Ein rationaler Ausdruck ist ein algebraischer Ausdruck, der keine Radikale enthält. Mit anderen Worten, dies ist eine oder mehrere algebraische Größen (Zahlen und Buchstaben), die durch Zeichen arithmetischer Operationen miteinander verbunden sind: Addition, Subtraktion, Multiplikation ... ... Wikipedia

Ein algebraischer Ausdruck, der keine Radikale enthält und nur die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division umfasst. Zum Beispiel a2 + b, x/(y z2) … Großes enzyklopädisches Wörterbuch

Ein algebraischer Ausdruck, der keine Radikale enthält und nur die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division umfasst. Zum Beispiel a2 + b, x/(yz2). * * * RATIONALER AUSDRUCK RATIONALER AUSDRUCK, ein algebraischer Ausdruck, der nicht ... ... enthält Enzyklopädisches Wörterbuch

Ein algebraischer Ausdruck, der keine Radikale enthält, wie z. B. a2 + b, x/(y z3). Wenn in R. Jahrhundert enthalten. Buchstaben gelten als Variablen, dann R. in. definiert eine rationale Funktion (Siehe Rationale Funktion) dieser Variablen ... Große sowjetische Enzyklopädie

Ein algebraischer Ausdruck, der keine Radikale enthält und nur die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division umfasst. Zum Beispiel a2 + b, x/(y z2) ... Naturwissenschaft. Enzyklopädisches Wörterbuch

AUSDRUCK- das primäre mathematische Konzept, dh eine Reihe von Buchstaben und Zahlen, die durch Vorzeichen von arithmetischen Operationen verbunden sind, wobei Klammern, Funktionssymbole usw. verwendet werden können; normalerweise ist B der Formel-Millionenteil davon. Unterscheide in (1) ... ... Große polytechnische Enzyklopädie

RATIONAL- (Rational; Rational) ein Begriff, der verwendet wird, um Gedanken, Gefühle und Handlungen zu beschreiben, die mit dem Verstand übereinstimmen; eine Einstellung, die auf objektiven Werten basiert, die als Ergebnis praktischer Erfahrung erhalten wurden. „Objektive Werte werden in der Erfahrung festgestellt ... ... Wörterbuch Analytische Psychologie

RATIONALES WISSEN- ein subjektives Bild der objektiven Welt, das mit Hilfe des Denkens gewonnen wird. Denken ist ein aktiver Prozess der verallgemeinerten und indirekten Reflexion der Realität, der die Entdeckung ihrer regelmäßigen Zusammenhänge auf der Grundlage von Sinnesdaten und deren Ausdruck gewährleistet ... Wissenschafts- und Technologiephilosophie: Thematisches Wörterbuch

GLEICHUNG, RATIONAL- Ein logischer oder mathematischer Ausdruck, der auf (rationalen) Annahmen über Prozesse basiert. Solche Gleichungen unterscheiden sich von empirischen Gleichungen dadurch, dass ihre Parameter als Ergebnis deduktiver Schlussfolgerungen aus theoretischen ... ... erhalten werden. Erklärendes Wörterbuch der Psychologie

RATIONAL, rational, rational; rational, rational, rational. 1. adj. zum Rationalismus (Buch). rationale Philosophie. 2. Ziemlich vernünftig, gerechtfertigt, zweckmäßig. Er machte einen rationalen Vorschlag. Vernünftig ... ... Erklärendes Wörterbuch von Ushakov

1) R. algebraische Gleichung f(x)=0 vom Grad p algebraische Gleichung g(y)=0 mit Koeffizienten, die rational von den Koeffizienten f(x) abhängen, so dass die Kenntnis der Wurzeln dieser Gleichung uns erlaubt, die Wurzeln zu finden dieser Gleichung ... ... Mathematische Enzyklopädie

Aus dem Algebra-Kurs des Schullehrplans wenden wir uns den Besonderheiten zu. In diesem Artikel werden wir eine spezielle Art von rationalen Ausdrücken im Detail untersuchen − rationale Brüche, und analysieren Sie auch, welche Merkmale identisch sind Transformationen rationaler Brüche stattfinden.

Wir bemerken gleich, dass rationale Brüche in dem Sinne, in dem wir sie unten definieren, in einigen Lehrbüchern der Algebra als algebraische Brüche bezeichnet werden. Das heißt, in diesem Artikel werden wir dasselbe unter rationalen und algebraischen Brüchen verstehen.

Wie üblich beginnen wir mit einer Definition und Beispielen. Lassen Sie uns als Nächstes darüber sprechen, einen rationalen Bruch auf einen neuen Nenner zu bringen und die Vorzeichen der Mitglieder des Bruchs zu ändern. Danach werden wir analysieren, wie die Reduktion von Brüchen durchgeführt wird. Lassen Sie uns abschließend auf die Darstellung eines rationalen Bruchs als Summe mehrerer Brüche eingehen. Alle Informationen werden mit Beispielen mit ausführlichen Lösungsbeschreibungen versehen.

Seitennavigation.

Definition und Beispiele für rationale Brüche

Rationale Brüche werden im Algebraunterricht der 8. Klasse behandelt. Wir werden die Definition eines rationalen Bruchs verwenden, die im Algebra-Lehrbuch für die 8. Klasse von Yu. N. Makarychev und anderen angegeben ist.

Diese Definition legt nicht fest, ob die Polynome im Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs Polynome der Standardform sein müssen oder nicht. Daher nehmen wir an, dass rationale Brüche sowohl Standard- als auch Nicht-Standard-Polynome enthalten können.

Hier sind ein paar Beispiele für rationale Brüche. Also , x/8 und - rationale Brüche. Und Brüche und passen nicht zur fundierten Definition eines rationalen Bruchs, da im ersten der Zähler kein Polynom ist und im zweiten sowohl der Zähler als auch der Nenner Ausdrücke enthalten, die keine Polynome sind.

Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs umrechnen

Zähler und Nenner eines beliebigen Bruchs sind eigenständige mathematische Ausdrücke, bei rationalen Brüchen Polynome, im Einzelfall Monome und Zahlen. Daher können mit Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs wie mit jedem Ausdruck identische Transformationen durchgeführt werden. Mit anderen Worten, der Ausdruck im Zähler eines rationalen Bruchs kann durch einen identisch gleichen Ausdruck ersetzt werden, genau wie der Nenner.

Im Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs können identische Transformationen durchgeführt werden. Im Zähler können Sie beispielsweise ähnliche Terme gruppieren und kürzen und im Nenner das Produkt mehrerer Zahlen durch seinen Wert ersetzen. Und da Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs Polynome sind, lassen sich mit ihnen für Polynome charakteristische Transformationen durchführen, beispielsweise Reduktion auf eine Standardform oder Darstellung als Produkt.

Betrachten Sie zur Verdeutlichung die Lösungen mehrerer Beispiele.

Beispiel.

Konvertieren Sie den rationalen Bruch so dass der Zähler ein Polynom der Standardform ist und der Nenner das Produkt von Polynomen ist.

Entscheidung.

Das Kürzen rationaler Brüche auf einen neuen Nenner wird hauptsächlich beim Addieren und Subtrahieren rationaler Brüche verwendet.

Vorzeichenwechsel vor einem Bruch sowie in dessen Zähler und Nenner

Die grundlegende Eigenschaft eines Bruchs kann verwendet werden, um die Vorzeichen der Terme des Bruchs zu ändern. Die Multiplikation von Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs mit -1 ist nämlich gleichbedeutend mit einer Änderung ihrer Vorzeichen, und das Ergebnis ist ein Bruch, der identisch gleich dem gegebenen ist. Bei der Arbeit mit rationalen Brüchen muss eine solche Transformation häufig verwendet werden.

Wenn Sie also gleichzeitig die Vorzeichen des Zählers und des Nenners eines Bruchs ändern, erhalten Sie einen Bruch, der dem ursprünglichen entspricht. Diese Aussage entspricht der Gleichheit.

Nehmen wir ein Beispiel. Ein rationaler Bruch kann durch einen identisch gleichen Bruch mit vertauschten Vorzeichen von Zähler und Nenner der Form ersetzt werden.

Bei Brüchen kann noch eine identische Transformation durchgeführt werden, bei der das Vorzeichen entweder im Zähler oder im Nenner geändert wird. Lassen Sie uns die entsprechende Regel durchgehen. Wenn Sie das Vorzeichen eines Bruchs zusammen mit dem Vorzeichen des Zählers oder Nenners ersetzen, erhalten Sie einen Bruch, der identisch gleich dem Original ist. Die schriftliche Aussage entspricht den Gleichheiten und .

Es ist nicht schwierig, diese Gleichheiten zu beweisen. Der Beweis basiert auf den Eigenschaften der Multiplikation von Zahlen. Lassen Sie uns den ersten von ihnen beweisen: . Mit Hilfe ähnlicher Umformungen wird auch die Gleichheit bewiesen.

Beispielsweise kann ein Bruch durch einen Ausdruck oder ersetzt werden.

Zum Abschluss dieses Unterabschnitts präsentieren wir zwei weitere nützliche Gleichungen und . Das heißt, wenn Sie nur das Vorzeichen des Zählers oder nur des Nenners ändern, ändert der Bruch sein Vorzeichen. Zum Beispiel, und .

Die betrachteten Transformationen, die es ermöglichen, das Vorzeichen der Glieder eines Bruchs zu ändern, werden häufig bei der Transformation von gebrochen rationalen Ausdrücken verwendet.

Reduktion rationaler Brüche

Die folgende Transformation rationaler Brüche, genannt Reduktion rationaler Brüche, basiert auf der gleichen Grundeigenschaft eines Bruchs. Diese Transformation entspricht der Gleichheit , wobei a , b und c einige Polynome sind und b und c nicht Null sind.

Aus der obigen Gleichheit wird deutlich, dass die Kürzung eines rationalen Bruchs impliziert, dass der gemeinsame Teiler in seinem Zähler und Nenner beseitigt wird.

Beispiel.

Reduziere den rationalen Bruch.

Entscheidung.

Der gemeinsame Faktor 2 ist sofort sichtbar, reduzieren wir ihn (beim Schreiben ist es zweckmäßig, die gemeinsamen Faktoren zu streichen, um die die Reduzierung erfolgt). Wir haben . Da x 2 \u003d x x und y 7 \u003d y 3 y 4 (siehe ggf.), ist klar, dass x ein gemeinsamer Faktor des Zählers und Nenners des resultierenden Bruchs ist, wie y 3 . Lassen Sie uns um diese Faktoren reduzieren: . Damit ist die Reduktion abgeschlossen.

Oben haben wir die Reduktion eines rationalen Bruchs sequentiell durchgeführt. Und es war möglich, die Reduktion in einem Schritt durchzuführen, wobei der Bruch sofort um 2·x·y 3 reduziert wurde. In diesem Fall sähe die Lösung so aus: .

Antworten:

.

Beim Kürzen rationaler Brüche besteht das Hauptproblem darin, dass der gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner nicht immer sichtbar ist. Außerdem ist es nicht immer vorhanden. Um einen gemeinsamen Teiler zu finden oder sicherzustellen, dass er nicht existiert, musst du Zähler und Nenner eines rationalen Bruchs faktorisieren. Wenn es keinen gemeinsamen Faktor gibt, muss der ursprüngliche rationale Bruch nicht gekürzt werden, ansonsten wird die Kürzung durchgeführt.

Bei der Reduzierung rationaler Brüche können verschiedene Nuancen auftreten. Die wichtigsten Feinheiten mit Beispielen und Details werden im Artikel Reduktion algebraischer Brüche besprochen.

Zum Abschluss des Gesprächs über die Reduktion rationaler Brüche stellen wir fest, dass diese Transformation identisch ist und die Hauptschwierigkeit bei ihrer Implementierung in der Faktorisierung von Polynomen im Zähler und Nenner liegt.

Darstellung eines rationalen Bruchs als Summe von Brüchen

Ganz spezifisch, aber in einigen Fällen sehr nützlich, ist die Transformation eines rationalen Bruchs, die in seiner Darstellung als Summe mehrerer Brüche oder als Summe eines ganzzahligen Ausdrucks und eines Bruchs besteht.

Ein rationaler Bruch, in dessen Zähler ein Polynom steht, das die Summe mehrerer Monome ist, kann immer als Summe von Brüchen mit gleichem Nenner geschrieben werden, in deren Zählern die entsprechenden Monome stehen. Zum Beispiel, . Diese Darstellung erklärt sich aus der Additions- und Subtraktionsregel algebraischer Brüche mit gleichem Nenner.

Im Allgemeinen kann jeder rationale Bruch auf viele verschiedene Arten als Summe von Brüchen dargestellt werden. Beispielsweise kann der Bruch a/b als Summe zweier Brüche dargestellt werden – ein willkürlicher Bruch c/d und ein Bruch gleich der Differenz zwischen den Brüchen a/b und c/d. Diese Aussage ist wahr, da die Gleichheit . Beispielsweise kann ein rationaler Bruch auf verschiedene Weise als Summe von Brüchen dargestellt werden: Wir stellen den ursprünglichen Bruch als Summe eines ganzzahligen Ausdrucks und eines Bruchs dar. Nachdem wir den Zähler durch den Nenner durch eine Spalte dividiert haben, erhalten wir die Gleichheit . Der Wert des Ausdrucks n 3 +4 für jede ganze Zahl n ist eine ganze Zahl. Und der Wert eines Bruchs ist genau dann eine ganze Zahl, wenn sein Nenner 1, −1, 3 oder −3 ist. Diese Werte entsprechen jeweils den Werten n=3, n=1, n=5 und n=−1.

Antworten:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Referenzliste.

• Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkowitsch A. G. Algebra. 7. Klasse. Um 14 Uhr Teil 1. Ein Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich. - 13. Aufl., Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkowitsch A. G. Algebra. 8. Klasse. Um 14 Uhr Teil 1. Ein Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich. - 11. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.

Ein ganzzahliger Ausdruck ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen und Literalvariablen besteht und die Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation verwendet. Ganzzahlen umfassen auch Ausdrücke, die eine Division durch eine andere Zahl als Null beinhalten.

Beispiele für Ganzzahlausdrücke

Nachfolgend einige Beispiele für Integer-Ausdrücke:

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

3. 4*y – ((5*y+3)/5) – 1;

Bruchausdrücke

Wenn der Ausdruck eine Division durch eine Variable oder durch einen anderen Ausdruck enthält, der eine Variable enthält, dann ist ein solcher Ausdruck keine ganze Zahl. Ein solcher Ausdruck wird als Bruchausdruck bezeichnet. Lassen Sie uns eine vollständige Definition eines Bruchausdrucks geben.

Ein Bruchausdruck ist ein mathematischer Ausdruck, der neben den Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation mit Zahlen und Literalvariablen sowie der Division durch eine Zahl ungleich Null auch die Division in Ausdrücke mit Literalvariablen enthält.

Beispiele für Bruchausdrücke:

1. (12*a^3 +4)/a

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

Bruch- und Ganzzahlausdrücke bilden zwei große Sätze mathematischer Ausdrücke. Kombiniert man diese Mengen, so erhält man eine neue Menge, die man rationale Ausdrücke nennt. Das heißt, rationale Ausdrücke sind alle Ganzzahl- und Bruchausdrücke.

Wir wissen, dass ganzzahlige Ausdrücke für beliebige Werte der darin enthaltenen Variablen sinnvoll sind. Dies folgt aus der Tatsache, dass, um den Wert eines ganzzahligen Ausdrucks zu finden, Aktionen ausgeführt werden müssen, die immer möglich sind: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division durch eine von Null verschiedene Zahl.

Bruchausdrücke sind im Gegensatz zu ganzzahligen möglicherweise nicht sinnvoll. Da es eine Divisionsoperation durch eine Variable oder einen Ausdruck gibt, der Variablen enthält, und dieser Ausdruck Null werden kann, ist eine Division durch Null nicht möglich. Variablenwerte, für die der Bruchausdruck sinnvoll ist, werden als gültige Variablenwerte bezeichnet.

rationaler Bruch

Einer der Sonderfälle rationaler Ausdrücke wird ein Bruch sein, dessen Zähler und Nenner Polynome sind. Für einen solchen Bruch in der Mathematik gibt es auch einen Namen - einen rationalen Bruch.

Ein rationaler Bruch ist sinnvoll, wenn sein Nenner ungleich Null ist. Das heißt, alle Werte von Variablen, bei denen der Nenner des Bruchs von Null verschieden ist, sind gültig.

Wichtige Notizen!
1. Wenn Sie anstelle von Formeln Abrakadabra sehen, leeren Sie Ihren Cache. Wie es in Ihrem Browser geht, steht hier:
2. Bevor Sie mit dem Lesen des Artikels beginnen, achten Sie auf unseren Navigator für die nützlichste Ressource für

Oft hören wir diesen unangenehmen Satz: "den Ausdruck vereinfachen." Normalerweise haben wir in diesem Fall eine Art Monster wie dieses:

„Ja, viel einfacher“, sagen wir, aber eine solche Antwort funktioniert meistens nicht.

Jetzt werde ich dich lehren, keine Angst vor solchen Aufgaben zu haben.

Außerdem werden Sie am Ende der Lektion dieses Beispiel selbst zu einer (nur!) gewöhnlichen Zahl vereinfachen (ja, zum Teufel mit diesen Buchstaben).

Aber bevor Sie mit dieser Lektion beginnen, müssen Sie dazu in der Lage sein mit Brüchen umgehen und Polynome faktorisieren.

Wenn Sie dies noch nicht getan haben, sollten Sie daher die Themen "" und "" beherrschen.

Lesen? Wenn ja, dann sind Sie bereit.

Los geht's!)

Grundlegende Operationen zur Vereinfachung von Ausdrücken

Jetzt werden wir die wichtigsten Techniken analysieren, die zur Vereinfachung von Ausdrücken verwendet werden.

Die einfachste von ihnen ist

1. Ähnliches mitbringen

Was ist ähnlich? Sie haben das in der 7. Klasse durchgemacht, als in der Mathematik erstmals Buchstaben statt Zahlen auftauchten.

Ähnlich sind Terme (Monome) mit gleichem Buchstabenteil.

Zum Beispiel sind in der Summe gleiche Terme und.

Fiel ein?

Ähnliches mitbringen- bedeutet, mehrere ähnliche Begriffe miteinander zu addieren und einen Begriff zu erhalten.

Aber wie können wir Buchstaben zusammensetzen? - du fragst.

Dies ist sehr leicht zu verstehen, wenn Sie sich vorstellen, dass die Buchstaben eine Art Objekte sind.

Der Buchstabe ist zum Beispiel ein Stuhl. Was ist dann der Ausdruck?

Zwei Stühle plus drei Stühle, wie viel wird es sein? Richtig, Stühle: .

Versuchen Sie nun diesen Ausdruck:

Um nicht verwirrt zu werden, lassen Sie unterschiedliche Buchstaben unterschiedliche Objekte bezeichnen.

Zum Beispiel - das ist (wie üblich) ein Stuhl und - das ist ein Tisch.

Stühle Tische Stuhl Tische Stühle Stühle Tische

Die Zahlen, mit denen die Buchstaben in solchen Begriffen multipliziert werden, werden aufgerufen Koeffizienten.

Zum Beispiel ist im Monom der Koeffizient gleich. Und er ist gleich.

Also, die Regel für das Bringen von ähnlichem:

Beispiele:

Ähnliches mitbringen:

Antworten:

2. (und sind ähnlich, da diese Begriffe daher den gleichen Buchstabenteil haben).

2. Faktorisierung

Dies ist normalerweise der wichtigste Teil bei der Vereinfachung von Ausdrücken.

Nachdem Sie ähnliche angegeben haben, wird meistens der resultierende Ausdruck benötigt faktorisieren, also als Produkt darstellen.

Besonders dies wichtig in Brüchen: denn um den Bruch zu verkleinern, Zähler und Nenner müssen als Produkt ausgedrückt werden.

Sie haben die detaillierten Methoden zum Faktorisieren von Ausdrücken im Thema "" durchgearbeitet, also müssen Sie sich hier nur daran erinnern, was Sie gelernt haben.

Lösen Sie dazu ein paar Beispiele (Sie müssen faktorisieren)

Beispiele:

Lösungen:

3. Fraktionsreduktion.

Nun, was gibt es Schöneres, als einen Teil des Zählers und Nenners durchzustreichen und aus seinem Leben zu werfen?

Das ist die Schönheit der Abkürzung.

Es ist einfach:

Wenn Zähler und Nenner die gleichen Faktoren enthalten, können sie gekürzt, also aus dem Bruch entfernt werden.

Diese Regel folgt aus der Grundeigenschaft eines Bruchs:

Das heißt, die Essenz der Reduktionsoperation ist dies Wir dividieren Zähler und Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl (oder durch denselben Ausdruck).

Um einen Bruch zu kürzen, benötigen Sie:

1) Zähler und Nenner faktorisieren

2) wenn Zähler und Nenner enthalten übliche Faktoren, sie können gelöscht werden.

Beispiele:

Das Prinzip, denke ich, ist klar?

Auf einen typischen Abkürzungsfehler möchte ich aufmerksam machen. Dieses Thema ist zwar einfach, aber viele Menschen machen alles falsch, ohne sich dessen bewusst zu sein Schnitt- das heisst Teilen Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl.

Keine Abkürzungen, wenn Zähler oder Nenner die Summe ist.

Zum Beispiel: Sie müssen vereinfachen.

Einige tun dies: was absolut falsch ist.

Anderes Beispiel: Reduzieren.

Die "Klügsten" werden dies tun:

Sag mir, was ist hier falsch? Es scheint: - Dies ist ein Multiplikator, also können Sie reduzieren.

Aber nein: - Dies ist ein Faktor von nur einem Term im Zähler, aber der Zähler selbst als Ganzes wird nicht in Faktoren zerlegt.

Hier ist ein weiteres Beispiel: .

Dieser Ausdruck wird in Faktoren zerlegt, was bedeutet, dass Sie Zähler und Nenner reduzieren, also durch und dann durch dividieren können:

Sie können sofort dividieren durch:

Um solche Fehler zu vermeiden, merken Sie sich einen einfachen Weg, um festzustellen, ob ein Ausdruck faktorisiert ist:

Die arithmetische Operation, die zuletzt ausgeführt wird, wenn der Wert des Ausdrucks berechnet wird, ist die "Hauptoperation".

Das heißt, wenn Sie einige (beliebige) Zahlen anstelle von Buchstaben einsetzen und versuchen, den Wert des Ausdrucks zu berechnen, dann haben wir ein Produkt, wenn die letzte Aktion eine Multiplikation ist (der Ausdruck wird in Faktoren zerlegt).

Wenn die letzte Aktion eine Addition oder Subtraktion ist, bedeutet dies, dass der Ausdruck nicht faktorisiert wird (und daher nicht reduziert werden kann).

Um es selbst zu reparieren, ein paar Beispiele:

Beispiele:

Lösungen:

4. Addition und Subtraktion von Brüchen. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Die Addition und Subtraktion gewöhnlicher Brüche ist eine bekannte Operation: Wir suchen nach einem gemeinsamen Nenner, multiplizieren jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor und addieren / subtrahieren die Zähler.

Lass uns erinnern:

Antworten:

1. Die Nenner und sind teilerfremd, das heißt, sie haben keine gemeinsamen Teiler. Daher ist das LCM dieser Zahlen gleich ihrem Produkt. Dies wird der gemeinsame Nenner sein:

2. Hier ist der gemeinsame Nenner:

3. Hier verwandeln wir zunächst gemischte Brüche in unechte und dann - nach dem üblichen Schema:

Anders sieht es aus, wenn die Brüche Buchstaben enthalten, zum Beispiel:

Fangen wir einfach an:

a) Nenner enthalten keine Buchstaben

Hier ist alles wie bei gewöhnlichen Zahlenbrüchen: Wir finden einen gemeinsamen Nenner, multiplizieren jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor und addieren / subtrahieren die Zähler:

Jetzt können Sie in den Zähler ähnliche bringen, falls vorhanden, und sie faktorisieren:

Versuch es selber:

Antworten:

b) Nenner enthalten Buchstaben

Erinnern wir uns an das Prinzip, einen gemeinsamen Nenner ohne Buchstaben zu finden:

Zunächst ermitteln wir die gemeinsamen Faktoren;

Dann schreiben wir alle Gemeinsamkeiten einmal auf;

und multipliziere sie mit allen anderen Faktoren, nicht den üblichen.

Um die gemeinsamen Faktoren der Nenner zu bestimmen, zerlegen wir diese zunächst in einfache Faktoren:

Wir betonen die gemeinsamen Faktoren:

Jetzt schreiben wir die gemeinsamen Faktoren einmal aus und fügen ihnen alle nicht gemeinsamen (nicht unterstrichenen) Faktoren hinzu:

Das ist der gemeinsame Nenner.

Kommen wir zurück zu den Buchstaben. Die Nenner werden genauso angegeben:

Wir zerlegen die Nenner in Faktoren;

gemeinsame (gleiche) Multiplikatoren ermitteln;

alle Gemeinsamkeiten einmal aufschreiben;

Wir multiplizieren sie mit allen anderen Faktoren, nicht mit gewöhnlichen.

Also der Reihe nach:

1) die Nenner in Faktoren zerlegen:

2) Bestimmen Sie die gemeinsamen (identischen) Faktoren:

3) Schreibe alle gemeinsamen Faktoren einmal auf und multipliziere sie mit allen anderen (nicht unterstrichenen) Faktoren:

Der gemeinsame Nenner ist also da. Der erste Bruch muss multipliziert werden mit, der zweite - mit:

Übrigens gibt es einen Trick:

Zum Beispiel: .

Wir sehen die gleichen Faktoren in den Nennern, nur alle mit unterschiedlichen Indikatoren. Der gemeinsame Nenner wird sein:

soweit

soweit

soweit

im Grad.

Lassen Sie uns die Aufgabe erschweren:

Wie bringt man Brüche dazu, denselben Nenner zu haben?

Erinnern wir uns an die grundlegende Eigenschaft eines Bruchs:

Nirgendwo steht, dass dieselbe Zahl vom Zähler und Nenner eines Bruchs subtrahiert (oder addiert) werden kann. Weil es nicht wahr ist!

Überzeugen Sie sich selbst: Nehmen Sie zum Beispiel einen beliebigen Bruch und addieren Sie zu Zähler und Nenner eine Zahl, zum Beispiel . Was wurde gelernt?

Also, eine weitere unerschütterliche Regel:

Wenn Sie Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, verwenden Sie nur die Multiplikationsoperation!

Aber was müssen Sie multiplizieren, um zu erhalten?

Hier auf und multiplizieren. Und multipliziere mit:

Ausdrücke, die nicht faktorisiert werden können, werden "Elementarfaktoren" genannt.

Zum Beispiel ist ein elementarer Faktor. - zu. Aber - nein: es wird in Faktoren zerlegt.

Was ist mit dem Ausdruck? Ist es elementar?

Nein, denn es kann faktorisiert werden:

(Über Faktorisierung haben Sie bereits im Thema "" gelesen).

Die elementaren Faktoren, in die Sie einen Ausdruck mit Buchstaben zerlegen, sind also ein Analogon zu den einfachen Faktoren, in die Sie Zahlen zerlegen. Und wir werden dasselbe mit ihnen tun.

Wir sehen, dass beide Nenner einen Faktor haben. Es wird zum gemeinsamen Nenner in der Macht gehen (erinnern Sie sich, warum?).

Der Multiplikator ist elementar und sie haben ihn nicht gemeinsam, was bedeutet, dass der erste Bruch einfach damit multipliziert werden muss:

Ein anderes Beispiel:

Entscheidung:

Bevor Sie diese Nenner in Panik multiplizieren, müssen Sie darüber nachdenken, wie Sie sie faktorisieren können. Beide vertreten:

Bußgeld! Dann:

Ein anderes Beispiel:

Entscheidung:

Wie üblich faktorisieren wir die Nenner. Den ersten Nenner setzen wir einfach aus Klammern; im zweiten - die Differenz der Quadrate:

Es scheint, dass es keine gemeinsamen Faktoren gibt. Aber wenn man genau hinschaut, sind sie sich schon so ähnlich ... Und die Wahrheit ist:

Schreiben wir also:

Das heißt, es stellte sich so heraus: Innerhalb der Klammer haben wir die Terme vertauscht, und gleichzeitig änderte sich das Vorzeichen vor dem Bruch ins Gegenteil. Beachten Sie, dass Sie dies oft tun müssen.

Nun bringen wir auf einen gemeinsamen Nenner:

Ich habs? Lassen Sie uns jetzt überprüfen.

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

Antworten:

5. Multiplikation und Division von Brüchen.

Nun, der schwierigste Teil ist jetzt vorbei. Und vor uns liegt das Einfachste, aber gleichzeitig das Wichtigste:

Verfahren

Wie wird ein numerischer Ausdruck berechnet? Denken Sie in Anbetracht des Wertes eines solchen Ausdrucks daran:

Hast du gezählt?

Es sollte funktionieren.

Also, ich erinnere dich.

Der erste Schritt ist die Berechnung des Abschlusses.

Die zweite ist Multiplikation und Division. Wenn es mehrere Multiplikationen und Divisionen gleichzeitig gibt, kannst du sie in beliebiger Reihenfolge durchführen.

Und schließlich führen wir Addition und Subtraktion durch. Wieder in beliebiger Reihenfolge.

Aber: der eingeklammerte Ausdruck wird falsch ausgewertet!

Wenn mehrere Klammern miteinander multipliziert oder dividiert werden, werten wir zuerst den Ausdruck in jeder der Klammern aus und multiplizieren oder dividieren sie dann.

Was ist, wenn es andere Klammern in den Klammern gibt? Nun, stellen wir uns vor: In die Klammern steht irgendein Ausdruck. Was ist das erste, was zu tun ist, wenn ein Ausdruck ausgewertet wird? Richtig, Klammern berechnen. Nun, wir haben es herausgefunden: Zuerst berechnen wir die inneren Klammern, dann alles andere.

Die Reihenfolge der Aktionen für den obigen Ausdruck ist also wie folgt (die aktuelle Aktion ist rot hervorgehoben, d. h. die Aktion, die ich gerade ausführe):

Okay, es ist alles einfach.

Aber das ist nicht dasselbe wie ein Ausdruck mit Buchstaben, oder?

Nein, es ist dasselbe! Nur anstelle von arithmetischen Operationen müssen algebraische Operationen durchgeführt werden, dh die im vorherigen Abschnitt beschriebenen Operationen: Ähnliches bringen, Brüche addieren, Brüche kürzen usw. Der einzige Unterschied besteht in der Faktorisierung von Polynomen (wir verwenden dies häufig bei der Arbeit mit Brüchen). Meistens müssen Sie für die Faktorisierung i verwenden oder einfach den gemeinsamen Faktor aus Klammern nehmen.

Normalerweise ist es unser Ziel, einen Ausdruck als Produkt oder Quotient darzustellen.

Zum Beispiel:

Vereinfachen wir den Ausdruck.

1) Zuerst vereinfachen wir den Ausdruck in Klammern. Da haben wir die Differenz von Brüchen, und unser Ziel ist es, sie als Produkt oder Quotient darzustellen. Also bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und addieren:

Es ist unmöglich, diesen Ausdruck weiter zu vereinfachen, alle Faktoren hier sind elementar (erinnern Sie sich noch, was das bedeutet?).

2) Wir erhalten:

Multiplikation von Brüchen: was einfacher sein könnte.

3) Jetzt können Sie kürzen:

Das ist es. Nichts kompliziertes, oder?

Ein anderes Beispiel:

Den Ausdruck vereinfachen.

Versuchen Sie zuerst, es selbst zu lösen, und schauen Sie sich erst dann die Lösung an.

Entscheidung:

Lassen Sie uns zunächst das Verfahren definieren.

Fügen wir zuerst die Brüche in Klammern hinzu, statt zwei Brüche wird einer herauskommen.

Dann machen wir die Division von Brüchen. Nun, wir addieren das Ergebnis mit dem letzten Bruch.

Ich werde die Schritte schematisch nummerieren:

Abschließend möchte ich Ihnen zwei nützliche Tipps geben:

1. Wenn es ähnliche gibt, müssen sie sofort gebracht werden. In jedem Moment, in dem wir ähnliche haben, ist es ratsam, sie sofort mitzubringen.

2. Gleiches gilt für die Kürzung von Brüchen: Sobald sich eine Möglichkeit zur Kürzung ergibt, muss diese genutzt werden. Die Ausnahme sind Brüche, die du addierst oder subtrahierst: Wenn sie jetzt den gleichen Nenner haben, sollte die Kürzung für später aufgehoben werden.

Hier sind einige Aufgaben, die Sie selbst lösen können:

Und gleich zu Beginn versprochen:

Antworten:

Lösungen (kurz):

Wenn Sie zumindest die ersten drei Beispiele bewältigt haben, dann haben Sie, bedenken Sie, das Thema gemeistert.

Jetzt geht es ans Lernen!

AUSDRUCKKONVERTIERUNG. ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMEL

Grundlegende Vereinfachungsoperationen:

• Ähnliches mitbringen: Um ähnliche Terme hinzuzufügen (zu reduzieren), müssen Sie ihre Koeffizienten addieren und den Buchstabenteil zuweisen.
• Faktorisierung: Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern, Anwenden usw.
• Fraktionsreduktion: Zähler und Nenner eines Bruchs können mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, ab der sich der Wert des Bruchs nicht ändert.
  1) Zähler und Nenner faktorisieren
  2) Wenn Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben, können sie durchgestrichen werden.

  WICHTIG: Es können nur Multiplikatoren reduziert werden!

• Addition und Subtraktion von Brüchen:
  ;
• Multiplikation und Division von Brüchen:
  ;

So, das Thema ist erledigt. Wenn Sie diese Zeilen lesen, dann sind Sie sehr cool.

Denn nur 5% der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie zu Ende gelesen haben, dann sind Sie bei den 5%!

Jetzt das Wichtigste.

Sie haben die Theorie zu diesem Thema herausgefunden. Und ich wiederhole, es ist ... es ist einfach super! Sie sind bereits besser als die große Mehrheit Ihrer Kollegen.

Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...

Wofür?

Für das erfolgreiche Bestehen der Prüfung, für die Aufnahme ins Institut auf Kosten des Budgets und vor allem auf Lebenszeit.

Ich werde Sie von nichts überzeugen, ich werde nur eines sagen ...

Menschen, die eine gute Ausbildung erhalten haben, verdienen viel mehr als diejenigen, die sie nicht erhalten haben. Das ist Statistik.

Aber das ist nicht die Hauptsache.

Die Hauptsache ist, dass sie MEHR GLÜCKLICH sind (es gibt solche Studien). Vielleicht, weil sich ihnen viel mehr Möglichkeiten eröffnen und das Leben heller wird? Weiß nicht...

Aber denkt selbst...

Was braucht es, um bei der Prüfung sicher besser zu sein als andere und am Ende … glücklicher?

FÜLLEN SIE IHRE HAND, LÖSEN SIE PROBLEME ZU DIESEM THEMA.

Bei der Prüfung wird dir keine Theorie abverlangt.

Du wirst brauchen Probleme rechtzeitig lösen.

Und wenn Sie sie nicht gelöst haben (VIELE!), werden Sie definitiv irgendwo einen dummen Fehler machen oder es einfach nicht rechtzeitig schaffen.

Es ist wie im Sport – Sie müssen viele Male wiederholen, um sicher zu gewinnen.

Finden Sie eine Sammlung, wo immer Sie wollen unbedingt mit Lösungen, detaillierte Analyse und entscheide, entscheide, entscheide!

Sie können unsere Aufgaben verwenden (nicht erforderlich) und wir empfehlen sie auf jeden Fall.

Um bei unseren Aufgaben mitzuhelfen, müssen Sie helfen, die Lebensdauer des YouClever-Lehrbuchs, das Sie gerade lesen, zu verlängern.

Wie? Es gibt zwei Möglichkeiten:

1. Entsperren Sie den Zugriff auf alle versteckten Aufgaben in diesem Artikel -
2. Schalte den Zugriff auf alle versteckten Aufgaben in allen 99 Artikeln des Tutorials frei - Kaufen Sie ein Lehrbuch - 499 Rubel

Ja, wir haben 99 solcher Artikel im Lehrbuch und Zugriff auf alle Aufgaben und alle versteckten Texte darin können sofort geöffnet werden.

Der Zugriff auf alle versteckten Aufgaben wird für die gesamte Lebensdauer der Website gewährt.

Abschließend...

Wenn Ihnen unsere Aufgaben nicht gefallen, suchen Sie sich andere. Bloß nicht bei der Theorie aufhören.

„Verstanden“ und „Ich weiß, wie ich es lösen kann“ sind völlig unterschiedliche Fähigkeiten. Sie brauchen beides.

Probleme finden und lösen!

Diese Lektion behandelt die grundlegenden Informationen über rationale Ausdrücke und ihre Transformationen sowie Beispiele für die Transformation rationaler Ausdrücke. Dieses Thema fasst die Themen zusammen, die wir bisher untersucht haben. Transformationen rationaler Ausdrücke umfassen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzieren mit algebraischen Brüchen, Reduktion, Faktorisierung usw. Als Teil der Lektion werden wir uns ansehen, was ein rationaler Ausdruck ist, und auch Beispiele für ihre Transformation analysieren .

Gegenstand:Algebraische Brüche. Arithmetische Operationen mit algebraischen Brüchen

Lektion:Grundlegende Informationen zu rationalen Ausdrücken und deren Transformationen

Definition

rationaler Ausdruck ist ein Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen, arithmetischen Operationen und Potenzierung besteht.

Betrachten Sie ein Beispiel für einen rationalen Ausdruck:

Sonderfälle rationaler Ausdrücke:

1. Grad: ;

2. Monom: ;

3. Fraktion: .

Rationale Ausdruckstransformation ist eine Vereinfachung eines rationalen Ausdrucks. Die Reihenfolge der Operationen beim Konvertieren rationaler Ausdrücke: Zuerst gibt es Aktionen in Klammern, dann Multiplikations- (Divisions-) und dann Additions- (Subtraktions-) Operationen.

Betrachten wir einige Beispiele zur Transformation rationaler Ausdrücke.

Beispiel 1

Entscheidung:

Lassen Sie uns dieses Beispiel Schritt für Schritt lösen. Die Aktion in Klammern wird zuerst ausgeführt.

Antworten:

Beispiel 2

Entscheidung:

Antworten:

Beispiel 3

Entscheidung:

Antworten: .

Notiz: vielleicht ist Ihnen beim Anblick dieses Beispiels eine Idee gekommen: kürzen Sie den Bruch vor dem Reduzieren auf einen gemeinsamen Nenner. In der Tat ist es absolut richtig: Zuerst ist es wünschenswert, den Ausdruck so weit wie möglich zu vereinfachen und ihn dann umzuwandeln. Versuchen wir, dasselbe Beispiel auf die zweite Art zu lösen.

Wie Sie sehen, war die Antwort absolut ähnlich, aber die Lösung war etwas einfacher.

In dieser Lektion haben wir uns angesehen rationale Ausdrücke und ihre Transformationen, sowie mehrere spezifische Beispiele dieser Transformationen.

Referenzliste

1. Bashmakov M.I. Algebra Klasse 8. - M.: Aufklärung, 2004.

2. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. ua Algebra 8. - 5. Aufl. -M.: Bildung, 2010.