Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a ist der Exponent, mit dem du die Zahl a erhöhen musst, um die Zahl b zu erhalten.

Wenn, dann .

Der Logarithmus ist extrem wichtige mathematische Größe, da der logarithmische Kalkül nicht nur das Lösen von Exponentialgleichungen erlaubt, sondern auch das Arbeiten mit Exponenten, das Differenzieren von Exponential- und Logarithmusfunktionen, das Integrieren und das Bringen in eine für die Berechnung akzeptablere Form.

In Kontakt mit

Alle Eigenschaften von Logarithmen hängen direkt mit den Eigenschaften von Exponentialfunktionen zusammen. Zum Beispiel die Tatsache, dass bedeutet, dass:

Es sollte beachtet werden, dass bei der Lösung bestimmter Probleme die Eigenschaften von Logarithmen wichtiger und nützlicher sein können als die Regeln für die Arbeit mit Potenzen.

Hier sind einige Identitäten:

Hier sind die wichtigsten algebraischen Ausdrücke:

;

.

Beachtung! kann nur für x>0, x≠1, y>0 existieren.

Versuchen wir, die Frage zu verstehen, was natürliche Logarithmen sind. Separates Interesse an Mathematik stellen zwei Typen dar- Der erste hat die Zahl "10" an der Basis und wird "Dezimallogarithmus" genannt. Die zweite heißt natürlich. Die Basis des natürlichen Logarithmus ist die Zahl e. Über ihn werden wir in diesem Artikel ausführlich sprechen.

Bezeichnungen:

• lg x - dezimal;
• In x - natürlich.

Anhand der Identität können wir sehen, dass ln e = 1 sowie lg 10=1.

natürlicher Logarithmus

Wir konstruieren einen Graphen des natürlichen Logarithmus auf die klassische Standardmethode durch Punkte. Wenn Sie möchten, können Sie überprüfen, ob wir eine Funktion korrekt erstellen, indem Sie die Funktion untersuchen. Es ist jedoch sinnvoll zu lernen, wie man es "manuell" baut, um zu wissen, wie man den Logarithmus richtig berechnet.

Funktion: y = log x. Lassen Sie uns eine Tabelle mit Punkten schreiben, durch die der Graph verläuft:

Lassen Sie uns erklären, warum wir solche Werte des Arguments x gewählt haben. Es geht um Identität: Für einen natürlichen Logarithmus sieht diese Identität so aus:

Der Einfachheit halber können wir fünf Referenzpunkte nehmen:

;

;

.

;

.

Daher ist das Zählen natürlicher Logarithmen eine ziemlich einfache Aufgabe, außerdem vereinfacht es die Berechnung von Operationen mit Potenzen und verwandelt sie in normale Multiplikation.

Nachdem wir ein Diagramm nach Punkten erstellt haben, erhalten wir ein ungefähres Diagramm:

Der Definitionsbereich des natürlichen Logarithmus (d. h. alle gültigen Werte des X-Arguments) sind alle Zahlen größer als Null.

Beachtung! Der Definitionsbereich des natürlichen Logarithmus umfasst nur positive Zahlen! Der Gültigkeitsbereich umfasst nicht x=0. Dies ist aufgrund der Existenzbedingungen des Logarithmus unmöglich.

Der Wertebereich (also alle gültigen Werte der Funktion y = ln x) sind alle Zahlen im Intervall .

natürliche Protokollgrenze

Beim Studium des Graphen stellt sich die Frage: Wie verhält sich die Funktion, wenn y<0.

Offensichtlich neigt der Graph der Funktion dazu, die y-Achse zu kreuzen, kann dies jedoch nicht, da der natürliche Logarithmus von x<0 не существует.

Natürliche Grenze Protokoll kann so geschrieben werden:

Formel zum Ändern der Basis eines Logarithmus

Der Umgang mit einem natürlichen Logarithmus ist viel einfacher als der Umgang mit einem Logarithmus mit beliebiger Basis. Deshalb werden wir versuchen zu lernen, wie man jeden Logarithmus auf einen natürlichen reduziert oder ihn durch natürliche Logarithmen in einer beliebigen Basis ausdrückt.

Beginnen wir mit der logarithmischen Identität:

Dann kann jede Zahl oder Variable y dargestellt werden als:

wobei x eine beliebige Zahl ist (positiv gemäß den Eigenschaften des Logarithmus).

Dieser Ausdruck kann auf beiden Seiten logarithmiert werden. Machen wir das mit einer beliebigen Basis z:

Lassen Sie uns die Eigenschaft verwenden (nur statt "mit" haben wir einen Ausdruck):

Daraus erhalten wir die universelle Formel:

.

Insbesondere wenn z = e, dann:

.

Wir haben es geschafft, den Logarithmus zu einer beliebigen Basis durch das Verhältnis zweier natürlicher Logarithmen darzustellen.

Wir lösen Probleme

Um besser in natürlichen Logarithmen zu navigieren, betrachten Sie Beispiele für mehrere Probleme.

Aufgabe 1. Es ist notwendig, die Gleichung ln x = 3 zu lösen.

Entscheidung: Mit der Definition des Logarithmus: if , then , erhalten wir:

Aufgabe 2. Lösen Sie die Gleichung (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Lösung: Mit der Definition des Logarithmus: if , then , erhalten wir:

.

Wir wenden wieder die Definition des Logarithmus an:

.

Auf diese Weise:

.

Sie können die Antwort ungefähr berechnen oder in dieser Form belassen.

Aufgabe 3. Löse die Gleichung.

Entscheidung: Nehmen wir eine Substitution vor: t = ln x. Dann nimmt die Gleichung folgende Form an:

.

Wir haben eine quadratische Gleichung. Lassen Sie uns seine Diskriminante finden:

Erste Wurzel der Gleichung:

.

Zweite Wurzel der Gleichung:

.

Wenn wir uns daran erinnern, dass wir die Substitution t = ln x vorgenommen haben, erhalten wir:

In der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie sind logarithmische Größen weit verbreitet. Dies ist nicht verwunderlich, da die Zahl e - oft die Wachstumsrate exponentieller Werte widerspiegelt.

In der Informatik, Programmierung und Computertheorie sind Logarithmen weit verbreitet, um beispielsweise N Bits im Speicher zu speichern.

In den Theorien der Fraktale und Dimensionen werden ständig Logarithmen verwendet, da die Dimensionen von Fraktalen nur mit ihrer Hilfe bestimmt werden.

In Mechanik und Physik Es gibt keinen Abschnitt, in dem keine Logarithmen verwendet wurden. Die barometrische Verteilung, alle Prinzipien der statistischen Thermodynamik, die Tsiolkovsky-Gleichung und so weiter sind Prozesse, die mathematisch nur mit Logarithmen beschrieben werden können.

In der Chemie wird der Logarithmus in den Nernst-Gleichungen, Beschreibungen von Redoxprozessen, verwendet.

Erstaunlicherweise werden sogar in der Musik Logarithmen verwendet, um die Anzahl der Teile einer Oktave herauszufinden.

Natürlicher Logarithmus Funktion y=ln x ihre Eigenschaften

Beweis der Haupteigenschaft des natürlichen Logarithmus

Grundeigenschaften.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x:y).

gleiche Gründe

log6 4 + log6 9.

Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig.

Beispiele zum Lösen von Logarithmen

Was ist, wenn in der Basis oder im Argument des Logarithmus ein Grad steht? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x >

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Übergang in eine neue Stiftung

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Siehe auch:

Grundlegende Eigenschaften des Logarithmus

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Der Exponent ist 2,718281828…. Um sich an den Exponenten zu erinnern, können Sie die Regel studieren: Der Exponent ist 2,7 und das Doppelte des Geburtsjahres von Leo Tolstoi.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Wenn Sie diese Regel kennen, kennen Sie sowohl den genauen Wert des Exponenten als auch das Geburtsdatum von Leo Tolstoi.

Beispiele für Logarithmen

Nimm den Logarithmus von Ausdrücken

Beispiel 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Bei Eigenschaften rechnen wir mit 3,5

2.

3.

4. wo .

Beispiel 2 Finde x wenn

Beispiel 3. Gegeben sei der Wert von Logarithmen

Berechnen Sie log(x), wenn

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie jede Zahl auf jede erdenkliche Weise addiert, subtrahiert und umgerechnet werden. Da Logarithmen aber keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gibt es hier Regeln, die heißen Grundeigenschaften.

Diese Regeln müssen bekannt sein - ohne sie kann kein ernsthaftes logarithmisches Problem gelöst werden. Außerdem gibt es davon nur sehr wenige - alles kann an einem Tag gelernt werden. Also lasst uns anfangen.

Addition und Subtraktion von Logarithmen

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: logax und logay. Dann können sie addiert und subtrahiert werden, und:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x:y).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts, und die Differenz ist der Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist - gleiche Gründe. Wenn die Basen unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen bei der Berechnung des logarithmischen Ausdrucks, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion "Was ist ein Logarithmus"). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Da die Basen von Logarithmen gleich sind, verwenden wir die Summenformel:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log2 48 − log2 3.

Die Basen sind gleich, wir verwenden die Differenzformel:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log3 135 − log3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus "schlechten" Logarithmen, die nicht gesondert betrachtet werden. Aber nach Transformationen ergeben sich ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, Kontrolle - ähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal - praktisch ohne Änderungen) werden bei der Prüfung angeboten.

Entfernen des Exponenten vom Logarithmus

Es ist leicht zu sehen, dass die letzte Regel ihren ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern - in einigen Fällen wird die Anzahl der Berechnungen erheblich reduziert.

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt, d.h. Sie können die Zahlen vor dem Vorzeichen des Logarithmus in den Logarithmus selbst eingeben. Das wird am häufigsten verlangt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log7 496.

Lassen Sie uns den Grad im Argument nach der ersten Formel los:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner ein Logarithmus ist, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 24; 49 = 72. Wir haben:

Ich denke, das letzte Beispiel muss geklärt werden. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner.

Formeln von Logarithmen. Logarithmen sind Beispiele für Lösungen.

Sie stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Graden dar und nahmen die Indikatoren heraus - sie erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Betrachten wir nun den Hauptteil. Zähler und Nenner haben die gleiche Zahl: log2 7. Da log2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch kürzen – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik kann die Vier auf den Zähler übertragen werden, was auch geschehen ist. Das Ergebnis ist die Antwort: 2.

Übergang in eine neue Stiftung

In Bezug auf die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen habe ich ausdrücklich betont, dass sie nur mit denselben Basen funktionieren. Was ist, wenn die Basen unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis kommen zur Rettung. Wir formulieren sie in Form eines Satzes:

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass die Basis und das Argument des Logarithmus vertauscht werden können, aber der gesamte Ausdruck „umgedreht“ wird, d.h. Der Logarithmus steht im Nenner.

Diese Formeln sind selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken zu finden. Wie praktisch sie sind, kann nur beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen bewertet werden.

Allerdings gibt es Aufgaben, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung zu lösen sind. Betrachten wir ein paar davon:

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log5 16 log2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Exponenten sind. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nun drehen wir den zweiten Logarithmus um:

Da sich das Produkt durch Permutation von Faktoren nicht ändert, haben wir ruhig vier und zwei multipliziert und dann die Logarithmen herausgefunden.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir es auf und beseitigen die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den Dezimallogarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Beim Lösen ist es oft erforderlich, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns die Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, weil es nur der Wert des Logarithmus ist.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. Es heißt so:

Was wird in der Tat passieren, wenn die Zahl b so weit erhöht wird, dass die Zahl b in diesem Grad die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Dies ist die gleiche Nummer a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal genau durch - viele Menschen „hängen“ daran.

Wie die neuen Basisumrechnungsformeln ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass log25 64 = log5 8 - nur das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus herausgenommen hat. Angesichts der Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis erhalten wir:

Falls sich jemand nicht auskennt, das war eine echte Aufgabe vom Einheitlichen Staatsexamen 🙂

Logarithmische Einheit und logarithmische Null

Abschließend gebe ich zwei Identitäten an, die schwer Eigenschaften zu nennen sind – vielmehr sind dies Konsequenzen aus der Definition des Logarithmus. Sie sind ständig in Problemen zu finden und bereiten überraschenderweise selbst "fortgeschrittenen" Schülern Probleme.

1. logaa = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a von dieser Basis selbst ist gleich eins.
2. Loga 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins ist, ist der Logarithmus null! Denn a0 = 1 folgt direkt aus der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt, sie in die Praxis umzusetzen! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Siehe auch:

Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a bezeichnet den Ausdruck. Den Logarithmus zu berechnen bedeutet, eine solche Potenz x () zu finden, bei der die Gleichheit wahr ist

Grundlegende Eigenschaften des Logarithmus

Die obigen Eigenschaften müssen bekannt sein, da auf ihrer Grundlage fast alle Probleme und Beispiele mit Logarithmen gelöst werden. Die restlichen exotischen Eigenschaften können durch mathematische Manipulationen mit diesen Formeln abgeleitet werden

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Bei der Berechnung der Formeln für die Summe und Differenz von Logarithmen (3.4) begegnet man recht häufig. Der Rest ist etwas komplex, aber bei einer Reihe von Aufgaben sind sie unverzichtbar, um komplexe Ausdrücke zu vereinfachen und ihre Werte zu berechnen.

Häufige Fälle von Logarithmen

Einige der gewöhnlichen Logarithmen sind solche, bei denen die Basis sogar zehn, exponentiell oder zwei ist.
Der Logarithmus zur Basis zehn wird normalerweise als Logarithmus zur Basis zehn bezeichnet und einfach mit lg(x) bezeichnet.

Aus dem Protokoll ist ersichtlich, dass die Grundlagen nicht im Protokoll festgehalten sind. Beispielsweise

Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus, dessen Basis der Exponent ist (als ln(x) bezeichnet).

Der Exponent ist 2,718281828…. Um sich an den Exponenten zu erinnern, können Sie die Regel studieren: Der Exponent ist 2,7 und das Doppelte des Geburtsjahres von Leo Tolstoi. Wenn Sie diese Regel kennen, kennen Sie sowohl den genauen Wert des Exponenten als auch das Geburtsdatum von Leo Tolstoi.

Und noch ein wichtiger Logarithmus zur Basis zwei bezeichnet

Die Ableitung des Logarithmus der Funktion ist gleich Eins dividiert durch die Variable

Der Integral- oder Stammlogarithmus wird durch die Abhängigkeit bestimmt

Das obige Material reicht aus, um eine breite Klasse von Problemen im Zusammenhang mit Logarithmen und Logarithmen zu lösen. Um das Material zu assimilieren, werde ich nur einige gängige Beispiele aus dem Schullehrplan und den Universitäten geben.

Beispiele für Logarithmen

Nimm den Logarithmus von Ausdrücken

Beispiel 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Bei Eigenschaften rechnen wir mit 3,5

2.
Durch die Differenzeneigenschaft von Logarithmen haben wir

3.
Unter Verwendung der Eigenschaften 3.5 finden wir

4. wo .

Ein scheinbar komplexer Ausdruck, der eine Reihe von Regeln verwendet, wird zur Form vereinfacht

Logarithmuswerte finden

Beispiel 2 Finde x wenn

Entscheidung. Für die Berechnung wenden wir die Eigenschaften 5 und 13 bis zum letzten Term an

Ersatz in der Aufzeichnung und trauern

Da die Basen gleich sind, setzen wir die Ausdrücke gleich

Logarithmen. Erste Ebene.

Gegeben seien die Werte der Logarithmen

Berechnen Sie log(x), wenn

Lösung: Nimm den Logarithmus der Variablen, um den Logarithmus durch die Summe der Terme zu schreiben

Dies ist nur der Anfang der Bekanntschaft mit Logarithmen und ihren Eigenschaften. Üben Sie Rechnen, bereichern Sie Ihre praktischen Fähigkeiten – schon bald benötigen Sie das erworbene Wissen, um logarithmische Gleichungen zu lösen. Nachdem wir die grundlegenden Methoden zum Lösen solcher Gleichungen studiert haben, erweitern wir Ihr Wissen um ein weiteres ebenso wichtiges Thema - logarithmische Ungleichungen ...

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie jede Zahl auf jede erdenkliche Weise addiert, subtrahiert und umgerechnet werden. Da Logarithmen aber keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gibt es hier Regeln, die heißen Grundeigenschaften.

Diese Regeln müssen bekannt sein - ohne sie kann kein ernsthaftes logarithmisches Problem gelöst werden. Außerdem gibt es davon nur sehr wenige - alles kann an einem Tag gelernt werden. Also lasst uns anfangen.

Addition und Subtraktion von Logarithmen

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: logax und logay. Dann können sie addiert und subtrahiert werden, und:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x:y).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts, und die Differenz ist der Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist - gleiche Gründe. Wenn die Basen unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen bei der Berechnung des logarithmischen Ausdrucks, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion "Was ist ein Logarithmus"). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log6 4 + log6 9.

Da die Basen von Logarithmen gleich sind, verwenden wir die Summenformel:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log2 48 − log2 3.

Die Basen sind gleich, wir verwenden die Differenzformel:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log3 135 − log3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus "schlechten" Logarithmen, die nicht gesondert betrachtet werden. Aber nach Transformationen ergeben sich ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, Kontrolle - ähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal - praktisch ohne Änderungen) werden bei der Prüfung angeboten.

Entfernen des Exponenten vom Logarithmus

Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig. Was ist, wenn in der Basis oder im Argument des Logarithmus ein Grad steht? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:

Es ist leicht zu sehen, dass die letzte Regel ihren ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern - in einigen Fällen wird die Anzahl der Berechnungen erheblich reduziert.

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt, d.h. Sie können die Zahlen vor dem Vorzeichen des Logarithmus in den Logarithmus selbst eingeben.

Logarithmen lösen

Das wird am häufigsten verlangt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log7 496.

Lassen Sie uns den Grad im Argument nach der ersten Formel los:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner ein Logarithmus ist, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 24; 49 = 72. Wir haben:

Ich denke, das letzte Beispiel muss geklärt werden. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Sie stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Graden dar und nahmen die Indikatoren heraus - sie erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Betrachten wir nun den Hauptteil. Zähler und Nenner haben die gleiche Zahl: log2 7. Da log2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch kürzen – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik kann die Vier auf den Zähler übertragen werden, was auch geschehen ist. Das Ergebnis ist die Antwort: 2.

Übergang in eine neue Stiftung

In Bezug auf die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen habe ich ausdrücklich betont, dass sie nur mit denselben Basen funktionieren. Was ist, wenn die Basen unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis kommen zur Rettung. Wir formulieren sie in Form eines Satzes:

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass die Basis und das Argument des Logarithmus vertauscht werden können, aber der gesamte Ausdruck „umgedreht“ wird, d.h. Der Logarithmus steht im Nenner.

Diese Formeln sind selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken zu finden. Wie praktisch sie sind, kann nur beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen bewertet werden.

Allerdings gibt es Aufgaben, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung zu lösen sind. Betrachten wir ein paar davon:

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log5 16 log2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Exponenten sind. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nun drehen wir den zweiten Logarithmus um:

Da sich das Produkt durch Permutation von Faktoren nicht ändert, haben wir ruhig vier und zwei multipliziert und dann die Logarithmen herausgefunden.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir es auf und beseitigen die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den Dezimallogarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Beim Lösen ist es oft erforderlich, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns die Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, weil es nur der Wert des Logarithmus ist.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. Es heißt so:

Was wird in der Tat passieren, wenn die Zahl b so weit erhöht wird, dass die Zahl b in diesem Grad die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Dies ist die gleiche Nummer a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal genau durch - viele Menschen „hängen“ daran.

Wie die neuen Basisumrechnungsformeln ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass log25 64 = log5 8 - nur das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus herausgenommen hat. Angesichts der Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis erhalten wir:

Falls sich jemand nicht auskennt, das war eine echte Aufgabe vom Einheitlichen Staatsexamen 🙂

Logarithmische Einheit und logarithmische Null

Abschließend gebe ich zwei Identitäten an, die schwer Eigenschaften zu nennen sind – vielmehr sind dies Konsequenzen aus der Definition des Logarithmus. Sie sind ständig in Problemen zu finden und bereiten überraschenderweise selbst "fortgeschrittenen" Schülern Probleme.

1. logaa = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a von dieser Basis selbst ist gleich eins.
2. Loga 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins ist, ist der Logarithmus null! Denn a0 = 1 folgt direkt aus der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt, sie in die Praxis umzusetzen! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Der Teil der Logarithmen hat im Schulkurs „Mathematische Analysis“ eine große Bedeutung. Aufgaben zu logarithmischen Funktionen basieren auf anderen Prinzipien als Aufgaben zu Ungleichungen und Gleichungen. Die Kenntnis der Definitionen und grundlegenden Eigenschaften der Begriffe Logarithmus und logarithmische Funktion sichert die erfolgreiche Lösung typischer USE-Probleme.

Bevor wir erklären, was eine logarithmische Funktion ist, lohnt es sich, auf die Definition eines Logarithmus zu verweisen.

Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an: a log a x = x, wobei a › 0, a ≠ 1.

Die Haupteigenschaften von Logarithmen können in mehreren Punkten aufgelistet werden:

Logarithmus

Der Logarithmus ist eine mathematische Operation, die es ermöglicht, die Eigenschaften eines Konzepts zu verwenden, um den Logarithmus einer Zahl oder eines Ausdrucks zu finden.

Beispiele:

Logarithmusfunktion und ihre Eigenschaften

Die logarithmische Funktion hat die Form

Wir bemerken gleich, dass der Graph einer Funktion für a › 1 steigend und für 0 ‹ a ‹ 1 fallend sein kann. Abhängig davon hat die Funktionskurve die eine oder andere Form.

Hier sind die Eigenschaften und Methoden zum Zeichnen von Graphen von Logarithmen:

• der Definitionsbereich von f(x) ist die Menge aller positiven Zahlen, d.h. x kann jeden Wert aus dem Intervall (0; + ∞) annehmen;
• ODZ-Funktionen - die Menge aller reellen Zahlen, d.h. y kann eine beliebige Zahl aus dem Intervall (- ∞; +∞) sein;
• ist die Basis des Logarithmus a > 1, so nimmt f(x) über den gesamten Definitionsbereich zu;
• wenn die Basis des Logarithmus 0 ‹ a ‹ 1 ist, dann fällt F;
• die logarithmische Funktion ist weder gerade noch ungerade;
• die Kurve des Graphen geht immer durch den Punkt mit den Koordinaten (1;0).

Das Erstellen beider Arten von Diagrammen ist sehr einfach. Sehen wir uns den Vorgang anhand eines Beispiels an

Zuerst müssen Sie sich an die Eigenschaften eines einfachen Logarithmus und seine Funktion erinnern. Mit ihrer Hilfe müssen Sie eine Tabelle für bestimmte x- und y-Werte erstellen. Dann sollten auf der Koordinatenachse die erhaltenen Punkte markiert und durch eine glatte Linie verbunden werden. Diese Kurve ist das erforderliche Diagramm.

Die logarithmische Funktion ist die Umkehrung der durch y= a x gegebenen Exponentialfunktion. Um dies zu überprüfen, genügt es, beide Kurven auf derselben Koordinatenachse zu zeichnen.

Offensichtlich sind beide Linien Spiegelbilder voneinander. Indem Sie eine Gerade y = x konstruieren, können Sie die Symmetrieachse sehen.

Um schnell die Antwort auf das Problem zu finden, müssen Sie die Werte der Punkte für y = log 2⁡ x berechnen und dann einfach den Ursprung der Koordinatenpunkte um drei Divisionen nach unten und 2 Divisionen auf der OY-Achse verschieben links entlang der OX-Achse.

Als Beweis werden wir eine Berechnungstabelle für die Punkte des Diagramms y = log 2 ⁡ (x + 2) -3 erstellen und die erhaltenen Werte mit der Abbildung vergleichen.

Wie Sie sehen können, stimmen die Koordinaten aus der Tabelle und die Punkte in der Grafik überein, daher wurde die Übertragung entlang der Achsen korrekt durchgeführt.

Beispiele zur Lösung typischer USE-Probleme

Die meisten Testaufgaben lassen sich in zwei Teile gliedern: Finden des Definitionsbereichs, Spezifizieren des Funktionstyps gemäß der Diagrammzeichnung, Bestimmen, ob die Funktion zunimmt / abnimmt.

Für eine schnelle Beantwortung von Aufgaben ist es notwendig, klar zu verstehen, dass f(x) zunimmt, wenn der Exponent des Logarithmus a > 1 ist, und abnimmt - wenn 0 ‹ a ‹ 1. Allerdings nicht nur die Basis, sondern auch das Argument kann die Form der Funktionskurve stark beeinflussen.

Mit einem Häkchen markierte F(x) sind die richtigen Antworten. Zweifel ergeben sich in diesem Fall aus den Beispielen 2 und 3. Das „-“-Zeichen vor log ändert sich von zunehmend zu fallend und umgekehrt.

Daher nimmt der Graph y=-log 3⁡ x über den gesamten Definitionsbereich ab und y= -log (1/3) ⁡x nimmt zu, obwohl die Basis 0 ‹ a ‹ 1 ist.

Antworten: 3,4,5.

Antworten: 4.

Diese Arten von Aufgaben gelten als einfach und werden mit 1-2 Punkten bewertet.

Aufgabe 3.

Bestimmen Sie, ob die Funktion abnimmt oder zunimmt, und geben Sie den Umfang ihrer Definition an.

Y = log 0,7 ⁡(0,1x-5)

Da die Basis des Logarithmus kleiner als eins, aber größer als null ist, nimmt die Funktion von x ab. Entsprechend den Eigenschaften des Logarithmus muss auch das Argument größer Null sein. Lösen wir die Ungleichung:

Antworten: Definitionsbereich D(x) ist das Intervall (50; + ∞).

Antworten: 3, 1, OX-Achse, nach rechts.

Solche Aufgaben werden als durchschnittlich eingestuft und mit 3-4 Punkten bewertet.

Aufgabe 5. Finden Sie den Bereich für eine Funktion:

Aus den Eigenschaften des Logarithmus ist bekannt, dass das Argument nur positiv sein kann. Daher berechnen wir den Bereich der zulässigen Werte der Funktion. Dazu muss ein System aus zwei Ungleichungen gelöst werden.

Logarithmische Ausdrücke, Lösung von Beispielen. In diesem Artikel werden wir Probleme im Zusammenhang mit der Lösung von Logarithmen betrachten. Die Aufgaben werfen die Frage auf, den Wert des Ausdrucks zu finden. Es sollte beachtet werden, dass das Konzept des Logarithmus in vielen Aufgaben verwendet wird und es äußerst wichtig ist, seine Bedeutung zu verstehen. Wie bei der USE wird der Logarithmus beim Lösen von Gleichungen, bei angewandten Problemen und auch bei Aufgaben im Zusammenhang mit dem Studium von Funktionen verwendet.

Hier sind Beispiele, um die eigentliche Bedeutung des Logarithmus zu verstehen:

Logarithmische Grundidentität:

Eigenschaften von Logarithmen, die Sie sich immer merken müssen:

*Der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.

* * *

* Der Logarithmus des Quotienten (Bruch) ist gleich der Differenz der Logarithmen der Faktoren.

* * *

* Der Logarithmus des Grades ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus seiner Basis.

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*Übergang zur neuen Basis

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Weitere Eigenschaften:

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Das Berechnen von Logarithmen ist eng mit der Verwendung der Eigenschaften von Exponenten verbunden.

Wir listen einige davon auf:

Die Essenz dieser Eigenschaft besteht darin, dass sich beim Übertragen des Zählers auf den Nenner und umgekehrt das Vorzeichen des Exponenten in das Gegenteil ändert. Zum Beispiel:

Folge dieser Eigenschaft:

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Beim Potenzieren einer Potenz bleibt die Basis gleich, aber die Exponenten werden multipliziert.

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Wie Sie sehen können, ist das eigentliche Konzept des Logarithmus einfach. Die Hauptsache ist, dass eine gute Übung erforderlich ist, die eine bestimmte Fähigkeit verleiht. Formelkenntnisse sind natürlich obligatorisch. Wenn die Fähigkeit, elementare Logarithmen umzuwandeln, nicht ausgebildet ist, kann man beim Lösen einfacher Aufgaben leicht einen Fehler machen.

Übe, löse zuerst die einfachsten Beispiele aus dem Mathekurs und gehe dann zu komplexeren über. In Zukunft werde ich auf jeden Fall zeigen, wie die „hässlichen“ Logarithmen gelöst werden, solche wird es bei der Klausur nicht geben, aber sie sind interessant, nicht verpassen!

Das ist alles! Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh

P.S: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken über die Website berichten.

Der Logarithmus einer positiven Zahl b zur Basis a (a>0, a ist ungleich 1) ist eine Zahl c mit a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Beachten Sie, dass der Logarithmus einer nicht positiven Zahl nicht definiert ist. Außerdem muss die Basis des Logarithmus eine positive Zahl sein, die nicht gleich 1 ist. Wenn wir zum Beispiel -2 quadrieren, erhalten wir die Zahl 4, aber das bedeutet nicht, dass der Logarithmus zur Basis -2 von 4 gleich 2 ist.

Grundlegende logarithmische Identität

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Wichtig ist, dass die Definitionsbereiche des rechten und linken Teils dieser Formel unterschiedlich sind. Die linke Seite ist nur für b>0, a>0 und a ≠ 1 definiert. Die rechte Seite ist für jedes b definiert und hängt überhaupt nicht von a ab. Somit kann die Anwendung der grundlegenden logarithmischen "Identität" beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen zu einer Änderung des DPV führen.

Zwei offensichtliche Konsequenzen der Definition des Logarithmus

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

In der Tat, wenn wir die Zahl a zur ersten Potenz erheben, erhalten wir dieselbe Zahl, und wenn wir sie zur Nullpotenz erheben, erhalten wir eins.

Der Logarithmus des Produkts und der Logarithmus des Quotienten

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Ich möchte Schulkinder vor dem gedankenlosen Gebrauch dieser Formeln beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen warnen. Wenn sie "von links nach rechts" verwendet werden, verengt sich die ODZ, und wenn Sie von der Summe oder Differenz von Logarithmen zum Logarithmus des Produkts oder Quotienten wechseln, erweitert sich die ODZ.

Tatsächlich ist der Ausdruck log a (f (x) g (x)) in zwei Fällen definiert: wenn beide Funktionen streng positiv sind oder wenn f(x) und g(x) beide kleiner als Null sind.

Wenn wir diesen Ausdruck in die Summe log a f (x) + log a g (x) umwandeln, müssen wir uns nur auf den Fall beschränken, wenn f(x)>0 und g(x)>0. Es kommt zu einer Einengung des Bereichs der zulässigen Werte, was grundsätzlich nicht akzeptabel ist, da dies zum Verlust von Lösungen führen kann. Ein ähnliches Problem besteht für Formel (6).

Der Grad kann aus dem Vorzeichen des Logarithmus genommen werden

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Und wieder möchte ich zur Genauigkeit auffordern. Betrachten Sie das folgende Beispiel:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Die linke Seite der Gleichheit ist offensichtlich für alle Werte von f(x) außer Null definiert. Die rechte Seite gilt nur für f(x)>0! Wenn wir die Potenz aus dem Logarithmus entfernen, verengen wir erneut die ODZ. Der umgekehrte Vorgang führt zu einer Erweiterung des zulässigen Wertebereichs. All diese Bemerkungen gelten nicht nur für die Zweierpotenz, sondern auch für jede gerade Potenz.

Formel für den Umzug in eine neue Basis

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Der seltene Fall, dass sich die ODZ während der Konvertierung nicht ändert. Wenn Sie die Basis c mit Bedacht gewählt haben (positiv und ungleich 1), ist die Formel für den Wechsel zu einer neuen Basis vollkommen sicher.

Wenn wir als neue Basis c die Zahl b wählen, erhalten wir einen wichtigen Spezialfall von Formel (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Einige einfache Beispiele mit Logarithmen

Beispiel 1 Berechnen: lg2 + lg50.
Entscheidung. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Wir haben die Formel für die Summe der Logarithmen (5) und die Definition des dezimalen Logarithmus verwendet.

Beispiel 2 Berechnen: lg125/lg5.
Entscheidung. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Wir haben die neue Basisübergangsformel (8) verwendet.

Formeltabelle für Logarithmen

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)