wurde fertiggestellt von: einem Schüler der 8. Klasse

Sorokina VictoriaBetreuer: Mathematiklehrer der höchsten KategoriePopova Nina Fjodorowna

Saratow 2011

1. Titelseite …………………………………………………………...1
2. Inhalt ……………………………………………………………………2
3. Einführung und Ziele………………………………………………………... ..3
4. Berücksichtigung der Eigenschaften der Winkelhalbierenden

• Dritter Ort der Punkte ………………………………….3
• Satz 1………………………………………………………………....4
• Satz 2……………………………………………………………………4
• Die Haupteigenschaft der Winkelhalbierenden eines Dreiecks:

1. Satz 3………………………………………………………………...4
2. Aufgabe 1…………………………………………………………… ….7
3. Aufgabe 2………………………………………………………………….8
4. Aufgabe 3……………………………………………………………….....9
5. Aufgabe 4 ……………………………………………………………….9-10

• Satz 4 ……………………………………………………………10-11
• Formeln zum Finden der Winkelhalbierenden:

1. Satz 5……………………………………………………………….11
2. Satz 6……………………………………………………………….11
3. Satz 7……………………………………………………………….12
4. Aufgabe 5…………………………………………………………...12-13

• Satz 8……………………………………………………………….13
• Aufgabe 6………………………………………………………...…….14
• Aufgabe 7………………………………………………………………14-15
• Bestimmung über die Winkelhalbierende der Himmelsrichtungen………………15

1. Schluss und Schluss………………………………………………………..15
2. Liste der verwendeten Literatur ……………………………………..16

Bisektor

In einer Geometriestunde, in der ich mich mit dem Thema ähnlicher Dreiecke befasste, stieß ich auf ein Problem zum Satz über das Verhältnis der Winkelhalbierenden zu gegenüberliegenden Seiten. Es scheint, dass das Thema der Winkelhalbierenden etwas Interessantes enthalten könnte, aber dieses Thema interessierte mich und ich wollte es eingehender studieren. Schließlich ist die Winkelhalbierende sehr reich an erstaunlichen Eigenschaften, die bei der Lösung verschiedener Probleme helfen.

Wenn Sie sich mit diesem Thema befassen, können Sie feststellen, dass Geometrielehrbücher sehr wenig über die Eigenschaften der Winkelhalbierenden aussagen, und in Prüfungen können Sie Probleme viel einfacher und schneller lösen, wenn Sie sie kennen. Darüber hinaus müssen moderne Schüler, um das GIA und das Einheitliche Staatsexamen zu bestehen, zusätzliche Materialien für den Schullehrplan selbst studieren. Deshalb habe ich mich entschieden, das Thema der Winkelhalbierenden genauer zu studieren.

Winkelhalbierende (von lat. bi- „doppelt“ und sectio „Schneiden“) eines Winkels - ein Strahl mit dem Anfang am Scheitelpunkt des Winkels, der den Winkel in zwei gleiche Teile teilt. Die Winkelhalbierende (zusammen mit ihrer Verlängerung) ist der Ort der Punkte, die von den Seiten des Winkels (oder ihren Verlängerungen) gleich weit entfernt sind)

Dritter Ort der Punkte

Abbildung F ist der Ort der Punkte (die Menge der Punkte), die eine Eigenschaft haben SONDERN, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

1. aus der Tatsache, dass der Punkt zur Figur gehört F, daraus folgt, dass es die Eigenschaft hat SONDERN;
2. aus der Tatsache, dass der Punkt die Eigenschaft erfüllt SONDERN, daraus folgt, dass es zur Figur gehört F.

Der erste Ort von Punkten, der in der Geometrie betrachtet wird, ist ein Kreis, d.h. Ortskurve von Punkten, die von einem festen Punkt gleich weit entfernt sind. Die zweite ist die senkrechte Winkelhalbierende des Segments, d.h. Ortskurve von Punkten, die vom Ende eines Segments gleich weit entfernt sind. Und schließlich die dritte - die Winkelhalbierende - der Ort der Punkte, die von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt sind

Satz 1:

Die Punkte der Winkelhalbierenden sind von den Seiten gleich weit entfernt Er ist eine Ecke.

Nachweisen:

Lassen Sie P - Halbierungspunkt SONDERN. Vom Punkt fallen lassenR Senkrechten Wohnmobil u PC pro Seitenecke. Dann ist VAR = SAR Hypotenuse und spitzer Winkel. Daher ist RV = PC

Satz 2:

Wenn der Punkt P von den Seiten des Winkels A gleich weit entfernt ist, dann liegt er auf der Winkelhalbierenden.

Beweis: РВ = PC => ВАР = СAP => BAP= CAP => АР ist eine Winkelhalbierende.

Zu den grundlegenden geometrischen Tatsachen gehört der Satz, dass die Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite in Bezug auf gegenüberliegende Seiten teilt. Diese Tatsache ist lange im Schatten geblieben, aber überall gibt es Probleme, die viel einfacher zu lösen sind, wenn man diese und andere Fakten über die Winkelhalbierende kennt. Ich wurde interessiert und beschloss, diese Eigenschaft der Winkelhalbierenden eingehender zu untersuchen.

Grundeigenschaft der Winkelhalbierenden eines Dreiecks

Satz 3. Die Winkelhalbierende teilt die gegenüberliegende Seite des Dreiecks in Bezug auf die angrenzenden Seiten.

Beweis 1:

Gegeben: AL- Winkelhalbierende des Dreiecks ABC

Beweisen:

Beweis: Sei F - Schnittpunkt einer Linie AL und eine Gerade, die durch einen Punkt geht BEIM parallel zur Seite AC.

Dann ist BFA = FAC = BAF. Daher BAF gleichschenklig u AB = BF. Aus der Ähnlichkeit von Dreiecken ALC und FLB haben wir

Verhältnis

wo

Beweis 2

Sei F der Punkt, der von der Linie AL und der Linie geschnitten wird, die durch den Punkt C parallel zur Basis AB verläuft. Dann kannst du die Argumentation wiederholen.

Beweis 3

Seien K und M die Basen der Lote, die auf die Linie fallen AL von den Punkten B und C bzw. Die Dreiecke ABL und ACL sind in zwei Winkeln ähnlich. So
. Und von der Ähnlichkeit von BKL und CML haben wir

Von hier

Beweis 4

Verwenden wir die Bereichsmethode. Berechnen Sie die Flächen von Dreiecken ABL und ACL zwei Wege.

Von hier.

Beweis 5

Sei α= BAC,φ= BLA. Nach dem Sinussatz im Dreieck ABL

Und im Dreieck ACL.

Als ,

Wenn wir dann beide Teile der Gleichheit durch die entsprechenden Teile der anderen dividieren, erhalten wir.

Aufgabe 1

Gegeben: Im Dreieck ABC ist VC die Winkelhalbierende, BC=2, KS=1,

Entscheidung:

Aufgabe 2

Gegeben:

Finden Sie die Winkelhalbierenden der spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Schenkeln 24 und 18

Entscheidung:

Lassen Sie Bein AC = 18, Bein BC = 24,

BIN ist die Winkelhalbierende des Dreiecks.

Nach dem Satz des Pythagoras finden wir

dass AB = 30.

Seit damals

Ebenso finden wir die zweite Winkelhalbierende.

Antworten:

Aufgabe 3

In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit rechtem Winkel B Winkelhalbierende EIN Seite kreuzt BC

Am Punkt D. Es ist bekannt, dass BD = 4, DC = 6.

Finden Sie die Fläche eines Dreiecks ADC

Entscheidung:

Durch die Eigenschaft der Winkelhalbierenden eines Dreiecks

Bezeichne AB = 2 x , AC = 3 x . Nach Satz

Pythagoräisch BC 2 + AB 2 = AC 2 oder 100 + 4 x 2 = 9 x 2

Ab hier finden wir das x = Dann AB = , S ABC=

Somit,

Aufgabe 4

Gegeben:

In einem gleichschenkligen Dreieck ABC Seite AB gleich 10, Basis AC ist 12.

Winkelhalbierende A und C in einem Punkt schneiden D. BD finden.

Entscheidung:

Da sich die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden

Ein Punkt, dann ist BD die Winkelhalbierende von B. Machen wir weiter mit BD bis zur Kreuzung mit AC am Punkt M . Dann ist M der Mittelpunkt von AC , BM AC . So

Denn CD - Dreieckshalbierende BMC dann

Somit,.

Antworten:

Satz 4 . Die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

Betrachten Sie in der Tat zuerst den Punkt Р des Schnittpunkts zweier Winkelhalbierender, zum Beispiel AK 1 und VC2 . Dieser Punkt ist von den Seiten AB und AC gleich weit entfernt, da er auf der Winkelhalbierenden liegtA, und gleich entfernt von den Seiten AB und BC, als zur Winkelhalbierenden gehörendB. Daher ist es von den Seiten AC und BC gleich weit entfernt und gehört somit zur dritten Winkelhalbierenden von SC 3 , das heißt, im Punkt P schneiden sich alle drei Winkelhalbierenden.

Formeln zum Finden der Winkelhalbierenden
Satz5: (die erste Formel für die Winkelhalbierende): Wenn im Dreieck ABC das Segment AL eine Winkelhalbierende ist A, dann AL² = AB AC - LB LC.

Nachweisen: Sei M der Schnittpunkt der Linie AL mit dem um das Dreieck ABC umschriebenen Kreis (Abb. 41). Der BAM-Winkel ist per Konvention gleich dem MAC-Winkel. Die Winkel BMA und BCA sind gleich wie eingeschriebene Winkel, die auf derselben Sehne basieren. Daher sind die Dreiecke BAM und LAC in zwei Winkeln ähnlich. Also AL: AC = AB: AM. AL AM = AB AC AL (AL + LM) = AB AC AL² = AB AC - AL LM = AB AC - BL LC. Q.E.D.

Satz 6: . (zweite Formel für die Winkelhalbierende): Im Dreieck ABC mit den Seiten AB=a, AC=b undA, gleich 2α und der Winkelhalbierenden von l, findet die Gleichheit statt:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

Nachweisen : Sei ABC ein gegebenes Dreieck, AL seine Winkelhalbierende, a=AB, b=AC, l=AL. Dann S ABC = S ALB + S ALC . Daher ist ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. Der Satz ist bewiesen.

Satz 7: Wenn a, b die Seiten des Dreiecks sind, ist Y der Winkel zwischen ihnen,ist die Winkelhalbierende dieses Winkels. Dann.

Satz. Die Winkelhalbierende des Innenwinkels eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite in Teile, die proportional zu den angrenzenden Seiten sind.

Nachweisen. Betrachten wir das Dreieck ABC (Abb. 259) und die Winkelhalbierende seines Winkels B. Zeichnen wir eine Linie CM durch den Scheitelpunkt C, parallel zur Winkelhalbierenden VC, bis sie sich im Punkt M mit der Fortsetzung der Seite AB schneidet. Da VC die Winkelhalbierende des Winkels ABC ist, dann . Ferner als entsprechende Winkel an parallelen Linien und als kreuzweise liegende Winkel an parallelen Linien. Von hier und daher - gleichschenklig, woher. Nach dem Satz über parallele Linien, die die Seiten des Winkels schneiden, haben wir und angesichts dessen erhalten wir, was bewiesen werden musste.

Die Winkelhalbierende des Außenwinkels B des Dreiecks ABC (Abb. 260) hat eine ähnliche Eigenschaft: Die Strecken AL und CL von den Eckpunkten A und C bis zum Punkt L sind der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden mit der Fortsetzung der Seite AC proportional zu den Seiten des Dreiecks:

Diese Eigenschaft wird auf die gleiche Weise wie die vorherige bewiesen: In Abb. 260 ist parallel zur Winkelhalbierenden BL eine Hilfsgerade SM eingezeichnet. Der Leser selbst wird sich von der Gleichheit der Winkel BMC und BCM und damit der Seiten BM und BC des Dreiecks BMC überzeugen, woraufhin das erforderliche Verhältnis sofort erhalten wird.

Wir können sagen, dass die Winkelhalbierende des Außenwinkels auch die gegenüberliegende Seite in Teile teilt, die proportional zu den angrenzenden Seiten sind; es muss lediglich der „externen Aufteilung“ des Segments zugestimmt werden.

Der Punkt L, der außerhalb des Segments AC liegt (auf seiner Fortsetzung), teilt es extern in Bezug auf if So teilen die Winkelhalbierenden des Dreieckswinkels (intern und extern) die gegenüberliegende Seite (intern und extern) in Teile proportional zu die angrenzenden Seiten.

Aufgabe 1. Die Seiten des Trapezes sind 12 und 15, die Grundseiten 24 und 16. Finden Sie die Seiten des Dreiecks, das durch die große Grundseite des Trapezes und seine verlängerten Seiten gebildet wird.

Entscheidung. In der Notation von Abb. 261 haben wir für das als Fortsetzung der Seitenfläche dienende Segment die Proportion, aus der wir leicht finden. In ähnlicher Weise bestimmen wir die zweite Seitenfläche des Dreiecks. Die dritte Seite fällt mit der großen Basis zusammen: .

Aufgabe 2. Die Grundseiten des Trapezes sind 6 und 15. Wie lang ist das Segment, das parallel zu den Grundseiten verläuft und die Seiten im Verhältnis 1:2 teilt, von den Eckpunkten der kleinen Grundlinie aus gezählt?

Entscheidung. Wenden wir uns Abb. 262, die ein Trapez darstellt. Durch den Scheitel C der kleinen Basis ziehen wir eine Linie parallel zur lateralen Seite AB und schneiden ein Parallelogramm vom Trapez ab. Da finden wir dann ab hier . Daher ist das gesamte unbekannte Segment KL gleich Beachten Sie, dass wir zur Lösung dieses Problems die Seiten des Trapezes nicht kennen müssen.

Aufgabe 3. Die Winkelhalbierende des Innenwinkels B des Dreiecks ABC schneidet die Seite AC in Segmente, in welchem ​​Abstand von den Eckpunkten A und C wird die Winkelhalbierende des Außenwinkels B die Verlängerung AC schneiden?

Entscheidung. Jede der Winkelhalbierenden des Winkels B teilt AC im gleichen Verhältnis, aber eine intern und die andere extern. Wir bezeichnen mit L den Schnittpunkt der Fortsetzung von AC und der Winkelhalbierenden des Außenwinkels B. Da AK bezeichnen wir bis dahin den unbekannten Abstand AL und wir haben das Verhältnis, dessen Lösung uns den erforderlichen Abstand liefert

Machen Sie die Zeichnung selbst.

Übungen

1. Ein Trapez mit den Basen 8 und 18 wird durch gerade Linien parallel zu den Basen in sechs gleich breite Streifen geteilt. Finde die Längen der Liniensegmente, die das Trapez in Streifen teilen.

2. Der Umfang des Dreiecks ist 32. Die Winkelhalbierende des Winkels A teilt die Seite BC in die Teile 5 und 3. Finde die Längen der Seiten des Dreiecks.

3. Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist a, die Seite ist b. Finden Sie die Länge des Segments, das die Schnittpunkte der Winkelhalbierenden der Ecken der Basis mit den Seiten verbindet.

EIGENSCHAFTEN DER BISSEKTOR

Winkelhalbierende Eigenschaft: In einem Dreieck teilt die Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite in Segmente proportional zu den angrenzenden Seiten.

Winkelhalbierende eines Außenwinkels Die Winkelhalbierende eines Außenwinkels eines Dreiecks schneidet die Verlängerung seiner Seite in einem Punkt, dessen Abstände zu den Enden dieser Seite jeweils proportional zu den angrenzenden Seiten des Dreiecks sind. CBA D

Formeln für Winkelhalbierende:

Die Formel zum Ermitteln der Längen der Segmente, in die die Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite des Dreiecks teilt

Die Formel zum Ermitteln des Verhältnisses der Längen der Segmente, in die die Winkelhalbierende geteilt wird, durch den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden

Aufgabe 1. Eine der Winkelhalbierenden eines Dreiecks wird durch den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Verhältnis 3:2 geteilt, von der Spitze aus gerechnet. Bestimmen Sie den Umfang eines Dreiecks, wenn die Seitenlänge des Dreiecks, zu der diese Winkelhalbierende gezogen wird, 12 cm beträgt.

Lösung Wir verwenden die Formel, um das Verhältnis der Längen der Segmente zu finden, in die die Winkelhalbierende durch den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Dreieck geteilt wird: 30. Antwort: P = 30cm.

Aufgabe 2. Die Winkelhalbierenden BD und CE ∆ ABC schneiden sich im Punkt O. AB=14, BC=6, AC=10. OD finden.

Entscheidung. Verwenden wir die Formel zur Bestimmung der Länge der Winkelhalbierenden: Wir haben: BD = BD = = Nach der Formel für das Verhältnis der Segmente, in die die Winkelhalbierende geteilt wird, durch den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden: l = . 2 + 1 = 3 Teile von allem.

das ist Teil 1  OD = Antwort: OD =

Aufgaben In ∆ ABC werden die Winkelhalbierenden AL und BK eingezeichnet. Ermitteln Sie die Länge des Segments KLif AB \u003d 15, AK \u003d 7,5, BL \u003d 5. In ∆ ABC wird die Winkelhalbierende AD gezeichnet, und durch Punkt D verläuft eine gerade Linie parallel zu AC, die AB am Punkt E schneidet. Ermitteln Sie das Verhältnis der Flächen ∆ ABC und ∆ BDE , wenn AB = 5, AC = 7. Ermitteln Sie die Winkelhalbierenden spitzer Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks mit Schenkeln von 24 cm und 18 cm. In einem rechtwinkligen Dreieck teilt die Winkelhalbierende eines spitzen Winkels das gegenüberliegende Bein in Segmente mit einer Länge von 4 und 5 cm. Bestimmen Sie die Fläche des Dreiecks.

5. In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basis und die Seite 5 bzw. 20 cm lang. Finde die Winkelhalbierende des Winkels an der Basis des Dreiecks. 6. Finden Sie die Winkelhalbierende des rechten Winkels eines Dreiecks, dessen Schenkel a und b gleich sind. 7. Berechnen Sie die Länge der Winkelhalbierenden des Winkels A des Dreiecks ABC mit den Seitenlängen a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm. Finde das Verhältnis, in dem sich die Winkelhalbierenden der Innenwinkel an ihrem Schnittpunkt teilen.

Antworten: Antwort: Antwort: Antwort: Antwort: Antwort: Antwort: Antwort: Antwort: AP = 6 AP = 10 siehe KL = CP =

Heute wird eine sehr einfache Lektion sein. Wir werden nur ein Objekt betrachten – die Winkelhalbierende – und ihre wichtigste Eigenschaft beweisen, die uns in Zukunft sehr nützlich sein wird.

Entspannen Sie sich nicht: Manchmal können Schüler, die in der ersten Lektion eine hohe Punktzahl bei derselben OGE oder USE erzielen möchten, nicht einmal die genaue Definition der Winkelhalbierenden formulieren.

Und anstatt wirklich interessante Aufgaben zu erledigen, verbringen wir Zeit mit solch einfachen Dingen. Also lesen, anschauen - und übernehmen. :)

Zunächst eine etwas seltsame Frage: Was ist ein Winkel? Das ist richtig: Ein Winkel besteht nur aus zwei Strahlen, die aus demselben Punkt kommen. Zum Beispiel:

Beispiele für Winkel: spitz, stumpf und rechts

Wie Sie auf dem Bild sehen können, können die Ecken scharf, stumpf, gerade sein - das spielt jetzt keine Rolle. Der Einfachheit halber wird oft ein zusätzlicher Punkt auf jedem Strahl markiert und sie sagen, sie sagen, wir haben einen Winkel $AOB$ (geschrieben als $\angle AOB$).

Der Kapitän scheint anzudeuten, dass man zusätzlich zu den Strahlen $OA$ und $OB$ immer ein Strahlenbündel vom Punkt $O$ aus ziehen kann. Aber unter ihnen wird es einen besonderen geben - er heißt Bisektor.

Definition. Die Winkelhalbierende ist ein Strahl, der aus dem Scheitel dieses Winkels kommt und den Winkel halbiert.

Für die obigen Winkel sehen die Winkelhalbierenden so aus:

Beispiele für Winkelhalbierende für spitze, stumpfe und rechte Winkel

Da es in realen Zeichnungen bei weitem nicht immer offensichtlich ist, dass ein bestimmter Strahl (in unserem Fall der $OM$-Strahl) den Anfangswinkel in zwei gleiche aufteilt, ist es in der Geometrie üblich, gleiche Winkel mit der gleichen Anzahl von zu kennzeichnen Bögen (in unserer Zeichnung ist dies 1 Bogen für einen spitzen Winkel, zwei für einen stumpfen, drei für einen geraden Winkel).

Okay, wir haben die Definition herausgefunden. Jetzt müssen Sie verstehen, welche Eigenschaften die Winkelhalbierende hat.

Grundeigenschaft der Winkelhalbierenden

Tatsächlich hat die Winkelhalbierende viele Eigenschaften. Und wir werden sie definitiv in der nächsten Lektion berücksichtigen. Aber es gibt einen Trick, den Sie jetzt verstehen müssen:

Satz. Die Winkelhalbierende ist der Ort der Punkte, die von den Seiten des gegebenen Winkels gleich weit entfernt sind.

Aus dem Mathematischen ins Russische übersetzt bedeutet dies gleich zwei Tatsachen:

1. Jeder Punkt, der auf der Winkelhalbierenden liegt, ist von den Seiten dieses Winkels gleich weit entfernt.
2. Und umgekehrt: Wenn ein Punkt von den Seiten eines gegebenen Winkels den gleichen Abstand hat, dann liegt er garantiert auf der Winkelhalbierenden dieses Winkels.

Bevor wir diese Aussagen beweisen, wollen wir einen Punkt klären: Was heißt eigentlich der Abstand von einem Punkt zu einer Seite eines Winkels? Dabei hilft uns die gute alte Definition des Abstandes von einem Punkt zu einer Geraden:

Definition. Der Abstand von einem Punkt zu einer Linie ist die Länge der Senkrechten, die von diesem Punkt zu dieser Linie gezogen wird.

Betrachten Sie zum Beispiel eine Linie $l$ und einen Punkt $A$, der nicht auf dieser Linie liegt. Zeichnen Sie eine Senkrechte $AH$, wobei $H\in l$ ist. Dann ist die Länge dieser Senkrechten der Abstand vom Punkt $A$ zur Geraden $l$.

Grafische Darstellung des Abstands von einem Punkt zu einer Linie

Da ein Winkel nur aus zwei Strahlen besteht und jeder Strahl ein Stück einer Linie ist, ist es einfach, den Abstand von einem Punkt zu den Seiten des Winkels zu bestimmen. Es sind nur zwei Senkrechte:

Bestimmen Sie den Abstand von einem Punkt zu den Seiten eines Winkels

Das ist alles! Jetzt wissen wir, was Distanz ist und was eine Winkelhalbierende ist. Daher können wir die Haupteigenschaft beweisen.

Wie versprochen teilen wir den Beweis in zwei Teile auf:

1. Die Abstände von einem Punkt auf der Winkelhalbierenden zu den Seiten des Winkels sind gleich

Betrachten Sie einen beliebigen Winkel mit dem Scheitelpunkt $O$ und der Winkelhalbierenden $OM$:

Beweisen wir, dass der gleiche Punkt $M$ den gleichen Abstand von den Seiten des Winkels hat.

Nachweisen. Zeichnen wir Senkrechte vom Punkt $M$ zu den Seiten des Winkels. Nennen wir sie $M((H)_(1))$ und $M((H)_(2))$:

Zeichnen Sie Senkrechte zu den Seiten der Ecke

Wir haben zwei rechtwinklige Dreiecke: $\vartriangle OM((H)_(1))$ und $\vartriangle OM((H)_(2))$. Sie haben eine gemeinsame Hypotenuse $OM$ und gleiche Winkel:

1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ nach Annahme (da $OM$ eine Winkelhalbierende ist);
2. $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ durch Konstruktion;
3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$ weil die Summe spitze Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks sind immer gleich 90 Grad.

Daher haben Dreiecke die gleiche Seite und zwei benachbarte Winkel (siehe Zeichen der Gleichheit von Dreiecken). Also insbesondere $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, also die Abstände vom Punkt $O$ zu den Seiten des Winkels sind tatsächlich gleich. Q.E.D. :)

2. Sind die Abstände gleich, liegt der Punkt auf der Winkelhalbierenden

Jetzt ist die Situation umgekehrt. Gegeben seien ein Winkel $O$ und ein Punkt $M$, die von den Seiten dieses Winkels gleich weit entfernt sind:

Beweisen wir, dass der Strahl $OM$ eine Winkelhalbierende ist, d.h. $\Winkel MO((H)_(1))=\Winkel MO((H)_(2))$.

Nachweisen. Lassen Sie uns zunächst genau diesen Strahl $OM$ zeichnen, sonst gibt es nichts zu beweisen:

Verbringe den Strahl $OM$ in der Ecke

Wir haben wieder zwei rechtwinklige Dreiecke: $\vartriangle OM((H)_(1))$ und $\vartriangle OM((H)_(2))$. Offensichtlich sind sie gleich, weil:

1. Die Hypotenuse $OM$ ist üblich;
2. Die Beine $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ durch Bedingung (weil der Punkt $M$ gleich weit von den Seiten der Ecke entfernt ist);
3. Die restlichen Beine sind auch gleich, weil nach dem Satz des Pythagoras $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Also Dreiecke $\vartriangle OM((H)_(1))$ und $\vartriangle OM((H)_(2))$ auf drei Seiten. Insbesondere sind ihre Winkel gleich: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. Und das bedeutet nur, dass $OM$ eine Winkelhalbierende ist.

Zum Abschluss des Beweises markieren wir die gebildeten gleichen Winkel mit roten Bögen:

Die Winkelhalbierende teilt den Winkel $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ in zwei gleiche

Wie Sie sehen können, nichts Kompliziertes. Wir haben bewiesen, dass die Winkelhalbierende der Ort der Punkte ist, die gleich weit von den Seiten dieses Winkels entfernt sind. :) :)

Nachdem wir uns nun mehr oder weniger für die Terminologie entschieden haben, ist es an der Zeit, auf eine neue Ebene zu gehen. In der nächsten Lektion werden wir komplexere Eigenschaften der Winkelhalbierenden analysieren und lernen, wie man sie anwendet, um echte Probleme zu lösen.