Ein Bruch kann in eine Ganzzahl oder eine Dezimalzahl umgewandelt werden. Ein unechter Bruch, dessen Zähler größer als der Nenner ist und durch diesen ohne Rest teilbar ist, wird in eine ganze Zahl umgewandelt, zum Beispiel: 20/5. Teilen Sie 20 durch 5 und erhalten Sie die Zahl 4. Wenn der Bruch richtig ist, dh der Zähler kleiner als der Nenner ist, dann wandeln Sie ihn in eine Zahl um (Dezimalbruch). Mehr über Brüche erfahren Sie in unserem Abschnitt -.

Möglichkeiten, einen Bruch in eine Zahl umzuwandeln

• Die erste Möglichkeit, einen Bruch in eine Zahl umzuwandeln, eignet sich für einen Bruch, der in eine Zahl umgewandelt werden kann, die ein Dezimalbruch ist. Lassen Sie uns zunächst herausfinden, ob es möglich ist, einen bestimmten Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln. Achten Sie dazu auf den Nenner (die Zahl, die unter dem Strich oder rechts vom Schrägstrich steht). Wenn der Nenner in Faktoren zerlegt werden kann (in unserem Beispiel - 2 und 5), die wiederholt werden können, dann kann dieser Bruch wirklich in einen endgültigen Dezimalbruch umgewandelt werden. Zum Beispiel: 11/40 = 11/(2∙2∙2∙5). Dieser gemeinsame Bruch wird in eine Zahl (Dezimalbruch) mit endlich vielen Nachkommastellen umgewandelt. Aber der Bruch 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) wird in eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen übersetzt. Das heißt, bei der genauen Berechnung eines Zahlenwerts ist es ziemlich schwierig, das Endzeichen nach dem Komma zu bestimmen, da es unendlich viele solcher Zeichen gibt. Um Probleme zu lösen, müssen Sie daher den Wert normalerweise auf Hundertstel oder Tausendstel runden. Außerdem ist es notwendig, sowohl den Zähler als auch den Nenner mit einer solchen Zahl zu multiplizieren, dass der Nenner die Zahlen 10, 100, 1000 usw. enthält. Zum Beispiel: 11/40 = (11∙25)/(40∙25) =275/1000 = 0,275
• Die zweite Möglichkeit, einen Bruch in eine Zahl umzuwandeln, ist einfacher: Sie müssen den Zähler durch den Nenner teilen. Um diese Methode anzuwenden, führen wir einfach die Division durch und die resultierende Zahl ist der gewünschte Dezimalbruch. Beispielsweise müssen Sie den Bruch 2/15 in eine Zahl umwandeln. Wir teilen 2 durch 15. Wir erhalten 0, 1333 ... - einen unendlichen Bruch. Wir schreiben es so auf: 0,13(3). Wenn der Bruch falsch ist, dh der Zähler größer als der Nenner ist (z. B. 345/100), erhalten Sie als Ergebnis der Umwandlung in eine Zahl einen ganzzahligen Wert oder einen Dezimalbruch mit einem ganzzahligen Bruch Teil. In unserem Beispiel ist dies 3,45. Um einen gemischten Bruch wie 3 2 / 7 in eine Zahl umzuwandeln, musst du ihn zuerst in einen unechten Bruch umwandeln: (3∙7+2)/7 =23/7. Als nächstes teilen wir 23 durch 7 und erhalten die Zahl 3,2857143, die wir auf 3,29 reduzieren.

Der einfachste Weg, einen Bruch in eine Zahl umzuwandeln, ist die Verwendung eines Taschenrechners oder eines anderen Computergeräts. Wir geben zuerst den Zähler des Bruchs an, drücken dann die Schaltfläche mit dem Symbol "Teilen" und geben den Nenner ein. Nach dem Drücken der Taste "=" erhalten wir die gewünschte Nummer.

Dezimalzahlen wie 0,2; 1,05; 3.017 usw. wie sie gehört werden, so werden sie geschrieben. Null Komma zwei, wir bekommen einen Bruchteil. Ein ganzes Fünfhundertstel, wir bekommen einen Bruchteil. Drei ganze siebzehn Tausendstel, wir bekommen einen Bruchteil. Die Ziffern vor dem Dezimalpunkt einer Dezimalzahl sind der ganzzahlige Teil des Bruchs. Die Zahl nach dem Komma ist der Zähler des zukünftigen Bruchs. Wenn nach dem Komma eine einstellige Zahl steht, ist der Nenner 10, wenn zweistellig - 100, dreistellig - 1000 usw. Einige der resultierenden Fraktionen können reduziert werden. In unseren Beispielen

Einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln

Dies ist die Umkehrung der vorherigen Transformation. Was ist ein Dezimalbruch? Ihr Nenner ist immer 10 oder 100 oder 1000 oder 10.000 und so weiter. Wenn dein üblicher Bruch einen solchen Nenner hat, gibt es kein Problem. Zum Beispiel, oder

Wenn zum Beispiel ein Bruchteil . In diesem Fall müssen Sie die Grundeigenschaft des Bruchs verwenden und den Nenner in 10 oder 100 oder 1000 umwandeln ... Wenn wir in unserem Beispiel Zähler und Nenner mit 4 multiplizieren, erhalten wir einen Bruch, der geschrieben werden kann als Dezimalzahl 0,12.

Manche Brüche sind einfacher zu dividieren als den Nenner umzurechnen. Zum Beispiel,

Einige Brüche können nicht in Dezimalzahlen umgewandelt werden!
Zum Beispiel,

Einen gemischten Bruch in einen unechten umwandeln

Ein gemischter Bruch wie , lässt sich leicht in einen unechten Bruch umwandeln. Dazu müssen Sie den ganzzahligen Teil mit dem Nenner (unten) multiplizieren und zum Zähler (oben) addieren, wobei der Nenner (unten) unverändert bleibt. Also

Wenn du einen gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandelst, kannst du daran denken, dass du Brüche addieren kannst

Einen unechten Bruch in einen gemischten Bruch umwandeln (den ganzen Teil hervorheben)

Ein unechter Bruch kann in einen gemischten Bruch umgewandelt werden, indem der ganze Teil markiert wird. Betrachten Sie ein Beispiel, . Bestimmen Sie, wie viele ganzzahlige mal „3“ in „23“ passen. Oder wir teilen 23 auf dem Taschenrechner durch 3, die ganze Zahl bis zum Komma ist die gewünschte. Das ist „7“. Als nächstes bestimmen wir den Zähler des zukünftigen Bruchs: Wir multiplizieren das Ergebnis „7“ mit dem Nenner „3“ und subtrahieren das Ergebnis vom Zähler „23“. Wie würden wir den Überschuss finden, der vom Zähler „23“ übrig bleibt, wenn wir die maximale Zahl von „3“ entfernen? Der Nenner bleibt unverändert. Alles ist erledigt, notieren Sie das Ergebnis

In diesem Artikel werden wir analysieren, wie gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, und betrachten Sie auch den umgekehrten Vorgang - die Umwandlung von Dezimalbrüchen in gewöhnliche Brüche. Hier nennen wir die Regeln für das Umkehren von Brüchen und geben detaillierte Lösungen für typische Beispiele.

Seitennavigation.

Gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Lassen Sie uns die Reihenfolge angeben, in der wir uns damit befassen werden gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umwandeln.

Zuerst schauen wir uns an, wie man gewöhnliche Brüche mit den Nennern 10, 100, 1000, ... als Dezimalbrüche darstellt. Denn Dezimalbrüche sind im Wesentlichen eine kompakte Form gewöhnlicher Brüche mit den Nennern 10, 100, ....

Danach gehen wir weiter und zeigen, wie jeder gewöhnliche Bruch (nicht nur mit den Nennern 10, 100, ...) als Dezimalbruch geschrieben werden kann. Bei dieser Umwandlung gewöhnlicher Brüche erhält man sowohl endliche Dezimalbrüche als auch unendliche periodische Dezimalbrüche.

Jetzt über alles in Ordnung.

Gewöhnliche Brüche mit den Nennern 10, 100, ... in Dezimalbrüche umwandeln

Einige reguläre Brüche müssen vor der Umwandlung in Dezimalzahlen „vorbereitet“ werden. Dies gilt für gewöhnliche Brüche, deren Anzahl an Stellen im Zähler kleiner ist als die Anzahl an Nullen im Nenner. Zum Beispiel muss der gewöhnliche Bruch 2/100 zuerst für die Umwandlung in einen Dezimalbruch vorbereitet werden, aber der Bruch 9/10 muss nicht vorbereitet werden.

Die „Vorbereitung“ richtiger gewöhnlicher Brüche für die Umwandlung in Dezimalbrüche besteht darin, im Zähler links so viele Nullen hinzuzufügen, dass die Gesamtzahl der Ziffern dort gleich der Anzahl der Nullen im Nenner wird. Zum Beispiel sieht ein Bruch nach dem Hinzufügen von Nullen so aus.

Nachdem du den richtigen gewöhnlichen Bruch vorbereitet hast, kannst du damit beginnen, ihn in einen Dezimalbruch umzuwandeln.

Geben wir Regel zur Umwandlung eines echten gemeinsamen Bruchs mit einem Nenner von 10 oder 100 oder 1.000, ... in einen Dezimalbruch. Es besteht aus drei Schritten:

• notiere 0 ;
• setze einen Dezimalpunkt dahinter;
• Notieren Sie die Zahl aus dem Zähler (zusammen mit hinzugefügten Nullen, falls wir sie hinzugefügt haben).

Betrachten Sie die Anwendung dieser Regel beim Lösen von Beispielen.

Beispiel.

Wandle den richtigen Bruch 37/100 in eine Dezimalzahl um.

Entscheidung.

Der Nenner enthält die Zahl 100, die zwei Nullen in ihrem Eintrag hat. Der Zähler enthält die Zahl 37, es gibt zwei Ziffern in seinem Datensatz, daher muss dieser Bruch nicht für die Umwandlung in einen Dezimalbruch vorbereitet werden.

Jetzt schreiben wir 0, setzen einen Dezimalpunkt und schreiben die Zahl 37 aus dem Zähler, während wir den Dezimalbruch 0,37 erhalten.

Antworten:

0,37 .

Um die Fähigkeiten zum Übersetzen regelmäßiger gewöhnlicher Brüche mit den Zählern 10, 100, ... in Dezimalbrüche zu festigen, analysieren wir die Lösung eines anderen Beispiels.

Beispiel.

Schreibe den richtigen Bruch 107/10.000.000 als Dezimalzahl.

Entscheidung.

Die Anzahl der Stellen im Zähler ist 3 und die Anzahl der Nullen im Nenner ist 7, also muss dieser gewöhnliche Bruch für die Umwandlung in Dezimalzahlen vorbereitet werden. Wir müssen links im Zähler 7-3=4 Nullen hinzufügen, damit die Gesamtzahl der Ziffern dort gleich der Anzahl der Nullen im Nenner wird. Wir bekommen .

Es bleibt der gewünschte Dezimalbruch zu bilden. Dazu schreiben wir erstens 0 auf, zweitens setzen wir ein Komma, drittens schreiben wir die Zahl vom Zähler samt Nullen 0000107 auf, als Ergebnis haben wir einen Dezimalbruch 0.0000107 .

Antworten:

0,0000107 .

Unechte gemeinsame Brüche müssen nicht vorbereitet werden, wenn sie in Dezimalbrüche umgewandelt werden. Folgendes sollte eingehalten werden Regeln zur Umwandlung von unechten gemeinsamen Brüchen mit den Nennern 10, 100, ... in Dezimalbrüche:

• notieren Sie die Zahl vom Zähler;
• Wir trennen mit einem Dezimalpunkt so viele Ziffern rechts, wie Nullen im Nenner des ursprünglichen Bruchs sind.

Analysieren wir die Anwendung dieser Regel beim Lösen eines Beispiels.

Beispiel.

Wandeln Sie unechten gemeinsamen Bruch 56 888 038 009/100 000 in Dezimalzahl um.

Entscheidung.

Erstens schreiben wir die Zahl vom Zähler 56888038009 auf und zweitens trennen wir 5 Ziffern rechts mit einem Dezimalpunkt, da im Nenner des ursprünglichen Bruchs 5 Nullen stehen. Als Ergebnis haben wir einen Dezimalbruch 568 880,38009.

Antworten:

568 880,38009 .

Um eine gemischte Zahl in einen Dezimalbruch umzuwandeln, dessen Nenner die Zahl 10 oder 100 oder 1.000, ... ist, können Sie die gemischte Zahl in einen unechten gewöhnlichen Bruch umwandeln, wonach der resultierende Bruch kann in einen Dezimalbruch umgewandelt werden. Sie können aber auch Folgendes verwenden die Regel zum Umwandeln von gemischten Zahlen mit einem Nenner des Bruchteils 10, oder 100, oder 1.000, ... in Dezimalbrüche:

• gegebenenfalls führen wir eine „Vorbereitung“ des Bruchteils der ursprünglichen gemischten Zahl durch, indem wir links im Zähler die erforderliche Anzahl von Nullen hinzufügen;
• notieren Sie den ganzzahligen Teil der ursprünglichen gemischten Zahl;
• setze einen Dezimalpunkt;
• Wir schreiben die Zahl aus dem Zähler zusammen mit den hinzugefügten Nullen.

Betrachten wir ein Beispiel, bei dessen Lösung wir alle notwendigen Schritte ausführen, um eine gemischte Zahl als Dezimalbruch darzustellen.

Beispiel.

Konvertiere gemischte Zahlen in Dezimalzahlen.

Entscheidung.

Es gibt 4 Nullen im Nenner des Bruchteils und die Zahl 17 im Zähler, die aus 2 Ziffern besteht, daher müssen wir links im Zähler zwei Nullen hinzufügen, damit die Anzahl der Zeichen dort gleich der wird Anzahl Nullen im Nenner. Dadurch wird der Zähler 0017 .

Jetzt schreiben wir den ganzzahligen Teil der ursprünglichen Zahl auf, dh die Zahl 23, setzen einen Dezimalpunkt, danach schreiben wir die Zahl aus dem Zähler zusammen mit den hinzugefügten Nullen, dh 0017, während wir die gewünschte Dezimalzahl erhalten Bruchteil 23.0017.

Schreiben wir kurz die ganze Lösung auf: .

Zweifellos war es möglich, die gemischte Zahl zunächst als unechten Bruch darzustellen und dann in einen Dezimalbruch umzuwandeln. Mit diesem Ansatz sieht die Lösung so aus:

Antworten:

23,0017 .

Konvertieren gewöhnlicher Brüche in endliche und unendliche periodische Dezimalbrüche

Nicht nur gewöhnliche Brüche mit den Nennern 10, 100, ... können in einen Dezimalbruch umgewandelt werden, sondern auch gewöhnliche Brüche mit anderen Nennern. Jetzt werden wir herausfinden, wie das gemacht wird.

In einigen Fällen lässt sich der ursprüngliche gewöhnliche Bruch leicht auf einen der Nenner 10 oder 100 oder 1.000, ... kürzen (siehe die Kürzung eines gewöhnlichen Bruchs auf einen neuen Nenner), wonach es nicht schwierig ist, den zu präsentieren resultierender Bruch als Dezimalbruch. Zum Beispiel ist es offensichtlich, dass der Bruch 2/5 auf einen Bruch mit einem Nenner 10 reduziert werden kann, dazu müssen Sie den Zähler und den Nenner mit 2 multiplizieren, was einen Bruch 4/10 ergibt, was gemäß der Regeln, die im vorherigen Absatz besprochen wurden, können leicht in einen Dezimalbruch 0, 4 umgewandelt werden.

In anderen Fällen müssen Sie einen gewöhnlichen Bruch auf eine andere Weise in einen Dezimalbruch umwandeln, was wir jetzt betrachten werden.

Um einen gewöhnlichen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln, wird der Zähler des Bruchs durch den Nenner dividiert, der Zähler wird zuvor durch einen ihm gleichen Dezimalbruch mit einer beliebigen Anzahl von Nullen nach dem Komma ersetzt (darüber haben wir im Abschnitt gesprochen gleiche und ungleiche Dezimalbrüche). In diesem Fall wird die Division wie die Division durch eine Spalte mit natürlichen Zahlen durchgeführt, und ein Dezimalpunkt wird in den Quotienten gesetzt, wenn die Division des ganzzahligen Teils des Dividenden endet. All dies wird aus den Lösungen der unten angegebenen Beispiele deutlich.

Beispiel.

Wandeln Sie den gewöhnlichen Bruch 621/4 in eine Dezimalzahl um.

Entscheidung.

Wir stellen die Zahl im Zähler 621 als Dezimalbruch dar, indem wir einen Dezimalpunkt und ein paar Nullen dahinter setzen. Zu Beginn fügen wir 2 Ziffern 0 hinzu, später können wir bei Bedarf immer noch weitere Nullen hinzufügen. Wir haben also 621,00 .

Teilen wir nun die Zahl 621.000 durch 4 durch eine Spalte. Die ersten drei Schritte unterscheiden sich nicht von der Division durch eine Spalte natürlicher Zahlen, wonach wir zu folgendem Bild gelangen:

Wir sind also beim Dividenden bis zum Dezimalpunkt gekommen, und der Rest ist von Null verschieden. In diesem Fall setzen wir einen Dezimalpunkt in den Quotienten und setzen die Division durch eine Spalte fort, wobei wir die Kommas ignorieren:

Diese Division ist abgeschlossen und als Ergebnis erhalten wir den Dezimalbruch 155,25, der dem ursprünglichen gewöhnlichen Bruch entspricht.

Antworten:

155,25 .

Um das Material zu konsolidieren, betrachten Sie die Lösung eines anderen Beispiels.

Beispiel.

Wandle den gemeinsamen Bruch 21/800 in eine Dezimalzahl um.

Entscheidung.

Um diesen gemeinsamen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, teilen wir den Dezimalbruch 21.000 ... durch 800 durch eine Spalte. Nach dem ersten Schritt müssen wir einen Dezimalpunkt in den Quotienten setzen und dann mit der Division fortfahren:

Schließlich haben wir den Rest 0 erhalten, damit ist die Umwandlung des gewöhnlichen Bruchs 21/400 in den Dezimalbruch abgeschlossen, und wir sind beim Dezimalbruch 0,02625 angelangt.

Antworten:

0,02625 .

Es kann vorkommen, dass wir bei der Division des Zählers durch den Nenner eines gewöhnlichen Bruchs nie einen Rest von 0 erhalten. In diesen Fällen kann die Teilung beliebig lange fortgesetzt werden. Ab einem bestimmten Schritt beginnen sich die Reste jedoch periodisch zu wiederholen, während sich die Ziffern im Quotienten ebenfalls wiederholen. Dies bedeutet, dass der ursprüngliche gemeinsame Bruch in eine unendliche periodische Dezimalzahl übersetzt wird. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels zeigen.

Beispiel.

Schreibe den gemeinsamen Bruch 19/44 als Dezimalzahl.

Entscheidung.

Um einen gewöhnlichen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln, führen wir eine Division durch eine Spalte durch:

Es ist bereits klar, dass sich beim Dividieren die Reste 8 und 36 zu wiederholen begannen, während sich im Quotienten die Zahlen 1 und 8 wiederholen. Somit wird der ursprüngliche gewöhnliche Bruch 19/44 in einen periodischen Dezimalbruch 0,43181818…=0,43(18) übersetzt.

Antworten:

0,43(18) .

Zum Abschluss dieses Absatzes werden wir herausfinden, welche gewöhnlichen Brüche in endgültige Dezimalbrüche umgewandelt werden können und welche nur in periodische Brüche.

Lassen Sie uns einen irreduziblen gewöhnlichen Bruch vor uns haben (wenn der Bruch reduzierbar ist, führen wir zuerst die Kürzung des Bruchs durch), und wir müssen herausfinden, in welchen Dezimalbruch er umgewandelt werden kann - endlich oder periodisch.

Es ist klar, dass, wenn ein gewöhnlicher Bruch auf einen der Nenner 10, 100, 1000, ... reduziert werden kann, der resultierende Bruch gemäß den im vorherigen Absatz besprochenen Regeln leicht in einen endgültigen Dezimalbruch umgewandelt werden kann. Aber zu den Nennern 10, 100, 1.000 usw. nicht alle gewöhnlichen Brüche sind angegeben. Nur Brüche lassen sich auf solche Nenner kürzen, deren Nenner mindestens eine der Zahlen 10, 100, ... ist. Und welche Zahlen können Teiler von 10, 100, ... sein? Die Zahlen 10, 100, … erlauben uns, diese Frage zu beantworten, und sie lauten wie folgt: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . Daraus folgt, dass die Teiler von 10, 100, 1000 usw. es kann nur Zahlen geben, deren Zerlegung in Primfaktoren nur die Zahlen 2 und (oder) 5 enthalten.

Jetzt können wir eine allgemeine Schlussfolgerung über die Umwandlung von gewöhnlichen Brüchen in Dezimalbrüche ziehen:

• wenn bei der Zerlegung des Nenners in Primfaktoren nur die Zahlen 2 und (oder) 5 vorhanden sind, dann kann dieser Bruch in einen endgültigen Dezimalbruch umgewandelt werden;
• wenn außer Zwei und Fünf noch andere Primzahlen in der Erweiterung des Nenners vorhanden sind, dann wird dieser Bruch in einen unendlichen dezimalen Periodenbruch übersetzt.

Beispiel.

Sagen Sie mir, ohne gewöhnliche Brüche in Dezimalbrüche umzuwandeln, welche der Brüche 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 in einen endgültigen Dezimalbruch umgewandelt werden können und welche nur in einen periodischen Bruch umgewandelt werden können.

Entscheidung.

Die Primfaktorzerlegung des Nenners des Bruchs 47/20 hat die Form 20=2 2 5 . Da es in dieser Erweiterung nur Zweier und Fünfer gibt, kann dieser Bruch auf einen der Nenner 10, 100, 1000, ... (in diesem Beispiel auf den Nenner 100) reduziert werden, also in eine letzte Dezimalzahl umgewandelt werden Fraktion.

Die Primfaktorzerlegung des Nenners des Bruchs 7/12 hat die Form 12=2 2 3 . Da er einen einfachen Faktor 3 enthält, der sich von 2 und 5 unterscheidet, kann dieser Bruch nicht als endlicher Dezimalbruch dargestellt werden, sondern kann in einen periodischen Dezimalbruch umgewandelt werden.

Fraktion 21/56 - kontrahierbar, nach Reduktion nimmt es die Form 3/8 an. Die Zerlegung des Nenners in Primfaktoren enthält drei Faktoren gleich 2, daher kann der gewöhnliche Bruch 3/8 und damit der Bruch gleich 21/56 in einen endgültigen Dezimalbruch übersetzt werden.

Schließlich ist die Erweiterung des Nenners des Bruchs 31/17 selbst 17, daher kann dieser Bruch nicht in einen endlichen Dezimalbruch umgewandelt werden, aber er kann in einen unendlich periodischen umgewandelt werden.

Antworten:

47/20 und 21/56 können in eine letzte Dezimalzahl umgewandelt werden, während 7/12 und 31/17 nur in eine periodische Dezimalzahl umgewandelt werden können.

Gewöhnliche Brüche werden nicht in unendliche, sich nicht wiederholende Dezimalzahlen umgewandelt

Die Informationen des vorherigen Absatzes werfen die Frage auf: „Kann man einen unendlichen nichtperiodischen Bruch erhalten, wenn man den Zähler eines Bruchs durch den Nenner dividiert“?

Antwort: nein. Beim Übersetzen eines gewöhnlichen Bruchs kann entweder ein endlicher Dezimalbruch oder ein unendlicher periodischer Dezimalbruch erhalten werden. Lassen Sie uns erklären, warum das so ist.

Aus dem Teilbarkeitssatz mit Rest geht hervor, dass der Rest immer kleiner als der Teiler ist, das heißt, wenn wir eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl q teilen, dann nur eine der Zahlen 0, 1, 2, ..., q −1 kann der Rest sein. Daraus folgt, dass, nachdem die Spalte den ganzzahligen Teil des Zählers eines gewöhnlichen Bruchs durch den Nenner q dividiert, nach nicht mehr als q Schritten eine der beiden folgenden Situationen entsteht:

• Entweder wir erhalten den Rest 0 , dies beendet die Division und wir erhalten den letzten Dezimalbruch;
• oder wir erhalten einen Rest, der bereits zuvor aufgetreten ist, wonach sich die Reste wie im vorherigen Beispiel zu wiederholen beginnen (da beim Teilen gleicher Zahlen durch q gleiche Reste erhalten werden, was aus dem bereits erwähnten Teilbarkeitssatz folgt), so ein unendlicher periodischer Dezimalbruch wird erhalten.

Es kann keine anderen Optionen geben, daher kann bei der Umwandlung eines gewöhnlichen Bruchs in einen Dezimalbruch kein unendlicher nicht periodischer Dezimalbruch erhalten werden.

Aus der Begründung in diesem Absatz folgt auch, dass die Länge der Periode eines Dezimalbruchs immer kleiner ist als der Wert des Nenners des entsprechenden gewöhnlichen Bruchs.

Wandeln Sie Dezimalzahlen in gewöhnliche Brüche um

Lassen Sie uns nun herausfinden, wie man einen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch umwandelt. Beginnen wir damit, letzte Dezimalzahlen in gewöhnliche Brüche umzuwandeln. Betrachten Sie danach die Methode zum Invertieren unendlicher periodischer Dezimalbrüche. Lassen Sie uns abschließend über die Unmöglichkeit sprechen, unendliche nicht periodische Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umzuwandeln.

Konvertieren von Enddezimalzahlen in gewöhnliche Brüche

Einen gewöhnlichen Bruch zu erhalten, der als letzter Dezimalbruch geschrieben wird, ist ziemlich einfach. Die Regel zum Umwandeln eines letzten Dezimalbruchs in einen gewöhnlichen Bruch besteht aus drei Schritten:

• Schreiben Sie zuerst den angegebenen Dezimalbruch in den Zähler, nachdem Sie zuvor den Dezimalpunkt und alle Nullen auf der linken Seite, falls vorhanden, verworfen haben.
• zweitens schreibe eins in den Nenner und füge so viele Nullen hinzu, wie es Nachkommastellen im ursprünglichen Dezimalbruch gibt;
• Drittens reduzieren Sie gegebenenfalls den resultierenden Bruch.

Betrachten wir Beispiele.

Beispiel.

Wandle die Dezimalzahl 3,025 in einen gewöhnlichen Bruch um.

Entscheidung.

Wenn wir den Dezimalpunkt im ursprünglichen Dezimalbruch entfernen, erhalten wir die Zahl 3025. Es hat links keine Nullen, die wir verwerfen würden. Also schreiben wir in den Zähler des erforderlichen Bruchs 3025.

Wir schreiben die Zahl 1 in den Nenner und fügen rechts davon 3 Nullen hinzu, da im ursprünglichen Dezimalbruch 3 Nachkommastellen stehen.

Wir haben also einen gewöhnlichen Bruchteil 3 025/1 000. Dieser Bruch kann um 25 reduziert werden, erhalten wir .

Antworten:

.

Beispiel.

Konvertieren Sie die Dezimalzahl 0,0017 in einen gewöhnlichen Bruch.

Entscheidung.

Ohne Dezimalpunkt sieht der ursprüngliche Dezimalbruch wie 00017 aus, wenn wir die Nullen links weglassen, erhalten wir die Zahl 17, die der Zähler des gewünschten gewöhnlichen Bruchs ist.

In den Nenner schreiben wir eine Einheit mit vier Nullen, da im ursprünglichen Dezimalbruch 4 Nachkommastellen stehen.

Als Ergebnis haben wir einen gewöhnlichen Bruchteil 17/10.000. Dieser Bruch ist irreduzibel, und die Umwandlung eines Dezimalbruchs in einen gewöhnlichen Bruch ist abgeschlossen.

Antworten:

.

Wenn der ganzzahlige Teil des ursprünglichen letzten Dezimalbruchs von Null verschieden ist, kann er sofort in eine gemischte Zahl umgewandelt werden, wobei der gewöhnliche Bruch umgangen wird. Geben wir Regel zur Umwandlung einer letzten Dezimalzahl in eine gemischte Zahl:

• die Zahl vor dem Komma muss als ganzzahliger Teil der gewünschten gemischten Zahl geschrieben werden;
• im Zähler des Bruchteils müssen Sie die Zahl schreiben, die Sie aus dem Bruchteil des ursprünglichen Dezimalbruchs erhalten haben, nachdem Sie alle Nullen links darin verworfen haben.
• in den Nenner des Bruchteils müssen Sie die Zahl 1 schreiben, zu der rechts so viele Nullen hinzugefügt werden, wie Ziffern in der Eingabe des ursprünglichen Dezimalbruchs nach dem Dezimalpunkt vorhanden sind.
• kürzen Sie gegebenenfalls den Bruchteil der resultierenden gemischten Zahl.

Betrachten Sie ein Beispiel für die Umwandlung eines Dezimalbruchs in eine gemischte Zahl.

Beispiel.

Drücken Sie die Dezimalzahl 152,06005 als gemischte Zahl aus

Ein Bruch ist eine Zahl, die aus einem oder mehreren Bruchteilen einer Einheit besteht. In der Mathematik gibt es drei Arten von Brüchen: gemeinsame, gemischte und dezimale Brüche.

• 
  Gemeinsame Brüche

Ein gewöhnlicher Bruch wird als Verhältnis geschrieben, bei dem der Zähler angibt, wie viele Teile der Zahl genommen werden, und der Nenner zeigt, in wie viele Teile die Einheit unterteilt ist. Wenn der Zähler kleiner als der Nenner ist, haben wir einen echten Bruch, zum Beispiel: ½, 3/5, 8/9.

Ist der Zähler gleich oder größer als der Nenner, handelt es sich um einen unechten Bruch. Zum Beispiel: 5/5, 9/4, 5/2 Das Teilen des Zählers kann zu einer endlichen Zahl führen. Zum Beispiel 40/8 \u003d 5. Daher kann jede ganze Zahl als gewöhnlicher unechter Bruch oder als eine Reihe solcher Brüche geschrieben werden. Erwägen Sie, dieselbe Zahl als eine Reihe unterschiedlicher zu schreiben.

• gemischte Fraktionen

Im Allgemeinen kann ein gemischter Bruch durch die Formel dargestellt werden:

Ein gemischter Bruch wird also als ganze Zahl und als gewöhnlicher echter Bruch geschrieben, und eine solche Aufzeichnung wird als Summe eines Ganzen und seines Bruchteils verstanden.

• Dezimalstellen

Eine Dezimalzahl ist eine besondere Art von Bruch, bei dem der Nenner als Zehnerpotenz dargestellt werden kann. Es gibt unendliche und endliche Dezimalzahlen. Beim Schreiben dieser Art von Brüchen wird zuerst der ganzzahlige Teil angegeben, dann wird der Bruchteil durch das Trennzeichen (Punkt oder Komma) festgelegt.

Die Aufzeichnung des Bruchteils wird immer durch seine Dimension bestimmt. Der Dezimaleintrag sieht so aus:

Übersetzungsregeln zwischen verschiedenen Arten von Brüchen

• Umwandlung eines gemischten Bruchs in einen gewöhnlichen Bruch

Ein gemischter Bruch kann nur in einen unechten Bruch umgewandelt werden. Für die Übersetzung ist es notwendig, den ganzen Teil auf den gleichen Nenner wie den Bruchteil zu bringen. Im Allgemeinen wird es so aussehen:
Betrachten Sie die Anwendung dieser Regel bei bestimmten Beispielen:

• Einen gewöhnlichen Bruch in einen gemischten umwandeln

Ein unechter gewöhnlicher Bruch kann durch einfache Division in einen gemischten Bruch umgewandelt werden, was einen ganzzahligen Teil und einen Rest (Bruchteil) ergibt.

Lassen Sie uns zum Beispiel den Bruch 439/31 in einen gemischten übersetzen:
​​

• Übersetzung eines gewöhnlichen Bruchs

In einigen Fällen ist es ganz einfach, einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln. Dabei wird die Grundeigenschaft eines Bruches angewendet, Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert, um den Divisor auf die Zehnerpotenz zu bringen.

Zum Beispiel:

In manchen Fällen musst du den Quotienten vielleicht durch Dividieren durch eine Ecke oder mit einem Taschenrechner ermitteln. Und einige Brüche können nicht auf einen endgültigen Dezimalbruch reduziert werden. Zum Beispiel ergibt der Bruch 1/3 niemals das Endergebnis, wenn er geteilt wird.

Oft interessieren sich Schulkinder dafür, wofür sie Mathematik im wirklichen Leben brauchen könnten, insbesondere für die Abschnitte, die bereits viel weiter gehen als einfaches Zählen, Multiplizieren, Dividieren, Summieren und Subtrahieren. Diese Frage stellen sich auch viele Erwachsene, wenn ihre berufliche Tätigkeit sehr weit von Mathematik und diversen Berechnungen entfernt ist. Es sollte jedoch verstanden werden, dass es alle möglichen Situationen gibt, und manchmal kann man nicht auf den sehr berüchtigten Schullehrplan verzichten, den wir in der Kindheit so abschätzig abgelehnt haben. Zum Beispiel weiß nicht jeder, wie man einen Bruch in einen Dezimalbruch umwandelt, und dieses Wissen kann für die Bequemlichkeit des Zählens äußerst nützlich sein. Zuerst müssen Sie sicherstellen, dass der benötigte Bruch in eine endgültige Dezimalzahl umgewandelt werden kann. Gleiches gilt für Prozentzahlen, die sich ebenfalls leicht in Dezimalzahlen umrechnen lassen.

Einen gewöhnlichen Bruch auf die Möglichkeit prüfen, ihn in eine Dezimalzahl umzuwandeln

Bevor Sie etwas zählen, müssen Sie sicherstellen, dass der resultierende Dezimalbruch endlich ist, da er sich sonst als unendlich herausstellt und es einfach unmöglich ist, die endgültige Version zu berechnen. Darüber hinaus können unendliche Brüche auch periodisch und einfach sein, aber dies ist ein Thema für einen separaten Abschnitt.

Die Umwandlung eines gewöhnlichen Bruchs in seine endgültige, dezimale Version ist nur möglich, wenn sein eindeutiger Nenner nur in Faktoren von 5 und 2 (einfache Faktoren) zerlegt werden kann. Und selbst wenn sie beliebig oft wiederholt werden.

Lassen Sie uns klarstellen, dass diese beiden Zahlen Primzahlen sind, also können sie am Ende nur durch sich selbst oder durch Eins ohne Rest geteilt werden. Eine Tabelle mit Primzahlen findet man problemlos im Internet, es ist überhaupt nicht schwierig, obwohl es keinen direkten Bezug zu unserem Konto hat.

Betrachten Sie Beispiele:

Der Bruch 7/40 eignet sich dazu, von einem gewöhnlichen Bruch in sein Dezimaläquivalent umgewandelt zu werden, da sein Nenner leicht durch 2 und 5 faktorisiert werden kann.

Wenn die erste Option jedoch zu einem letzten Dezimalbruch führt, dann wird beispielsweise 7/60 kein ähnliches Ergebnis liefern, da sein Nenner nicht mehr in die gesuchten Zahlen zerlegt wird, sondern drei unter den hat Nenner Faktoren.

Einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln ist auf mehrere Arten möglich.

Nachdem klar wurde, welche Brüche von gewöhnlichen in Dezimalzahlen umgewandelt werden können, können Sie tatsächlich mit der Umwandlung selbst fortfahren. Tatsächlich gibt es nichts Superkompliziertes, selbst für jemanden, dessen Schullehrplan vollständig aus dem Gedächtnis „verwittert“ ist.

Brüche in Dezimalzahlen umwandeln: die einfachste Methode

Diese Art, einen gewöhnlichen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, ist zwar die einfachste, aber viele Menschen sind sich seiner sterblichen Existenz nicht einmal bewusst, da in der Schule all diese „allgemeinen Wahrheiten“ unnötig und nicht sehr wichtig erscheinen. Inzwischen kann nicht nur ein Erwachsener es herausfinden, sondern ein Kind kann solche Informationen leicht wahrnehmen.

Um also einen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln, musst du sowohl den Zähler als auch den Nenner mit einer Zahl multiplizieren. Allerdings ist alles nicht so einfach, also steht im Ergebnis im Nenner, dass es 10, 100, 1000, 10.000, 100.000 und so weiter werden soll, bis ins Unendliche. Vergessen Sie nicht, zuerst zu prüfen, ob es genau möglich ist, einen bestimmten Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln.

Betrachten Sie Beispiele:

Nehmen wir an, wir müssen den Bruch 6/20 in eine Dezimalzahl umwandeln. Wir überprüfen:

Nachdem wir uns vergewissert haben, dass es immer noch möglich ist, einen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln, und sogar einen Endbruch, da sein Nenner leicht in Zweier und Fünfer zerlegt werden kann, sollten wir mit der Übersetzung selbst fortfahren. Logischerweise ist die beste Option, den Nenner zu multiplizieren und ein Ergebnis von 100 zu erhalten, 5, da 20x5=100.

Zur Verdeutlichung können Sie ein weiteres Beispiel betrachten:

Der zweite und beliebtere Weg Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Die zweite Option ist etwas komplizierter, aber beliebter, da sie viel einfacher zu verstehen ist. Hier ist alles transparent und übersichtlich, also gehen wir gleich zu den Berechnungen über.

Es lohnt sich, sich zu erinnern

Um einen einfachen, d. h. einen gewöhnlichen Bruch korrekt in sein Dezimaläquivalent umzuwandeln, müssen Sie den Zähler durch den Nenner dividieren. Tatsächlich ist ein Bruch eine Division, darüber kann man nicht streiten.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Um also den Bruch 78/200 in eine Dezimalzahl umzuwandeln, müssen Sie zunächst seinen Zähler, also die Zahl 78, durch den Nenner 200 dividieren. Aber das erste, was zur Gewohnheit werden sollte, ist die Überprüfung , was oben schon erwähnt wurde.

Nachdem Sie eine Überprüfung durchgeführt haben, müssen Sie sich an die Schule erinnern und den Zähler durch den Nenner mit einer „Ecke“ oder „Spalte“ teilen.

Wie Sie sehen können, ist alles extrem einfach, und Sie müssen nicht sieben Spannen in der Stirn haben, um solche Probleme leicht zu lösen. Der Einfachheit halber geben wir auch eine Tabelle der beliebtesten Brüche an, die leicht zu merken sind und sich nicht einmal bemühen, sie zu übersetzen.

Wie man Prozente in Dezimalzahlen umwandelt: Es gibt nichts einfacheres

Schließlich kam der Schritt zu Prozentzahlen, die, wie sich herausstellt, wie derselbe Schullehrplan sagt, in einen Dezimalbruch umgewandelt werden können. Und hier wird alles noch viel einfacher, und Sie sollten keine Angst haben. Selbst diejenigen, die keinen Universitätsabschluss gemacht haben, werden die Aufgabe bewältigen, und die fünfte Klasse der Schule hat überhaupt übersprungen und versteht nichts in Mathematik.

Vielleicht müssen Sie mit einer Definition beginnen, das heißt, um herauszufinden, was Zinsen eigentlich sind. Ein Prozentsatz ist ein Hundertstel einer Zahl, also absolut willkürlich. Ab hundert zum Beispiel wird es eine Einheit sein und so weiter.

Um also Prozentsätze in Dezimalzahlen umzuwandeln, müssen Sie einfach das %-Zeichen entfernen und dann die Zahl selbst durch Hundert teilen.

Betrachten Sie Beispiele:

Außerdem müssen Sie für eine umgekehrte „Umwandlung“ einfach das Gegenteil tun, dh die Zahl muss mit hundert multipliziert und ihr ein Prozentzeichen zugewiesen werden. Genauso ist es mit den gewonnenen Erkenntnissen auch möglich, einen gewöhnlichen Bruch in einen Prozentsatz umzuwandeln. Dazu reicht es aus, den üblichen Bruch zunächst in eine Dezimalzahl und damit bereits in einen Prozentsatz umzuwandeln, und Sie können auch leicht die umgekehrte Aktion ausführen. Wie Sie sehen, ist nichts super kompliziert, das alles ist elementares Wissen, das Sie nur im Hinterkopf behalten müssen, besonders wenn Sie mit Zahlen zu tun haben.

Der Weg des geringsten Widerstands: komfortable Online-Services

Es kommt auch vor, dass man gar keine Lust zum Zählen hat und einfach keine Zeit hat. Für solche Fälle oder für besonders faule Benutzer gibt es im Internet viele bequeme und einfach zu bedienende Dienste, mit denen Sie gewöhnliche Brüche sowie Prozentsätze in Dezimalbrüche umwandeln können. Dies ist wirklich der Weg des geringsten Widerstands, daher ist die Verwendung solcher Ressourcen ein Vergnügen.

Nützliches Referenzportal "Rechner"

Um den Dienst "Rechner" zu nutzen, folgen Sie einfach dem Link http://www.calc.ru/desyatichnyye-drobi.html und geben Sie die erforderlichen Zahlen in die erforderlichen Felder ein. Darüber hinaus können Sie mit der Ressource sowohl gewöhnliche als auch gemischte Brüche in Dezimalzahlen umwandeln.

Nach einer kurzen Wartezeit von etwa drei Sekunden gibt der Dienst das endgültige Ergebnis aus.

Auf die gleiche Weise kannst du einen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln.

Online-Rechner auf der "Mathematischen Ressource" Calcs.su

Ein weiterer sehr nützlicher Service ist der Bruchrechner auf der Mathematical Resource. Auch hier müssen Sie nichts selbst rechnen, wählen Sie einfach aus der vorgeschlagenen Liste aus, was Sie benötigen, und bestellen Sie los.

Außerdem müssen Sie in das dafür vorgesehene Feld die erforderliche Prozentzahl eingeben, die Sie in einen regulären Bruch umwandeln müssen. Wenn Sie außerdem Dezimalbrüche benötigen, können Sie die Übersetzungsaufgabe problemlos selbst bewältigen oder den dafür vorgesehenen Taschenrechner verwenden.

Am Ende ist es erwähnenswert, dass, egal wie viele neumodische Dienste erfunden würden, wie viele Ressourcen Ihnen ihre Dienste nicht anbieten würden, aber es schadet nicht, Ihren Kopf von Zeit zu Zeit zu trainieren. Daher ist es notwendig, das erworbene Wissen anzuwenden, zumal man dann stolz den eigenen Kindern und später den Enkelkindern bei den Hausaufgaben helfen kann. Für diejenigen, die unter ewigem Zeitmangel leiden, werden solche Online-Rechner auf mathematischen Portalen nützlich sein und Ihnen sogar helfen, zu verstehen, wie man einen gewöhnlichen Bruch in eine Dezimalzahl umwandelt.