(lat. Amplitude- Größe) - dies ist die größte Abweichung des Schwingkörpers von der Gleichgewichtslage.

Bei einem Pendel ist dies die maximale Entfernung, um die sich die Kugel aus ihrer Gleichgewichtslage bewegt (Abbildung unten). Für Schwingungen mit kleinen Amplituden kann dieser Abstand als die Länge des Bogens 01 oder 02 sowie die Längen dieser Segmente genommen werden.

Die Oszillationsamplitude wird in Längeneinheiten gemessen – Meter, Zentimeter usw. Auf dem Oszillationsdiagramm wird die Amplitude als die maximale (Modulo)-Ordinate der Sinuskurve definiert (siehe Abbildung unten).

Schwingungsperiode.

Schwingungsdauer- dies ist die kleinste Zeitspanne, nach der das System durch Schwingungen wieder in den gleichen Zustand zurückkehrt, in dem es sich im willkürlich gewählten Anfangszeitpunkt befand.

Mit anderen Worten, die Schwingungsdauer ( T) ist die Zeit, für die eine vollständige Schwingung stattfindet. In der Abbildung unten ist dies beispielsweise die Zeit, die das Gewicht des Pendels benötigt, um sich vom Punkt ganz rechts bis zum Gleichgewichtspunkt zu bewegen Ö zum linken Punkt und zurück durch den Punkt Ö wieder ganz rechts.

Für eine volle Schwingungsperiode legt der Körper daher einen Weg zurück, der vier Amplituden entspricht. Die Schwingungsdauer wird in Zeiteinheiten gemessen – Sekunden, Minuten usw. Die Schwingungsdauer kann aus dem bekannten Schwingungsdiagramm bestimmt werden (siehe Abbildung unten).

Der Begriff „Schwingungsperiode“ gilt streng genommen nur dann, wenn sich die Werte der schwingenden Größe nach einer gewissen Zeit exakt wiederholen, also bei harmonischen Schwingungen. Dieses Konzept wird jedoch auch auf Fälle sich annähernd wiederholender Größen angewendet, beispielsweise z gedämpfte Schwingungen.

Oszillationsfrequenz.

Oszillationsfrequenz ist die Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit, beispielsweise in 1 s.

Die SI-Einheit der Frequenz wird benannt Hertz(Hertz) zu Ehren des deutschen Physikers G. Hertz (1857-1894). Wenn die Schwingungsfrequenz ( v) entspricht 1 Hertz, dann bedeutet dies, dass jede Sekunde eine Schwingung gemacht wird. Die Frequenz und Periode der Schwingungen hängen durch die Beziehungen zusammen:

In der Schwingungstheorie wird der Begriff ebenfalls verwendet zyklisch, oder kreisförmige Frequenz ω . Es hängt mit der normalen Frequenz zusammen v und Schwingungsdauer T Verhältnisse:

.

Zyklische Frequenz ist die Anzahl der Schwingungen pro 2π Sekunden.

Mathematisches Pendel wird ein materieller Punkt genannt, der an einem schwerelosen und nicht dehnbaren Faden aufgehängt ist, der an einer Aufhängung befestigt ist und sich im Feld der Schwerkraft (oder einer anderen Kraft) befindet.

Wir untersuchen die Schwingungen eines mathematischen Pendels in einem inertialen Bezugssystem, relativ zu dem der Punkt seiner Aufhängung ruht oder sich gleichförmig geradlinig bewegt. Wir vernachlässigen die Kraft des Luftwiderstands (ein ideales mathematisches Pendel). Das Pendel ruht zunächst in der Gleichgewichtslage C. Dabei kompensieren sich die auf es wirkende Schwerkraft und die Elastizitätskraft F?ynp des Fadens gegenseitig.

Wir bringen das Pendel aus der Gleichgewichtslage (durch Auslenkung zB in Position A) und lassen es ohne Anfangsgeschwindigkeit los (Abb. 1). In diesem Fall gleichen sich die Kräfte und nicht aus. Die tangentiale Komponente der Schwerkraft, die auf das Pendel wirkt, verleiht ihm eine tangentiale Beschleunigung a?? (die Komponente der Gesamtbeschleunigung, die entlang der Tangente an die Flugbahn des mathematischen Pendels gerichtet ist), und das Pendel beginnt, sich mit zunehmender absoluter Geschwindigkeit in Richtung der Gleichgewichtsposition zu bewegen. Die tangentiale Komponente der Schwerkraft ist somit die Rückstellkraft. Die Normalkomponente der Schwerkraft richtet sich entlang des Fadens gegen die elastische Kraft. Die resultierende Kraft und die Normalbeschleunigung des Pendels, die die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ändert, und das Pendel bewegt sich entlang des Bogens ABCD.

Je näher sich das Pendel der Gleichgewichtslage C nähert, desto kleiner wird der Wert der Tangentialkomponente. In der Gleichgewichtsposition ist es gleich Null, und die Geschwindigkeit erreicht ihren Maximalwert, und das Pendel bewegt sich durch Trägheit weiter und steigt entlang des Bogens nach oben. In diesem Fall ist die Komponente gegen die Drehzahl gerichtet. Mit zunehmendem Auslenkungswinkel a nimmt der Kraftmodul zu und der Geschwindigkeitsmodul ab, und am Punkt D wird die Geschwindigkeit des Pendels gleich Null. Das Pendel stoppt für einen Moment und beginnt dann, sich in die entgegengesetzte Richtung zur Gleichgewichtsposition zu bewegen. Nachdem das Pendel es durch Trägheit wieder passiert hat, wird es langsamer und erreicht Punkt A (keine Reibung), d.h. macht Vollgas. Danach wird die Bewegung des Pendels in der bereits beschriebenen Reihenfolge wiederholt.

Wir erhalten eine Gleichung, die die freien Schwingungen eines mathematischen Pendels beschreibt.

Das Pendel befinde sich zu einem bestimmten Zeitpunkt am Punkt B. Seine Verschiebung S von der Gleichgewichtsposition ist zu diesem Zeitpunkt gleich der Länge des Bogens CB (d. h. S = |CB|). Bezeichnen wir die Länge des Aufhängungsfadens mit l und die Masse des Pendels mit m.

Abbildung 1 zeigt, wo . Bei kleinen Winkeln ()Pendelauslenkung also

Das Minuszeichen in dieser Formel wird gesetzt, weil die tangentiale Komponente der Schwerkraft in Richtung der Gleichgewichtsposition gerichtet ist und die Verschiebung von der Gleichgewichtsposition aus gezählt wird.

Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz. Wir projizieren die Vektorgrößen dieser Gleichung auf die Richtung der Tangente an die Bahn des mathematischen Pendels

Aus diesen Gleichungen erhalten wir

Dynamische Bewegungsgleichung eines mathematischen Pendels. Die Tangentialbeschleunigung eines mathematischen Pendels ist proportional zu seiner Auslenkung und auf die Gleichgewichtslage gerichtet. Diese Gleichung kann geschrieben werden als

Vergleichen Sie es mit der Gleichung der harmonischen Schwingungen können wir schließen, dass das mathematische Pendel harmonische Schwingungen macht. Und da die betrachteten Schwingungen des Pendels nur unter Einwirkung innerer Kräfte auftraten, handelte es sich um freie Schwingungen des Pendels. Folglich sind freie Schwingungen eines mathematischen Pendels mit kleinen Abweichungen harmonisch.

Bezeichnen

Zyklusfrequenz von Pendelschwingungen.

Die Schwingungsdauer des Pendels. Somit,

Dieser Ausdruck wird als Huygens-Formel bezeichnet. Sie bestimmt die Periode der freien Schwingungen des mathematischen Pendels. Aus der Formel folgt, dass bei kleinen Abweichungswinkeln von der Gleichgewichtslage die Schwingungsdauer des mathematischen Pendels:

1. hängt nicht von seiner Masse und Schwingungsamplitude ab;
2. proportional zur Quadratwurzel der Pendellänge und umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der Freifallbeschleunigung.

Dies steht im Einklang mit den experimentellen Gesetzen kleiner Schwingungen eines mathematischen Pendels, die von G. Galileo entdeckt wurden.

Wir betonen, dass diese Formel verwendet werden kann, um den Zeitraum zu berechnen, wenn zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind:

1. Pendelschwingungen sollten klein sein;
2. der Aufhängepunkt des Pendels muss in Ruhe sein oder sich gleichmäßig geradlinig relativ zu dem Trägheitsbezugssystem bewegen, in dem es sich befindet.

Bewegt sich der Aufhängepunkt eines mathematischen Pendels mit Beschleunigung, so ändert sich die Zugkraft des Fadens, was zu einer Änderung der Rückstellkraft und damit der Schwingungsfrequenz und -dauer führt. Wie Berechnungen zeigen, kann die Schwingungsdauer des Pendels in diesem Fall durch die Formel berechnet werden

wo ist die "effektive" Beschleunigung des Pendels in einem nicht trägen Bezugssystem. Er ist gleich der geometrischen Summe aus der Erdbeschleunigung und dem dem Vektor entgegengesetzten Vektor, d.h. es kann mit der Formel berechnet werden

Was ist die Schwingungsdauer? Was ist diese Größe, welche physikalische Bedeutung hat sie und wie berechnet man sie? In diesem Artikel werden wir uns mit diesen Fragen befassen, verschiedene Formeln betrachten, mit denen die Schwingungsdauer berechnet werden kann, und auch herausfinden, welche Beziehung zwischen physikalischen Größen wie der Schwingungsdauer und der Schwingungsfrequenz eines Körpers / Systems besteht.

Definition und physikalische Bedeutung

Die Schwingungsdauer ist eine solche Zeitspanne, in der der Körper oder das System eine (notwendigerweise vollständige) Schwingung ausführt. Parallel dazu können wir den Parameter notieren, bei dem die Oszillation als vollständig betrachtet werden kann. Die Rolle eines solchen Zustands ist die Rückkehr des Körpers in seinen ursprünglichen Zustand (zur ursprünglichen Koordinate). Die Analogie mit der Periode einer Funktion ist sehr gut gezeichnet. Übrigens ist es ein Irrtum zu glauben, dass sie ausschließlich in der gewöhnlichen und höheren Mathematik stattfindet. Wie Sie wissen, sind diese beiden Wissenschaften untrennbar miteinander verbunden. Und die Periode von Funktionen kann nicht nur beim Lösen trigonometrischer Gleichungen angetroffen werden, sondern auch in verschiedenen Zweigen der Physik, nämlich Mechanik, Optik und anderen. Bei der Übertragung der Schwingungsdauer von der Mathematik auf die Physik muss diese lediglich als physikalische Größe (und nicht als Funktion) verstanden werden, die in direkter Abhängigkeit von der verstreichenden Zeit steht.

Welche Schwankungen gibt es?

Schwingungen werden in harmonische und anharmonische sowie periodische und nichtperiodische Schwingungen unterteilt. Es wäre logisch anzunehmen, dass harmonische Schwingungen nach einer harmonischen Funktion auftreten. Es kann entweder Sinus oder Cosinus sein. In diesem Fall können sich auch die Kompressions-Dehnungs- und Zunahme-Abnahme-Koeffizienten als zutreffend erweisen. Außerdem werden Vibrationen gedämpft. Das heißt, wenn eine bestimmte Kraft auf das System wirkt, die die Schwingungen selbst allmählich „verlangsamt“. In diesem Fall wird die Periode kürzer, während die Schwingungsfrequenz unveränderlich zunimmt. Das einfachste Experiment mit einem Pendel demonstriert ein solches physikalisches Axiom sehr gut. Es kann sowohl ein Federtyp als auch ein mathematischer sein. Das ist nicht wichtig. Übrigens wird die Schwingungsdauer in solchen Systemen durch verschiedene Formeln bestimmt. Aber dazu später mehr. Lassen Sie uns nun Beispiele geben.

Erfahrung mit Pendeln

Sie können zuerst ein beliebiges Pendel nehmen, es wird keinen Unterschied geben. Die Gesetze der Physik sind die Gesetze der Physik, dass sie auf jeden Fall eingehalten werden. Aber aus irgendeinem Grund gefällt mir das mathematische Pendel besser. Wenn jemand nicht weiß, was es ist: Es ist eine Kugel an einem nicht dehnbaren Faden, der an einer horizontalen Stange befestigt ist, die an den Beinen (oder den Elementen, die ihre Rolle spielen - um das System im Gleichgewicht zu halten) befestigt ist. Die Kugel nimmt man am besten aus Metall, damit das Erlebnis klarer wird.

Wenn Sie also ein solches System aus dem Gleichgewicht bringen, üben Sie etwas Kraft auf den Ball aus (mit anderen Worten, drücken Sie ihn), dann beginnt der Ball auf dem Faden zu schwingen und folgt einer bestimmten Flugbahn. Im Laufe der Zeit können Sie feststellen, dass die Flugbahn, auf der der Ball passiert, verkürzt wird. Gleichzeitig beginnt der Ball immer schneller hin und her zu huschen. Dies zeigt an, dass die Oszillationsfrequenz ansteigt. Aber die Zeit, die der Ball braucht, um in seine ursprüngliche Position zurückzukehren, nimmt ab. Aber die Zeit einer vollständigen Schwingung wird, wie wir früher herausgefunden haben, als Periode bezeichnet. Sinkt ein Wert und steigt der andere, spricht man von umgekehrter Proportionalität. Wir sind also beim ersten Moment angelangt, auf dessen Grundlage Formeln zur Bestimmung der Schwingungsdauer erstellt werden. Wenn wir ein Federpendel zum Testen nehmen, dann wird das Gesetz dort in etwas anderer Form eingehalten. Damit es am deutlichsten dargestellt wird, setzen wir das System in einer vertikalen Ebene in Bewegung. Um es klarer zu machen, war es zunächst wert zu sagen, was ein Federpendel ist. Aus dem Namen geht hervor, dass in seinem Design eine Feder vorhanden sein muss. Und das ist es tatsächlich. Auch hier haben wir eine horizontale Ebene auf Stützen, an der eine Feder bestimmter Länge und Steifigkeit aufgehängt ist. Daran wiederum ist ein Gewicht aufgehängt. Es kann ein Zylinder, ein Würfel oder eine andere Figur sein. Es kann sogar ein Artikel eines Drittanbieters sein. In jedem Fall beginnt das System, wenn es aus dem Gleichgewicht gebracht wird, gedämpfte Schwingungen auszuführen. Die Frequenzzunahme ist am deutlichsten ohne jede Abweichung in der vertikalen Ebene zu sehen. Auf dieser Erfahrung können Sie beenden.

In ihrem Verlauf haben wir also herausgefunden, dass die Periode und die Frequenz von Schwingungen zwei physikalische Größen sind, die in einem umgekehrten Verhältnis zueinander stehen.

Bezeichnung von Mengen und Abmessungen

Üblicherweise wird die Schwingungsdauer mit dem lateinischen Buchstaben T bezeichnet. Viel seltener kann sie auch anders bezeichnet werden. Die Frequenz wird mit dem Buchstaben µ („Mu“) bezeichnet. Wie wir eingangs gesagt haben, ist eine Periode nichts anderes als die Zeit, in der eine vollständige Schwingung im System auftritt. Dann ist die Dimension der Periode eine Sekunde. Und da die Periode und die Frequenz umgekehrt proportional sind, wird die Frequenzdimension durch eine Sekunde geteilt. Im Aufgabenprotokoll sieht alles so aus: T (s), µ (1/s).

Formel für ein mathematisches Pendel. Aufgabe 1

Wie bei den Experimenten habe ich mich entschieden, mich zunächst mit dem mathematischen Pendel zu beschäftigen. Auf die Herleitung der Formel gehen wir nicht im Detail ein, da eine solche Aufgabe ursprünglich nicht gestellt wurde. Ja, und die Schlussfolgerung selbst ist umständlich. Aber machen wir uns mit den Formeln selbst vertraut und finden Sie heraus, welche Mengen sie enthalten. Die Formel für die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels lautet also:

Dabei ist l die Länge des Fadens, n \u003d 3,14 und g die Erdbeschleunigung (9,8 m / s ^ 2). Die Formel sollte keine Schwierigkeiten bereiten. Daher werden wir ohne weitere Fragen sofort mit der Lösung des Problems der Bestimmung der Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels fortfahren. An einem 20 Zentimeter langen undehnbaren Faden hängt eine 10 Gramm schwere Metallkugel. Berechnen Sie die Schwingungsdauer des Systems, indem Sie sie für ein mathematisches Pendel halten. Die Lösung ist sehr einfach. Wie bei allen Problemen in der Physik ist es notwendig, sie so weit wie möglich zu vereinfachen, indem unnötige Wörter verworfen werden. Sie werden in den Kontext eingefügt, um das Entscheidende zu verwirren, aber tatsächlich haben sie absolut kein Gewicht. In den meisten Fällen natürlich. Hier ist es möglich, den Moment mit „unausdehnbarem Faden“ auszuschließen. Dieser Satz sollte nicht zu einer Benommenheit führen. Und da wir ein mathematisches Pendel haben, sollte uns die Masse der Last nicht interessieren. Das heißt, die Worte über 10 Gramm sind auch nur dazu gedacht, den Schüler zu verwirren. Aber wir wissen, dass in der Formel keine Masse steckt, also können wir guten Gewissens an die Lösung gehen. Also nehmen wir die Formel und ersetzen einfach die Werte, da es notwendig ist, die Periode des Systems zu bestimmen. Da keine weiteren Bedingungen angegeben wurden, runden wir die Werte wie üblich auf die 3. Dezimalstelle. Durch Multiplizieren und Dividieren der Werte erhalten wir, dass die Schwingungsdauer 0,886 Sekunden beträgt. Problem gelöst.

Formel für ein Federpendel. Aufgabe Nr. 2

Pendelformeln haben einen gemeinsamen Teil, nämlich 2p. Dieser Wert ist in zwei Formeln gleichzeitig vorhanden, sie unterscheiden sich jedoch im Wurzelausdruck. Wenn bei der Frage nach der Periode eines Federpendels die Masse der Last angegeben wird, dann kommt man bei seiner Verwendung um Berechnungen nicht herum, wie es beim mathematischen Pendel der Fall war. Aber Sie sollten keine Angst haben. So sieht die Periodenformel für ein Federpendel aus:

Darin ist m die Masse der an der Feder aufgehängten Last, k ist der Koeffizient der Federsteifigkeit. In der Aufgabe kann der Wert des Koeffizienten angegeben werden. Aber wenn man in der Formel eines mathematischen Pendels nicht wirklich aufklärt – schließlich sind 2 von 4 Werten Konstanten – dann kommt hier noch ein 3. Parameter hinzu, der sich ändern kann. Und am Ausgang haben wir 3 Variablen: die Periode (Frequenz) der Schwingungen, den Koeffizienten der Federsteifigkeit, die Masse der aufgehängten Last. Die Aufgabe kann darauf ausgerichtet sein, jeden dieser Parameter zu finden. Eine erneute Suche nach einem Punkt wäre zu einfach, also ändern wir die Bedingung ein wenig. Finden Sie die Steifigkeit der Feder, wenn die volle Schwingzeit 4 Sekunden beträgt und das Gewicht des Federpendels 200 Gramm beträgt.

Um ein physikalisches Problem zu lösen, wäre es gut, zuerst eine Zeichnung anzufertigen und Formeln zu schreiben. Sie sind hier die halbe Miete. Nachdem Sie die Formel geschrieben haben, müssen Sie den Steifigkeitskoeffizienten ausdrücken. Es ist unter unserer Wurzel, also quadrieren wir beide Seiten der Gleichung. Um den Bruch loszuwerden, multipliziere die Teile mit k. Lassen wir jetzt nur noch den Koeffizienten auf der linken Seite der Gleichung, das heißt, wir dividieren die Teile durch T^2. Im Prinzip könnte das Problem etwas komplizierter werden, indem man nicht einen Punkt in Zahlen, sondern eine Häufigkeit einstellt. Jedenfalls ergibt sich beim Rechnen und Runden (wir haben uns auf die 3. Nachkommastelle gerundet) k = 0,157 N/m.

Die Periode der freien Schwingungen. Freie Periodenformel

Unter der Formel für die Periodendauer freier Schwingungen sind die Formeln zu verstehen, die wir in den beiden zuvor gegebenen Aufgaben untersucht haben. Sie bilden auch eine Gleichung freier Schwingungen, aber da sprechen wir bereits von Verschiebungen und Koordinaten, und diese Frage gehört zu einem anderen Artikel.

1) Bevor Sie eine Aufgabe übernehmen, schreiben Sie die zugehörige Formel auf.

2) Die einfachsten Aufgaben erfordern keine Zeichnungen, aber in Ausnahmefällen müssen sie erledigt werden.

3) Versuche möglichst Wurzeln und Nenner loszuwerden. Eine Gleichung, die in einer Zeile geschrieben ist, die keinen Nenner hat, ist viel bequemer und einfacher zu lösen.

In der Technologie und der Welt um uns herum müssen wir uns oft damit auseinandersetzen Zeitschrift(oder fast periodisch) Prozesse, die sich in regelmäßigen Abständen wiederholen. Solche Prozesse werden aufgerufen oszillierend.

Schwingungen gehören zu den häufigsten Vorgängen in Natur und Technik. Flügel von Insekten und Vögeln im Flug, Hochhäuser und Hochspannungskabel unter der Wirkung des Windes, das Pendel einer aufgezogenen Uhr und eines Autos auf Federn während der Bewegung, der Pegel des Flusses im Laufe des Jahres und die Temperatur von des menschlichen Körpers bei Krankheit, Schall sind Schwankungen der Luftdichte und des Luftdrucks, Radiowellen - periodische Änderungen der Stärke der elektrischen und magnetischen Felder, sichtbares Licht sind auch elektromagnetische Schwingungen, nur mit geringfügig anderer Wellenlänge und Frequenz, Erdbeben - Bodenschwingungen , Pulsschläge - periodische Kontraktionen des menschlichen Herzmuskels usw.

Vibrationen sind mechanische, elektromagnetische, chemische, thermodynamische und verschiedene andere. Trotz dieser Vielfalt haben sie alle viel gemeinsam.

Schwingungsphänomene unterschiedlicher physikalischer Natur unterliegen allgemeinen Gesetzmäßigkeiten. Beispielsweise können Stromschwingungen in einem Stromkreis und Schwingungen eines mathematischen Pendels durch dieselben Gleichungen beschrieben werden. Die Gemeinsamkeit oszillatorischer Gesetzmäßigkeiten ermöglicht es, oszillierende Prozesse unterschiedlicher Art aus einem einzigen Blickwinkel zu betrachten. Ein Zeichen für oszillierende Bewegung ist es Periodizität.

Mechanische Schwingungen -DasBewegungen, die sich genau oder annähernd in regelmäßigen Abständen wiederholen.

Beispiele für einfache Schwingungssysteme sind ein Gewicht an einer Feder (Federpendel) oder eine Kugel an einem Faden (mathematisches Pendel).

Bei mechanischen Schwingungen ändern sich die kinetischen und potentiellen Energien periodisch.

Beim maximale Abweichung Körper aus der Gleichgewichtslage, seine Geschwindigkeit und folglich und Die kinetische Energie geht gegen Null. In dieser Position potenzielle Energie schwingender Körper erreicht den Maximalwert. Bei einer Federbelastung ist die potentielle Energie die Energie der elastischen Verformung der Feder. Für ein mathematisches Pendel ist dies die Energie im Gravitationsfeld der Erde.

Wenn ein Körper in seiner Bewegung durchgeht Gleichgewichtslage, seine Geschwindigkeit ist maximal. Der Körper überspringt die Gleichgewichtslage nach dem Trägheitsgesetz. In diesem Moment hat es maximale kinetische und minimale potentielle Energie. Eine Zunahme der kinetischen Energie erfolgt auf Kosten einer Abnahme der potentiellen Energie.

Bei weiterer Bewegung beginnt die potentielle Energie aufgrund der Abnahme der kinetischen Energie usw.

Bei harmonischen Schwingungen findet also eine periodische Umwandlung von kinetischer Energie in potentielle Energie und umgekehrt statt.

Wenn im schwingungsfähigen System keine Reibung vorhanden ist, bleibt die gesamte mechanische Energie bei mechanischen Schwingungen unverändert.

Für Federbelastung:

In der Position maximaler Auslenkung ist die Gesamtenergie des Pendels gleich der potentiellen Energie der verformten Feder:

Beim Durchlaufen der Gleichgewichtslage ist die Gesamtenergie gleich der kinetischen Energie der Last:

Für kleine Schwingungen eines mathematischen Pendels:

In der Position der maximalen Abweichung ist die Gesamtenergie des Pendels gleich der potentiellen Energie des auf eine Höhe h angehobenen Körpers:

Beim Durchlaufen der Gleichgewichtslage ist die Gesamtenergie gleich der kinetischen Energie des Körpers:

Hier hm m ist die maximale Hubhöhe des Pendels im Gravitationsfeld der Erde, x m und υ m = ω 0 x m sind die maximalen Abweichungen des Pendels von der Gleichgewichtslage und seine Geschwindigkeit.

Harmonische Schwingungen und ihre Eigenschaften. Gleichung der harmonischen Schwingung.

Die einfachste Art von Schwingungsprozessen sind einfach harmonische Schwingungen, die durch die Gleichung beschrieben werden

x = x m cos(ω t + φ 0).

Hier x- Verschiebung des Körpers aus der Gleichgewichtslage,
x m- die Schwingungsamplitude, dh die maximale Verschiebung aus der Gleichgewichtsposition,
ω – zyklische oder kreisförmige Frequenz Zögern,
t- Zeit.

Eigenschaften der oszillierenden Bewegung.

Versatz x - Abweichung des Schwingungspunktes von der Gleichgewichtslage. Die Maßeinheit ist 1 Meter.

Schwingungsamplitude A - die maximale Abweichung des Schwingungspunktes von der Gleichgewichtslage. Die Maßeinheit ist 1 Meter.

SchwingungsperiodeT- das minimale Zeitintervall, für das eine vollständige Schwingung auftritt, wird aufgerufen. Die Maßeinheit ist 1 Sekunde.

T=t/N

wobei t die Oszillationszeit ist, N die Anzahl der während dieser Zeit durchgeführten Oszillationen ist.

Gemäß dem Diagramm der harmonischen Schwingungen können Sie die Periode und Amplitude der Schwingungen bestimmen:

Schwingfrequenz ν – eine physikalische Größe gleich der Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit.

ν=N/t

Die Frequenz ist der Kehrwert der Schwingungsdauer:

Frequenz Schwingungen ν gibt an, wie viele Schwingungen in 1 s auftreten. Die Einheit der Frequenz ist Hertz(Hz).

zyklische Frequenz ω ist die Anzahl der Schwingungen in 2π Sekunden.

Die Oszillationsfrequenz ν bezieht sich auf zyklische Frequenz ω und Schwingungsdauer T Verhältnisse:

Phase harmonischer Prozess - ein Wert, der in der Gleichung der harmonischen Schwingungen unter dem Vorzeichen von Sinus oder Cosinus steht φ = ω t + φ 0 . Beim t= 0 φ = φ 0 , also φ 0 namens Anfangsphase.

Diagramm der harmonischen Schwingungen eine Sinuswelle oder eine Cosinuswelle ist.

In allen drei Fällen für die blauen Kurven φ 0 = 0:

nur größer Amplitude(x"m > xm);

die rote Kurve unterscheidet sich von der blauen nur Wert Zeitraum(T" = T/2);

die rote Kurve unterscheidet sich von der blauen nur Wert Anfangsphase(froh).

Wenn der Körper entlang einer geraden Linie schwingt (Achse OCHSE) ist der Geschwindigkeitsvektor immer entlang dieser Geraden gerichtet. Die Geschwindigkeit des Körpers wird durch den Ausdruck bestimmt

In der Mathematik das Verfahren zur Bestimmung der Grenze des Verhältnisses Δx / Δt bei Δ t→ 0 heißt die Berechnung der Ableitung der Funktion x(t) zum Zeitpunkt t und wird bezeichnet als x"(t).Die Geschwindigkeit ist gleich der Ableitung der Funktion x( t) zum Zeitpunkt t.

Für das harmonische Bewegungsgesetz x = x m cos(ω t+ φ 0) führt die Berechnung der Ableitung zu folgendem Ergebnis:

υ X =x"(t)= ω x m Sünde (ω t + φ 0)

Die Beschleunigung wird auf ähnliche Weise definiert ein x Körper unter harmonischen Schwingungen. Beschleunigung a gleich der Ableitung der Funktion υ( t) zum Zeitpunkt t, oder die zweite Ableitung der Funktion x(t). Die Berechnungen ergeben:

ein x \u003d υ x "(t) =x""(t)= -ω 2 x m cos(ω t+ φ 0)=-ω 2 x

Das Minuszeichen in diesem Ausdruck bedeutet, dass die Beschleunigung a(t) hat immer das entgegengesetzte Vorzeichen des Offsets x(t), und daher ist nach dem zweiten Newtonschen Gesetz die Kraft, die den Körper zu harmonischen Schwingungen veranlaßt, immer auf die Gleichgewichtslage gerichtet ( x = 0).

Die Abbildung zeigt Graphen der Koordinaten, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Körpers, der harmonische Schwingungen ausführt.

Diagramme der Koordinate x(t), der Geschwindigkeit υ(t) und der Beschleunigung a(t) eines Körpers, der harmonische Schwingungen ausführt.

Federpendel.

FederpendelNennen wir eine Last mit einer Masse m, die an einer Feder der Steifigkeit k befestigt ist, deren zweites Ende bewegungslos fixiert ist.

Eigenfrequenzω 0 freie Schwingungen der Last auf der Feder werden durch die Formel gefunden:

Zeitraum T harmonischen Schwingungen der Belastung der Feder gleich ist

Das bedeutet, dass die Schwingungsdauer eines Federpendels von der Masse der Last und von der Steifigkeit der Feder abhängt.

Physikalische Eigenschaften des schwingungsfähigen Systems bestimmen nur die Eigenschwingungsfrequenz ω 0 und die Periode T . Solche Parameter des Oszillationsprozesses wie Amplitude x m und die Anfangsphase φ 0 , werden dadurch bestimmt, wie das System zum Anfangszeitpunkt aus dem Gleichgewicht gebracht wurde.

Mathematisches Pendel.

Mathematisches Pendelwird als kleiner Körper bezeichnet, der an einem dünnen, nicht dehnbaren Faden aufgehängt ist und dessen Masse im Vergleich zur Masse des Körpers vernachlässigbar ist.

In der Gleichgewichtslage, wenn das Pendel an einem Lot hängt, wird die Gewichtskraft durch die Fadenzugkraft N ausgeglichen. Wenn das Pendel um einen bestimmten Winkel φ von der Gleichgewichtslage abweicht, tritt eine tangentiale Komponente der Gewichtskraft auf F τ = – mg Sünde Phi. Das Minuszeichen in dieser Formel bedeutet, dass die Tangentialkomponente entgegen der Pendelauslenkung gerichtet ist.

Mathematisches Pendel.φ - Winkelabweichung des Pendels von der Gleichgewichtslage,

x= lφ – Verschiebung des Pendels entlang des Bogens

Die Eigenfrequenz kleiner Schwingungen eines mathematischen Pendels wird durch die Formel ausgedrückt:

Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels:

Das bedeutet, dass die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels von der Länge des Fadens und von der Beschleunigung des freien Falls des Bereichs, in dem das Pendel installiert ist, abhängt.

Freie und erzwungene Schwingungen.

Mechanische Schwingungen können, wie oszillierende Prozesse jeder anderen physikalischen Art, sein frei und gezwungen.

Freie Vibrationen -Das sind Schwingungen, die im System unter Einwirkung innerer Kräfte auftreten, nachdem das System aus einer stabilen Gleichgewichtslage gebracht wurde.

Die Schwingungen eines Gewichts an einer Feder oder die Schwingungen eines Pendels sind freie Schwingungen.

Damit nach dem harmonischen Gesetz freie Schwingungen auftreten können, ist es erforderlich, dass die Kraft, die den Körper in die Gleichgewichtslage zurückbringen will, proportional zur Auslenkung des Körpers aus der Gleichgewichtslage ist und in die der Auslenkung entgegengesetzte Richtung gerichtet ist .

Unter realen Bedingungen steht jedes schwingungsfähige System unter dem Einfluss von Reibungskräften (Widerständen). In diesem Fall wird ein Teil der mechanischen Energie in die innere Energie der thermischen Bewegung von Atomen und Molekülen umgewandelt, und die Schwingungen werden Fading.

Verfallend Vibrationen genannt, deren Amplitude mit der Zeit abnimmt.

Damit die Schwingungen nicht dämpfen, muss dem System zusätzliche Energie zugeführt werden, d.h. mit einer periodischen Kraft auf das schwingfähige System einwirken (z. B. um eine Schaukel zu schwingen).

Als Schwingungen werden Schwingungen bezeichnet, die unter dem Einfluss einer sich periodisch ändernden äußeren Kraft auftretengezwungen.

Die äußere Kraft verrichtet positive Arbeit und versorgt das schwingungsfähige System mit Energie. Es lässt Schwingungen trotz Einwirkung von Reibungskräften nicht abklingen.

Eine periodische äußere Kraft kann nach verschiedenen Gesetzen zeitlich variieren. Von besonderem Interesse ist der Fall, wenn eine äußere Kraft, die sich nach einem harmonischen Gesetz mit einer Frequenz ω ändert, auf ein schwingungsfähiges System wirkt, das Eigenschwingungen mit einer bestimmten Frequenz ω 0 ausführen kann.

Treten freie Schwingungen mit einer Frequenz ω 0 auf, die durch die Parameter des Systems bestimmt wird, dann stetige erzwungene Schwingungen treten immer auf Frequenz ω der äußeren Kraft .

Das Phänomen eines starken Anstiegs der Amplitude erzwungener Schwingungen, wenn die Frequenz der Eigenschwingungen mit der Frequenz der äußeren Antriebskraft zusammenfällt, wird genanntResonanz.

Amplitudenabhängigkeit x m erzwungene Schwingungen von der Frequenz ω der treibenden Kraft genannt Resonanzcharakteristik oder Resonanzkurve.

Resonanzkurven bei verschiedenen Dämpfungsstufen:

1 - Schwingungssystem ohne Reibung; bei Resonanz nimmt die Amplitude x m der erzwungenen Schwingungen unendlich zu;

2, 3, 4 - echte Resonanzkurven für schwingungsfähige Systeme mit unterschiedlicher Reibung.

In Abwesenheit von Reibung sollte die Amplitude der erzwungenen Schwingungen bei Resonanz unbegrenzt zunehmen. Unter realen Bedingungen wird die Amplitude von erzwungenen Schwingungen im stationären Zustand durch die Bedingung bestimmt: Die Arbeit einer äußeren Kraft während der Schwingungsdauer muss gleich dem Verlust an mechanischer Energie über die gleiche Zeit aufgrund von Reibung sein. Je weniger Reibung, desto größer die Amplitude der erzwungenen Schwingungen bei Resonanz.

Das Resonanzphänomen kann zur Zerstörung von Brücken, Gebäuden und anderen Bauwerken führen, wenn die Eigenfrequenzen ihrer Schwingungen mit der Frequenz einer periodisch wirkenden Kraft übereinstimmen, die beispielsweise durch die Rotation eines Unwuchtmotors entstanden ist.

oszillierende Bewegung- periodische oder nahezu periodische Bewegung eines Körpers, deren Koordinate, Geschwindigkeit und Beschleunigung in regelmäßigen Abständen annähernd gleiche Werte annehmen.

Mechanische Schwingungen treten auf, wenn, wenn ein Körper aus dem Gleichgewicht gebracht wird, eine Kraft auftritt, die dazu neigt, den Körper zurückzubringen.

Verschiebung x - Abweichung des Körpers von der Gleichgewichtslage.

Amplitude A - das Modul der maximalen Verschiebung des Körpers.

Schwingungsdauer T - Zeit einer Schwingung:

Oszillationsfrequenz

Die Anzahl der Schwingungen des Körpers pro Zeiteinheit: Während der Schwingungen ändern sich Geschwindigkeit und Beschleunigung periodisch. In der Gleichgewichtslage ist die Geschwindigkeit maximal, die Beschleunigung Null. An den Punkten maximaler Auslenkung erreicht die Beschleunigung ihr Maximum und die Geschwindigkeit verschwindet.

DIAGRAMM DER HARMONISCHEN SCHWINGUNGEN

Harmonisch Schwingungen, die nach dem Sinus- oder Kosinussatz auftreten, heißen:

wobei x(t) die Verschiebung des Systems zum Zeitpunkt t ist, A die Amplitude ist, ω die zyklische Schwingungsfrequenz ist.

Wenn die Abweichung des Körpers von der Gleichgewichtsposition entlang der vertikalen Achse und die Zeit entlang der horizontalen Achse aufgetragen wird, erhalten wir einen Graphen der Schwingung x = x(t) - die Abhängigkeit der Verschiebung des Körpers von der Zeit. Bei freien harmonischen Schwingungen handelt es sich um eine Sinus- oder Kosinuswelle. Die Figur zeigt Graphen der Verschiebung x, der Geschwindigkeitsprojektionen V x und der Beschleunigung a x über der Zeit.

Wie aus den Diagrammen ersichtlich ist, ist bei maximaler Auslenkung x die Geschwindigkeit V des Schwingkörpers Null, die Beschleunigung a und damit die auf den Körper wirkende Kraft maximal und der Auslenkung entgegen gerichtet. In der Gleichgewichtslage verschwinden Verschiebung und Beschleunigung, die Geschwindigkeit ist maximal. Die Beschleunigungsprojektion hat immer das entgegengesetzte Vorzeichen der Verschiebung.

ENERGIE DER SCHWINGUNGSBEWEGUNG

Die gesamte mechanische Energie eines schwingenden Körpers ist gleich der Summe seiner kinetischen und potentiellen Energie und bleibt ohne Reibung konstant:

In dem Moment, in dem die Verschiebung ihr Maximum x = A erreicht, verschwindet die Geschwindigkeit und damit die kinetische Energie.

In diesem Fall ist die Gesamtenergie gleich der potentiellen Energie:

Die gesamte mechanische Energie eines schwingenden Körpers ist proportional zum Quadrat der Amplitude seiner Schwingungen.

Wenn das System die Gleichgewichtsposition passiert, sind die Verschiebung und die potentielle Energie gleich Null: x \u003d 0, E p \u003d 0. Daher ist die Gesamtenergie gleich der Kinetik:

Die gesamte mechanische Energie eines schwingenden Körpers ist proportional zum Quadrat seiner Geschwindigkeit in der Gleichgewichtslage. Somit:

Mathematisches Pendel

1. Mathematisches Pendel ist ein materieller Punkt, der an einem schwerelosen, nicht dehnbaren Faden aufgehängt ist.

In der Gleichgewichtslage wird die Schwerkraft durch die Spannung des Fadens kompensiert. Wenn das Pendel ausgelenkt und losgelassen wird, dann hören die Kräfte auf, sich gegenseitig zu kompensieren, und es wird eine resultierende Kraft geben, die auf die Gleichgewichtsposition gerichtet ist. Newtons zweites Gesetz:

Bei kleinen Schwankungen, wenn die Verschiebung x viel kleiner als l ist, bewegt sich der Materialpunkt fast entlang der horizontalen x-Achse. Dann erhalten wir aus dem Dreieck MAB:

Als Sünde a \u003d x / l, dann ist die Projektion der resultierenden Kraft R auf die x-Achse gleich

Das Minuszeichen gibt an, dass die Kraft R immer gegen den Weg x gerichtet ist.

2. So ist bei Schwingungen eines mathematischen Pendels ebenso wie bei Schwingungen eines Federpendels die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung und in die entgegengesetzte Richtung gerichtet.

Vergleichen wir die Ausdrücke für die Rückstellkraft von Rechen- und Federpendel:

Es ist ersichtlich, dass mg/l ein Analogon von k ist. Ersetzen von k durch mg/l in der Formel für die Periodendauer eines Federpendels

erhalten wir die Formel für die Periode eines mathematischen Pendels:

Die Periode kleiner Schwingungen eines mathematischen Pendels hängt nicht von der Amplitude ab.

Ein mathematisches Pendel wird zur Zeitmessung verwendet, um die Beschleunigung des freien Falls an einem bestimmten Ort auf der Erdoberfläche zu bestimmen.

Freie Schwingungen eines mathematischen Pendels bei kleinen Auslenkungswinkeln sind harmonisch. Sie entstehen aufgrund der resultierenden Gewichtskraft und der Spannung des Fadens sowie der Trägheit der Last. Die Resultierende dieser Kräfte ist die Rückstellkraft.

Beispiel. Bestimmen Sie die Beschleunigung im freien Fall auf einem Planeten, bei dem ein 6,25 m langes Pendel eine freie Schwingungsdauer von 3,14 s hat.

Die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels hängt von der Länge des Fadens und der Beschleunigung des freien Falls ab:

Durch Quadrieren beider Seiten der Gleichung erhalten wir:

Antworten: Die Freifallbeschleunigung beträgt 25 m/s 2 .

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