In dieser Lektion werden wir verschiedene Optionen für das Zusammenspiel eines Kreises und einer geraden Linie untersuchen. Wir erinnern an die in diesem Fall weit verbreiteten Definitionen. Eine gerade Linie ist eine undefinierbare axiomatische geometrische Figur, die eine gerade Linie ohne Anfang und Ende ist. Ein Kreis ist eine Menge von Punkten, die in gleichem Abstand von einem gemeinsamen Mittelpunkt (Kreismittelpunkt) liegen und durch eine gemeinsame Kurve verbunden sind. Mit anderen Worten, ein Kreis ist eine regelmäßige geschlossene Kurve, die die maximal mögliche Fläche umreißt.
Genau genommen gibt es drei Möglichkeiten für die relative Position des Kreises und der Linie. Im ersten Fall liegt die Gerade vollständig außerhalb des gegebenen Kreises und schneidet oder berührt ihn nirgendwo. Berührt die Gerade genau einen bestimmten Punkt aus der Kreismenge, so heißt diese Gerade Tangente an den gegebenen Kreis.
Die Tangente hat eine wichtige Eigenschaft. Der zum Kontaktpunkt gezeichnete Radius steht senkrecht auf der Linie selbst. Das Video zeigt einen Kreis mit Mittelpunkt O, Linie A und Tangentenpunkt K. Da dieser Punkt im Singular steht, tangiert Linie A diesen Kreis. Und der Winkel bei K, der durch den Radius und einen beliebigen Teil der Linie gebildet wird, ist richtig - gleich 90 Grad. Erwähnenswert ist auch ein wichtiges Merkmal - die Tangente hat nur einen Kontaktpunkt. Es ist unmöglich, eine gerade Linie so zu zeichnen, dass sie zwei Punkte auf der Kreistangente berührt.
Wenn unsere Linie A durch den ganzen Kreis geht und seinen inneren Bereich betrifft, dann ist dies bereits der dritte Spezialfall des Zusammenwirkens dieser Figuren. In diesem Fall verläuft die gerade Linie genau durch zwei Punkte auf dem Kreis - sagen wir B und C. Sie wird als Sekante des Kreises bezeichnet. Die Sekante geht immer nur durch zwei beliebige Punkte aus der Menge auf der Kurve. Da es viele Punkte in einem Kreis gibt, ist es möglich, unendlich viele Sekanten (sowie Tangenten) für einen gegebenen Kreis zu zeichnen.
Der innere Teil der Sekantenlinie, tatsächlich das Segment BC, ist die Sehne für den Kreis. Wenn die Sekante durch die Mitte des Kreises verläuft, wird ihr innerer Teil durch die größte Sehne dargestellt - den Durchmesser. In diesem Fall haben die Schnittpunkte B und C den größten Abstand voneinander (gemäß der Durchmessereigenschaft). Es ist leicht zu verstehen, dass der entgegengesetzte Spezialfall eine Sekante ist, die einen Akkord mit einem infinitesimalen Wert bildet, tatsächlich ist dies bereits eine Tangente.
Bei Problemen wird häufig ein Segment P gefunden - es verbindet den kürzesten Weg mit einem geeigneten Punkt auf einer geraden Linie und dem Mittelpunkt des Kreises selbst. Mit anderen Worten, P ist das Segment TO, wobei T ein Punkt auf der Linie BC ist. Dieses Segment ist eine Senkrechte zur Linie, seine Fortsetzung zum Kreis selbst ist sein Radius. Der lineare Wert dieses Segments kann durch den Kosinus des Winkels berechnet werden, den der Radius und die Sekante mit dem Scheitelpunkt im Schnittpunkt bilden.
Erinnern Sie sich an eine wichtige Definition - die Definition eines Kreises]
Definition:
Ein Kreis mit Mittelpunkt O und Radius R ist die Menge aller Punkte in der Ebene, die einen Abstand R von Punkt O haben.
Beachten wir, dass die Menge Kreis genannt wird. alles Punkte, die die beschriebene Bedingung erfüllen. Betrachten Sie ein Beispiel:
Die Punkte A, B, C, D des Quadrats sind von Punkt E gleich weit entfernt, aber sie sind kein Kreis (Abb. 1).
Reis. 1. Abbildung zum Beispiel
In diesem Fall ist die Figur ein Kreis, da alles eine Menge von Punkten ist, die gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind.
Wenn wir zwei beliebige Punkte des Kreises verbinden, erhalten wir eine Sehne. Die durch die Mitte verlaufende Sehne wird als Durchmesser bezeichnet.
MB - Akkord; AB - Durchmesser; MnB - Bogen, es wird durch den Akkord MB zusammengezogen;
Die Ecke heißt zentral.
Punkt O ist der Mittelpunkt des Kreises.
Reis. 2. Illustration zum Beispiel
So erinnerten wir uns daran, was ein Kreis und seine Hauptelemente sind. Kommen wir nun zur Betrachtung der relativen Position des Kreises und der Linie.
Gegeben sei ein Kreis mit Mittelpunkt O und Radius r. Die Linie P, der Abstand vom Mittelpunkt zur Linie, dh die Senkrechte OM, ist gleich d.
Wir nehmen an, dass der Punkt O nicht auf der Geraden P liegt.
Bei einem gegebenen Kreis und einer geraden Linie müssen wir die Anzahl der gemeinsamen Punkte finden.
Fall 1 - Der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Geraden ist kleiner als der Kreisradius:
Im ersten Fall, wenn der Abstand d kleiner als der Radius des Kreises r ist, liegt der Punkt M innerhalb des Kreises. Ab diesem Punkt werden wir zwei Segmente beiseite legen - MA und MB, deren Länge sein wird. Wir kennen die Werte von r und d, d ist kleiner als r, was bedeutet, dass der Ausdruck existiert und die Punkte A und B existieren. Diese beiden Punkte liegen konstruktionsbedingt auf einer Geraden. Prüfen wir, ob sie auf einem Kreis liegen. Berechnen Sie den Abstand zwischen OA und OB mit dem Satz des Pythagoras:
Reis. 3. Abbildung Fall 1
Der Abstand vom Mittelpunkt zu zwei Punkten ist gleich dem Radius des Kreises, also haben wir bewiesen, dass die Punkte A und B zum Kreis gehören.
Die Punkte A und B gehören also konstruktionsbedingt zur Linie, sie gehören bewiesenermaßen zum Kreis - der Kreis und die Linie haben zwei gemeinsame Punkte. Lassen Sie uns beweisen, dass es keine anderen Punkte gibt (Abb. 4).
Reis. 4. Illustration zum Beweis
Nehmen Sie dazu einen beliebigen Punkt C auf einer Geraden und nehmen Sie an, dass er auf einem Kreis liegt - der Abstand OS = r. In diesem Fall ist das Dreieck gleichschenklig und sein Median ON, der nicht mit dem Segment OM zusammenfällt, ist die Höhe. Wir haben einen Widerspruch erhalten: Vom Punkt O fallen zwei Senkrechte auf die Gerade.
Somit gibt es auf der Linie P keine anderen gemeinsamen Punkte mit dem Kreis. Wir haben bewiesen, dass für den Fall, dass der Abstand d kleiner als der Radius r des Kreises ist, die Gerade und der Kreis nur zwei gemeinsame Punkte haben.
Fall zwei - der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur geraden Linie ist gleich dem Radius des Kreises (Abb. 5):
Reis. 5. Abbildung von Fall 2
Erinnere dich daran, dass der Abstand von einem Punkt zu einer Linie die Länge der Senkrechten ist, in diesem Fall ist OH die Senkrechte. Da die Länge OH bedingt gleich dem Radius des Kreises ist, gehört der Punkt H zum Kreis, also ist der Punkt H der Linie und dem Kreis gemeinsam.
Lassen Sie uns beweisen, dass es keine anderen gemeinsamen Punkte gibt. Im Gegenteil: Angenommen, der Punkt C auf der Geraden gehört zum Kreis. In diesem Fall ist der Abstand OC gleich r, und dann ist OC gleich OH. Aber in einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse OS größer als der Schenkel OH. Wir haben einen Widerspruch. Somit ist die Annahme falsch und es gibt keinen anderen Punkt als H, der der Linie und dem Kreis gemeinsam ist. Wir haben bewiesen, dass in diesem Fall der gemeinsame Punkt eindeutig ist.
Fall 3 - der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Geraden größer ist als der Radius des Kreises:
Der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden ist die Länge der Senkrechten. Zeichnen wir vom Punkt O eine Senkrechte zur Geraden P, erhalten wir den Punkt H, der nicht auf dem Kreis liegt, da OH bedingt größer als der Radius des Kreises ist. Beweisen wir, dass kein anderer Punkt der Linie auf dem Kreis liegt. Dies ist deutlich am rechtwinkligen Dreieck zu sehen, dessen Hypotenuse OM größer ist als das Bein OH und daher größer als der Radius des Kreises, sodass der Punkt M nicht zum Kreis gehört, wie jeder andere Punkt auf der Linie. Wir haben bewiesen, dass in diesem Fall der Kreis und die Linie keine gemeinsamen Punkte haben (Abb. 6).
Reis. 6. Abbildung von Fall 3
Prüfen Satz . Angenommen, die Linie AB hat zwei Punkte mit dem Kreis gemeinsam (Abb. 7).
Reis. 7. Illustration für den Satz
Wir haben einen Akkord AB. Punkt H ist bedingungsgemäß die Mitte der Sehne AB und liegt auf dem Durchmesser CD.
Es ist zu beweisen, dass in diesem Fall der Dimeter senkrecht zur Sehne steht.
Nachweisen:
Betrachten Sie ein gleichschenkliges Dreieck OAB, es ist gleichschenklig, da .
Punkt H ist bedingungsgemäß die Mitte der Sehne, was die Mitte des Medians AB eines gleichschenkligen Dreiecks bedeutet. Wir wissen, dass die Mittellinie eines gleichschenkligen Dreiecks senkrecht zu seiner Grundlinie steht, was bedeutet, dass es die Höhe ist: somit ist also bewiesen, dass der durch die Mitte der Sehne verlaufende Durchmesser senkrecht zu ihr steht.
fair u Umkehrsatz : Wenn der Durchmesser senkrecht zur Sehne steht, geht er durch ihren Mittelpunkt.
Gegeben ist ein Kreis mit Mittelpunkt O, seinem Durchmesser CD und der Sehne AB. Es ist bekannt, dass der Durchmesser senkrecht zur Sehne steht, es muss nachgewiesen werden, dass er durch seine Mitte verläuft (Abb. 8).
Reis. 8. Illustration für den Satz
Nachweisen:
Betrachten Sie ein gleichschenkliges Dreieck OAB, es ist gleichschenklig, da . OH ist bedingungsgemäß die Höhe des Dreiecks, da der Durchmesser senkrecht zur Sehne steht. Die Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck ist auch ein Median, also AH = HB, was bedeutet, dass der Punkt H der Mittelpunkt der Sehne AB ist, was bedeutet, dass bewiesen ist, dass der Durchmesser senkrecht zur Sehne durch ihren Mittelpunkt geht.
Der direkte und inverse Satz kann wie folgt verallgemeinert werden.
Satz:
Ein Durchmesser steht genau dann senkrecht zu einer Sehne, wenn er durch ihren Mittelpunkt verläuft.
Wir haben also alle Fälle der gegenseitigen Anordnung einer Geraden und eines Kreises betrachtet. In der nächsten Lektion werden wir die Tangente an einen Kreis betrachten.
Referenzliste
- Alexandrow A.D. usw. Geometrie Klasse 8. -M.: Bildung, 2006.
- Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Prasolov V. V. Geometrie 8. - M.: Aufklärung, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrie Klasse 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- edu.glavsprav.ru ().
- Webmath.exponenta.ru().
- FMclass.ru ().
Hausaufgaben
Aufgabe 1. Finden Sie die Längen von zwei Segmenten der Sehne, in die der Durchmesser des Kreises sie teilt, wenn die Länge der Sehne 16 cm beträgt und der Durchmesser senkrecht dazu steht.
Aufgabe 2. Geben Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte einer Geraden und eines Kreises an, wenn:
a) der Abstand von der geraden Linie zum Mittelpunkt des Kreises beträgt 6 cm und der Radius des Kreises 6,05 cm;
b) der Abstand von der geraden Linie zum Mittelpunkt des Kreises beträgt 6,05 cm und der Radius des Kreises beträgt 6 cm;
c) Der Abstand von der Geraden zum Mittelpunkt des Kreises beträgt 8 cm und der Radius des Kreises 16 cm.
Aufgabe 3. Finden Sie die Länge der Sehne, wenn der Durchmesser senkrecht dazu steht und eines der Segmente, die durch den Durchmesser davon abgeschnitten sind, 2 cm beträgt.
Kreis- eine geometrische Figur, die aus allen Punkten der Ebene besteht, die sich in einem bestimmten Abstand von einem bestimmten Punkt befinden.
Dieser Punkt (O) wird aufgerufen Kreismittelpunkt.
Kreisradius ist ein Liniensegment, das den Mittelpunkt mit einem Punkt auf dem Kreis verbindet. Alle Radien haben (per Definition) die gleiche Länge.
Akkord Ein Liniensegment, das zwei Punkte auf einem Kreis verbindet. Der Akkord, der durch die Mitte des Kreises geht, wird aufgerufen Durchmesser. Der Mittelpunkt eines Kreises ist der Mittelpunkt jedes Durchmessers.
Zwei beliebige Punkte auf dem Kreis teilen ihn in zwei Teile. Jeder dieser Teile wird aufgerufen Kreisbogen. Der Bogen wird aufgerufen Halbkreis wenn das seine Enden verbindende Segment ein Durchmesser ist.
Die Länge eines Einheitshalbkreises wird mit bezeichnet π
.
Die Summe der Gradmaße zweier Kreisbögen mit gemeinsamen Enden ist 360º.
Der durch einen Kreis begrenzte Teil der Ebene wird genannt zirka.
Kreissektor- ein Teil eines Kreises, der von einem Bogen und zwei Radien begrenzt wird, die die Enden des Bogens mit dem Mittelpunkt des Kreises verbinden. Der Bogen, der den Sektor begrenzt, wird aufgerufen Sektorbogen.
Zwei Kreise, die einen gemeinsamen Mittelpunkt haben, werden genannt konzentrisch.
Zwei Kreise, die sich rechtwinklig schneiden, nennt man senkrecht.
Gegenseitige Anordnung einer Geraden und eines Kreises
- Ist der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Geraden kleiner als der Kreisradius ( d), dann haben die Linie und der Kreis zwei gemeinsame Punkte. In diesem Fall wird die Leitung aufgerufen Sekante in Bezug auf den Kreis.
- Wenn der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Linie gleich dem Radius des Kreises ist, dann haben die Linie und der Kreis nur einen gemeinsamen Punkt. Eine solche Linie heißt Tangente zum Kreis, und ihr gemeinsamer Punkt heißt Berührungspunkt zwischen einer Linie und einem Kreis.
- Wenn der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Linie größer ist als der Radius des Kreises, dann die Linie und der Kreis haben keine gemeinsamen Punkte .
Zentrale und eingeschriebene Winkel
Zentrale Ecke ist der Winkel mit dem Scheitelpunkt im Mittelpunkt des Kreises.
Eingeschriebener Winkel Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt auf dem Kreis liegt und dessen Seiten den Kreis schneiden.
Einbeschriebener Winkelsatz
Ein einbeschriebener Winkel wird durch die Hälfte des Bogens gemessen, den er schneidet.
- Folge 1.
Einbeschriebene Winkel, die demselben Bogen gegenüberliegen, sind gleich. - Folge 2.
Ein einbeschriebener Winkel, der einen Halbkreis schneidet, ist ein rechter Winkel.
Satz über das Produkt von Segmenten sich schneidender Akkorde.
Wenn sich zwei Sehnen eines Kreises schneiden, dann ist das Produkt der Segmente einer Sehne gleich dem Produkt der Segmente der anderen Sehne.
Grundlegende Formeln
- Umfang:
- Bogenlänge:
- Durchmesser:
- Bogenlänge:
wo α - Gradmaß für die Länge eines Kreisbogens)
- Fläche eines Kreises:
- Kreissektorbereich:
Kreisgleichung
- In einem rechteckigen Koordinatensystem die Gleichung für einen Kreis mit Radius r auf einen Punkt zentriert C(x o; y o) hat die Form:
- Die Gleichung für einen Kreis mit Radius r, der im Ursprung zentriert ist, lautet:
Didaktisches Ziel: Entstehung neuen Wissens.
Unterrichtsziele.
Tutorials:
- mathematische Konzepte zu bilden: eine Tangente an einen Kreis, die relative Position einer geraden Linie und eines Kreises, um ein Verständnis und eine Reproduktion dieser Konzepte durch die Studenten durch die Umsetzung praktischer Forschungsarbeiten zu erreichen.
Gesundheitseinsparung:
- Schaffung eines günstigen psychologischen Klimas im Klassenzimmer;
Entwicklung:
- das kognitive Interesse der Schüler zu entwickeln, die Fähigkeit zu erklären, die Ergebnisse zu verallgemeinern, zu vergleichen, gegenüberzustellen, Schlussfolgerungen zu ziehen.
Lehrreich:
- Erziehung mittels Mathematik der Persönlichkeitskultur.
Studienformen:
- Inhalt - Gespräch, praktische Arbeit;
- über die Organisation von Aktivitäten - individuell, frontal.
Unterrichtsplan
| Blöcke | Unterrichtsphasen |
| 1 Block | Zeit organisieren. Vorbereitung auf das Studium neuen Stoffes durch Wiederholung und Aktualisierung von Grundkenntnissen. |
| 2 Block | Ziele setzen. |
| 3 Block | Einführung in neues Material. Praktische Forschungsarbeit. |
| 4 Block | Konsolidierung von neuem Material durch Problemlösung |
| 5 Block | Betrachtung. Ausführung der Arbeiten nach fertiger Zeichnung. |
| 6 Block | Zusammenfassung der Lektion. Hausaufgaben machen. |
Ausrüstung:
- Computer, Bildschirm, Projektor;
- Handzettel.
Bildungsressourcen:
1. Mathematik. Lehrbuch für Bildungseinrichtungen der 6. Klasse; / G. V. Dorofeev, M., Enlightenment, 2009
2. Markova V.I. Merkmale des Geometrieunterrichts im Rahmen der Umsetzung des staatlichen Bildungsstandards: Leitlinien, Kirov, 2010
3. Atanasyan L.S. Lehrbuch "Geometrie 7-9".
Während des Unterrichts
| 1. Organisatorischer Moment. Vorbereitung auf das Studium neuen Stoffes durch Wiederholung und Aktualisierung von Grundkenntnissen. |
Studenten grüßen. Gibt das Thema der Lektion an. Findet heraus, welche Assoziationen zum Wort „Kreis“ entstehen |
Schreiben Sie Datum und Thema der Unterrichtsstunde in Ihr Heft. Beantworte die Frage des Lehrers. |
| 2. Festlegung des Unterrichtsziels | Fasst die von den Schülern formulierten Ziele zusammen und legt die Ziele des Unterrichts fest | Unterrichtsziele formulieren. |
| 3. Bekanntschaft mit neuem Material. | Organisiert ein Gespräch, bittet an Modellen zu zeigen, wie ein Kreis und eine gerade Linie lokalisiert werden können. Praktische Arbeit organisieren. Organisiert die Arbeit mit dem Lehrbuch. |
Beantworte die Frage des Lehrers. Praktische Arbeit leisten, Fazit ziehen. Sie arbeiten mit dem Lehrbuch, finden einen Schluss und vergleichen ihn mit ihrem eigenen. |
| 4. Primäres Verständnis, Festigung durch Problemlösung. | Organisiert die Arbeit nach vorgefertigten Zeichnungen. Arbeit mit dem Lehrbuch: S. 103 Nr. 498, Nr. 499. Probleme lösen |
Lösen Sie Probleme mündlich und kommentieren Sie die Lösung. Problemlösung durchführen und kommentieren. |
| 5. Reflexion. Ausführung der Arbeiten nach fertiger Zeichnung | Weist die auszuführende Arbeit an. | Erledigen Sie die Aufgabe alleine. Selbsttest. Zusammenfassen. |
| 6. Zusammenfassung. Hausaufgaben machen | Die Studierenden sind eingeladen, den zu Beginn der Unterrichtsstunde erstellten Cluster zu analysieren und unter Berücksichtigung der gewonnenen Erkenntnisse zu verfeinern. | Zusammenfassen. Die Schüler wenden sich den gesetzten Zielen zu, analysieren die Ergebnisse: was sie neu gelernt haben, was sie im Unterricht gelernt haben |
1. Organisatorischer Moment. Wissensaktualisierung.
Der Lehrer nennt das Thema der Stunde. Findet heraus, welche Assoziationen mit dem Wort „Kreis“ entstehen.
Welchen Durchmesser hat der Kreis bei einem Radius von 2,4 cm?
Wie groß ist der Radius bei einem Durchmesser von 6,8 cm?
2. Zielsetzung.
Die Schüler setzen ihre Ziele für den Unterricht, der Lehrer fasst sie zusammen und legt die Ziele des Unterrichts fest.
Ein Aktivitätenprogramm für den Unterricht wird erstellt.
3. Bekanntschaft mit neuem Material.
1) Arbeiten mit Modellen: „Zeigen Sie an Modellen, wie eine Gerade und ein Kreis auf einer Ebene liegen können.“
Wie viele Punkte haben sie gemeinsam?
2) Durchführung praktischer Forschungsarbeiten.
Ziel. Legen Sie die Eigenschaft der relativen Position der Linie und des Kreises fest.
Ausrüstung: ein auf ein Blatt Papier gezeichneter Kreis und ein Stab als gerade Linie, ein Lineal.
- Stellen Sie in der Abbildung (auf einem Blatt Papier) die relative Position des Kreises und der geraden Linie ein.
- Messen Sie den Radius des Kreises R und den Abstand vom Kreismittelpunkt zur Geraden d.
- Halte die Ergebnisse der Studie in einer Tabelle fest.
| Bild | Gegenseitige Übereinkunft | Anzahl gemeinsamer Punkte | Kreisradius R | Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Linie d | Vergleiche R und d |
4. Schlüsse auf die relative Lage der Geraden und des Kreises, abhängig vom Verhältnis von R und d.
Fazit: Wenn der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Linie gleich dem Radius ist, dann berührt die Linie den Kreis und hat einen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis. Wenn der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Linie größer als der Radius ist, dann haben der Kreis und die Linie keine gemeinsamen Punkte. Wenn der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Linie kleiner als der Radius ist, schneidet die Linie den Kreis und hat zwei gemeinsame Punkte mit ihm.
5. Primäres Verständnis, Festigung durch Problemlösung.
1) Lehrbuchaufgaben: Nr. 498, Nr. 499.
2) Bestimmen Sie die relative Position der Linie und des Kreises, wenn:
- 1. R = 16 cm, T = 12 cm
- 2. R = 5 cm, D = 4,2 cm
- 3. R = 7,2 dm, d = 3,7 dm
- 4. R = 8 cm, d = 1,2 dm
- 5. R = 5 cm, D = 50 mm
a) eine Linie und ein Kreis haben keine gemeinsamen Punkte;
b) die Linie tangiert den Kreis;
c) Eine Gerade schneidet einen Kreis.
- d ist der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Geraden, R ist der Radius des Kreises.
3) Was kann über die relative Position der Linie und des Kreises gesagt werden, wenn der Durchmesser des Kreises 10,3 cm beträgt und der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Linie 4,15 cm beträgt; 2 DM; 103 mm; 5,15 cm, 1 dm 3 cm.
4) Gegeben sei ein Kreis mit Mittelpunkt O und Punkt A. Wo ist Punkt A, wenn der Radius des Kreises 7 cm beträgt und die Länge des Segments OA beträgt: a) 4 cm; b) 10cm; c) 70 mm.
6. Reflexion
Was hast du im Unterricht gelernt?
Welche Regel wurde aufgestellt?
Erledige die folgenden Aufgaben auf den Karten:
Ziehe eine Linie durch alle zwei Punkte. Wie viele gemeinsame Punkte hat jede der Linien mit dem Kreis?
Die Linie ______ und der Kreis haben keine gemeinsamen Punkte.
Die Linie ______ und der Kreis haben nur einen ___________ Punkt.
Die Linien ______, _______, _______, _______ und der Kreis haben zwei gemeinsame Punkte.
7. Zusammenfassung. Hausaufgaben machen:
1) Analysieren Sie den zu Beginn des Unterrichts zusammengestellten Cluster und verfeinern Sie ihn unter Berücksichtigung der gewonnenen Erkenntnisse.
2) Lehrbuch: Nr. 500;
3) Füllen Sie die Tabelle aus (auf Karten).
| Kreisradius | 4cm | 6,2cm | 3,5cm | 1,8cm | ||
| Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Linie | 7cm | 5,12cm | 3,5cm | 9,3 cm | 8,25 m | |
| Schlussfolgerung über die relative Position des Kreises und der Linie | Gerade durchquert den Kreis |
Gerade berührt den Kreis |
Gerade geht nicht über den Kreis |
Erinnern Sie sich an eine wichtige Definition - die Definition eines Kreises]
Definition:
Ein Kreis mit Mittelpunkt O und Radius R ist die Menge aller Punkte in der Ebene, die einen Abstand R von Punkt O haben.
Beachten wir, dass die Menge Kreis genannt wird. alles Punkte, die die beschriebene Bedingung erfüllen. Betrachten Sie ein Beispiel:
Die Punkte A, B, C, D des Quadrats sind von Punkt E gleich weit entfernt, aber sie sind kein Kreis (Abb. 1).
Reis. 1. Abbildung zum Beispiel
In diesem Fall ist die Figur ein Kreis, da alles eine Menge von Punkten ist, die gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind.
Wenn wir zwei beliebige Punkte des Kreises verbinden, erhalten wir eine Sehne. Die durch die Mitte verlaufende Sehne wird als Durchmesser bezeichnet.
MB - Akkord; AB - Durchmesser; MnB - Bogen, es wird durch den Akkord MB zusammengezogen;
Die Ecke heißt zentral.
Punkt O ist der Mittelpunkt des Kreises.
Reis. 2. Illustration zum Beispiel
So erinnerten wir uns daran, was ein Kreis und seine Hauptelemente sind. Kommen wir nun zur Betrachtung der relativen Position des Kreises und der Linie.
Gegeben sei ein Kreis mit Mittelpunkt O und Radius r. Die Linie P, der Abstand vom Mittelpunkt zur Linie, dh die Senkrechte OM, ist gleich d.
Wir nehmen an, dass der Punkt O nicht auf der Geraden P liegt.
Bei einem gegebenen Kreis und einer geraden Linie müssen wir die Anzahl der gemeinsamen Punkte finden.
Fall 1 - Der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Geraden ist kleiner als der Kreisradius:
Im ersten Fall, wenn der Abstand d kleiner als der Radius des Kreises r ist, liegt der Punkt M innerhalb des Kreises. Ab diesem Punkt werden wir zwei Segmente beiseite legen - MA und MB, deren Länge sein wird. Wir kennen die Werte von r und d, d ist kleiner als r, was bedeutet, dass der Ausdruck existiert und die Punkte A und B existieren. Diese beiden Punkte liegen konstruktionsbedingt auf einer Geraden. Prüfen wir, ob sie auf einem Kreis liegen. Berechnen Sie den Abstand zwischen OA und OB mit dem Satz des Pythagoras:
Reis. 3. Abbildung Fall 1
Der Abstand vom Mittelpunkt zu zwei Punkten ist gleich dem Radius des Kreises, also haben wir bewiesen, dass die Punkte A und B zum Kreis gehören.
Die Punkte A und B gehören also konstruktionsbedingt zur Linie, sie gehören bewiesenermaßen zum Kreis - der Kreis und die Linie haben zwei gemeinsame Punkte. Lassen Sie uns beweisen, dass es keine anderen Punkte gibt (Abb. 4).
Reis. 4. Illustration zum Beweis
Nehmen Sie dazu einen beliebigen Punkt C auf einer Geraden und nehmen Sie an, dass er auf einem Kreis liegt - der Abstand OS = r. In diesem Fall ist das Dreieck gleichschenklig und sein Median ON, der nicht mit dem Segment OM zusammenfällt, ist die Höhe. Wir haben einen Widerspruch erhalten: Vom Punkt O fallen zwei Senkrechte auf die Gerade.
Somit gibt es auf der Linie P keine anderen gemeinsamen Punkte mit dem Kreis. Wir haben bewiesen, dass für den Fall, dass der Abstand d kleiner als der Radius r des Kreises ist, die Gerade und der Kreis nur zwei gemeinsame Punkte haben.
Fall zwei - der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur geraden Linie ist gleich dem Radius des Kreises (Abb. 5):
Reis. 5. Abbildung von Fall 2
Erinnere dich daran, dass der Abstand von einem Punkt zu einer Linie die Länge der Senkrechten ist, in diesem Fall ist OH die Senkrechte. Da die Länge OH bedingt gleich dem Radius des Kreises ist, gehört der Punkt H zum Kreis, also ist der Punkt H der Linie und dem Kreis gemeinsam.
Lassen Sie uns beweisen, dass es keine anderen gemeinsamen Punkte gibt. Im Gegenteil: Angenommen, der Punkt C auf der Geraden gehört zum Kreis. In diesem Fall ist der Abstand OC gleich r, und dann ist OC gleich OH. Aber in einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse OS größer als der Schenkel OH. Wir haben einen Widerspruch. Somit ist die Annahme falsch und es gibt keinen anderen Punkt als H, der der Linie und dem Kreis gemeinsam ist. Wir haben bewiesen, dass in diesem Fall der gemeinsame Punkt eindeutig ist.
Fall 3 - der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Geraden größer ist als der Radius des Kreises:
Der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden ist die Länge der Senkrechten. Zeichnen wir vom Punkt O eine Senkrechte zur Geraden P, erhalten wir den Punkt H, der nicht auf dem Kreis liegt, da OH bedingt größer als der Radius des Kreises ist. Beweisen wir, dass kein anderer Punkt der Linie auf dem Kreis liegt. Dies ist deutlich am rechtwinkligen Dreieck zu sehen, dessen Hypotenuse OM größer ist als das Bein OH und daher größer als der Radius des Kreises, sodass der Punkt M nicht zum Kreis gehört, wie jeder andere Punkt auf der Linie. Wir haben bewiesen, dass in diesem Fall der Kreis und die Linie keine gemeinsamen Punkte haben (Abb. 6).
Reis. 6. Abbildung von Fall 3
Prüfen Satz . Angenommen, die Linie AB hat zwei Punkte mit dem Kreis gemeinsam (Abb. 7).
Reis. 7. Illustration für den Satz
Wir haben einen Akkord AB. Punkt H ist bedingungsgemäß die Mitte der Sehne AB und liegt auf dem Durchmesser CD.
Es ist zu beweisen, dass in diesem Fall der Dimeter senkrecht zur Sehne steht.
Nachweisen:
Betrachten Sie ein gleichschenkliges Dreieck OAB, es ist gleichschenklig, da .
Punkt H ist bedingungsgemäß die Mitte der Sehne, was die Mitte des Medians AB eines gleichschenkligen Dreiecks bedeutet. Wir wissen, dass die Mittellinie eines gleichschenkligen Dreiecks senkrecht zu seiner Grundlinie steht, was bedeutet, dass es die Höhe ist: somit ist also bewiesen, dass der durch die Mitte der Sehne verlaufende Durchmesser senkrecht zu ihr steht.
fair u Umkehrsatz : Wenn der Durchmesser senkrecht zur Sehne steht, geht er durch ihren Mittelpunkt.
Gegeben ist ein Kreis mit Mittelpunkt O, seinem Durchmesser CD und der Sehne AB. Es ist bekannt, dass der Durchmesser senkrecht zur Sehne steht, es muss nachgewiesen werden, dass er durch seine Mitte verläuft (Abb. 8).
Reis. 8. Illustration für den Satz
Nachweisen:
Betrachten Sie ein gleichschenkliges Dreieck OAB, es ist gleichschenklig, da . OH ist bedingungsgemäß die Höhe des Dreiecks, da der Durchmesser senkrecht zur Sehne steht. Die Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck ist auch ein Median, also AH = HB, was bedeutet, dass der Punkt H der Mittelpunkt der Sehne AB ist, was bedeutet, dass bewiesen ist, dass der Durchmesser senkrecht zur Sehne durch ihren Mittelpunkt geht.
Der direkte und inverse Satz kann wie folgt verallgemeinert werden.
Satz:
Ein Durchmesser steht genau dann senkrecht zu einer Sehne, wenn er durch ihren Mittelpunkt verläuft.
Wir haben also alle Fälle der gegenseitigen Anordnung einer Geraden und eines Kreises betrachtet. In der nächsten Lektion werden wir die Tangente an einen Kreis betrachten.
Referenzliste
- Alexandrow A.D. usw. Geometrie Klasse 8. -M.: Bildung, 2006.
- Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Prasolov V. V. Geometrie 8. - M.: Aufklärung, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrie Klasse 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- edu.glavsprav.ru ().
- Webmath.exponenta.ru().
- FMclass.ru ().
Hausaufgaben
Aufgabe 1. Finden Sie die Längen von zwei Segmenten der Sehne, in die der Durchmesser des Kreises sie teilt, wenn die Länge der Sehne 16 cm beträgt und der Durchmesser senkrecht dazu steht.
Aufgabe 2. Geben Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte einer Geraden und eines Kreises an, wenn:
a) der Abstand von der geraden Linie zum Mittelpunkt des Kreises beträgt 6 cm und der Radius des Kreises 6,05 cm;
b) der Abstand von der geraden Linie zum Mittelpunkt des Kreises beträgt 6,05 cm und der Radius des Kreises beträgt 6 cm;
c) Der Abstand von der Geraden zum Mittelpunkt des Kreises beträgt 8 cm und der Radius des Kreises 16 cm.
Aufgabe 3. Finden Sie die Länge der Sehne, wenn der Durchmesser senkrecht dazu steht und eines der Segmente, die durch den Durchmesser davon abgeschnitten sind, 2 cm beträgt.
