>>Mathe: Was bedeutet die Schreibweise y = f(x) in der Mathematik

Was bedeutet der Eintrag y \u003d f (x) in der Mathematik?

Wenn sie einen realen Prozess untersuchen, achten sie normalerweise auf zwei an dem Prozess beteiligte Größen (bei komplexeren Prozessen sind nicht zwei Größen beteiligt, sondern drei, vier usw., aber wir betrachten solche Prozesse noch nicht): eine davon ändert sich wie von selbst, unabhängig von irgendetwas (wir haben eine solche Variable mit dem Buchstaben x bezeichnet), und der andere Wert nimmt Werte an, die von den ausgewählten Werten der Variablen x abhängen (wir haben eine solche abhängige Variable bezeichnet mit dem Buchstaben y). mathematisches Modell der wirkliche Prozess ist gerade die Aufzeichnung in der mathematischen Sprache der Abhängigkeit von y von x, d.h. Beziehungen zwischen x und y. Erinnern Sie sich noch einmal daran, dass wir bisher die folgenden mathematischen Modelle untersucht haben: y = b, y = kx, y = kx + m, y = x 2 .

Haben diese mathematischen Modelle etwas gemeinsam? Es gibt! Ihre Struktur ist dieselbe: y = f(x).

Dieser Eintrag ist wie folgt zu verstehen: Es gibt einen Ausdruck f(x) mit einer Variablen x, mit dessen Hilfe die Werte der Variablen y gefunden werden.

Mathematiker bevorzugen aus gutem Grund die Schreibweise y = f(x). Sei zum Beispiel f (x) \u003d x 2, d.h. wir redenÜber Funktionen y = x 2. Angenommen, wir müssen mehrere Werte des Arguments und die entsprechenden Werte der Funktion auswählen. Bisher haben wir so geschrieben:

wenn x \u003d 1, dann y \u003d ich 2 \u003d 1;
wenn x \u003d - 3, dann y \u003d (- Z) 2 \u003d 9 usw.

Wenn wir die Notation f (x) \u003d x 2 verwenden, wird die Notation wirtschaftlicher:

f(1) = 1 2 = 1;
f(-3) = (-3) 2 = 9.

Also haben wir ein weiteres Fragment kennengelernt mathematische Sprache: Der Satz "der Wert der Funktion y \u003d x 2 am Punkt x \u003d 2 ist 4" wird kürzer geschrieben:

"wenn y \u003d f (x), wobei f (x) \u003d x 2, dann f (2) \u003d 4."

Und hier ist ein Beispiel für eine Rückübersetzung:

Wenn y \u003d f (x), wobei f (x) \u003d x 2, dann f (- 3) \u003d 9. Auf andere Weise der Wert der Funktion y \u003d x 2 am Punkt x \u003d - 3 ist 9.

BEISPIEL 1. Gegeben eine Funktion y \u003d f (x), wobei f (x) \u003d x 3. Berechnung:

a) f(1); b) f(- 4); Finanzvorstand); d) f(2a);
e) f(a-1); f) f(3x); g) f(-x).

Entscheidung. Der Aktionsplan ist in allen Fällen derselbe: Im Ausdruck f(x) müssen Sie anstelle von x den Wert des in Klammern angegebenen Arguments einsetzen und die entsprechenden Berechnungen und Transformationen durchführen. Wir haben:

Kommentar. Anstelle des Buchstabens f können Sie natürlich jeden anderen Buchstaben verwenden (meistens aus dem lateinischen Alphabet): g (x), h (x), s (x) usw.

Beispiel 2 Es sind zwei Funktionen gegeben: y \u003d f (x), wobei f (x) \u003d x 2, und y \u003d g (x), wobei g (x) \u003d x 3. Beweise das:

a) f(-x) = f(x); b) g(-x)=-g(x).

Lösung a) Da f (x) \u003d x 2, dann f (- x) \u003d (- x) 2 \u003d x 2. Also f (x) \u003d x 2, f (- x) \u003d x 2, dann f (- x) \u003d f (x)

b) Da g (x) \u003d x 3, dann g (- x) \u003d -x 3, d.h. g(-x) = -g(x).

Die Verwendung eines mathematischen Modells der Form y = f(x) erweist sich in vielen Fällen als zweckmäßig, insbesondere dann, wenn der reale Vorgang durch unterschiedliche Formeln bei unterschiedlichen Änderungsintervallen der unabhängigen Variablen beschrieben wird.

Lassen Sie uns einige Eigenschaften der Funktion y - f (x) beschreiben, indem wir den in Abbildung 68 konstruierten Graphen verwenden - eine solche Beschreibung der Eigenschaften wird normalerweise als Lesen des Graphen bezeichnet.

Das Lesen eines Graphen ist eine Art Übergang von einem geometrischen Modell (von einem grafischen Modell) zu einem verbalen Modell (zu einer Beschreibung der Eigenschaften einer Funktion). SONDERN
Plotten ist ein Übergang von einem analytischen Modell (es wird in der Bedingung von Beispiel 4 dargestellt) zu einem geometrischen Modell.

Beginnen wir also mit dem Lesen des Diagramms der Funktion y \u003d f (x) (siehe Abb. 68).

1. Die unabhängige Variable x durchläuft alle Werte von -4 bis 4. Mit anderen Worten, für jeden Wert von x aus dem Segment [-4, 4] können Sie den Wert der Funktion f(x) berechnen. Sie sagen Folgendes: [-4, 4] - der Umfang der Funktion.

Warum haben wir bei der Lösung von Beispiel 4 gesagt, dass es unmöglich sei, f(5) zu finden? Ja, denn der Wert x = 5 gehört nicht zum Funktionsumfang.

2. y naim = -2 (die Funktion erreicht diesen Wert bei x = -4); Bei der Nanb. = 2 (die Funktion erreicht diesen Wert an jedem Punkt des Halbintervalls (0, 4).

3. y = 0, wenn 1 = -2 und wenn x = 0; an diesen Punkten schneidet der Graph der Funktion y = f(x) die x-Achse.

4. y > 0 wenn x є (-2, 0) oder wenn x є (0, 4]; In diesen Intervallen befindet sich der Graph der Funktion y \u003d f (x) über der x-Achse.

5. J< 0, если же [- 4, - 2); на этом промежутке график функции у = f(x) расположен ниже оси х.

6. Die Funktion nimmt im Intervall [-4, -1] zu, nimmt im Intervall [-1, 0] ab und ist im Halbintervall (0,4) konstant (weder steigend noch fallend).

Wenn wir neue Eigenschaften von Funktionen untersuchen, wird der Prozess des Lesens des Graphen intensiver, aussagekräftiger und interessanter.

Lassen Sie uns eine dieser neuen Eigenschaften besprechen. Der Graph der in Beispiel 4 betrachteten Funktion besteht aus drei Zweigen (aus drei "Stücken"). Der erste und der zweite Zweig (ein gerades Liniensegment y \u003d x + 2 und ein Teil der Parabel) werden erfolgreich „verbunden“: Das Segment endet am Punkt (-1; 1) und der Parabelabschnitt beginnt am selben Punkt . Aber der zweite und der dritte Ast sind weniger erfolgreich „zusammengefügt“: Der dritte Ast („Stück“ der horizontalen Linie) beginnt nicht am Punkt (0; 0), sondern am Punkt (0; 4). Mathematiker sagen dazu: „Die Funktion y = f(x) erfährt einen Bruch bei x = 0 (oder am Punkt x = 0)“. Besitzt die Funktion keine Unstetigkeitsstellen, so heißt sie stetig. Alle Funktionen, die wir in den vorherigen Abschnitten getroffen haben (y = b, y = kx, y = kx + m, y = x2), sind also stetig.

Beispiel 5. Gegeben eine Funktion. Es ist erforderlich, seinen Zeitplan zu erstellen und zu lesen.

Entscheidung. Wie Sie sehen können, wird hier die Funktion durch einen ziemlich komplizierten Ausdruck angegeben. Aber die Mathematik ist eine einzige und integrale Wissenschaft, ihre Teilgebiete sind eng miteinander verbunden. Lassen Sie uns das anwenden, was wir in Kapitel 5 gelernt haben, und reduzieren algebraischer Bruch

gilt nur unter der Einschränkung Daher können wir das Problem wie folgt umformulieren: statt der Funktion y = x 2
Wir betrachten die Funktion y \u003d x 2, wobei Wir konstruieren eine Parabel y \u003d x 2 auf der Koordinatenebene xOy.
Die Gerade x = 2 schneidet sie im Punkt (2; 4). Bedingungsgemäß bedeutet es aber, dass wir den Punkt (2; 4) der Parabel von der Betrachtung ausschließen müssen, wozu wir diesen Punkt in der Zeichnung mit einem hellen Kreis markieren.

So wird der Graph der Funktion erstellt - es ist eine Parabel y \u003d x 2 mit einem „ausgestanzten“ Punkt (2; 4) (Abb. 69).

Fahren wir mit der Beschreibung der Eigenschaften der Funktion y \u003d f (x) fort, d. H. Lesen ihres Diagramms:

1. Die unabhängige Variable x nimmt beliebige Werte außer x = 2 an. Dies bedeutet, dass der Definitionsbereich der Funktion aus zwei offenen Strahlen (- 0 o, 2) besteht und

2. y max = 0 (erreicht bei x = 0), y max _ existiert nicht.

3. Die Funktion ist nicht stetig, sie erfährt eine Diskontinuität bei x = 2 (am Punkt x = 2).

4. y = 0, wenn x = 0.

5. y\u003e 0 wenn x є (-oo, 0), wenn x є (0, 2) und wenn x є (B, + oo).
6. Die Funktion nimmt auf dem Strahl ab (- ω, 0], nimmt auf dem Halbintervall zu.

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Funktion $f(x)=|x|$

$|x|$ - Modul. Er ist wie folgt definiert: Wenn die reelle Zahl nicht negativ ist, dann ist der Modulo-Wert derselbe wie die Zahl selbst. Wenn es negativ ist, dann stimmt der Wert des Moduls mit dem absoluten Wert der gegebenen Zahl überein.

Mathematisch lässt sich das wie folgt schreiben:

Beispiel 1

Funktion $f(x)=[x]$

Die Funktion $f\left(x\right)=[x]$ ist eine Funktion des ganzzahligen Teils einer Zahl. Sie wird gefunden, indem die Zahl (wenn sie selbst keine ganze Zahl ist) "abgerundet" wird.

Beispiel: $=2.$

Beispiel 2

Lass es uns erkunden und plotten.

1. $D\links(f\rechts)=R$.
2. Offensichtlich nimmt diese Funktion nur ganzzahlige Werte an, also $\ E\left(f\right)=Z$
3. $f\links(-x\rechts)=[-x]$. Daher wird diese Funktion von allgemeiner Form sein.
4. $(0,0)$ ist der einzige Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen.
5. $f"\links(x\rechts)=0$
6. Die Funktion hat Haltepunkte (Funktionssprünge) für alle $x\in Z$.

Figur 2.

Funktion $f\links(x\rechts)=\(x\)$

Die Funktion $f\left(x\right)=\(x\)$ ist die Funktion des Bruchteils einer Zahl. Sie wird gefunden, indem der ganzzahlige Teil dieser Zahl "verworfen" wird.

Beispiel 3

Untersuchen und Plotten eines Funktionsgraphen

Funktion $f(x)=zeichen(x)$

Die Funktion $f\left(x\right)=sign(x)$ ist eine Vorzeichenfunktion. Diese Funktion zeigt, welches Vorzeichen eine reelle Zahl hat. Ist die Zahl negativ, dann hat die Funktion den Wert $-1$. Wenn die Zahl positiv ist, dann ist die Funktion gleich eins. Wenn der Wert der Zahl Null ist, nimmt der Wert der Funktion ebenfalls den Wert Null an.

Wenn eine Reihe von Zahlen angegeben ist X und der Weg f, womit für jeden Wert XЄ X stimmt nur mit einer Zahl überein beim. Dann wird überlegt gegebene Funktion j = f(X), in welchem Domain X(normalerweise bezeichnet D(f) = X). Ein Haufen Y alle Werte beim, für die es mindestens einen Wert gibt XЄ X, so dass j = f(X), heißt eine solche Menge Satz von Werten Funktionen f(am häufigsten genannt E(f)= Y).

Oder Abhängigkeit von einer einzigen Variablen beim von einem anderen X, für die jeder Wert der Variablen X aus einem bestimmten Satz D entspricht dem einzelnen Wert der Variablen beim, wird genannt Funktion.

Die funktionale Abhängigkeit der Variablen y von x wird oft durch die Notation y(x) betont, die von y aus x gelesen wird.

Domain Funktionen beim(X), d.h. die Wertemenge seines Arguments X, gekennzeichnet durch das Symbol D(j), die de aus y gelesen wird.

Wertebereich Funktionen beim(X), d. h. die Wertemenge, die die Funktion y annimmt, wird mit dem Symbol bezeichnet E(beim), die e von Y lesen.

Die wichtigsten Möglichkeiten, eine Funktion zu definieren, sind:

a) analytisch(mit der Formel j = f(X)). Dieses Verfahren schließt auch Fälle ein, in denen die Funktion durch ein Gleichungssystem gegeben ist. Wenn eine Funktion durch eine Formel gegeben ist, dann ist ihr Definitionsbereich all jene Werte des Arguments, für die der auf der rechten Seite der Formel geschriebene Ausdruck Werte hat.

b) tabellarisch(unter Verwendung einer Tabelle mit entsprechenden Werten X und beim). Auf diese Weise werden oft das Temperaturregime oder die Wechselkurse festgelegt, aber diese Methode ist nicht so klar wie die nächste;

in) Grafik(unter Verwendung eines Diagramms). Dies ist eine der visuellsten Möglichkeiten, eine Funktion einzustellen, da Änderungen sofort anhand des Diagramms "gelesen" werden. Wenn die Funktion beim(X) durch den Graphen gegeben ist, dann sein Definitionsbereich D(j) ist die Projektion des Diagramms auf die x-Achse und der Wertebereich E(beim) - Projektion des Graphen auf die y-Achse (siehe Abbildung).

G) verbal. Diese Methode wird häufig bei Problemen bzw. bei der Beschreibung ihrer Zustände verwendet. Normalerweise wird diese Methode durch eine der oben genannten ersetzt.

Funktionen j = f(X), xЄ X, und j = g(X), xЄ X, werden genannt identisch gleich auf einer Teilmenge M Mit X wenn für jeden x 0 Є M faire Gleichberechtigung f(X 0) = g(X 0).

Funktionsgraph j = f(X) kann als Menge solcher Punkte dargestellt werden ( X; f(X)) auf der Koordinatenebene, wo X ist eine beliebige Variable, von D(f). Wenn ein f(X 0) = 0, wobei X 0 dann der Punkt mit Koordinaten ( x 0; 0) ist der Punkt, an dem der Graph der Funktion j = f(X) schneidet die O-Achse x. Wenn 0Є D(f), dann der Punkt (0; f(0)) ist der Punkt, an dem der Graph der Funktion beim = f(x) schneidet die O-Achse beim.

Anzahl X 0 von D(f) Funktionen j = f(X) ist die Nullstelle der Funktion, wenn f(X 0) = 0.

Lücke M Mit D(f) Das Konstanz Intervall Funktionen j = f(X) wenn entweder für eine willkürliche xЄ M Rechts f(X) > 0, oder für eine beliebige XЄ M Rechts f(X) < 0.

Es gibt Haushaltsgeräte, die Abhängigkeitsdiagramme zwischen Größen zeichnen. Dies sind Barographen - Geräte zur Feststellung der Zeitabhängigkeit des Luftdrucks, Thermographen - Geräte zur Feststellung der Zeitabhängigkeit der Temperatur, Kardiographen - Geräte zur grafischen Aufzeichnung der Herzaktivität. Der Thermograf hat eine Trommel, sie dreht sich gleichmäßig. Das auf die Trommel gewickelte Papier wird von einem Schreiber berührt, der sich je nach Temperatur hebt und senkt und eine bestimmte Linie auf das Papier zeichnet.

Von der Darstellung einer Funktion durch eine Formel können Sie zu ihrer Darstellung in einer Tabelle und einem Diagramm übergehen.

Beim Studium der Mathematik ist es sehr wichtig zu verstehen, was eine Funktion ist, ihre Bereiche und Bedeutungen. Mit Hilfe des Studiums von Funktionen bis zu einem Extremum können viele Probleme in der Algebra gelöst werden. Sogar Probleme in der Geometrie laufen manchmal darauf hinaus, die Gleichungen geometrischer Figuren auf einer Ebene zu betrachten.

Lassenj- einige variable Funktionx; außerdem spielt es keine Rolle, wie diese Funktion gegeben ist: durch eine Formel, eine Tabelle oder auf andere Weise. Wichtig ist nur die Tatsache der Existenz dieser funktionalen Abhängigkeit, die wie folgt geschrieben wird:j = f(x). Buchstabef(der Anfangsbuchstabe des lateinischen Wortes „functio“ - Funktion) bezeichnet ebenso wie die Buchstaben keinen WertProtokoll, Sünde, Bräune in Funktionsaufzeichnungenj= anmeldenx, j= Sündex, j= braunx. Sie sprechen nur über bestimmte funktionale Abhängigkeiten.jausx. Aufzeichnungj = f (x) istirgendeinfunktionale Abhängigkeit. Wenn zwei funktionale Abhängigkeiten:jausxundzaustunterscheiden sich voneinander, sie werden mit unterschiedlichen Buchstaben geschrieben:j = f (x) undz = F (t). Wenn einige Abhängigkeiten gleich sind, werden sie mit demselben Buchstaben geschriebenf: j = f (x) undz = f (t). Wenn der Ausdruck für die funktionale Abhängigkeitj = f (x) bekannt ist, kann sie in beiden Funktionsnotationen geschrieben werden. Zum Beispiel,j= Sünde x oder f(x) = Sünde x. Beide Formen sind völlig gleichwertig. Manchmal wird auch eine andere Schreibweise verwendet: j (x). Das bedeutet dasselbe wie j = f (x).

Grafische Darstellung von Funktionen.

Um eine Funktion darzustellenj = f(x) in Form eines Diagramms benötigen Sie:

1) Schreiben Sie eine Reihe von Werten der Funktion und ihres Arguments in die Tabelle:

2) Übertragen Sie die Koordinaten der Punkte der Funktion aus der Tabelle in das Koordinatensystem,

notieren Sie, entsprechend der gewählten Skala, die Werte der Abszisse auf

AchsenXund die Werte der Ordinaten auf der AchseY(Abb. 2). Als Ergebnis in unserem System

Koordinaten, wird eine Reihe von Punkten erstelltA, B, C, . . . , F.

3) Verbinden der PunkteA, B, C, . . . , Fglatte Kurve, erhalten wir einen Graphen einer gegebenen

funktionale Abhängigkeit.

Eine solche grafische Darstellung einer Funktion gibt eine visuelle Darstellung der Art ihres Verhaltens, aber die in diesem Fall erreichte Genauigkeit ist unzureichend. Es ist möglich, dass Zwischenpunkte, die nicht in das Diagramm eingezeichnet sind, weit von der gezeichneten glatten Kurve entfernt liegen. Gute Ergebnisse hängen in hohem Maße auch von einer guten Waagenwahl ab. Daher sollte es bestimmt werden Funktionsgraph als Ort der Punkte , Koordinaten welche M (x, y) durch eine gegebene funktionale Abhängigkeit verbunden sind .

Umfang und Reichweite der Funktion. In der Elementarmathematik werden Funktionen nur auf der Menge der reellen Zahlen untersucht R. Das bedeutet, dass das Funktionsargument nur die realen Werte annehmen kann, für die die Funktion definiert ist, also es akzeptiert auch nur reale Werte. Ein Haufen X alle gültigen gültigen Werte des Arguments x, für die die Funktion j= f(x) definiert, genannt Funktionsumfang. Ein Haufen Y alles echte Werte j die die Funktion akzeptiert, wird aufgerufen Funktionsumfang. Jetzt können wir die Funktion genauer definieren: Regel (Gesetz) der Korrespondenz zwischen den Mengen X und Y, mit der für jedes Element aus der Menge X genau ein Element aus der Menge Y gefunden werden kann, heißt Funktion.