Definition. Prisma- Dies ist ein Polyeder, dessen Ecken sich alle in zwei parallelen Ebenen befinden, und in denselben zwei Ebenen befinden sich zwei Flächen des Prismas, die gleiche Polygone mit jeweils parallelen Seiten sind, und alle Kanten, die nicht in diesen liegen Ebenen sind parallel.

Zwei gleiche Gesichter werden aufgerufen Prismenbasen(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Alle anderen Flächen des Prismas werden aufgerufen Seitenflächen(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Alle Seitenflächen bilden sich Seitenfläche des Prismas .

Alle Seitenflächen eines Prismas sind Parallelogramme .

Kanten, die nicht an den Basen liegen, heißen Seitenkanten des Prismas ( A.A. 1, B. B. 1, KK 1, DD 1, E 1).

Prisma Diagonale wird ein Segment genannt, dessen Enden zwei Eckpunkte des Prismas sind, die nicht auf einer seiner Flächen liegen (AD 1).

Die Länge des Segments, das die Basen des Prismas verbindet und gleichzeitig senkrecht zu beiden Basen ist, wird genannt Prismenhöhe .

Bezeichnung:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Zunächst werden in der Reihenfolge der Umgehung die Eckpunkte einer Basis angegeben, und dann in der gleichen Reihenfolge die Eckpunkte der anderen; die Enden jeder Seitenkante werden mit denselben Buchstaben bezeichnet, nur die Eckpunkte, die darin liegen eine Basis wird durch Buchstaben ohne Index und in der anderen mit Index gekennzeichnet)

Der Name des Prismas ist mit der Anzahl der Winkel in der Figur verbunden, die an seiner Basis liegen. In Abbildung 1 ist die Basis beispielsweise ein Fünfeck, daher wird das Prisma genannt fünfeckiges Prisma. Aber seit so ein prisma hat 7 flächen, dann ist es Heptaheder(2 Flächen sind die Basen des Prismas, 5 Flächen sind Parallelogramme, sind seine Seitenflächen)

Unter den geraden Prismen sticht ein besonderer Typ hervor: regelmäßige Prismen.

Ein gerades Prisma wird genannt Korrekt, wenn seine Basen regelmäßige Polygone sind.

Parallelepiped

Quader- ein rechtwinkliges Parallelepiped, dessen Grundfläche ein Rechteck ist.

Eigenschaften und Theoreme:

,

wobei d die Diagonale des Quadrats ist;
a - Seite des Quadrats.

Die Idee eines Prismas ist gegeben durch:

• verschiedene architektonische Strukturen;
• Kinderspielzeug;
• Verpackungskartons;
• Designerstücke usw.

Gesamt- und Seitenfläche des Prismas

S voll \u003d S Seite + 2S Haupt,

wo S voll- Gesamtfläche, S-Seite- Seitenfläche, S Haupt- Grundfläche

Die Fläche der Seitenfläche eines geraden Prismas ist gleich dem Produkt aus dem Umfang der Basis und der Höhe des Prismas.

S-Seite\u003d P Haupt * h,

wo S-Seite ist die Fläche der Seitenfläche eines geraden Prismas,

P main - der Umfang der Basis eines geraden Prismas,

h ist die Höhe des geraden Prismas, gleich der Seitenkante.

Prisma-Volumen

Das Volumen eines Prismas ist gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe.

Die Fläche der Seitenfläche des Prismas. Hallo! In dieser Veröffentlichung werden wir eine Gruppe von Aufgaben zur Stereometrie analysieren. Stellen Sie sich eine Kombination von Körpern vor - ein Prisma und einen Zylinder. Dieser Artikel vervollständigt derzeit die gesamte Artikelserie zur Betrachtung von Aufgabentypen in der Stereometrie.

Wenn neue Aufgaben in der Aufgabendatenbank auftauchen, dann wird es in Zukunft natürlich Ergänzungen im Blog geben. Aber was schon da ist, reicht völlig aus, um im Rahmen der Prüfung alle Probleme mit einer kurzen Antwort lösen zu lernen. Der Stoff reicht für die nächsten Jahre (der Studiengang Mathematik ist statisch).

Die vorgestellten Aufgaben beziehen sich auf die Berechnung der Prismenfläche. Ich stelle fest, dass wir im Folgenden ein gerades Prisma (und dementsprechend einen geraden Zylinder) betrachten.

Ohne irgendwelche Formeln zu kennen, verstehen wir, dass die Seitenfläche eines Prismas alle seine Seitenflächen sind. Bei einem geraden Prisma sind die Seitenflächen Rechtecke.

Die Seitenfläche eines solchen Prismas ist gleich der Summe der Flächen aller seiner Seitenflächen (dh Rechtecke). Wenn wir über ein regelmäßiges Prisma sprechen, in das ein Zylinder eingeschrieben ist, dann ist es klar, dass alle Flächen dieses Prismas GLEICHE Rechtecke sind.

Formal lässt sich die Seitenfläche eines regelmäßigen Prismas wie folgt ausdrücken:

27064. Ein regelmäßiges viereckiges Prisma wird um einen Zylinder herum umschrieben, dessen Basisradius und Höhe gleich 1 sind. Ermitteln Sie die Fläche der Seitenfläche des Prismas.

Die Mantelfläche dieses Prismas besteht aus vier flächengleichen Rechtecken. Die Höhe der Fläche ist gleich 1, die Kante der Basis des Prismas ist gleich 2 (dies sind zwei Radien des Zylinders), daher ist die Fläche der Seitenfläche gleich:

Seitenfläche:

73023. Finden Sie die Fläche der Seitenfläche eines regelmäßigen dreieckigen Prismas, das um einen Zylinder herumbeschrieben ist, dessen Basisradius √0,12 und dessen Höhe 3 ist.

Die Fläche der Seitenfläche dieses Prismas ist gleich der Summe der Flächen der drei Seitenflächen (Rechtecke). Um die Fläche der Seitenfläche zu finden, müssen Sie ihre Höhe und die Länge der Basiskante kennen. Die Höhe beträgt drei. Finden Sie die Länge der Kante der Basis. Betrachten Sie die Projektion (Draufsicht):

Wir haben ein regelmäßiges Dreieck, dem ein Kreis mit Radius √0,12 einbeschrieben ist. Aus dem rechtwinkligen Dreieck AOC können wir AC finden. Und dann AD (AD=2AC). Per Definition der Tangente:

Also AD \u003d 2AC \u003d 1.2 Somit ist die Fläche der Seitenfläche gleich:

27066. Finden Sie die Fläche der Seitenfläche eines regelmäßigen sechseckigen Prismas, das um einen Zylinder herumbeschrieben ist, dessen Basisradius √75 und dessen Höhe 1 ist.

Die gewünschte Fläche ist gleich der Summe der Flächen aller Seitenflächen. Bei einem regelmäßigen sechseckigen Prisma sind die Seitenflächen gleiche Rechtecke.

Um die Fläche eines Gesichts zu finden, müssen Sie seine Höhe und die Länge der Basiskante kennen. Die Höhe ist bekannt, sie ist gleich 1.

Finden Sie die Länge der Kante der Basis. Betrachten Sie die Projektion (Draufsicht):

Wir haben ein regelmäßiges Sechseck, in das ein Kreis mit Radius √75 einbeschrieben ist.

Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck ABO. Wir kennen den Schenkel OB (das ist der Radius des Zylinders). Wir können auch den Winkel AOB bestimmen, er ist gleich 300 (das Dreieck AOC ist gleichseitig, OB ist eine Winkelhalbierende).

Verwenden wir die Definition der Tangente in einem rechtwinkligen Dreieck:

AC \u003d 2AB, da OB ein Median ist, das heißt, es teilt AC in zwei Hälften, was AC \u003d 10 bedeutet.

Somit ist die Fläche der Seitenfläche 1∙10=10 und die Fläche der Seitenfläche ist:

76485. Finden Sie die Fläche der Seitenfläche eines regelmäßigen dreieckigen Prismas, das in einen Zylinder eingeschrieben ist, dessen Basisradius 8√3 und dessen Höhe 6 ist.

Die Fläche der Seitenfläche des angegebenen Prismas aus drei gleich großen Flächen (Rechtecken). Um die Fläche zu finden, müssen Sie die Länge der Kante der Basis des Prismas kennen (wir kennen die Höhe). Betrachten wir die Projektion (Draufsicht), dann haben wir ein regelmäßiges Dreieck, das einem Kreis einbeschrieben ist. Die Seite dieses Dreiecks wird als Radius ausgedrückt als:

Details dieser Beziehung. Es wird also gleich sein

Dann ist die Fläche der Seitenfläche gleich: 24∙6=144. Und der benötigte Bereich:

245354. Ein regelmäßiges viereckiges Prisma wird in der Nähe eines Zylinders umschrieben, dessen Basisradius 2 beträgt. Die Seitenfläche des Prismas beträgt 48. Ermitteln Sie die Höhe des Zylinders.

Alles ist einfach. Wir haben vier Seitenflächen mit gleicher Fläche, daher ist die Fläche einer Fläche 48:4=12. Da der Radius der Basis des Zylinders 2 beträgt, ist die Kante der Basis des Prismas früh 4 - sie entspricht dem Durchmesser des Zylinders (dies sind zwei Radien). Wir kennen die Fläche des Gesichts und eine Kante, die zweite ist die Höhe gleich 12:4=3.

27065. Finden Sie die Fläche der Seitenfläche eines regelmäßigen dreieckigen Prismas, das um einen Zylinder herumbeschrieben ist, dessen Basisradius √3 und dessen Höhe 2 ist.

Mit freundlichen Grüßen, Alexander.

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Polyeder

Das Hauptuntersuchungsobjekt der Stereometrie sind dreidimensionale Körper. Körper ist ein Teil des Raums, der von einer Oberfläche begrenzt wird.

Polyeder Ein Körper, dessen Oberfläche aus endlich vielen ebenen Polygonen besteht, heißt. Ein Polyeder heißt konvex, wenn es auf einer Seite der Ebene jedes flachen Polygons auf seiner Oberfläche liegt. Den gemeinsamen Teil einer solchen Ebene und der Oberfläche eines Polyeders nennt man Kante. Die Flächen eines konvexen Polyeders sind flache konvexe Polygone. Die Seiten der Gesichter werden genannt Kanten des Polyeders, und die Ecken Ecken des Polyeders.

Zum Beispiel besteht ein Würfel aus sechs Quadraten, die seine Flächen sind. Es enthält 12 Kanten (Quadratseiten) und 8 Eckpunkte (Quadratecken).

Die einfachsten Polyeder sind Prismen und Pyramiden, die wir weiter untersuchen werden.

Prisma

Definition und Eigenschaften eines Prismas

Prisma wird ein Polyeder genannt, das aus zwei flachen Polygonen besteht, die in parallelen Ebenen liegen und durch parallele Verschiebung kombiniert werden, und alle Segmente, die die entsprechenden Punkte dieser Polygone verbinden. Die Polygone werden aufgerufen Prismenbasen, und die Segmente, die die entsprechenden Eckpunkte der Polygone verbinden, sind Seitenkanten des Prismas.

Prismenhöhe genannt den Abstand zwischen den Ebenen seiner Basen (). Ein Segment, das zwei Eckpunkte eines Prismas verbindet, die nicht zu derselben Fläche gehören, wird aufgerufen Prisma diagonal(). Das Prisma heißt n-Kohle wenn seine Basis ein n-Eck ist.

Jedes Prisma hat die folgenden Eigenschaften, die sich aus der Tatsache ergeben, dass die Basen des Prismas durch parallele Translation kombiniert werden:

1. Die Basen des Prismas sind gleich.

2. Die Seitenkanten des Prismas sind parallel und gleich.

Die Oberfläche eines Prismas besteht aus Basen und Seitenfläche. Die Seitenfläche des Prismas besteht aus Parallelogrammen (dies folgt aus den Eigenschaften des Prismas). Die Fläche der Seitenfläche eines Prismas ist die Summe der Flächen der Seitenflächen.

gerades Prisma

Das Prisma heißt gerade wenn seine Seitenkanten senkrecht zu den Basen stehen. Andernfalls wird das Prisma aufgerufen schräg.

Die Flächen eines geraden Prismas sind Rechtecke. Die Höhe eines geraden Prismas ist gleich seiner Seitenflächen.

volle Prismenfläche ist die Summe aus der Seitenfläche und den Flächen der Basen.

Korrektes Prisma wird ein rechtwinkliges Prisma mit einem regelmäßigen Polygon an der Basis genannt.

Satz 13.1. Die Fläche der Seitenfläche eines geraden Prismas ist gleich dem Produkt aus dem Umfang und der Höhe des Prismas (oder äquivalent der Seitenkante).

Nachweisen. Die Seitenflächen eines geraden Prismas sind Rechtecke, deren Basen die Seiten der Polygone an den Basen des Prismas sind und deren Höhen die Seitenkanten des Prismas sind. Dann ist die Seitenfläche per Definition:

,

wo ist der Umfang der Basis eines geraden Prismas.

Parallelepiped

Liegen Parallelogramme an den Basen eines Prismas, so heißt es parallelepiped. Alle Flächen eines Parallelepipeds sind Parallelogramme. In diesem Fall sind die gegenüberliegenden Flächen des Parallelepipeds parallel und gleich.

Satz 13.2. Die Diagonalen des Parallelepipeds schneiden sich in einem Punkt und der Schnittpunkt wird halbiert.

Nachweisen. Betrachten Sie zum Beispiel zwei beliebige Diagonalen und . weil die Flächen des Parallelepipeds sind Parallelogramme, dann und , was bedeutet, dass nach T etwa zwei Geraden parallel zur dritten . Außerdem bedeutet dies, dass die Linien und in der gleichen Ebene (der Ebene) liegen. Diese Ebene schneidet parallele Ebenen und entlang paralleler Linien und . Somit ist ein Viereck ein Parallelogramm, und durch die Eigenschaft eines Parallelogramms schneiden sich seine Diagonalen und der Schnittpunkt wird in zwei Hälften geteilt, was bewiesen werden musste.

Man nennt ein rechtwinkliges Parallelepiped, dessen Grundfläche ein Rechteck ist Quader. Alle Flächen eines Quaders sind Rechtecke. Die Längen der nicht parallelen Kanten eines rechteckigen Parallelepipeds werden als seine linearen Abmessungen (Messungen) bezeichnet. Es gibt drei Größen (Breite, Höhe, Länge).

Satz 13.3. In einem Quader ist das Quadrat jeder Diagonale gleich der Summe der Quadrate seiner drei Dimensionen (Bewiesen durch zweimaliges Anwenden von Pythagorean T).

Ein rechteckiges Parallelepiped, bei dem alle Kanten gleich sind, heißt Würfel.

Aufgaben

13.1 Wie viele Diagonalen hat n- Kohlenstoffprisma

13.2 Bei einem geneigten dreieckigen Prisma betragen die Abstände zwischen den Seitenkanten 37, 13 und 40. Finden Sie den Abstand zwischen der größeren Seitenfläche und der gegenüberliegenden Seitenkante.

13.3 Durch die Seite der unteren Basis eines regelmäßigen dreieckigen Prismas wird eine Ebene gezogen, die die Seitenflächen entlang Segmenten schneidet, deren Winkel zwischen . Finden Sie den Neigungswinkel dieser Ebene zur Basis des Prismas.

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