Bei Problemen in der Geometrie hängt der Erfolg nicht nur von der Kenntnis der Theorie ab, sondern auch von einer guten Zeichnung.
Bei flachen Zeichnungen ist alles mehr oder weniger klar. Aber in der Stereometrie ist die Situation komplizierter. Schließlich ist es notwendig, darzustellen dreidimensional Körper an Wohnung Zeichnung, und zwar so, dass sowohl Sie selbst als auch derjenige, der Ihre Zeichnung betrachtet, denselben dreidimensionalen Körper sehen würden.

Wie kann man es machen?
Natürlich ist jedes Bild eines dreidimensionalen Körpers in einer Ebene bedingt. Es gibt jedoch bestimmte Regeln. Es gibt eine allgemein anerkannte Art, Blaupausen zu erstellen − Parallelprojektion.

Nehmen wir einen festen Körper.
Lass uns wählen Projektionsebene.
Durch jeden Punkt des volumetrischen Körpers ziehen wir gerade Linien, die parallel zueinander sind und die Projektionsebene in einem bestimmten Winkel schneiden. Jede dieser Linien schneidet die Projektionsebene an irgendeinem Punkt. Zusammen bilden diese Punkte Projektion volumetrischer Körper in einer Ebene, dh sein flaches Bild.

Wie erstellt man Projektionen von volumetrischen Körpern?
Stellen Sie sich vor, Sie haben einen Rahmen eines dreidimensionalen Körpers - ein Prisma, eine Pyramide oder einen Zylinder. Wenn wir es mit einem parallelen Lichtstrahl beleuchten, erhalten wir ein Bild - einen Schatten an der Wand oder auf dem Bildschirm. Beachten Sie, dass unterschiedliche Bilder aus unterschiedlichen Blickwinkeln erhalten werden, aber einige Muster noch vorhanden sind:

Die Projektion des Segments wird das Segment sein.

Wenn das Segment senkrecht zur Projektionsebene steht, wird es natürlich an einem Punkt angezeigt.

Im allgemeinen Fall ist die Projektion eines Kreises eine Ellipse.

Die Projektion eines Rechtecks ​​ist ein Parallelogramm.

So sieht die Projektion eines Würfels auf eine Ebene aus:

Hier sind Vorder- und Rückseite parallel zur Projektionsebene

Sie können es anders machen:

Welchen Winkel wir auch wählen, Projektionen paralleler Segmente in der Zeichnung sind ebenfalls parallele Segmente. Dies ist eines der Prinzipien der Parallelprojektion.

Wir zeichnen Projektionen der Pyramide,

Zylinder:

Noch einmal wiederholen wir das Grundprinzip der Parallelprojektion. Wir wählen die Projektionsebene und ziehen parallel zueinander verlaufende Geraden durch jeden Punkt des Volumenkörpers. Diese Linien schneiden die Projektionsebene in einem gewissen Winkel. Wenn dieser Winkel 90° beträgt, ist er es rechteckige Projektion. Mit Hilfe der rechteckigen Projektion werden Zeichnungen von dreidimensionalen Teilen im Maschinenbau erstellt. In diesem Fall sprechen wir von Draufsicht, Vorderansicht und Seitenansicht.

Kapitel IV. Linien und Flächen im Raum. Polyeder

§ 55. Projektionsfläche eines Vielecks.

Denken Sie daran, dass der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene der Winkel zwischen einer gegebenen Linie und ihrer Projektion auf die Ebene ist (Abb. 164).

Satz. Die Fläche der orthogonalen Projektion des Polygons auf die Ebene ist gleich der Fläche des projizierten Polygons multipliziert mit dem Kosinus des Winkels, der durch die Ebene des Polygons und die Projektionsebene gebildet wird.

Jedes Polygon kann in Dreiecke unterteilt werden, deren Flächensumme gleich der Fläche des Polygons ist. Daher genügt es, den Satz für ein Dreieck zu beweisen.

Lassen /\ ABC wird auf eine Ebene projiziert R. Betrachten Sie zwei Fälle:
a) eine der Parteien /\ ABC ist parallel zur Ebene R;
b) keine der Parteien /\ ABC ist nicht parallel R.

Prüfen erster Fall: lass [AB] || R.

Zeichnen Sie durch die (AB)-Ebene R 1 || R und projizieren orthogonal /\ ABC an R 1 und weiter R(Abb. 165); wir bekommen /\ ABC1 und /\ ABS".
Durch die Projektionseigenschaft haben wir /\ ABC 1 /\ A"B"C" und daher

S /\ ABC1=S /\ ABC"

Lassen Sie uns _|_ und das Segment D 1 C 1 zeichnen. Dann ist _|_ , a = φ der Winkel zwischen den Ebenen /\ ABC und Flugzeug R ein . So

S /\ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

und damit s /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.

Kommen wir zur Überlegung zweiter Fall. Zeichne ein Flugzeug R 1 || Rüber diesen Gipfel /\ ABC, die Entfernung von der zum Flugzeug R das kleinste (es sei Knoten A).
Wir werden entwerfen /\ ABC im Flugzeug R 1 und R(Abb. 166); seien seine Projektionen jeweils /\ AB 1 C 1 und /\ ABS".

Lass (Sonne) p 1 = D. Dann

S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ

Aufgabe. Eine Ebene wird durch die Seite der Basis eines regelmäßigen dreieckigen Prismas unter einem Winkel φ = 30 ° zur Ebene seiner Basis gezogen. Finden Sie die Fläche des resultierenden Abschnitts, wenn die Seite der Basis des Prismas a= 6cm.

Lassen Sie uns den Schnitt dieses Prismas darstellen (Abb. 167). Da das Prisma regelmäßig ist, stehen seine Seitenkanten senkrecht zur Ebene der Basis. Meint, /\ ABC ist eine Projektion /\ ADC, also

Detaillierter Beweis des Polygon-Orthogonalprojektionssatzes

Wenn - Projektion einer Wohnung n -gon zu einer Ebene, wo ist der Winkel zwischen den Ebenen der Polygone und. Mit anderen Worten, die Projektionsfläche eines flachen Polygons ist gleich dem Produkt aus der Fläche des projizierten Polygons und dem Kosinus des Winkels zwischen der Projektionsebene und der Ebene des projizierten Polygons.

Nachweisen. ich Bühne. Führen wir zuerst den Beweis für das Dreieck. Betrachten wir 5 Fälle.

1 Fall. in der Projektionsebene liegen .

Seien jeweils die Projektionen von Punkten auf die Ebene. In unserem Fall. Nehmen wir das an. Lassen Sie - Höhe, dann können wir aus dem Satz der drei Senkrechten schließen, dass - Höhe (- die Projektion der Schräge, - ihre Basis und die Gerade durch die Basis der Schräge gehen).

Prüfen. Es ist rechteckig. Per Definition von Kosinus:

Andererseits ist da und dann definitionsgemäß der lineare Winkel des Flächenwinkels, der durch die Halbebenen der Ebenen und mit der Grenzlinie gebildet wird, und daher ist sein Maß auch das Maß des Winkels dazwischen die Projektionsebenen des Dreiecks und das Dreieck selbst, das heißt.

Finden Sie das Verhältnis der Fläche zu:

Beachten Sie, dass die Formel auch dann wahr bleibt, wenn . In diesem Fall

2. Fall. Liegt nur in der Projektionsebene und ist parallel zur Projektionsebene .

Seien jeweils die Projektionen von Punkten auf die Ebene. In unserem Fall.

Lassen Sie uns eine gerade Linie durch den Punkt ziehen. In unserem Fall schneidet die Gerade die Projektionsebene, also schneidet nach dem Lemma auch die Gerade die Projektionsebene. Sei es ein Punkt Da, dann liegen die Punkte in derselben Ebene, und da sie parallel zur Projektionsebene ist, folgt aus dem Zeichen der Parallelität der Geraden und der Ebene, dass. Daher ist ein Parallelogramm. Betrachten und. Sie sind auf drei Seiten gleich (- gemeinsam, wie gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms). Beachten Sie, dass das Viereck ein Rechteck ist und (entlang des Schenkels und der Hypotenuse) gleich ist, daher ist es auf drei Seiten gleich. Deshalb.

Für 1 Fall gilt:, d.h.

3. Fall. Liegt nur in der Projektionsebene und ist nicht parallel zur Projektionsebene .

Der Punkt sei der Schnittpunkt der Geraden mit der Projektionsebene. Beachten wir, dass i. Bei 1 Gelegenheit: i. Damit bekommen wir das

4 Fall. Scheitelpunkte liegen nicht in der Projektionsebene . Betrachten Sie Senkrechte. Nimm die kleinste dieser Senkrechten. Lass es senkrecht sein. Es kann sich herausstellen, dass entweder nur oder nur. Dann nehmen wir es trotzdem.

Lassen Sie uns einen Punkt von einem Punkt auf einer Strecke, damit und von einem Punkt auf einer Strecke, einen Punkt, damit, beiseite setzen. Eine solche Konstruktion ist möglich, da - die kleinste der Senkrechten. Beachten Sie, dass dies eine Projektion ist und konstruktionsbedingt. Lassen Sie uns beweisen, dass und gleich sind.

Betrachten wir ein Viereck. Durch Bedingung - Senkrechte zu einer Ebene, daher gemäß dem Satz, daher. Da wir konstruktionsbedingt auf der Grundlage eines Parallelogramms (auf parallelen und gleichen gegenüberliegenden Seiten) daraus schließen können - ein Parallelogramm. Meint, . Es wird ähnlich bewiesen, dass . Daher sind und auf drei Seiten gleich. So. Beachten Sie, dass und als gegenüberliegende Seiten von Parallelogrammen, daher aufgrund der Parallelität der Ebenen, . Da diese Ebenen parallel sind, bilden sie mit der Projektionsebene denselben Winkel.

Für die vorigen Fälle gilt:

5 Fall. Die Projektionsebene schneidet die Seiten . Betrachten wir gerade Linien. Sie stehen senkrecht zur Projektionsebene, sind also nach dem Satz parallel. Bei gleichgerichteten Strahlen mit Ursprung in Punkten legen wir jeweils gleiche Segmente beiseite, sodass die Scheitelpunkte außerhalb der Projektionsebene liegen. Beachten Sie, dass dies eine Projektion ist und konstruktionsbedingt. Zeigen wir, dass es gleich ist.

Seit und konstruktionsbedingt dann. Daher auf der Grundlage eines Parallelogramms (auf zwei gleichen und parallelen Seiten) - ein Parallelogramm. Es kann ähnlich bewiesen werden, dass und Parallelogramme sind. Aber dann ist und (als gegenüberliegende Seiten) daher in drei Seiten gleich. Meint, .

Außerdem und damit aufgrund der Parallelität der Ebenen. Da diese Ebenen parallel sind, bilden sie mit der Projektionsebene denselben Winkel.

Für zutreffenden Fall 4:.

II Bühne. Lassen Sie uns das flache Polygon in Dreiecke aufteilen, indem wir die vom Scheitelpunkt ausgehenden Diagonalen verwenden: Dann gemäß den vorherigen Fällen für Dreiecke: .

Q.E.D.