In dieser Videolektion wird das Thema „Funktion y \u003d x 2. Grafische Lösung von Gleichungen. In dieser Lektion können sich die Schüler mit einer neuen Methode zum Lösen von Gleichungen vertraut machen - grafisch, die auf dem Wissen über die Eigenschaften von Funktionsgraphen basiert. Der Lehrer zeigt Ihnen, wie Sie die Funktion y=x 2 grafisch lösen.

Gegenstand:Funktion

Lektion:Funktion. Grafische Lösung von Gleichungen

Die grafische Lösung von Gleichungen basiert auf der Kenntnis von Funktionsgraphen und deren Eigenschaften. Wir listen die Funktionen auf, deren Graphen wir kennen:

1) ist der Graph eine gerade Linie parallel zur x-Achse, die durch einen Punkt auf der y-Achse verläuft. Betrachten Sie ein Beispiel: y=1:

Für verschiedene Werte erhalten wir eine Schar von Geraden parallel zur x-Achse.

2) Direkte Proportionalitätsfunktion Der Graph dieser Funktion ist eine Gerade, die durch den Ursprung geht. Betrachten Sie ein Beispiel:

Wir haben diese Diagramme bereits in früheren Lektionen erstellt. Denken Sie daran, dass Sie zum Erstellen jeder Linie einen Punkt auswählen müssen, der sie erfüllt, und den Ursprung als zweiten Punkt nehmen müssen.

Erinnern Sie sich an die Rolle des Koeffizienten k: Mit zunehmender Funktion wird der Winkel zwischen der Geraden und der positiven Richtung der x-Achse spitz; bei abnehmender Funktion ist der Winkel zwischen der Geraden und der positiven Richtung der x-Achse stumpf. Außerdem besteht zwischen zwei Parametern k mit gleichem Vorzeichen folgender Zusammenhang: Je größer k ist, desto schneller steigt die Funktion bei positivem k, und bei negativem Wert sinkt die Funktion schneller für große Werte von k modulo.

3) Lineare Funktion. Wenn - erhalten wir den Schnittpunkt mit der y-Achse und alle Linien dieser Art gehen durch den Punkt (0; m). Außerdem wird mit zunehmender Funktion der Winkel zwischen der Linie und der positiven Richtung der x-Achse spitz; bei abnehmender Funktion ist der Winkel zwischen der Geraden und der positiven Richtung der x-Achse stumpf. Und natürlich beeinflusst der Wert von k die Änderungsrate des Funktionswerts.

4). Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel.

Betrachten Sie Beispiele.

Beispiel 1 - Lösen Sie die Gleichung grafisch:

Wir kennen keine Funktionen dieser Art, also müssen wir die gegebene Gleichung umformen, um mit bekannten Funktionen zu arbeiten:

Wir haben bekannte Funktionen in beiden Teilen der Gleichung:

Lassen Sie uns Graphen von Funktionen erstellen:

Graphen haben zwei Schnittpunkte: (-1; 1); (2; 4)

Lassen Sie uns überprüfen, ob die Lösung richtig gefunden wurde, ersetzen Sie die Koordinaten in der Gleichung:

Der erste Punkt wird richtig gefunden.

, , , , , ,

Auch der zweite Punkt wird korrekt gefunden.

Die Lösungen der Gleichung sind also und

Wir gehen ähnlich wie im vorherigen Beispiel vor: Wir transformieren die gegebene Gleichung in die uns bekannten Funktionen, zeichnen ihre Graphen auf, finden die Schnittströme und geben von hier aus die Lösungen an.

Wir erhalten zwei Funktionen:

Lassen Sie uns Diagramme erstellen:

Diese Graphen haben keine Schnittpunkte, was bedeutet, dass die gegebene Gleichung keine Lösungen hat

Fazit: In dieser Lektion haben wir die uns bekannten Funktionen und ihre Graphen überprüft, uns an ihre Eigenschaften erinnert und einen grafischen Weg zum Lösen von Gleichungen in Betracht gezogen.

1. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. ua Algebra 7. 6. Auflage. M.: Aufklärung. 2010

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. ua Algebra 7 .M .: Bildung. 2006

Aufgabe 1: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. et al., Algebra 7, Nr. 494, S. 110;

Aufgabe 2: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. ua Algebra 7, Nr. 495, Punkt 110;

Aufgabe 3: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. et al., Algebra 7, Nr. 496, S. 110;

Es gebe eine vollständige quadratische Gleichung: A*x2+B*x+C=0, wobei A, B und C beliebige Zahlen sind und A ungleich Null ist. Dies ist der allgemeine Fall einer quadratischen Gleichung. Es gibt auch eine reduzierte Form mit A=1. Um eine beliebige Gleichung grafisch zu lösen, müssen Sie den Term mit dem höchsten Grad in einen anderen Teil verschieben und beide Teile mit einer Variablen gleichsetzen.

Danach bleibt A * x2 auf der linken Seite der Gleichung und B * x-C bleibt auf der rechten Seite (wir können davon ausgehen, dass B eine negative Zahl ist, dies ändert nichts an der Essenz). Wir erhalten die Gleichung A*x2=B*x-C=y. Der Übersichtlichkeit halber werden in diesem Fall beide Teile mit der Variablen y gleichgesetzt.

Plotten und Verarbeiten von Ergebnissen

Jetzt können wir zwei Gleichungen schreiben: y=A*x2 und y=B*x-C. Als nächstes müssen Sie jede dieser Funktionen grafisch darstellen. Der Graph y=A*x2 ist eine Parabel mit einem Scheitelpunkt im Ursprung, deren Äste je nach Vorzeichen der Zahl A nach oben oder unten gerichtet sind. Ist sie negativ, sind die Äste nach unten gerichtet, ist sie positiv - nach oben.

Der Graph y=B*x-C ist eine regelmäßige gerade Linie. Wenn C=0, geht die Linie durch den Ursprung. Im allgemeinen schneidet sie von der Ordinatenachse ein Segment gleich C. Der Neigungswinkel dieser Geraden relativ zur Abszissenachse wird durch den Koeffizienten B bestimmt. Er ist gleich der Steigung dieses Winkels.

Nachdem die Graphen aufgebaut sind, ist ersichtlich, dass sie sich an zwei Punkten schneiden. Die Koordinaten dieser Punkte entlang der Abszisse bestimmen die Wurzeln der quadratischen Gleichung. Um sie genau zu bestimmen, müssen Sie klare Diagramme erstellen und die richtige Skala auswählen.

Eine andere grafische Lösung

Es gibt eine andere Möglichkeit, eine quadratische Gleichung grafisch zu lösen. Es ist nicht notwendig, B*x+C auf die andere Seite der Gleichung zu verschieben. Sie können die Funktion y=A*x2+B*x+C sofort plotten. Ein solcher Graph ist eine Parabel mit einem Scheitelpunkt an einem beliebigen Punkt. Diese Methode ist komplizierter als die vorherige, aber Sie können damit nur einen Graphen erstellen.

Zuerst müssen Sie den Scheitelpunkt der Parabel mit den Koordinaten x0 und y0 bestimmen. Seine Abszisse errechnet sich nach der Formel x0=-B/2*a. Um die Ordinate zu bestimmen, müssen Sie den erhaltenen Wert der Abszisse in die ursprüngliche Funktion einsetzen. Mathematisch wird diese Aussage wie folgt geschrieben: y0=y(x0).

Dann müssen Sie zwei Punkte finden, die symmetrisch zur Achse der Parabel sind. In ihnen muss die ursprüngliche Funktion verschwinden. Danach können Sie eine Parabel bauen. Die Schnittpunkte mit der X-Achse ergeben zwei Wurzeln der quadratischen Gleichung.

Bei der linearen Programmierung wird ein grafisches Verfahren verwendet, um konvexe Mengen (Lösungspolyeder) zu bestimmen. Wenn das Hauptproblem der linearen Programmierung einen optimalen Plan hat, nimmt die Zielfunktion einen Wert an einem der Eckpunkte des Entscheidungspolyeders an (siehe Abbildung).

Dienstzuweisung. Mit diesem Dienst können Sie das Problem der linearen Programmierung mit der geometrischen Methode online lösen und eine Lösung für das duale Problem (Schätzung der optimalen Ressourcennutzung) erhalten. Zusätzlich wird eine Lösungsvorlage in Excel erstellt.

Anweisung. Wählen Sie die Anzahl der Zeilen (Anzahl der Grenzen).

Anzahl der Einschränkungen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Wenn die Anzahl der Variablen mehr als zwei beträgt, muss das System auf SZLP gebracht werden (siehe Beispiel und Beispiel Nr. 2). Wenn die Beschränkung doppelt ist, zum Beispiel 1 ≤ x 1 ≤ 4 , dann wird sie in zwei geteilt: x 1 ≥ 1 , x 1 ≤ 4 (das heißt, die Anzahl der Zeilen erhöht sich um 1).
Mit diesem Service können Sie auch einen durchführbaren Lösungsbereich (DDR) erstellen.

Folgendes wird auch mit diesem Rechner verwendet:
Simplex-Methode zur Lösung von LLP

Lösung des Transportproblems
Matrix-Spiellösung
Mit dem Online-Service können Sie den Preis eines Matrixspiels (untere und obere Grenze) bestimmen, nach einem Sattelpunkt suchen, eine Lösung für eine gemischte Strategie finden, indem Sie die folgenden Methoden verwenden: Minimax, Simplex-Methode, grafische (geometrische) Methode, Browns Methode.
Extremum einer Funktion zweier Variablen
Limitberechnung

Das Lösen eines linearen Programmierproblems durch ein grafisches Verfahren umfasst die folgenden Schritte:

1. Linien werden auf der Ebene X 1 0X 2 gebaut.
2. Halbebenen werden definiert.
3. Definieren Sie ein Entscheidungspolygon;
4. Bilde einen Vektor N(c 1 , c 2), der die Richtung der Zielfunktion angibt;
5. Verschieben Sie die direkte Zielfunktion c 1 x 2 + c 2 x 2= 0 in Richtung des Vektors N zum Extrempunkt des Lösungspolygons.
6. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes und den Wert der Zielfunktion an diesem Punkt.

In diesem Fall können die folgenden Situationen auftreten:

Beispiel. Das Unternehmen stellt zwei Arten von Produkten her - P1 und P2. Für die Herstellung von Produkten werden zwei Arten von Rohstoffen verwendet - C1 und C2. Der Großhandelspreis einer Produktionseinheit beträgt: WE 5 für P1 und 4 c.u. für P2. Der Verbrauch an Rohstoffen pro Produktionseinheit des Typs P1 und des Typs P2 ist in der Tabelle angegeben.
Tabelle - Rohstoffverbrauch für die Produktion

Es wurden Beschränkungen für die Produktnachfrage festgelegt: Die Tagesproduktion von P2-Produkten sollte die Tagesproduktion von P1-Produkten nicht um nicht mehr als 1 Tonne überschreiten; Die maximale Tagesproduktion von P2 sollte 2 Tonnen nicht überschreiten.
Es muss festgestellt werden:
Wie viele Produkte jeder Art sollte das Unternehmen produzieren, um die Einnahmen aus dem Verkauf von Produkten zu maximieren?

1. Formulieren Sie ein mathematisches Modell eines Problems der linearen Programmierung.
2. Löse ein lineares Programmierproblem grafisch (für zwei Variablen).

Entscheidung.
Lassen Sie uns ein mathematisches Modell eines linearen Programmierproblems formulieren.
x 1 - Produktion P1, Einheiten.
x 2 - Produktion von P2-Produkten, Einheiten.
x1, x2 ≥ 0

Ressourcengrenzen
6x1 + 4x2 ≤ 24
x1 + 2x2 ≤ 6

Nachfragegrenzen
x 1 +1 ≥ x 2
x2 ≤ 2

Zielfunktion
5x1 + 4x2 → max

Dann erhalten wir folgendes LLP:
6x1 + 4x2 ≤ 24
x1 + 2x2 ≤ 6
x2 - x1 ≤ 1
x2 ≤ 2
x1, x2 ≥ 0
5x1 + 4x2 → max

Erste Ebene

Lösen von Gleichungen, Ungleichungen, Systemen mit Funktionsgraphen. Visueller Leitfaden (2019)

Viele Aufgaben, die wir gewohnt sind, rein algebraisch zu rechnen, lassen sich viel einfacher und schneller lösen, die Verwendung von Funktionsgraphen hilft uns dabei. Du sagst "wie so?" etwas zeichnen, und was zeichnen? Vertrauen Sie mir, manchmal ist es bequemer und einfacher. Sollen wir anfangen? Beginnen wir mit Gleichungen!

Grafische Lösung von Gleichungen

Grafische Lösung linearer Gleichungen

Wie Sie bereits wissen, ist der Graph einer linearen Gleichung eine gerade Linie, daher der Name dieses Typs. Lineare Gleichungen lassen sich recht einfach algebraisch lösen – wir übertragen alle Unbekannten auf eine Seite der Gleichung, alles, was wir wissen – auf die andere, und voila! Wir haben die Wurzel gefunden. Jetzt zeige ich dir, wie es geht grafische Weise.

Du hast also eine Gleichung:

Wie man es löst?
Variante 1, und am häufigsten werden die Unbekannten auf eine Seite und die Bekannten auf die andere Seite verschoben, wir erhalten:

Und jetzt bauen wir. Was hast du bekommen?

Was ist Ihrer Meinung nach die Wurzel unserer Gleichung? Richtig, die Koordinate des Schnittpunkts der Graphen:

Unsere Antwort ist

Das ist die ganze Weisheit der grafischen Lösung. Wie Sie leicht überprüfen können, ist die Wurzel unserer Gleichung eine Zahl!

Wie ich oben sagte, ist dies die häufigste Option, die der algebraischen Lösung nahe kommt, aber Sie können sie auf andere Weise lösen. Um eine alternative Lösung in Betracht zu ziehen, kehren wir zu unserer Gleichung zurück:

Diesmal werden wir nichts von Seite zu Seite verschieben, sondern direkt Graphen erstellen, wie sie jetzt sind:

Gebaut? Suchen!

Was ist diesmal die Lösung? Alles ist richtig. Dasselbe ist die Koordinate des Schnittpunkts der Graphen:

Und wieder ist unsere Antwort .

Wie Sie sehen können, ist bei linearen Gleichungen alles extrem einfach. Es ist an der Zeit, etwas Komplizierteres in Betracht zu ziehen ... Zum Beispiel grafische Lösung quadratischer Gleichungen.

Grafische Lösung quadratischer Gleichungen

Beginnen wir also mit der Lösung der quadratischen Gleichung. Angenommen, Sie müssen die Wurzeln dieser Gleichung finden:

Natürlich kann man jetzt mit dem Zählen durch die Diskriminante oder nach dem Satz von Vieta beginnen, aber viele Nerven machen Fehler beim Multiplizieren oder Quadrieren, besonders wenn das Beispiel mit großen Zahlen ist, und wie Sie wissen, werden Sie keine haben Taschenrechner in der Prüfung ... Versuchen wir also, uns etwas zu entspannen und zu zeichnen, während wir diese Gleichung lösen.

Grafisch können Lösungen dieser Gleichung auf verschiedene Weise gefunden werden. Betrachten Sie die verschiedenen Optionen und Sie werden selbst entscheiden, welche Ihnen am besten gefällt.

Methode 1. Direkt

Wir bauen einfach eine Parabel nach dieser Gleichung:

Um es schnell zu machen, gebe ich Ihnen einen kleinen Hinweis: Es ist zweckmäßig, die Konstruktion mit der Bestimmung des Scheitelpunkts der Parabel zu beginnen. Die folgenden Formeln helfen bei der Bestimmung der Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel:

Du sagst „Halt! Die Formel für ist der Formel zum Finden der Diskriminante „ja, das ist sie“ sehr ähnlich, und dies ist ein großer Nachteil des „direkten“ Aufbaus einer Parabel, um ihre Wurzeln zu finden. Zählen wir jedoch bis zum Ende, und dann zeige ich Ihnen, wie Sie es viel (viel!) einfacher machen können!

Hast du gezählt? Wie lauten die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel? Lassen Sie es uns gemeinsam herausfinden:

Genau die gleiche Antwort? Gut erledigt! Und jetzt kennen wir bereits die Koordinaten des Scheitelpunkts, und um eine Parabel zu bauen, brauchen wir mehr ... Punkte. Was denken Sie, wie viele Punkte brauchen wir mindestens? Richtig, .

Sie wissen, dass eine Parabel symmetrisch zu ihrem Scheitelpunkt ist, zum Beispiel:

Dementsprechend brauchen wir zwei weitere Punkte entlang des linken oder rechten Astes der Parabel und werden diese Punkte zukünftig symmetrisch auf der gegenüberliegenden Seite spiegeln:

Wir kehren zu unserer Parabel zurück. Für unseren Fall der Punkt. Wir brauchen zwei Punkte mehr bzw. können wir positive nehmen, aber können wir auch negative nehmen? Was sind die besten Punkte für Sie? Es ist bequemer für mich, mit positiven zu arbeiten, also werde ich mit und rechnen.

Jetzt haben wir drei Punkte, und wir können unsere Parabel leicht bauen, indem wir die letzten beiden Punkte an ihrer Spitze spiegeln:

Was ist Ihrer Meinung nach die Lösung der Gleichung? Das ist richtig, die Punkte, an denen, das heißt, und. Weil.

Und wenn wir das sagen, dann bedeutet das, dass es auch gleich sein muss, oder.

Gerade? Wir haben die Gleichung mit Ihnen auf komplexe grafische Weise gelöst, oder es wird noch mehr geben!

Natürlich können Sie unsere Antwort algebraisch überprüfen - Sie können die Wurzeln durch das Vieta-Theorem oder die Diskriminante berechnen. Was hast du bekommen? Das selbe? Siehst du! Sehen wir uns jetzt eine sehr einfache grafische Lösung an, ich bin sicher, sie wird Ihnen sehr gefallen!

Methode 2. In mehrere Funktionen aufteilen

Nehmen wir auch alles, unsere Gleichung: , aber wir schreiben sie etwas anders, nämlich:

Können wir das so schreiben? Wir können, da die Transformation äquivalent ist. Schauen wir weiter.

Lassen Sie uns zwei Funktionen separat erstellen:

1. - Der Graph ist eine einfache Parabel, die Sie leicht erstellen können, auch ohne den Scheitelpunkt mit Formeln zu definieren und eine Tabelle zu erstellen, um andere Punkte zu bestimmen.
2. - Der Graph ist eine gerade Linie, die Sie genauso einfach durch Schätzen der Werte und in Ihrem Kopf erstellen können, ohne auf einen Taschenrechner zurückzugreifen.

Gebaut? Vergleichen Sie mit dem, was ich habe:

Was ist Ihrer Meinung nach in diesem Fall die Wurzel der Gleichung? Korrekt! Koordinaten von, die durch Kreuzen zweier Graphen erhalten werden, und das heißt:

Dementsprechend lautet die Lösung dieser Gleichung:

Was sagst du? Stimmen Sie zu, diese Lösungsmethode ist viel einfacher als die vorherige und sogar einfacher als die Suche nach Wurzeln durch die Diskriminante! Wenn ja, versuchen Sie diese Methode, um die folgende Gleichung zu lösen:

Was hast du bekommen? Vergleichen wir unsere Diagramme:

Die Grafiken zeigen, dass die Antworten lauten:

Hast du es geschafft? Gut erledigt! Schauen wir uns nun die etwas komplizierteren Gleichungen an, nämlich die Lösung gemischter Gleichungen, also Gleichungen, die Funktionen unterschiedlichen Typs enthalten.

Grafische Lösung gemischter Gleichungen

Versuchen wir nun, Folgendes zu lösen:

Natürlich können Sie alles auf einen gemeinsamen Nenner bringen, die Wurzeln der resultierenden Gleichung finden und dabei nicht vergessen, die ODZ zu berücksichtigen, aber wir werden auch hier versuchen, sie grafisch zu lösen, wie wir es in allen vorherigen Fällen getan haben.

Lassen Sie uns dieses Mal die folgenden 2 Diagramme zeichnen:

1. - Der Graph ist eine Hyperbel
2. - Ein Graph ist eine gerade Linie, die Sie leicht durch Schätzen der Werte und in Ihrem Kopf erstellen können, ohne auf einen Taschenrechner zurückgreifen zu müssen.

Erkannte? Beginnen Sie jetzt mit dem Bauen.

Folgendes ist mir passiert:

Wenn Sie sich dieses Bild ansehen, was sind die Wurzeln unserer Gleichung?

Das ist richtig, und. Hier die Bestätigung:

Versuchen Sie, unsere Wurzeln in die Gleichung einzufügen. Passiert?

Alles ist richtig! Stimmen Sie zu, das grafische Lösen solcher Gleichungen ist ein Vergnügen!

Versuchen Sie, die Gleichung selbst grafisch zu lösen:

Ich gebe dir einen Tipp: Verschiebe einen Teil der Gleichung nach rechts, damit beide Seiten die einfachsten Funktionen zu bauen haben. Haben Sie den Hinweis? Handeln Sie!

Nun lass uns sehen, was du hast:

Bzw:

1. - kubische Parabel.
2. - eine gewöhnliche gerade Linie.

Nun, wir bauen:

Wie Sie lange aufgeschrieben haben, ist die Wurzel dieser Gleichung -.

Nachdem ich das gelöst habe große Menge Beispielen haben Sie bestimmt schon bemerkt, wie Sie Gleichungen einfach und schnell grafisch lösen können. Es ist an der Zeit herauszufinden, wie man Systeme auf diese Weise löst.

Grafische Lösung von Systemen

Die graphische Lösung von Systemen unterscheidet sich im Wesentlichen nicht von der graphischen Lösung von Gleichungen. Wir werden auch zwei Graphen erstellen, und ihre Schnittpunkte werden die Wurzeln dieses Systems sein. Ein Graph ist eine Gleichung, der zweite Graph ist eine andere Gleichung. Alles ganz einfach!

Beginnen wir mit dem Einfachsten - dem Lösen von linearen Gleichungssystemen.

Lineare Gleichungssysteme lösen

Nehmen wir an, wir haben das folgende System:

Zunächst werden wir es so umwandeln, dass links alles steht, was damit zusammenhängt, und rechts - was damit zusammenhängt. Anders ausgedrückt schreiben wir diese Gleichungen als Funktion in der für uns üblichen Form:

Und jetzt bauen wir einfach zwei gerade Linien. Was ist die Lösung in unserem Fall? Korrekt! Der Schnittpunkt! Und hier müssen Sie sehr, sehr vorsichtig sein! Denken Sie warum? Ich gebe Ihnen einen Hinweis: Wir haben es mit einem System zu tun: Das System hat beides, und... Haben Sie den Hinweis verstanden?

Alles ist richtig! Beim Lösen des Systems müssen wir beide Koordinaten betrachten, und nicht nur, wie beim Lösen von Gleichungen! Ein weiterer wichtiger Punkt ist, sie richtig aufzuschreiben und nicht zu verwechseln, wo wir den Wert haben und wo der Wert ist! Verzeichnet? Jetzt vergleichen wir alles der Reihe nach:

Und antwortet: i. Machen Sie eine Überprüfung - ersetzen Sie die gefundenen Wurzeln in das System und stellen Sie sicher, dass wir es grafisch richtig gelöst haben?

Lösen von Systemen nichtlinearer Gleichungen

Was aber, wenn wir statt einer Geraden eine quadratische Gleichung haben? Es ist okay! Du baust statt einer Geraden einfach eine Parabel! Glaubst du nicht? Versuche folgendes System zu lösen:

Was ist unser nächster Schritt? Das ist richtig, schreiben Sie es auf, damit wir bequem Diagramme erstellen können:

Und jetzt geht es um die Kleinigkeit - ich habe es schnell gebaut und hier ist die Lösung für Sie! Gebäude:

Sind die Grafiken gleich? Markiere nun die Lösungen des Systems im Bild und schreibe die aufgedeckten Antworten richtig auf!

Ich habe alles getan? Vergleiche mit meinen Notizen:

Alles ist richtig? Gut erledigt! Solche Aufgaben klickst du schon wie Nüsse an! Und wenn ja, geben wir Ihnen ein komplizierteres System:

Was machen wir? Korrekt! Wir schreiben das System so, dass es bequem zu bauen ist:

Ich gebe Ihnen einen kleinen Hinweis, da das System sehr kompliziert aussieht! Wenn Sie Diagramme erstellen, bauen Sie sie "mehr" und wundern Sie sich vor allem nicht über die Anzahl der Schnittpunkte.

So lass uns gehen! Ausgeatmet? Beginnen Sie jetzt mit dem Bauen!

Und wie? Wunderschönen? Wie viele Schnittpunkte hast du bekommen? Ich habe drei! Vergleichen wir unsere Grafiken:

Gleicher Weg? Schreiben Sie nun sorgfältig alle Lösungen unseres Systems auf:

Betrachten Sie nun noch einmal das System:

Können Sie sich vorstellen, dass Sie es in nur 15 Minuten gelöst haben? Stimmen Sie zu, Mathematik ist immer noch einfach, besonders wenn Sie einen Ausdruck betrachten, haben Sie keine Angst, einen Fehler zu machen, aber Sie nehmen es und entscheiden! Du bist ein großer Junge!

Grafische Lösung von Ungleichungen

Grafische Lösung linearer Ungleichungen

Nach dem letzten Beispiel sind Sie der Aufgabe gewachsen! Atmen Sie jetzt aus - im Vergleich zu den vorherigen Abschnitten wird dieser sehr, sehr einfach sein!

Wir beginnen wie üblich mit einer graphischen Lösung einer linearen Ungleichung. Zum Beispiel dieser:

Zunächst führen wir die einfachsten Transformationen durch - wir öffnen die Klammern der perfekten Quadrate und geben ähnliche Begriffe an:

Die Ungleichung ist daher nicht streng - ist nicht im Intervall enthalten, und die Lösung sind alle Punkte, die rechts liegen, da mehr, mehr und so weiter:

Antworten:

Das ist alles! Leicht? Lösen wir eine einfache Ungleichung mit zwei Variablen:

Lassen Sie uns eine Funktion im Koordinatensystem zeichnen.

Hast du so ein Diagramm? Und jetzt schauen wir uns genau an, was wir an Ungleichheit haben? Kleiner? Also übermalen wir alles, was sich links von unserer geraden Linie befindet. Was wäre, wenn es mehr gäbe? Richtig, dann würden sie alles übermalen, was sich rechts von unserer Geraden befindet. Alles ist einfach.

Alle Lösungen dieser Ungleichung sind orange schattiert. Das war's, die Zwei-Variablen-Ungleichung ist gelöst. Das bedeutet, dass die Koordinaten und jeder Punkt aus dem schraffierten Bereich die Lösungen sind.

Grafische Lösung quadratischer Ungleichungen

Nun beschäftigen wir uns damit, wie man quadratische Ungleichungen grafisch löst.

Aber bevor wir direkt zum Punkt kommen, lassen Sie uns noch einmal etwas über die Quadratfunktion rekapitulieren.

Wofür ist die Diskriminante verantwortlich? Richtig, für die Position des Graphen relativ zur Achse (wenn Sie sich nicht daran erinnern, dann lesen Sie auf jeden Fall die Theorie der quadratischen Funktionen).

Auf jeden Fall hier eine kleine Erinnerung für dich:

Nachdem wir nun das gesamte Material in unserem Gedächtnis aufgefrischt haben, kommen wir zur Sache – wir werden die Ungleichung grafisch lösen.

Ich werde Ihnen gleich sagen, dass es zwei Möglichkeiten gibt, es zu lösen.

Variante 1

Wir schreiben unsere Parabel als Funktion:

Mit den Formeln bestimmen wir die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel (wie beim Lösen quadratischer Gleichungen):

Hast du gezählt? Was hast du bekommen?

Nehmen wir nun zwei weitere unterschiedliche Punkte und berechnen für sie:

Wir fangen an, einen Ast der Parabel zu bauen:

Wir spiegeln unsere Punkte symmetrisch an einem anderen Ast der Parabel:

Nun zurück zu unserer Ungleichheit.

Wir brauchen, dass es kleiner als Null ist:

Da es in unserer Ungleichheit ein streng geringeres Zeichen gibt, schließen wir die Endpunkte aus - wir „stechen heraus“.

Antworten:

Weit weg, oder? Jetzt zeige ich Ihnen eine einfachere Version der grafischen Lösung am Beispiel derselben Ungleichung:

Option 2

Wir kehren zu unserer Ungleichung zurück und markieren die Intervalle, die wir brauchen:

Stimmen Sie zu, es ist viel schneller.

Schreiben wir jetzt die Antwort auf:

Betrachten wir eine andere Lösungsmethode, die den algebraischen Teil vereinfacht, aber die Hauptsache ist, nicht verwirrt zu werden.

Multiplizieren Sie die linke und rechte Seite mit:

Versuchen Sie, die folgende quadratische Ungleichung auf beliebige Weise selbst zu lösen: .

Hast du es geschafft?

Sehen Sie, wie mein Diagramm ausgefallen ist:

Antworten: .

Grafische Lösung gemischter Ungleichungen

Kommen wir nun zu komplexeren Ungleichungen!

Wie findest Du das:

Schrecklich, oder? Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung, wie ich das algebraisch lösen soll ... Aber es ist nicht notwendig. Grafisch ist das nicht kompliziert! Die Augen haben Angst, aber die Hände tun es!

Das erste, womit wir beginnen, ist, zwei Diagramme zu erstellen:

Ich werde keine Tabelle für jeden schreiben – ich bin sicher, dass Sie es alleine perfekt machen können (natürlich gibt es so viele Beispiele zu lösen!).

Gemalt? Erstellen Sie nun zwei Graphen.

Vergleichen wir unsere Zeichnungen?

Hast du das gleiche? Bußgeld! Lassen Sie uns nun die Schnittpunkte platzieren und mit einer Farbe bestimmen, welcher Graph theoretisch größer sein sollte, dh größer sein sollte. Schau, was am Ende passiert ist:

Und jetzt schauen wir uns nur an, wo unser ausgewähltes Diagramm höher ist als das Diagramm? Fühlen Sie sich frei, einen Bleistift zu nehmen und über diesen Bereich zu malen! Es wird die Lösung unserer komplexen Ungleichheit sein!

In welchen Intervallen entlang der Achse sind wir höher als? Recht, . Das ist die Antwort!

Nun, jetzt können Sie mit jeder Gleichung und jedem System umgehen, und noch mehr mit jeder Ungleichung!

KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

Algorithmus zum Lösen von Gleichungen mit Funktionsgraphen:

1. Durch ausdrücken
2. Definieren Sie den Funktionstyp
3. Lassen Sie uns Graphen der resultierenden Funktionen erstellen
4. Finde die Schnittpunkte der Graphen
5. Schreiben Sie die Antwort richtig auf (unter Berücksichtigung der ODZ- und Ungleichheitszeichen)
6. Überprüfe die Antwort (ersetze die Wurzeln in der Gleichung oder dem System)

Weitere Informationen zum Zeichnen von Funktionsgraphen finden Sie im Thema "".

In der Lektion demonstrierten die Schüler die Kenntnisse und Fähigkeiten des Programms:

- die Arten von Funktionen erkennen, ihre Graphen erstellen;
– die Fähigkeiten zum Konstruieren einer quadratischen Funktion geübt;
– erarbeitete graphische Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen mit der Full-Square-Selection-Methode.

Besonderes Augenmerk wollte ich auf das Lösen von Problemen mit einem Parameter richten, da der USE in der Mathematik viele Aufgaben dieser Art bietet.

Die Möglichkeit, diese Art der Arbeit im Unterricht anzuwenden, wurde mir von den Studierenden selbst gegeben, da sie über eine ausreichende Wissensbasis verfügen, die vertieft und erweitert werden kann.

Vorbereitete Vorlagen von Schülern können Unterrichtszeit sparen. Während des Unterrichts gelang es mir, die Aufgaben zu Beginn des Unterrichts umzusetzen und das erwartete Ergebnis zu erzielen.

Die Verwendung einer Sportunterrichtsminute half, eine Überlastung der Schüler zu vermeiden und eine produktive Motivation für den Erwerb von Wissen aufrechtzuerhalten.

Im Allgemeinen bin ich mit dem Ergebnis des Unterrichts zufrieden, aber ich denke, dass es noch Reservemöglichkeiten gibt: moderne innovative technologische Werkzeuge, die wir leider nicht nutzen können.

Unterrichtsart: Konsolidierung des studierten Materials.

Unterrichtsziele:

• Allgemeinbildung und Didaktik:
  • Entwicklung einer Vielzahl von Möglichkeiten der geistigen Aktivität von Schülern;
  • die Fähigkeit zu entwickeln, Probleme selbstständig zu lösen;
  • erziehen die mathematische Kultur der Studenten;
  • entwickeln die Intuition der Schüler und die Fähigkeit, das erworbene Wissen anzuwenden.
• Lernziele:
  • bisher erlernte Informationen zum Thema "Grafische Lösung quadratischer Gleichungen" zusammenfassen;
  • Wiederholen Sie das Plotten quadratischer Funktionen;
  • die Fähigkeiten zur Verwendung von Algorithmen zum Lösen quadratischer Gleichungen durch eine grafische Methode zu entwickeln.
• Lehrreich:
  • Interesse wecken für Bildungsaktivitäten, im Fach Mathematik;
  • Toleranzbildung (Toleranz), Teamfähigkeit.

WÄHREND DER KLASSEN

I. Organisatorischer Moment

- Heute werden wir in der Lektion die grafische Lösung quadratischer Gleichungen auf verschiedene Weise verallgemeinern und konsolidieren.
Diese Fähigkeiten werden wir in Zukunft in der Oberstufe im Mathematikunterricht beim Lösen von trigonometrischen und logarithmischen Gleichungen, beim Finden der Fläche eines krummlinigen Trapezes sowie im Physikunterricht brauchen.

II. Überprüfung der Hausaufgaben

Lassen Sie uns auf der Tafel Nr. 23.5 (g) analysieren.

Löse diese Gleichung mit einer Parabel und einer Geraden.

Entscheidung:

x 2 + x - 6 = 0
Lassen Sie uns die Gleichung umwandeln: x 2 \u003d 6 - x
Lassen Sie uns Funktionen einführen:

y \u003d x 2; quadratische Funktion y \u003d 6 - x linear,
Diagramm yavl. Parabel, Graph yavl. gerade,

Wir bauen Funktionsgraphen in einem Koordinatensystem (nach Vorlage)

Wir haben zwei Schnittpunkte.

Die Lösung der quadratischen Gleichung sind die Abszissen dieser Punkte x 1 = - 3, x 2 = 2.

Antwort: - 3; 2.

III. Frontaler Überblick

• Was ist der Graph einer quadratischen Funktion?
• Können Sie mir den Algorithmus zum Zeichnen eines Diagramms einer quadratischen Funktion nennen?
• Was ist eine quadratische Gleichung?
• Nennen Sie Beispiele für quadratische Gleichungen?
• Schreiben Sie Ihr Beispiel einer quadratischen Gleichung an die Tafel: Was sind die Koeffizienten?
• Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen?
• Wie viele Möglichkeiten zur grafischen Lösung quadratischer Gleichungen kennen Sie?
• Was sind die grafischen Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen:

IV. Fixieren des Materials

An der Tafel entscheiden die Schüler über den ersten, zweiten, dritten Weg.

Klasse entscheidet Vierter

- x 2 + 6x - 5 \u003d 0

Ich werde die quadratische Gleichung transformieren und das vollständige Quadrat des Binoms hervorheben:

- x 2 + 6x - 5 \u003d - (x 2 - 6x + 5) \u003d - (x 2 - 6x + 32 - 9 + 5) \u003d - ((x - 3) 2 - 4) \u003d - ( x - 3) 2+4

Wir haben eine quadratische Gleichung:

- (x - 3) 2 + 4 \u003d 0

Lassen Sie uns eine Funktion einführen:

y \u003d - (x 2 - 3) 2 + 4

Quadratische Funktion der Form y \u003d a (x + L) 2 + m

Diagramm yavl. Parabel, Äste nach unten gerichtet, Verschiebung der Hauptparabel entlang der Ox-Achse nach rechts um 3 Einheiten, nach oben um 4 Einheiten entlang der Oy-Achse, oben (3; 4).

Wir bauen nach Vorlage.

Finde die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse. Abszissen dieser Punkte yavl. Lösung dieser Gleichung. x=1, x=5.

Mal sehen, andere Grafiklösungen an der Tafel. Kommentieren Sie Ihre Art, quadratische Gleichungen zu lösen.

1 Schüler

Entscheidung:

- x 2 + 6x - 5 \u003d 0

Wir führen die Funktion y \u003d - x + 6x - 5 ein, eine quadratische Funktion, der Graph ist eine Parabel, die Zweige sind nach unten gerichtet, oben

x 0 \u003d - in / 2a
x 0 \u003d - 6 / - 2 \u003d 3
y 0 \u003d - 3 2 + 18 \u003d 9; Punkt (3; 9)
Symmetrieachse x = 3

Wir bauen nach Vorlage

Wir haben Schnittpunkte mit der Ox-Achse, die Abszissen dieser Punkte sind die Lösung einer quadratischen Gleichung. Zwei Wurzeln x 1 = 1, x 2 = 5

2 Schüler

Entscheidung:

- x 2 + 6x - 5 \u003d 0

Lassen Sie uns transformieren: - x 2 + 6x \u003d 5

Wir stellen die Funktionen vor: y1 \u003d - x 2 + 6x, y2 \u003d 5, lineare Funktion, quadratische Funktion, Graph Graph yavl. Zeile y || Oh Javl. Parabel, nach unten gerichtete Äste, Scheitelpunkt x 0 \u003d - in / 2a
x 0 \u003d - 6 / - 2 \u003d 3
y 0 \u003d - 3 2 + 18 \u003d 9;
(3; 9).
Symmetrieachse x = 3
Wir bauen nach Vorlage
Schnittpunkte bekommen
Parabeln und eine Gerade, ihre Abszissen sind die Lösung einer quadratischen Gleichung. Zwei Wurzeln x 1 = 1, x 2 = 5
Dieselbe Gleichung kann also auf unterschiedliche Weise gelöst werden, und die Antwort sollte dieselbe sein.

V. Leibeserziehung

VI. Lösen eines Problems mit einem Parameter

Zu welchen Werten R Gleichung x 2 + 6x + 8 = p:
- Hat keine Wurzeln?
- Hat eine Wurzel?
Hat es zwei Wurzeln?
Wie unterscheidet sich diese Gleichung von der vorherigen?
Richtig, Brief!
Wir bezeichnen diesen Brief als Parameter, R.
Solange sie dir nichts sagt. Aber wir werden weiterhin verschiedene Probleme mit einem Parameter lösen.
Heute werden wir eine quadratische Gleichung mit einem Parameter mit einer grafischen Methode lösen, indem wir die dritte Methode verwenden, indem wir eine Parabel und eine gerade Linie parallel zur x-Achse verwenden.
Der Schüler hilft dem Lehrer beim Lösen an der Tafel.
Wo fangen wir an zu entscheiden?

Stellen wir die Funktionen ein:

y 1 \u003d x 2 + 6x + 8 y 2 \u003d p lineare Funktion,
quadratische Funktion, der Graph ist eine Gerade
Diagramm yavl. Parabel,
Zweige nach unten

x 0 \u003d - in / 2a,
x 0 = - 6/2 = - 3
y 0 \u003d (- 3) 2 + 6 (- 3) + 8 \u003d - 1
(– 3; – 1)

Die Symmetrieachse x = 3, ich werde keine Tabelle bauen, sondern ich werde die Schablone y = x 2 nehmen und sie an der Spitze der Parabel befestigen.
Die Parabel ist gebaut! Jetzt müssen wir eine Linie ziehen y = p.
Wo soll eine Grenze gezogen werden? R um zwei Wurzeln zu bekommen?
Wo soll eine Grenze gezogen werden? R um eine Wurzel zu bekommen?
Wo soll eine Grenze gezogen werden? R ohne Wurzeln?
– Also, wie viele Wurzeln kann unsere Gleichung haben?
Hat dir die Aufgabe gefallen? Ich danke Ihnen für Ihre Hilfe! Klasse 5.

VII. Selbstständige Arbeit nach Optionen (5 Min.)

y \u003d x 2 - 5x + 6 y \u003d - x 2 + x - 6

Lösen Sie eine quadratische Gleichung auf grafische Weise und wählen Sie einen für Sie bequemen Weg. Wenn jemand die Aufgabe früher erledigt, überprüfen Sie Ihre Lösung auf andere Weise. Dies wird mit zusätzlichen Noten belegt.

VIII. Zusammenfassung der Lektion

- Was hast du in der heutigen Lektion gelernt?
- Heute haben wir in der Lektion quadratische Gleichungen mit einer grafischen Methode gelöst, verschiedene Lösungsmethoden verwendet und eine grafische Methode zum Lösen einer quadratischen Gleichung mit einem Parameter betrachtet!
- Kommen wir zu den Hausaufgaben.

IX. Hausaufgaben

1. Heimtest auf Seite 147 aus Mordkovichs Problembuch für die Optionen I und II.
2. Auf dem Kreis lösen wir am Mittwoch die V-te Methode (Hyperbel und Gerade).

X. Literatur:

1. AG Mordkowitsch. Algebra-8. Teil 1. Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen. Moskau: Mnemosyne, 2008
2. AG Mordkovich, L.A. Aleksandrova, T.N. Mischustin, E.E. Tultschinskaja. Algebra - 8. Teil 2. Aufgabenbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen. Moskau: Mnemosyne, 2008
3. AG Mordkowitsch. Algebra 7-9. Methodischer Leitfaden für einen Lehrer M.: Mnemosyne, 2004
4. LA Alexandrova. Algebra-8. Eigenständiges Arbeiten für Studierende von Bildungseinrichtungen./Ed. AG Mordkowitsch. Moskau: Mnemosyne, 2009