Sei T ein Rotationskörper, der durch Rotation um die Abszissenachse eines krummlinigen Trapezes gebildet wird, das sich in der oberen Halbebene befindet und durch die Abszissenachse, die Geraden x=a und x=b und den Graphen einer stetigen Funktion y begrenzt wird =f(x) .

Lassen Sie uns das beweisen der Rotationskörper ist kubierbar und sein Volumen wird durch die Formel ausgedrückt

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Zuerst beweisen wir, dass dieser Rotationskörper regulär ist, wenn wir als \Pi die Ebene Oyz senkrecht zur Rotationsachse nehmen. Beachten Sie, dass der im Abstand x von der Ebene Oyz gelegene Schnitt ein Kreis mit dem Radius f(x) ist und seine Fläche S(x) \pi f^2(x) ist (Abb. 46). Daher ist die Funktion S(x) aufgrund der Stetigkeit von f(x) stetig. Als nächstes, wenn S(x_1)\leqslant S(x_2), dann bedeutet das . Aber die Projektionen der Schnitte auf die Ebene Oyz sind Kreise mit den Radien f(x_1) und f(x_2) mit Mittelpunkt O , und von f(x_1)\leqslant f(x_2) daraus folgt, dass der Kreis mit Radius f(x_1) im Kreis mit Radius f(x_2) enthalten ist.

Der Rotationskörper ist also regelmäßig. Daher ist es würfelbar und sein Volumen wird durch die Formel berechnet

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Wenn ein krummliniges Trapez sowohl von unten als auch von oben durch die Kurven y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) begrenzt wäre, dann

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Formel (3) kann auch verwendet werden, um das Volumen eines Rotationskörpers in dem Fall zu berechnen, wenn die Grenze der rotierenden Figur durch parametrische Gleichungen gegeben ist. In diesem Fall muss man die Variablenänderung unter dem bestimmten Integralzeichen verwenden.

In manchen Fällen erweist es sich als zweckmäßig, Rotationskörper nicht in gerade Kreiszylinder, sondern in Figuren anderer Art zu zerlegen.

Lassen Sie uns zum Beispiel finden das Volumen des Körpers, das durch Drehen eines krummlinigen Trapezes um die y-Achse erhalten wird. Lassen Sie uns zuerst das Volumen finden, das durch Drehen eines Rechtecks ​​mit einer Höhe von y# erhalten wird, an dessen Basis das Segment liegt. Dieses Volumen ist gleich der Differenz der Volumina zweier gerader Kreiszylinder

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Aber jetzt ist klar, dass das gewünschte Volumen von oben und unten wie folgt geschätzt wird:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Daraus folgt leicht Formel für das Volumen eines Rotationskörpers um die y-Achse:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

Beispiel 4 Berechne das Volumen einer Kugel mit dem Radius R.

Entscheidung. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit betrachten wir einen Kreis mit dem Radius R, dessen Mittelpunkt der Ursprung ist. Dieser Kreis, der sich um die Achse Ochse dreht, bildet eine Kugel. Die Kreisgleichung ist x^2+y^2=R^2 , also y^2=R^2-x^2 . Aufgrund der Symmetrie des Kreises um die y-Achse finden wir zunächst die Hälfte des gewünschten Volumens

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \left.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\right))\right|_(0)^(R)= \pi\ !\left(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Daher ist das Volumen der gesamten Kugel \frac(4)(3)\pi R^3.

Beispiel 5 Berechnen Sie das Volumen eines Kegels mit der Höhe h und dem Radius der Grundfläche r.

Entscheidung. Wir wählen ein Koordinatensystem so, dass die Ochsenachse mit der Höhe h zusammenfällt (Abb. 47), und wir nehmen die Spitze des Kegels als Ursprung. Dann kann die Gleichung der Geraden OA geschrieben werden als y=\frac(r)(h)\,x .

Mit Formel (3) erhalten wir:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \left.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\right|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

Beispiel 6 Ermitteln Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie sich um die Abszissenachse des Sterns drehen \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(cases)(Abb. 48).

Entscheidung. Bauen wir einen Astroiden. Betrachten Sie die Hälfte des oberen Teils des Astroiden, der sich symmetrisch zur y-Achse befindet. Unter Verwendung von Formel (3) und Ändern der Variablen unter das bestimmte Integralzeichen finden wir die Integrationsgrenzen für die neue Variable t.

Wenn x=a\cos^3t=0 , dann t=\frac(\pi)(2) , und wenn x=a\cos^3t=a , dann t=0 . Da y^2=a^2\sin^6t und dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, wir bekommen:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Das Volumen des gesamten Körpers, der durch die Rotation des Astroiden gebildet wird, wird sein \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Beispiel 7 Ermitteln Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie sich um die y-Achse eines krummlinigen Trapezes drehen, das von der Abszissenachse und dem ersten Bogen der Zykloide begrenzt wird \begin(cases)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(cases).

Entscheidung. Wir verwenden Formel (4): V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, und ersetzen Sie die Variable unter dem Integralzeichen, wobei Sie berücksichtigen, dass der erste Bogen der Zykloide gebildet wird, wenn sich die Variable t von 0 auf 2\pi ändert. Auf diese Weise,

\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2 )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\right)= 6\pi^3a^3. \end(ausgerichtet)

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Verwenden von Integralen, um Volumen von Rotationskörpern zu finden

Der praktische Nutzen der Mathematik liegt darin begründet, dass ohne

Spezifische mathematische Kenntnisse erschweren das Verständnis der Geräteprinzipien und des Einsatzes moderner Technik. Jeder Mensch muss in seinem Leben ziemlich komplexe Berechnungen durchführen, häufig verwendete Geräte verwenden, die notwendigen Formeln in Nachschlagewerken finden und einfache Algorithmen zur Lösung von Problemen zusammenstellen. In der modernen Gesellschaft werden immer mehr Fachrichtungen, die ein hohes Bildungsniveau erfordern, mit der direkten Anwendung der Mathematik in Verbindung gebracht. So wird Mathematik für ein Schulkind zu einem beruflich bedeutsamen Fach. Die führende Rolle kommt der Mathematik bei der Bildung des algorithmischen Denkens zu, sie bringt die Fähigkeit hervor, nach einem gegebenen Algorithmus zu handeln und neue Algorithmen zu entwerfen.

Beim Studium des Themas der Verwendung des Integrals zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern schlage ich vor, dass sich die Schüler in Wahlfächern mit dem Thema befassen: "Volumen von Rotationskörpern unter Verwendung von Integralen". Hier einige Hinweise zum Umgang mit diesem Thema:

1. Die Fläche einer flachen Figur.

Aus dem Studium der Algebra wissen wir, dass praktische Probleme zum Konzept eines bestimmten Integrals führten..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Um das Volumen eines Rotationskörpers zu finden, der durch die Rotation eines krummlinigen Trapezes um die Ox-Achse gebildet wird, die durch eine unterbrochene Linie y=f(x), die Ox-Achse, die geraden Linien x=a und x=b begrenzt ist, berechnen wir nach der Formel

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Das Volumen des Zylinders.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Den Kegel erhält man, indem man ein rechtwinkliges Dreieck ABC(C=90) um die Ox-Achse dreht, auf der das Bein AC liegt.

Segment AB liegt auf der Linie y=kx+c, wo https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Sei a=0, b=H (H ist die Höhe des Kegels), dann Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. Das Volumen eines Kegelstumpfes.

Ein Kegelstumpf kann durch Drehen eines rechteckigen Trapezes ABCD (CDOx) um die Ox-Achse erhalten werden.

Das Segment AB liegt auf der Linie y=kx+c, wobei , c=r.

Da die Gerade durch den Punkt A (0; r) geht.

Die gerade Linie sieht also so aus: https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Sei a=0, b=H (H ist die Höhe des Kegelstumpfes), dann https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Das Volumen des Balls.

Die Kugel erhält man, indem man einen Kreis mit Mittelpunkt (0;0) um die x-Achse dreht. Der über der x-Achse liegende Halbkreis ist durch die Gleichung gegeben

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

I. Volumen von Revolutionskörpern. Studieren Sie vorläufig Kapitel XII, S. 197, 198, nach dem Lehrbuch von G. M. Fikhtengol'ts*. Analysieren Sie im Detail die Beispiele auf S. 198.

508. Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch die Drehung der Ellipse um die x-Achse entsteht.

Auf diese Weise,

530. Ermitteln Sie die Fläche der Oberfläche, die durch die Rotation um die Achse Ox des Bogens der Sinuskurve y \u003d sin x vom Punkt X \u003d 0 bis zum Punkt X \u003d It gebildet wird.

531. Berechnen Sie die Oberfläche eines Kegels mit der Höhe h und dem Radius r.

532. Berechne die Fläche, die gebildet wird durch

Drehung des Astroiden x3 -) - y* - a3 um die x-Achse.

533. Berechnen Sie die Fläche der Oberfläche, die durch die Umkehrung der Schleife der Kurve 18 y-x(6-x)r um die x-Achse gebildet wird.

534. Finden Sie die Oberfläche des Torus, der durch die Drehung des Kreises X2 - j - (y-3)2 = 4 um die x-Achse entsteht.

535. Berechnen Sie die Fläche der Oberfläche, die durch die Drehung des Kreises X = a cost, y = asint um die Ox-Achse gebildet wird.

536. Berechnen Sie die Fläche der Oberfläche, die durch die Drehung der Schleife der Kurve x = 9t2, y = St - 9t3 um die Achse Ox gebildet wird.

537. Finden Sie die Fläche der Oberfläche, die durch die Drehung des Bogens der Kurve x = e * sint, y = el cost um die Achse Ox gebildet wird

von t = 0 bis t = -.

538. Zeigen Sie, dass die durch die Drehung des Bogens der Zykloide x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) um die Achse Oy erzeugte Fläche gleich 16 u2 o2 ist.

539. Finden Sie die Oberfläche, die Sie erhalten, indem Sie die Niere um die Polachse drehen.

540. Finde den Flächeninhalt, der durch die Drehung der Lemniskate entsteht um die Polachse.

Zusätzliche Aufgaben für Kapitel IV

Flächen von Flugzeugfiguren

541. Finden Sie die gesamte Fläche einer Region, die von einer Kurve begrenzt wird Und Achse Oh.

542. Finden Sie die Fläche der von der Kurve begrenzten Region

Und Achse Oh.

543. Finden Sie den Teil der Fläche der Region, der sich im ersten Quadranten befindet und von der Kurve begrenzt wird

l Koordinatenachsen.

544. Finden Sie den Bereich des darin enthaltenen Bereichs

Schleifen:

545. Finden Sie die Fläche der Region, die von einer Schleife der Kurve begrenzt wird:

546. Finden Sie den Bereich des Bereichs, der in der Schleife enthalten ist:

547. Finden Sie die Fläche der von der Kurve begrenzten Region

Und Achse Oh.

548. Finden Sie die Fläche der von der Kurve begrenzten Region

Und Achse Oh.

549. Finden Sie die Fläche der Region, die von der Oxr-Achse begrenzt wird

Gerade und Kurve

Wie man das Volumen eines Rotationskörpers berechnet
mit einem bestimmten Integral?

Im Allgemeinen gibt es viele interessante Anwendungen in der Integralrechnung. Mit Hilfe eines bestimmten Integrals können Sie die Fläche der Figur, das Volumen des Rotationskörpers, die Länge des Bogens berechnen. die Rotationsfläche und vieles mehr. Es wird also Spaß machen, bitte seien Sie optimistisch!

Stellen Sie sich eine flache Figur auf der Koordinatenebene vor. Repräsentiert? ... Ich frage mich, wer was präsentiert hat ... =))) Wir haben bereits seinen Bereich gefunden. Aber zusätzlich kann diese Figur auch gedreht werden, und zwar auf zwei Arten:

- um die x-Achse;
- um die y-Achse.

In diesem Artikel werden beide Fälle diskutiert. Die zweite Rotationsmethode ist besonders interessant, sie bereitet die größten Schwierigkeiten, aber tatsächlich ist die Lösung fast die gleiche wie bei der häufigeren Rotation um die x-Achse. Als Bonus werde ich darauf zurückkommen das Problem, die Fläche einer Figur zu finden, und sagen Ihnen, wie Sie den Bereich auf dem zweiten Weg finden - entlang der Achse. Nicht einmal so sehr ein Bonus, da das Material gut in das Thema passt.

Beginnen wir mit der beliebtesten Rotationsart.

flache Figur um eine Achse

Berechnen Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie die durch Linien begrenzte Figur um die Achse drehen.

Entscheidung: Wie beim Bereichsproblem, Die Lösung beginnt mit dem Zeichnen einer flachen Figur. Das heißt, in der Ebene ist es notwendig, eine durch Linien begrenzte Figur zu bauen , , wobei nicht zu vergessen ist, dass die Gleichung die Achse definiert . Wie Sie eine Zeichnung rationeller und schneller erstellen, finden Sie auf den Seiten Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen und . Dies ist eine chinesische Erinnerung und ich höre an dieser Stelle nicht auf.

Die Zeichnung hier ist ziemlich einfach:

Die gewünschte flache Figur ist blau schattiert und dreht sich um die Achse.Durch die Drehung erhält man eine solche leicht eiförmige fliegende Untertasse, die symmetrisch um die Achse ist. Tatsächlich hat der Körper einen mathematischen Namen, aber es ist zu faul, etwas im Nachschlagewerk anzugeben, also machen wir weiter.

Wie berechnet man das Volumen eines Rotationskörpers?

Das Volumen eines Rotationskörpers kann mit der Formel berechnet werden:

In der Formel muss vor dem Integral eine Zahl stehen. Es geschah - alles, was sich im Leben dreht, ist mit dieser Konstante verbunden.

Wie man die Integrationsgrenzen "a" und "be" festlegt, ist meiner Meinung nach anhand der fertigen Zeichnung leicht zu erraten.

Funktion... was ist das für eine Funktion? Schauen wir uns die Zeichnung an. Die flache Figur wird von oben durch den Parabelgraphen begrenzt. Dies ist die Funktion, die in der Formel impliziert ist.

Bei praktischen Aufgaben kann sich manchmal eine flache Figur unterhalb der Achse befinden. Das ändert nichts - der Integrand in der Formel wird quadriert: , also Integral ist immer nicht negativ, was ganz logisch ist.

Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers mit dieser Formel:

Wie ich schon bemerkt habe, stellt sich das Integral fast immer als einfach heraus, Hauptsache man muss aufpassen.

Antworten:

In der Antwort muss die Dimension angegeben werden - Kubikeinheiten. Das heißt, in unserem Rotationskörper gibt es ungefähr 3,35 "Würfel". Warum genau kubisch Einheiten? Weil die universellste Formulierung. Es können Kubikzentimeter, Kubikmeter, Kubikkilometer usw. sein, so viele kleine grüne Männchen passen in eine fliegende Untertasse.

Finden Sie das Volumen des Körpers, das durch Drehung um die Achse der Figur gebildet wird, die durch die Linien begrenzt wird , ,

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Betrachten wir zwei komplexere Probleme, die auch in der Praxis häufig anzutreffen sind.

Berechnen Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie sich um die Abszissenachse der durch die Linien , , und begrenzten Figur drehen

Entscheidung: Zeichnen Sie eine flache Figur in die Zeichnung, begrenzt durch die Linien , , , , und vergessen Sie dabei nicht, dass die Gleichung die Achse definiert:

Die gewünschte Figur ist blau hinterlegt. Wenn es sich um die Achse dreht, erhält man einen solchen surrealen Donut mit vier Ecken.

Das Volumen des Rotationskörpers berechnet sich zu Unterschied des Körpervolumens.

Schauen wir uns zunächst die rot eingekreiste Figur an. Wenn es sich um die Achse dreht, wird ein Kegelstumpf erhalten. Bezeichnen wir das Volumen dieses Kegelstumpfes als .

Betrachten Sie die grün eingekreiste Figur. Wenn Sie diese Figur um die Achse drehen, erhalten Sie ebenfalls einen Kegelstumpf, nur etwas kleiner. Bezeichnen wir sein Volumen mit .

Und natürlich ist der Volumenunterschied genau das Volumen unseres "Donuts".

Wir verwenden die Standardformel, um das Volumen eines Rotationskörpers zu finden:

1) Die rot eingekreiste Figur wird von oben durch eine Gerade begrenzt, also:

2) Die grün eingekreiste Figur wird von oben durch eine Gerade begrenzt, also:

3) Das Volumen des gewünschten Rotationskörpers:

Antworten:

Es ist merkwürdig, dass in diesem Fall die Lösung mit der Schulformel zur Berechnung des Volumens eines Kegelstumpfes überprüft werden kann.

Die Entscheidung selbst wird oft verkürzt, etwa so:

Lassen Sie uns jetzt eine Pause machen und über geometrische Illusionen sprechen.

Menschen haben oft Illusionen, die mit Volumen verbunden sind, was Perelman (ein anderer) in dem Buch bemerkte Interessante Geometrie. Schauen Sie sich die flache Figur im gelösten Problem an - sie scheint eine kleine Fläche zu haben, und das Volumen des Rotationskörpers beträgt etwas mehr als 50 Kubikeinheiten, was zu groß erscheint. Übrigens trinkt der durchschnittliche Mensch in seinem ganzen Leben eine Flüssigkeit mit dem Volumen eines Zimmers von 18 Quadratmetern, was im Gegenteil ein zu kleines Volumen zu sein scheint.

Nach einem lyrischen Exkurs ist es nur angebracht, eine kreative Aufgabe zu lösen:

Berechnen Sie das Volumen eines Körpers, der durch Drehung um die Achse einer flachen Figur gebildet wird, die durch die Linien , , begrenzt wird, wobei .

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Bitte beachten Sie, dass alle Dinge im Band passieren, also vorgefertigte Integrationsgrenzen tatsächlich vorgegeben sind. Zeichnen Sie Graphen trigonometrischer Funktionen richtig, ich werde Sie an das Material der Lektion erinnern geometrische Transformationen von Graphen: wenn das Argument durch zwei teilbar ist: , dann werden die Graphen zweimal entlang der Achse gestreckt. Es ist wünschenswert, mindestens 3-4 Punkte zu finden nach trigonometrischen Tabellen um die Zeichnung genauer zu vervollständigen. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Übrigens kann die Aufgabe rational und nicht sehr rational gelöst werden.

Berechnung des Volumens eines durch Rotation gebildeten Körpers
flache Figur um eine Achse

Der zweite Absatz wird noch interessanter als der erste. Auch die Aufgabe, das Volumen eines Rotationskörpers um die y-Achse zu berechnen, ist ein häufiger Gast in Tests. Im Vorbeigehen wird berücksichtigt Problem, die Fläche einer Figur zu finden Der zweite Weg - durch die Integration entlang der Achse können Sie nicht nur Ihre Fähigkeiten verbessern, sondern Ihnen auch beibringen, wie Sie die rentabelste Lösung finden. Es hat auch eine praktische Bedeutung! Wie sich meine Lehrerin für Mathematikdidaktik schmunzelnd erinnerte, bedankten sich viele Absolventen mit den Worten: „Ihr Fach hat uns sehr geholfen, jetzt sind wir effektive Manager und führen unsere Mitarbeiter optimal.“ Bei dieser Gelegenheit spreche ich auch ihr meinen großen Dank aus, zumal ich das erworbene Wissen zweckentsprechend einsetze =).

Ich empfehle es jedem zu lesen, sogar kompletten Dummies. Darüber hinaus wird das assimilierte Material des zweiten Absatzes eine unschätzbare Hilfe bei der Berechnung von Doppelintegralen sein.

Gegeben sei eine flache Figur, die durch Linien , , begrenzt ist.

1) Finden Sie die Fläche einer flachen Figur, die von diesen Linien begrenzt wird.
2) Ermitteln Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie eine von diesen Linien begrenzte flache Figur um die Achse drehen.

Beachtung! Auch wenn Sie nur den zweiten Absatz lesen möchten, lesen Sie unbedingt zuerst den ersten!

Entscheidung: Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen. Beginnen wir mit dem Quadrat.

1) Lassen Sie uns die Zeichnung ausführen:

Es ist leicht zu sehen, dass die Funktion den oberen Ast der Parabel und die Funktion den unteren Ast der Parabel definiert. Vor uns liegt eine triviale Parabel, die „auf der Seite liegt“.

Die gesuchte Figur, deren Fläche gefunden werden soll, ist blau hinterlegt.

Wie finde ich die Fläche einer Figur? Es kann auf die "übliche" Weise gefunden werden, die in der Lektion berücksichtigt wurde. Bestimmtes Integral. Wie man die Fläche einer Figur berechnet. Darüber hinaus ergibt sich die Fläche der Figur als Summe der Flächen:
- auf dem Segment ;
- auf dem Segment.

So:

Was ist in diesem Fall falsch an der üblichen Lösung? Erstens gibt es zwei Integrale. Zweitens sind Wurzeln unter Integralen und Wurzeln in Integralen kein Geschenk, außerdem kann man verwirrt werden, wenn man die Grenzen der Integration ersetzt. Tatsächlich sind die Integrale natürlich nicht tödlich, aber in der Praxis ist alles viel trauriger, ich habe einfach „bessere“ Funktionen für die Aufgabe herausgegriffen.

Es gibt eine rationellere Lösung: Sie besteht im Übergang zu Umkehrfunktionen und Integration entlang der Achse.

Wie geht man zu Umkehrfunktionen über? Grob gesagt müssen Sie "x" bis "y" ausdrücken. Beschäftigen wir uns zunächst mit der Parabel:

Das ist genug, aber stellen wir sicher, dass die gleiche Funktion vom unteren Zweig abgeleitet werden kann:

Mit einer geraden Linie ist alles einfacher:

Schauen Sie sich jetzt die Achse an: Bitte neigen Sie Ihren Kopf regelmäßig um 90 Grad nach rechts, während Sie es erklären (das ist kein Scherz!). Die benötigte Figur liegt auf dem Segment, das durch die rot gepunktete Linie gekennzeichnet ist. Außerdem befindet sich auf dem Segment die gerade Linie über der Parabel, was bedeutet, dass die Fläche der Figur mit der Ihnen bereits bekannten Formel ermittelt werden sollte: . Was hat sich an der Formel geändert? Nur ein Brief, mehr nicht.

! Notiz: Integrationsgrenzen entlang der Achse sollen gesetzt werden streng von unten nach oben!

Bereich finden:

Auf dem Segment also:

Achten Sie darauf, wie ich die Integration durchgeführt habe, dies ist der rationalste Weg, und im nächsten Absatz der Aufgabe wird klar, warum.

Für Leser, die an der Richtigkeit der Integration zweifeln, werde ich Ableitungen finden:

Der ursprüngliche Integrand wird erhalten, was bedeutet, dass die Integration korrekt durchgeführt wird.

Antworten:

2) Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch die Drehung dieser Figur um die Achse entsteht.

Ich werde die Zeichnung in einem etwas anderen Design neu zeichnen:

Die blau schattierte Figur dreht sich also um die Achse. Das Ergebnis ist ein „schwebender Schmetterling“, der sich um seine eigene Achse dreht.

Um das Volumen des Rotationskörpers zu finden, integrieren wir entlang der Achse. Zuerst müssen wir uns den Umkehrfunktionen zuwenden. Dies wurde bereits im vorherigen Absatz ausgeführt und ausführlich beschrieben.

Jetzt neigen wir den Kopf wieder nach rechts und studieren unsere Figur. Offensichtlich sollte das Volumen des Rotationskörpers als Differenz zwischen den Volumina gefunden werden.

Wir drehen die rot eingekreiste Figur um die Achse, wodurch ein Kegelstumpf entsteht. Lassen Sie uns dieses Volumen mit bezeichnen.

Wir drehen die grün eingekreiste Figur um die Achse und bezeichnen sie durch das Volumen des resultierenden Rotationskörpers.

Das Volumen unseres Schmetterlings ist gleich der Volumendifferenz.

Wir verwenden die Formel, um das Volumen eines Rotationskörpers zu finden:

Wie unterscheidet es sich von der Formel des vorherigen Absatzes? Nur in Buchstaben.

Und hier ist der Vorteil der Integration, über den ich vor einer Weile gesprochen habe, es ist viel einfacher zu finden als den Integranden vorläufig in die 4. Potenz zu erheben.

Antworten:

Beachten Sie, dass, wenn dieselbe flache Figur um die Achse gedreht wird, ein völlig anderer Rotationskörper mit einem anderen natürlich Volumen entsteht.

Gegeben sei eine durch Linien begrenzte flache Figur und eine Achse.

1) Gehen Sie zu Umkehrfunktionen und finden Sie die Fläche einer flachen Figur, die durch diese Linien begrenzt wird, indem Sie über die Variable integrieren.
2) Berechnen Sie das Volumen des Körpers, den Sie erhalten, indem Sie eine von diesen Linien begrenzte flache Figur um die Achse drehen.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Wer möchte, kann den Bereich der Figur auch auf "übliche" Weise finden und damit den Test von Punkt 1) abschließen. Aber wenn, ich wiederhole, Sie eine flache Figur um die Achse drehen, dann bekommen Sie einen ganz anderen Rotationskörper mit einem anderen Volumen, übrigens die richtige Antwort (auch für diejenigen, die gerne lösen).

Die vollständige Lösung der beiden vorgeschlagenen Punkte der Aufgabe am Ende der Lektion.

Oh, und vergessen Sie nicht, Ihren Kopf nach rechts zu neigen, um Rotationskörper und Integration zu verstehen!

Ich wollte den Artikel schon fertig machen, aber heute haben sie ein interessantes Beispiel gebracht, nur um das Volumen eines Rotationskörpers um die y-Achse zu finden. Frisch:

Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch Drehung um die durch die Kurven und begrenzte Achse der Figur gebildet wird.

Entscheidung: Machen wir eine Zeichnung:

Nebenbei machen wir uns mit den Graphen einiger anderer Funktionen vertraut. Solch ein interessanter Graph einer geraden Funktion ....