Betrachten Sie die Projektionen von Punkten auf zwei Ebenen, für die wir zwei senkrechte Ebenen nehmen (Abb. 4), die wir die horizontalen Frontal- und Ebenen nennen. Die Schnittlinie dieser Ebenen wird als Projektionsachse bezeichnet. Wir projizieren einen Punkt A mit einer flachen Projektion auf die betrachteten Ebenen. Dazu müssen die Senkrechten Aa und A vom gegebenen Punkt auf die betrachteten Ebenen abgesenkt werden.

Projektion auf eine horizontale Ebene heißt Draufsicht Punkte SONDERN, und die Projektion a? auf der Frontalebene heißt Frontprojektion.

Punkte, die in der darstellenden Geometrie projiziert werden sollen, werden üblicherweise mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet. A, B, C. Kleine Buchstaben werden verwendet, um horizontale Projektionen von Punkten zu bezeichnen. a, b, c... Frontalprojektionen sind in kleinen Buchstaben mit einem Strich oben gekennzeichnet a?, b?, c?…

Die Bezeichnung von Punkten mit römischen Ziffern I, II, ... wird ebenfalls verwendet, und für ihre Projektionen - mit arabischen Ziffern 1, 2 ... und 1?, 2? ...

Dreht man die horizontale Ebene um 90°, erhält man eine Zeichnung, bei der beide Ebenen in einer Ebene liegen (Abb. 5). Dieses Bild heißt Punktdiagramm.

Durch senkrechte Linien Ah und Ah? Zeichnen Sie ein Flugzeug (Abb. 4). Die resultierende Ebene ist senkrecht zu den frontalen und horizontalen Ebenen, da sie Senkrechte zu diesen Ebenen enthält. Daher steht diese Ebene senkrecht zur Schnittlinie der Ebenen. Die resultierende Gerade schneidet die horizontale Ebene in einer geraden Linie äh x und die Frontalebene - in einer geraden Linie hm? X. Gerade aah und hm? x stehen senkrecht auf der Schnittachse der Ebenen. Also Aaah? ist ein Rechteck.

Beim Kombinieren der horizontalen und frontalen Projektionsebene a und a? wird auf einer Senkrechten zur Schnittachse der Ebenen liegen, da, wenn sich die horizontale Ebene dreht, die Rechtwinkligkeit der Segmente äh x und hm? x ist nicht kaputt.

Das bekommen wir auf dem Projektionsdiagramm a und a? Irgendwann SONDERN liegen immer auf derselben Senkrechten zur Schnittachse der Ebenen.

Zwei Vorsprünge a und a? eines Punktes A seine Position im Raum eindeutig bestimmen kann (Abb. 4). Dies wird durch die Tatsache bestätigt, dass beim Konstruieren einer Senkrechten von der Projektion a zur horizontalen Ebene diese durch den Punkt A verläuft. Ebenso die Senkrechte von der Projektion a? zur Frontalebene wird durch den Punkt gehen SONDERN, d. h. Punkt SONDERN liegt gleichzeitig auf zwei bestimmten Linien. Punkt A ist ihr Schnittpunkt, d.h. er ist eindeutig.

Betrachten Sie ein Rechteck Aaa X a?(Abb. 5), für die folgende Aussagen gelten:

1) Punktabstand SONDERN von der Frontalebene ist gleich dem Abstand ihrer horizontalen Projektion a von der Schnittachse der Ebenen, d.h.

Ah? = äh X;

2) Punktabstand SONDERN von der horizontalen Projektionsebene ist gleich dem Abstand seiner frontalen Projektion a? von der Schnittachse der Ebenen, d.h.

Ah = hm? X.

Mit anderen Worten, auch ohne den Punkt selbst auf dem Diagramm können Sie nur anhand seiner beiden Projektionen herausfinden, in welcher Entfernung von jeder der Projektionsebenen sich dieser Punkt befindet.

Der Schnittpunkt zweier Projektionsebenen teilt den Raum in vier Teile, die sog Viertel(Abb. 6).

Die Schnittachse der Ebenen teilt die horizontale Ebene in zwei Viertel - die vordere und hintere und die vordere Ebene - in das obere und das untere Viertel. Als Grenzen des ersten Viertels gelten der obere Teil der Frontalebene und der vordere Teil der Horizontalebene.

Nach Erhalt des Diagramms dreht sich die horizontale Ebene und fällt mit der Frontalebene zusammen (Abb. 7). In diesem Fall fällt die Vorderseite der horizontalen Ebene mit der Unterseite der Frontalebene zusammen und die Rückseite der Horizontalebene mit der Oberseite der Frontalebene.

Die Abbildungen 8-11 zeigen die Punkte A, B, C, D, die sich in verschiedenen Vierteln des Raums befinden. Punkt A liegt im ersten Viertel, Punkt B im zweiten, Punkt C im dritten und Punkt D im vierten.

Wenn sich die Punkte im ersten oder vierten Viertel ihrer befinden horizontale Projektionen befinden sich auf der Vorderseite der horizontalen Ebene, und auf dem Diagramm liegen sie unter der Schnittachse der Ebenen. Wenn sich ein Punkt im zweiten oder dritten Viertel befindet, liegt seine horizontale Projektion auf der Rückseite der horizontalen Ebene und auf dem Diagramm über der Schnittachse der Ebenen.

Projektionen von vorne Punkte, die sich im ersten oder zweiten Viertel befinden, liegen im oberen Teil der Frontalebene und im Diagramm über der Schnittachse der Ebenen. Wenn sich ein Punkt im dritten oder vierten Viertel befindet, liegt seine Frontalprojektion unterhalb der Schnittachse der Ebenen.

In realen Konstruktionen wird die Figur meistens im ersten Viertel des Raums platziert.

In einigen besonderen Fällen ist der Punkt ( E) kann auf einer horizontalen Ebene liegen (Abb. 12). In diesem Fall fallen seine horizontale Projektion e und der Punkt selbst zusammen. Die Frontalprojektion eines solchen Punktes liegt auf der Achse des Schnittpunkts der Ebenen.

In dem Fall, wo der Punkt Zu liegt auf der Frontalebene (Abb. 13), seine horizontale Projektion k liegt auf der Schnittachse der Ebenen und der Frontal k? zeigt die tatsächliche Position dieses Punktes.

Für solche Punkte ist das Zeichen, dass er auf einer der Projektionsebenen liegt, dass eine seiner Projektionen auf der Schnittachse der Ebenen liegt.

Liegt ein Punkt auf der Schnittachse der Projektionsebenen, fallen er und seine beiden Projektionen zusammen.

Wenn ein Punkt nicht auf den Projektionsebenen liegt, wird er aufgerufen Punkt der allgemeinen Position. Wenn es im Folgenden keine besonderen Merkmale gibt, handelt es sich bei dem betrachteten Punkt um einen Punkt in allgemeiner Position.

2. Fehlende Projektionsachse

Um zu erklären, wie man am Modell Projektionen eines Punktes auf senkrechte Projektionsebenen erhält (Abb. 4), muss man ein dickes Stück Papier in Form eines länglichen Rechtecks ​​nehmen. Es muss zwischen Vorsprüngen gebogen werden. Die Faltlinie zeigt die Achse des Schnittpunkts der Ebenen. Richtet man danach das gebogene Stück Papier wieder gerade, erhalten wir ein Diagramm ähnlich dem in der Abbildung gezeigten.

Wenn Sie zwei Projektionsebenen mit der Zeichenebene kombinieren, können Sie die Faltlinie nicht anzeigen, d. H. Zeichnen Sie die Schnittachse der Ebenen nicht in das Diagramm ein.

Beim Konstruieren auf einem Diagramm sollten Sie immer Projektionen platzieren a und a? Punkt A auf einer vertikalen Linie (Abb. 14), die senkrecht zur Schnittachse der Ebenen steht. Daher kann, selbst wenn die Lage der Schnittachse der Ebenen undefiniert bleibt, ihre Richtung aber bestimmt ist, die Schnittachse der Ebenen nur senkrecht auf der geraden Linie im Diagramm stehen Ah?.

Wenn auf dem Punktdiagramm keine Projektionsachse vorhanden ist, wie in der ersten Abbildung 14 a, kann man sich die Lage dieses Punktes im Raum vorstellen. Zeichnen Sie dazu an einer beliebigen Stelle senkrecht zur Linie Ah? Projektionsachse, wie in der zweiten Abbildung (Abb. 14), und biegen Sie die Zeichnung entlang dieser Achse. Wenn wir die Senkrechten an den Punkten wiederherstellen a und a? bevor sie sich schneiden, können Sie einen Punkt bekommen SONDERN. Wenn die Position der Projektionsachse geändert wird, werden unterschiedliche Positionen des Punktes relativ zu den Projektionsebenen erhalten, aber die Unsicherheit der Position der Projektionsachse wirkt sich nicht auf die relative Position mehrerer Punkte oder Figuren im Raum aus.

3. Projektionen eines Punktes auf drei Projektionsebenen

Betrachten Sie die Profilebene von Projektionen. Projektionen auf zwei senkrechte Ebenen bestimmen normalerweise die Position der Figur und ermöglichen es, ihre tatsächlichen Abmessungen und ihre Form herauszufinden. Aber es gibt Zeiten, in denen zwei Projektionen nicht ausreichen. Wenden Sie dann die Konstruktion der dritten Projektion an.

Die dritte Projektionsebene wird so ausgeführt, dass sie gleichzeitig senkrecht zu beiden Projektionsebenen steht (Abb. 15). Die dritte Ebene wird aufgerufen Profil.

Bei solchen Konstruktionen wird die gemeinsame Linie der horizontalen und frontalen Ebene genannt Achse X , die gemeinsame Linie der Horizontal- und Profilebene - Achse beim , und die gemeinsame gerade Linie der Frontal- und Profilebene - Achse z . Punkt Ö, der zu allen drei Ebenen gehört, heißt Ursprungspunkt.

Abbildung 15a zeigt den Punkt SONDERN und drei seiner Projektionen. Projektion auf die Profilebene ( a??) werden genannt Profilprojektion und bezeichnen a??.

Um ein Diagramm von Punkt A zu erhalten, das aus drei Projektionen besteht a, ein a, ist es notwendig, den von allen Ebenen gebildeten Trieder entlang der y-Achse zu schneiden (Abb. 15b) und alle diese Ebenen mit der Ebene der Frontalprojektion zu kombinieren. Die horizontale Ebene muss um die Achse gedreht werden X, und die Profilebene liegt in der Nähe der Achse z in die durch den Pfeil in Abbildung 15 angezeigte Richtung.

Abbildung 16 zeigt die Position der Vorsprünge äh, hm? und a?? Punkte SONDERN, die sich aus der Kombination aller drei Ebenen mit der Zeichenebene ergibt.

Durch den Schnitt tritt die y-Achse im Diagramm an zwei verschiedenen Stellen auf. Auf einer horizontalen Ebene (Abb. 16) nimmt es eine vertikale Position (senkrecht zur Achse) ein X) und auf der Profilebene - horizontal (senkrecht zur Achse z).

Abbildung 16 zeigt drei Projektionen äh, hm? und a?? Die Punkte A haben eine fest definierte Position auf dem Diagramm und unterliegen eindeutigen Bedingungen:

a und a? müssen immer auf einer vertikalen Geraden senkrecht zur Achse liegen X;

a? und a?? müssen sich immer auf der gleichen horizontalen Linie senkrecht zur Achse befinden z;

3) wenn durch eine horizontale Projektion und eine horizontale Linie gezogen, aber durch eine Profilprojektion a??- eine vertikale gerade Linie, die konstruierten Linien schneiden sich notwendigerweise auf der Winkelhalbierenden des Winkels zwischen den Projektionsachsen, da die Figur Oa beim a 0 a n ist ein Quadrat.

Bei der Konstruktion von drei Projektionen eines Punktes muss die Erfüllung aller drei Bedingungen für jeden Punkt überprüft werden.

4. Punktkoordinaten

Die Position eines Punktes im Raum kann anhand von drei Zahlen bestimmt werden, die als seine bezeichnet werden Koordinaten. Jede Koordinate entspricht dem Abstand eines Punktes von einer Projektionsebene.

Punktabstand SONDERN zur Profilebene ist die Koordinate X, dabei X = hm?(Abb. 15), der Abstand zur Frontalebene - durch die Koordinate y und y = hm?, und der Abstand zur horizontalen Ebene ist die Koordinate z, dabei z = aA.

In Abbildung 15 nimmt Punkt A die Breite eines rechteckigen Kastens ein, und die Maße dieses Kastens entsprechen den Koordinaten dieses Punktes, d. h. jede der Koordinaten ist in Abbildung 15 viermal dargestellt, d. h.:

x \u003d a? A \u003d Oa x \u003d a y a \u003d a z a?;

y \u003d a? A \u003d Oa y \u003d a x a \u003d a z a?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

Auf dem Diagramm (Abb. 16) kommen die x- und z-Koordinaten dreimal vor:

x \u003d a z a? \u003d Oa x \u003d a y a,

z = ein x ein? = Oa z = a y a?.

Alle Segmente, die der Koordinate entsprechen X(oder z) sind parallel zueinander. Koordinate beim zweimal dargestellt durch die vertikale Achse:

y \u003d Oa y \u003d a x a

und zweimal - horizontal angeordnet:

y \u003d Oa y \u003d a z a?.

Dieser Unterschied entstand aufgrund der Tatsache, dass die y-Achse im Diagramm an zwei verschiedenen Positionen vorhanden ist.

Es sei darauf hingewiesen, dass die Position jeder Projektion auf dem Diagramm nur durch zwei Koordinaten bestimmt wird, nämlich:

1) horizontal - Koordinaten X und beim,

2) frontal - Koordinaten x und z,

3) Profil - Koordinaten beim und z.

Verwendung von Koordinaten x, y und z, können Sie Projektionen eines Punktes im Diagramm erstellen.

Wenn Punkt A durch Koordinaten gegeben ist, ist ihr Datensatz wie folgt definiert: A ( X; ja; z).

Beim Konstruieren von Punktprojektionen SONDERN Folgende Bedingungen müssen überprüft werden:

1) horizontale und frontale Projektionen a und a? X X;

2) Frontal- und Profilprojektionen a? und a? sollte sich auf der gleichen Senkrechten zur Achse befinden z, da sie eine gemeinsame Koordinate haben z;

3) horizontale Projektion und auch von der Achse entfernt X, wie die Profilprojektion a weg von der Achse z, da die Projektion ah? und hä? haben eine gemeinsame Koordinate beim.

Wenn der Punkt in einer der Projektionsebenen liegt, dann ist eine seiner Koordinaten gleich Null.

Wenn ein Punkt auf der Projektionsachse liegt, sind seine beiden Koordinaten Null.

Wenn ein Punkt im Ursprung liegt, sind alle drei seiner Koordinaten Null.

PUNKTPROJEKTIONEN.

ORTHOGONALES SYSTEM ZWEI EBENEN VON PROJEKTIONEN.

Das Wesen des orthogonalen Projektionsverfahrens liegt in der Tatsache, dass das Objekt auf zwei zueinander senkrechte Ebenen durch zu diesen Ebenen orthogonale (senkrechte) Strahlen projiziert wird.

Eine der Projektionsebenen H wird horizontal platziert und die andere V wird vertikal platziert. Ebene H wird als horizontale Projektionsebene V - frontal bezeichnet. Die Ebenen H und V sind unendlich und undurchsichtig. Die Schnittlinie der Projektionsebenen wird als Koordinatenachse bezeichnet und bezeichnet OCHSE. Projektionsebenen teilen den Raum in vier Flächenwinkel – Viertel.

Bei orthogonalen Projektionen wird angenommen, dass sich der Beobachter im ersten Viertel in unendlich großem Abstand von den Projektionsebenen befindet. Da diese Ebenen undurchsichtig sind, sind für den Betrachter nur die Punkte, Linien und Figuren sichtbar, die sich innerhalb desselben ersten Viertels befinden.

Bei der Erstellung von Projektionen ist dies zu beachten Punktorthogonale Projektionauf einer Ebene heißt die Basis der von einem gegebenen Punkt fallenden Senkrechtenzu diesem Flugzeug.

Die Abbildung zeigt den Punkt SONDERN und seine orthogonalen Projektionen eine 1 und eine 2 .

Punkt eine 1 namens Draufsicht Punkte SONDERN, Punkt eine 2- Sie Frontprojektion. Jeder von ihnen ist die Basis der vom Punkt fallenden Senkrechten SONDERN jeweils im Flugzeug H und v.

Das lässt sich belegen Punktprojektionimmer auf geraden Linien, senkrechtkulare AchseOH und diese Achse kreuzenam gleichen Punkt. In der Tat, projizierende Strahlen SONDERNeine 1 und SONDERNeine 2 Definieren Sie eine Ebene senkrecht zu den Projektionsebenen und den Linien ihrer Schnittpunkte - Achsen OH. Diese Ebene schneidet H und v in geraden Linien ein 1 einx und ein 1 einx, die sich mit der Achse bilden OCHSE und untereinander rechte Winkel mit einem Scheitelpunkt ax.

Das Gegenteil gilt auch, d.h. wenn Punkte auf den Projektionsebenen gegeben sinda 1 und a 2 , befinden sich auf geraden Linien, die sich schneiden Achse OCHSEan dieser Stelle im rechten Winkel,dann sind sie Projektionen von einigenPunkte A. Dieser Punkt wird durch den Schnittpunkt der aus den Punkten konstruierten Senkrechten bestimmt a 1 und a 2 zu Flugzeugen H und v.

Beachten Sie, dass die Position der Projektionsebenen im Raum unterschiedlich sein kann. Beispielsweise können beide Ebenen, die zueinander senkrecht stehen, vertikal sein, aber in diesem Fall bleibt die obige Annahme über die Orientierung von gegenüberliegenden Projektionen von Punkten relativ zur Achse gültig.

Um eine flache Zeichnung zu erhalten, die aus den obigen Projektionen, der Ebene, besteht H durch Drehung um eine Achse ausgerichtet OCHSE mit Flugzeug v wie durch die Pfeile in der Figur gezeigt. Dadurch wird die vordere Halbebene H wird mit der unteren Halbebene ausgerichtet v, und die hintere Halbebene H- mit oberer Halbebene v.

Eine Projektionszeichnung, bei der die Projektionsflächen mit allem, was darauf abgebildet ist, auf bestimmte Weise miteinander kombiniert werden, nennt man Diagramm(aus dem französischen epure - Zeichnung). Die Abbildung zeigt ein Diagramm eines Punktes SONDERN.

Mit dieser Methode zum Kombinieren von Flugzeugen H und v Projektionen a 1 und a 2 wird auf der gleichen Senkrechten zur Achse liegen OCHSE. Gleichzeitig die Distanz a 1 ein x — von der horizontalen Projektion des Punktes auf die Achse OCHSE SONDERN bis zum Flugzeug v, und die Entfernung a 2 ein x — von der Frontalprojektion des Punktes zur Achse OCHSE gleich der Entfernung vom Punkt SONDERN bis zum Flugzeug H.

Gerade Linien, die gegenüberliegende Projektionen eines Punktes im Diagramm verbinden, vereinbaren wir zu nennen Projektionskommunikationsleitungen.

Die Position der Projektionen von Punkten auf dem Diagramm hängt von dem Viertel ab, in dem sich der gegebene Punkt befindet. Also wenn der Punkt BEIM im zweiten Viertel befindet, dann liegen nach der Ausrichtung der Ebenen beide Projektionen über der Achse OCHSE.

Wenn Punkt Mit im dritten Viertel ist, dann wird seine horizontale Projektion nach dem Kombinieren der Ebenen über der Achse sein und die Frontalprojektion wird unter der Achse sein OCHSE. Schließlich, wenn der Punkt D sich im vierten Viertel befinden, dann befinden sich seine beiden Projektionen unter der Achse OCHSE. Die Abbildung zeigt die Punkte M und N auf den Projektionsebenen liegen. In dieser Position fällt der Punkt mit einer seiner Projektionen zusammen, während sich herausstellt, dass seine andere Projektion auf der Achse liegt OCHSE. Dieses Merkmal spiegelt sich auch in der Bezeichnung wider: In der Nähe der Projektion, mit der der Punkt selbst zusammenfällt, wird ein Großbuchstabe ohne Index geschrieben.

Es sollte auch beachtet werden, dass der Fall vorliegt, wenn beide Projektionen des Punktes zusammenfallen. Dies geschieht, wenn der Punkt im zweiten oder vierten Viertel im gleichen Abstand von den Projektionsebenen liegt. Beide Projektionen werden mit dem Punkt selbst kombiniert, wenn dieser auf der Achse liegt OCHSE.

ORTHOGONALES SYSTEM VON DREI EBENEN VON PROJEKTIONEN.

Oben wurde gezeigt, dass zwei Projektionen eines Punktes seine Position im Raum bestimmen. Da jede Figur oder jeder Körper eine Sammlung von Punkten ist, kann argumentiert werden, dass zwei orthogonale Projektionen eines Objekts (bei Vorhandensein von Buchstabenbezeichnungen) seine Form vollständig bestimmen.

In der Praxis der Darstellung von Gebäudestrukturen, Maschinen und verschiedenen technischen Strukturen wird es jedoch erforderlich, zusätzliche Projektionen zu erstellen. Sie tun dies ausschließlich zu dem Zweck, die Projektionszeichnung klarer und lesbarer zu machen.

Das Modell der drei Projektionsebenen ist in der Abbildung dargestellt. Die dritte Ebene, senkrecht und H und v, gekennzeichnet durch den Buchstaben W und angerufen Profil.

Die Projektionen von Punkten auf diese Ebene werden auch als Profil bezeichnet und mit Großbuchstaben oder Zahlen mit dem Index 3 bezeichnet (ah,bh,ch, ...1h, 2h, 3 3 ...).

Projektionsebenen, die sich paarweise schneiden, definieren drei Achsen: ÖX, ÖY und ÖZ, das als rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem im Raum mit dem Ursprung im Punkt O betrachtet werden kann. Das in der Abbildung angegebene Zeichensystem entspricht dem „rechten Koordinatensystem“.

Drei Projektionsebenen teilen den Raum in acht dreiflächige Winkel - das sind die sogenannten Oktanten. Die Nummerierung der Oktanten ist in der Figur angegeben.

Um eine Handlung eines Flugzeugs zu bekommen H und W Drehen Sie es wie in der Abbildung gezeigt, bis es mit der Ebene ausgerichtet ist v. Als Ergebnis der Drehung die vordere Halbebene H stellt sich als mit der unteren Halbebene ausgerichtet heraus v, und die hintere Halbebene H- mit oberer Halbebene v. Bei Drehung um 90° um die Achse ÖZ vordere Halbebene W fällt mit der rechten Halbebene zusammen v, und die hintere Halbebene W- mit der linken Halbebene v.

Die endgültige Ansicht aller kombinierten Projektionsebenen ist in der Abbildung angegeben. In dieser Zeichnung die Achsen ÖX und ÖZ, in einer festen Ebene liegen v, werden nur einmal angezeigt, und die Achse ÖY zweimal gezeigt. Dies erklärt sich aus der Tatsache, dass sich mit der Ebene dreht H, Achse ÖY auf dem Diagramm ist mit der Achse ausgerichtet ÖZ, beim Rotieren mit dem Flugzeug W, ist dieselbe Achse mit der Achse ausgerichtet ÖX.

Künftig werden bei der Bezeichnung der Achsen im Diagramm die negativen Halbachsen (- ÖX, — ÖY, — ÖZ) wird nicht angezeigt.

DREI KOORDINATEN UND DREI PROJEKTIONEN EINES PUNKTES UND SEINES RADIUS-VEKTORS.

Koordinaten sind Zahlen, diein Übereinstimmung mit einem zu bestimmenden Punkt setzenniya seiner Position im Raum oder aufOberflächen.

Im dreidimensionalen Raum wird die Position eines Punktes durch rechtwinklige kartesische Koordinaten festgelegt x, y und z.

Koordinate X namens Abszisse, beim— Ordinate und z — Applikationen. Abszisse X definiert den Abstand von einem gegebenen Punkt zu einer Ebene W, Ordinate ja - bis zum Flugzeug v und Applikation z - bis zum Flugzeug H. Nachdem wir das in der Abbildung gezeigte System zum Zählen der Koordinaten eines Punktes übernommen haben, erstellen wir eine Tabelle mit Koordinatenzeichen in allen acht Oktanten. Jeder Punkt im Raum SONDERN, durch Koordinaten gegeben, werden wie folgt bezeichnet: EIN(x, y,z).

Wenn x = 5, y = 4 und z = 6, dann hat der Eintrag die folgende Form SONDERN(5, 4, 6). Dieser Punkt SONDERN, dessen Koordinaten alle positiv sind, liegt im ersten Oktanten

Punktkoordinaten SONDERN sind zugleich die Koordinaten seines Radiusvektors

OA bezüglich des Koordinatenursprungs. Wenn ein ich, j, k sind Einheitsvektoren, die jeweils entlang der Koordinatenachsen gerichtet sind x, y,z(Bild), dann

OA =ÖA x i+OAjj + OAzk , wo OA X, OA U, OA g - Vektorkoordinaten OA

Es wird empfohlen, die Konstruktion des Bildes des Punktes selbst und seiner Projektionen auf ein räumliches Modell (Abbildung) unter Verwendung eines rechteckigen Parallelepipeds mit Koordinaten durchzuführen. Zunächst auf den Koordinatenachsen vom Punkt aus Ö abgesetzte Segmente jeweils gleich 5, 4 und 6 Längeneinheiten. Auf diesen Segmenten (Öein x , Öein j , Öein z ), Bauen Sie wie an den Kanten ein rechteckiges Parallelepiped. Sein Scheitelpunkt gegenüber dem Ursprung bestimmt den gegebenen Punkt SONDERN. Es ist leicht, das zu sehen, um den Punkt zu bestimmen SONDERN es genügt beispielsweise, nur drei Kanten des Parallelepipeds zu konstruieren Öein x , ein x ein 1 und a 1 SONDERN oder Öein j , a ja 1 und a 1 EIN usw. Diese Kanten bilden eine Koordinatenpolylinie, deren Länge durch die entsprechende Koordinate des Punktes bestimmt wird.

Die Konstruktion eines Parallelepipeds ermöglicht es uns jedoch, nicht nur den Punkt zu bestimmen SONDERN, sondern auch alle drei seiner orthogonalen Projektionen.

Strahlen, die einen Punkt auf eine Ebene projizieren H, v, W sind die drei Kanten des Parallelepipeds, die sich an diesem Punkt schneiden SONDERN.

Jede der orthogonalen Projektionen des Punktes SONDERN, auf einer Ebene liegend, wird durch nur zwei Koordinaten bestimmt.

Ja, die horizontale Projektion a 1 durch Koordinaten bestimmt X und y, Frontprojektion a 2 - Koordinaten x undz, Profilprojektion a 3 — Koordinaten beim und z. Aber zwei beliebige Projektionen werden durch drei Koordinaten bestimmt. Aus diesem Grund entspricht die Angabe eines Punktes mit zwei Projektionen der Angabe eines Punktes mit drei Koordinaten.

Auf dem Diagramm (Abbildung), wo alle Projektionsebenen kombiniert sind, die Projektionen a 1 und a 2 wird auf der gleichen senkrecht zur Achse sein ÖX, und Projektionen a 2 und a 3 — eine senkrecht zur Achse oz.

Apropos Projektionen a 1 und a 3 , dann werden sie durch gerade Linien verbunden a 1 ein j und a 3 ein j , senkrecht zur Achse ÖY. Aber da diese Achse zwei Positionen im Diagramm einnimmt, das Segment a 1 ein j kann keine Fortsetzung eines Segments sein a 3 ein j .

Konstruktion von Punktprojektionen A (5, 4, 6) Auf dem Diagramm an den angegebenen Koordinaten werden sie in der folgenden Reihenfolge ausgeführt: Zunächst wird auf der Abszissenachse vom Ursprung ein Segment gelegt Öein x = x(in unserem Fall x=5), dann durch den Punkt ein x senkrecht zur Achse zeichnen ÖX, auf dem wir unter Berücksichtigung der Vorzeichen die Segmente verschieben ein x ein 1 = j(wir bekommen a 1 ) und ein x ein 2 = z(wir bekommen a 2 ). Es bleibt die Profilprojektion des Punktes zu konstruieren a 3 . Da die Profil- und Frontalprojektionen des Punktes auf der gleichen Senkrechten zur Achse liegen müssen oz , dann durch a 3 Direkte a 2 ein z ^ oz.

Schließlich stellt sich die letzte Frage: in welcher Entfernung von der Achse ÖZ sollte eine 3 sein?

Betrachten Sie die Koordinatenbox (siehe Abbildung), deren Kanten ein z ein 3 =O ein j = ein x ein 1 = j Wir schließen daraus, dass die gewünschte Entfernung ein z ein 3 gleich j. Liniensegment ein z ein 3 rechts von der OZ-Achse beiseite legen, wenn y > 0, und links, wenn y

Mal sehen, welche Änderungen im Diagramm auftreten, wenn der Punkt beginnt, seine Position im Raum zu ändern.

Lassen Sie zum Beispiel einen Punkt A (5, 4, 6) bewegt sich in einer geraden Linie senkrecht zur Ebene v. Bei einer solchen Bewegung ändert sich nur eine Koordinate y, Zeigt die Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene an v. Die Koordinaten bleiben konstant. x undz , und die Projektion des durch diese Koordinaten definierten Punktes, d.h. a 2 wird seine Position nicht ändern.

Apropos Projektionen a 1 und a 3 , dann beginnt der erste, sich der Achse zu nähern ÖX, die zweite - zur Achse ÖZ. In den Figuren entspricht die neue Position des Punktes den Bezeichnungen a 1 (a 1 1 a 2 1 a 3 1 ). Wenn der Punkt auf der Ebene liegt v(y = 0), zwei der drei Projektionen ( a 1 2 und a 3 2 ) liegen auf den Achsen.

Ausgezogen von ich Oktant ein II, bewegt sich der Punkt von der Ebene weg v, Koordinate beim negativ wird, steigt sein absoluter Wert. Die horizontale Projektion dieses Punktes befindet sich auf der hinteren Halbebene H, auf dem Diagramm wird über der Achse sein ÖX, und der Profilvorsprung, der sich auf der hinteren Halbebene befindet W, befindet sich im Diagramm links von der Achse ÖZ. Wie immer schneiden ein za 3 3 = j.

In den folgenden Diagrammen werden wir die Schnittpunkte der Koordinatenachsen mit den Linien der Projektionsverbindung nicht mit Buchstaben bezeichnen. Dies vereinfacht die Zeichnung etwas.

In Zukunft wird es Diagramme ohne Koordinatenachsen geben. Dies geschieht in der Praxis bei der Darstellung von Objekten, wenn nur das Bild selbst ist wesentlichObjekt, nicht seine Position relativ zuProjektionsebenen.

Die Projektionsebenen werden in diesem Fall nur bis zur Paralleltranslation genau bestimmt (Bild). Sie werden normalerweise so parallel zu sich selbst verschoben, dass alle Punkte des Objekts über der Ebene liegen. H und vor dem Flugzeug v. Da sich die Lage der X 12 -Achse als unbestimmt herausstellt, braucht die Diagrammbildung in diesem Fall nicht mit der Drehung der Ebenen um die Koordinatenachse verbunden zu sein. Beim Umschalten auf ein ebenes Diagramm H und v werden so kombiniert, dass sich gegenüberliegende Projektionen von Punkten auf vertikalen Linien befinden.

Achsenloses Diagramm der Punkte A und B(Bild) nichtbestimmt ihre Position im Raum,erlaubt uns aber, ihre relative Ausrichtung zu beurteilen. Das Segment △x charakterisiert also die Verschiebung des Punktes SONDERN in Bezug auf den Punkt BEIM in einer Richtung parallel zu den Ebenen H und V. Mit anderen Worten, △x gibt an, wie viel der Punkt ist SONDERN befindet sich links vom Punkt BEIM. Der relative Versatz des Punktes in der Richtung senkrecht zur V-Ebene wird durch das Segment △y, d. h. den Punkt, bestimmt Und in in unserem Beispiel näher am Beobachter als am Punkt BEIM, ein Abstand gleich △y.

Schließlich zeigt das Segment △z den Überschuss des Punktes SONDERNüber den Punkt BEIM.

Befürworter des achsenlosen Studiums des Studiengangs Darstellende Geometrie weisen zu Recht darauf hin, dass bei der Lösung vieler Probleme auf Koordinatenachsen verzichtet werden kann. Eine vollständige Ablehnung kann jedoch nicht als zielführend angesehen werden. Die darstellende Geometrie soll den zukünftigen Ingenieur nicht nur auf die kompetente Ausführung von Zeichnungen vorbereiten, sondern auch auf die Lösung verschiedener technischer Probleme, unter denen die Probleme der Raumstatik und -mechanik nicht den letzten Platz einnehmen. Und dazu ist es notwendig, die Fähigkeit zu kultivieren, dieses oder jenes Objekt relativ zu den kartesischen Koordinatenachsen zu orientieren. Diese Fähigkeiten werden auch beim Studium von Abschnitten der darstellenden Geometrie wie Perspektive und Axonometrie benötigt. Daher speichern wir auf einigen Diagrammen in diesem Buch Bilder der Koordinatenachsen. Solche Zeichnungen bestimmen nicht nur die Form des Objekts, sondern auch seine Position relativ zu den Projektionsebenen.

Um Bilder von mehreren Details zu konstruieren, ist es notwendig, die Projektionen einzelner Punkte finden zu können. Beispielsweise ist es schwierig, eine Draufsicht auf das in Abb. 139 ohne horizontale Projektionen der Punkte A, B, C, D, E, F usw. zu erstellen.

Das Problem, die Projektionen von Punkten durch einen gegebenen auf der Oberfläche des Objekts zu finden, wird wie folgt gelöst. Zuerst werden die Projektionen der Oberfläche gefunden, auf der sich der Punkt befindet. Dann wird durch Zeichnen einer Verbindungslinie zu der Projektion, wo die Oberfläche durch eine Linie dargestellt wird, die zweite Projektion des Punktes gefunden. Die dritte Projektion liegt am Schnittpunkt von Kommunikationsleitungen.

Betrachten Sie ein Beispiel.

Es sind drei Projektionen des Teils angegeben (Abb. 140, a). Gegeben ist die horizontale Projektion a des auf der sichtbaren Fläche liegenden Punktes A. Wir müssen die anderen Projektionen dieses Punktes finden.

Zunächst müssen Sie eine Hilfslinie zeichnen. Sind zwei Ansichten gegeben, so wird die Stelle der Hilfslinie in der Zeichnung willkürlich rechts von der Draufsicht gewählt, so dass die linke Ansicht den erforderlichen Abstand zur Hauptansicht hat (Abb. 141).

Wenn bereits drei Ansichten erstellt wurden (Abb. 142, a), kann die Position der Hilfslinie nicht beliebig gewählt werden. Sie müssen den Punkt finden, durch den es gehen wird. Dazu genügt es, bis zum gegenseitigen Schnittpunkt der Horizontal- und Profilprojektionen der Symmetrieachse fortzufahren und durch den resultierenden Punkt k (Abb. 142, b) ein gerades Liniensegment in einem Winkel von 45 ° zu zeichnen, das wird eine Hilfsgerade sein.

Wenn keine Symmetrieachsen vorhanden sind, fahren Sie bis zum Schnittpunkt am Punkt k 1 fort horizontale und Profilprojektionen eines beliebigen Gesichts, das in Form von geraden Liniensegmenten projiziert wird (Abb. 142, b).

Nachdem sie eine Hilfsgerade gezeichnet haben, beginnen sie mit dem Aufbau der Projektionen des Punktes (siehe Abb. 140, b).

Frontal-a"- und Profil-a"-Projektionen von Punkt A müssen auf den entsprechenden Projektionen der Oberfläche, zu der Punkt A gehört, lokalisiert werden. Diese Projektionen werden gefunden. Auf Abb. 140, b sie sind farblich hervorgehoben. Zeichnen Sie Kommunikationslinien wie durch die Pfeile angezeigt. An den Schnittpunkten der Kommunikationslinien mit den Projektionen der Oberfläche werden die gewünschten Projektionen a" und a" gefunden.

Die Konstruktion der Projektionen der Punkte B, C, D ist in Abb. 2 dargestellt. 140, in Kommunikationslinien mit Pfeilen. Die gegebenen Projektionen von Punkten sind farbig. Kommunikationslinien werden zur Projektion gezogen, auf der die Oberfläche als Linie und nicht als Figur dargestellt wird. Daher wird zuerst die Frontalprojektion vom Punkt C gefunden.Die Profilprojektion vom Punkt C wird durch den Schnittpunkt der Kommunikationslinienbestimmt.

Wenn die Oberfläche auf keiner Projektion durch eine Linie dargestellt wird, muss eine Hilfsebene verwendet werden, um die Projektionen von Punkten zu konstruieren. Beispielsweise ist eine Frontalprojektion d des Punktes A gegeben, der auf der Oberfläche eines Kegels liegt (Abb. 143, a). Durch einen zur Basis parallelen Punkt wird eine Hilfsebene gezogen, die den Kegel kreisförmig schneidet; Seine Frontalprojektion ist ein gerades Liniensegment, und seine horizontale Projektion ist ein Kreis mit einem Durchmesser, der der Länge dieses Segments entspricht (Abb. 143, b). Durch Ziehen einer Kommunikationslinie zu diesem Kreis von Punkt a erhält man eine horizontale Projektion von Punkt A.

Die Profilprojektion a" des Punktes A findet sich in üblicher Weise am Schnittpunkt von Kommunikationslinien.

Ebenso kann man die Projektionen eines Punktes finden, der beispielsweise auf der Oberfläche einer Pyramide oder einer Kugel liegt. Wenn eine Pyramide von einer Ebene geschnitten wird, die parallel zur Basis verläuft und durch einen bestimmten Punkt verläuft, wird eine der Basis ähnliche Figur gebildet. Die Projektionen des gegebenen Punktes liegen auf den Projektionen dieser Figur.

Beantworte die Fragen

1. In welchem ​​Winkel wird die Hilfslinie gezeichnet?

2. Wo wird die Hilfslinie gezogen, wenn Front- und Draufsicht gegeben sind, aber eine Ansicht von links aufgebaut werden soll?

3. Wie bestimmt man den Ort der Hilfslinie bei Vorhandensein von drei Typen?

4. Wie werden Projektionen eines Punktes nach einem gegebenen konstruiert, wenn eine der Oberflächen des Objekts durch eine Linie dargestellt wird?

5. Für welche geometrischen Körper und in welchen Fällen werden die Projektionen eines gegebenen Punktes auf ihre Oberfläche mit Hilfe einer Hilfsebene gefunden?

Zuordnungen zu § 20

Übung 68

Schreiben Sie im Arbeitsbuch auf, welche Projektionen der durch Zahlen auf den Ansichten gekennzeichneten Punkte den durch Buchstaben gekennzeichneten Punkten im visuellen Bild in dem Beispiel entsprechen, das Ihnen der Lehrer angegeben hat (Abb. 144, a-d).

Übung 69

Auf Abb. 145 zeigen die Buchstaben a-b nur eine Projektion einiger der Scheitelpunkte an. Finden Sie in dem Beispiel, das Ihnen der Lehrer gegeben hat, die verbleibenden Projektionen dieser Eckpunkte und bezeichnen Sie sie mit Buchstaben. Konstruieren Sie in einem der Beispiele die fehlenden Projektionen von Punkten, die an den Kanten des Objekts angegeben sind (Abb. 145, d und e). Markieren Sie die Projektionen der Kanten, auf denen sich die Punkte befinden, farbig. Erledigen Sie die Aufgabe auf Transparentpapier und legen Sie sie auf die Seite des Lehrbuchs. Abb. 145 muss nicht neu gezeichnet werden.

Übung 70

Finden Sie die fehlenden Projektionen von Punkten, die durch eine Projektion auf den sichtbaren Oberflächen des Objekts gegeben sind (Abb. 146). Beschriften Sie sie mit Buchstaben. Heben Sie die gegebenen Projektionen von Punkten farbig hervor. Ein visuelles Bild hilft Ihnen, das Problem zu lösen. Die Aufgabe kann sowohl in einem Arbeitsbuch als auch auf transparentem Papier erledigt werden, indem es auf die Seite des Lehrbuchs gelegt wird. Zeichnen Sie im letzteren Fall Abb. 146 ist nicht erforderlich.

Übung 71

Zeichnen Sie in dem Beispiel, das Ihnen der Lehrer gegeben hat, drei Typen (Abb. 147). Konstruieren Sie die fehlenden Projektionen der angegebenen Punkte auf die sichtbaren Oberflächen des Objekts. Heben Sie die gegebenen Projektionen von Punkten farbig hervor. Beschriften Sie alle Punktprojektionen. Um Projektionen von Punkten zu erstellen, verwenden Sie eine gerade Hilfslinie. Fertigen Sie eine technische Zeichnung an und markieren Sie die vorgegebenen Punkte darauf.

Ein kurzer Kurs in Darstellender Geometrie

Die Vorlesungen richten sich an Studierende ingenieurwissenschaftlicher und technischer Fachrichtungen

Monge-Methode

Wenn die Angabe über die Entfernung eines Punktes relativ zur Projektionsebene nicht mit Hilfe einer numerischen Markierung, sondern mit Hilfe der zweiten Projektion des Punktes erfolgt, die auf der zweiten Projektionsebene aufgebaut ist, dann heißt die Zeichnung zwei- Bild oder Komplex. Die Grundprinzipien zum Erstellen solcher Zeichnungen werden von G. Monge dargelegt.
Die von Monge dargelegte Methode – die Methode der orthogonalen Projektion, und zwei Projektionen werden auf zwei zueinander senkrechte Projektionsebenen aufgenommen –, die Ausdrucksstärke, Genauigkeit und Lesbarkeit von Bildern von Objekten auf einer Ebene bietet, war und ist die Hauptmethode zum Erstellen technischer Zeichnungen

Abbildung 1.1 Punkt im System der drei Projektionsebenen

Das Modell der drei Projektionsebenen ist in Abbildung 1.1 dargestellt. Die dritte Ebene, senkrecht zu P1 und P2, wird mit dem Buchstaben P3 bezeichnet und als Profilebene bezeichnet. Die Projektionen von Punkten auf diese Ebene werden mit Großbuchstaben oder Zahlen mit dem Index 3 bezeichnet. Die sich paarweise schneidenden Projektionsebenen definieren drei Achsen 0x, 0y und 0z, die als ein System kartesischer Koordinaten im Raum mit dem Ursprung betrachtet werden können am Punkt 0. Drei Projektionsebenen teilen den Raum in acht dreiflächige Winkel - Oktanten. Wie zuvor gehen wir davon aus, dass sich der Betrachter, der das Objekt betrachtet, im ersten Oktanten befindet. Um ein Diagramm zu erhalten, werden die Punkte im System der drei Projektionsebenen der Ebenen P1 und P3 gedreht, bis sie mit der Ebene P2 zusammenfallen. Bei der Bezeichnung von Achsen in einem Diagramm werden negative Halbachsen normalerweise nicht angezeigt. Wenn nur das Bild des Objekts selbst von Bedeutung ist und nicht seine Position relativ zu den Projektionsebenen, werden die Achsen im Diagramm nicht angezeigt. Koordinaten sind Zahlen, die einem Punkt entsprechen, um seine Position im Raum oder auf einer Fläche zu bestimmen. Im dreidimensionalen Raum wird die Position eines Punktes unter Verwendung rechtwinkliger kartesischer Koordinaten x, y und z (Abszisse, Ordinate und Applikate) festgelegt.

Um die Lage einer Geraden im Raum zu bestimmen, gibt es folgende Methoden: 1. Zwei Punkte (A und B). Betrachten Sie zwei Punkte im Raum A und B (Abb. 2.1). Durch diese Punkte können wir eine Gerade ziehen, wir bekommen ein Segment. Um die Projektionen dieses Segments auf die Projektionsebene zu finden, ist es notwendig, die Projektionen der Punkte A und B zu finden und sie mit einer geraden Linie zu verbinden. Jede der Segmentprojektionen auf der Projektionsebene ist kleiner als das Segment selbst:<; <; <.

Abbildung 2.1 Lagebestimmung einer Geraden aus zwei Punkten

2. Zwei Ebenen (a; b). Diese Art des Setzens wird dadurch bestimmt, dass sich zwei nicht parallele Ebenen im Raum auf einer geraden Linie schneiden (diese Methode wird im Laufe der elementaren Geometrie ausführlich behandelt).

3. Punkt und Neigungswinkel zu den Projektionsebenen. Wenn Sie die Koordinaten eines zur Linie gehörenden Punktes und seinen Neigungswinkel zu den Projektionsebenen kennen, können Sie die Position der Linie im Raum finden.

Je nach Lage der Geraden zu den Projektionsebenen kann sie sowohl allgemeine als auch besondere Positionen einnehmen. 1. Eine gerade Linie, die zu keiner Projektionsebene parallel ist, wird als gerade Linie in allgemeiner Position bezeichnet (Abb. 3.1).

2. Geraden parallel zu den Projektionsebenen nehmen eine bestimmte Lage im Raum ein und werden Höhenlinien genannt. Je nachdem, zu welcher Projektionsebene die gegebene Gerade parallel ist, gibt es:

2.1. Direkte Projektionen parallel zur horizontalen Ebene werden Horizontal- oder Höhenlinien genannt (Abb. 3.2).

Abbildung 3.2 Horizontale Gerade

2.2. Direkte Projektionen parallel zur Frontalebene werden frontal oder frontal genannt (Abb. 3.3).

Abbildung 3.3 Frontal gerade

2.3. Direkte Projektionen parallel zur Profilebene werden Profilprojektionen genannt (Abb. 3.4).

Abbildung 3.4 Profil gerade

3. Gerade Linien senkrecht zu den Projektionsebenen werden als Projektion bezeichnet. Eine Linie senkrecht zu einer Projektionsebene ist parallel zu den anderen beiden. Je nachdem, auf welcher Projektionsebene die untersuchte Linie senkrecht steht, ergeben sich:

3.1. Frontal hervorstehende Gerade - AB (Abb. 3.5).

Abbildung 3.5 Vordere Projektionslinie

3.2. Profil projizierende gerade Linie - AB (Abb. 3.6).

Abbildung 3.6 Profilprojektionslinie

3.3. Horizontal vorstehende gerade Linie - AB (Abb. 3.7).

Abbildung 3.7 Horizontal vorstehende Linie

Ebene ist eines der Grundkonzepte der Geometrie. In einer systematischen Darstellung der Geometrie wird meist der Begriff einer Ebene als einer der Ausgangsbegriffe genommen, der nur indirekt durch die Axiome der Geometrie bestimmt wird. Einige charakteristische Eigenschaften einer Ebene: 1. Eine Ebene ist eine Fläche, die alle Linien, die einen ihrer Punkte verbinden, vollständig enthält; 2. Eine Ebene ist eine Menge von Punkten, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind.

Möglichkeiten der grafischen Definition von Ebenen Die Lage einer Ebene im Raum kann bestimmt werden:

1. Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen (Abb. 4.1).

Abbildung 4.1 Ebene definiert durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen

2. Eine Gerade und ein Punkt, der nicht zu dieser Geraden gehört (Abb. 4.2).

Abbildung 4.2 Ebene, die durch eine gerade Linie und einen nicht zu dieser Linie gehörenden Punkt definiert ist

3. Zwei sich schneidende Geraden (Abb. 4.3).

Abbildung 4.3 Ebene definiert durch zwei sich schneidende Geraden

4. Zwei parallele Linien (Abb. 4.4).

Abbildung 4.4 Ebene definiert durch zwei parallele Geraden

Unterschiedliche Lage der Ebene relativ zu den Projektionsebenen

Je nach Lage der Ebene zu den Projektionsebenen kann sie sowohl allgemeine als auch besondere Positionen einnehmen.

1. Eine Ebene, die zu keiner Projektionsebene senkrecht steht, wird als Ebene in allgemeiner Position bezeichnet. Eine solche Ebene schneidet alle Projektionsebenen (hat drei Spuren: - horizontal S 1; - frontal S 2; - Profil S 3). Die Spuren der generischen Ebene schneiden sich paarweise auf den Achsen in den Punkten ax,ay,az. Diese Punkte werden Fluchtpunkte genannt, sie können als Scheitelpunkte der dreiflächigen Winkel angesehen werden, die von der gegebenen Ebene mit zwei der drei Projektionsebenen gebildet werden. Jede der Spuren der Ebene fällt mit ihrer gleichnamigen Projektion zusammen, und die beiden anderen Projektionen mit entgegengesetzten Namen liegen auf den Achsen (Abb. 5.1).

2. Ebenen senkrecht zu den Projektionsebenen - nehmen eine bestimmte Position im Raum ein und werden als Projektion bezeichnet. Je nachdem, auf welcher Projektionsebene die gegebene Ebene senkrecht steht, gibt es:

2.1. Die Ebene senkrecht zur horizontalen Projektionsebene (S ^ П1) wird als horizontal projizierende Ebene bezeichnet. Die horizontale Projektion einer solchen Ebene ist eine gerade Linie, die auch ihre horizontale Spur ist. Horizontale Projektionen aller Punkte beliebiger Figuren in dieser Ebene stimmen mit der horizontalen Spur überein (Abb. 5.2).

Abbildung 5.2 Horizontale Projektionsebene

2.2. Die Ebene senkrecht zur Frontalprojektionsebene (S ^ P2) ist die Frontprojektionsebene. Die Frontalprojektion der Ebene S ist eine Gerade, die mit der Spur S 2 zusammenfällt (Abb. 5.3).

Abbildung 5.3 Vordere Projektionsebene

2.3. Die Ebene senkrecht zur Profilebene (S ^ П3) ist die Profilprojektionsebene. Ein Sonderfall einer solchen Ebene ist die Winkelhalbierende (Abb. 5.4).

Abbildung 5.4 Profilprojektionsebene

3. Ebenen parallel zu den Projektionsebenen - nehmen eine bestimmte Position im Raum ein und werden Ebenenebenen genannt. Je nachdem, zu welcher Ebene die untersuchte Ebene parallel ist, gibt es:

3.1. Horizontale Ebene - eine Ebene parallel zur horizontalen Projektionsebene (S //P1) - (S ^P2, S ^P3). Jede Figur in dieser Ebene wird ohne Verzerrung auf die Ebene P1 und auf die Ebene P2 und P3 in gerade Linien projiziert - Spuren der Ebene S 2 und S 3 (Abb. 5.5).

Abbildung 5.5 Horizontale Ebene

3.2. Frontalebene - eine Ebene parallel zur Frontalprojektionsebene (S //P2), (S ^P1, S ^P3). Jede Figur in dieser Ebene wird ohne Verzerrung auf die Ebene P2 und auf die Ebene P1 und P3 in gerade Linien projiziert - Spuren der Ebene S 1 und S 3 (Abb. 5.6).

Abbildung 5.6 Frontalebene

3.3. Profilebene - eine Ebene parallel zur Profilebene der Projektionen (S //P3), (S ^P1, S ^P2). Jede Figur in dieser Ebene wird ohne Verzerrung auf die Ebene P3 und auf die Ebene P1 und P2 in gerade Linien projiziert - Spuren der Ebene S 1 und S 2 (Abb. 5.7).

Abbildung 5.7 Profilebene

Ebenenspuren

Die Spur der Ebene ist die Schnittlinie der Ebene mit den Projektionsebenen. Je nachdem, welche der Projektionsebenen die gegebene schneidet, unterscheiden sie: horizontale, frontale und Profilspuren der Ebene.

Jede Spur der Ebene ist eine gerade Linie, für deren Konstruktion es notwendig ist, zwei Punkte oder einen Punkt und die Richtung der geraden Linie zu kennen (wie für die Konstruktion jeder geraden Linie). Abbildung 5.8 zeigt das Auffinden von Spuren der Ebene S (ABC). Die Frontalspur der Ebene S2 ist als eine Linie konstruiert, die zwei Punkte 12 und 22 verbindet, die die Frontalspuren der entsprechenden Linien sind, die zu der Ebene S7 gehören. Die horizontale Spur S 1 ist eine gerade Linie, die durch die horizontale Spur der geraden Linie AB und S x verläuft. Profilspur S 3 - eine gerade Linie, die die Punkte (S y und S z) des Schnittpunkts der horizontalen und frontalen Spuren mit den Achsen verbindet.

Abbildung 5.8 Konstruktion von Ebenenspuren

Die Bestimmung der relativen Lage einer Geraden und einer Ebene ist ein Lageproblem, zu dessen Lösung die Methode der Hilfsschnittebenen verwendet wird. Das Wesentliche der Methode ist wie folgt: Zeichnen Sie eine Hilfssektantenebene Q durch die Linie und legen Sie die relative Position zweier Linien a und b fest, von denen die letzte die Schnittlinie der Hilfssektantenebene Q und dieser Ebene T ist ( Abb. 6.1).

Abbildung 6.1 Methode der Hilfsschnittebene

Jeder der drei möglichen Fälle der relativen Position dieser Linien entspricht einem ähnlichen Fall der gegenseitigen Position der Linie und der Ebene. Wenn also beide Linien zusammenfallen, dann liegt die Linie a in der Ebene T, die Parallelität der Linien zeigt die Parallelität der Linie und der Ebene an, und schließlich entspricht der Schnittpunkt der Linien dem Fall, wenn sich die Linie a schneidet die Ebene T. Somit gibt es drei Fälle der relativen Position der Linie und der Ebene: gehört zur Ebene; Die Linie ist parallel zur Ebene; Eine Gerade schneidet eine Ebene, ein Sonderfall - eine Gerade steht senkrecht auf der Ebene. Betrachten wir jeden Fall.

Zur Ebene gehörende Gerade

Axiom 1. Eine Gerade gehört zu einer Ebene, wenn zwei ihrer Punkte zu derselben Ebene gehören (Abb.6.2).

Aufgabe. Gegeben sei eine Ebene (n,k) und eine Projektion der Geraden m2. Es ist erforderlich, die fehlenden Projektionen der Linie m zu finden, wenn bekannt ist, dass sie zu der Ebene gehört, die durch die sich schneidenden Linien n und k gegeben ist. Die Projektion der Linie m2 schneidet die Linien n und k an den Punkten B2 und C2, um die fehlenden Projektionen der Linie zu finden, ist es notwendig, die fehlenden Projektionen der Punkte B und C als Punkte zu finden, die auf den Linien n und k liegen , bzw. Die Punkte B und C gehören also zu der Ebene, die durch die Schnittlinien n und k gegeben ist, und die Linie m verläuft durch diese Punkte, was bedeutet, dass die Linie nach dem Axiom zu dieser Ebene gehört.

Axiom 2. Eine Gerade gehört zu einer Ebene, wenn sie einen gemeinsamen Punkt mit der Ebene hat und parallel zu jeder in dieser Ebene liegenden Geraden ist (Abb. 6.3).

Aufgabe. Zeichnen Sie eine Linie m durch Punkt B, wenn bekannt ist, dass er zu der Ebene gehört, die durch die Schnittlinien n und k gegeben ist. B gehöre zu der Geraden n, die in der Ebene liegt, die durch die sich schneidenden Geraden n und k gegeben ist. Durch die Projektion B2 zeichnen wir die Projektion der Linie m2 parallel zur Linie k2, um die fehlenden Projektionen der Linie zu finden, ist es notwendig, die Projektion des Punktes B1 als einen Punkt zu konstruieren, der auf der Projektion der Linie n1 liegt und Zeichnen Sie die Projektion der Linie m1 durch sie parallel zur Projektion k1. Die Punkte B gehören also zu der Ebene, die durch die Schnittlinien n und k gegeben ist, und die Linie m geht durch diesen Punkt und ist parallel zur Linie k, was bedeutet, dass die Linie nach dem Axiom zu dieser Ebene gehört.

Abbildung 6.3 Eine Gerade hat einen gemeinsamen Punkt mit einer Ebene und ist parallel zu einer Geraden, die in dieser Ebene liegt

Hauptleitungen im Flugzeug

Unter den geraden Linien, die zur Ebene gehören, nehmen gerade Linien einen besonderen Platz ein, die eine bestimmte Position im Raum einnehmen:

1. Horizontale h - Gerade Linien, die in einer bestimmten Ebene und parallel zur horizontalen Projektionsebene (h / / P1) liegen (Abb. 6.4).

Abbildung 6.4 Horizontal

2. Frontals f - gerade Linien in der Ebene und parallel zur Frontalebene der Projektionen (f / / P2) (Abb. 6.5).

Abbildung 6.5 Frontal

3. Profil gerade Linien p - gerade Linien, die in einer bestimmten Ebene und parallel zur Profilebene der Projektionen (p / / P3) liegen (Abb. 6.6). Es sei darauf hingewiesen, dass Spuren des Flugzeugs auch den Hauptlinien zugeordnet werden können. Die horizontale Spur ist die Horizontale der Ebene, die Frontal ist die Vorderseite und das Profil ist die Profillinie der Ebene.

Abbildung 6.6 Profil gerade

4. Die Linie der größten Neigung und ihre horizontale Projektion bilden einen linearen Winkel j, der den Flächenwinkel misst, den diese Ebene und die horizontale Projektionsebene bilden (Abb. 6.7). Wenn eine Gerade keine zwei gemeinsamen Punkte mit einer Ebene hat, dann ist sie offensichtlich entweder parallel zur Ebene oder schneidet sie.

Abbildung 6.7 Die Linie der größten Steigung

Gegenseitige Lage eines Punktes und einer Ebene

Für die gegenseitige Anordnung von Punkt und Ebene gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder gehört der Punkt zur Ebene oder nicht. Gehört der Punkt zur Ebene, so kann nur eine der drei Projektionen, die die Lage des Punktes im Raum bestimmen, beliebig gesetzt werden. Betrachten wir ein Beispiel (Abb.6.8): Konstruktion einer Projektion eines Punktes A, der zu einer Ebene mit allgemeiner Lage gehört, die durch zwei parallele Geraden a(a//b) gegeben ist.

Aufgabe. Gegeben: die Ebene T(a,b) und die Projektion des Punktes A2. Es ist erforderlich, die Projektion A1 zu konstruieren, wenn bekannt ist, dass der Punkt A in der Ebene c,a liegt. Durch den Punkt A2 zeichnen wir die Projektion der Linie m2, die die Projektionen der Linien a2 und b2 an den Punkten C2 und B2 schneidet. Nachdem wir die Projektionen der Punkte C1 und B1 erstellt haben, die die Position von m1 bestimmen, finden wir die horizontale Projektion von Punkt A.

Abbildung 6.8. Punkt, der zum Flugzeug gehört

Zwei Ebenen im Raum können entweder zueinander parallel sein, im Einzelfall zusammenfallen oder sich schneiden. Senkrechte Ebenen sind ein Sonderfall sich schneidender Ebenen.

1. Parallele Ebenen. Ebenen sind parallel, wenn zwei Schnittgeraden einer Ebene jeweils parallel zu zwei Schnittgeraden einer anderen Ebene sind. Diese Definition wird gut veranschaulicht durch die Aufgabe, durch den Punkt B eine Ebene parallel zu der Ebene zu zeichnen, die durch zwei sich schneidende Geraden ab gegeben ist (Abb. 7.1). Aufgabe. Gegeben: eine Ebene in allgemeiner Position, gegeben durch zwei sich schneidende Geraden ab und Punkt B. Es ist erforderlich, eine Ebene durch Punkt B parallel zur Ebene ab zu zeichnen und sie durch zwei sich schneidende Geraden c und d zu definieren. Wenn zwei Schnittgeraden einer Ebene jeweils parallel zu zwei Schnittgeraden einer anderen Ebene sind, so sind diese Ebenen definitionsgemäß parallel zueinander. Um im Diagramm parallele Linien zu zeichnen, ist es notwendig, die Eigenschaft der parallelen Projektion zu nutzen - die Projektionen paralleler Linien sind parallel zueinander d||a, c||b; d1||a1,с1||b1; d2||a2 ,с2||b2; d3||a3,с3||b3.

Abbildung 7.1. Parallele Ebenen

2. Sich schneidende Ebenen, ein Sonderfall - zueinander senkrechte Ebenen. Die Schnittlinie zweier Ebenen ist eine gerade Linie, für deren Konstruktion es ausreicht, ihre beiden gemeinsamen Punkte oder einen Punkt und die Richtung der Schnittlinie der Ebenen zu bestimmen. Betrachten Sie die Konstruktion der Schnittlinie zweier Ebenen, wenn eine von ihnen hervorsteht (Abb. 7.2).

Aufgabe. Gegeben: Eine Ebene in allgemeiner Position ist durch ein Dreieck ABC gegeben, und die zweite Ebene ist ein horizontal projizierendes T. Es ist erforderlich, eine Schnittlinie der Ebenen zu konstruieren. Die Lösung des Problems besteht darin, zwei diesen Ebenen gemeinsame Punkte zu finden, durch die eine gerade Linie gezogen werden kann. Die durch das Dreieck ABC definierte Ebene kann als gerade Linien (AB), (AC), (BC) dargestellt werden. Der Schnittpunkt der Linie (AB) mit der Ebene T - Punkt D, der Linie (AC) -F. Das Segment definiert die Schnittlinie der Ebenen. Da T eine horizontal projizierende Ebene ist, fällt die Projektion D1F1 mit der Spur der Ebene T1 zusammen, so dass nur noch die fehlenden Projektionen auf P2 und P3 konstruiert werden müssen.

Abbildung 7.2. Schnittpunkt einer generischen Ebene mit einer horizontal vorstehenden Ebene

Kommen wir zum allgemeinen Fall. Gegeben seien zwei generische Ebenen a(m,n) und b(ABC) im Raum (Abb. 7.3).

Abbildung 7.3. Schnittpunkt von Ebenen in allgemeiner Position

Betrachten Sie die Reihenfolge der Konstruktion der Schnittlinie der Ebenen a(m//n) und b(ABC). Um die Schnittlinie dieser Ebenen zu finden, zeichnen wir in Analogie zum vorherigen Problem Hilfssektantenebenen g und d. Finden wir die Schnittlinien dieser Ebenen mit den betrachteten Ebenen. Ebene g schneidet Ebene a entlang einer geraden Linie (12) und Ebene b - entlang einer geraden Linie (34). Punkt K - der Schnittpunkt dieser Linien gehört gleichzeitig zu drei Ebenen a, b und g und ist somit ein Punkt, der zur Schnittlinie der Ebenen a und b gehört. Die Ebene d schneidet die Ebenen a und b entlang der Linien (56) bzw. (7C), ihr Schnittpunkt M liegt gleichzeitig in drei Ebenen a, b, d und gehört zur Schnittgeraden der Ebenen a und b. Somit werden zwei Punkte gefunden, die zur Schnittlinie der Ebenen a und b gehören - eine gerade Linie (KM).

Eine gewisse Vereinfachung beim Konstruieren der Schnittlinie von Ebenen kann erreicht werden, wenn die Hilfssektantenebenen durch die geraden Linien gezogen werden, die die Ebene definieren.

Zueinander senkrechte Ebenen. Aus der Stereometrie ist bekannt, dass zwei Ebenen senkrecht aufeinander stehen, wenn eine von ihnen durch eine Senkrechte auf die andere geht. Durch den Punkt A können Sie eine Reihe von Ebenen senkrecht zur gegebenen Ebene a (f, h) zeichnen. Diese Ebenen bilden im Raum ein Bündel von Ebenen, deren Achse die vom Punkt A auf die Ebene a fallende Senkrechte ist. Um eine Ebene senkrecht zu der Ebene zu zeichnen, die durch zwei sich schneidende Linien hf von Punkt A gegeben ist, ist es notwendig, eine gerade Linie n senkrecht zu der Ebene hf von Punkt A zu zeichnen (die horizontale Projektion n ist senkrecht zur horizontalen Projektion der horizontal h, die Frontalprojektion n steht senkrecht auf der Frontalprojektion der Frontalprojektion f). Jede Ebene, die durch die Linie n verläuft, steht senkrecht zur Ebene hf. Um die Ebene durch die Punkte A zu legen, zeichnen wir daher eine beliebige Linie m. Die durch zwei sich schneidende Geraden mn gegebene Ebene steht senkrecht auf der hf-Ebene (Abb. 7.4).

Abbildung 7.4. Zueinander senkrechte Ebenen

Planparalleles Bewegungsverfahren

Das Ändern der relativen Position des projizierten Objekts und der Projektionsebenen durch das Verfahren der planparallelen Bewegung wird durchgeführt, indem die Position des geometrischen Objekts so geändert wird, dass die Bahn seiner Punkte in parallelen Ebenen liegt. Die Trägerebenen der Trajektorien bewegter Punkte sind parallel zu jeder Projektionsebene (Abb. 8.1). Die Trajektorie ist eine willkürliche Linie. Bei einer parallelen Verschiebung eines geometrischen Objekts relativ zu den Projektionsebenen bleibt die Projektion der Figur, obwohl sie ihre Position ändert, deckungsgleich mit der Projektion der Figur in ihrer ursprünglichen Position.

Abbildung 8.1 Bestimmung der natürlichen Segmentgröße nach der Methode der planparallelen Bewegung

Eigenschaften der planparallelen Bewegung:

1. Bei jeder Bewegung von Punkten in einer Ebene parallel zur Ebene P1 bewegt sich ihre Frontalprojektion entlang einer geraden Linie parallel zur x-Achse.

2. Bei einer beliebigen Bewegung eines Punktes in einer Ebene parallel zu P2 bewegt sich seine horizontale Projektion entlang einer geraden Linie parallel zur x-Achse.

Rotationsverfahren um eine Achse senkrecht zur Projektionsebene

Die Trägerebenen der Bewegungstrajektorien der Punkte sind parallel zur Projektionsebene. Flugbahn - ein Kreisbogen, dessen Mittelpunkt auf der Achse senkrecht zur Projektionsebene liegt. Um die natürliche Größe einer Strecke in der allgemeinen Position AB (Abb. 8.2) zu bestimmen, wählen wir die Rotationsachse (i) senkrecht zur horizontalen Projektionsebene und durch B1 verlaufend. Lassen Sie uns das Segment so drehen, dass es parallel zur Frontalprojektionsebene wird (die horizontale Projektion des Segments ist parallel zur x-Achse). In diesem Fall bewegt sich Punkt A1 zu A "1, und Punkt B ändert seine Position nicht. Die Position von Punkt A" 2 befindet sich am Schnittpunkt der Frontalprojektion der Bewegungsbahn von Punkt A (eine gerade Linie parallel zur x-Achse) und die von A "1 gezogene Kommunikationslinie. Die resultierende Projektion B2 A "2 bestimmt die tatsächliche Größe des Segments selbst.

Abbildung 8.2 Bestimmung der natürlichen Größe eines Segments durch Drehung um eine senkrecht zur horizontalen Projektionsebene stehende Achse

Rotationsverfahren um eine Achse parallel zur Projektionsebene

Betrachten Sie diese Methode am Beispiel der Bestimmung des Winkels zwischen sich schneidenden Linien (Abb. 8.3). Stellen Sie sich zwei Projektionen sich schneidender Linien a und vor, die sich im Punkt K schneiden. Um den natürlichen Wert des Winkels zwischen diesen Linien zu bestimmen, müssen orthogonale Projektionen so transformiert werden, dass die Linien parallel zur Projektionsebene werden. Wenden wir die Rotationsmethode um die horizontale Ebene an. Zeichnen wir eine beliebige Frontalprojektion der Horizontalen h2 parallel zur Ox-Achse, die die Geraden an den Punkten 12 und 22 schneidet. Nachdem wir die Projektionen 11 und 11 definiert haben, konstruieren wir eine horizontale Projektion der Horizontalen h1. Die Bewegungsbahn aller Punkte während der Rotation um die Horizontale ist ein Kreis, der in Form einer geraden Linie senkrecht zur horizontalen Projektion der Horizontalen auf die P1-Ebene projiziert wird.

Abbildung 8.3 Bestimmung des Winkels zwischen sich schneidenden Linien, Drehung um eine Achse parallel zur horizontalen Projektionsebene

Somit wird die Bahn des Punktes K1 durch die gerade Linie K1O1 bestimmt, der Punkt O ist der Mittelpunkt des Kreises - die Bahnen des Punktes K. Um den Radius dieses Kreises zu finden, finden wir den natürlichen Wert des Segments KO nach der Dreiecksmethode. Der Punkt K "1 entspricht dem Punkt K, wenn die Linien a und b in einer Ebene parallel zu P1 liegen und durch die Horizontale - die Rotationsachse - gezogen werden. In diesem Sinne zeichnen wir durch den Punkt K "1 und die Punkte 11 und 21 gerade Linien, die jetzt in einer Ebene parallel zu P1 liegen, und daher ist der Winkel phi der natürliche Wert des Winkels zwischen den Linien a und b.

Verfahren zum Ersetzen von Projektionsebenen

Das Ändern der relativen Position der projizierten Figur und der Projektionsebenen durch Ändern der Projektionsebenen wird erreicht, indem die Ebenen P1 und P2 durch neue Ebenen P4 ersetzt werden (Abb. 8.4). Neue Ebenen werden senkrecht zu den alten ausgewählt. Einige Projektionstransformationen erfordern eine doppelte Ersetzung von Projektionsebenen (Abbildung 8.5). Ein sukzessiver Übergang von einem Projektionsebenensystem zu einem anderen muss nach folgender Regel erfolgen: Der Abstand der neuen Punktprojektion zur neuen Achse muss gleich dem Abstand der ersetzten Punktprojektion zur ersetzten Achse sein.

Aufgabe 1: Bestimmen Sie die tatsächliche Größe des Segments AB einer Geraden in allgemeiner Position (Abb. 8.4). Aus der Eigenschaft der Parallelprojektion ist bekannt, dass ein Segment in voller Größe auf eine Ebene projiziert wird, wenn es parallel zu dieser Ebene ist. Wir wählen eine neue Projektionsebene P4, parallel zum Segment AB und senkrecht zur Ebene P1. Indem wir eine neue Ebene einführen, gehen wir vom System der Ebenen P1P2 zum System P1P4 über, und in dem neuen System der Ebenen wird die Projektion des Segments A4B4 der natürliche Wert des Segments AB sein.

Abbildung 8.4. Bestimmung der natürlichen Größe eines Geradenstücks durch Austausch von Projektionsebenen

Aufgabe 2: Bestimmen Sie den Abstand von Punkt C zu einer Linie in allgemeiner Position, die durch das Segment AB gegeben ist (Abb. 8.5).

Abbildung 8.5. Bestimmung der natürlichen Größe eines Geradenstücks durch Austausch von Projektionsebenen

Die Position eines Punktes im Raum kann durch seine zwei orthogonalen Projektionen angegeben werden, beispielsweise horizontal und frontal, frontal und Profil. Durch die Kombination zweier beliebiger orthogonaler Projektionen können Sie den Wert aller Koordinaten eines Punktes ermitteln, eine dritte Projektion erstellen und den Oktanten bestimmen, in dem er sich befindet. Betrachten wir einige typische Aufgaben aus dem Studium der Darstellenden Geometrie.

Gemäß der gegebenen komplexen Zeichnung der Punkte A und B ist es notwendig:

Bestimmen wir zunächst die Koordinaten des Punktes A, die in der Form A (x, y, z) geschrieben werden können. Die horizontale Projektion von Punkt A ist Punkt A " mit den Koordinaten x, y. Zeichnen Sie von Punkt A" senkrecht zu den x-, y-Achsen und finden Sie jeweils A x, A y. Die x-Koordinate für den Punkt A ist gleich der Länge des Segments A x O mit Pluszeichen, da A x im Bereich positiver x-Achsenwerte liegt. Unter Berücksichtigung des Maßstabs der Zeichnung finden wir x \u003d 10. Die y-Koordinate ist gleich der Länge des Segments A y O mit einem Minuszeichen, da t. A y liegt im Bereich negativer y-Achsenwerte . Angesichts des Maßstabs der Zeichnung ist y = -30. Die Frontalprojektion von Punkt A - Punkt A"" hat x- und z-Koordinaten. Lass uns die Senkrechte von A"" auf die z-Achse fallen lassen und A z finden. Die z-Koordinate des Punktes A ist gleich der Länge der Strecke A z O mit Minuszeichen, da A z im Bereich negativer Werte der z-Achse liegt. Angesichts des Maßstabs der Zeichnung ist z = -10. Somit sind die Koordinaten von Punkt A (10, -30, -10).

Die Koordinaten von Punkt B können als B (x, y, z) geschrieben werden. Betrachten Sie die horizontale Projektion von Punkt B - Punkt B. "Da es auf der x-Achse liegt, ist B x \u003d B" und die Koordinate B y \u003d 0. Die Abszisse x von Punkt B ist gleich der Länge des Segments B x O mit Pluszeichen. Unter Berücksichtigung des Maßstabs der Zeichnung ist x = 30. Die Frontalprojektion des Punktes B - Punkt B˝ hat die Koordinaten x, z. Zeichnen Sie eine Senkrechte von B"" zur z-Achse und finden Sie so B z . Das Applikat z des Punktes B ist gleich der Länge des Segments B z O mit Minuszeichen, da B z im Bereich negativer Werte der z-Achse liegt. Unter Berücksichtigung des Maßstabs der Zeichnung ermitteln wir den Wert z = -20. Die B-Koordinaten sind also (30, 0, -20). Alle notwendigen Konstruktionen sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Konstruktion von Projektionen von Punkten

Die Punkte A und B in der Ebene P 3 haben die folgenden Koordinaten: A""" (y, z); B""" (y, z). In diesem Fall liegen A"" und A""" auf derselben Senkrechten zur z-Achse, da sie eine gemeinsame z-Koordinate haben. Ebenso liegen B"" und B""" auf einer gemeinsamen Senkrechten zur z-Achse. Um die Profilprojektion von t.A zu finden, setzen wir entlang der y-Achse den Wert der entsprechenden zuvor gefundenen Koordinate beiseite. In der Abbildung geschieht dies mit einem Kreisbogen mit dem Radius A y O. Danach zeichnen wir eine Senkrechte von A y zum Schnittpunkt, wobei die Senkrechte vom Punkt A "" zur z-Achse wiederhergestellt wird. Der Schnittpunkt dieser beiden Loten bestimmt die Position von A""".

Punkt B""" liegt auf der z-Achse, da die y-Ordinate dieses Punktes 0 ist. Um die Profilprojektion von Punkt B in dieser Aufgabe zu finden, braucht man nur eine Senkrechte von B"" auf z zu ziehen -Achse Der Schnittpunkt dieser Senkrechten mit der z-Achse ist B """.

Lagebestimmung von Punkten im Raum

Wenn Sie sich visuell ein räumliches Layout vorstellen, das aus den Projektionsebenen P 1, P 2 und P 3, der Position der Oktanten sowie der Reihenfolge der Transformation des Layouts in Diagramme besteht, können Sie direkt bestimmen, dass sich t. A im Oktanten III befindet. und t. B liegt in der Ebene P 2 .

Eine weitere Möglichkeit zur Lösung dieses Problems ist die Methode der Ausnahmen. Beispielsweise sind die Koordinaten von Punkt A (10, -30, -10). Die positive Abszisse x ermöglicht die Beurteilung, dass sich der Punkt in den ersten vier Oktanten befindet. Eine negative y-Ordinate gibt an, dass der Punkt im zweiten oder dritten Oktanten liegt. Schließlich zeigt das negative Applikat von z an, dass sich Punkt A im dritten Oktanten befindet. Die gegebene Begründung wird durch die folgende Tabelle deutlich.

Oktanten	Zeichen koordinieren
	x	j	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Koordinaten von Punkt B (30, 0, -20). Da die Ordinate von t.B gleich Null ist, liegt dieser Punkt in der Projektionsebene П 2 . Die positive Abszisse und der negative Applikat von Punkt B zeigen an, dass er sich auf der Grenze des dritten und vierten Oktanten befindet.

Konstruktion eines visuellen Bildes von Punkten im System der Ebenen P 1, P 2, P 3

Unter Verwendung der frontalen isometrischen Projektion bauten wir ein räumliches Layout des dritten Oktanten. Es ist ein rechteckiges Trieder, dessen Flächen die Ebenen P 1, P 2, P 3 sind, und der Winkel (-y0x) beträgt 45 °. In diesem System werden Segmente entlang der x-, y-, z-Achse in voller Größe ohne Verzerrung gezeichnet.

Die Konstruktion eines visuellen Bildes von Punkt A (10, -30, -10) beginnt mit seiner horizontalen Projektion A ". Nachdem wir die entsprechenden Koordinaten entlang der Abszisse und der Ordinate beiseite gelegt haben, finden wir die Punkte A x und A y. Die Der Schnittpunkt der von A x bzw. A y wiederhergestellten Senkrechten auf die x- und y-Achse bestimmt die Position des Punktes A". Wenn wir von A" parallel zur z-Achse in Richtung ihrer negativen Werte das Segment AA" legen, dessen Länge gleich 10 ist, finden wir die Position von Punkt A.

Ein visuelles Bild des Punktes B (30, 0, -20) wird auf ähnliche Weise konstruiert - in der P 2 -Ebene müssen die entsprechenden Koordinaten entlang der x- und z-Achse beiseite gelegt werden. Der Schnittpunkt der aus B x und B z rekonstruierten Senkrechten bestimmt die Position von Punkt B.