Offene Mathematikstunde "Bernoulli-Schema. Probleme lösen mit dem Bernoulli- und Laplace-Schema"

Didaktik: Erwerb von Fertigkeiten und Fähigkeiten, um mit dem Bernoulli-Schema zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten zu arbeiten.

Entwicklung: Entwicklung von Fähigkeiten zur Anwendung von Wissen in der Praxis, Bildung und Entwicklung des funktionalen Denkens der Schüler, Entwicklung von Vergleichs-, Analyse- und Synthesefähigkeiten, Fähigkeiten zur Paararbeit, Erweiterung des Fachwortschatzes.

Wie man dieses Spiel spielt:

Pädagogisch: Förderung des Interesses am Fach durch praktische Anwendung der Theorie, Erzielung einer bewussten Aneignung des Lernstoffs der Schüler, Ausbildung der Teamfähigkeit, korrekte Verwendung von Computerbegriffen, Interesse an Naturwissenschaften, Respekt vor der zukünftige Beruf.

Wissenschaftliche Erkenntnis: B

Unterrichtstyp: Kombiunterricht:

• Konsolidierung des in den vorherigen Klassen behandelten Materials;
• thematische Informationsproblemtechnik;
• Verallgemeinerung und Konsolidierung des in dieser Lektion behandelten Materials.

Lehrmethode: erklärend - illustrativ, problematisch.

Wissenskontrolle: Frontale Befragung, Problemlösung, Präsentation.

Material und technische Ausstattung des Unterrichts. Computer, Multimedia-Projektor.

Methodische Unterstützung: Referenzmaterialien, Präsentation zum Thema der Lektion, Kreuzworträtsel.

Während des Unterrichts

1. Organisatorischer Moment: 5 min.

(Begrüßung, Bereitschaft der Gruppe zum Unterricht).

2. Wissenscheck:

Kontrollfragen frontal auf Folien: 10 min.

• Definitionen des Abschnitts „Wahrscheinlichkeitstheorie“
• das Hauptkonzept des Abschnitts „Wahrscheinlichkeitstheorie“
• welche Ereignisse werden von der „Wahrscheinlichkeitstheorie“ untersucht
• charakteristisch für ein zufälliges Ereignis
• Klassische Definition von Wahrscheinlichkeiten

Zusammenfassend. 5 Minuten.

3. Aufgaben in Reihen lösen: 5 min.

Aufgabe 1. Ein Würfel wird geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl kleiner als 5 zu erhalten?

Aufgabe 2. In einer Kiste befinden sich neun identische Radioröhren, von denen drei in Gebrauch waren. Während des Arbeitstages musste der Kapitän zwei Funkröhren mitnehmen, um die Ausrüstung zu reparieren. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Lampen verwendet wurden?

Aufgabe 3. Es gibt drei verschiedene Filme in drei Kinosälen. Die Wahrscheinlichkeit, dass es an der Kasse des 1. Saals Tickets für eine bestimmte Stunde gibt, beträgt 0,3, an der Kasse des 2. Saals - 0,2 und an der Kasse des 3. Saals - 0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es zu einer bestimmten Stunde möglich ist, eine Eintrittskarte für mindestens einen Film zu kaufen?

4. An der Tafel prüfen, wie man Probleme löst. Anwendung 1. 5 min.

5. Fazit zur Problemlösung:

Die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist für jede Aufgabe gleich: m und n - const

6. Zielsetzung durch die Aufgabe: 5 min.

Aufgabe. Zwei gleichberechtigte Schachspieler spielen Schach. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei von vier Spielen zu gewinnen?

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, drei von sechs Spielen zu gewinnen (Unentschieden werden nicht berücksichtigt)?

Frage. Überlegen und benennen Sie den Unterschied zwischen den Fragen dieses Problems und den Fragen der vorherigen Probleme?

Erzielen Sie durch Argumentation, durch Vergleich, eine Antwort: In Fragen sind m und n verschieden.

7. Unterrichtsthema:

Berechnung der Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses k mal aus n Experimenten mit p-const.

Wenn Versuche durchgeführt werden, bei denen die Eintrittswahrscheinlichkeit von Ereignis A in jedem Versuch nicht von den Ergebnissen anderer Versuche abhängt, dann werden solche Versuche als unabhängig in Bezug auf Ereignis A bezeichnet. Versuche, bei denen jeweils die Eintrittswahrscheinlichkeit des Veranstaltung ist die gleiche.

Bernoulli-Formel. Die Wahrscheinlichkeit, dass in n unabhängigen Versuchen, in denen jeweils die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich p (0

oder Anhang 2 Bernoulli-Formel, wobei k,n-kleine Zahlen mit q = 1-p

Lösung: Es spielen gleich viele Schachspieler, also ist die Gewinnwahrscheinlichkeit p=1/2; daher ist die Wahrscheinlichkeit, q zu verlieren, ebenfalls 1/2. Da die Gewinnwahrscheinlichkeit bei allen Spielen konstant ist und es keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge die Spiele gewonnen werden, gilt die Bernoulli-Formel. 5 Minuten

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zwei von vier Spielen gewonnen werden:

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass drei von sechs Spielen gewonnen werden:

Da P4 (2) > P6 (3) ist, ist es wahrscheinlicher, zwei von vier Spielen zu gewinnen als drei von sechs.

8. Aufgabe.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A in 243 Versuchen genau 70 Mal auftritt, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis in jedem Versuch auftritt, 0,25 beträgt.

k=70, n=243 Dies impliziert, dass k und n große Zahlen sind. Das bedeutet, dass es schwierig ist, nach der Bernoulli-Formel zu rechnen. Für solche Fälle wird die lokale Laplace-Formel angewendet:

Anhang 3 für positive Werte von x ist in Anhang 4 angegeben; Verwenden Sie für negative Werte von x dieselbe Tabelle und = .

9. Erstellen Sie einen Algorithmus zur Lösung des Problems: 5 min.

• Finden Sie den Wert von x und runden Sie auf Hundertstel (0,01) auf;
• gemäß der Tabelle der Laplace-Funktion finden wir;
• wir setzen den Wert der Laplace-Funktion in die Laplace-Formel ein

10. Lösung des Problems mit Analyse an der Tafel. Anhang 5. 10 min.

11. Zusammenfassen von Unterrichtsinformationen durch Präsentationen

• kurze Informationen zum Abschnitt „Wahrscheinlichkeitstheorie“; 5 Minuten.
• historische Materialien über die Wissenschaftler Bernoulli und Laplace. 5 Minuten.

Abschnitt 2. Logische Äquivalenz von Formeln. Normalformen für Formeln der Aussagenalgebra

Äquivalenzbeziehung

Mit Hilfe von Wahrheitstabellen kann man bestimmen, unter welchen Sätzen von Wahrheitswerten der Eingabevariablen die Formel einen wahren oder falschen Wert annehmen wird (sowie eine Aussage, die die entsprechende logische Struktur hat), welche Formeln Tautologien sein werden oder Widersprüche, und auch festzustellen, ob zwei gegebene Formeln gleichwertig.

In der Logik werden zwei Sätze als gleichwertig bezeichnet, wenn sie beide wahr oder beide falsch sind. Das Wort „gleichzeitig“ in diesem Satz ist mehrdeutig. Für die Sätze „Morgen wird Dienstag sein“ und „Gestern war Sonntag“ hat dieses Wort also eine wörtliche Bedeutung: Am Montag sind sie beide wahr, und am Rest der Woche sind sie beide falsch. Für die Gleichungen " x = 2" und " 2x = 4» „gleichzeitig“ bedeutet „mit denselben Werten der Variablen“. Die Vorhersagen „Morgen wird es regnen“ und „Es ist nicht wahr, dass es morgen nicht regnen wird“ werden gleichzeitig bestätigt (erweisen sich als wahr) oder nicht bestätigt (erweisen sich als falsch). Im Wesentlichen ist dies dieselbe Prognose, ausgedrückt in zwei verschiedenen Formen, die durch die Formeln dargestellt werden können X und . Diese Formeln nehmen gleichzeitig den Wert "true" oder den Wert "false" an. Zur Überprüfung genügt es, eine Wahrheitstabelle zu erstellen:

X
1	0	1
0	1	0

Wir sehen, dass die Wahrheitswerte in der ersten und letzten Spalte gleich sind. Solche Formeln sowie die ihnen entsprechenden Sätze gelten natürlich als äquivalent.

Die Formeln F 1 und F 2 heißen äquivalent, wenn ihr Äquivalent eine Tautologie ist.

Die Äquivalenz zweier Formeln schreibt man wie folgt: (sprich: Formel F1 entspricht der Formel F2).

Es gibt drei Möglichkeiten, um zu prüfen, ob Formeln äquivalent sind: 1) Bilden Sie ihr Äquivalent und verwenden Sie die Wahrheitstabelle, um zu prüfen, ob es sich um eine Tautologie handelt; 2) für jede Formel eine Wahrheitstabelle erstellen und die Endergebnisse vergleichen; if in den Gesamtspalten für die gleichen Sätze von Variablenwerten die Wahrheitswerte beider Formeln sind gleich, dann sind die Formeln äquivalent; 3) mit Hilfe äquivalenter Transformationen.

Beispiel 2.1: Finden Sie heraus, ob die Formeln äquivalent sind: 1) , ; 2) , .

1) Verwenden wir die erste Methode, um die Äquivalenz zu bestimmen, dh herauszufinden, ob die Äquivalenz von Formeln eine Tautologie ist.

Machen wir eine Äquivalenz von Formeln: . Die resultierende Formel enthält zwei verschiedene Variablen ( SONDERN und BEIM) und 6 Operationen: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6). Das bedeutet, dass die entsprechende Wahrheitstabelle 5 Zeilen und 8 Spalten haben wird:

SONDERN	BEIM
1	1	0	0	0	1	0	1
1	0	0	1	1	0	1	1
0	1	1	0	1	0	1	1
0	0	1	1	1	0	1	1

Aus der letzten Spalte der Wahrheitstabelle ist ersichtlich, dass die zusammengestellte Äquivalenz eine Tautologie ist und daher .

2) Um herauszufinden, ob die Formeln und äquivalent sind, verwenden wir die zweite Methode, das heißt, wir erstellen für jede der Formeln eine Wahrheitstabelle und vergleichen die letzten Spalten. ( Kommentar. Um die zweite Methode effektiv zu nutzen, ist es notwendig, dass alle erstellten Wahrheitstabellen gleich beginnen, d.h. die Sätze von Variablenwerten waren in den jeweiligen Zeilen gleich .)

Die Formel hat zwei verschiedene Variablen und 2 Operationen, was bedeutet, dass die entsprechende Wahrheitstabelle 5 Zeilen und 4 Spalten hat:

SONDERN	BEIM
1	1	1	0
1	0	0	1
0	1	1	0
0	0	1	0

Die Formel hat zwei verschiedene Variablen und 3 Operationen, was bedeutet, dass die entsprechende Wahrheitstabelle 5 Zeilen und 5 Spalten hat:

SONDERN	BEIM
1	1	0	0	1
1	0	0	1	1
0	1	1	0	0
0	0	1	1	1

Wenn wir die letzten Spalten der kompilierten Wahrheitstabellen vergleichen (da die Tabellen auf die gleiche Weise beginnen, können wir die Sätze von Variablenwerten ignorieren), sehen wir, dass sie nicht übereinstimmen und daher die Formeln nicht äquivalent sind ().

Der Ausdruck ist keine Formel (weil das Symbol „ “ auf keine logische Operation verweist). Es drückt aus Attitüde zwischen Formeln (sowie Gleichheit zwischen Zahlen, Parallelität zwischen Linien usw.).

Es gilt der Satz über die Eigenschaften der Äquivalenzrelation:

Satz 2.1.Äquivalenzbeziehung zwischen Formeln der Aussagenalgebra:

1) reflexiv: ;

2) symmetrisch: wenn , dann ;

3) transitiv: wenn und , dann .

Gesetze der Logik

Die Äquivalenzen von aussagenlogischen Formeln werden oft genannt die Gesetze der Logik. Wir listen die wichtigsten davon auf:

1. - das Gesetz der Identität.

2. - das Recht des ausgeschlossenen Dritten

3. - das Gesetz des Widerspruchs

4. - Disjunktion mit Null

5. - Konjunktion mit Null

6. - Disjunktion mit Einheit

7. - Verbindung mit Einheit

8. - das Gesetz der doppelten Verneinung

9. - Kommutativität der Konjunktion

10. – Kommutativität der Disjunktion

11. - Assoziativität der Konjunktion

12. - Disjunktionsassoziativität

13. – Distributivität der Konjunktion

14. – Distributive Disjunktion

15. - Gesetze der Idempotenz

16. ; - Absorptionsgesetze

17. ; - Gesetze von De Morgan

18. ist das Gesetz, das die Implikation durch die Disjunktion ausdrückt

19. - Gesetz der Gegenposition

20. - Gesetze, die Äquivalenz durch andere logische Operationen ausdrücken

Die Gesetze der Logik werden verwendet, um komplexe Formeln zu vereinfachen und zu beweisen, dass Formeln identisch wahr oder falsch sind.

Äquivalente Transformationen. Formeln vereinfachen

Wenn wir in äquivalenten Formeln überall dieselbe Formel anstelle irgendeiner Variablen einsetzen, dann erweisen sich auch die neu erhaltenen Formeln gemäß der Substitutionsregel als äquivalent. Auf diese Weise können aus jeder Äquivalenz beliebig viele neue Äquivalenzen gewonnen werden.

Beispiel 1: Wenn in De Morgans Gesetz statt X ersetzen, statt Y ersetzen, dann erhalten wir eine neue Äquivalenz. Die Gültigkeit der erhaltenen Äquivalenz lässt sich leicht anhand der Wahrheitstabelle überprüfen.

Wenn eine Formel Teil der Formel ist F, durch eine Formel ersetzt werden, die der Formel entspricht, dann entspricht die resultierende Formel der Formel F.

Dann können wir für die Formel aus Beispiel 2 die folgenden Ersetzungen vornehmen:

- das Gesetz der doppelten Verneinung;

- Gesetz von De Morgan;

- das Gesetz der doppelten Verneinung;

– das Gesetz der Assoziativität;

ist das Gesetz der Idempotenz.

Durch die Transitivitätseigenschaft der Äquivalenzrelation können wir das behaupten .

Das Ersetzen einer Formel durch eine andere, ihr äquivalente, heißt äquivalente Transformation Formeln.

Unter Vereinfachung Formeln, die keine Implikations- und Äquivalenzzeichen enthalten, verstehen eine äquivalente Transformation, die zu einer Formel führt, die keine Negationen von nicht elementaren Formeln (insbesondere doppelte Negationen) oder insgesamt eine geringere Anzahl von Konjunktions- und Disjunktionszeichen als das Original enthält ein.

Beispiel 2.2: Vereinfachen wir die Formel .

Im ersten Schritt haben wir das Gesetz angewendet, das die Implikation in eine Disjunktion umwandelt. Im zweiten Schritt wurde das Kommutativgesetz angewendet. Im dritten Schritt wurde das Gesetz der Idempotenz angewandt. Auf dem vierten - Gesetz von De Morgan. Und am fünften - das Gesetz der doppelten Negation.

Bemerkung 1. Wenn eine bestimmte Formel eine Tautologie ist, dann ist jede ihr äquivalente Formel ebenfalls eine Tautologie.

Somit können äquivalente Transformationen auch verwendet werden, um die identische Wahrheit bestimmter Formeln zu beweisen. Dazu muss diese Formel durch äquivalente Transformationen auf eine der Formeln reduziert werden, die Tautologien sind.

Bemerkung 2. Einige Tautologien und Äquivalenzen werden zu Paaren zusammengefasst (das Gesetz des Widerspruchs und das Gesetz der alternativen, kommutativen, assoziativen Gesetze usw.). In diesen Korrespondenzen werden die sog Prinzip der Dualität .

Es werden zwei Formeln aufgerufen, die keine Implikations- und Äquivalenzzeichen enthalten Dual , wenn sie jeweils voneinander durch Ersetzen der Zeichen durch , erhalten werden können.

Das Prinzip der Dualität besagt Folgendes:

Satz 2.2: Wenn zwei Formeln, die keine Implikationen und Äquivalenzzeichen enthalten, äquivalent sind, dann sind auch ihre dualen Formeln äquivalent.

Normalformen

Normalform ist eine syntaktisch eindeutige Art, eine Formel zu schreiben, die eine gegebene Funktion implementiert.

Unter Verwendung der bekannten Gesetze der Logik kann jede Formel in eine äquivalente Formel der Form umgewandelt werden , wobei und each entweder eine Variable oder die Negation einer Variablen oder eine Konjunktion von Variablen oder deren Negationen ist. Mit anderen Worten, jede Formel kann auf eine äquivalente Formel einer einfachen Standardform reduziert werden, die eine Disjunktion von Elementen ist, von denen jedes eine Konjunktion separater verschiedener logischer Variablen ist, entweder mit oder ohne Negationszeichen.

Beispiel 2.3: Bei großen Formeln oder bei Mehrfachtransformationen ist es üblich, das Konjunktionszeichen wegzulassen (in Analogie zum Multiplikationszeichen): . Wir sehen, dass die Formel nach den durchgeführten Transformationen eine Disjunktion von drei Konjunktionen ist.

Dieses Formular heißt disjunktive Normalform (DNF). Ein einzelnes Element einer DNF wird aufgerufen elementare Konjunktion oder konstituierende Einheit.

In ähnlicher Weise kann jede Formel auf eine äquivalente Formel reduziert werden, die eine Konjunktion von Elementen ist, von denen jedes eine Disjunktion logischer Variablen mit oder ohne Negationszeichen ist. Das heißt, jede Formel kann auf eine äquivalente Formel der Form reduziert werden , wobei und each entweder eine Variable oder die Negation einer Variablen oder eine Disjunktion von Variablen oder deren Negationen ist. Dieses Formular heißt Konjunktive Normalform (KNF).

Beispiel 2.4:

Ein einzelnes Element von CNF wird aufgerufen elementare Disjunktion oder der Bestandteil von Null.

Offensichtlich hat jede Formel unendlich viele DNFs und CNFs.

Beispiel 2.5: Suchen wir mehrere DNFs für die Formel .

Perfekte Normalformen

SDNF (perfektes DNF) ist ein solches DNF, bei dem jede Elementarkonjunktion alle Elementaraussagen bzw. deren Negationen einmal enthält, Elementarkonjunktionen werden nicht wiederholt.

SKNF (perfect CNF) ist eine solche CNF, bei der jede Elementardisjunktion alle Elementarsätze bzw. deren Negationen einmal enthält, Elementardisjunktionen werden nicht wiederholt.

Beispiel 2.6: 1) - SDNF

2) 1 - SKNF

Lassen Sie uns die charakteristischen Merkmale von SDNF (SKNF) formulieren.

1) Alle Glieder der Disjunktion (Konjunktion) sind verschieden;

2) Alle Mitglieder jeder Konjunktion (Disjunktion) sind unterschiedlich;

3) Keine Konjunktion (Disjunktion) enthält sowohl eine Variable als auch ihre Negation;

4) Jede Konjunktion (Disjunktion) enthält alle Variablen, die in der ursprünglichen Formel enthalten sind.

Wie wir sehen können, erfüllen Eigenschaften (aber keine Formen!) die Definition von Dualität, also reicht es aus, eine Form zu verstehen, um zu lernen, wie man beide bekommt.

Mit Hilfe äquivalenter Transformationen ist es einfach, SDNF (SKNF) aus DNF (CNF) zu erhalten. Da die Regeln zum Erhalten perfekter Normalformen ebenfalls dual sind, werden wir die Regel zum Erhalten von SMNF detailliert analysieren und die Regel zum Erhalten von SKNF unabhängig unter Verwendung der Definition der Dualität formulieren.

Die allgemeine Regel zum Reduzieren einer Formel auf SDNF unter Verwendung äquivalenter Transformationen lautet:

Um die Formel zu geben F, was nicht identisch falsch ist, zu SDNF, es genügt:

1) bringen Sie es zu einem DNF;

2) die Mitglieder der Disjunktion entfernen, die die Variable zusammen mit ihrer Negation (falls vorhanden) enthalten;

3) von den gleichen Mitgliedern der Disjunktion (falls vorhanden) alle außer einem entfernen;

4) alle bis auf eines der identischen Mitglieder jeder Konjunktion entfernen (falls vorhanden);

5) wenn eine Konjunktion keine Variable unter den in der ursprünglichen Formel enthaltenen Variablen enthält, füge einen Term zu dieser Konjunktion hinzu und wende das entsprechende Distributivgesetz an;

6) Wenn die resultierende Disjunktion die gleichen Begriffe enthält, verwenden Sie die Vorschrift 3.

Die resultierende Formel ist die SDNF dieser Formel.

Beispiel 2.7: Suchen wir SDNF und SKNF für die Formel .

Da die DNF für diese Formel bereits gefunden wurde (siehe Beispiel 2.5), beginnen wir mit der Beschaffung der SDNF:

2) in der resultierenden Disjunktion gibt es keine Variablen zusammen mit ihren Negationen;

3) es gibt keine identischen Mitglieder in der Disjunktion;

4) es gibt in keiner Konjunktion identische Variablen;

5) Die erste elementare Konjunktion enthält alle Variablen, die in der ursprünglichen Formel enthalten sind, und der zweiten elementaren Konjunktion fehlt eine Variable z, fügen wir also einen Term hinzu und wenden das Distributivgesetz an: ;

6) es ist leicht zu sehen, dass die gleichen Begriffe in der Disjunktion auftauchten, also entfernen wir einen (Vorschrift 3);

3) eine der identischen Disjunktionen entfernen: ;

4) es gibt keine identischen Terme in den verbleibenden Disjunktionen;

5) keine der elementaren Disjunktionen enthält alle Variablen, die in der ursprünglichen Formel enthalten sind, also ergänzen wir jede von ihnen mit der Konjunktion : ;

6) Es gibt keine identischen Disjunktionen in der resultierenden Konjunktion, also ist die gefundene Konjunktivform perfekt.

Da im Aggregat von SKNF und SDNF die Formeln F 8 Mitglieder, dann werden sie höchstwahrscheinlich richtig gefunden.

Jede erfüllbare (widerlegbare) Formel hat eine einzige SDNF und eine einzige SKNF. Eine Tautologie hat kein SKNF und ein Widerspruch hat kein SDNF.

1. Zwei gleichberechtigte Spieler spielen ein Spiel, bei dem Remis ausgeschlossen sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Spieler gewinnt: a) ein Spiel von zwei? b) zwei von vier? c) drei von sechs?

Antworten: a) ; b) ; in)

3. Schneiden AB durch einen Punkt getrennt Mit im Verhältnis 2:1. Vier Punkte werden zufällig auf dieses Segment geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sich zwei davon links von Punkt C befinden und zwei rechts davon.

Antworten:

4. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A genau 70 Mal in 243 Versuchen auftritt, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis in jedem Versuch auftritt, 0,25 beträgt.

Antworten: .

5. Die Wahrscheinlichkeit, einen Jungen zu bekommen, beträgt 0,515. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter 100 Neugeborenen Jungen und Mädchen gleich verteilt sind.

Antworten: 0,0782

6. Das Geschäft erhielt 500 Flaschen in Glasbehältern. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine der Flaschen während des Transports zerbricht, beträgt 0,003. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Geschäft zerbrochene Flaschen erhält: a) genau zwei; b) weniger als zwei; c) mindestens zwei; d) mindestens eine.

Antworten: a) 0,22; b) 0,20; c) 0,80; d) 0,95

7. Ein Automobilwerk produziert 80 % der Autos ohne nennenswerte Mängel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 600 Autos, die vom Werk in die Kfz-Börse kamen, mindestens 500 Autos ohne nennenswerte Mängel sind?

Antworten: 0,02.

8. Wie oft müssen Sie eine Münze werfen, damit Sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95 erwarten können, dass die relative Häufigkeit des Wappens von der Wahrscheinlichkeit abweicht? R\u003d 0,5 Aussehen des Wappens bei einem Münzwurf um nicht mehr als 0,02?

Antwort: N ≥ 2401.

9. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in jedem von 100 unabhängigen Ereignissen eintritt, ist konstant und gleich p=0,8. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt: a) mindestens 75 Mal und höchstens 90 Mal; b) mindestens 75 Mal; c) nicht mehr als 74 Mal.

Antworten: ein BC) .

10. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in jedem der unabhängigen Versuche eintritt, beträgt 0,2. Finden Sie heraus, welche Abweichung der relativen Eintrittshäufigkeit eines Ereignisses von seiner Wahrscheinlichkeit mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9128 in 5000 Versuchen zu erwarten ist.

Antworten:

11. Wie oft muss eine Münze geworfen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6 erwartet werden kann, dass die relative Häufigkeit des Auftretens des Wappens von der Wahrscheinlichkeit abweicht p=0,5 ist im absoluten Wert nicht mehr als 0,01.

Antwort: N = 1764.

12. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in jedem von 10.000 unabhängigen Versuchen eintritt, beträgt 0,75. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses von seiner absoluten Wahrscheinlichkeit um nicht mehr als 0,01 abweicht.

Antworten: .

13. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in jedem der unabhängigen Versuche eintritt, beträgt 0,5. Finden Sie die Anzahl der Versuche n, bei dem mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7698 zu erwarten ist, dass die relative Häufigkeit des Eintritts eines Ereignisses von seiner absoluten Wahrscheinlichkeit um nicht mehr als 0,02 abweicht.