Im letzten Video-Tutorial haben wir gelernt, dass der Grad einer Basis ein Ausdruck ist, der das Produkt der Basis und sich selbst ist, genommen in einem Betrag, der dem Exponenten entspricht. Lassen Sie uns nun einige der wichtigsten Eigenschaften und Operationen von Potenzen untersuchen.

Lassen Sie uns zum Beispiel zwei verschiedene Potenzen mit derselben Basis multiplizieren:

Schauen wir uns dieses Stück in seiner Gesamtheit an:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Nachdem wir den Wert dieses Ausdrucks berechnet haben, erhalten wir die Zahl 32. Andererseits kann, wie aus demselben Beispiel ersichtlich ist, 32 als Produkt derselben Basis (zwei) dargestellt werden, das fünfmal genommen wird. Und tatsächlich, wenn Sie zählen, dann:

Somit kann mit Sicherheit festgestellt werden, dass:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Diese Regel funktioniert erfolgreich für alle Indikatoren und Gründe. Diese Eigenschaft der Multiplikation des Grades folgt aus der Regel der Erhaltung der Bedeutung von Ausdrücken bei Transformationen im Produkt. Für jede Basis a ist das Produkt zweier Ausdrücke (a) x und (a) y gleich a (x + y). Mit anderen Worten, wenn Ausdrücke mit derselben Basis erzeugt werden, hat das letzte Monom einen Gesamtgrad, der durch Addieren des Grades des ersten und des zweiten Ausdrucks gebildet wird.

Die vorgestellte Regel funktioniert auch hervorragend beim Multiplizieren mehrerer Ausdrücke. Die Hauptbedingung ist, dass die Grundlagen für alle gleich sind. Zum Beispiel:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Es ist unmöglich, Grade hinzuzufügen und im Allgemeinen keine Kraftverbindungsaktionen mit zwei Elementen des Ausdrucks auszuführen, wenn ihre Grundlagen unterschiedlich sind.
Wie unser Video zeigt, werden aufgrund der Ähnlichkeit der Prozesse von Multiplikation und Division die Regeln für die Addition von Potenzen während eines Produkts perfekt auf das Divisionsverfahren übertragen. Betrachten Sie dieses Beispiel:

Lassen Sie uns den Ausdruck Term für Term in eine vollständige Form umwandeln und dieselben Elemente im Dividenden und Divisor reduzieren:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Das Endergebnis dieses Beispiels ist nicht so interessant, weil bereits im Verlauf seiner Lösung klar ist, dass der Wert des Ausdrucks gleich dem Quadrat von zwei ist. Und es ist die Zwei, die man erhält, indem man den Grad des zweiten Ausdrucks vom Grad des ersten subtrahiert.

Um den Grad des Quotienten zu bestimmen, muss der Grad des Divisors vom Grad des Dividenden subtrahiert werden. Die Regel arbeitet mit der gleichen Grundlage für alle ihre Werte und für alle natürlichen Kräfte. In abstrakter Form haben wir:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Die Definition für den Nullgrad folgt aus der Regel zur Teilung identischer Basen durch Potenzen. Offensichtlich lautet der folgende Ausdruck:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Wenn wir andererseits visueller dividieren, erhalten wir:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Beim Reduzieren aller sichtbaren Elemente eines Bruchs erhält man immer den Ausdruck 1/1, also Eins. Daher wird allgemein akzeptiert, dass jede mit der Nullpotenz erhobene Basis gleich Eins ist:

Unabhängig vom Wert von a.

Es wäre jedoch absurd, wenn 0 (was immer noch 0 für jede Multiplikation ergibt) irgendwie gleich eins ist, sodass ein Ausdruck wie (0) 0 (Null zum Nullgrad) einfach keinen Sinn ergibt und Formel (a) 0 = 1 füge eine Bedingung hinzu: "wenn a ungleich 0 ist".

Machen wir die Übung. Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks finden:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Da die Basis überall gleich ist und gleich 34 ist, wird der Endwert mit einem Grad dieselbe Basis haben (gemäß den obigen Regeln):

Mit anderen Worten:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Antwort: Der Ausdruck ist gleich eins.

Jede arithmetische Operation wird manchmal zu umständlich, um sie aufzuzeichnen, und sie versuchen, sie zu vereinfachen. So war es früher auch mit der Additionsoperation. Es war notwendig, dass Menschen wiederholte Ergänzungen der gleichen Art durchführen, um beispielsweise die Kosten von hundert Perserteppichen zu berechnen, die jeweils 3 Goldmünzen kosten. 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300. Aufgrund der Sperrigkeit wurde daran gedacht, die Notation auf 3 * 100 = 300 zu reduzieren. Tatsächlich bedeutet die Notation „drei mal hundert“, dass Sie nehmen müssen einhundert Tripel und addiere sie zusammen. Die Multiplikation hat Wurzeln geschlagen und allgemeine Popularität erlangt. Aber die Welt steht nicht still, und im Mittelalter wurde es notwendig, wiederholte Multiplikationen derselben Art durchzuführen. Ich erinnere mich an ein altes indisches Rätsel über einen weisen Mann, der als Belohnung für die geleistete Arbeit Weizenkörner in folgender Menge verlangte: Für die erste Zelle des Schachbretts bat er um ein Korn, für die zweite - zwei, die dritte - vier , die fünfte - acht und so weiter. So entstand die erste Potenzmultiplikation, denn die Anzahl der Körner war gleich zwei hoch der Zellzahl. Zum Beispiel würde in der letzten Zelle 2*2*2*…*2 = 2^63 Körner stehen, was einer 18 Zeichen langen Zahl entspricht, die eigentlich die Bedeutung des Rätsels ist.

Die Operation der Potenzierung hat sich ziemlich schnell etabliert, und es wurde auch schnell notwendig, Addition, Subtraktion, Division und Multiplikation von Graden durchzuführen. Letzteres ist eine genauere Betrachtung wert. Die Formeln zum Addieren von Potenzen sind einfach und leicht zu merken. Außerdem ist es sehr einfach zu verstehen, woher sie kommen, wenn die Potenzoperation durch Multiplikation ersetzt wird. Aber zuerst müssen Sie die elementare Terminologie verstehen. Der Ausdruck a ^ b (gelesen „a hoch b“) bedeutet, dass die Zahl a b mal mit sich selbst multipliziert werden soll, und „a“ heißt die Basis des Grades und „b“ ist der Exponent. Wenn die Grundlagen der Potenzen gleich sind, dann werden die Formeln ganz einfach hergeleitet. Spezifisches Beispiel: Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2^3 * 2^4. Um zu wissen, was passieren soll, sollten Sie die Antwort am Computer herausfinden, bevor Sie mit der Lösung beginnen. Wenn Sie diesen Ausdruck in einen beliebigen Online-Rechner, eine Suchmaschine, „Multiplikation von Potenzen mit unterschiedlichen und gleichen Basen“ oder ein mathematisches Paket eingeben, lautet die Ausgabe 128. Lassen Sie uns nun diesen Ausdruck schreiben: 2^3 = 2*2*2, und 2^4 = 2*2*2*2. Es stellt sich heraus, dass 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Es stellt sich heraus, dass das Produkt von Potenzen mit derselben Basis gleich der Basis ist, die mit einer Potenz gleich der Summe der beiden vorherigen Potenzen potenziert wird.

Sie könnten denken, dass dies ein Unfall ist, aber nein: Jedes andere Beispiel kann diese Regel nur bestätigen. Im Allgemeinen sieht die Formel also so aus: a^n * a^m = a^(n+m) . Es gibt auch eine Regel, dass jede Zahl hoch null gleich eins ist. Hier sollten wir uns an die Regel der negativen Potenzen erinnern: a^(-n) = 1 / a^n. Das heißt, wenn 2^3 = 8, dann 2^(-3) = 1/8. Mit dieser Regel können wir die Gleichheit a^0 = 1 beweisen: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^(n) kann reduziert werden und bleibt eins. Daraus leitet sich die Regel ab, dass der Quotient von Potenzen mit derselben Basis dieser Basis in einem Maße gleich ist, das dem Quotienten aus Dividende und Divisor entspricht: a ^ n: a ^ m \u003d a ^ (n-m) . Beispiel: Vereinfachen Sie den Ausdruck 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Die Multiplikation ist eine kommutative Operation, also müssen die Exponenten der Multiplikation zuerst addiert werden: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. Als nächstes sollten Sie sich mit der Division durch einen negativen Grad befassen. Es ist notwendig, den Divisor-Exponenten vom Dividenden-Exponenten zu subtrahieren: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. It stellt sich heraus, dass die Operation der Division durch einen negativen Grad identisch ist mit der Operation der Multiplikation mit einem ähnlichen positiven Exponenten. Die endgültige Antwort ist also 8.

Es gibt Beispiele, wo eine nicht-kanonische Multiplikation von Potenzen stattfindet. Das Multiplizieren von Potenzen mit unterschiedlichen Basen ist sehr oft viel schwieriger und manchmal sogar unmöglich. Es sollten mehrere Beispiele für verschiedene mögliche Ansätze gegeben werden. Beispiel: Vereinfachen Sie den Ausdruck 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Offensichtlich gibt es eine Multiplikation von Potenzen mit unterschiedlichen Basen. Es sollte jedoch beachtet werden, dass alle Basen unterschiedliche Potenzen eines Tripels sind. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Unter Verwendung der Regel (a^n) ^m = a^(n*m) sollten Sie den Ausdruck in eine bequemere Form umschreiben: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Antwort: 3^11. In Fällen, in denen es unterschiedliche Basen gibt, funktioniert die Regel a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n für gleiche Indikatoren. Beispiel: 3^3 * 7^3 = 21^3. Andernfalls ist es bei unterschiedlichen Basen und Indikatoren unmöglich, eine vollständige Multiplikation durchzuführen. Manchmal können Sie teilweise vereinfachen oder auf die Hilfe von Computertechnologie zurückgreifen.

Machtformeln Wird beim Reduzieren und Vereinfachen komplexer Ausdrücke, beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen verwendet.

Anzahl c ist ein n-te Potenz einer Zahl a Wenn:

Operationen mit Grad.

1. Durch Multiplizieren von Graden mit derselben Basis addieren sich ihre Indikatoren:

binein n = ein m + n .

2. Bei der Aufteilung von Abschlüssen mit derselben Basis werden ihre Indikatoren subtrahiert:

3. Der Grad des Produkts von 2 oder mehr Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren:

(abc…) n = ein n b n c n …

4. Der Grad eines Bruchs ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden und des Divisors:

(a/b) n = ein n / b n .

5. Exponenten werden potenziert:

(am) n = am n .

Jede obige Formel ist in den Richtungen von links nach rechts und umgekehrt korrekt.

zum Beispiel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Betriebe mit Wurzeln.

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel des Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis des Dividenden und des Divisors der Wurzeln:

3. Wenn Sie eine Wurzel potenzieren, reicht es aus, die Wurzelzahl mit dieser Potenz zu potenzieren:

4. Wenn wir den Grad der Wurzel in erhöhen n einmal und gleichzeitig zu erhöhen n te Potenz eine Wurzelzahl ist, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

5. Wenn wir den Grad der Wurzel in verringern n Wurzel gleichzeitig n Grad von der Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

Grad mit negativem Exponenten. Der Grad einer bestimmten Zahl mit einem nicht-positiven (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins dividiert durch den Grad derselben Zahl mit einem Exponenten, der gleich dem Absolutwert des nicht-positiven Exponenten ist:

Formel bin:ein n = ein m - n kann nicht nur für verwendet werden m> n, sondern auch bei m< n.

zum Beispiel. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Zur Formel bin:ein n = ein m - n wurde fair bei m=n, benötigen Sie das Vorhandensein des Nullgrades.

Grad mit Exponent null. Die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit einem Exponenten von Null ist gleich Eins.

zum Beispiel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad mit gebrochenem Exponenten. Um eine reelle Zahl zu erhöhen a bis zu einem Grad m/n, müssen Sie die Wurzel extrahieren n Grad an m Potenz dieser Zahl a.

Bereits in der 7. Klasse wird in einer Algebra-Stunde das Konzept des Mathematikstudiums eingeführt. Und in Zukunft wird dieses Konzept im Laufe des Mathematikstudiums in seinen verschiedenen Formen aktiv genutzt. Abschlüsse sind ein ziemlich schwieriges Thema, das das Auswendiglernen von Werten und die Fähigkeit zum korrekten und schnellen Zählen erfordert. Um schneller und besser mit mathematischen Abschlüssen arbeiten zu können, haben sie sich die Eigenschaften eines Abschlusses ausgedacht. Sie helfen dabei, große Berechnungen zu reduzieren und ein riesiges Beispiel bis zu einem gewissen Grad in eine einzelne Zahl umzuwandeln. Es gibt nicht so viele Eigenschaften, und alle sind leicht zu merken und in der Praxis anzuwenden. Daher diskutiert der Artikel die Haupteigenschaften des Abschlusses sowie wo sie angewendet werden.

Grad Eigenschaften

Wir betrachten 12 Eigenschaften eines Grades, einschließlich Eigenschaften von Potenzen mit derselben Basis, und geben für jede Eigenschaft ein Beispiel. Jede dieser Eigenschaften hilft Ihnen, Probleme mit Graden schneller zu lösen, und bewahrt Sie vor zahlreichen Rechenfehlern.

1. Eigentum.

Viele Menschen vergessen diese Eigenschaft sehr oft, machen Fehler und stellen eine Zahl auf Null Grad als Null dar.

2. Eigenschaft.

3. Eigentum.

Es muss beachtet werden, dass diese Eigenschaft nur beim Multiplizieren von Zahlen verwendet werden kann, sie funktioniert nicht mit der Summe! Und wir dürfen nicht vergessen, dass diese und die folgenden Eigenschaften nur für Potenzen mit derselben Basis gelten.

4. Eigenschaft.

Wird die Zahl im Nenner negativ potenziert, dann wird beim Subtrahieren der Grad des Nenners in Klammern gesetzt, um das Vorzeichen in weiteren Berechnungen korrekt zu ersetzen.

Die Eigenschaft funktioniert nur beim Dividieren, nicht beim Subtrahieren!

5. Eigenschaft.

6. Eigenschaft.

Diese Eigenschaft kann auch umgekehrt angewendet werden. Eine Einheit, die bis zu einem gewissen Grad durch eine Zahl geteilt wird, ist diese Zahl mit einer negativen Potenz.

7. Eigenschaft.

Diese Eigenschaft lässt sich nicht auf Summe und Differenz anwenden! Beim Potenzieren einer Summe oder Differenz werden abgekürzte Multiplikationsformeln verwendet, nicht die Eigenschaften der Potenz.

8. Eigenschaft.

9. Eigenschaft.

Diese Eigenschaft funktioniert für jeden Bruchgrad mit einem Zähler gleich eins, die Formel ist dieselbe, nur der Grad der Wurzel ändert sich abhängig vom Nenner des Grads.

Außerdem wird diese Eigenschaft oft in umgekehrter Reihenfolge verwendet. Die Wurzel jeder Potenz einer Zahl kann als die Zahl hoch Eins dividiert durch die Potenz der Wurzel dargestellt werden. Diese Eigenschaft ist sehr nützlich, wenn die Wurzel der Zahl nicht extrahiert wird.

10. Eigenschaft.

Diese Eigenschaft funktioniert nicht nur mit der Quadratwurzel und dem zweiten Grad. Wenn der Grad der Wurzel und der Grad, bis zu dem diese Wurzel angehoben wird, gleich sind, dann wird die Antwort ein radikaler Ausdruck sein.

11. Eigentum.

Sie müssen diese Eigenschaft beim Lösen rechtzeitig sehen können, um sich riesige Berechnungen zu ersparen.

12. Eigentum.

Jede dieser Eigenschaften wird Ihnen mehr als einmal in Aufgaben begegnen, sie kann in ihrer reinen Form angegeben werden, oder sie kann einige Transformationen und die Verwendung anderer Formeln erfordern. Daher reicht es für die richtige Lösung nicht aus, nur die Eigenschaften zu kennen, Sie müssen den Rest des mathematischen Wissens üben und verbinden.

Anwendung von Abschlüssen und deren Eigenschaften

Sie werden aktiv in Algebra und Geometrie verwendet. Abschlüsse in Mathematik haben einen eigenen, wichtigen Platz. Mit ihrer Hilfe werden Exponentialgleichungen und Ungleichungen gelöst, sowie Potenzen erschweren oft Gleichungen und Beispiele aus anderen Bereichen der Mathematik. Exponenten helfen, große und lange Berechnungen zu vermeiden, es ist einfacher, die Exponenten zu reduzieren und zu berechnen. Aber um mit großen Potenzen oder mit Potenzen großer Zahlen zu arbeiten, müssen Sie nicht nur die Eigenschaften des Grades kennen, sondern auch kompetent mit den Basen arbeiten und sie zerlegen können, um Ihre Aufgabe zu erleichtern. Der Einfachheit halber sollten Sie auch die Bedeutung von potenzierten Zahlen kennen. Dies reduziert Ihre Zeit beim Lösen, da lange Berechnungen entfallen.

Bei Logarithmen spielt der Gradbegriff eine besondere Rolle. Da der Logarithmus im Wesentlichen die Potenz einer Zahl ist.

Abgekürzte Multiplikationsformeln sind ein weiteres Beispiel für die Verwendung von Potenzen. Sie können die Eigenschaften von Graden nicht verwenden, sie werden nach speziellen Regeln zerlegt, aber in jeder abgekürzten Multiplikationsformel gibt es immer Grade.

Abschlüsse werden auch in Physik und Informatik aktiv genutzt. Alle Übersetzungen in das SI-System werden mit Graden durchgeführt, und in Zukunft werden beim Lösen von Problemen die Eigenschaften des Grads angewendet. In der Informatik werden Zweierpotenzen aktiv genutzt, um das Zählen zu erleichtern und die Wahrnehmung von Zahlen zu vereinfachen. Weiterführende Berechnungen zur Umrechnung von Maßeinheiten oder Problemstellungen, wie in der Physik, erfolgen über die Eigenschaften des Grades.

Grade sind auch in der Astronomie sehr nützlich, wo man selten die Eigenschaften eines Grades verwendet, aber die Grade selbst aktiv verwendet werden, um die Aufzeichnung verschiedener Größen und Entfernungen zu verkürzen.

Grade werden auch im Alltag verwendet, wenn Flächen, Volumen, Entfernungen berechnet werden.

Mit Hilfe von Graden werden in jedem Wissenschaftsgebiet sehr große und sehr kleine Werte geschrieben.

Exponentialgleichungen und Ungleichungen

Gradeigenschaften nehmen gerade in Exponentialgleichungen und Ungleichungen eine besondere Stellung ein. Diese Aufgaben sind sehr häufig, sowohl im Schulunterricht als auch in Prüfungen. Alle werden durch Anwendung der Eigenschaften des Grades gelöst. Das Unbekannte liegt immer im Grad selbst, daher wird es bei Kenntnis aller Eigenschaften nicht schwierig sein, eine solche Gleichung oder Ungleichung zu lösen.

Erste Ebene

Grad und seine Eigenschaften. Umfassender Leitfaden (2019)

Warum braucht es Abschlüsse? Wo brauchen Sie sie? Warum müssen Sie Zeit damit verbringen, sie zu studieren?

Lesen Sie diesen Artikel, um alles über Abschlüsse zu erfahren, wozu sie gut sind und wie Sie Ihr Wissen im Alltag einsetzen können.

Und natürlich bringt Sie die Kenntnis der Abschlüsse dem erfolgreichen Bestehen der OGE oder der Einheitlichen Staatsprüfung und dem Eintritt in die Universität Ihrer Träume näher.

Los geht's!)

Wichtiger Hinweis! Wenn Sie anstelle von Formeln Kauderwelsch sehen, leeren Sie Ihren Cache. Drücken Sie dazu STRG+F5 (unter Windows) oder Cmd+R (unter Mac).

ERSTE EBENE

Potenzierung ist die gleiche mathematische Operation wie Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division.

Jetzt werde ich alles in menschlicher Sprache anhand sehr einfacher Beispiele erklären. Passt auf. Beispiele sind elementar, erklären aber wichtige Dinge.

Beginnen wir mit der Addition.

Hier gibt es nichts zu erklären. Ihr wisst schon alles: Wir sind zu acht. Jeder hat zwei Flaschen Cola. Wie viel Cola? Das ist richtig - 16 Flaschen.

Jetzt Multiplikation.

Dasselbe Beispiel mit Cola kann auch anders geschrieben werden: . Mathematiker sind schlaue und faule Leute. Sie bemerken zuerst einige Muster und finden dann eine Möglichkeit, sie schneller zu „zählen“. In unserem Fall bemerkten sie, dass jede der acht Personen die gleiche Anzahl von Cola-Flaschen hatte, und entwickelten eine Technik namens Multiplikation. Stimmen Sie zu, es gilt als einfacher und schneller als.

Um also schneller, einfacher und fehlerfrei zu zählen, müssen Sie sich nur daran erinnern Multiplikationstabelle. Natürlich geht alles auch langsamer, härter und mit Fehlern! Aber…

Hier ist das Einmaleins. Wiederholen.

Und noch ein hübscher:

Und welche anderen kniffligen Zähltricks sind faulen Mathematikern eingefallen? Richtig - eine Zahl potenzieren.

Eine Zahl potenzieren

Wenn Sie eine Zahl fünfmal mit sich selbst multiplizieren müssen, sagen Mathematiker, dass Sie diese Zahl in die fünfte Potenz erheben müssen. Zum Beispiel, . Mathematiker erinnern sich, dass zwei hoch fünf ist. Und sie lösen solche Probleme im Kopf – schneller, einfacher und fehlerfrei.

Dazu brauchen Sie nur Merken Sie sich, was in der Tabelle der Zahlenpotenzen farbig hervorgehoben ist. Glauben Sie mir, es wird Ihr Leben viel einfacher machen.

Übrigens, warum heißt der zweite Grad Quadrat Nummern und die dritte Würfel? Was bedeutet das? Eine sehr gute Frage. Jetzt haben Sie sowohl Quadrate als auch Würfel.

Beispiel #1 aus dem wirklichen Leben

Beginnen wir mit einem Quadrat oder der zweiten Potenz einer Zahl.

Stellen Sie sich einen quadratischen Pool vor, der Meter für Meter misst. Der Pool ist in Ihrem Hinterhof. Es ist heiß und ich möchte wirklich schwimmen. Aber ... ein Pool ohne Boden! Es ist notwendig, den Boden des Beckens mit Fliesen abzudecken. Wie viele Fliesen benötigen Sie? Um dies zu bestimmen, müssen Sie die Fläche des Beckenbodens kennen.

Sie können einfach zählen, indem Sie mit dem Finger hineinstecken, dass der Boden des Pools Meter für Meter aus Würfeln besteht. Wenn Ihre Fliesen Meter für Meter sind, benötigen Sie Stücke. Ganz einfach... Aber wo hast du so eine Kachel gesehen? Die Fliese wird eher cm für cm sein und dann wird man mit „Fingerzählen“ gequält. Dann musst du multiplizieren. Wir werden also auf einer Seite des Beckenbodens Fliesen (Stücke) und auf der anderen Seite auch Fliesen anbringen. Durch Multiplizieren mit erhalten Sie Kacheln ().

Haben Sie bemerkt, dass wir dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert haben, um die Fläche des Beckenbodens zu bestimmen? Was bedeutet das? Da dieselbe Zahl multipliziert wird, können wir die Potenzierungstechnik anwenden. (Wenn du nur zwei Zahlen hast, musst du sie natürlich trotzdem multiplizieren oder potenzieren. Aber wenn du viele davon hast, dann ist das Potenzieren viel einfacher und es gibt auch weniger Fehler bei Berechnungen. Für die Prüfung ist dies sehr wichtig).
Also, dreißig bis zum zweiten Grad werden (). Oder Sie können sagen, dass dreißig zum Quadrat sein wird. Mit anderen Worten, die zweite Potenz einer Zahl kann immer als Quadrat dargestellt werden. Und umgekehrt, wenn Sie ein Quadrat sehen, ist es IMMER die zweite Potenz einer Zahl. Ein Quadrat ist ein Bild der zweiten Potenz einer Zahl.

Beispiel #2 aus dem wirklichen Leben

Hier ist eine Aufgabe für Sie, zählen Sie, wie viele Quadrate auf dem Schachbrett sind, indem Sie das Quadrat der Zahl verwenden ... Auf der einen Seite der Zellen und auf der anderen auch. Um ihre Anzahl zu zählen, müssen Sie acht mit acht multiplizieren, oder ... wenn Sie feststellen, dass ein Schachbrett ein Quadrat mit einer Seite ist, können Sie acht quadrieren. Zellen bekommen. () So?

Beispiel #3 aus dem wirklichen Leben

Jetzt der Würfel oder die dritte Potenz einer Zahl. Das gleiche Becken. Aber jetzt müssen Sie herausfinden, wie viel Wasser in diesen Pool gegossen werden muss. Du musst das Volumen berechnen. (Volumen und Flüssigkeiten werden übrigens in Kubikmetern gemessen. Unerwartet, oder?) Zeichnen Sie ein Becken: einen Meter großen und einen Meter tiefen Boden und versuchen Sie zu berechnen, wie viele Meter für Meter Würfel in Ihr Becken gelangen.

Einfach mit dem Finger zeigen und zählen! Eins, zwei, drei, vier … zweiundzwanzig, dreiundzwanzig … Wie viel ist herausgekommen? Nicht verloren gegangen? Ist es schwierig, mit dem Finger zu zählen? So dass! Nehmen Sie ein Beispiel von Mathematikern. Sie sind faul, also haben sie bemerkt, dass man Länge, Breite und Höhe miteinander multiplizieren muss, um das Volumen des Pools zu berechnen. In unserem Fall entspricht das Volumen des Pools Würfeln ... Einfacher, oder?

Stellen Sie sich nun vor, wie faul und schlau Mathematiker sind, wenn sie sich das zu einfach machen. Alles auf eine Aktion reduziert. Sie bemerkten, dass Länge, Breite und Höhe gleich sind und dass dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert wird ... Und was bedeutet das? Das bedeutet, dass Sie den Abschluss verwenden können. Was Sie also einmal mit dem Finger gezählt haben, machen sie in einer Aktion: Drei in einem Würfel ist gleich. Es ist so geschrieben:

Bleibt nur die Gradtabelle auswendig lernen. Es sei denn natürlich, Sie sind so faul und schlau wie Mathematiker. Wenn Sie gerne hart arbeiten und Fehler machen, können Sie mit dem Finger weiterzählen.

Nun, um Sie endlich davon zu überzeugen, dass die Abschlüsse von Faulenzern und schlauen Menschen erfunden wurden, um ihre Lebensprobleme zu lösen, und nicht, um Ihnen Probleme zu bereiten, hier noch ein paar Beispiele aus dem Leben.

Beispiel #4 aus dem wirklichen Leben

Sie haben eine Million Rubel. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie für jede Million eine weitere Million. Das heißt, jede Ihrer Millionen verdoppelt sich zu Beginn eines jeden Jahres. Wie viel Geld wirst du in Jahren haben? Wenn Sie jetzt dasitzen und „mit dem Finger zählen“, dann sind Sie ein sehr fleißiger Mensch und … dumm. Aber höchstwahrscheinlich werden Sie in ein paar Sekunden eine Antwort geben, weil Sie schlau sind! Also, im ersten Jahr - zwei mal zwei ... im zweiten Jahr - was geschah, um zwei weitere, im dritten Jahr ... Halt! Sie haben bemerkt, dass die Zahl einmal mit sich selbst multipliziert wird. Zwei hoch fünf ist also eine Million! Stellen Sie sich jetzt vor, Sie haben einen Wettbewerb und derjenige, der schneller rechnet, bekommt diese Millionen ... Lohnt es sich, sich an die Zahlengrade zu erinnern, was denken Sie?

Beispiel #5 aus dem wirklichen Leben

Du hast eine Million. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie zwei weitere für jede Million. Es ist großartig, oder? Jede Million wird verdreifacht. Wie viel Geld wirst du in einem Jahr haben? Lass uns zählen. Das erste Jahr - mit multiplizieren, dann das Ergebnis mit einem anderen ... Es ist schon langweilig, weil Sie schon alles verstanden haben: Drei wird mal mit sich selbst multipliziert. Die vierte Potenz ist also eine Million. Sie müssen sich nur daran erinnern, dass drei hoch vier oder ist.

Jetzt wissen Sie, dass Sie Ihr Leben viel einfacher machen werden, wenn Sie eine Zahl potenzieren. Lassen Sie uns einen weiteren Blick darauf werfen, was Sie mit Abschlüssen machen können und was Sie darüber wissen müssen.

Begriffe und Konzepte ... um nicht verwirrt zu werden

Lassen Sie uns also zuerst die Konzepte definieren. Wie denkst du, was ist exponent? Es ist ganz einfach – das ist die Zahl, die „an der Spitze“ der Potenz der Zahl steht. Nicht wissenschaftlich, aber klar und leicht zu merken ...

Nun, gleichzeitig, was eine solche Studienbasis? Noch einfacher ist die Zahl, die ganz unten an der Basis steht.

Hier ist ein Bild, damit Sie sicher sein können.

Nun, allgemein gesagt, um zu verallgemeinern und sich besser zu erinnern ... Ein Abschluss mit einer Basis "" und einem Indikator "" wird als "im Abschluss" gelesen und wie folgt geschrieben:

Potenz einer Zahl mit natürlichem Exponenten

Du hast es wahrscheinlich schon erraten: weil der Exponent eine natürliche Zahl ist. Ja, aber was ist natürliche Zahl? Elementar! Natürliche Zahlen sind diejenigen, die zum Zählen beim Auflisten von Artikeln verwendet werden: eins, zwei, drei ... Wenn wir Artikel zählen, sagen wir nicht: „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“. Wir sagen auch nicht „ein Drittel“ oder „null Komma fünf Zehntel“. Das sind keine natürlichen Zahlen. Was glauben Sie, was diese Zahlen sind?

Zahlen wie „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“ beziehen sich auf ganze Zahlen. Im Allgemeinen umfassen ganze Zahlen alle natürlichen Zahlen, Zahlen, die natürlichen Zahlen entgegengesetzt sind (dh mit einem Minuszeichen genommen werden) und eine Zahl. Null ist leicht zu verstehen - das ist, wenn es nichts gibt. Und was bedeuten negative ("minus") Zahlen? Aber sie wurden hauptsächlich erfunden, um Schulden anzuzeigen: Wenn Sie ein Guthaben in Rubel auf Ihrem Telefon haben, bedeutet dies, dass Sie dem Betreiber Rubel schulden.

Alle Brüche sind rationale Zahlen. Wie sind sie entstanden, denken Sie? Sehr einfach. Vor mehreren tausend Jahren entdeckten unsere Vorfahren, dass sie nicht genügend natürliche Zahlen hatten, um Länge, Gewicht, Fläche usw. Und sie kamen auf Rationale Zahlen… Interessant, nicht wahr?

Es gibt auch irrationale Zahlen. Was sind das für Zahlen? Kurz gesagt, ein unendlicher Dezimalbruch. Wenn Sie beispielsweise den Umfang eines Kreises durch seinen Durchmesser teilen, erhalten Sie eine irrationale Zahl.

Zusammenfassung:

Lassen Sie uns das Konzept des Grads definieren, dessen Exponent eine natürliche Zahl ist (dh ganzzahlig und positiv).

1. Jede Zahl hoch 1 ist gleich sich selbst:
2. Eine Zahl quadrieren heißt, sie mit sich selbst multiplizieren:
3. Eine Zahl in die dritte Potenz zu bringen heißt, sie dreimal mit sich selbst zu multiplizieren:

Definition. Eine Zahl mit einer natürlichen Potenz zu potenzieren heißt, die Zahl mit sich selbst zu multiplizieren:
.

Grad Eigenschaften

Woher kommen diese Eigenschaften? Ich zeige es dir jetzt.

Mal sehen, was ist und ?

A-Priorat:

Wie viele Multiplikatoren gibt es insgesamt?

Es ist ganz einfach: Wir haben Faktoren zu den Faktoren hinzugefügt, und das Ergebnis sind Faktoren.

Aber per Definition ist dies der Grad einer Zahl mit einem Exponenten, also: , der bewiesen werden musste.

Beispiel: Den Ausdruck vereinfachen.

Entscheidung:

Beispiel: Den Ausdruck vereinfachen.

Entscheidung: Es ist wichtig, dies in unserer Regel zu beachten Notwendig muss der selbe grund sein!
Daher kombinieren wir die Grade mit der Basis, bleiben aber ein separater Faktor:

nur für Potenzprodukte!

Das darfst du auf keinen Fall schreiben.

2. das heißt -te Potenz einer Zahl

Wenden wir uns wie bei der vorherigen Eigenschaft der Definition des Grades zu:

Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck einmal mit sich selbst multipliziert wird, das heißt, laut Definition ist dies die te Potenz der Zahl:

Tatsächlich kann dies als "Einklammern des Indikators" bezeichnet werden. Aber Sie können dies niemals vollständig tun:

Erinnern wir uns an die Formeln für die abgekürzte Multiplikation: Wie oft wollten wir schreiben?

Aber das ist nicht wahr, wirklich.

Abschluss mit negativer Basis

Bis zu diesem Punkt haben wir nur besprochen, was der Exponent sein sollte.

Aber was soll die Basis sein?

In Grad von natürlicher Indikator die Grundlage kann sein irgendeine Nummer. Tatsächlich können wir jede Zahl miteinander multiplizieren, egal ob sie positiv, negativ oder gerade ist.

Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen (" " oder "") Grad positiver und negativer Zahlen haben werden?

Wird die Zahl beispielsweise positiv oder negativ sein? SONDERN? ? Mit dem ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.

Aber die negativen sind ein wenig interessanter. Schließlich erinnern wir uns an eine einfache Regel aus der 6. Klasse: „Minus mal Minus ergibt Plus.“ Das heißt, bzw. Aber wenn wir mit multiplizieren, stellt sich heraus.

Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Hast du es geschafft?

Hier die Antworten: In den ersten vier Beispielen ist hoffentlich alles klar? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

In Beispiel 5) ist auch nicht alles so beängstigend, wie es scheint: Es spielt keine Rolle, wie die Basis gleich ist - der Grad ist gleichmäßig, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird.

Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht die gleiche, oder? Offensichtlich nicht, da (weil).

Beispiel 6) ist nicht mehr so ​​einfach!

6 Praxisbeispiele

Analyse der Lösung 6 Beispiele

Wenn wir den achten Grad nicht beachten, was sehen wir hier? Werfen wir einen Blick auf das Programm der 7. Klasse. Also denk daran? Das ist die abgekürzte Multiplikationsformel, nämlich die Differenz von Quadraten! Wir bekommen:

Wir schauen uns den Nenner genau an. Es sieht sehr nach einem der Zählerfaktoren aus, aber was ist falsch? Falsche Reihenfolge der Begriffe. Wenn sie ausgetauscht würden, könnte die Regel gelten.

Aber wie macht man das? Es stellt sich heraus, dass es sehr einfach ist: Hier hilft uns der gerade Grad des Nenners.

Die Begriffe haben auf magische Weise die Plätze gewechselt. Dieses "Phänomen" gilt für jeden Ausdruck in gleichem Maße: Wir können die Zeichen in Klammern frei ändern.

Aber es ist wichtig, sich daran zu erinnern: Alle Vorzeichen ändern sich gleichzeitig!

Kommen wir zurück zum Beispiel:

Und nochmal die Formel:

ganz wir nennen die natürlichen Zahlen, ihre Gegensätze (also mit dem Vorzeichen "") und die Zahl.

positive ganze Zahl, und es ist nicht anders als natürlich, dann sieht alles genauso aus wie im vorigen Abschnitt.

Schauen wir uns nun neue Fälle an. Beginnen wir mit einem Indikator gleich.

Jede Zahl hoch null ist gleich eins:

Wie immer fragen wir uns: Warum ist das so?

Betrachten Sie etwas Macht mit einer Basis. Nimm zum Beispiel und multipliziere mit:

Also multiplizierten wir die Zahl mit und bekamen dasselbe wie es war -. Mit welcher Zahl muss multipliziert werden, damit sich nichts ändert? Das ist richtig, auf. Meint.

Wir können dasselbe mit einer beliebigen Zahl tun:

Wiederholen wir die Regel:

Jede Zahl hoch null ist gleich eins.

Aber von vielen Regeln gibt es Ausnahmen. Und hier ist es auch da - das ist eine Zahl (als Basis).

Einerseits muss sie beliebig gleich sein – egal wie sehr man Null mit sich selbst multipliziert, man bekommt immer noch Null, das ist klar. Aber andererseits muss sie, wie jede Zahl bis zum Nullgrad, gleich sein. Also, was ist die Wahrheit davon? Die Mathematiker beschlossen, sich nicht einzumischen und weigerten sich, Null mit Null zu potenzieren. Das heißt, jetzt können wir nicht nur durch Null dividieren, sondern auch mit Null potenzieren.

Gehen wir weiter. Zu den ganzen Zahlen gehören neben natürlichen Zahlen und Zahlen auch negative Zahlen. Um zu verstehen, was ein negativer Grad ist, machen wir dasselbe wie beim letzten Mal: ​​Wir multiplizieren eine normale Zahl mit derselben in einem negativen Grad:

Von hier aus ist es bereits einfach, das Gewünschte auszudrücken:

Nun erweitern wir die resultierende Regel beliebig:

Also formulieren wir die Regel:

Eine Zahl zu einer negativen Potenz ist die Umkehrung derselben Zahl zu einer positiven Potenz. Aber zur selben Zeit Basis darf nicht null sein:(weil es unmöglich ist, zu teilen).

Fassen wir zusammen:

I. Ausdruck ist nicht in Groß-/Kleinschreibung definiert. Wenn, dann.

II. Jede Zahl hoch null ist gleich eins: .

III. Eine Zahl, die nicht gleich Null zu einer negativen Potenz ist, ist die Umkehrung derselben Zahl zu einer positiven Potenz: .

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

Nun, wie üblich, Beispiele für eine unabhängige Lösung:

Aufgabenanalyse zur eigenständigen Lösung:

Ich weiß, ich weiß, die Zahlen sind beängstigend, aber bei der Prüfung muss man auf alles gefasst sein! Lösen Sie diese Beispiele oder analysieren Sie deren Lösung, wenn Sie es nicht lösen konnten, und Sie werden lernen, wie Sie in der Prüfung leicht damit umgehen können!

Erweitern wir den Kreis der als Exponent „geeigneten“ Zahlen weiter.

Jetzt bedenke Rationale Zahlen. Welche Zahlen nennt man rational?

Antwort: alles, was als Bruch dargestellt werden kann, wobei und außerdem ganze Zahlen sind.

Zu verstehen, was ist "Bruchgrad" Betrachten wir einen Bruch:

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung potenzieren:

Erinnere dich jetzt an die Regel „Grad zu Grad“:

Welche Zahl muss potenziert werden, um zu erhalten?

Diese Formulierung ist die Definition der Wurzel des 1. Grades.

Ich möchte Sie daran erinnern: Die Wurzel der Potenz einer Zahl () ist eine Zahl, die, wenn sie potenziert wird, gleich ist.

Das heißt, die Wurzel des . Grades ist die Umkehroperation der Potenzierung: .

Es stellt sich heraus, dass. Offensichtlich kann dieser Spezialfall erweitert werden: .

Fügen Sie nun den Zähler hinzu: Was ist das? Die Antwort ist mit der Power-to-Power-Regel leicht zu bekommen:

Aber kann die Basis eine beliebige Zahl sein? Schließlich kann die Wurzel nicht aus allen Zahlen gezogen werden.

Keiner!

Denke an die Regel: Jede gerade Potenzierte Zahl ist eine positive Zahl. Das heißt, es ist unmöglich, Wurzeln mit geradem Grad aus negativen Zahlen zu ziehen!

Und das bedeutet, dass solche Zahlen nicht mit einem geraden Nenner auf eine gebrochene Potenz erhoben werden können, dh der Ausdruck macht keinen Sinn.

Was ist mit dem Ausdruck?

Aber hier taucht ein Problem auf.

Die Zahl kann beispielsweise als andere, gekürzte Brüche oder dargestellt werden.

Und es stellt sich heraus, dass es existiert, aber nicht existiert, und dies sind nur zwei verschiedene Datensätze mit derselben Nummer.

Oder ein anderes Beispiel: Einmal, dann kannst du es aufschreiben. Aber sobald wir den Indikator anders schreiben, bekommen wir wieder Ärger: (das heißt, wir haben ein völlig anderes Ergebnis!).

Um solche Paradoxien zu vermeiden, bedenken Sie nur positiver Basisexponent mit gebrochenem Exponenten.

Also wenn:

• - natürliche Zahl;
• - ganze Zahl;

Beispiele:

Potenzen mit rationalem Exponenten sind sehr nützlich, um Ausdrücke mit Wurzeln umzuwandeln, zum Beispiel:

5 Praxisbeispiele

Analyse von 5 Beispielen für die Ausbildung

Nun, jetzt - das Schwierigste. Jetzt werden wir analysieren Grad mit einem irrationalen Exponenten.

Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier genau die gleichen wie bei Graden mit rationalem Exponenten, mit Ausnahme von

Tatsächlich sind irrationale Zahlen per Definition Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (das heißt, irrationale Zahlen sind alle reelle Zahlen außer rationalen).

Beim Studium von Abschlüssen mit einem natürlichen, ganzzahligen und rationalen Indikator haben wir uns jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen ausgedacht.

Ein natürlicher Exponent ist beispielsweise eine Zahl, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird;

...Null Leistung- dies ist sozusagen eine einmal mit sich selbst multiplizierte Zahl, das heißt, sie hat noch nicht begonnen, sich zu multiplizieren, was bedeutet, dass die Zahl selbst noch nicht einmal aufgetreten ist - daher ist das Ergebnis nur eine gewisse „Vorbereitung von eine Zahl“, nämlich eine Zahl;

...negativer ganzzahliger Exponent- es ist, als hätte ein gewisser „umgekehrter Prozess“ stattgefunden, das heißt, die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern dividiert.

Übrigens verwendet die Wissenschaft oft einen Grad mit einem komplexen Exponenten, das heißt, ein Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl.

Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach, Sie haben die Möglichkeit, diese neuen Konzepte am Institut zu verstehen.

WO WIR SICHER SIND, DASS SIE GEHEN WERDEN! (wenn du lernst, wie man solche Beispiele löst :))

Zum Beispiel:

Entscheide dich selbst:

Analyse von Lösungen:

1. Beginnen wir mit der bereits üblichen Regel zur Anhebung eines Abschlusses auf einen Abschluss:

Sehen Sie sich jetzt die Partitur an. Erinnert er dich an etwas? Wir erinnern uns an die Formel zur abgekürzten Multiplikation der Differenz von Quadraten:

In diesem Fall,

Es stellt sich heraus, dass:

Antworten: .

2. Wir bringen Brüche in Exponenten auf die gleiche Form: entweder beide dezimal oder beide gewöhnlich. Wir bekommen zum Beispiel:

Antwort: 16

3. Nichts Besonderes, wir wenden die üblichen Eigenschaften von Graden an:

FORTGESCHRITTENES LEVEL

Definition von Grad

Der Grad ist ein Ausdruck der Form: , wobei:

• — Basis des Abschlusses;
• - Exponent.

Grad mit natürlichem Exponenten (n = 1, 2, 3,...)

Eine Zahl mit der natürlichen Potenz n zu potenzieren bedeutet, die Zahl mit sich selbst zu multiplizieren:

Potenz mit ganzzahligem Exponenten (0, ±1, ±2,...)

Wenn der Exponent ist positive ganze Zahl Anzahl:

Erektion auf Nullleistung:

Der Ausdruck ist unbestimmt, weil einerseits bis zu jedem Grad dies ist und andererseits jede Zahl bis zum ten Grad dies ist.

Wenn der Exponent ist Ganzzahl negativ Anzahl:

(weil es unmöglich ist, zu teilen).

Noch einmal zu Nullen: Der Ausdruck ist im Fall nicht definiert. Wenn, dann.

Beispiele:

Grad mit rationalem Exponenten

• - natürliche Zahl;
• - ganze Zahl;

Beispiele:

Grad Eigenschaften

Um das Lösen von Problemen zu erleichtern, versuchen wir zu verstehen: Woher kommen diese Eigenschaften? Beweisen wir sie.

Mal sehen: was ist und?

A-Priorat:

Auf der rechten Seite dieses Ausdrucks erhält man also das folgende Produkt:

Aber per Definition ist dies eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten, das heißt:

Q.E.D.

Beispiel : Den Ausdruck vereinfachen.

Entscheidung : .

Beispiel : Den Ausdruck vereinfachen.

Entscheidung : Es ist wichtig, das in unserer Regel zu beachten Notwendig müssen die gleiche Grundlage haben. Daher kombinieren wir die Grade mit der Basis, bleiben aber ein separater Faktor:

Noch ein wichtiger Hinweis: Diese Regel - nur für Potenzprodukte!

Das darf ich auf keinen Fall schreiben.

Wenden wir uns wie bei der vorherigen Eigenschaft der Definition des Grades zu:

Ordnen wir es so um:

Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck einmal mit sich selbst multipliziert wird, das heißt, laut Definition ist dies die -te Potenz der Zahl:

Tatsächlich kann dies als "Einklammern des Indikators" bezeichnet werden. Aber das schaffst du nie im Ganzen:!

Erinnern wir uns an die Formeln für die abgekürzte Multiplikation: Wie oft wollten wir schreiben? Aber das ist nicht wahr, wirklich.

Macht mit negativer Basis.

Bis zu diesem Punkt haben wir nur diskutiert, was sein sollte Indikator Grad. Aber was soll die Basis sein? In Grad von natürlich Indikator die Grundlage kann sein irgendeine Nummer .

Tatsächlich können wir jede Zahl miteinander multiplizieren, egal ob sie positiv, negativ oder gerade ist. Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen (" " oder "") Grad positiver und negativer Zahlen haben werden?

Wird die Zahl beispielsweise positiv oder negativ sein? SONDERN? ?

Mit dem ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.

Aber die negativen sind ein wenig interessanter. Schließlich erinnern wir uns an eine einfache Regel aus der 6. Klasse: „Minus mal Minus ergibt Plus.“ Das heißt, bzw. Aber wenn wir mit () multiplizieren, erhalten wir -.

Und so weiter bis ins Unendliche: Bei jeder weiteren Multiplikation ändert sich das Vorzeichen. Sie können diese einfachen Regeln formulieren:

1. sogar Grad, - Zahl positiv.
2. Negative Zahl erhöht auf seltsam Grad, - Zahl Negativ.
3. Eine positive Zahl zu jeder Potenz ist eine positive Zahl.
4. Null hoch jede Potenz ist gleich Null.

Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Hast du es geschafft? Hier sind die Antworten:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

In den ersten vier Beispielen ist hoffentlich alles klar? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.

In Beispiel 5) ist auch nicht alles so beängstigend, wie es scheint: Es spielt keine Rolle, wie die Basis gleich ist - der Grad ist gleichmäßig, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird. Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht die gleiche, oder? Offensichtlich nicht, da (weil).

Beispiel 6) ist nicht mehr so ​​einfach. Hier müssen Sie herausfinden, was weniger ist: oder? Wenn Sie sich das merken, wird klar, dass die Basis kleiner als Null ist. Das heißt, wir wenden Regel 2 an: Das Ergebnis wird negativ sein.

Und wieder verwenden wir die Definition von Grad:

Alles ist wie immer - wir schreiben die Definition von Graden auf und teilen sie ineinander, teilen sie in Paare und erhalten:

Lassen Sie uns vor der Analyse der letzten Regel einige Beispiele lösen.

Berechnen Sie die Werte von Ausdrücken:

Lösungen :

Wenn wir den achten Grad nicht beachten, was sehen wir hier? Werfen wir einen Blick auf das Programm der 7. Klasse. Also denk daran? Das ist die abgekürzte Multiplikationsformel, nämlich die Differenz von Quadraten!

Wir bekommen:

Wir schauen uns den Nenner genau an. Es sieht sehr nach einem der Zählerfaktoren aus, aber was ist falsch? Falsche Reihenfolge der Begriffe. Wenn sie umgekehrt wären, könnte Regel 3 angewendet werden, aber wie macht man das? Es stellt sich heraus, dass es sehr einfach ist: Hier hilft uns der gerade Grad des Nenners.

Wenn Sie es mit multiplizieren, ändert sich nichts, oder? Aber jetzt sieht es so aus:

Die Begriffe haben auf magische Weise die Plätze gewechselt. Dieses "Phänomen" gilt für jeden Ausdruck in gleichem Maße: Wir können die Zeichen in Klammern frei ändern. Aber es ist wichtig, sich daran zu erinnern: alle Zeichen ändern sich gleichzeitig! Es kann nicht durch Änderung ersetzt werden, nur ein beanstandetes Minus an uns!

Kommen wir zurück zum Beispiel:

Und nochmal die Formel:

Also jetzt die letzte Regel:

Wie werden wir es beweisen? Natürlich, wie immer: Erweitern wir das Konzept des Abschlusses und vereinfachen es:

Nun, lassen Sie uns jetzt die Klammern öffnen. Wie viele Buchstaben werden es sein? mal durch Multiplikatoren - wie sieht es aus? Dies ist nichts anderes als die Definition einer Operation Multiplikation: Insgesamt stellte sich heraus, dass es Multiplikatoren gab. Das heißt, es ist per Definition eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten:

Beispiel:

Grad mit irrationalem Exponenten

Neben Informationen zu den Abschlüssen für das Durchschnittsniveau werden wir den Abschluss mit einem irrationalen Indikator analysieren. Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier genau die gleichen wie für einen Grad mit einem rationalen Exponenten, mit der Ausnahme, dass irrationale Zahlen per Definition Zahlen sind, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (d.h , irrationale Zahlen sind alle reelle Zahlen außer rationale).

Beim Studium von Abschlüssen mit einem natürlichen, ganzzahligen und rationalen Indikator haben wir uns jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen ausgedacht. Ein natürlicher Exponent ist beispielsweise eine Zahl, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird; eine Zahl bis zum Grad null ist sozusagen eine einmal mit sich selbst multiplizierte Zahl, das heißt, sie hat noch nicht begonnen, sich zu multiplizieren, was bedeutet, dass die Zahl selbst noch nicht einmal aufgetreten ist - daher ist das Ergebnis nur a bestimmte „Vorbereitung einer Nummer“, nämlich eine Nummer; ein Grad mit einer negativen ganzen Zahl - es ist, als ob ein gewisser „umgekehrter Prozess“ stattgefunden hätte, dh die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern geteilt.

Es ist äußerst schwierig, sich einen Grad mit einem irrationalen Exponenten vorzustellen (ebenso wie es schwierig ist, sich einen 4-dimensionalen Raum vorzustellen). Vielmehr ist es ein rein mathematisches Objekt, das Mathematiker geschaffen haben, um das Konzept eines Grades auf den gesamten Zahlenraum auszudehnen.

Übrigens verwendet die Wissenschaft oft einen Grad mit einem komplexen Exponenten, das heißt, ein Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl. Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach, Sie haben die Möglichkeit, diese neuen Konzepte am Institut zu verstehen.

Was machen wir also, wenn wir einen irrationalen Exponenten sehen? Wir versuchen unser Bestes, um es loszuwerden! :)

Zum Beispiel:

Entscheide dich selbst:

1)

2)

3)

Antworten:

1. Erinnere dich an die Quadratdifferenz-Formel. Antworten: .
2. Wir bringen Brüche in dieselbe Form: entweder beide Dezimalzahlen oder beide gewöhnliche. Wir erhalten zum Beispiel: .
3. Nichts Besonderes, wir wenden die üblichen Eigenschaften von Graden an:

ABSCHNITT ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMEL

Grad heißt ein Ausdruck der Form: , wobei:

Grad mit ganzzahligem Exponenten

Grad, dessen Exponent eine natürliche Zahl ist (d. h. ganzzahlig und positiv).

Grad mit rationalem Exponenten

Grad, dessen Indikator negative und Bruchzahlen sind.

Grad mit irrationalem Exponenten

Exponent, dessen Exponent ein unendlicher Dezimalbruch oder eine Wurzel ist.

Grad Eigenschaften

Merkmale von Abschlüssen.

• Negative Zahl erhöht auf sogar Grad, - Zahl positiv.
• Negative Zahl erhöht auf seltsam Grad, - Zahl Negativ.
• Eine positive Zahl zu jeder Potenz ist eine positive Zahl.
• Null ist gleich jeder Potenz.
• Jede Zahl hoch null ist gleich.

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