Wir berücksichtigen weiterhin die Aufgaben, die in der Prüfung in Mathematik enthalten sind. Wir haben bereits Probleme untersucht, bei denen die Bedingung gegeben ist und es erforderlich ist, den Abstand zwischen zwei gegebenen Punkten oder den Winkel zu finden.

Eine Pyramide ist ein Polyeder, dessen Grundfläche ein Polygon ist, die anderen Flächen Dreiecke sind und einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben.

Eine regelmäßige Pyramide ist eine Pyramide, an deren Basis ein regelmäßiges Polygon liegt und deren Spitze in die Mitte der Basis projiziert wird.

Eine regelmäßige viereckige Pyramide - die Basis ist ein Quadrat.Die Spitze der Pyramide wird auf den Schnittpunkt der Diagonalen der Basis (Quadrat) projiziert.

ML - Apothem
∠MLO - Diederwinkel an der Basis der Pyramide
∠MCO - der Winkel zwischen der Seitenkante und der Ebene der Basis der Pyramide

In diesem Artikel werden wir Aufgaben zum Lösen der richtigen Pyramide betrachten. Es ist erforderlich, jedes Element, Seitenfläche, Volumen, Höhe zu finden. Natürlich müssen Sie den Satz des Pythagoras kennen, die Formel für die Fläche der Seitenfläche der Pyramide, die Formel zum Ermitteln des Volumens der Pyramide.

Im Artikel « » Formeln werden vorgestellt, die zur Lösung von Problemen in der Stereometrie notwendig sind. Die Aufgaben sind also:

SABCD Punkt Ö- BasiszentrumS Scheitel, SO = 51, AC= 136. Finden Sie die SeitenkanteSC.

In diesem Fall ist die Basis ein Quadrat. Das bedeutet, dass die Diagonalen AC und BD gleich sind, sie schneiden und halbieren sich im Schnittpunkt. Beachten Sie, dass in einer regulären Pyramide die Höhe, die von ihrer Spitze abgesenkt wird, durch die Mitte der Basis der Pyramide geht. Also ist SO die Höhe und das DreieckSOCrechteckig. Dann nach dem Satz des Pythagoras:

Wie man aus einer großen Zahl die Wurzel zieht.

Antwort: 85

Entscheide dich selbst:

In einer regelmäßigen viereckigen Pyramide SABCD Punkt Ö- Basiszentrum S Scheitel, SO = 4, AC= 6. Finden Sie eine Seitenkante SC.

In einer regelmäßigen viereckigen Pyramide SABCD Punkt Ö- Basiszentrum S Scheitel, SC = 5, AC= 6. Finden Sie die Länge des Segments SO.

In einer regelmäßigen viereckigen Pyramide SABCD Punkt Ö- Basiszentrum S Scheitel, SO = 4, SC= 5. Finden Sie die Länge des Segments AC.

SABC R- Mitte der Rippe BC, S- oben. Es ist bekannt, dass AB= 7 und SR= 16. Finden Sie die Seitenfläche.

Die Fläche der Seitenfläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide ist gleich der Hälfte des Produkts aus dem Umfang der Basis und dem Apothem (das Apothem ist die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, die von ihrer Spitze gezogen wird):

Oder man kann sagen: Die Fläche der Seitenfläche der Pyramide ist gleich der Summe der Flächen der drei Seitenflächen. Die Seitenflächen einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide sind Dreiecke gleicher Fläche. In diesem Fall:

Antwort: 168

Entscheide dich selbst:

In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide SABC R- Mitte der Rippe BC, S- oben. Es ist bekannt, dass AB= 1 und SR= 2. Finden Sie die Fläche der Seitenfläche.

In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide SABC R- Mitte der Rippe BC, S- oben. Es ist bekannt, dass AB= 1, und die seitliche Oberfläche ist 3. Finden Sie die Länge des Segments SR.

In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide SABC L- Mitte der Rippe BC, S- oben. Es ist bekannt, dass SL= 2, und die seitliche Oberfläche ist 3. Finden Sie die Länge des Segments AB.

In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide SABC M. Fläche eines Dreiecks ABC ist 25, das Volumen der Pyramide ist 100. Finden Sie die Länge des Segments FRAU.

Die Basis der Pyramide ist ein gleichseitiges Dreieck. So Mist das Zentrum der Basis, undFRAU- die Höhe einer regelmäßigen PyramideSABC. Pyramidenvolumen SABC gleich: Lösung prüfen

In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide SABC Basismediane schneiden sich in einem Punkt M. Fläche eines Dreiecks ABC ist 3, FRAU= 1. Finden Sie das Volumen der Pyramide.

In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide SABC Basismediane schneiden sich in einem Punkt M. Das Volumen der Pyramide ist 1, FRAU= 1. Finden Sie die Fläche des Dreiecks ABC.

Lassen Sie uns damit abschließen. Wie Sie sehen können, werden Aufgaben in einem oder zwei Schritten gelöst. In Zukunft werden wir mit Ihnen andere Probleme aus diesem Teil betrachten, wo Rotationskörper gegeben sind, verpassen Sie es nicht!

Ich wünsche Ihnen Erfolg!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken über die Website berichten.

Einführung

Als wir anfingen, stereometrische Figuren zu studieren, berührten wir das Thema "Pyramide". Uns gefiel dieses Thema, weil die Pyramide sehr oft in der Architektur verwendet wird. Und da unser zukünftiger Beruf als Architektin von dieser Figur inspiriert ist, glauben wir, dass sie uns zu großartigen Projekten anspornen kann.

Die Stärke architektonischer Strukturen, ihre wichtigste Qualität. Assoziiert man Stärke erstens mit den Materialien, aus denen sie hergestellt werden, und zweitens mit den Merkmalen von Designlösungen, stellt sich heraus, dass die Stärke einer Struktur in direktem Zusammenhang mit der geometrischen Form steht, die ihr zugrunde liegt.

Mit anderen Worten, wir sprechen von der geometrischen Figur, die als Modell der entsprechenden architektonischen Form betrachtet werden kann. Es stellt sich heraus, dass die geometrische Form auch die Stärke der architektonischen Struktur bestimmt.

Die ägyptischen Pyramiden gelten seit langem als das langlebigste architektonische Bauwerk. Wie Sie wissen, haben sie die Form regelmäßiger viereckiger Pyramiden.

Gerade diese geometrische Form bietet durch die große Grundfläche die größte Stabilität. Andererseits sorgt die Form der Pyramide dafür, dass die Masse mit zunehmender Höhe über dem Boden abnimmt. Es sind diese beiden Eigenschaften, die die Pyramide stabil und daher stark unter den Bedingungen der Schwerkraft machen.

Ziel des Projekts: Neues über die Pyramiden erfahren, Wissen vertiefen und praktische Anwendungen finden.

Um dieses Ziel zu erreichen, mussten folgende Aufgaben gelöst werden:

Erfahren Sie historische Informationen über die Pyramide

Betrachten Sie die Pyramide als eine geometrische Figur

Finden Sie Anwendung im Leben und in der Architektur

Finden Sie Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen Pyramiden, die sich in verschiedenen Teilen der Welt befinden

Theoretischer Teil

Historische Informationen

Der Beginn der Geometrie der Pyramide wurde im alten Ägypten und in Babylon gelegt, aber im alten Griechenland aktiv entwickelt. Der erste, der feststellte, wie groß das Volumen der Pyramide ist, war Demokrit, und Eudoxus von Knidus bewies es. Der antike griechische Mathematiker Euklid systematisierte das Wissen über die Pyramide im XII. Band seiner "Anfänge" und brachte auch die erste Definition der Pyramide heraus: eine Körperfigur, die von Ebenen begrenzt wird, die an einem Punkt von einer Ebene zusammenlaufen.

Die Gräber der ägyptischen Pharaonen. Die größten von ihnen - die Pyramiden von Cheops, Khafre und Mikerin in El Gizeh galten in der Antike als eines der sieben Weltwunder. Die Errichtung der Pyramide, in der bereits Griechen und Römer ein Denkmal für den beispiellosen Königsstolz und die Grausamkeit sahen, die das gesamte Volk Ägyptens zu sinnlosem Bauen verurteilte, war der wichtigste Kultakt und sollte offenbar Ausdruck die mystische Identität des Landes und seines Herrschers. Die Bevölkerung des Landes arbeitete in der von landwirtschaftlicher Arbeit freien Zeit des Jahres am Bau des Grabes. Eine Reihe von Texten zeugen von der Aufmerksamkeit und Sorgfalt, die die Könige selbst (wenn auch aus späterer Zeit) dem Bau ihres Grabes und seiner Erbauer widmeten. Bekannt ist auch die besondere Kult-Ehrung, die sich als Pyramide selbst herausstellte.

Grundlegendes Konzept

Pyramide Es wird ein Polyeder genannt, dessen Basis ein Polygon ist und dessen verbleibende Flächen Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt sind.

Apothema- die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, gezeichnet von ihrer Spitze;

Seitenflächen- oben zusammenlaufende Dreiecke;

Seitenrippen- gemeinsame Seiten der Seitenflächen;

Spitze der Pyramide- ein Punkt, der die Seitenkanten verbindet und nicht in der Ebene der Basis liegt;

Höhe- ein Segment einer Senkrechten, das durch die Spitze der Pyramide zur Ebene ihrer Basis gezogen wird (die Enden dieses Segments sind die Spitze der Pyramide und die Basis der Senkrechten);

Diagonalschnitt einer Pyramide- Abschnitt der Pyramide, der durch die Spitze und die Diagonale der Basis verläuft;

Base- ein Polygon, das nicht zur Spitze der Pyramide gehört.

Die Haupteigenschaften der richtigen Pyramide

Seitenkanten, Seitenflächen und Apotheme sind jeweils gleich.

Die Diederwinkel an der Basis sind gleich.

Die Diederwinkel an den Seitenkanten sind gleich.

Jeder Höhenpunkt ist von allen Basiseckpunkten gleich weit entfernt.

Jeder Höhenpunkt ist von allen Seitenflächen gleich weit entfernt.

Grundlegende Pyramidenformeln

Der Bereich der seitlichen und vollen Oberfläche der Pyramide.

Die Fläche der Seitenfläche der Pyramide (voll und abgeschnitten) ist die Summe der Flächen aller ihrer Seitenflächen, die Gesamtfläche ist die Summe der Flächen aller ihrer Flächen.

Satz: Die Fläche der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide ist gleich dem halben Produkt aus dem Umfang der Basis und dem Apothem der Pyramide.

p- Umfang der Basis;

h- Apothem.

Die Fläche der Seiten- und Vollflächen eines Pyramidenstumpfes.

p1, p 2 - Basisperimeter;

h- Apothem.

R- Gesamtfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes;

S-Seite- Bereich der Seitenfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes;

S1 + S2- Grundfläche

Pyramidenvolumen

Form Die Volumenskala wird für Pyramiden jeglicher Art verwendet.

H ist die Höhe der Pyramide.

Winkel der Pyramide

Die Winkel, die von der Seitenfläche und der Basis der Pyramide gebildet werden, heißen Diederwinkel an der Basis der Pyramide.

Ein Diederwinkel wird durch zwei Senkrechte gebildet.

Um diesen Winkel zu bestimmen, müssen Sie häufig den Satz der drei Senkrechten verwenden.

Die Winkel, die durch eine Seitenkante und ihre Projektion auf die Ebene der Basis gebildet werden, werden als bezeichnet Winkel zwischen der Seitenkante und der Ebene der Basis.

Der Winkel, der von zwei Seitenflächen gebildet wird, wird genannt Diederwinkel am seitlichen Rand der Pyramide.

Der Winkel, der durch zwei Seitenkanten einer Fläche der Pyramide gebildet wird, wird genannt Ecke an der Spitze der Pyramide.

Abschnitte der Pyramide

Die Oberfläche einer Pyramide ist die Oberfläche eines Polyeders. Jede ihrer Flächen ist eine Ebene, daher ist der durch die Sekantenebene gegebene Abschnitt der Pyramide eine unterbrochene Linie, die aus separaten geraden Linien besteht.

Diagonalschnitt

Der Schnitt einer Pyramide durch eine Ebene, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht auf derselben Fläche liegen, wird als Pyramide bezeichnet Diagonalschnitt Pyramiden.

Parallele Abschnitte

Satz:

Wenn die Pyramide von einer Ebene parallel zur Basis gekreuzt wird, werden die Seitenkanten und Höhen der Pyramide durch diese Ebene in proportionale Teile geteilt;

Der Schnitt dieser Ebene ist ein Polygon ähnlich der Basis;

Die Flächen des Abschnitts und der Basis verhalten sich zueinander wie die Quadrate ihrer Abstände von der Spitze.

Arten von Pyramiden

Korrekte Pyramide- eine Pyramide, deren Basis ein regelmäßiges Polygon ist und deren Spitze in die Mitte der Basis projiziert wird.

An der richtigen Pyramide:

1. Seitenrippen sind gleich

2. Seitenflächen sind gleich

3. Apotheme sind gleich

4. Diederwinkel an der Basis sind gleich

5. Diederwinkel an den Seitenkanten sind gleich

6. jeder Höhenpunkt ist von allen Basiseckpunkten gleich weit entfernt

7. jeder Höhenpunkt ist von allen Seitenflächen gleich weit entfernt

Pyramidenstumpf- der Teil der Pyramide, der zwischen ihrer Basis und einer zur Basis parallelen Schnittebene eingeschlossen ist.

Die Basis und der entsprechende Abschnitt eines Pyramidenstumpfes werden genannt Basen eines Pyramidenstumpfes.

Eine Senkrechte, die von einem beliebigen Punkt einer Basis zur Ebene einer anderen gezogen wird, heißt die Höhe des Pyramidenstumpfes.

Aufgaben

Nr. 1. In einer regelmäßigen viereckigen Pyramide ist Punkt O die Mitte der Basis, SO = 8 cm, BD = 30 cm. Finden Sie die Seitenkante SA.

Probleme lösen

Nr. 1. In einer regelmäßigen Pyramide sind alle Flächen und Kanten gleich.

Betrachten wir OSB: OSB-rechteckiges Rechteck, weil.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Pyramide in der Architektur

Pyramide - eine monumentale Struktur in Form einer gewöhnlichen regelmäßigen geometrischen Pyramide, bei der die Seiten an einem Punkt zusammenlaufen. Je nach funktionalem Zweck waren die Pyramiden in der Antike ein Ort der Bestattung oder Anbetung. Die Basis einer Pyramide kann dreieckig, viereckig oder polygonal mit einer beliebigen Anzahl von Ecken sein, aber die häufigste Version ist die viereckige Basis.

Es ist eine beträchtliche Anzahl von Pyramiden bekannt, die von verschiedenen Kulturen der Antike gebaut wurden, hauptsächlich als Tempel oder Denkmäler. Die größten Pyramiden sind die ägyptischen Pyramiden.

Überall auf der Erde sieht man architektonische Strukturen in Form von Pyramiden. Pyramidenbauten erinnern an die Antike und sehen sehr schön aus.

Die ägyptischen Pyramiden sind die größten Baudenkmäler des alten Ägypten, unter denen eines der „Sieben Weltwunder“ die Cheops-Pyramide ist. Vom Fuß bis zur Spitze erreicht er 137,3 m, und bevor er die Spitze verlor, betrug seine Höhe 146,7 m.

Das Gebäude des Radiosenders in der Hauptstadt der Slowakei, das einer umgekehrten Pyramide ähnelt, wurde 1983 erbaut. Neben Büros und Serviceräumen befindet sich im Inneren des Volumens ein ziemlich geräumiger Konzertsaal, der eine der größten Orgeln in der Slowakei hat .

Der Louvre, der „so still und majestätisch wie eine Pyramide ist“, hat im Laufe der Jahrhunderte viele Veränderungen erfahren, bevor er zum größten Museum der Welt wurde. Es wurde als Festung geboren, die 1190 von Philipp Augustus errichtet wurde und sich bald in eine königliche Residenz verwandelte. 1793 wurde der Palast ein Museum. Sammlungen werden durch Nachlässe oder Ankäufe bereichert.

Definition

Pyramide ist ein Polyeder, das aus einem Polygon \(A_1A_2...A_n\) und \(n\) Dreiecken mit einem gemeinsamen Eckpunkt \(P\) (der nicht in der Ebene des Polygons liegt) und gegenüberliegenden Seiten, die mit den Seiten von zusammenfallen, zusammengesetzt ist das Vieleck.
Bezeichnung: \(PA_1A_2...A_n\) .
Beispiel: fünfeckige Pyramide \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Dreiecke \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) usw. namens Seitenflächen Pyramiden, Segmente \(PA_1, PA_2\) usw. - Seitenrippen, Vieleck \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – Basis, Punkt \(P\) – Gipfel.

Höhe Pyramiden sind eine Senkrechte, die von der Spitze der Pyramide zur Ebene der Basis fällt.

Eine Pyramide mit einem Dreieck an der Basis wird genannt Tetraeder.

Die Pyramide heißt Korrekt, wenn seine Basis ein regelmäßiges Polygon ist und eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

\((a)\) Seitenkanten der Pyramide sind gleich;

\((b)\) die Höhe der Pyramide geht durch den Mittelpunkt des umschriebenen Kreises in der Nähe der Basis;

\((c)\) Seitenrippen sind im gleichen Winkel zur Basisebene geneigt.

\((d)\) Seitenflächen sind im gleichen Winkel zur Grundebene geneigt.

regelmäßiger Tetraeder ist eine dreieckige Pyramide, deren Flächen alle gleichseitige Dreiecke sind.

Satz

Die Bedingungen \((a), (b), (c), (d)\) sind äquivalent.

Nachweisen

Zeichne die Höhe der Pyramide \(PH\) . Sei \(\alpha\) die Ebene der Basis der Pyramide.

1) Beweisen wir, dass \((a)\) impliziert \((b)\) . Sei \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

weil \(PH\perp \alpha\) , dann steht \(PH\) senkrecht auf jeder Linie, die in dieser Ebene liegt, also sind die Dreiecke rechtwinklig. Diese Dreiecke sind also gleich im gemeinsamen Schenkel \(PH\) und Hypotenuse \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Also \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Das bedeutet, dass die Punkte \(A_1, A_2, ..., A_n\) vom Punkt \(H\) gleich weit entfernt sind, also auf demselben Kreis mit Radius \(A_1H\) liegen. Dieser Kreis wird per Definition um das Polygon \(A_1A_2...A_n\) umschrieben.

2) Beweisen wir, dass \((b)\) \((c)\) impliziert.

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rechteckig und gleich in zwei Beinen. Daher sind auch ihre Winkel gleich, also \(\Winkel PA_1H=\Winkel PA_2H=...=\Winkel PA_nH\).

3) Beweisen wir, dass \((c)\) impliziert \((a)\) .

Ähnlich wie beim ersten Punkt, Dreiecke \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rechteckig und entlang des Beins und spitzen Winkel. Das bedeutet, dass auch ihre Hypotenusen gleich sind, also \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Beweisen wir, dass \((b)\) \((d)\) impliziert.

weil fallen bei einem regelmäßigen Vieleck die Mittelpunkte des umschriebenen und des einbeschriebenen Kreises zusammen (allgemein nennt man diesen Punkt den Mittelpunkt eines regelmäßigen Vielecks), dann ist \(H\) der Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises. Zeichnen wir Senkrechte vom Punkt \(H\) zu den Seiten der Basis: \(HK_1, HK_2\) usw. Dies sind die Radien des Inkreises (per Definition). Dann ist gemäß der TTP (\(PH\) ist eine Senkrechte zur Ebene, \(HK_1, HK_2\) usw. sind Projektionen senkrecht zu den Seiten) schräg \(PK_1, PK_2\) usw. senkrecht zu den Seiten \(A_1A_2, A_2A_3\), usw. bzw. Also per Definition \(\Winkel PK_1H, \Winkel PK_2H\) gleich den Winkeln zwischen den Seitenflächen und der Basis. weil Dreiecke \(PK_1H, PK_2H, ...\) gleich sind (wie rechtwinklig auf zwei Beinen), dann die Winkel \(\Winkel PK_1H, \Winkel PK_2H, ...\) sind gleich.

5) Beweisen wir, dass \((d)\) \((b)\) impliziert.

Ähnlich wie beim vierten Punkt sind die Dreiecke \(PK_1H, PK_2H, ...\) gleich (als rechtwinkliges Bein und spitzer Winkel), was bedeutet, dass die Segmente \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) sind gleich. Daher ist \(H\) per Definition der Mittelpunkt eines Kreises, der in die Basis eingeschrieben ist. Aber seit bei regelmäßigen Polygonen fallen die Mittelpunkte des eingeschriebenen und des umschriebenen Kreises zusammen, dann ist \(H\) der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises. Chtd.

Folge

Die Seitenflächen einer regelmäßigen Pyramide sind gleichschenklige Dreiecke.

Definition

Die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, gezeichnet von ihrer Spitze, wird genannt Apothema.
Die Apotheme aller Seitenflächen einer regelmäßigen Pyramide sind einander gleich und sind auch Seitenhalbierende und Winkelhalbierende.

Wichtige Notizen

1. Die Höhe einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide fällt auf den Schnittpunkt der Höhen (oder Halbierenden oder Mittellinien) der Basis (die Basis ist ein regelmäßiges Dreieck).

2. Die Höhe einer regelmäßigen viereckigen Pyramide fällt auf den Schnittpunkt der Diagonalen der Basis (die Basis ist ein Quadrat).

3. Die Höhe einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide fällt auf den Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche (die Grundfläche ist ein regelmäßiges Sechseck).

4. Die Höhe der Pyramide steht senkrecht auf jeder geraden Linie, die an der Basis liegt.

Definition

Die Pyramide heißt rechteckig wenn eine seiner Seitenkanten senkrecht zur Ebene der Basis steht.

Wichtige Notizen

1. Bei einer rechteckigen Pyramide ist die Kante senkrecht zur Basis die Höhe der Pyramide. Das heißt, \(SR\) ist die Höhe.

2. Weil \(SR\) senkrecht zu jeder Linie von der Basis, dann \(\triangle SRM, \triangle SRP\) sind rechtwinklige Dreiecke.

3. Dreiecke \(\triangle SRN, \triangle SRK\) sind ebenfalls rechteckig.
Das heißt, jedes Dreieck, das durch diese Kante und die Diagonale gebildet wird, die aus dem Scheitelpunkt dieser Kante kommt, der an der Basis liegt, ist rechtwinklig.

\[(\Large(\text(Volumen und Oberfläche der Pyramide)))\]

Satz

Das Volumen einer Pyramide entspricht einem Drittel des Produkts aus der Grundfläche und der Höhe der Pyramide: \

Konsequenzen

Sei \(a\) die Seite der Basis, \(h\) die Höhe der Pyramide.

1. Das Volumen einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide ist \(V_(\text(rechtwinkliges Dreieck pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Das Volumen einer regelmäßigen viereckigen Pyramide ist \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Das Volumen einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide ist \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Das Volumen eines regelmäßigen Tetraeders ist \(V_(\text(rechter Tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Satz

Die Fläche der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide ist gleich der Hälfte des Produkts aus dem Umfang der Basis und dem Apothem.

\[(\Large(\text(Pyramidenstumpf)))\]

Definition

Betrachten Sie eine beliebige Pyramide \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Lassen Sie uns eine Ebene parallel zur Basis der Pyramide durch einen bestimmten Punkt ziehen, der auf der Seitenkante der Pyramide liegt. Diese Ebene teilt die Pyramide in zwei Polyeder, von denen eines eine Pyramide (\(PB_1B_2...B_n\) ) ist und das andere heißt Pyramidenstumpf(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Die abgeschnittene Pyramide hat zwei Basen - Polygone \(A_1A_2...A_n\) und \(B_1B_2...B_n\) , die einander ähnlich sind.

Die Höhe eines Pyramidenstumpfes ist eine Senkrechte, die von einem Punkt der oberen Basis zur Ebene der unteren Basis gezogen wird.

Wichtige Notizen

1. Alle Seitenflächen eines Pyramidenstumpfes sind Trapeze.

2. Das Segment, das die Mitten der Basen eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes (dh einer Pyramide, die durch einen Abschnitt einer regelmäßigen Pyramide erhalten wird) verbindet, ist die Höhe.

Hypothese: Wir glauben, dass die Perfektion der Pyramidenform auf den mathematischen Gesetzen beruht, die in ihre Form eingebettet sind.

Ziel: nachdem er die Pyramide als geometrischen Körper studiert hatte, um die Perfektion seiner Form zu erklären.

Aufgaben:

1. Geben Sie eine mathematische Definition einer Pyramide an.

2. Studieren Sie die Pyramide als geometrischen Körper.

3. Verstehe, welches mathematische Wissen die Ägypter in ihre Pyramiden gelegt haben.

Private Fragen:

1. Was ist eine Pyramide als geometrischer Körper?

2. Wie lässt sich die einzigartige Form der Pyramide mathematisch erklären?

3. Was erklärt die geometrischen Wunder der Pyramide?

4. Was erklärt die Perfektion der Pyramidenform?

Definition einer Pyramide.

PYRAMIDE (aus der griechischen Pyramide, Gattung n. Pyramidos) - ein Polyeder, dessen Basis ein Polygon ist und dessen verbleibende Flächen Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt sind (Abbildung). Je nach Anzahl der Ecken der Basis sind Pyramiden dreieckig, viereckig usw.

PYRAMIDE - ein monumentales Bauwerk, das die geometrische Form einer Pyramide hat (manchmal auch stufen- oder turmförmig). Riesige Gräber der altägyptischen Pharaonen des 3.-2. Jahrtausends v. Chr. Werden Pyramiden genannt. e., sowie altamerikanische Sockel von Tempeln (in Mexiko, Guatemala, Honduras, Peru), die mit kosmologischen Kulten verbunden sind.

Es ist möglich, dass das griechische Wort "Pyramide" vom ägyptischen Ausdruck per-em-us stammt, also von einem Begriff, der die Höhe der Pyramide bedeutete. Der prominente russische Ägyptologe V. Struve glaubte, dass das griechische „puram…j“ vom altägyptischen „p“-mr“ abstamme.

Aus der Geschichte. Nach dem Studium des Materials im Lehrbuch "Geometrie" der Autoren von Atanasyan. Butuzova und anderen haben wir gelernt, dass: Ein Polyeder bestehend aus n-Eck A1A2A3 ... An und n Dreiecken RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 heißt Pyramide. Das Polygon A1A2A3 ... An ist die Basis der Pyramide, und die Dreiecke RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 sind die Seitenflächen der Pyramide, P ist die Spitze der Pyramide, die Segmente RA1, RA2, ... ., RAn sind die seitlichen Kanten.

Eine solche Definition der Pyramide gab es jedoch nicht immer. Zum Beispiel definiert der altgriechische Mathematiker Euklid, Autor theoretischer Abhandlungen über Mathematik, die uns überliefert sind, eine Pyramide als eine feste Figur, die von Ebenen begrenzt wird, die von einer Ebene zu einem Punkt zusammenlaufen.

Diese Definition wurde jedoch bereits in der Antike kritisiert. Daher schlug Heron die folgende Definition einer Pyramide vor: „Dies ist eine Figur, die von Dreiecken begrenzt wird, die an einem Punkt zusammenlaufen und deren Basis ein Vieleck ist.“

Unsere Gruppe kam beim Vergleich dieser Definitionen zu dem Schluss, dass sie keine klare Formulierung des Begriffs „Stiftung“ haben.

Wir studierten diese Definitionen und fanden die Definition von Adrien Marie Legendre, der 1794 in seinem Werk „Elements of Geometry“ die Pyramide wie folgt definiert: „Pyramide ist eine Körperfigur, die aus Dreiecken besteht, die an einem Punkt zusammenlaufen und auf verschiedenen Seiten von a enden flache Basis.“

Es scheint uns, dass die letzte Definition eine klare Vorstellung von der Pyramide gibt, da sie sich auf die Tatsache bezieht, dass die Basis flach ist. Eine andere Definition einer Pyramide erschien in einem Lehrbuch aus dem 19. Jahrhundert: „Eine Pyramide ist ein fester Winkel, der von einer Ebene geschnitten wird.“

Pyramide als geometrischer Körper.

Dass. Eine Pyramide ist ein Polyeder, dessen eine Fläche (Basis) ein Polygon ist, die anderen Flächen (Seiten) sind Dreiecke, die einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben (die Spitze der Pyramide).

Die von der Spitze der Pyramide zur Ebene der Basis gezogene Senkrechte wird genannt hochh Pyramiden.

Neben einer beliebigen Pyramide gibt es rechte Pyramide, an deren Basis ein regelmäßiges Vieleck ist und Pyramidenstumpf.

In der Abbildung - die Pyramide PABCD, ABCD - ihre Basis, PO - Höhe.

Vollflächig Eine Pyramide heißt die Summe der Flächeninhalte aller ihrer Flächen.

Sfull = Sside + Sbase, wo Seite ist die Summe der Flächen der Seitenflächen.

Pyramidenvolumen findet sich nach der Formel:

V=1/3SBasis h, wo Sosn. - Grundfläche h- Höhe.

Die Achse einer regelmäßigen Pyramide ist eine gerade Linie, die ihre Höhe enthält.
Apothem ST - die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide.

Die Fläche der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide wird wie folgt ausgedrückt: Sside. =1/2P h, wobei P der Umfang der Basis ist, h- die Höhe der Seitenfläche (das Apothem einer regelmäßigen Pyramide). Wenn die Pyramide von der Ebene A'B'C'D' parallel zur Basis gekreuzt wird, dann:

1) Seitenkanten und Höhe werden durch diese Ebene in proportionale Teile geteilt;

2) im Schnitt wird ein Polygon A'B'C'D' erhalten, ähnlich der Basis;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Die Basen der abgeschnittenen Pyramide sind ähnliche Polygone ABCD und A`B`C`D`, Seitenflächen sind Trapeze.

Höhe Pyramidenstumpf - der Abstand zwischen den Basen.

Abgeschnittene Lautstärke Pyramide wird durch die Formel gefunden:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Die Seitenfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes wird wie folgt ausgedrückt: Sside. = ½(P+P') h, wobei P und P’ die Umfänge der Basen sind, h- die Höhe der Seitenfläche (das Apothem eines regelmäßig von Festen abgeschnittenen

Abschnitte der Pyramide.

Abschnitte der Pyramide durch Ebenen, die durch ihre Spitze gehen, sind Dreiecke.

Der Abschnitt, der durch zwei nicht benachbarte Seitenkanten der Pyramide verläuft, wird genannt Diagonalschnitt.

Wenn der Schnitt durch einen Punkt an der Seitenkante und der Seite der Basis verläuft, ist diese Seite seine Spur auf der Ebene der Basis der Pyramide.

Ein Schnitt, der durch einen Punkt verläuft, der auf der Vorderseite der Pyramide liegt, und eine bestimmte Spur des Schnitts in der Ebene der Basis, dann sollte die Konstruktion wie folgt durchgeführt werden:

Finden Sie den Schnittpunkt der Ebene der gegebenen Fläche und der Spur des Pyramidenschnitts und bezeichnen Sie ihn;

Erstellen Sie eine gerade Linie, die durch einen bestimmten Punkt und den resultierenden Schnittpunkt verläuft.

· Wiederholen Sie diese Schritte für die nächsten Flächen.

, was dem Seitenverhältnis eines rechtwinkligen Dreiecks von 4:3 entspricht. Dieses Seitenverhältnis entspricht dem bekannten rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten 3:4:5, das als „vollkommenes“, „heiliges“ oder „ägyptisches“ Dreieck bezeichnet wird. Historikern zufolge erhielt das "ägyptische" Dreieck eine magische Bedeutung. Plutarch schrieb, dass die Ägypter die Natur des Universums mit einem "heiligen" Dreieck verglichen; Sie verglichen symbolisch das vertikale Bein mit dem Ehemann, die Basis mit der Ehefrau und die Hypotenuse mit dem, was aus beiden geboren wird.

Für ein Dreieck 3:4:5 gilt die Gleichheit: 32 + 42 = 52, was den Satz des Pythagoras ausdrückt. Ist es nicht dieses Theorem, das die ägyptischen Priester verewigen wollten, indem sie eine Pyramide auf der Grundlage des Dreiecks 3:4:5 errichteten? Es ist schwierig, ein besseres Beispiel zur Veranschaulichung des Satzes des Pythagoras zu finden, der den Ägyptern lange vor seiner Entdeckung durch Pythagoras bekannt war.

So versuchten die genialen Schöpfer der ägyptischen Pyramiden, entfernte Nachkommen mit der Tiefe ihres Wissens zu beeindrucken, und sie erreichten dies, indem sie als "geometrische Hauptidee" für die Cheopspyramide - das "goldene" rechtwinklige Dreieck - wählten für die Pyramide von Khafre - das "heilige" oder "ägyptische" Dreieck.

Sehr oft nutzen Wissenschaftler in ihrer Forschung die Eigenschaften von Pyramiden mit den Proportionen des Goldenen Schnitts.

Im mathematischen Lexikon wird die folgende Definition des Goldenen Schnitts gegeben - dies ist eine harmonische Teilung, Teilung im extremen und durchschnittlichen Verhältnis - Teilung des Segments AB in zwei Teile, so dass der größte Teil seines AC der Durchschnitt ist proportional zwischen dem gesamten Segment AB und seinem kleineren Teil CB.

Algebraisches Auffinden des Goldenen Schnitts eines Segments AB = a reduziert sich auf die Lösung der Gleichung a: x = x: (a - x), womit x ungefähr gleich 0,62a ist. Das x-Verhältnis kann als Brüche 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618 ausgedrückt werden, wobei 2, 3, 5, 8, 13, 21 Fibonacci-Zahlen sind.

Die geometrische Konstruktion des Goldenen Schnitts des Segments AB erfolgt wie folgt: An Punkt B wird die Senkrechte zu AB wiederhergestellt, das Segment BE \u003d 1/2 AB wird darauf gelegt, A und E sind verbunden, DE \ u003d BE wird verschoben und schließlich AC \u003d AD, dann ist die Gleichheit AB erfüllt: CB = 2: 3.

Der Goldene Schnitt wird oft in Kunstwerken, Architektur und in der Natur verwendet. Anschauliche Beispiele sind die Skulptur von Apollo Belvedere, der Parthenon. Beim Bau des Parthenon wurde das Verhältnis der Höhe des Gebäudes zu seiner Länge verwendet und dieses Verhältnis beträgt 0,618. Objekte um uns herum liefern auch Beispiele für den Goldenen Schnitt, zum Beispiel haben die Einbände vieler Bücher ein Verhältnis von Breite zu Länge von fast 0,618. Betrachtet man die Anordnung der Blätter an einem gemeinsamen Pflanzenstamm, so fällt auf, dass sich zwischen jeweils zwei Blattpaaren das dritte an der Stelle des Goldenen Schnitts (Folien) befindet. Jeder von uns „trägt“ den Goldenen Schnitt „in unseren Händen“ - dies ist das Verhältnis der Phalangen der Finger.

Dank der Entdeckung mehrerer mathematischer Papyri haben Ägyptologen etwas über die altägyptischen Rechen- und Maßsysteme gelernt. Die darin enthaltenen Aufgaben wurden von Schreibern gelöst. Einer der berühmtesten ist der Rhind Mathematical Papyrus. Durch das Studium dieser Rätsel lernten die Ägyptologen, wie die alten Ägypter mit den verschiedenen Größen umgingen, die bei der Berechnung von Gewichts-, Längen- und Volumenmaßen auftraten, die häufig Brüche verwendeten, sowie wie sie mit Winkeln umgingen.

Die alten Ägypter verwendeten eine Methode zur Berechnung von Winkeln, die auf dem Verhältnis der Höhe zur Basis eines rechtwinkligen Dreiecks basiert. Sie drückten jeden Winkel in der Sprache des Farbverlaufs aus. Der Steigungsgradient wurde als Verhältnis einer ganzen Zahl ausgedrückt, die als "seked" bezeichnet wird. In Mathematics in the Time of the Pharaohs erklärt Richard Pillins: „Der Seked einer regelmäßigen Pyramide ist die Neigung einer der vier dreieckigen Flächen zur Ebene der Basis, gemessen durch eine n-te Anzahl horizontaler Einheiten pro vertikaler Höheneinheit . Somit entspricht diese Maßeinheit unserem modernen Kotangens des Neigungswinkels. Daher ist das ägyptische Wort „seked“ mit unserem modernen Wort „gradient“ verwandt.

Der Zahlenschlüssel der Pyramiden liegt im Verhältnis ihrer Höhe zur Grundfläche. Praktisch gesehen ist dies der einfachste Weg, um Schablonen herzustellen, die benötigt werden, um den richtigen Neigungswinkel während des gesamten Baus der Pyramide ständig zu überprüfen.

Ägyptologen würden uns gerne davon überzeugen, dass jeder Pharao bestrebt war, seine Individualität auszudrücken, daher die Unterschiede in den Neigungswinkeln für jede Pyramide. Aber es könnte noch einen anderen Grund geben. Vielleicht wollten sie alle verschiedene symbolische Assoziationen verkörpern, die in unterschiedlichen Proportionen verborgen sind. Der Winkel von Khafres Pyramide (basierend auf dem Dreieck (3:4:5) erscheint jedoch in den drei Problemen, die von den Pyramiden im Rhind Mathematical Papyrus dargestellt werden). Diese Haltung war den alten Ägyptern also wohlbekannt.

Um Ägyptologen gegenüber fair zu sein, die behaupten, dass die alten Ägypter das 3:4:5-Dreieck nicht kannten, sagen wir, dass die Länge der Hypotenuse 5 nie erwähnt wurde. Aber mathematische Probleme mit den Pyramiden werden immer auf der Grundlage des Seked-Winkels gelöst - dem Verhältnis der Höhe zur Basis. Da die Länge der Hypotenuse nie erwähnt wurde, wurde der Schluss gezogen, dass die Ägypter die Länge der dritten Seite nie berechnet haben.

Die Verhältnisse von Höhe zu Basis, die in den Pyramiden von Gizeh verwendet wurden, waren den alten Ägyptern zweifellos bekannt. Es ist möglich, dass diese Verhältnisse für jede Pyramide willkürlich gewählt wurden. Dies widerspricht jedoch der Bedeutung, die der Zahlensymbolik in allen Arten der ägyptischen bildenden Kunst beigemessen wird. Es ist sehr wahrscheinlich, dass solche Beziehungen von erheblicher Bedeutung waren, da sie spezifische religiöse Ideen zum Ausdruck brachten. Mit anderen Worten, der gesamte Komplex von Gizeh war einem kohärenten Design unterworfen, das so gestaltet war, dass es eine Art göttliches Thema widerspiegelte. Dies würde erklären, warum die Designer unterschiedliche Winkel für die drei Pyramiden gewählt haben.

In „Das Geheimnis des Orion“ stellten Bauval und Gilbert überzeugende Beweise für die Verbindung der Pyramiden von Gizeh mit dem Sternbild Orion, insbesondere mit den Sternen des Oriongürtels dar. Das gleiche Sternbild ist im Mythos von Isis und Osiris und dort vorhanden ist ein Grund, jede Pyramide als Abbild einer der drei Hauptgottheiten Osiris, Isis und Horus zu betrachten.

WUNDER "GEOMETRISCH".

Unter den grandiosen Pyramiden Ägyptens nimmt ein besonderer Platz ein Cheops-Pyramide (Khufu). Bevor wir mit der Analyse der Form und Größe der Cheopspyramide fortfahren, sollten wir uns daran erinnern, welches Maßsystem die Ägypter verwendeten. Die Ägypter hatten drei Längeneinheiten: „Elle“ (466 mm), gleich sieben „Handflächen“ (66,5 mm), was wiederum vier „Fingern“ (16,6 mm) entsprach.

Lassen Sie uns die Größe der Cheops-Pyramide (Abb. 2) analysieren, indem wir den Argumenten folgen, die in dem wunderbaren Buch des ukrainischen Wissenschaftlers Nikolai Vasyutinskiy "Golden Proportion" (1990) gegeben wurden.

Die meisten Forscher sind sich einig, dass die Seitenlänge der Basis der Pyramide zum Beispiel GF entspricht L\u003d 233,16 m. Dieser Wert entspricht ziemlich genau 500 "Ellen". Die vollständige Einhaltung von 500 "Ellen" wird erreicht, wenn die Länge der "Elle" gleich 0,4663 m ist.

Pyramidenhöhe ( H) wird von Forschern unterschiedlich auf 146,6 bis 148,2 m geschätzt, und je nach akzeptierter Höhe der Pyramide ändern sich alle Verhältnisse ihrer geometrischen Elemente. Was ist der Grund für die Unterschiede in der Schätzung der Höhe der Pyramide? Tatsache ist, dass die Cheops-Pyramide streng genommen abgeschnitten ist. Ihre obere Plattform hat heute eine Größe von ca. 10 ´ 10 m, vor einem Jahrhundert waren es 6 ´ 6 m. Offensichtlich wurde die Spitze der Pyramide abgebaut und entspricht nicht mehr der ursprünglichen.

Bei der Schätzung der Höhe der Pyramide muss ein physikalischer Faktor wie der "Entwurf" der Struktur berücksichtigt werden. Unter dem Einfluss eines kolossalen Drucks (der 500 Tonnen pro 1 m2 der unteren Oberfläche erreichte) nahm die Höhe der Pyramide lange Zeit im Vergleich zu ihrer ursprünglichen Höhe ab.

Wie hoch war die Pyramide ursprünglich? Diese Höhe kann nachgebildet werden, wenn Sie die grundlegende "geometrische Idee" der Pyramide finden.

Figur 2.

1837 maß der englische Oberst G. Wise den Neigungswinkel der Pyramidenflächen: Es stellte sich heraus, dass er gleich war a= 51°51". Dieser Wert wird auch heute noch von den meisten Forschern anerkannt. Der angegebene Wert des Winkels entspricht dem Tangens (tg a), gleich 1,27306. Dieser Wert entspricht dem Verhältnis der Höhe der Pyramide AC bis zur Hälfte seiner Basis CB(Abb.2), d.h. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Und hier erlebten die Forscher eine große Überraschung!.png" width="25" height="24">= 1,272. Vergleicht man diesen Wert mit dem tg-Wert a= 1,27306 sehen wir, dass diese Werte sehr nahe beieinander liegen. Wenn wir den Winkel nehmen a\u003d 51 ° 50", dh nur um eine Bogenminute zu reduzieren, dann der Wert a wird gleich 1,272, das heißt, es fällt mit dem Wert von zusammen. Es sei darauf hingewiesen, dass G. Wise 1840 seine Messungen wiederholte und klarstellte, dass der Wert des Winkels a=51°50".

Diese Messungen führten die Forscher zu der folgenden sehr interessanten Hypothese: das Dreieck ASV der Cheopspyramide basierte auf der Beziehung AC / CB = = 1,272!

Betrachten Sie nun ein rechtwinkliges Dreieck ABC, in dem das Verhältnis der Beine AC / CB= (Abb.2). Wenn jetzt die Längen der Seiten des Rechtecks ABC bezeichnen mit x, j, z, und berücksichtigen Sie auch, dass das Verhältnis j/x= , dann ist nach dem Satz des Pythagoras die Länge z kann nach folgender Formel berechnet werden:

Wenn akzeptieren x = 1, j= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Figur 3"Goldenes" rechtwinkliges Dreieck.

Ein rechtwinkliges Dreieck, in dem die Seiten wie verbunden sind t:goldenes rechtwinkliges Dreieck.

Wenn wir dann die Hypothese zugrunde legen, dass die wichtigste "geometrische Idee" der Cheops-Pyramide das "goldene" rechtwinklige Dreieck ist, dann ist es von hier aus einfach, die "Design" -Höhe der Cheops-Pyramide zu berechnen. Es ist gleich:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Lassen Sie uns nun einige andere Beziehungen für die Cheops-Pyramide herleiten, die aus der "goldenen" Hypothese folgen. Insbesondere finden wir das Verhältnis der Außenfläche der Pyramide zur Fläche ihrer Basis. Dazu nehmen wir die Beinlänge CB pro Einheit, das heißt: CB= 1. Aber dann die Länge der Seite der Basis der Pyramide GF= 2 und die Fläche der Basis E F G H wird gleich sein SEFGH = 4.

Berechnen wir nun die Fläche der Seitenfläche der Cheops-Pyramide SD. Wegen der Höhe AB Dreieck AEF entspricht t, dann ist die Fläche der Seitenfläche gleich SD = t. Dann ist die Gesamtfläche aller vier Seitenflächen der Pyramide gleich 4 t, und das Verhältnis der gesamten Außenfläche der Pyramide zur Grundfläche entspricht dem Goldenen Schnitt! Das ist es - das wichtigste geometrische Geheimnis der Cheops-Pyramide!

Die Gruppe der "geometrischen Wunder" der Cheops-Pyramide umfasst die realen und erfundenen Eigenschaften der Beziehung zwischen den verschiedenen Dimensionen in der Pyramide.

In der Regel werden sie auf der Suche nach einer "Konstante" erhalten, insbesondere nach der Zahl "pi" (Ludolf-Zahl), gleich 3,14159 ...; Basen natürlicher Logarithmen "e" (Napiersche Zahl) gleich 2,71828 ...; die Zahl "F", die Zahl des "Goldenen Schnitts", gleich zum Beispiel 0,618 ... usw..

Sie können zum Beispiel benennen: 1) Eigentum von Herodot: (Höhe) 2 \u003d 0,5 st. hauptsächlich x Apothema; 2) Eigentum von V. Preis: Höhe: 0,5 st. osn \u003d Quadratwurzel von "Ф"; 3) Eigentum von M. Eist: Umfang der Basis: 2 Höhe = "Pi"; in einer anderen Interpretation - 2 EL. hauptsächlich : Höhe = "Pi"; 4) Eigentum von G. Reber: Radius des Inkreises: 0,5 st. hauptsächlich = "F"; 5) Eigentum von K. Kleppish: (St. main.) 2: 2 (st. main. x Apothem) \u003d (st. main. W. Apothem) \u003d 2 (st. main. x Apothem) : (( 2 st. main X Apothem) + (st. main) 2). Und dergleichen. Sie können sich viele solcher Eigenschaften einfallen lassen, besonders wenn Sie zwei benachbarte Pyramiden verbinden. Zum Beispiel kann als "Eigenschaften von A. Arefiev" erwähnt werden, dass der Unterschied zwischen den Volumina der Pyramide von Cheops und der Pyramide von Khafre gleich dem doppelten Volumen der Pyramide von Menkaure ist ...

Viele interessante Bestimmungen, insbesondere zum Bau von Pyramiden nach dem „Goldenen Schnitt“, sind in den Büchern von D. Hambidge „Dynamic Symmetry in Architecture“ und M. Geek „Aesthetics of Proportion in Nature and Art“ dargelegt. Denken Sie daran, dass der "goldene Schnitt" die Teilung des Segments in einem solchen Verhältnis ist, wenn Teil A so oft größer ist als Teil B, wie oft A kleiner ist als das gesamte Segment A + B. Das Verhältnis A / B ist gleich der Zahl "Ф" == 1,618 ... Die Verwendung des "Goldenen Schnitts" ist nicht nur bei einzelnen Pyramiden, sondern im gesamten Pyramidenkomplex in Gizeh angegeben.

Das Kurioseste ist jedoch, dass ein und dieselbe Cheops-Pyramide einfach nicht so viele wunderbare Eigenschaften enthalten „kann“. Wenn Sie eine bestimmte Eigenschaft einzeln nehmen, können Sie sie "anpassen", aber auf einmal passen sie nicht - sie stimmen nicht überein, sie widersprechen sich. Wenn also beispielsweise bei der Überprüfung aller Eigenschaften zunächst ein und dieselbe Seite der Pyramidenbasis (233 m) genommen wird, dann werden auch die Höhen von Pyramiden mit unterschiedlichen Eigenschaften unterschiedlich sein. Mit anderen Worten, es gibt eine bestimmte "Familie" von Pyramiden, die äußerlich denen von Cheops ähneln, aber anderen Eigenschaften entsprechen. Beachten Sie, dass die "geometrischen" Eigenschaften nichts besonders Wunderbares sind - vieles ergibt sich rein automatisch aus den Eigenschaften der Figur selbst. Ein "Wunder" sollte für die alten Ägypter nur als etwas offensichtlich Unmögliches angesehen werden. Dazu gehören insbesondere "kosmische" Wunder, bei denen die Maße der Cheopspyramide oder des Pyramidenkomplexes in Gizeh mit einigen astronomischen Messungen verglichen und "gerade" Zahlen angegeben werden: millionenfach, milliardenfach weniger und bald. Betrachten wir einige "kosmische" Beziehungen.

Eine der Aussagen ist diese: "Wenn wir die Seite der Basis der Pyramide durch die genaue Länge des Jahres teilen, erhalten wir genau 10 Millionstel der Erdachse." Rechnen Sie nach: Teilen Sie 233 durch 365, wir erhalten 0,638. Der Radius der Erde beträgt 6378 km.

Eine andere Aussage ist eigentlich das Gegenteil der vorherigen. F. Noetling wies darauf hin, dass, wenn Sie den von ihm erfundenen "ägyptischen Ellbogen" verwenden, die Seite der Pyramide der "genauesten Dauer des Sonnenjahres, ausgedrückt auf das nächste Milliardstel eines Tages" entspricht - 365.540.903.777 .

P. Smiths Aussage: "Die Höhe der Pyramide beträgt genau ein Milliardstel der Entfernung von der Erde zur Sonne." Obwohl die Höhe normalerweise mit 146,6 m angegeben wird, nahm Smith sie mit 148,2 m. Nach modernen Radarmessungen beträgt die große Halbachse der Erdumlaufbahn 149.597.870 + 1,6 km. Dies ist die durchschnittliche Entfernung von der Erde zur Sonne, aber am Perihel sind es 5.000.000 Kilometer weniger als am Aphel.

Letzte kuriose Aussage:

"Wie ist zu erklären, dass die Massen der Pyramiden von Cheops, Khafre und Menkaure miteinander verwandt sind, wie die Massen der Planeten Erde, Venus, Mars?" Lassen Sie uns rechnen. Die Massen der drei Pyramiden stehen in Beziehung zu: Khafre - 0,835; Cheops - 1.000; Mikerin - 0,0915. Die Verhältnisse der Massen der drei Planeten: Venus - 0,815; Land - 1.000; März - 0,108.

Beachten wir also trotz aller Skepsis die bekannte Harmonie der Konstruktion von Aussagen: 1) Die Höhe der Pyramide als Linie, die "in den Weltraum geht" - entspricht der Entfernung von der Erde zur Sonne; 2) die Seite der Basis der Pyramide, die "dem Substrat", dh der Erde, am nächsten liegt, ist für den Erdradius und die Erdzirkulation verantwortlich; 3) Die Volumina der Pyramide (gelesen - Massen) entsprechen dem Verhältnis der Massen der erdnächsten Planeten. Eine ähnliche „Chiffre“ lässt sich beispielsweise in der von Karl von Frisch analysierten Bienensprache nachweisen. Wir sehen uns jedoch vorerst davon ab, dies zu kommentieren.

FORM DER PYRAMIDEN

Die berühmte tetraedrische Form der Pyramiden tauchte nicht sofort auf. Die Skythen machten Bestattungen in Form von Erdhügeln - Hügeln. Die Ägypter bauten "Hügel" aus Stein - Pyramiden. Dies geschah erstmals nach der Vereinigung von Ober- und Unterägypten im 28. Jahrhundert v. Chr., als der Gründer der III. Dynastie, Pharao Djoser (Zoser), vor der Aufgabe stand, die Einheit des Landes zu festigen.

Und hier spielte laut Historikern das "neue Konzept der Vergöttlichung" des Zaren eine wichtige Rolle bei der Stärkung der Zentralmacht. Obwohl sich die königlichen Bestattungen durch größere Pracht auszeichneten, unterschieden sie sich im Prinzip nicht von den Gräbern der Hofadligen, es waren die gleichen Strukturen - Mastabas. Über der Kammer mit dem Sarkophag mit der Mumie wurde ein rechteckiger Hügel aus kleinen Steinen gegossen, auf dem dann ein kleines Gebäude aus großen Steinblöcken platziert wurde - "Mastaba" (auf Arabisch - "Bank"). An der Stelle der Mastaba seines Vorgängers Sanakht errichtete Pharao Djoser die erste Pyramide. Es war abgestuft und war eine sichtbare Übergangsstufe von einer architektonischen Form zur anderen, von einer Mastaba zu einer Pyramide.

Auf diese Weise wurde der Pharao von dem Weisen und Architekten Imhotep „erzogen“, der später als Zauberer galt und von den Griechen mit dem Gott Asklepios identifiziert wurde. Es war, als ob sechs Mastabas in einer Reihe errichtet wurden. Darüber hinaus nahm die erste Pyramide eine Fläche von 1125 x 115 Metern ein, mit einer geschätzten Höhe von 66 Metern (nach ägyptischen Maßstäben - 1000 "Palmen"). Zuerst plante der Architekt, eine Mastaba zu bauen, aber nicht länglich, sondern quadratisch im Grundriss. Später wurde er erweitert, aber da der Anbau niedriger wurde, entstanden sozusagen zwei Stufen.

Diese Situation befriedigte den Architekten nicht, und auf der obersten Plattform einer riesigen flachen Mastaba platzierte Imhotep drei weitere, die nach oben hin allmählich abnahmen. Das Grab war unter der Pyramide.

Es sind mehrere weitere Stufenpyramiden bekannt, aber später gingen die Erbauer dazu über, bekanntere tetraedrische Pyramiden zu bauen. Warum aber nicht dreieckig oder, sagen wir, achteckig? Eine indirekte Antwort ergibt sich aus der Tatsache, dass fast alle Pyramiden perfekt auf die vier Himmelsrichtungen ausgerichtet sind, also vier Seiten haben. Außerdem war die Pyramide ein "Haus", eine Hülle einer viereckigen Grabkammer.

Aber was verursachte den Neigungswinkel der Gesichter? In dem Buch "Das Prinzip der Proportionen" ist diesem ein ganzes Kapitel gewidmet: "Was könnte die Winkel der Pyramiden bestimmen." Insbesondere wird darauf hingewiesen, dass „das Bild, zu dem sich die großen Pyramiden des Alten Reiches hingezogen fühlen, ein Dreieck mit einem rechten Winkel an der Spitze ist.

Im Weltraum ist es ein Halboktaeder: eine Pyramide, bei der die Kanten und Seiten der Basis gleich sind, die Flächen gleichseitige Dreiecke sind.In den Büchern von Hambidge, Geek und anderen werden einige Überlegungen zu diesem Thema angestellt.

Was ist der Vorteil des Winkels des Halboktaeders? Nach den Beschreibungen von Archäologen und Historikern brachen einige Pyramiden unter ihrem eigenen Gewicht zusammen. Was benötigt wurde, war ein "Haltbarkeitswinkel", ein Winkel, der energetisch am zuverlässigsten war. Rein empirisch kann dieser Winkel aus dem Scheitelwinkel in einem Haufen bröckelnden trockenen Sandes entnommen werden. Aber um genaue Daten zu erhalten, müssen Sie das Modell verwenden. Nehmen Sie vier fest fixierte Kugeln, müssen Sie die fünfte darauf legen und die Neigungswinkel messen. Hier kann man sich allerdings täuschen, daher hilft eine theoretische Rechnung: Man sollte die Mittelpunkte der Kugeln mit Linien (gedanklich) verbinden. An der Basis erhalten Sie ein Quadrat mit einer Seite, die dem doppelten Radius entspricht. Das Quadrat wird nur die Basis der Pyramide sein, deren Kantenlänge auch gleich dem doppelten Radius sein wird.

Eine dichte Kugelpackung vom Typ 1:4 ergibt also ein regelmäßiges Halboktaeder.

Aber warum behalten viele Pyramiden, die zu einer ähnlichen Form tendieren, diese dennoch nicht bei? Wahrscheinlich sind die Pyramiden in die Jahre gekommen. Entgegen dem berühmten Spruch:

"Alles auf der Welt hat Angst vor der Zeit, und die Zeit hat Angst vor den Pyramiden", die Gebäude der Pyramiden müssen altern, sie können und sollen nicht nur die Prozesse der äußeren Verwitterung, sondern auch die Prozesse der inneren "Schrumpfung" ablaufen lassen. , von dem aus die Pyramiden niedriger werden können. Schrumpfung ist auch möglich, weil, wie die Arbeiten von D. Davidovits herausgefunden haben, die alten Ägypter die Technologie der Herstellung von Blöcken aus Kalkspänen, also aus "Beton", verwendeten. Diese Prozesse könnten den Grund für die Zerstörung der Medum-Pyramide erklären, die 50 km südlich von Kairo liegt. Sie ist 4600 Jahre alt, die Grundmaße betragen 146 x 146 m, die Höhe 118 m. „Warum ist es so verstümmelt?“, fragt V. Zamarovsky, „Die üblichen Verweise auf die zerstörerischen Auswirkungen der Zeit und „die Verwendung von Stein für andere Gebäude“ passen hier nicht.

Immerhin sind die meisten seiner Blöcke und Verkleidungsplatten noch an Ort und Stelle, in den Ruinen zu seinem Fuß.“ Wie wir sehen werden, lassen eine Reihe von Bestimmungen sogar vermuten, dass die berühmte Cheops-Pyramide ebenfalls „geschrumpft“ ist , auf allen alten Bildern sind die Pyramiden spitz ...

Die Form der Pyramiden könnte auch durch Nachahmung erzeugt werden: einige natürliche Muster, "wundersame Perfektion", sagen wir, einige Kristalle in Form eines Oktaeders.

Solche Kristalle könnten Diamant- und Goldkristalle sein. Charakteristisch ist eine große Anzahl "sich kreuzender" Zeichen für Konzepte wie Pharao, Sonne, Gold, Diamant. Überall - edel, brillant (brillant), großartig, makellos und so weiter. Die Ähnlichkeiten sind nicht zufällig.

Der Sonnenkult war, wie Sie wissen, ein wichtiger Bestandteil der Religion des alten Ägypten. „Egal, wie wir den Namen der größten der Pyramiden übersetzen“, heißt es in einem der modernen Lehrbücher, „Sky Khufu“ oder „Sky Khufu“, es bedeutete, dass der König die Sonne ist. Wenn Khufu im Glanz seiner Macht sich vorstellte, eine zweite Sonne zu sein, dann wurde sein Sohn Jedef-Ra der erste der ägyptischen Könige, der begann, sich "der Sohn von Ra" zu nennen, das heißt, der Sohn des Sonne. Die Sonne wurde von fast allen Völkern als "Sonnenmetall", Gold, symbolisiert. „Die große Scheibe aus hellem Gold“ – so nannten die Ägypter unser Tageslicht. Die Ägypter kannten Gold sehr gut, sie kannten seine ursprünglichen Formen, in denen Goldkristalle in Form von Oktaedern erscheinen können.

Als „Formmuster“ ist hier auch der „Sonnenstein“ – ein Diamant – interessant. Der Name des Diamanten kommt gerade aus der arabischen Welt, „almas“ – der härteste, härteste, unzerstörbarste. Die alten Ägypter kannten den Diamanten und seine Eigenschaften sind ziemlich gut. Einigen Autoren zufolge verwendeten sie sogar Bronzerohre mit Diamantschneidern zum Bohren.

Südafrika ist heute der Hauptlieferant von Diamanten, aber auch Westafrika ist reich an Diamanten. Das Territorium der Republik Mali wird dort sogar als „Diamantenland“ bezeichnet. Auf dem Territorium Malis leben derweil die Dogon, auf die die Anhänger der Paläovisiten-Hypothese viele Hoffnungen setzen (su). Diamanten konnten nicht der Grund für die Kontakte der alten Ägypter mit dieser Region sein. Auf die eine oder andere Weise ist es jedoch möglich, dass die alten Ägypter gerade durch das Kopieren der Oktaeder von Diamant- und Goldkristallen die Pharaonen vergötterten, „unzerstörbar“ wie Diamant und „glänzend“ wie Gold, die Söhne der Sonne, vergleichbar nur mit den wunderbarsten Schöpfungen der Natur.

Fazit:

Nachdem wir die Pyramide als geometrischen Körper untersucht und uns mit ihren Elementen und Eigenschaften vertraut gemacht hatten, waren wir von der Gültigkeit der Meinung über die Schönheit der Form der Pyramide überzeugt.

Als Ergebnis unserer Recherchen kamen wir zu dem Schluss, dass die Ägypter, nachdem sie das wertvollste mathematische Wissen gesammelt hatten, es in einer Pyramide verkörperten. Daher ist die Pyramide wirklich die vollkommenste Schöpfung der Natur und des Menschen.

LITERATURVERZEICHNIS

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Geschichte der Mathematik in der Schule, M: "Aufklärung", 1982

Geometrie Klasse 10-11, M: "Erleuchtung", 2000

Peter Tompkins "Geheimnisse der großen Cheopspyramide", M: "Centropoligraph", 2005

Internet-Ressourcen

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http://tambow. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Hier sind grundlegende Informationen über die Pyramiden und verwandte Formeln und Konzepte gesammelt. Alle von ihnen werden mit einem Tutor in Mathematik zur Vorbereitung auf die Prüfung studiert.

Betrachten Sie eine Ebene, ein Polygon darin liegen und einen nicht darin liegenden Punkt S. Verbinden Sie S mit allen Eckpunkten des Polygons. Das resultierende Polyeder wird Pyramide genannt. Die Segmente werden Seitenkanten genannt. Das Polygon wird als Basis bezeichnet, und der Punkt S wird als Spitze der Pyramide bezeichnet. Abhängig von der Zahl n heißt die Pyramide dreieckig (n=3), viereckig (n=4), fünfeckig (n=5) und so weiter. Alternativer Name für die dreieckige Pyramide - Tetraeder. Die Höhe einer Pyramide ist die Senkrechte, die von ihrer Spitze zur Grundebene gezogen wird.

Eine Pyramide heißt richtig wenn ein regelmäßiges Polygon, und die Basis der Höhe der Pyramide (die Basis der Senkrechten) ist ihr Mittelpunkt.

Kommentar des Lehrers:
Verwechseln Sie nicht die Begriffe "regelmäßige Pyramide" und "regelmäßiges Tetraeder". In einer regelmäßigen Pyramide sind die Seitenkanten nicht unbedingt gleich den Kanten der Basis, aber in einem regelmäßigen Tetraeder sind alle 6 Kanten der Kanten gleich. Das ist seine Definition. Es ist leicht zu beweisen, dass die Gleichheit impliziert, dass der Mittelpunkt P des Polygons ist mit einer Höhenbasis, also ist ein regelmäßiger Tetraeder eine regelmäßige Pyramide.

Was ist ein Apothem?
Der Apothem einer Pyramide ist die Höhe ihrer Seitenfläche. Wenn die Pyramide regelmäßig ist, dann sind alle ihre Apotheme gleich. Das Gegenteil ist nicht wahr.

Mathematiklehrer über seine Terminologie: Die Arbeit mit Pyramiden besteht zu 80 % aus zwei Arten von Dreiecken:
1) Enthält Apothema SK und Höhe SP
2) Enthält den seitlichen Rand SA und seinen Vorsprung PA

Um die Verweise auf diese Dreiecke zu vereinfachen, ist es für einen Mathematiklehrer bequemer, das erste von ihnen zu nennen apothemisch, und zweitens Küsten. Leider findet man diese Terminologie in keinem der Lehrbücher und der Lehrer muss sie einseitig einführen.

Pyramidenvolumenformel:
1) , wo ist die Fläche der Basis der Pyramide und die Höhe der Pyramide
2) , wobei der Radius der eingeschriebenen Kugel und die Gesamtfläche der Pyramide ist.
3) , wobei MN der Abstand zweier sich kreuzender Kanten ist und die Fläche des Parallelogramms ist, das durch die Mittelpunkte der vier verbleibenden Kanten gebildet wird.

Pyramidenhöhe Basiseigenschaft:

Der Punkt P (siehe Abbildung) fällt mit dem Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises am Fuß der Pyramide zusammen, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
1) Alle Apotheme sind gleich
2) Alle Seitenflächen sind gleich zur Basis geneigt
3) Alle Apotheme sind gleich zur Höhe der Pyramide geneigt
4) Die Höhe der Pyramide ist zu allen Seitenflächen gleich geneigt

Kommentar des Mathelehrers: Beachten Sie, dass alle Punkte durch eine gemeinsame Eigenschaft vereint sind: Auf die eine oder andere Weise sind Seitenflächen überall beteiligt (Apotheme sind ihre Elemente). Daher kann der Tutor eine weniger genaue, aber bequemere Formulierung zum Auswendiglernen anbieten: Der Punkt P fällt mit dem Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises zusammen, der Basis der Pyramide, wenn es gleichwertige Informationen über ihre Seitenflächen gibt. Um es zu beweisen, genügt es zu zeigen, dass alle apothemischen Dreiecke gleich sind.

Der Punkt P fällt mit dem Mittelpunkt des umschriebenen Kreises in der Nähe der Basis der Pyramide zusammen, wenn eine der drei Bedingungen zutrifft:
1) Alle Seitenkanten sind gleich
2) Alle Seitenrippen sind gleich zur Basis geneigt
3) Alle Seitenrippen sind gleich zur Höhe geneigt