Die Verwendung von Gleichungen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, Konstruktionen und sogar im Sport verwendet. Gleichungen werden seit der Antike vom Menschen verwendet, und seitdem hat ihre Verwendung nur zugenommen. Lassen Sie uns zur Verdeutlichung das folgende Problem lösen:
Berechne \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] wenn \
Achten wir zunächst darauf, dass eine Zahl in algebraischer Form dargestellt wird, die andere in trigonometrischer Form. Es muss vereinfacht und auf die folgende Form gebracht werden
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]
Der Ausdruck \ besagt, dass wir zunächst nach der Moivre-Formel multiplizieren und mit 10 potenzieren. Diese Formel wurde für die trigonometrische Form einer komplexen Zahl formuliert. Wir bekommen:
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
Unter Einhaltung der Regeln zum Multiplizieren komplexer Zahlen in trigonometrischer Form werden wir Folgendes tun:
In unserem Fall:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]
Wenn wir den Bruch \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] korrigieren, schließen wir, dass es möglich ist, 4 Windungen \[(8\pi rad.):\ ]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]
Antwort: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
Diese Gleichung kann auf andere Weise gelöst werden, was darauf hinausläuft, die 2. Zahl in algebraische Form zu bringen, dann eine Multiplikation in algebraischer Form durchzuführen, das Ergebnis in trigonometrische Form zu übersetzen und die Moivre-Formel anzuwenden:
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BUNDESAGENTUR FÜR BILDUNG
STAATLICHE BILDUNGSEINRICHTUNG
HOCHSCHULBILDUNG
"STAATLICHE PÄDAGOGISCHE UNIVERSITÄT WORONESCH"
LEHRSTUHL FÜR AGLEBRA UND GEOMETRIE
Komplexe Zahlen
(ausgewählte Aufgaben)
ABSCHLIESSENDE QUALIFIZIERUNGSARBEIT
Fachgebiet 050201.65 Mathematik
(mit Zusatzfach 050202.65 Informatik)
Abgeschlossen von: Student im 5. Jahr
physikalisch und mathematisch
Fakultät
Wissenschaftlicher Leiter:
Woronesch - 2008
1. Einleitung……………………………………………………...…………..…
2. Komplexe Zahlen (ausgewählte Probleme)
2.1. Komplexe Zahlen in algebraischer Form….……………….….
2.2. Geometrische Interpretation komplexer Zahlen…………..…
2.3. Trigonometrische Form komplexer Zahlen
2.4. Anwendung der Theorie der komplexen Zahlen auf die Lösung von Gleichungen 3. und 4. Grades……………..……………………………………………………………
2.5. Komplexe Zahlen und Parameter ……………………………………….
3. Fazit …………………………………………………….................
4. Literaturverzeichnis………………………….………………….............
1. Einleitung
Im Mathematikprogramm des Schulkurses wird die Zahlentheorie am Beispiel von Mengen natürlicher Zahlen, ganzer Zahlen, rationaler, irrationaler, d.h. auf der Menge der reellen Zahlen, deren Bilder den gesamten Zahlenstrahl ausfüllen. Aber schon in der 8. Klasse reicht der Vorrat an reellen Zahlen nicht aus, um quadratische Gleichungen mit negativer Diskriminante zu lösen. Daher war es notwendig, den Vorrat an reellen Zahlen durch komplexe Zahlen aufzufüllen, für die die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl sinnvoll ist.
Die Wahl des Themas „Komplexe Zahlen“ als Thema meiner Abschlussarbeit liegt darin, dass der Begriff der komplexen Zahl das Wissen der Studierenden über Zahlensysteme, über das Lösen einer breiten Klasse von Problemen sowohl algebraischer als auch geometrischer Inhalte, erweitert das Lösen algebraischer Gleichungen beliebigen Grades und das Lösen von Problemen mit Parametern.
In dieser Diplomarbeit wird die Lösung von 82 Problemen betrachtet.
Der erste Teil des Hauptteils „Komplexe Zahlen“ liefert Lösungen zu Problemen mit komplexen Zahlen in algebraischer Form, definiert die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Konjugation für komplexe Zahlen in algebraischer Form, den Grad einer imaginären Einheit, die Modul einer komplexen Zahl und legt auch die Regel zum Ziehen der Quadratwurzel einer komplexen Zahl fest.
Im zweiten Teil werden Probleme zur geometrischen Interpretation komplexer Zahlen in Form von Punkten oder Vektoren der komplexen Ebene gelöst.
Der dritte Teil befasst sich mit Operationen auf komplexen Zahlen in trigonometrischer Form. Formeln werden verwendet: De Moivre und Ziehen einer Wurzel aus einer komplexen Zahl.
Der vierte Teil widmet sich der Lösung von Gleichungen 3. und 4. Grades.
Bei der Lösung von Aufgaben des letzten Teils "Komplexe Zahlen und Parameter" werden die Informationen aus den vorherigen Teilen verwendet und gefestigt. Eine Reihe von Problemen in diesem Kapitel widmet sich der Bestimmung von Linienscharen in der komplexen Ebene, die durch Gleichungen (Ungleichungen) mit einem Parameter gegeben ist. In einem Teil der Übungen müssen Sie Gleichungen mit einem Parameter (über dem Feld C) lösen. Es gibt Aufgaben, bei denen eine komplexe Variable gleichzeitig mehrere Bedingungen erfüllt. Ein Merkmal der Lösung der Probleme dieses Abschnitts ist die Reduzierung vieler von ihnen auf die Lösung von Gleichungen (Ungleichungen, Systemen) zweiten Grades, irrational, trigonometrisch mit einem Parameter.
Ein Merkmal der Präsentation des Materials jedes Teils ist die anfängliche Einführung in die theoretischen Grundlagen und anschließend deren praktische Anwendung bei der Lösung von Problemen.
Am Ende der Arbeit befindet sich eine Liste der verwendeten Literatur. In den meisten von ihnen wird theoretisches Material ausreichend detailliert und auf zugängliche Weise präsentiert, Lösungen für einige Probleme werden betrachtet und praktische Aufgaben zur eigenständigen Lösung gestellt. Besonders hervorheben möchte ich Quellen wie:
1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Komplexe Zahlen und ihre Anwendungen: Lehrbuch. . Der Stoff des Handbuchs wird in Form von Vorlesungen und praktischen Übungen vermittelt.
2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Ausgewählte Probleme und Theoreme der Elementarmathematik. Arithmetik und Algebra. Das Buch enthält 320 Probleme aus Algebra, Arithmetik und Zahlentheorie. Diese Aufgaben unterscheiden sich naturgemäß erheblich von den üblichen Schulaufgaben.
2. Komplexe Zahlen (ausgewählte Probleme)
2.1. Komplexe Zahlen in algebraischer Form
Die Lösung vieler Probleme in Mathematik und Physik reduziert sich auf das Lösen algebraischer Gleichungen, d.h. Gleichungen der Form
,wobei a0 , a1 , …, an reelle Zahlen sind. Daher ist das Studium algebraischer Gleichungen eine der wichtigsten Fragen in der Mathematik. Beispielsweise hat eine quadratische Gleichung mit negativer Diskriminante keine echten Wurzeln. Die einfachste derartige Gleichung ist die Gleichung
.Damit diese Gleichung eine Lösung hat, muss die Menge der reellen Zahlen erweitert werden, indem ihr die Wurzel der Gleichung hinzugefügt wird
.Lassen Sie uns diese Wurzel als bezeichnen
. Also per definitionem , oder ,somit,
. heißt imaginäre Einheit. Mit seiner Hilfe und mit Hilfe eines Paares reeller Zahlen wird ein Ausdruck der Form gebildet.Der resultierende Ausdruck wurde komplexe Zahlen genannt, weil sie sowohl Real- als auch Imaginärteile enthielten.
Komplexe Zahlen heißen also Ausdrücke der Form
, und sind reelle Zahlen, und ist ein Symbol, das die Bedingung erfüllt. Die Zahl heißt Realteil der komplexen Zahl und die Zahl heißt Imaginärteil. Die Symbole , werden verwendet, um sie zu bezeichnen.Komplexe Zahlen der Form
sind reelle Zahlen und daher enthält die Menge der komplexen Zahlen die Menge der reellen Zahlen. Komplexe Zahlen der Form
werden als rein imaginär bezeichnet. Zwei komplexe Zahlen der Form und heißen gleich, wenn ihr Real- und Imaginärteil gleich sind, d.h. wenn die Gleichheiten , .Die algebraische Notation komplexer Zahlen ermöglicht es, Operationen an ihnen nach den üblichen Regeln der Algebra durchzuführen.
Um Probleme mit komplexen Zahlen zu lösen, müssen Sie die grundlegenden Definitionen verstehen. Die Hauptaufgabe dieses Übersichtsartikels besteht darin, zu erklären, was komplexe Zahlen sind, und Methoden zur Lösung grundlegender Probleme mit komplexen Zahlen vorzustellen. Eine komplexe Zahl ist also eine Zahl der Form z = a + bi, wo ein, b- reelle Zahlen, die als Real- bzw. Imaginärteil der komplexen Zahl bezeichnet werden und bezeichnen a = Re(z), b=Im(z).
ich heißt imaginäre Einheit. ich 2 \u003d -1. Insbesondere kann jede reelle Zahl als komplex betrachtet werden: a = a + 0i, wobei a reell ist. Ob a = 0 und b ≠ 0, dann heißt die Zahl rein imaginär.
Wir führen nun Operationen auf komplexen Zahlen ein.
Betrachten Sie zwei komplexe Zahlen z 1 = ein 1 + b 1 ich und z 2 = ein 2 + b 2 ich.
Prüfen z = a + bi.
Die Menge der komplexen Zahlen erweitert die Menge der reellen Zahlen, die wiederum die Menge der rationalen Zahlen erweitert, und so weiter. Diese Kette von Einbettungen ist in der Abbildung zu sehen: N - natürliche Zahlen, Z - ganze Zahlen, Q - rational, R - reell, C - komplex. 
Darstellung komplexer Zahlen
Algebraische Notation.
Betrachten Sie eine komplexe Zahl z = a + bi, nennt man diese Schreibweise einer komplexen Zahl algebraisch. Auf diese Form des Schreibens haben wir bereits im vorigen Abschnitt ausführlich eingegangen. Verwenden Sie häufig die folgende illustrative Zeichnung 
trigonometrische Form.
Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die Zahl z = a + bi kann anders geschrieben werden. Es ist klar, dass a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, somit z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
heißt Argument einer komplexen Zahl. Diese Darstellung einer komplexen Zahl heißt trigonometrische Form. Die trigonometrische Schreibweise ist manchmal sehr praktisch. Zum Beispiel ist es praktisch, eine komplexe Zahl ganzzahlig zu potenzieren, nämlich if z = rcos(φ) + rsin(φ)i, dann z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, heißt diese Formel Die Formel von De Moivre.
Demonstrationsform.
Prüfen z = rcos(φ) + rsin(φ)i eine komplexe Zahl in trigonometrischer Form ist, schreiben wir sie anders z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, die letzte Gleichheit folgt aus der Euler-Formel, also haben wir eine neue Schreibweise für eine komplexe Zahl: z = reiφ, welches heisst demonstrativ. Diese Schreibweise ist auch sehr praktisch, um eine komplexe Zahl zu potenzieren: z n = r n e inφ, hier n nicht unbedingt eine ganze Zahl, kann aber eine beliebige reelle Zahl sein. Diese Form des Schreibens wird häufig zur Lösung von Problemen verwendet.
Fundamentalsatz der höheren Algebra
Stellen Sie sich vor, wir haben eine quadratische Gleichung x 2 + x + 1 = 0 . Offensichtlich ist die Diskriminante dieser Gleichung negativ und hat keine echten Wurzeln, aber es stellt sich heraus, dass diese Gleichung zwei verschiedene komplexe Wurzeln hat. Der Hauptsatz der höheren Algebra besagt also, dass jedes Polynom vom Grad n mindestens eine komplexe Wurzel hat. Daraus folgt, dass jedes Polynom vom Grad n unter Berücksichtigung ihrer Vielfachheit genau n komplexe Nullstellen hat. Dieser Satz ist ein sehr wichtiges Ergebnis in der Mathematik und findet breite Anwendung. Eine einfache Folge dieses Satzes ist, dass es genau n verschiedene n-Grad-Einheitswurzeln gibt.
Hauptarten von Aufgaben
In diesem Abschnitt werden die Haupttypen einfacher komplexer Zahlenprobleme betrachtet. Herkömmlicherweise können Probleme mit komplexen Zahlen in die folgenden Kategorien eingeteilt werden.
- Einfache Rechenoperationen mit komplexen Zahlen durchführen.
- Finden der Wurzeln von Polynomen in komplexen Zahlen.
- Komplexe Zahlen potenzieren.
- Wurzelziehen aus komplexen Zahlen.
- Anwendung komplexer Zahlen zur Lösung anderer Probleme.
Betrachten Sie nun die allgemeinen Methoden zur Lösung dieser Probleme.
Die einfachsten arithmetischen Operationen mit komplexen Zahlen werden nach den im ersten Abschnitt beschriebenen Regeln durchgeführt, aber wenn komplexe Zahlen in trigonometrischer oder exponentieller Form dargestellt werden, können sie in diesem Fall in algebraische Form umgewandelt werden und Operationen nach bekannten Regeln ausführen.
Das Finden der Wurzeln von Polynomen läuft normalerweise darauf hinaus, die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden. Angenommen, wir haben eine quadratische Gleichung, wenn ihre Diskriminante nicht negativ ist, dann sind ihre Wurzeln reell und werden gemäß einer bekannten Formel gefunden. Wenn die Diskriminante negativ ist, dann D = -1∙a 2, wo a eine bestimmte Zahl ist, dann können wir die Diskriminante in der Form darstellen D = (ia) 2, somit √D = i|a|, und dann können Sie die bereits bekannte Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung verwenden.
Beispiel. Kehren wir zu der oben erwähnten quadratischen Gleichung x 2 + x + 1 = 0 zurück.
Diskriminant - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Jetzt können wir leicht die Wurzeln finden: 
Das Potenzieren komplexer Zahlen kann auf verschiedene Arten erfolgen. Wenn Sie eine komplexe Zahl in algebraischer Form auf eine kleine Potenz (2 oder 3) erheben möchten, können Sie dies durch direkte Multiplikation tun, aber wenn der Grad größer ist (bei Aufgaben ist er oft viel größer), dann müssen Sie Schreiben Sie diese Zahl in trigonometrischer oder exponentieller Form und verwenden Sie bereits bekannte Methoden.
Beispiel. Betrachten Sie z = 1 + i und potenzieren Sie es mit der zehnten Potenz.
Wir schreiben z in Exponentialform: z = √2 e iπ/4 .
Dann z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Kehren wir zur algebraischen Form zurück: z 10 = -32i.
Das Ziehen von Wurzeln aus komplexen Zahlen ist die umgekehrte Operation in Bezug auf die Potenzierung, also wird es auf ähnliche Weise gemacht. Um die Wurzeln zu ziehen, wird oft die Exponentialschreibweise einer Zahl verwendet.
Beispiel. Finden Sie alle Wurzeln des Grades 3 der Einheit. Dazu finden wir alle Wurzeln der Gleichung z 3 = 1, wir suchen die Wurzeln in Exponentialform.
Setzen Sie in die Gleichung ein: r 3 e 3iφ = 1 oder r 3 e 3iφ = e 0 .
Also: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, also φ = 2πk/3.
Bei φ = 0, 2π/3, 4π/3 erhält man verschiedene Nullstellen.
Also sind 1 , e i2π/3 , e i4π/3 Wurzeln.
Oder in algebraischer Form: 
Die letzte Art von Problemen umfasst eine große Vielfalt von Problemen, und es gibt keine allgemeinen Methoden, um sie zu lösen. Hier ist ein einfaches Beispiel für eine solche Aufgabe:
Finden Sie den Betrag sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).
Die Formulierung dieses Problems bezieht sich zwar nicht auf komplexe Zahlen, aber mit ihrer Hilfe lässt es sich leicht lösen. Zur Lösung werden folgende Darstellungen verwendet: 
Setzen wir nun diese Darstellung in die Summe ein, so reduziert sich das Problem auf die Summation der üblichen geometrischen Folge.
Fazit
Komplexe Zahlen sind in der Mathematik weit verbreitet. Dieser Übersichtsartikel behandelt die grundlegenden Operationen mit komplexen Zahlen, beschreibt verschiedene Arten von Standardproblemen und beschreibt kurz allgemeine Methoden zu deren Lösung. Für eine detailliertere Untersuchung der Möglichkeiten komplexer Zahlen wird empfohlen Fachliteratur verwenden.
