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Machtformeln Wird beim Reduzieren und Vereinfachen komplexer Ausdrücke, beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen verwendet.

Anzahl c ist ein n-te Potenz einer Zahl a Wenn:

Operationen mit Grad.

1. Durch Multiplizieren von Graden mit derselben Basis addieren sich ihre Indikatoren:

binein n = ein m + n .

2. Bei der Aufteilung von Abschlüssen mit derselben Basis werden ihre Indikatoren subtrahiert:

3. Der Grad des Produkts von 2 oder mehr Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren:

(abc…) n = ein n b n c n …

4. Der Grad eines Bruchs ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden und des Divisors:

(a/b) n = ein n / b n .

5. Exponenten werden potenziert:

(am) n = am n .

Jede obige Formel ist in den Richtungen von links nach rechts und umgekehrt korrekt.

zum Beispiel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Betriebe mit Wurzeln.

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel des Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis des Dividenden und des Divisors der Wurzeln:

3. Wenn Sie eine Wurzel potenzieren, reicht es aus, die Wurzelzahl mit dieser Potenz zu potenzieren:

4. Wenn wir den Grad der Wurzel in erhöhen n einmal und gleichzeitig zu erhöhen n Potenz eine Wurzelzahl ist, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

5. Wenn wir den Grad der Wurzel in verringern n Wurzel gleichzeitig n Grad von der Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

Grad mit negativem Exponenten. Der Grad einer bestimmten Zahl mit einem nicht-positiven (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins dividiert durch den Grad derselben Zahl mit einem Exponenten, der gleich dem Absolutwert des nicht-positiven Exponenten ist:

Formel bin:ein n = ein m - n kann nicht nur für verwendet werden m> n, sondern auch bei m< n.

zum Beispiel. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Zur Formel bin:ein n = ein m - n wurde fair bei m=n, benötigen Sie das Vorhandensein des Nullgrades.

Grad mit Exponent null. Die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit einem Exponenten von Null ist gleich Eins.

zum Beispiel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad mit einem gebrochenen Exponenten. Um eine reelle Zahl zu erhöhen a bis zu einem Grad m/n, müssen Sie die Wurzel extrahieren n Grad an m Potenz dieser Zahl a.

In diesem Artikel werden wir verstehen, was ist Grad von. Hier geben wir Definitionen des Grades einer Zahl, wobei wir alle möglichen Exponenten des Grades im Detail betrachten, beginnend mit einem natürlichen Exponenten, endend mit einem irrationalen. Im Material finden Sie viele Beispiele für Abschlüsse, die alle auftretenden Feinheiten abdecken.

Seitennavigation.

Grad mit natürlichem Exponenten, Quadrat einer Zahl, Kubikzahl einer Zahl

Lass uns beginnen mit . Vorausschauend nehmen wir an, dass die Definition des Grades von a mit natürlichem Exponenten n für a gegeben ist, was wir nennen werden Basis des Abschlusses, und n , die wir nennen werden Exponent. Wir stellen auch fest, dass der Grad mit einem natürlichen Indikator durch das Produkt bestimmt wird. Um das folgende Material zu verstehen, müssen Sie also eine Vorstellung von der Multiplikation von Zahlen haben.

Definition.

Potenz der Zahl a mit natürlichem Exponenten n ist ein Ausdruck der Form a n , dessen Wert gleich dem Produkt von n Faktoren ist, von denen jeder gleich a ist, also .
Insbesondere ist der Grad einer Zahl a mit Exponent 1 die Zahl a selbst, also a 1 = a.

Unmittelbar erwähnenswert sind die Regeln für das Lesen von Abschlüssen. Die universelle Lesart für den Eintrag a n lautet: „a hoch n“. In einigen Fällen sind auch solche Optionen akzeptabel: "a hoch n-te Potenz" und "n-te Potenz der Zahl a". Nehmen wir zum Beispiel den Grad 8 12, das ist „acht hoch zwölf“ oder „acht hoch zwölf“ oder „zwölfte Potenz von acht“.

Die zweite Potenz einer Zahl sowie die dritte Potenz einer Zahl haben ihre eigenen Namen. Die zweite Potenz einer Zahl heißt das Quadrat einer Zahl, zum Beispiel wird 7 2 als „Sieben zum Quadrat“ oder „Quadrat der Zahl Sieben“ gelesen. Die dritte Potenz einer Zahl heißt Würfelzahl, zum Beispiel kann 5 3 als "fünf Würfel" gelesen werden oder sagen "Würfel der Zahl 5".

Es ist Zeit zu bringen Beispiele für Abschlüsse mit physikalischen Indikatoren. Beginnen wir mit der Potenz von 5 7 , wobei 5 die Basis der Potenz und 7 der Exponent ist. Nehmen wir ein anderes Beispiel: 4,32 ist die Basis, und die natürliche Zahl 9 ist der Exponent (4,32) 9 .

Bitte beachten Sie, dass im letzten Beispiel die Basis des Grads 4,32 in Klammern geschrieben ist: Um Diskrepanzen zu vermeiden, werden wir alle Basis des Grads, die sich von natürlichen Zahlen unterscheiden, in Klammern setzen. Als Beispiel geben wir die folgenden Abschlüsse mit natürlichen Indikatoren an , ihre Basen sind keine natürlichen Zahlen, also werden sie in Klammern geschrieben. Nun, zur vollständigen Klarheit zeigen wir an dieser Stelle den Unterschied, der in den Datensätzen der Form (−2) 3 und −2 3 enthalten ist. Der Ausdruck (−2) 3 ist die Potenz von −2 mit dem natürlichen Exponenten 3, und der Ausdruck −2 3 (er kann als −(2 3) geschrieben werden) entspricht der Zahl, dem Wert der Potenz 2 3 .

Beachten Sie, dass es eine Notation für den Grad von a mit einem Exponenten n der Form a^n gibt. Wenn n eine mehrwertige natürliche Zahl ist, wird der Exponent außerdem in Klammern gesetzt. Beispielsweise ist 4^9 eine andere Schreibweise für die Potenz von 4 9 . Und hier sind weitere Beispiele für das Schreiben von Graden mit dem Symbol „^“: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Im Folgenden verwenden wir hauptsächlich die Schreibweise des Grades der Form an .

Eines der Probleme, die Umkehrung der Potenzierung mit einem natürlichen Exponenten, ist das Problem, die Basis des Grades aus einem bekannten Wert des Grades und einem bekannten Exponenten zu finden. Diese Aufgabe führt zu .

Es ist bekannt, dass die Menge der rationalen Zahlen aus ganzen Zahlen und Bruchzahlen besteht, und jede Bruchzahl kann als positiver oder negativer gewöhnlicher Bruch dargestellt werden. Wir haben im vorherigen Absatz den Grad mit einem ganzzahligen Exponenten definiert. Um die Definition des Grades mit einem rationalen Exponenten zu vervollständigen, müssen wir daher die Bedeutung des Grades der Zahl a mit einem gebrochenen Exponenten m / n angeben. wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist. Machen wir das.

Betrachten Sie einen Grad mit einem gebrochenen Exponenten der Form . Damit die Eigenschaft Grad in einem Grad gültig bleibt, muss die Gleichheit gelten . Wenn wir die resultierende Gleichheit berücksichtigen und wie wir definiert haben, dann ist es logisch zu akzeptieren, vorausgesetzt, dass der Ausdruck für gegebenes m, n und a sinnvoll ist.

Es ist leicht nachzuprüfen, dass alle Eigenschaften eines Grades mit ganzzahligem Exponenten für as gültig sind (dies geschieht im Abschnitt über Eigenschaften eines Grades mit rationalem Exponenten).

Die obige Argumentation erlaubt uns, Folgendes zu machen Fazit: Wenn bei gegebenem m, n und a der Ausdruck sinnvoll ist, dann heißt die Potenz der Zahl a mit einem gebrochenen Exponenten m / n Wurzel n-ten Grades von a hoch m.

Diese Aussage bringt uns der Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten nahe. Es bleibt nur zu beschreiben, für welche m, n und a der Ausdruck sinnvoll ist. Abhängig von den Beschränkungen, die m, n und a auferlegt werden, gibt es zwei Hauptansätze.

Der einfachste Weg, a einzuschränken, besteht darin, a≥0 für positives m und a>0 für negatives m anzunehmen (da m≤0 keine Potenz von 0 m hat). Dann erhalten wir die folgende Definition des Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Potenz einer positiven Zahl a mit Bruchexponent m/n, wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist, heißt die Wurzel aus dem n-ten der Zahl a hoch m, also .

Der Bruchgrad Null wird ebenfalls definiert, mit der einzigen Einschränkung, dass der Exponent positiv sein muss.

Definition.

Potenz von Null mit gebrochenem positivem Exponenten m/n, wobei m eine positive ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist, ist definiert als .
Wenn der Grad nicht definiert ist, also der Grad der Zahl Null mit einem gebrochenen negativen Exponenten, macht keinen Sinn.

Es ist zu beachten, dass es bei einer solchen Definition des Grades mit einem gebrochenen Exponenten eine Nuance gibt: Für einige negative a und einige m und n macht der Ausdruck Sinn, und wir haben diese Fälle verworfen, indem wir die Bedingung a≥0 eingeführt haben. Zum Beispiel ist es sinnvoll zu schreiben oder , und die obige Definition zwingt uns zu sagen, dass Grad mit einem gebrochenen Exponenten der Form sind bedeutungslos, da die Basis nicht negativ sein darf.

Ein weiterer Ansatz zur Bestimmung des Grads mit einem gebrochenen Exponenten m / n besteht darin, die geraden und ungeraden Exponenten der Wurzel getrennt zu betrachten. Dieser Ansatz erfordert eine zusätzliche Bedingung: Der Grad der Zahl a, deren Exponent ist, wird als Grad der Zahl a betrachtet, deren Exponent der entsprechende irreduzible Bruch ist (die Bedeutung dieser Bedingung wird unten erklärt). Das heißt, wenn m/n ein irreduzibler Bruch ist, dann wird für jede natürliche Zahl k zunächst der Grad durch ersetzt.

Für gerades n und positives m macht der Ausdruck Sinn für jedes nicht-negative a (die Wurzel eines geraden Grades aus einer negativen Zahl ergibt keinen Sinn), für negatives m muss die Zahl a immer noch von Null verschieden sein (sonst gibt es wird eine Division durch Null sein). Und für ungerades n und positives m kann die Zahl a alles sein (die Wurzel eines ungeraden Grades ist für jede reelle Zahl definiert), und für negatives m muss die Zahl a von Null verschieden sein (damit es keine Division durch gibt Null).

Die obige Überlegung führt uns zu einer solchen Definition des Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Sei m/n ein irreduzibler Bruch, m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl. Für jeden reduzierbaren gewöhnlichen Bruch wird der Grad durch ersetzt. Die Potenz von a mit einem irreduziblen Bruchexponenten m/n ist z



Lassen Sie uns erklären, warum ein Grad mit einem reduzierbaren gebrochenen Exponenten zuerst durch einen Grad mit einem irreduziblen Exponenten ersetzt wird. Wenn wir den Grad einfach als definieren und keinen Vorbehalt bezüglich der Irreduzibilität des Bruchs m / n machen, dann stoßen wir auf Situationen ähnlich der folgenden: seit 6/10=3/5 dann die Gleichheit , sondern , a .

Wir haben herausgefunden, was der Grad einer Zahl im Allgemeinen ist. Jetzt müssen wir verstehen, wie man es richtig berechnet, d.h. Zahlen potenzieren. In diesem Material analysieren wir die Grundregeln für die Berechnung des Grades im Fall eines ganzzahligen, natürlichen, gebrochenen, rationalen und irrationalen Exponenten. Alle Definitionen werden mit Beispielen illustriert.

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Das Konzept der Potenzierung

Beginnen wir mit der Formulierung grundlegender Definitionen.

Bestimmung 1

Potenzierung ist die Berechnung des Wertes der Potenz einer Zahl.

Das heißt, die Wörter "Berechnung des Gradwerts" und "Potenzierung" bedeuten dasselbe. Wenn also die Aufgabe lautet „Potenziere die Zahl 0 , 5 mit der fünften Potenz“, ist dies zu verstehen als „Berechne den Wert der Potenz (0 , 5) 5 .

Jetzt geben wir die Grundregeln an, die bei solchen Berechnungen befolgt werden müssen.

Erinnere dich daran, was eine Potenz einer Zahl mit einem natürlichen Exponenten ist. Bei einer Potenz mit Basis a und Exponent n ist dies das Produkt der n-ten Anzahl von Faktoren, von denen jeder gleich a ist. Dies kann so geschrieben werden:

Um den Wert des Grades zu berechnen, müssen Sie die Operation der Multiplikation durchführen, dh die Basen des Grades mit der angegebenen Anzahl multiplizieren. Das Konzept eines Abschlusses mit einem natürlichen Indikator basiert auf der Fähigkeit, sich schnell zu vermehren. Lassen Sie uns Beispiele geben.

Beispiel 1

Bedingung: Raise - 2 hoch 4 .

Entscheidung

Unter Verwendung der obigen Definition schreiben wir: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Als nächstes müssen wir nur diese Schritte befolgen und erhalten 16 .

Nehmen wir ein komplizierteres Beispiel.

Beispiel 2

Berechne den Wert 3 2 7 2

Entscheidung

Dieser Eintrag kann umgeschrieben werden als 3 2 7 · 3 2 7 . Weiter oben haben wir uns angesehen, wie man die in der Bedingung erwähnten gemischten Zahlen richtig multipliziert.

Führen Sie diese Schritte aus und erhalten Sie die Antwort: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Wenn die Aufgabe die Notwendigkeit anzeigt, irrationale Zahlen in eine natürliche Potenz zu erheben, müssen wir ihre Basen zuerst auf eine Ziffer runden, die es uns ermöglicht, eine Antwort mit der gewünschten Genauigkeit zu erhalten. Nehmen wir ein Beispiel.

Beispiel 3

Führen Sie das Quadrieren der Zahl π durch.

Entscheidung

Runden wir zuerst auf Hundertstel auf. Dann ist π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Wenn π ≈ 3 . 14159, dann erhalten wir ein genaueres Ergebnis: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Beachten Sie, dass die Notwendigkeit, die Potenzen irrationaler Zahlen zu berechnen, in der Praxis relativ selten auftritt. Die Antwort können wir dann als Potenz selbst schreiben (ln 6) 3 oder wenn möglich umrechnen: 5 7 = 125 5 .

Getrennt davon sollte angegeben werden, was die erste Potenz einer Zahl ist. Hier können Sie sich nur daran erinnern, dass jede Zahl, die zur ersten Potenz erhoben wird, sie selbst bleibt:

Das geht aus dem Protokoll hervor. .

Es kommt nicht auf die Grundlage des Abschlusses an.

Beispiel 4

Also, (− 9) 1 = − 9 , und 7 3 in die erste Potenz erhoben bleibt gleich 7 3 .

Der Einfachheit halber werden wir drei Fälle separat analysieren: wenn der Exponent eine positive ganze Zahl ist, wenn er Null ist und wenn er eine negative ganze Zahl ist.

Im ersten Fall kommt dies einer Potenzierung gleich, schließlich gehören positive ganze Zahlen zur Menge der natürlichen Zahlen. Wie man mit solchen Graden arbeitet, haben wir oben bereits beschrieben.

Sehen wir uns nun an, wie man richtig zur Nullpotenz erhebt. Bei einer Basis ungleich Null ergibt diese Berechnung immer eine Ausgabe von 1 . Wir haben bereits erklärt, dass die 0. Potenz von a für jede reelle Zahl ungleich 0 definiert werden kann und a 0 = 1 ist.

Beispiel 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nicht definiert.

Uns bleibt nur der Fall eines Grads mit einem negativen ganzzahligen Exponenten. Wir haben bereits besprochen, dass solche Grade als Bruch 1 a z geschrieben werden können, wobei a eine beliebige Zahl und z eine negative ganze Zahl ist. Wir sehen, dass der Nenner dieses Bruchs nichts anderes als ein gewöhnlicher Grad mit einer positiven ganzen Zahl ist, und wir haben bereits gelernt, wie man ihn berechnet. Lassen Sie uns Beispiele für Aufgaben geben.

Beispiel 6

Erhöhe 3 hoch -2.

Entscheidung

Unter Verwendung der obigen Definition schreiben wir: 2 - 3 = 1 2 3

Wir berechnen den Nenner dieses Bruchs und erhalten 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Dann lautet die Antwort: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Beispiel 7

Erhöhe 1, 43 hoch -2.

Entscheidung

Formuliere neu: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Wir berechnen das Quadrat im Nenner: 1,43 1,43. Dezimalzahlen können auf diese Weise multipliziert werden:

Als Ergebnis erhalten wir (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Es bleibt uns überlassen, dieses Ergebnis in Form eines gewöhnlichen Bruchs zu schreiben, für den es mit 10.000 multipliziert werden muss (siehe Material zur Umwandlung von Brüchen).

Antwort: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Ein separater Fall ist das Potenzieren einer Zahl mit der ersten minus minus. Der Wert eines solchen Grades ist gleich der Zahl, die dem ursprünglichen Wert der Basis gegenüberliegt: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Beispiel 8

Beispiel: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Wie man eine Zahl mit einer Bruchzahl potenziert

Um eine solche Operation durchzuführen, müssen wir uns an die grundlegende Definition eines Grades mit einem Bruchexponenten erinnern: a m n \u003d a m n für jedes positive a, jede ganze Zahl m und jedes natürliche n.

Bestimmung 2

Daher muss die Berechnung eines Bruchgrades in zwei Schritten durchgeführt werden: Erhöhen auf eine ganzzahlige Potenz und Finden der Wurzel des n-ten Grades.

Wir haben die Gleichung a m n = a m n , die aufgrund der Eigenschaften der Wurzeln normalerweise verwendet wird, um Probleme in der Form a m n = a n m zu lösen. Das heißt, wenn wir die Zahl a auf eine gebrochene Potenz m / n erheben, dann ziehen wir zuerst die Wurzel des n-ten Grades aus a, dann potenzieren wir das Ergebnis mit einem ganzzahligen Exponenten m.

Lassen Sie es uns an einem Beispiel veranschaulichen.

Beispiel 9

Berechnen Sie 8 - 2 3 .

Entscheidung

Methode 1. Gemäß der grundlegenden Definition können wir dies darstellen als: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Jetzt berechnen wir den Grad unter der Wurzel und ziehen die dritte Wurzel aus dem Ergebnis: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Methode 2. Lassen Sie uns die grundlegende Gleichheit umwandeln: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Danach ziehen wir die Wurzel 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 und quadrieren das Ergebnis: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Wir sehen, dass die Lösungen identisch sind. Sie können es beliebig verwenden.

Es gibt Fälle, in denen der Abschluss einen Indikator hat, der als gemischte Zahl oder als Dezimalbruch ausgedrückt wird. Zur Vereinfachung der Berechnung ist es besser, ihn durch einen gewöhnlichen Bruch zu ersetzen und wie oben angegeben zu zählen.

Beispiel 10

Erhöhen Sie 44,89 hoch 2,5.

Entscheidung

Lassen Sie uns den Wert des Indikators in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Und jetzt führen wir alle oben angegebenen Aktionen der Reihe nach aus: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Antwort: 13501, 25107.

Wenn Zähler und Nenner eines Bruchexponenten große Zahlen enthalten, dann ist die Berechnung solcher Exponenten mit rationalen Exponenten eine ziemlich schwierige Aufgabe. Es erfordert normalerweise Computertechnologie.

Separat gehen wir auf den Grad mit einer Nullbasis und einem gebrochenen Exponenten ein. Einem Ausdruck der Form 0 m n kann folgende Bedeutung gegeben werden: wenn m n > 0, dann 0 m n = 0 m n = 0 ; wenn m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Wie man eine Zahl irrational potenziert

Die Notwendigkeit, den Wert des Abschlusses zu berechnen, in dessen Indikator sich eine irrationale Zahl befindet, tritt nicht so oft auf. In der Praxis beschränkt sich die Aufgabe meist auf die Berechnung eines Näherungswerts (bis zu einer bestimmten Anzahl von Nachkommastellen). Dies wird aufgrund der Komplexität solcher Berechnungen normalerweise auf einem Computer berechnet, daher werden wir nicht im Detail darauf eingehen, sondern nur die wichtigsten Bestimmungen angeben.

Wenn wir den Wert des Grades a mit einem irrationalen Exponenten a berechnen müssen, dann nehmen wir die dezimale Annäherung des Exponenten und zählen damit. Das Ergebnis wird eine ungefähre Antwort sein. Je genauer die Dezimalannäherung genommen wird, desto genauer ist die Antwort. Lassen Sie uns mit einem Beispiel zeigen:

Beispiel 11

Berechnen Sie einen ungefähren Wert von 21, 174367 ....

Entscheidung

Wir beschränken uns auf die dezimale Näherung a n = 1,17 . Führen wir die Berechnungen mit dieser Zahl durch: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Nehmen wir zum Beispiel die Näherung a n = 1 , 1743 , dann wird die Antwort etwas präziser: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 . 1743 ≈ 2 . 256833 .

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In Fortsetzung des Gesprächs über den Grad einer Zahl ist es logisch, sich mit der Ermittlung des Gradwerts zu befassen. Dieser Vorgang wurde benannt Potenzierung. In diesem Artikel werden wir nur untersuchen, wie die Potenzierung durchgeführt wird, während wir alle möglichen Exponenten ansprechen - natürlich, ganzzahlig, rational und irrational. Und traditionell werden wir die Lösungen für Beispiele zum Erhöhen von Zahlen in unterschiedlichem Maße im Detail betrachten.

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Was bedeutet „Potenzierung“?

Beginnen wir damit, zu erklären, was Potenzierung genannt wird. Hier ist die entsprechende Definition.

Definition.

Potenzierung ist es, den Wert der Potenz einer Zahl zu finden.

Den Wert der Potenz von a mit dem Exponenten r zu finden und die Zahl a mit r zu potenzieren, ist also dasselbe. Lautet die Aufgabe beispielsweise „Berechnen Sie den Wert der Potenz (0,5) 5“, dann kann sie wie folgt umformuliert werden: „Potenziere die Zahl 0,5 mit 5“.

Jetzt können Sie direkt zu den Regeln gehen, nach denen die Potenzierung durchgeführt wird.

Eine Zahl in eine natürliche Potenz erheben

In der Praxis wird die Gleichheit basierend auf meist in der Form angewendet. Das heißt, wenn die Zahl a auf eine gebrochene Potenz m / n erhoben wird, wird zuerst die Wurzel des n-ten Grades aus der Zahl a gezogen, wonach das Ergebnis auf eine ganzzahlige Potenz m erhoben wird.

Betrachten Sie Lösungen für Beispiele zum Erhöhen auf eine gebrochene Potenz.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert des Abschlusses.

Entscheidung.

Wir zeigen zwei Lösungen.

Erster Weg. Per Definition von Grad mit einem gebrochenen Exponenten. Wir berechnen den Gradwert unter dem Zeichen der Wurzel, danach ziehen wir die Kubikwurzel: .

Der zweite Weg. Durch Definition eines Grads mit gebrochenem Exponenten und aufgrund der Eigenschaften der Wurzeln sind die Gleichungen wahr . Extrahieren Sie nun die Wurzel Schließlich potenzieren wir mit einer ganzen Zahl .

Offensichtlich stimmen die erhaltenen Ergebnisse des Erhöhens auf eine gebrochene Potenz überein.

Antworten:

Beachten Sie, dass der Bruchexponent als Dezimalbruch oder als gemischte Zahl geschrieben werden kann, in diesen Fällen sollte er durch den entsprechenden gewöhnlichen Bruch ersetzt werden, und dann sollte die Potenzierung durchgeführt werden.

Beispiel.

Berechnen Sie (44,89) 2,5 .

Entscheidung.

Den Exponenten schreiben wir in Form eines gewöhnlichen Bruchs (ggf. siehe Artikel): . Jetzt führen wir eine Potenzerhöhung durch:

Antworten:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Es sollte auch gesagt werden, dass das Potenzieren von Zahlen ein ziemlich mühsamer Prozess ist (insbesondere wenn Zähler und Nenner des Bruchexponenten ziemlich große Zahlen sind), der normalerweise mit Computertechnologie durchgeführt wird.

Zum Abschluss dieses Absatzes werden wir uns mit der Konstruktion der Zahl Null zu einer gebrochenen Potenz befassen. Wir haben dem gebrochenen Nullgrad der Form folgende Bedeutung gegeben: denn wir haben , während null hoch m/n nicht definiert ist. Also ist Null zu einer positiven Bruchpotenz Null, zum Beispiel, . Und Null in einer gebrochenen negativen Potenz macht keinen Sinn, zum Beispiel machen die Ausdrücke und 0 -4,3 keinen Sinn.

Erhebung zu einer irrationalen Macht

Manchmal ist es notwendig, den Gradwert einer Zahl mit irrationalem Exponenten herauszufinden. In diesem Fall reicht es für praktische Zwecke normalerweise aus, den Gradwert bis zu einem bestimmten Vorzeichen zu erhalten. Wir stellen gleich fest, dass dieser Wert in der Praxis mit elektronischer Rechentechnik berechnet wird, da das manuelle Potenzieren mit dem Irrationalen eine große Anzahl umständlicher Berechnungen erfordert. Aber dennoch werden wir in allgemeinen Begriffen das Wesen der Aktionen beschreiben.

Um einen ungefähren Wert des Exponenten von a mit einem irrationalen Exponenten zu erhalten, wird eine dezimale Annäherung des Exponenten genommen und der Wert des Exponenten berechnet. Dieser Wert ist der ungefähre Wert des Grades der Zahl a mit einem irrationalen Exponenten. Je genauer die dezimale Näherung der Zahl anfangs genommen wird, desto genauer wird am Ende der Gradwert sein.

Als Beispiel berechnen wir den ungefähren Wert der Potenz von 2 1,174367... . Nehmen wir die folgende dezimale Näherung eines irrationalen Indikators: . Jetzt erhöhen wir 2 auf eine rationale Potenz von 1,17 (wir haben die Essenz dieses Prozesses im vorherigen Absatz beschrieben), wir erhalten 2 1,17 ≈ 2,250116. Auf diese Weise, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Wenn wir eine genauere dezimale Annäherung an einen irrationalen Exponenten nehmen, zum Beispiel , dann erhalten wir einen genaueren Wert des ursprünglichen Grades: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

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• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere Algebra und die Anfänge der Analyse: Ein Lehrbuch für die Klassen 10-11 allgemeiner Bildungseinrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen).