„Der kleine Sohn kam zu seinem Vater und fragte den Kleinen: „Was sind die Ecken?“. Aber Vater vergaß die Antwort. Das ist sehr schlecht!".

In unserem Artikel schlagen wir vor, die Lektionen der Mathematik in Erinnerung zu rufen und Antworten auf die Fragen des Babys zu finden.

Was ist ein winkel

Was ein Winkel ist, ist natürlich leichter zu zeigen als zu erklären. Aus Grundschulklassen wissen wir, dass ein flacher Winkel:

1. Dies ist eine geometrische Figur.
2. Es besteht aus zwei Seiten - Strahlen.
3. Die Strahlen kommen aus einem Scheitelpunkt heraus - einem Punkt.
4. Gemessen in Grad.

Das heißt, wenn Sie einen Punkt auf eine beliebige Ebene legen und dann zwei Strahlen von diesem Punkt aus zeichnen (ein Strahl ist eine gerade Linie, die einen Anfang, aber kein Ende hat), erhalten wir einen Winkel und nicht einen, sondern zwei. Das liegt daran, dass die Strahlen die Ebene in zwei Teile teilten. Wir haben zwei Ecken gebildet - intern und extern.

Winkelbezeichnung

Ein Winkel wird in der Mathematik mit einem solchen Zeichen bezeichnet - „˪“ und griechische Buchstaben: β, δ, φ. Sie können Winkel auch in kleinen oder großen lateinischen Buchstaben bezeichnen. Kleinbuchstaben (d, c, b) bezeichnen die Strahlen, die einen Winkel bilden, daher besteht der Name aus zwei Buchstaben und dem Symbol - ˪ab. Große lateinische Buchstaben bezeichnen die drei Punkte eines Winkels: zwei an den Seiten und einen Scheitelpunkt (˪DEF). Außerdem wird der Buchstabe der Spitze immer in der Mitte des Namens stehen, und wie man DEF oder FED liest, das macht schon keinen Unterschied.

Arten von Ecken

Je nach Grad (gemessener Wert) werden die Winkel unterteilt in:

• Akut (> 90 Grad);
• Direkt (genau 90);
• Stumpf (180);
• Erweitert (gleich 180);
• Nicht konvex (mehr als 180, aber weniger als 360);
• Voll (360);

Alle Winkel, die nicht recht oder gerade sind, heißen schief.

Außerdem, was sind die Winkel?

• Angrenzend - Sie haben eine Seite gemeinsam, während die anderen nicht zusammenfallend auf derselben Ebene liegen. Die Summe dieser Winkel ist immer 180.
• Vertikal - Winkel, die durch zwei sich schneidende gerade Linien gebildet werden und keine gemeinsamen Seiten haben, aber ihre Strahlen von einem Punkt ausgehen. Das heißt, die Seite einer Ecke ist eine Fortsetzung der anderen. Diese Winkel sind gleich.
• Mitte - Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt der Mittelpunkt des Kreises ist.
• Eingeschriebener Winkel. Sein Scheitel liegt auf einem Kreis, und die ihn bildenden Strahlen schneiden diesen Kreis.

Jetzt weißt du, was ein rechter Winkel ist, und du kannst auch sagen, welcher Winkel spitz ist. Es ist nicht schwierig, sich daran zu erinnern, und andere Arten von Winkeln haben auch charakteristische Namen.

In diesem Artikel werden wir eine der wichtigsten geometrischen Formen - den Winkel - umfassend analysieren. Beginnen wir mit Hilfsbegriffen und Definitionen, die uns zur Definition eines Winkels führen. Danach geben wir die akzeptierten Methoden zur Bezeichnung von Winkeln an. Als nächstes werden wir uns ausführlich mit dem Prozess der Winkelmessung befassen. Abschließend zeigen wir, wie Sie die Ecken in der Zeichnung markieren können. Wir haben die gesamte Theorie mit den notwendigen Zeichnungen und grafischen Illustrationen zum besseren Einprägen des Materials versehen.

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Winkeldefinition.

Winkel ist eine der wichtigsten Figuren in der Geometrie. Die Definition eines Winkels ist durch die Definition eines Strahls gegeben. Die Idee eines Strahls kann wiederum nicht ohne Kenntnis von geometrischen Figuren wie einem Punkt, einer geraden Linie und einer Ebene gewonnen werden. Bevor Sie sich mit der Definition des Winkels vertraut machen, empfehlen wir daher, die Theorie aus den Abschnitten und aufzufrischen.

Wir gehen also von den Konzepten eines Punktes, einer geraden Linie auf einer Ebene und einer Ebene aus.

Lassen Sie uns zuerst die Definition eines Strahls geben.

Lassen Sie uns eine gerade Linie in der Ebene geben. Bezeichnen wir es mit dem Buchstaben a. Sei O irgendein Punkt der Geraden a . Der Punkt O teilt die Linie a in zwei Teile. Jeder dieser Teile wird zusammen mit dem Punkt O bezeichnet Strahl, und der Punkt O wird aufgerufen Beginn des Balkens. Sie können auch hören, dass der Strahl gerufen wird halbdirekt.

Der Kürze und Bequemlichkeit halber wurde die folgende Notation für Strahlen eingeführt: Ein Strahl wird entweder durch einen kleinen lateinischen Buchstaben (z. B. Strahl p oder Strahl k) oder durch zwei große lateinische Buchstaben bezeichnet, von denen der erste dem Anfang entspricht des Strahls, und der zweite bezeichnet einen Punkt dieses Strahls (z. B. Strahl OA oder Strahl CD). Lassen Sie uns das Bild und die Bezeichnung der Strahlen in der Zeichnung zeigen.

Jetzt können wir die erste Definition eines Winkels geben.

Definition.

Injektion- Dies ist eine flache geometrische Figur (dh vollständig in einer bestimmten Ebene liegend), die aus zwei nicht übereinstimmenden Strahlen mit gemeinsamem Ursprung besteht. Jeder der Strahlen wird aufgerufen Eckseite, wird der gemeinsame Anfang der Seiten des Winkels genannt obere Ecke.

Es ist möglich, dass die Seiten eines Winkels eine gerade Linie bilden. Dieser Winkel hat einen eigenen Namen.

Definition.

Liegen beide Seiten eines Winkels auf derselben Linie, so heißt der Winkel eingesetzt.

Wir machen Sie auf eine grafische Darstellung eines entwickelten Winkels aufmerksam.

Ein Winkelsymbol wird verwendet, um einen Winkel zu bezeichnen. Wenn die Seiten des Winkels in kleinen lateinischen Buchstaben angegeben sind (z. B. ist eine Seite des Winkels k und die andere h), werden zur Bezeichnung dieses Winkels nach dem Winkelsymbol Buchstaben geschrieben, die den Seiten entsprechen einer Zeile, und die Reihenfolge der Aufzeichnung spielt keine Rolle (dh oder). Wenn die Seiten des Winkels durch zwei große lateinische Buchstaben angegeben werden (z. B. eine Seite des Winkels OA und die zweite Seite des Winkels OB), wird der Winkel wie folgt angegeben: Nach dem Winkelzeichen stehen drei Buchstaben geschrieben, die an der Bezeichnung der Seiten des Winkels beteiligt sind, und der Buchstabe, der dem Scheitelpunkt des Winkels entspricht, der sich in der Mitte befindet (in unserem Fall wird der Winkel als oder angegeben). Wenn der Scheitelpunkt eines Winkels nicht der Scheitelpunkt eines anderen Winkels ist, kann ein solcher Winkel mit dem Buchstaben bezeichnet werden, der dem Scheitelpunkt des Winkels entspricht (z. B. ). Manchmal können Sie sehen, dass die Ecken in den Zeichnungen mit Zahlen (1, 2 usw.) gekennzeichnet sind, diese Ecken werden als bezeichnet und so weiter. Zur Verdeutlichung präsentieren wir eine Abbildung, in der die Ecken gezeigt und angegeben sind.

Jeder Winkel teilt die Ebene in zwei Teile. Wenn der Winkel nicht entwickelt wird, wird außerdem ein Teil der Ebene aufgerufen inneren Eckbereich, und der andere äußeren Eckbereich. Das folgende Bild erklärt, welcher Teil der Ebene der Innenseite der Ecke entspricht und welcher Teil der Außenseite.

Jeder der zwei Teile, in die ein abgeflachter Winkel eine Ebene teilt, kann als Innenbereich des abgeflachten Winkels betrachtet werden.

Die Definition des Inneren eines Winkels führt uns zur zweiten Definition eines Winkels.

Definition.

Injektion- Dies ist eine geometrische Figur, die aus zwei nicht übereinstimmenden Strahlen mit gemeinsamem Ursprung und dem entsprechenden inneren Bereich des Winkels besteht.

Es sollte beachtet werden, dass die zweite Definition des Winkels strenger ist als die erste, da sie mehr Bedingungen enthält. Man sollte jedoch die erste Definition des Winkels nicht verwerfen, noch sollte man die erste und zweite Definition des Winkels getrennt betrachten. Lassen Sie uns diesen Punkt erklären. Wenn es um einen Winkel als geometrische Figur geht, dann wird unter einem Winkel eine Figur verstanden, die aus zwei Strahlen mit gemeinsamem Ursprung zusammengesetzt ist. Wenn es notwendig wird, mit diesem Winkel irgendwelche Aktionen durchzuführen (z. B. einen Winkel zu messen), dann sollte ein Winkel bereits als zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Ursprung und einem inneren Bereich verstanden werden (sonst würde eine doppelte Situation entstehen aufgrund das Vorhandensein sowohl eines inneren als auch eines äußeren Bereichs des Winkels ).

Lassen Sie uns weitere Definitionen von angrenzenden und vertikalen Winkeln geben.

Definition.

Angrenzende Ecken- Dies sind zwei Winkel, bei denen eine Seite gemeinsam ist und die anderen beiden einen geraden Winkel bilden.

Aus der Definition folgt, dass sich benachbarte Winkel bis zu einem geraden Winkel ergänzen.

Definition.

Vertikale Winkel sind zwei Winkel, bei denen die Seiten des einen Winkels Verlängerungen der Seiten des anderen sind.

Die Abbildung zeigt vertikale Winkel.

Offensichtlich bilden zwei sich schneidende Linien vier Paare benachbarter Winkel und zwei Paare vertikaler Winkel.

Winkelvergleich.

In diesem Absatz des Artikels gehen wir auf die Definitionen von gleichen und ungleichen Winkeln ein und erklären auch bei ungleichen Winkeln, welcher Winkel als groß und welcher kleiner gilt.

Denken Sie daran, dass zwei geometrische Figuren gleich genannt werden, wenn sie überlagert werden können.

Gegeben seien zwei Winkel. Lassen Sie uns Argumente anführen, die uns helfen, eine Antwort auf die Frage zu erhalten: „Sind diese beiden Winkel gleich oder nicht?“

Offensichtlich können wir immer die Scheitelpunkte von zwei Ecken sowie eine Seite der ersten Ecke mit einer der Seiten der zweiten Ecke abgleichen. Kombinieren wir die Seite der ersten Ecke mit der Seite der zweiten Ecke, sodass die verbleibenden Seiten der Ecken auf derselben Seite der geraden Linie liegen, auf der die kombinierten Seiten der Ecken liegen. Wenn dann die anderen beiden Seiten der Ecken ausgerichtet sind, werden die Ecken aufgerufen gleich.

Wenn die anderen beiden Seiten der Winkel nicht übereinstimmen, werden die Winkel aufgerufen ungleich, und kleiner der Winkel wird als Teil eines anderen angesehen ( groß ist der Winkel, der einen anderen Winkel vollständig enthält).

Offensichtlich sind die beiden geraden Winkel gleich. Es ist auch offensichtlich, dass ein entwickelter Winkel größer ist als jeder nicht entwickelte Winkel.

Winkelmessung.

Die Winkelmessung basiert auf dem Vergleich des gemessenen Winkels mit dem als Maßeinheit genommenen Winkel. Der Prozess der Winkelmessung sieht folgendermaßen aus: Beginnend mit einer Seite des gemessenen Winkels wird sein innerer Bereich nacheinander mit einzelnen Winkeln gefüllt und dicht übereinander gestapelt. Gleichzeitig wird die Anzahl der gestapelten Ecken gespeichert, die das Maß für den gemessenen Winkel ergibt.

Tatsächlich kann jeder beliebige Winkel als Maßeinheit für Winkel genommen werden. Es gibt jedoch viele allgemein akzeptierte Einheiten zum Messen von Winkeln in Bezug auf verschiedene Bereiche der Wissenschaft und Technologie, die spezielle Namen erhalten haben.

Eine der Einheiten zum Messen von Winkeln ist Grad.

Definition.

ein Grad ist ein Winkel, der dem Hundertachtzigstel eines begradigten Winkels entspricht.

Ein Abschluss wird mit dem Symbol "" bezeichnet, daher wird ein Abschluss als bezeichnet.

Somit können wir in einem entwickelten Winkel 180 Winkel in einen Grad einpassen. Es wird wie ein halber runder Kuchen aussehen, der in 180 gleiche Stücke geschnitten wird. Sehr wichtig: Die "Stücke des Kuchens" passen eng zusammen (d. h. die Seiten der Ecken sind ausgerichtet), wobei die Seite der ersten Ecke mit einer Seite der abgeflachten Ecke und der Seite der letzten Einheitsecke ausgerichtet ist fiel mit der anderen Seite der abgeflachten Ecke zusammen.

Beim Messen von Winkeln wird ermittelt, wie oft ein Grad (oder eine andere Maßeinheit von Winkeln) in den gemessenen Winkel passt, bis der innere Bereich des gemessenen Winkels vollständig abgedeckt ist. Wie wir bereits gesehen haben, passt der Grad in einem abgewickelten Winkel genau 180-mal. Unten sind Beispiele für Winkel, in die ein Winkel von einem Grad genau 30 Mal (ein solcher Winkel ist ein Sechstel eines geraden Winkels) und genau 90 Mal (ein halber gerader Winkel) passt.

Um Winkel kleiner als ein Grad (oder eine andere Maßeinheit für Winkel) zu messen und in Fällen, in denen der Winkel nicht durch eine ganze Zahl von Grad gemessen werden kann (Maßeinheiten für Takes), müssen Sie Teile eines Grades (Teile von Takes) verwenden Maßeinheiten). Bestimmte Teile des Studiums erhielten besondere Namen. Am gebräuchlichsten sind die sogenannten Minuten und Sekunden.

Definition.

Minute ist ein Sechzigstel eines Grades.

Definition.

Zweite ist eine sechzigstel Minute.

Mit anderen Worten, eine Minute hat sechzig Sekunden und ein Grad sechzig Minuten (3600 Sekunden). Das Symbol "" wird verwendet, um Minuten zu bezeichnen, und das Symbol "" wird verwendet, um Sekunden zu bezeichnen (nicht mit den Vorzeichen der Ableitung und der zweiten Ableitung verwechseln). Dann haben wir mit den eingeführten Definitionen und Notationen , und der Winkel, in den 17 Grad 3 Minuten und 59 Sekunden passen, kann als bezeichnet werden.

Definition.

Grad Maß für einen Winkel wird eine positive Zahl genannt, die angibt, wie oft ein Grad und seine Teile in einen bestimmten Winkel passen.

Zum Beispiel ist das Gradmaß eines begradigten Winkels einhundertachtzig und das Gradmaß eines Winkels ist .

Um Winkel zu messen, gibt es spezielle Messgeräte, das bekannteste davon ist ein Winkelmesser.

Wenn sowohl die Bezeichnung des Winkels (z. B.) als auch sein Gradmaß (z. B. 110) bekannt sind, verwenden Sie eine kurze Schreibweise der Form und sagen: "Der Winkel AOB ist einhundertzehn Grad."

Aus den Definitionen des Winkels und des Gradmaßes des Winkels folgt, dass in der Geometrie das Maß des Winkels in Grad durch eine reelle Zahl aus dem Intervall (0, 180) ausgedrückt wird (in der Trigonometrie Winkel mit beliebigem Gradmaß werden betrachtet, sie werden genannt.) Ein Winkel von neunzig Grad hat einen besonderen Namen, er heißt rechter Winkel. Ein Winkel kleiner als 90 Grad wird genannt spitzer Winkel. Ein Winkel größer als neunzig Grad wird genannt stumpfer Winkel. Das Maß eines spitzen Winkels in Grad wird also durch eine Zahl aus dem Intervall (0, 90) ausgedrückt, das Maß eines stumpfen Winkels - durch eine Zahl aus dem Intervall (90, 180), ein rechter Winkel ist gleich neunzig Grad. Hier sind Abbildungen eines spitzen Winkels, eines stumpfen Winkels und eines rechten Winkels.

Aus dem Prinzip der Winkelmessung folgt, dass die Gradmaße gleicher Winkel gleich sind, das Gradmaß eines größeren Winkels größer ist als das Gradmaß eines kleineren und das Gradmaß eines Winkels, der aus mehreren Winkeln besteht gleich der Summe der Gradmaße der Komponentenwinkel ist. Die folgende Abbildung zeigt den Winkel AOB, der sich aus den Winkeln AOC, COD und DOB zusammensetzt, während .

Auf diese Weise, Die Summe benachbarter Winkel beträgt einhundertachtzig Grad, da sie einen geraden Winkel bilden.

Aus dieser Behauptung folgt, dass. Wenn nämlich die Winkel AOB und COD vertikal sind, dann sind die Winkel AOB und BOC benachbart und die Winkel COD und BOC sind auch benachbart, daher gelten die Gleichheiten und , woraus die Gleichheit folgt.

Zusammen mit dem Grad wird eine praktische Einheit zum Messen von Winkeln genannt Bogenmaß. Das Bogenmaß ist in der Trigonometrie weit verbreitet. Lassen Sie uns ein Radiant definieren.

Definition.

Ein Bogenmaß- Das zentrale Ecke, die der Länge des Bogens entspricht, gleich der Länge des Radius des entsprechenden Kreises.

Lassen Sie uns einen Winkel von einem Bogenmaß grafisch veranschaulichen. In der Zeichnung ist die Länge des Radius OA (sowie des Radius OB ) gleich der Länge des Bogens AB , daher ist der Winkel AOB per Definition gleich einem Bogenmaß.

Die Abkürzung "rad" wird verwendet, um Radianten zu bezeichnen. Wenn Sie beispielsweise 5 Rad schreiben, bedeutet dies 5 Radiant. Schriftlich wird jedoch häufig auf die Bezeichnung „rad“ verzichtet. Wenn zum Beispiel geschrieben wird, dass der Winkel gleich pi ist, bedeutet dies pi rad.

Es sollte gesondert darauf hingewiesen werden, dass der Wert des Winkels, ausgedrückt im Bogenmaß, nicht von der Länge des Radius des Kreises abhängt. Dies liegt an der Tatsache, dass die Figuren, die durch einen bestimmten Winkel begrenzt sind, und ein Kreisbogen, der an der Spitze eines bestimmten Winkels zentriert ist, einander ähnlich sind.

Das Messen von Winkeln im Bogenmaß kann genauso erfolgen wie das Messen von Winkeln in Grad: Finden Sie heraus, wie oft ein Winkel von einem Bogenmaß (und seinen Teilen) in einen bestimmten Winkel passt. Und Sie können die Länge des Bogens des entsprechenden Mittelpunktswinkels berechnen und dann durch die Länge des Radius teilen.

Für die Belange der Praxis ist es hilfreich zu wissen, wie sich Grad- und Bogenmaß zueinander verhalten, da ja ein ziemlicher Teil durchgeführt werden muss. In diesem Artikel wird eine Beziehung zwischen Grad und Bogenmaß eines Winkels hergestellt, und es werden Beispiele für die Umwandlung von Grad in Bogenmaß und umgekehrt gegeben.

Bezeichnung der Ecken in der Zeichnung.

In den Zeichnungen können zur Bequemlichkeit und Klarheit Ecken mit Bögen markiert werden, die gewöhnlich im Innenbereich der Ecke von einer Seite der Ecke zur anderen gezeichnet werden. Gleiche Winkel sind mit gleicher Bogenzahl gekennzeichnet, ungleiche Winkel mit unterschiedlicher Bogenzahl. Rechte Winkel in der Zeichnung sind durch ein Symbol der Form "" gekennzeichnet, das im inneren Bereich des rechten Winkels von einer Seite der Ecke zur anderen dargestellt ist.

Wenn Sie viele verschiedene Winkel in der Zeichnung markieren müssen (normalerweise mehr als drei), können Sie beim Bezeichnen von Winkeln zusätzlich zu gewöhnlichen Bögen Bögen eines speziellen Typs verwenden. Beispielsweise können Sie gezackte Bögen oder ähnliches darstellen.

Es ist zu beachten, dass Sie sich nicht von der Bezeichnung von Winkeln in den Zeichnungen mitreißen lassen und die Zeichnungen nicht überladen sollten. Wir empfehlen, nur die Winkel zu markieren, die für den Lösungs- oder Beweisprozess notwendig sind.

Referenzliste.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrie. Klassen 7 - 9: ein Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Lehrbuch für 10-11 Klassen der High School.
• Pogorelov A. V., Geometrie. Lehrbuch für die Klassen 7-11 von Bildungseinrichtungen.

Was ist ein Winkel?

Ein Winkel ist eine Figur, die durch zwei Strahlen gebildet wird, die von einem Punkt ausgehen (Abb. 160).
Die Strahlen, die sich bilden Injektion, heißen Seiten des Winkels, und der Punkt, an dem sie austreten, heißt Scheitelpunkt des Winkels.
In Abbildung 160 sind die Seiten des Winkels die Strahlen OA und OB, und sein Scheitelpunkt ist der Punkt O. Dieser Winkel wird wie folgt bezeichnet: AOB.

Wenn Sie einen Winkel in die Mitte schreiben, schreiben Sie einen Buchstaben, der seinen Scheitelpunkt bezeichnet. Ein Winkel kann auch mit einem einzelnen Buchstaben bezeichnet werden - dem Namen seines Scheitelpunkts.

Statt „Winkel AOB“ schreiben sie beispielsweise kürzer: „Winkel O“.

Anstelle des Wortes "Ecke" schreiben sie ein Zeichen.

Zum Beispiel AOB, O.

In Abbildung 161 liegen die Punkte C und D innerhalb des Winkels AOB, die Punkte X und Y außerhalb dieses Winkels und Punkte M und H - an den Seiten der Ecke.

Wie alle geometrischen Formen werden Winkel mithilfe einer Überlagerung verglichen.

Wenn ein Winkel mit einem anderen so überlagert werden kann, dass sie zusammenfallen, dann sind diese Winkel gleich.

Zum Beispiel in Abbildung 162 ABC = MNK.

Von der Spitze des SOK-Winkels (Abb. 163) wurde ein Strahl OR gezogen. Er teilt den SOC-Winkel in zwei Winkel auf – COP und ROCK. Jeder dieser Winkel ist kleiner als der ROC-Winkel.

Geschrieben von: COP< COK и POK < COK.

Gerade und abgewinkelt

Zwei ergänzen sich Strahl bilden eine gefaltete Ecke. Die Seiten dieses Winkels bilden zusammen eine gerade Linie, auf der die Spitze des erweiterten Winkels liegt (Abb. 164).

Die Stunden- und Minutenzeiger der Uhr bilden bei 6 Uhr einen entwickelten Winkel (Abb. 165).

Biegen wir ein Blatt Papier zweimal in zwei Hälften und falten es dann auseinander (Abb. 166).

Die Faltlinien bilden 4 gleiche Winkel. Jeder dieser Winkel ist gleich der Hälfte des begradigten Winkels. Solche Winkel nennt man rechte Winkel.

Ein rechter Winkel ist ein halber gerader Winkel.

Dreieck zeichnen

Verwenden Sie die Zeichnung, um einen rechten Winkel zu konstruieren Dreieck(Abb. 167). Um einen rechten Winkel zu konstruieren, dessen eine Seite der Strahl OL ist, ist es notwendig:

a) Ordne das Zeichendreieck so an, dass die Spitze seines rechten Winkels mit dem Punkt O zusammenfällt und eine der Seiten entlang des Strahls OA verläuft;

b) Zeichnen Sie einen Strahl OB entlang der zweiten Seite des Dreiecks.

Als Ergebnis erhalten wir ein rechtwinkliges AOB.

Fragen zum Thema

1.Was ist ein Winkel?
2. Welcher Winkel wird als entfaltet bezeichnet?
3. Welche Winkel nennt man gleich?
4. Welcher Winkel heißt richtig?
5. Wie wird ein rechter Winkel mit einem gezeichneten Dreieck konstruiert?

Wir wissen bereits, dass jeder Winkel die Ebene in zwei Teile teilt. Wenn jedoch beide Seiten in einem Winkel auf derselben geraden Linie liegen, wird ein solcher Winkel als entfaltet bezeichnet. Das heißt, bei einem entwickelten Winkel ist eine Seite davon eine Fortsetzung seiner anderen Seite des Winkels.

Schauen wir uns nun die Abbildung an, die nur den abgewickelten Winkel O zeigt.

Wenn wir einen Strahl vom Scheitelpunkt eines geraden Winkels nehmen und zeichnen, dann teilt er diesen geraden Winkel in zwei weitere Winkel, die eine gemeinsame Seite haben, und die anderen beiden Winkel bilden eine gerade Linie. Das heißt, von einer entfalteten Ecke haben wir zwei benachbarte.

Wenn wir einen geraden Winkel nehmen und eine Winkelhalbierende zeichnen, dann teilt diese Winkelhalbierende den geraden Winkel in zwei rechte Winkel.

Und für den Fall, dass wir einen beliebigen Strahl vom Scheitelpunkt des entwickelten Winkels ziehen, der keine Winkelhalbierende ist, teilt ein solcher Strahl den erweiterten Winkel in zwei Winkel, von denen einer spitz und der andere stumpf ist.

Eigenschaften von flachen Ecken

Der erweiterte Winkel hat die folgenden Eigenschaften:

Erstens sind die Seiten eines geraden Winkels antiparallel und bilden eine gerade Linie;
zweitens beträgt der Abwicklungswinkel 180°;
drittens bilden zwei benachbarte Winkel einen geraden Winkel;
viertens ist der entwickelte Winkel die Hälfte des vollen Winkels;
fünftens ist der volle Winkel gleich der Summe zweier entwickelter Winkel;
sechstens ist die Hälfte des begradigten Winkels ein rechter Winkel.

Winkelmessung

Um einen beliebigen Winkel zu messen, wird für diese Zwecke am häufigsten ein Winkelmesser verwendet, bei dem die Maßeinheit ein Grad ist. Beim Messen von Winkeln ist zu beachten, dass jeder Winkel sein eigenes Gradmaß hat und dieses Maß natürlich größer als Null ist. Und der entwickelte Winkel beträgt, wie wir bereits wissen, 180 Grad.

Das heißt, wenn wir eine beliebige Ebene eines Kreises nehmen und sie durch Radien in 360 gleiche Teile teilen, dann ist 1/360 dieses Kreises ein Winkelgrad. Wie Sie bereits wissen, wird der Grad durch ein bestimmtes Symbol angezeigt, das so aussieht: „°“.

Jetzt wissen wir auch, dass ein Grad 1° = 1/360 eines Kreises ist. Wenn der Winkel gleich der Kreisebene ist und 360 Grad beträgt, ist ein solcher Winkel voll.

Und jetzt nehmen wir und teilen die Kreisebene mit Hilfe von zwei auf einer Geraden liegenden Radien in zwei gleiche Teile. Dann ist in diesem Fall die Ebene des Halbkreises der halbe Vollwinkel, dh 360: 2 = 180 °. Wir haben einen Winkel erhalten, der gleich der Halbebene des Kreises ist und 180° hat. Dies ist der verdrehte Winkel.

Praktische Aufgabe

1613. Benennen Sie die in Abbildung 168 gezeigten Winkel. Schreiben Sie ihre Bezeichnungen auf.

1614. Zeichne vier Strahlen: OA, OB, OS und OD. Schreibe die Namen der sechs Winkel auf, deren Seiten diese Strahlen sind. In wie viele Teile teilen sich diese Strahlen? Flugzeug?

1615. Geben Sie an, welche Punkte in Abb. 169 innerhalb des Winkels KOM liegen, welche Punkte liegen außerhalb dieses Winkels? Welche Punkte liegen auf der OK-Seite und welche auf der OM-Seite?

1616. Zeichne einen Winkel MOD und zeichne darin einen Strahl OT. Nennen und beschriften Sie die Winkel, in die dieser Strahl den Winkel MOD teilt.

1617. Der Minutenzeiger drehte sich in 10 Minuten auf den Winkel AOB, in den nächsten 10 Minuten auf den Winkel BOC und in weiteren 15 Minuten auf den Winkel COD. Vergleichen Sie die Winkel AOB und BOC, BOC und COD, AOC und AOB, AOC und COD (Abb. 170).

1618. Verwenden Sie das Zeichendreieck, um 4 rechte Winkel in verschiedenen Positionen zu zeichnen.

1619. Finden Sie mit dem Zeichendreieck rechte Winkel in Abbildung 171. Schreiben Sie ihre Bezeichnungen auf.

1620. Weisen Sie im Klassenzimmer auf die rechten Winkel hin.

a) 0,09 200; b) 208 0,4; c) 130 0,1 + 80 0,1.

1629. Wie viel Prozent von 400 ist die Zahl 200; 100; 4; 40; 80; 400; 600?

1630. Finden Sie die fehlende Zahl:

a) 2 5 3 b) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?

1631. Zeichne ein Quadrat, dessen Seite gleich der Länge von 10 Zellen des Notizbuchs ist. Dieses Quadrat soll ein Feld darstellen. Roggen nimmt 12% des Feldes ein, Hafer - 8%, Weizen - 64% und der Rest des Feldes wird von Buchweizen eingenommen. Zeigen Sie im Bild den Teil des Feldes, der von jeder Kultur eingenommen wird. Wie viel Prozent des Feldes sind Buchweizen?

1632. Während des Schuljahres verbrauchte Petja 40 % der zu Beginn des Jahres gekauften Hefte und hatte noch 30 Hefte übrig. Wie viele Hefte wurden zu Beginn des Schuljahres für Petya gekauft?

1633. Bronze ist eine Legierung aus Zinn und Kupfer. Wie viel Prozent der Legierung ist Kupfer in einem Stück Bronze, bestehend aus 6 kg Zinn und 34 kg Kupfer?

1634. Der in der Antike erbaute Leuchtturm von Alexandria, der als eines der sieben Weltwunder bezeichnet wurde, ist 1,7-mal höher als die Türme des Moskauer Kremls, aber um 119 m niedriger als das Gebäude der Moskauer Universität von jedem dieser Bauwerke, wenn die Türme des Moskauer Kremls 49 m niedriger sind Leuchtturm von Alexandria.

1635. Finden Sie mit Hilfe eines Mikrorechners:

a) 4,5 % von 168; c) 28,3 % von 569,8;
b) 147,6 % von 2500; d) 0,09 % von 456.800.

1636. Lösen Sie das Problem:

1) Die Fläche des Gartens beträgt 6,4 a. Am ersten Tag wurden 30 % des Gartens umgegraben, am zweiten Tag 35 % des Gartens. Wie viele Aren sind noch zu graben?

2) Serezha hatte 4,8 Stunden Freizeit. Er verbrachte 35 % seiner Zeit damit, ein Buch zu lesen, und 40 % damit, Fernsehsendungen anzusehen. Wie viel Zeit hat er noch?

1637. Gehen Sie wie folgt vor:

1) ((23,79: 7,8 - 6,8: 17) 3,04 - 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 - 6,6) : ((4,8 - 1,6) (3,1 + 0,05)).

1638 Zeichnen Sie einen Winkel BAC und markieren Sie je einen Punkt innerhalb des Winkels, außerhalb des Winkels und an den Seiten des Winkels.

1639. Welche der in Abbildung 172 markierten Punkte liegen innerhalb des Winkels AMK Welcher Punkt liegt innerhalb des Winkels AMB> aber außerhalb des Winkels AMK Welche Punkte liegen auf den Seiten des Winkels AMK?

1640. Verwenden Sie das Zeichendreieck, um die rechten Winkel in Abbildung 173 zu finden.

1641. Konstruiere ein Quadrat mit einer Seite von 43 mm. Berechne seinen Umfang und seine Fläche.

1642. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

a) 14,791: a + 160,961: b, wenn a = 100, b = 10;
b) 361,62 s + 1848: d wenn c = 100, d = 100.

1643. Der Arbeiter musste 450 Teile herstellen. Am ersten Tag fertigte er 60 % der Teile an, den Rest am zweiten. Wie viele Teile haben Arbeiter am zweiten Tag?

1644. Es gab 8.000 Bücher in der Bibliothek. Ein Jahr später stieg ihre Zahl um 2000 Bücher. Um wie viel Prozent hat sich die Anzahl der Bücher in der Bibliothek erhöht?

1645. Am ersten Tag legten Lastwagen 24 % des vorgesehenen Weges zurück, am zweiten Tag 46 % des Weges und am dritten die restlichen 450 km. Wie viele Kilometer sind diese Lastwagen gefahren?

1646. Finden Sie heraus, wie viele sind:

a) 1 % einer Tonne; c) 5 % von 7 Tonnen;
b) 1 % eines Liters; d) 6 % von 80 km.

1647. Die Masse eines Walrossjungen ist 9-mal geringer als die Masse eines erwachsenen Walrosses. Wie schwer ist ein erwachsenes Walross, wenn es zusammen mit dem Jungtier 0,9 Tonnen wiegt?

1648. Während der Manöver ließ der Kommandant 0,3 seiner Soldaten zurück, um die Kreuzung zu bewachen, und teilte den Rest in 2 Abteilungen auf, um zwei Höhen zu verteidigen. Die erste Abteilung hatte 6-mal mehr Soldaten als die zweite. Wie viele Soldaten waren in der ersten Abteilung, wenn es insgesamt 200 Soldaten gab?

N. Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Mathematik Klasse 5, Lehrbuch für Bildungseinrichtungen

Winkelmaß

Der Winkel in wird in Grad (Grad, Minute, Sekunde) gemessen, in Umdrehungen - das Verhältnis der Bogenlänge s zum Umfang L, im Bogenmaß - das Verhältnis der Bogenlänge s zum Radius r; historisch wurde das Hagelmaß auch zur Messung von Winkeln verwendet, heute wird es fast nie verwendet.

1 Windung = 2π Bogenmaß = 360° = 400 Grad.

In der nautischen Terminologie werden Winkel durch Punkte angegeben.

Ecktypen

Benachbarte Winkel sind spitz (a) und stumpf (b). Umgekehrter Winkel (c)

Außerdem wird der Winkel zwischen glatten Kurven am Tangentenpunkt berücksichtigt: Per Definition ist sein Wert gleich dem Winkel zwischen den Tangenten an die Kurven.

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

Sehen Sie, was der "entwickelte Winkel" in anderen Wörterbüchern ist:

Ein Winkel gleich zwei rechten Winkeln. * SCAN einer Fläche ist eine Figur, die man in einer Ebene erhält, wenn die Punkte einer gegebenen Fläche mit dieser Ebene so kombiniert werden, dass die Längen der Linien unverändert bleiben. Kurvenverlauf siehe Evolvente ... Großes enzyklopädisches Wörterbuch

Injektion- ▲ Richtungsunterschied (im Raum) Winkelumfang der Drehung von einer Richtung in die andere; Richtungsunterschied; Teil einer vollen Drehung (Tilt #. Form #). Neigung. geneigt. Abweichung. abweichen (die Straße ist nach rechts abgewichen). ... ...

Injektion- Ecken: 1 Gesamtansicht; 2 nebeneinander; 3 nebeneinander; 4 vertikal; 5 eingesetzt; 6 gerade, scharf und stumpf; 7 zwischen Kurven; 8 zwischen einer geraden Linie und einer Ebene; 9 zwischen sich schneidenden geraden (nicht in der gleichen Ebene liegenden) geraden Linien. WINKEL, geometrisch… … Illustriertes enzyklopädisches Wörterbuch

Eine geometrische Figur, die aus zwei verschiedenen Strahlen besteht, die vom selben Punkt ausgehen. Strahlen hat angerufen Seiten U., und ihr gemeinsamer Anfang ist der Scheitel U. Seien [ BA), [ BC) die Seiten des Winkels, B sein Scheitel, die durch die Seiten U bestimmte Ebene. Die Figur teilt die Ebene ... ... Mathematische Enzyklopädie

Ein Winkel gleich zwei rechten Winkeln. * * * OFFENER WINKEL OFFENER WINKEL, ein Winkel gleich zwei rechten Winkeln ... Enzyklopädisches Wörterbuch

Ein Zweig der Mathematik, der die Eigenschaften verschiedener Formen (Punkte, Linien, Winkel, zweidimensionale und dreidimensionale Objekte), ihre Größe und relative Position untersucht. Zur Vereinfachung des Unterrichts wird die Geometrie in Planimetrie und Festkörpergeometrie unterteilt. BEIM… … Collier Enzyklopädie

1) Eine geschlossene unterbrochene Linie, nämlich: wenn verschiedene Punkte, keine aufeinanderfolgenden drei davon, auf derselben Geraden liegen, dann heißt die Strecke. Vieleck (siehe Abb. 1). M. kann räumlich oder flach sein (unten ... ... Mathematische Enzyklopädie

über- ▲ in einem maximalen Winkel, schiefen Winkel quer. im rechten Winkel quer. . rechter Winkel Winkel maximaler Auslenkung; ein Winkel gleich dem benachbarten; Vierteldrehung. aufrecht. senkrecht im rechten Winkel. aufrecht. ... ... Ideografisches Wörterbuch der russischen Sprache

Grad- a, m. 1) Die Maßeinheit eines flachen Winkels, gleich 1/90 eines rechten Winkels bzw. 1/360 eines Kreises. Ein Winkel von 90 Grad wird als rechter Winkel bezeichnet. Der erweiterte Winkel beträgt 180 Grad. 2) Eine Maßeinheit für ein Temperaturintervall mit ... ... Beliebtes Wörterbuch der russischen Sprache

Der Satz von Schwartz Christoffel, ein wichtiger Satz in der Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen, trägt den Namen der deutschen Mathematiker Karl Schwartz und Alvin Christoffel. Aus praktischer Sicht sehr wichtig ist das Problem der konformen ... ... Wikipedia

Die Schüler werden in der Grundschule mit dem Konzept des Winkels vertraut gemacht. Aber als geometrische Figur mit bestimmten Eigenschaften lernen sie es ab der 7. Klasse in Geometrie. Scheint, ziemlich schlichte Form was man über sie sagen kann. Aber wenn sie neues Wissen erwerben, verstehen Schulkinder immer mehr, dass Sie ziemlich interessante Fakten über sie erfahren können.

In Kontakt mit

Wann wird studiert

Der Schulgeometriekurs gliedert sich in zwei Bereiche: Planimetrie und Festkörpergeometrie. Jeder von ihnen hat viel Aufmerksamkeit. an die Ecken gegeben:

• In der Planimetrie ist ihr Grundkonzept gegeben, es findet eine Bekanntschaft mit ihren Größentypen statt. Die Eigenschaften jeder Art von Dreiecken werden genauer untersucht. Neue Definitionen für Schüler erscheinen - dies sind geometrische Formen, die am Schnittpunkt zweier Linien miteinander und am Schnittpunkt mehrerer Linien einer Sekante gebildet werden.
• In der Stereometrie werden Raumwinkel untersucht - Dieder und Trieder.

Beachtung! Dieser Artikel behandelt alle Arten und Eigenschaften von Winkeln in der Planimetrie.

Definition und Messung

Beginnen Sie zu studieren, bestimmen Sie zuerst, was ist ein winkel in der Planimetrie.

Wenn wir einen bestimmten Punkt in der Ebene nehmen und daraus zwei beliebige Strahlen zeichnen, erhalten wir eine geometrische Figur - einen Winkel, der aus folgenden Elementen besteht:

• der Scheitelpunkt - der Punkt, von dem aus die Strahlen gezogen wurden, wird durch einen Großbuchstaben des lateinischen Alphabets angezeigt;
• die Seiten sind Halblinien von oben gezeichnet.

Alle Elemente, die die Figur bilden, die wir betrachten, unterteilen die Ebene zwei Teile:

• intern - in der Planimetrie überschreitet 180 Grad nicht;
• extern.

Das Prinzip der Winkelmessung in der Planimetrie intuitiv erklärt. Zunächst werden die Schüler in das Konzept des entwickelten Winkels eingeführt.

Wichtig! Ein Winkel ist entwickelt, wenn die von seinem Scheitelpunkt ausgehenden Halblinien eine Gerade bilden. In allen anderen Fällen handelt es sich um einen ungefalteten Winkel.

Wenn es in 180 gleiche Teile geteilt wird, ist es üblich, das Maß eines Teils gleich 10 zu betrachten. In diesem Fall sagen sie, dass die Messung in Grad erfolgt und das Gradmaß einer solchen Figur 180 Grad beträgt.

Haupttypen

Die Winkeltypen werden nach Kriterien wie Gradmaß, Art ihrer Bildung und den unten aufgeführten Kategorien unterteilt.

Nach Größe

Angesichts der Größe werden die Winkel unterteilt in:

• eingesetzt;
• gerade;
• unverblümt;
• würzig.

Welcher Winkel als eingesetzt bezeichnet wird, wurde oben dargestellt. Lassen Sie uns das Konzept einer geraden Linie definieren.

Es kann erhalten werden, indem der Einsatz in zwei gleiche Teile geteilt wird. In diesem Fall ist die Frage leicht zu beantworten: ein rechter Winkel, wie viel Grad hat er?

Teilen Sie 180 Grad durch 2, um zu erhalten rechter Winkel ist 90 Grad. Dies ist eine wunderbare Figur, da viele Tatsachen in der Geometrie damit verbunden sind.

Es hat auch seine eigenen Merkmale in der Bezeichnung. Um einen rechten Winkel in der Figur darzustellen, wird er nicht durch einen Bogen, sondern durch ein Quadrat angezeigt.

Die Winkel, die man durch Teilung eines beliebigen Strahls durch eine Gerade erhält, nennt man spitz. Nach der Logik der Dinge folgt daraus, dass ein spitzer Winkel kleiner als ein rechter Winkel ist, aber sein Maß von 0 Grad verschieden ist. Das heißt, es hat einen Wert von 0 bis 90 Grad.

Ein stumpfer Winkel ist größer als ein rechter Winkel, aber kleiner als ein gerader Winkel. Sein Gradmaß variiert von 90 bis 180 Grad.

Dieses Element kann in verschiedene Arten von betrachteten Figuren unterteilt werden, mit Ausnahme der erweiterten.

Unabhängig davon, wie der nicht gedrehte Winkel gebrochen wird, wird immer das grundlegende Axiom der Planimetrie verwendet - „die Haupteigenschaft der Messung“.

Beim Teilen des Winkels mit einem Strahl oder mehrere, das Gradmaß einer gegebenen Figur ist gleich der Summe der Maße der Winkel, in die es unterteilt ist.

Auf der Ebene der 7. Klasse enden dort die Winkelarten in ihrer Größenordnung. Aber um die Gelehrsamkeit zu erhöhen, kann hinzugefügt werden, dass es andere Varietäten gibt, die ein Gradmaß von mehr als 180 Grad haben und konvex genannt werden.

Figuren am Schnittpunkt von Linien

Die nächsten Arten von Winkeln, die den Schülern vorgestellt werden, sind die Elemente, die entstehen, wenn sich zwei Linien schneiden. Figuren, die einander gegenüber stehen, werden als vertikal bezeichnet. Ihr Unterscheidungsmerkmal ist, dass sie gleich sind.

Elemente, die an dieselbe Linie angrenzen, heißen benachbart. Das besagt der Satz, der ihre Eigenschaft abbildet Benachbarte Winkel addieren sich zu 180 Grad.

Elemente in einem Dreieck

Wenn wir die Figur als Element in einem Dreieck betrachten, werden die Winkel in Innen- und Außenwinkel unterteilt. Das Dreieck wird von drei Segmenten begrenzt und besteht aus drei Eckpunkten. Die Winkel innerhalb des Dreiecks an jeder Ecke, intern genannt.

Wenn wir ein beliebiges inneres Element an einem beliebigen Scheitelpunkt nehmen und eine beliebige Seite verlängern, wird der Winkel, der gebildet wird und an den inneren angrenzt, als äußerer Winkel bezeichnet. Dieses Elementpaar hat die folgende Eigenschaft: Ihre Summe beträgt 180 Grad.

Schnittpunkt zweier Geraden

Schnittpunkt der Linie

Wenn sich zwei Geraden schneiden, werden auch Winkel gebildet, die normalerweise paarweise verteilt sind. Jedes Elementpaar hat einen eigenen Namen. Es sieht aus wie das:

• innen gekreuzt: ∟4 und ∟6, ∟3 und ∟5;
• innen einseitig: ∟4 und ∟5, ∟3 und ∟6;
• entsprechend: ∟1 und ∟5, ∟2 und ∟6, ∟4 und ∟8, ∟3 und ∟7.

Wenn eine Sekante zwei schneidet