Wir beschäftigen uns weiterhin mit elementaren Problemen in der Mathematik. In dieser Lektion geht es um Prozentaufgaben. Wir werden einige Probleme betrachten und auch jene Punkte ansprechen, die zuvor beim Studium der Prozentsätze nicht erwähnt wurden, wenn man bedenkt, dass sie zunächst Schwierigkeiten beim Lernen verursachen.
In den meisten Fällen laufen Aufgaben für Prozentsätze darauf hinaus, den Prozentsatz einer Zahl zu finden, eine Zahl prozentual zu finden, einen beliebigen Teil als Prozentsatz auszudrücken oder die Beziehung zwischen mehreren Objekten, Zahlen und Mengen als Prozentsatz auszudrücken.
Vorläufige Fähigkeiten UnterrichtsinhaltMöglichkeiten, einen Prozentsatz zu finden
Der Prozentsatz kann auf verschiedene Weise ermittelt werden. Die beliebteste Methode ist, die Zahl durch 100 zu teilen und das Ergebnis mit dem gewünschten Prozentsatz zu multiplizieren.
Um beispielsweise 60 % von 200 Rubel zu finden, müssen Sie diese 200 Rubel zunächst in hundert gleiche Teile teilen:
200 Rubel: 100 = 2 Rubel.
Wenn wir eine Zahl durch 100 teilen, finden wir ein Prozent dieser Zahl. Wenn wir also 200 Rubel in 100 Teile teilen, haben wir automatisch 1% von zweihundert Rubel gefunden, das heißt, wir haben herausgefunden, wie viele Rubel in einen Teil fallen. Wie aus dem Beispiel ersichtlich, macht ein Teil (ein Prozent) 2 Rubel aus.
1% ab 200 Rubel - 2 Rubel
Wenn wir wissen, wie viele Rubel auf einen Teil fallen (pro 1%), können wir herausfinden, wie viele Rubel auf zwei Teile fallen, drei, vier, fünf usw. Das heißt, wir können eine beliebige Anzahl von Prozent finden. Dazu reicht es aus, diese 2 Rubel mit der gewünschten Anzahl von Teilen (Prozent) zu multiplizieren. Lassen Sie uns sechzig Teile finden (60%)
2 × 60 = 120 Rubel.
2 × 5 = 10 Rubel
Wir finden 90%
2 × 90 = 180 Rubel.
Wir finden 100%
2 × 100 = 200 Rubel
100% sind alle hundert Teile und sie machen alle 200 Rubel aus.
Die zweite Möglichkeit besteht darin, Prozentsätze als gewöhnlichen Bruch darzustellen und diesen Bruch aus der Zahl zu ermitteln, aus der Sie den Prozentsatz ermitteln möchten.
Lassen Sie uns zum Beispiel die gleichen 60% von 200 Rubel finden. Lassen Sie uns zunächst 60 % als Bruch darstellen. 60 % sind sechzig Teile von Hundert, also sechzig Hundertstel:
Nun kann die Aufgabe verstanden werden als „finden von 200Rubel" . Dies ist diejenige, die wir zuvor studiert haben. Denken Sie daran, dass Sie, um einen Bruch einer Zahl zu finden, diese Zahl durch den Nenner des Bruchs dividieren und das Ergebnis mit dem Zähler des Bruchs multiplizieren müssen
200: 100 = 2
2 x 60 = 120
Oder multiplizieren Sie die Zahl mit einem Bruch ():
Die dritte Möglichkeit besteht darin, den Prozentsatz als Dezimalbruch darzustellen und die Zahl mit diesem Dezimalbruch zu multiplizieren.
Lassen Sie uns zum Beispiel die gleichen 60% von 200 Rubel finden. Beginnen wir damit, 60 % als Bruch darzustellen. 60% Prozent sind sechzig Teile von hundert
Lassen Sie uns die Division in diesem Bruch durchführen. Verschieben Sie das Komma in 60 zwei Stellen nach links:
Jetzt finden wir 0,60 von 200 Rubel. Um den Dezimalbruch einer Zahl zu finden, müssen Sie diese Zahl mit dem Dezimalbruch multiplizieren:
200 × 0,60 = 120 Rubel
Die angegebene Methode zum Ermitteln eines Prozentsatzes ist am bequemsten, insbesondere wenn eine Person daran gewöhnt ist, einen Taschenrechner zu verwenden. Mit dieser Methode können Sie den Prozentsatz in einem Schritt ermitteln.
In der Regel ist es nicht schwierig, einen Prozentsatz in Dezimalbrüchen auszudrücken. Es reicht aus, vor dem Prozentsatz "null ganze Zahlen" zuzuweisen, wenn der Prozentsatz eine zweistellige Zahl ist, oder "null ganze Zahlen" und eine weitere Null hinzuzufügen, wenn der Prozentsatz eine einstellige Zahl ist. Beispiele:
60% \u003d 0,60 - Vor der Zahl 60 werden null ganze Zahlen zugewiesen, da die Zahl 60 zweistellig ist
6% \u003d 0,06 - Zugewiesene null ganze Zahlen und eine weitere Null vor der Zahl 6, da die Zahl 6 einstellig ist.
Bei der Division durch 100 haben wir die Methode verwendet, das Komma um zwei Stellen nach links zu verschieben. Bei der Antwort 0,60 blieb die Null nach der Zahl 6 erhalten. Aber wenn Sie diese Division durch eine Ecke durchführen, verschwindet die Null - Sie erhalten die Antwort 0,6
Es muss daran erinnert werden, dass die Dezimalbrüche 0,60 und 0,6 gleich sind und den gleichen Wert haben.
0,60 = 0,6
In derselben „Ecke“ können Sie unendlich weiter dividieren und jedes Mal Null zum Rest hinzufügen, aber dies ist eine bedeutungslose Aktion.
Prozente lassen sich nicht nur durch Division durch 100 als Dezimalzahl ausdrücken, sondern auch durch Multiplikation. Das Prozentzeichen (%) allein ersetzt den 0,01-Multiplikator. Und wenn wir berücksichtigen, dass die Prozentzahl und das Prozentzeichen zusammen geschrieben werden, dann steht dazwischen ein „unsichtbares“ Multiplikationszeichen (×).
So sehen beispielsweise 45 % tatsächlich so aus
Ersetzen Sie das Prozentzeichen durch einen Faktor von 0,01
Diese Multiplikation mit 0,01 erfolgt durch Verschieben des Dezimalkommas um zwei Stellen nach links
Aufgabe 1. Das Familienbudget beträgt 75.000 Rubel im Monat. Davon sind 70 % Geld, das Papa verdient. Wie viel hat Mama verdient?
Entscheidung
Insgesamt 100 Prozent Wenn Papa 70 % des Geldes verdient hat, dann hat Mama die restlichen 30 % des Geldes verdient.
Aufgabe 2. Das Familienbudget beträgt 75.000 Rubel im Monat. Davon sind 70 % Geld, das Papa verdient, und 30 % Geld, das Mama verdient. Wie viel Geld hat jeder verdient?
Entscheidung
Wir werden 70 und 30 Prozent von 75 Tausend Rubel finden. Wir werden also ermitteln, wie viel Geld jeder verdient hat. Der Einfachheit halber werden 70 % und 30 % als Dezimalbrüche geschrieben
75 × 0,70 \u003d 52,5 (Vater verdiente tausend Rubel)
75 × 0,30 = 22,5 (Mutter verdiente tausend Rubel)
Untersuchung
52,5 + 22,5 = 75
75 = 75
Antworten: 52,5 Tausend Rubel Papa verdiente 22,5 Rubel. Mutter verdient.
Aufgabe 3. Beim Abkühlen verliert das Brot durch Wasserverdunstung bis zu 4 % seiner Masse. Wie viele Kilogramm verdunsten, wenn 12 Tonnen Brot abkühlen.
Entscheidung
Konvertieren Sie 12 Tonnen in Kilogramm. In einer Tonne sind 1000 Kilogramm, in 12 Tonnen das 12-fache
1000 × 12 = 12.000 kg
Lassen Sie uns nun 4% von 12000 finden. Das Ergebnis wird die Lösung des Problems sein:
12.000 × 0,04 = 480 kg
Antworten: Beim Kühlen von 12 Tonnen Brot verdunsten 480 Kilogramm.
Aufgabe 4. Äpfel verlieren beim Trocknen 84 % ihres Gewichts. Wie viele getrocknete Äpfel werden aus 300 kg frischen gewonnen?
Finden Sie 84 % von 300 kg
300: 100 × 84 = 252 kg
300 kg frische Äpfel verlieren durch das Trocknen 252 kg ihrer Masse. Um die Frage zu beantworten, wie viele getrocknete Äpfel herauskommen, müssen Sie 252 von 300 subtrahieren
300 - 252 = 48 kg
Antworten: Aus 300 kg frischen Äpfeln werden 48 kg getrocknete.
Aufgabe 5. Sojasamen enthalten 20 % Öl. Wie viel Öl steckt in 700 kg Sojabohnen?
Entscheidung
Finden Sie 20 % von 700 kg
700 × 0,20 = 140 kg
Antworten: 700 kg Soja enthalten 140 kg Öl
Aufgabe 6. Buchweizen enthält 10 % Proteine, 2,5 % Fette und 60 % Kohlenhydrate. Wie viele dieser Produkte sind in 14,4 Zentner Buchweizen enthalten?
Entscheidung
Lassen Sie uns 14,4 Zentner in Kilogramm übersetzen. In einem Zentner sind 100 Kilogramm, in 14,4 Zentnern 14,4 mal mehr
100 × 14,4 = 1440 kg
Finden Sie 10 %, 2,5 % und 60 % von 1440 kg
1440 × 0,10 = 144 (kg Proteine)
1440 × 0,025 = 36 (kg Fett)
1440 x 0,60 = 864 (kg Kohlenhydrate)
Antworten: 14,4 kg Buchweizen enthalten 144 kg Proteine, 36 kg Fett, 864 kg Kohlenhydrate.
Aufgabe 7. Schulkinder sammelten 60 kg Eichen-, Akazien-, Linden- und Ahornsamen für die Waldgärtnerei. Eicheln machten 60 %, Ahornsamen 15 %, Lindensamen 20 % aller Samen aus und der Rest waren Akaziensamen. Wie viele Kilogramm Akaziensamen wurden von Schulkindern gesammelt?
Entscheidung
Wir nehmen zu 100% die Samen von Eiche, Akazie, Linde und Ahorn. Lassen Sie uns von diesen 100% die Prozentsätze abziehen, die die Samen von Eiche, Linde und Ahorn ausdrücken. So finden wir heraus, wie viel Prozent Akaziensamen sind:
100% − (60% + 15% + 20%) = 100% − 95% = 5%
Jetzt finden wir Akaziensamen:
60 × 0,05 = 3 kg
Antworten: Schulkinder sammelten 3 kg Akaziensamen.
Untersuchung:
60 x 0,60 = 36
60 x 0,15 = 9
60 x 0,20 = 12
60 x 0,05 = 3
36 + 9 + 12 + 3 = 60
60 = 60
Aufgabe 8. Der Mann kaufte Essen. Milch kostet 60 Rubel, das sind 48 % aller Einkäufe. Bestimmen Sie den Gesamtbetrag, der für Produkte ausgegeben wird.
Entscheidung
Dies ist ein Problem, eine Zahl nach ihrem Prozentsatz zu finden, dh nach ihrem bekannten Teil. Dieses Problem kann auf zwei Arten gelöst werden. Die erste besteht darin, die bekannte Prozentzahl als Dezimalbruch auszudrücken und die unbekannte Zahl aus diesem Bruch zu ermitteln
Drücken Sie 48 % als Dezimalzahl aus
48% : 100 = 0,48
Da wir wissen, dass 0,48 60 Rubel sind, können wir die Höhe aller Einkäufe bestimmen. Dazu müssen Sie eine unbekannte Zahl im Dezimalbruch finden:
60: 0,48 = 125 Rubel
Der Gesamtbetrag, der für Lebensmittel ausgegeben wird, beträgt also 125 Rubel.
Die zweite Möglichkeit besteht darin, zuerst herauszufinden, wie viel Geld auf ein Prozent fällt, und dann das Ergebnis mit 100 zu multiplizieren
48% sind 60 Rubel. Wenn wir 60 Rubel durch 48 teilen, finden wir heraus, wie viele Rubel auf 1% fallen
60: 48% = 1,25 Rubel
1% macht 1,25 Rubel aus. Insgesamt 100 Prozent Wenn wir 1,25 Rubel mit 100 multiplizieren, erhalten wir den Gesamtbetrag, der für Produkte ausgegeben wird
1,25 × 100 = 125 Rubel
Aufgabe 9. 35 % der getrockneten Pflaumen stammen aus frischen Pflaumen. Wie viele frische Pflaumen braucht man, um 140 kg getrocknete zu bekommen? Wie viele getrocknete Pflaumen werden aus 600 kg frischen gewonnen?
Entscheidung
Lassen Sie uns 35 % als Dezimalbruch ausdrücken und die unbekannte Zahl aus diesem Bruch ermitteln:
35% = 0,35
140: 0,35 = 400 kg
Um 140 kg getrocknete Pflaumen zu erhalten, müssen Sie 400 kg frische nehmen.
Beantworten wir die zweite Frage des Problems: Wie viele getrocknete Pflaumen ergeben sich aus 600 kg frischen? Wenn 35 % getrocknete Pflaumen aus frischen Pflaumen stammen, dann reicht es aus, diese 35 % aus 600 kg frischen Pflaumen zu finden
600 × 0,35 = 210 kg
Antworten: Um 140 kg getrocknete Pflaumen zu erhalten, müssen Sie 400 kg frische nehmen. Aus 600 kg frischen Pflaumen werden 210 kg getrocknete Pflaumen gewonnen.
Aufgabe 10. Die Assimilation von Fetten durch den menschlichen Körper beträgt 95%. Einen Monat lang nahm der Student 1,2 kg Fett zu sich. Wie viel Fett kann sein Körper aufnehmen?
Entscheidung
Konvertieren Sie 1,2 kg in Gramm
1,2 x 1000 = 1200 g
Finden Sie 95 % von 1200 g
1200 × 0,95 = 1140 g
Antworten: 1140 g Fett können vom Körper des Schülers aufgenommen werden.
Zahlen in Prozent ausdrücken
Wie bereits erwähnt, kann der Prozentsatz als Dezimalbruch dargestellt werden. Dazu reicht es aus, die Anzahl dieser Prozentsätze durch 100 zu teilen. Stellen wir beispielsweise 12 % als Dezimalbruch dar:
Kommentar. Wir finden derzeit keinen Prozentsatz von etwas, sondern schreiben es einfach als Dezimalbruch.
Aber auch der umgekehrte Vorgang ist möglich. Ein Dezimalbruch kann als Prozentsatz dargestellt werden. Multiplizieren Sie dazu diesen Bruch mit 100 und setzen Sie ein Prozentzeichen (%)
Stellen wir den Dezimalbruch 0,12 als Prozentsatz dar
0,12 x 100 = 12 %
Diese Aktion wird aufgerufen in Prozent ausgedrückt oder Zahlen in Hundertstel ausdrücken.
Multiplikation und Division sind Umkehroperationen. Wenn zum Beispiel 2 × 5 = 10, dann 10: 5 = 2
In ähnlicher Weise kann die Division umgekehrt geschrieben werden. Wenn 10:5 = 2, dann 2 × 5 = 10:
Dasselbe passiert, wenn wir eine Dezimalzahl als Prozentsatz ausdrücken. Also wurden 12 % als Dezimalzahl wie folgt ausgedrückt: 12: 100 = 0,12, aber dann wurden die gleichen 12 % durch Multiplikation „zurückgegeben“, indem der Ausdruck 0,12 × 100 = 12 % geschrieben wurde.
Ebenso können Sie alle anderen Zahlen, einschließlich Ganzzahlen, als Prozentsatz ausdrücken. Stellen wir zum Beispiel die Zahl 3 in Prozent dar. Multiplizieren Sie diese Zahl mit 100 und addieren Sie das Prozentzeichen zum Ergebnis:
3 x 100 = 300 %
Große Prozentsätze wie 300 % können zunächst verwirrend sein, da die Leute es gewohnt sind, 100 % als maximalen Anteil zu zählen. Aus zusätzlichen Informationen über Brüche wissen wir, dass ein ganzes Objekt mit Eins bezeichnet werden kann. Wenn zum Beispiel ein ganzer ungeschnittener Kuchen vorhanden ist, kann dies mit 1 bezeichnet werden
Derselbe Kuchen kann als 100 % Kuchen bezeichnet werden. In diesem Fall bezeichnen sowohl Einheit als auch 100 % denselben ganzen Kuchen:
Lassen Sie uns den Kuchen in zwei Hälften schneiden. In diesem Fall wird aus der Eins die Dezimalzahl 0,5 (weil es eine halbe Einheit ist) und aus 100 % wird 50 % (weil 50 ein halbes Hundert ist).
Wir geben den ganzen Kuchen zurück, eine Einheit und 100 %
Lassen Sie uns zwei weitere solcher Kuchen mit derselben Notation zeichnen:
Wenn ein Kuchen eine Einheit ist, dann sind drei Kuchen drei Einheiten. Jeder Kuchen ist 100% intakt. Wenn Sie diese dreihundert hinzufügen, erhalten Sie 300 %.
Daher multiplizieren wir bei der Umwandlung von Ganzzahlen in Prozent diese Zahlen mit 100.
Aufgabe 2. Drücken Sie die Zahl 5 in Prozent aus
5 x 100 = 500 %
Aufgabe 3. Drücken Sie die Zahl 7 in Prozent aus
7 x 100 = 700 %
Aufgabe 4. Drücken Sie als Prozentsatz die Zahl 7,5 aus
7,5 x 100 = 750 %
Aufgabe 5. Drücken Sie als Prozentsatz die Zahl 0,5 aus
0,5 x 100 = 50 %
Aufgabe 6. Drücken Sie als Prozentsatz die Zahl 0,9 aus
0,9 x 100 = 90 %
Beispiel 7. Drücken Sie als Prozentsatz die Zahl 1,5 aus
1,5 x 100 = 150 %
Beispiel 8. Drücken Sie als Prozentsatz die Zahl 2,8 aus
2,8 x 100 = 280 %
Aufgabe 9. George geht von der Schule nach Hause. In den ersten fünfzehn Minuten ging er 0,75 des Weges. Die restliche Zeit ging er die restlichen 0,25 des Weges. Geben Sie die von George zurückgelegten Teile des Weges in Prozent an.
Entscheidung
0,75 x 100 = 75 %
0,25 x 100 = 25 %
Aufgabe 10. John wurde mit einem halben Apfel behandelt. Drücken Sie diese Hälfte als Prozentsatz aus.
Entscheidung
Ein halber Apfel wird als Bruchteil von 0,5 geschrieben. Um diesen Bruch in Prozent auszudrücken, multipliziere ihn mit 100 und addiere das Prozentzeichen zum Ergebnis.
0,5 x 100 = 50 %
Analoga in Form von Fraktionen
Ein in Prozent ausgedrückter Wert hat sein Gegenstück in Form eines gewöhnlichen Bruchs. Das Analogon für 50% ist also ein Bruchteil. Fünfzig Prozent kann auch das Wort "halb" genannt werden.
Das Analogon für 25% ist ein Bruchteil. Fünfundzwanzig Prozent können auch als das Wort "Quarter" bezeichnet werden.
Das Analogon für 20% ist ein Bruchteil. Zwanzig Prozent können auch als "Fünfte" bezeichnet werden.
Das Analogon für 40% ist ein Bruchteil.
Das Analogon für 60% ist ein Bruchteil
Beispiel 1. Fünf Zentimeter sind 50 % eines Dezimeters oder nur die Hälfte. In allen Fällen sprechen wir über den gleichen Wert – fünf von zehn Zentimetern
Beispiel 2. Zweieinhalb Zentimeter sind 25 % eines Dezimeters oder nur ein Viertel
Beispiel 3. Zwei Zentimeter sind 20 % eines Dezimeters bzw
Beispiel 4. Vier Zentimeter sind 40 % eines Dezimeters bzw
Beispiel 5. Sechs Zentimeter sind 60 % eines Dezimeters bzw
Verringern und erhöhen Sie das Interesse
Beim Erhöhen oder Verringern eines prozentualen Werts wird die Präposition „on“ verwendet.
Beispiele:
- Erhöhen um 50 % - bedeutet, den Wert um das 1,5-fache zu erhöhen;
- Erhöhen um 100 % - bedeutet, den Wert um das Zweifache zu erhöhen;
- Eine Erhöhung um 200 % bedeutet eine Erhöhung um das Dreifache;
- Um 50 % verringern - bedeutet, den Wert um das Zweifache zu verringern;
- Um 80 % zu reduzieren bedeutet, um das 5-fache zu reduzieren.
Beispiel 1. Zehn Zentimeter um 50% erhöht. Wie viele Zentimeter hast du erreicht?
Um solche Probleme zu lösen, müssen Sie den Anfangswert mit 100 % annehmen. Der ursprüngliche Wert beträgt 10 cm, 50 % davon sind 5 cm
Die ursprünglichen 10 cm wurden um 50% (um 5 cm) erhöht, sodass 10 + 5 cm, dh 15 cm, herauskamen
Ein Analogon, bei dem zehn Zentimeter um 50% erhöht werden, ist ein Multiplikator von 1,5. Wenn Sie 10 cm damit multiplizieren, erhalten Sie 15 cm
10 × 1,5 = 15 cm
Daher bedeuten die Ausdrücke „Erhöhung um 50 %“ und „Erhöhung um das 1,5-fache“ dasselbe.
Beispiel 2. Fünf Zentimeter um 100% erhöht. Wie viele Zentimeter hast du erreicht?
Nehmen wir die ursprünglichen fünf Zentimeter als 100 % an. Einhundert Prozent dieser fünf Zentimeter sind selbst 5 cm. Wenn Sie 5 cm um die gleichen 5 cm erhöhen, erhalten Sie 10 cm
Ein Analogon, bei dem fünf Zentimeter um 100% erhöht werden, ist ein Faktor von 2. Wenn Sie 5 cm damit multiplizieren, erhalten Sie 10 cm
5×2=10cm
Daher bedeuten die Ausdrücke „Erhöhung um 100 %“ und „Erhöhung um das Zweifache“ dasselbe.
Beispiel 3. Fünf Zentimeter um 200% erhöht. Wie viele Zentimeter hast du erreicht?
Nehmen wir die ursprünglichen fünf Zentimeter als 100 % an. Zweihundert Prozent sind zweimal hundert Prozent. Das heißt, 200 % von 5 cm sind 10 cm (5 cm für jeweils 100 %). Wenn Sie 5 cm um diese 10 cm erhöhen, erhalten Sie 15 cm
Ein Analogon einer Zunahme von fünf Zentimetern um 200% ist ein Faktor von 3. Wenn Sie 5 cm damit multiplizieren, erhalten Sie 15 cm
5×3=15cm
Daher bedeuten die Ausdrücke „Erhöhung um 200 %“ und „Erhöhung um das Dreifache“ dasselbe.
Beispiel 4. Zehn Zentimeter wurden um 50 % reduziert. Wie viele Zentimeter bleiben übrig?
Nehmen wir die ursprünglichen 10 cm als 100 % an. Fünfzig Prozent von 10 cm sind 5 cm. Wenn Sie 10 cm um diese 5 cm reduzieren, werden 5 cm
Das Analogon zur Reduzierung von zehn Zentimetern um 50 % ist der Divisor 2. Wenn Sie 10 cm durch ihn teilen, erhalten Sie 5 cm
10:2=5cm
Daher bedeuten die Ausdrücke „um 50 % reduzieren“ und „um das 2-fache reduzieren“ dasselbe.
Beispiel 5. Zehn Zentimeter wurden um 80 % reduziert. Wie viele Zentimeter bleiben übrig?
Nehmen wir die ursprünglichen 10 cm als 100 % an. Achtzig Prozent von 10 cm sind 8 cm. Wenn Sie 10 cm um diese 8 cm reduzieren, werden es 2 cm
Das Analogon zur Reduzierung von zehn Zentimetern um 80 % ist der Teiler 5. Wenn Sie 10 cm durch ihn teilen, erhalten Sie 2 cm
10:5=2cm
Daher bedeuten die Ausdrücke „um 80 % reduzieren“ und „um das Fünffache reduzieren“ dasselbe.
Beim Lösen von Aufgaben zum abnehmenden und zunehmenden Interesse können Sie den Wert mit dem in der Aufgabe angegebenen Multiplikator multiplizieren / dividieren.
Aufgabe 1. Um wie viel Prozent hat sich der Wert verändert, wenn er um das 1,5-fache gestiegen ist?
Der in der Aufgabe genannte Wert kann mit 100 % bezeichnet werden. Dann multiplizieren Sie diese 100 % mit dem Faktor 1,5
100 % × 1,5 = 150 %
Ziehen Sie nun von den erhaltenen 150 % die ursprünglichen 100 % ab und erhalten Sie die Lösung der Aufgabe:
150% − 100% = 50%
Aufgabe 2. Um wie viel Prozent hat sich der Wert geändert, wenn er um das 4-fache gesunken ist?
Diesmal wird der Wert sinken, also führen wir die Division durch. Der in der Aufgabe genannte Wert wird mit 100 % bezeichnet. Als nächstes teilen wir diese 100 % durch einen Teiler von 4
Subtrahieren Sie von den ursprünglichen 100 % die resultierenden 25 % und erhalten Sie die Lösung der Aufgabe:
100% − 25% = 75%
Das bedeutet, dass bei einer Verringerung des Wertes um das 4-fache er um 75 % abnahm.
Aufgabe 3. Um wie viel Prozent hat sich der Wert geändert, wenn er um das 5-fache gesunken ist?
Der in der Aufgabe genannte Wert wird mit 100 % bezeichnet. Als nächstes teilen wir diese 100 % durch einen Teiler von 5
Subtrahieren Sie von den ursprünglichen 100 % die resultierenden 20 % und erhalten Sie die Antwort auf die Aufgabe:
100% − 20% = 80%
Das heißt, wenn der Wert um das 5-fache sinkt, sinkt er um 80 %.
Aufgabe 4. Um wie viel Prozent hat sich der Wert geändert, wenn er um das 10-fache gesunken ist?
Der in der Aufgabe genannte Wert wird mit 100 % bezeichnet. Als nächstes teilen Sie diese 100 % durch einen Teiler von 10
Subtrahieren Sie von den ursprünglichen 100 % die resultierenden 10 % und erhalten Sie die Lösung für die Aufgabe:
100% − 10% = 90%
Das heißt, wenn der Wert um das 10-fache sinkt, sinkt er um 90 %.
Die Aufgabe, den Prozentsatz zu finden
Um etwas in Prozent auszudrücken, musst du zuerst einen Bruch aufschreiben, der zeigt, welcher Teil die erste Zahl von der zweiten ist, dann diesen Bruch teilen und das Ergebnis in Prozent ausdrücken.
Angenommen, es gibt fünf Äpfel. Zwei Äpfel sind rot und drei grün. Drücken Sie rote und grüne Äpfel in Prozent aus.
Zuerst müssen Sie herausfinden, welchen Teil rote Äpfel ausmachen. Es gibt insgesamt fünf Äpfel und zwei rote. Zwei von fünf oder zwei Fünftel sind also rote Äpfel:
Es gibt drei grüne Äpfel. Drei von fünf oder drei Fünftel sind also grüne Äpfel:
Wir haben zwei Brüche und . Lassen Sie uns die Division in diesen Brüchen durchführen
Wir haben die Dezimalbrüche 0,4 und 0,6. Lassen Sie uns nun diese Dezimalbrüche in Prozent ausdrücken:
0,4 x 100 = 40 %
0,6 x 100 = 60 %
40 % sind also rote Äpfel, 60 % sind grüne.
Und alle fünf Äpfel machen 40 % + 60 % aus, also 100 %
Aufgabe 2. Die Mutter gab zwei Söhnen 200 Rubel. Mama gab dem jüngeren Bruder 80 Rubel und dem älteren Bruder 120 Rubel. Geben Sie das Geld, das Sie jedem Bruder geben, in Prozent an.
Entscheidung
Der jüngere Bruder erhielt 80 Rubel von 200 Rubel. Wir schreiben den Bruch zweiundachtzig Hundertstel:
Der ältere Bruder erhielt 120 Rubel von 200 Rubel. Wir schreiben den Bruch einhundertzweiundzwanzig Hundertstel:
Wir haben Brüche und . Lassen Sie uns die Division in diesen Brüchen durchführen
Drücken wir die Ergebnisse in Prozent aus:
0,4 x 100 = 40 %
0,6 x 100 = 60 %
Das bedeutet, dass der jüngere Bruder 40 % des Geldes erhielt und der ältere Bruder 60 %.
Einige Brüche, die zeigen, welcher Teil die erste Zahl von der zweiten ist, können gekürzt werden.
So konnten Brüche gekürzt werden. Daraus würde sich die Antwort auf das Problem nicht ändern:
Aufgabe 3. Das Familienbudget beträgt 75.000 Rubel im Monat. Davon 52,5 Tausend Rubel. - Geld, das Papa verdient hat. 22,5 Tausend Rubel - Geld von Mama verdient. Geben Sie das von Vater und Mutter verdiente Geld in Prozent an.
Entscheidung
Dieses Problem ist, wie das vorherige, ein Problem, einen Prozentsatz zu finden.
Lassen Sie uns das von Papa verdiente Geld in Prozent ausdrücken. Er verdiente 52,5 Tausend Rubel von 75 Tausend Rubel
Lassen Sie uns die Division in diesem Bruch durchführen:
0,7 x 100 = 70 %
Dad verdiente also 70 % des Geldes. Außerdem ist es nicht schwer zu erraten, dass die restlichen 30 % des Geldes von meiner Mutter verdient wurden. Immerhin sind 75.000 Rubel 100% des Geldes. Lassen Sie uns prüfen, um sicherzugehen. Mama verdiente 22,5 Tausend Rubel. von 75 Tausend Rubel. Wir schreiben den Bruch auf, führen die Division durch und drücken das Ergebnis in Prozent aus:
Aufgabe 4. Der Schüler trainiert Klimmzüge an der Querstange. Letzten Monat konnte er 8 Klimmzüge pro Satz machen. Diesen Monat schafft er 10 Klimmzüge pro Satz. Um wie viel Prozent hat er seine Klimmzüge gesteigert?
Entscheidung
Finden Sie heraus, wie viele Klimmzüge ein Schüler diesen Monat mehr schafft als im letzten
Finden Sie heraus, welcher Teil zwei Klimmzüge von acht Klimmzügen sind. Dazu finden wir das Verhältnis 2 zu 8
Lassen Sie uns die Division in diesem Bruch durchführen
Drücken wir das Ergebnis in Prozent aus:
0,25 x 100 = 25 %
Also erhöhte der Student die Anzahl der Klimmzüge um 25 %.
Dieses Problem lässt sich auch mit der zweiten, schnelleren Methode lösen – finde heraus, wie oft 10 Klimmzüge mehr sind als 8 Klimmzüge und drücke das Ergebnis in Prozent aus.
Um herauszufinden, wie oft zehn Klimmzüge mehr als acht Klimmzüge sind, musst du das Verhältnis von 10 zu 8 finden
Führen Sie die Division im resultierenden Bruch durch
Drücken wir das Ergebnis in Prozent aus:
1,25 x 100 = 125 %
Die Pull-up-Rate für den aktuellen Monat beträgt 125 %. Diese Aussage ist so zu verstehen "ist 125%", nicht wie „Der Indikator ist um 125 % gestiegen“. Dies sind zwei verschiedene Aussagen, die unterschiedliche Mengen ausdrücken.
Die Aussage „ist 125 %“ sollte verstanden werden als „acht Klimmzüge, die 100 % sind, plus zwei Klimmzüge, die 25 % von acht Klimmzügen sind“. Grafisch sieht das so aus:
Und die Aussage „erhöht um 125 %“ ist zu verstehen als „zu den aktuellen acht Klimmzügen, die 100 % waren, wurden weitere 100 % hinzugefügt (8 weitere Klimmzüge) plus weitere 25 % (2 Klimmzüge)“ . Insgesamt gibt es 18 Klimmzüge.
100 % + 100 % + 25 % = 8 + 8 + 2 = 18 Klimmzüge
Grafisch sieht diese Anweisung so aus:
Insgesamt sind es 225%. Wenn wir 225 % von acht Klimmzügen finden, erhalten wir 18 Klimmzüge
8 × 2,25 = 18
Aufgabe 5. Im vergangenen Monat betrug das Gehalt 19,2 Tausend Rubel. Im laufenden Monat belief er sich auf 20,16 Tausend Rubel. Um wie viel Prozent hat sich das Gehalt erhöht?
Dieses Problem kann wie das vorherige auf zwei Arten gelöst werden. Die erste besteht darin, zuerst herauszufinden, um wie viele Rubel sich das Gehalt erhöht hat. Finden Sie als Nächstes heraus, wie hoch diese Erhöhung gegenüber dem Gehalt des letzten Monats ist
Finden Sie heraus, um wie viel sich das Gehalt erhöht hat:
20,16 - 19,2 \u003d 0,96 Tausend Rubel.
Wir werden herausfinden, welcher Teil von 0,96 Tausend Rubel ist. ist vom 19.2. Dazu finden wir das Verhältnis von 0,96 zu 19,2
Führen Sie die Division im resultierenden Bruch durch. Denken Sie unterwegs daran:
Drücken wir das Ergebnis in Prozent aus:
0,05 x 100 = 5 %
Das Gehalt ist also um 5 % gestiegen.
Lassen Sie uns das Problem auf die zweite Art lösen. Wir werden herausfinden, wie oft 20,16 Tausend Rubel. mehr als 19,2 Tausend Rubel. Dazu finden wir das Verhältnis von 20,16 zu 19,2
Führen wir die Division im resultierenden Bruch durch:
Drücken wir das Ergebnis in Prozent aus:
1,05 x 100 = 105 %
Das Gehalt beträgt 105 %. Das heißt, dies beinhaltet 100%, was 19,2 Tausend Rubel ausmacht, plus 5%, was 0,96 Tausend Rubel ausmacht.
100% + 5% = 19,2 + 0,96
Aufgabe 6. Der Preis für einen Laptop ist diesen Monat um 5 % gestiegen. Was ist sein Preis, wenn er letzten Monat 18,3 Tausend Rubel gekostet hat?
Entscheidung
Finden Sie 5% von 18,3:
18,3 x 0,05 = 0,915
Addieren wir diese 5 % zu 18,3:
18,3 + 0,915 = 19,215 Tausend Rubel
Antworten: Der Preis für einen Laptop beträgt 19,215 Tausend Rubel.
Aufgabe 7. Der Preis für einen Laptop ist diesen Monat um 10 % gesunken. Was ist sein Preis, wenn er letzten Monat 16,3 Tausend Rubel gekostet hat?
Entscheidung
Finden Sie 10% von 16,3:
16,3 x 0,10 = 1,63
Subtrahieren Sie diese 10 % von 16,3:
16,3 − 1,63 = 14,67 (tausend Rubel)
Solche Aufgaben lassen sich kurz schreiben:
16,3 - (16,3 × 0,10) = 14,67 (Tausend Rubel)
Antworten: Der Preis für einen Laptop beträgt 14,67 Tausend Rubel.
Aufgabe 8. Im vergangenen Monat betrug der Preis für einen Laptop 21.000 Rubel. In diesem Monat ist der Preis auf 22,05 Tausend Rubel gestiegen. Um wie viel Prozent ist der Preis gestiegen?
Entscheidung
Bestimmen Sie, um wie viel Rubel der Preis gestiegen ist
22,05 − 21 = 1,50 (tausend Rubel)
Wir werden herausfinden, welcher Teil von 1,05 Tausend Rubel ist. ist von 21 Tausend Rubel.
Geben Sie das Ergebnis in Prozent an
0,05 x 100 = 5 %
Antworten: Laptoppreis um 5 % erhöht
Aufgabe 8. Der Arbeiter sollte 600 Teile nach Plan fertigen, und er fertigte 900 Teile. Zu wie viel Prozent hat er den Plan abgeschlossen?
Entscheidung
Lassen Sie uns herausfinden, wie oft 900 Teile mehr als 600 Teile sind. Dazu finden wir das Verhältnis von 900 zu 600
Der Wert dieses Bruchteils beträgt 1,5. Drücken wir diesen Wert in Prozent aus:
1,5 x 100 = 150 %
Der Arbeiter hat also den Plan zu 150 % erfüllt. Das heißt, er hat es zu 100% fertiggestellt, nachdem er 600 Teile hergestellt hatte. Dann fertigte er weitere 300 Teile an, was 50 % des ursprünglichen Plans entspricht.
Antworten: Der Arbeiter hat den Plan zu 150 % abgeschlossen.
Prozent Vergleich
Wir haben schon viele Male auf verschiedene Weise Werte verglichen. Unser erstes Werkzeug war der Unterschied. Um zum Beispiel 5 Rubel und 3 Rubel zu vergleichen, haben wir die Differenz 5−3 aufgeschrieben. Nachdem man die Antwort 2 erhalten hat, könnte man sagen, dass "fünf Rubel mehr als drei Rubel mal zwei Rubel sind".
Die durch Subtraktion im Alltag erhaltene Antwort heißt nicht „Differenz“, sondern „Differenz“.
Die Differenz zwischen fünf und drei Rubel beträgt also zwei Rubel.
Das nächste Werkzeug, mit dem wir Mengen verglichen haben, war das Verhältnis. Mit dem Verhältnis konnten wir herausfinden, wie oft die erste Zahl größer als die zweite ist (oder wie oft die erste Zahl die zweite enthält).
So sind zum Beispiel zehn Äpfel fünfmal mehr als zwei Äpfel. Oder anders ausgedrückt: Zehn Äpfel enthalten fünfmal zwei Äpfel. Dieser Vergleich kann mit der Relation geschrieben werden
Die Werte lassen sich aber auch prozentual vergleichen. Zum Beispiel, um den Preis zweier Waren nicht in Rubel zu vergleichen, sondern um zu bewerten, wie viel der Preis einer Ware prozentual über oder unter dem Preis der anderen liegt.
Um Werte in Prozent zu vergleichen, muss einer von ihnen als 100% bezeichnet werden und der zweite basierend auf den Bedingungen des Problems.
Lassen Sie uns zum Beispiel herausfinden, wie viel Prozent zehn Äpfel mehr als acht Äpfel sind.
Für 100 % müssen Sie den Wert angeben, mit dem wir etwas vergleichen. Wir vergleichen 10 Äpfel mit 8 Äpfeln. Für 100% bezeichnen wir also 8 Äpfel:
Jetzt ist unsere Aufgabe zu vergleichen, wie viel Prozent von 10 Äpfeln mehr sind als diese 8 Äpfel. 10 Äpfel sind 8+2 Äpfel. Das bedeutet, dass wir durch das Hinzufügen von zwei weiteren Äpfeln zu acht Äpfeln 100 % um eine weitere Prozentzahl erhöhen. Um herauszufinden, welcher, lassen Sie uns bestimmen, wie viel Prozent von acht Äpfeln zwei Äpfel sind
Wenn wir diese 25 % zu acht Äpfeln addieren, erhalten wir 10 Äpfel. Und 10 Äpfel sind 8 + 2, also 100 % und weitere 25 %. Insgesamt bekommen wir 125%
Zehn Äpfel sind also um 25 % mehr als acht Äpfel.
Lösen wir nun das inverse Problem. Finden Sie heraus, wie viel Prozent acht Äpfel weniger als zehn Äpfel sind. Die Antwort liegt auf der Hand, dass acht Äpfel 25 % weniger sind. Dies ist jedoch nicht der Fall.
Wir vergleichen acht Äpfel mit zehn Äpfeln. Wir haben uns darauf geeinigt, dass wir zu 100% das nehmen, womit wir vergleichen. Deshalb nehmen wir diesmal 10 Äpfel für 100%:
Acht Äpfel sind 10−2, das heißt, indem wir 10 Äpfel um 2 Äpfel reduzieren, werden wir sie um einen bestimmten Prozentsatz reduzieren. Um herauszufinden, welcher, lassen Sie uns bestimmen, wie viel Prozent von zehn Äpfeln zwei Äpfel sind
Wenn wir diese 20 % von zehn Äpfeln abziehen, erhalten wir 8 Äpfel. Und 8 Äpfel sind 10−2, also 100 % minus 20 %. Insgesamt bekommen wir 80%
Acht Äpfel sind also um 20 % weniger als zehn Äpfel.
Aufgabe 2. Wie viel Prozent sind 5.000 Rubel mehr als 4.000 Rubel?
Entscheidung
Nehmen wir 4000 Rubel für 100%. 5.000 sind mehr als 4.000 pro 1.000. Indem wir also viertausend um eintausend erhöhen, erhöhen wir viertausend um einen bestimmten Prozentsatz. Lassen Sie uns herausfinden, welche. Dazu bestimmen wir, welcher Teil Tausend von Viertausend ist:
Drücken wir das Ergebnis in Prozent aus:
0,25 x 100 = 25 %
1000 Rubel von 4000 Rubel sind 25%. Wenn Sie diese 25% zu 4000 hinzufügen, erhalten Sie 5000 Rubel. 5000 Rubel sind also 25% mehr als 4000 Rubel
Aufgabe 3. Wie viel Prozent sind 4.000 Rubel weniger als 5.000 Rubel?
Dieses Mal vergleichen wir 4000 mit 5000. Nehmen wir 5000 als 100 %. Fünftausend mehr als viertausend für tausend Rubel. Finden Sie heraus, welcher Teil Tausend von Fünftausend ist
Eintausend von fünftausend sind 20 %. Wenn wir diese 20 % von 5.000 Rubel abziehen, erhalten wir 4.000 Rubel.
4000 Rubel sind also um 20% weniger als 5000 Rubel
Aufgaben für Konzentration, Legierungen und Mischungen
Angenommen, es bestand der Wunsch, eine Art Saft zuzubereiten. Wir haben Wasser und Himbeersirup zur Verfügung.
Gießen Sie 200 ml Wasser in ein Glas:
Fügen Sie 50 ml Himbeersirup hinzu und rühren Sie die resultierende Flüssigkeit um. Als Ergebnis erhalten wir 250 ml Himbeersaft (200 ml Wasser + 50 ml Sirup = 250 ml Saft)
Welcher Teil des resultierenden Saftes ist Himbeersirup?
Himbeersirup ergibt Saft. Wir berechnen dieses Verhältnis, wir erhalten die Zahl 0,20. Diese Zahl gibt die Menge an gelöstem Sirup im resultierenden Saft an. Rufen wir diese Nummer an Sirupkonzentration.
Die Konzentration eines gelösten Stoffes ist das Verhältnis der Menge eines gelösten Stoffes oder seiner Masse zum Volumen einer Lösung.
Die Konzentration wird üblicherweise in Prozent angegeben. Lassen Sie uns die Sirupkonzentration in Prozent ausdrücken:
0,20 x 100 = 20 %
Somit beträgt die Sirupkonzentration in Himbeersaft 20%.
Substanzen in Lösung können heterogen sein. Lassen Sie uns zum Beispiel 3 Liter Wasser und 200 Gramm Salz mischen.
Die Masse von 1 Liter Wasser ist 1 kg. Dann beträgt die Masse von 3 Liter Wasser 3 kg. Wenn wir 3 kg in Gramm umrechnen, erhalten wir 3 kg = 3000 g.
Jetzt senken wir in 3000 g Wasser 200 g Salz und mischen die resultierende Flüssigkeit. Das Ergebnis ist eine Salzlösung mit einer Gesamtmasse von 3000 + 200, dh 3200 g. Lassen Sie uns die Salzkonzentration in der resultierenden Lösung ermitteln. Dazu finden wir das Verhältnis der Masse des gelösten Salzes zur Masse der Lösung
Das bedeutet, dass beim Mischen von 3 Liter Wasser und 200 g Salz eine 6,25 %ige Salzlösung erhalten wird.
Ebenso kann die Menge eines Stoffes in einer Legierung oder in einem Gemisch bestimmt werden. Zum Beispiel enthält eine Legierung Zinn mit einer Masse von 210 g und Silber mit einer Masse von 90 g. Dann beträgt die Masse der Legierung 210 + 90, dh 300 g. Die Legierung enthält Zinn und Silber. Der Zinnanteil beträgt 70 % und der Silberanteil 30 %.
Wenn zwei Lösungen gemischt werden, wird eine neue Lösung erhalten, die aus der ersten und der zweiten Lösung besteht. Die neue Lösung kann eine andere Konzentration des Stoffes haben. Eine nützliche Fähigkeit ist die Fähigkeit, Konzentrationsprobleme, Legierungen und Mischungen zu lösen. Im Allgemeinen besteht die Bedeutung solcher Aufgaben darin, die Änderungen zu verfolgen, die beim Mischen von Lösungen unterschiedlicher Konzentration auftreten.
Zwei Himbeer-Säfte mischen. Der erste Saft von 250 ml enthält 12,8 % Himbeersirup. Und der zweite Saft mit einem Volumen von 300 ml enthält 15 % Himbeersirup. Gießen Sie diese beiden Säfte in ein großes Glas und mischen Sie. Als Ergebnis erhalten wir einen neuen Saft mit einem Volumen von 550 ml.
Jetzt werden wir die Sirupkonzentration im resultierenden Saft bestimmen. Die ersten 250 ml abgelassener Saft enthielten 12,8 % Sirup. Und 12,8 % von 250 ml sind 32 ml. Der erste Saft enthielt also 32 ml Sirup.
Der zweite abgelassene Saft von 300 ml enthielt 15 % Sirup. Und 15 % von 300 ml sind 45 ml. Der zweite Saft enthielt also 45 ml Sirup.
Addieren Sie die Sirupmenge:
32 ml + 45 ml = 77 ml
Diese 77 ml Sirup sind im neuen Saft enthalten, der ein Volumen von 550 ml hat. Bestimmen Sie die Sirupkonzentration in diesem Saft. Dazu finden wir das Verhältnis von 77 ml gelöstem Sirup zum Saftvolumen von 550 ml:
Wenn man also 12,8 % Himbeersaft mit einem Volumen von 250 ml und 15 % Himbeersaft mit einem Volumen von 300 ml mischt, erhält man 14 % Himbeersaft mit einem Volumen von 550 ml.
Aufgabe 1. Es gibt 3 Lösungen von Meersalz in Wasser: Die erste Lösung enthält 10 % Salz, die zweite 15 % Salz und die dritte 20 % Salz. Mischen Sie 130 ml der ersten Lösung, 200 ml der zweiten Lösung und 170 ml der dritten Lösung. Bestimmen Sie den Prozentsatz an Meersalz in der resultierenden Lösung.
Entscheidung
Bestimmen Sie das Volumen der resultierenden Lösung:
130 ml + 200 ml + 170 ml = 500 ml
Da sich in der ersten Lösung 130 × 0,10 = 13 ml Meersalz, in der zweiten Lösung 200 × 0,15 = 30 ml Meersalz und in der dritten - 170 × 0,20 = 34 ml Meersalz befanden, dann im Ergebnis Lösung enthält 13 + 30 + 34 = 77 ml Meersalz.
Lassen Sie uns die Konzentration von Meersalz in der resultierenden Lösung bestimmen. Dazu finden wir das Verhältnis von 77 ml Meersalz zum Volumen einer Lösung von 500 ml
Das bedeutet, dass die resultierende Lösung 15,4 % Meersalz enthält.
Aufgabe 2. Wie viel Gramm Wasser müssen 50 g einer Lösung mit 8 % Salz zugesetzt werden, um eine 5 %ige Lösung zu erhalten?
Entscheidung
Beachten Sie, dass sich die Salzmenge nicht ändert, wenn der vorhandenen Lösung Wasser hinzugefügt wird. Nur sein Prozentsatz ändert sich, da das Hinzufügen von Wasser zur Lösung zu einer Änderung seiner Masse führt.
Wir müssen so viel Wasser hinzufügen, dass aus acht Prozent des Salzes fünf Prozent werden.
Bestimmen Sie, wie viel Gramm Salz in 50 g Lösung enthalten sind. Dazu finden wir 8% von 50
50 g × 0,08 = 4 g
8 % von 50 Gramm sind 4 Gramm. Mit anderen Worten, es gibt 4 Gramm Salz für acht Teile von Hundert. Stellen wir sicher, dass diese 4 Gramm nicht acht Teile sind, sondern fünf Teile, dh 5%
4 Gramm - 5 %
Da wir nun wissen, dass es 4 Gramm pro 5 % Lösung gibt, können wir die Masse der gesamten Lösung ermitteln. Dazu benötigen Sie:
4 Gramm: 5 = 0,8 Gramm
0,8 g × 100 = 80 g
80 g Lösung ist die Masse, bei der 4 g Salz auf 5 % der Lösung fallen. Und um diese 80 Gramm zu erhalten, müssen Sie den ursprünglichen 50 Gramm 30 Gramm Wasser hinzufügen.
Dies bedeutet, dass Sie der vorhandenen Lösung 30 g Wasser hinzufügen müssen, um eine 5% ige Salzlösung zu erhalten.
Aufgabe 2. Trauben enthalten 91% Feuchtigkeit und Rosinen - 7%. Wie viele Kilogramm Trauben werden benötigt, um 21 Kilogramm Rosinen herzustellen?
Entscheidung
Trauben bestehen aus Feuchtigkeit und reiner Substanz. Wenn frische Trauben 91 % Feuchtigkeit enthalten, dann machen die restlichen 9 % die reine Substanz dieser Traube aus:
Rosinen enthalten 93 % Reinsubstanz und 7 % Feuchtigkeit:
Beachten Sie, dass bei der Umwandlung von Trauben in Rosinen nur die Feuchtigkeit dieser Traube verschwindet. Die Reinsubstanz bleibt unverändert. Nachdem sich die Trauben in Rosinen verwandelt haben, bestehen die resultierenden Rosinen zu 7 % aus Feuchtigkeit und zu 93 % aus reiner Substanz.
Lassen Sie uns ermitteln, wie viel Reinsubstanz in 21 kg Rosinen enthalten ist. Dazu finden wir 93% von 21 kg
21 kg × 0,93 = 19,53 kg
Nun zurück zum ersten Bild. Unsere Aufgabe war es, zu bestimmen, wie viele Trauben Sie nehmen müssen, um 21 kg Rosinen zu erhalten. Eine Reinsubstanz mit einem Gewicht von 19,53 kg fällt auf 9 % der Trauben:
Da wir nun wissen, dass 9 % der reinen Substanz 19,53 kg sind, können wir bestimmen, wie viele Trauben benötigt werden, um 21 kg Rosinen herzustellen. Dazu müssen Sie die Zahl anhand ihres Prozentsatzes finden:
19,53 kg: 9 = 2,17 kg
2,17 kg × 100 = 217 kg
Um also 21 kg Rosinen zu erhalten, müssen Sie 217 kg Trauben nehmen.
Aufgabe 3. In einer Legierung aus Zinn und Kupfer macht Kupfer 85 % aus. Wie viel Legierung sollte genommen werden, um 4,5 kg Zinn zu enthalten?
Entscheidung
Wenn die Legierung zu 85 % aus Kupfer besteht, sind die restlichen 15 % Zinn:
Die Frage ist, wie viel Legierung genommen werden muss, damit sie 4,5 Zinn enthält. Da die Legierung 15 % Zinn enthält, fallen auf diese 15 % 4,5 kg Zinn.
Und da wir wissen, dass 4,5 kg der Legierung 15 % ausmachen, können wir die Masse der gesamten Legierung bestimmen. Dazu müssen Sie die Zahl anhand ihres Prozentsatzes finden:
4,5 kg: 15 = 0,3 kg
0,3 kg × 100 = 30 kg
Die Legierung muss also 30 kg genommen werden, damit sie 4,5 kg Zinn enthält.
Aufgabe 4. Eine bestimmte Menge einer 12 %igen Salzsäurelösung wurde mit der gleichen Menge einer 20 %igen Lösung derselben Säure gemischt. Finden Sie die Konzentration der resultierenden Salzsäure.
Entscheidung
Lassen Sie uns die erste Lösung in Form einer geraden Linie in die Abbildung einzeichnen und 12% auswählen
Da die Anzahl der Lösungen gleich ist, kann dieselbe Figur nebeneinander gezeichnet werden, die eine zweite Lösung mit einem Salzsäuregehalt von 20 % darstellt.
Wir haben zweihundert Teile einer Lösung (100 % + 100 %), davon zweiunddreißig Teile Salzsäure (12 % + 20 %).
Bestimmen Sie, welcher Teil 32 Teile von 200 Teilen sind
Dies bedeutet, dass beim Mischen einer 12%igen Salzsäurelösung mit der gleichen Menge einer 20%igen Lösung derselben Säure eine 16%ige Salzsäurelösung erhalten wird.
Stellen Sie sich zur Überprüfung vor, dass die Masse der ersten Lösung 2 kg beträgt. Die Masse der zweiten Lösung beträgt ebenfalls 2 kg. Beim Mischen dieser Lösungen werden dann 4 kg Lösung erhalten. In der ersten Salzsäurelösung befanden sich 2 × 0,12 = 0,24 kg und in der zweiten – 2 × 0,20 = 0,40 kg. Dann befinden sich in der neuen Salzsäurelösung 0,24 + 0,40 \u003d 0,64 kg. Die Salzsäurekonzentration beträgt 16 %.
Aufgaben zur selbstständigen Lösung
auf finden wir 60 % der Zahl
Jetzt erhöhen wir die Zahl um die gefundenen 60%, d.h. pro Zahl
Antworten: der neue Wert ist
Aufgabe 12. Beantworten Sie die folgenden Fragen:
1) 80 % des Betrags ausgegeben. Wie viel Prozent dieses Betrags bleiben übrig?
2) Männer machen 75 % aller Fabrikarbeiter aus. Wie viel Prozent der Mitarbeiter des Werks sind Frauen?
3) Mädchen machen 40 % der Klasse aus. Wie viel Prozent der Klasse sind Jungen?
SONDERN Entscheidung
Lassen Sie uns eine Variable verwenden. Lassen P Dies ist die ursprüngliche Nummer, die im Problem erwähnt wird. Nehmen wir diese ursprüngliche Nummer P für 100%
Verringern Sie diese ursprüngliche Zahl P um 50%
Die neue Zahl beträgt nun 50 % der ursprünglichen Zahl. Finden Sie heraus, wie oft die ursprüngliche Zahl P mehr als die neue Nummer. Dazu finden wir das Verhältnis von 100 % zu 50 %
Die ursprüngliche Nummer ist doppelt so hoch wie die neue. Dies ist sogar auf dem Bild zu sehen. Und um die neue Zahl gleich der ursprünglichen zu machen, muss sie verdoppelt werden. Und die Zahl zu verdoppeln bedeutet, sie um 100 % zu erhöhen.
Das bedeutet, dass die neue Zahl, die die Hälfte der ursprünglichen Zahl ist, um 100 % erhöht werden muss.
Unter Berücksichtigung der neuen Zahl wird sie ebenfalls als 100 % angenommen. In der obigen Abbildung ist die neue Zahl also die Hälfte der ursprünglichen Zahl und mit 50 % signiert. Im Verhältnis zur ursprünglichen Zahl ist die neue Zahl die Hälfte. Aber wenn wir es getrennt vom Original betrachten, muss es als 100% angenommen werden.
Daher wurde in der Figur die neue Zahl, die durch einen Strich dargestellt ist, zunächst mit 50 % bezeichnet. Aber dann haben wir diese Zahl als 100 % bezeichnet.
Antworten: Um die ursprüngliche Zahl zu erhalten, muss die neue Zahl um 100 % erhöht werden.
Problem 16. Letzten Monat gab es 15 Unfälle in der Stadt.
In diesem Monat ist diese Zahl auf 6 gesunken. Um wie viel Prozent ist die Zahl der Verkehrsunfälle zurückgegangen?
Entscheidung
Im vergangenen Monat gab es 15 Unfälle. In diesem Monat 6. Die Zahl der Unfälle ist also um 9 gesunken.
Nehmen wir 15 Unfälle als 100 %. Indem wir 15 Unfälle um 9 reduzieren, werden wir sie um eine bestimmte Anzahl von Prozent reduzieren. Um herauszufinden welcher, finden wir heraus, welcher Teil von 9 Unfällen von 15 Unfällen ist
Antworten: die Konzentration der resultierenden Lösung beträgt 12 %.
Aufgabe 18. Eine bestimmte Menge einer 11%igen Lösung eines bestimmten Stoffes wurde mit der gleichen Menge einer 19%igen Lösung desselben Stoffes gemischt. Finden Sie die Konzentration der resultierenden Lösung.
Entscheidung
Die Masse beider Lösungen ist gleich. Jede Lösung kann als 100 % angenommen werden. Nach Zugabe der Lösungen erhält man eine 200 %ige Lösung. In der ersten Lösung befanden sich 11 % der Substanz, in der zweiten 19 % der Substanz. In der resultierenden 200% igen Lösung befinden sich dann 11% + 19% = 30% der Substanz.
Bestimmen Sie die Konzentration der resultierenden Lösung. Dazu finden wir heraus, welchen Teil dreißig Teile eines Stoffes aus zweihundert Teilen eines Stoffes machen:
1,10. Der Preis für den ersten Monat beträgt also 1,10.
Für den zweiten Monat stieg der Preis ebenfalls um 10 %. Addieren wir zehn Prozent dieses Preises zum aktuellen Preis von 1,10, erhalten wir 1,10 + 0,10 × 1,10 . Diese Summe ist gleich dem Ausdruck 1,21 . Der Preis für den zweiten Monat beträgt also 1,21.
Für den dritten Monat stieg der Preis ebenfalls um 10 %. Addieren wir zehn Prozent dieses Preises zum aktuellen Preis von 1,21, erhalten wir 1,21 + 0,10 × 1,21. Diese Summe ist gleich dem Ausdruck 1,331 . Dann beträgt der Preis für den dritten Monat 1,331.
Berechnen Sie die Differenz zwischen dem neuen und dem alten Preis. Wenn der ursprüngliche Preis gleich 1 war, dann hat er sich um 1,331 − 1 = 0,331 erhöht. Wenn wir dieses Ergebnis in Prozent ausdrücken, erhalten wir 0,331 × 100 = 33,1 %
Antworten: für 3 Monate stiegen die Lebensmittelpreise um 33,1 %.
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Im letzten Video-Tutorial haben wir darüber nachgedacht, Prozentaufgaben mit Proportionen zu lösen. Dann mussten wir je nach Zustand des Problems den Wert der einen oder anderen Größe finden.
Diesmal sind uns bereits die Anfangs- und Endwerte vorgegeben. Daher müssen in Aufgaben Prozentsätze gefunden werden. Genauer gesagt, um wie viel Prozent hat sich dieser oder jener Wert geändert. Lass es uns versuchen.
Aufgabe. Turnschuhe kosten 3200 Rubel. Nach der Preiserhöhung kosteten sie 4000 Rubel. Um wie viel Prozent wurde der Preis der Turnschuhe erhöht?
Also lösen wir durch Proportionen. Der erste Schritt - der ursprüngliche Preis betrug 3200 Rubel. Daher sind 3200 Rubel 100%.
Außerdem erhielten wir den Endpreis - 4000 Rubel. Dies ist ein unbekannter Prozentsatz, also bezeichnen wir ihn als x . Wir erhalten folgende Konstruktion:
3200 — 100%
4000 - x %
Nun, der Zustand des Problems wird aufgeschrieben. Wir machen einen Anteil:
Der Bruch auf der linken Seite wird perfekt um 100 gekürzt: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Zusätzlich kann man um 4: 32: 4 = 8 reduzieren; 40: 4 = 10. Wir erhalten das folgende Verhältnis:
Verwenden wir die Grundeigenschaft der Proportionen: Das Produkt der äußersten Terme ist gleich dem Produkt der mittleren. Wir bekommen:
8 x = 100 10;
8x = 1000.
Dies ist die übliche lineare Gleichung. Von hier aus finden wir x :
x=1000:8=125
Wir haben also den endgültigen Prozentsatz x = 125. Aber ist die Zahl 125 die Lösung des Problems? Auf keinen Fall! Denn die Aufgabe erfordert, dass Sie herausfinden, um wie viel Prozent der Preis für Turnschuhe erhöht wurde.
Um wie viel Prozent - das bedeutet, dass wir eine Änderung finden müssen:
∆ = 125 − 100 = 25
Wir haben 25% bekommen - um so viel wurde der ursprüngliche Preis erhöht. Das ist die Antwort: 25.
Problem B2 für Interesse Nr. 2
Kommen wir zur zweiten Aufgabe.
Aufgabe. Das Hemd kostete 1800 Rubel. Nach der Preissenkung begann es 1530 Rubel zu kosten. Um wie viel Prozent wurde der Preis des Hemdes reduziert?
Wir übersetzen die Bedingung in mathematische Sprache. Der Anfangspreis von 1800 Rubel beträgt 100%. Und der Endpreis beträgt 1530 Rubel - wir wissen es, aber es ist nicht bekannt, wie viel Prozent es vom ursprünglichen Wert ist. Deshalb bezeichnen wir es mit x. Wir erhalten folgende Konstruktion:
1800 — 100%
1530 - x %
Basierend auf dem resultierenden Datensatz bilden wir den Anteil:
Teilen wir beide Seiten dieser Gleichung durch 100, um weitere Rechnungen zu vereinfachen, d.h. wir streichen zwei Nullen am Zähler des linken und rechten Bruchs. Wir bekommen:
Wenden wir uns nun wieder der Grundeigenschaft der Proportionen zu: Das Produkt der extremen Terme ist gleich dem Produkt der durchschnittlichen.
18 x = 1530 1;
18x = 1530.
Es bleibt x zu finden:
x = 1530: 18 = (765 2) : (9 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85
Wir haben x = 85. Aber wie bei der vorherigen Aufgabe ist diese Zahl an sich nicht die Antwort. Kommen wir zurück zu unserem Zustand. Wir wissen jetzt, dass der neue Preis nach der Kürzung 85 % des alten Preises beträgt. Und um die Änderungen zu finden, brauchen Sie vom alten Preis, d.h. 100%, neuer Preis abziehen, d.h. 85%. Wir bekommen:
∆ = 100 − 85 = 15
Diese Zahl wird die Antwort sein: Achtung: genau 15, auf keinen Fall 85. Das ist alles! Problem gelöst.
Aufmerksame Schüler werden sich wahrscheinlich fragen: Warum haben wir bei der ersten Aufgabe beim Finden des Unterschieds die Anfangszahl von der Endzahl abgezogen und bei der zweiten Aufgabe genau das Gegenteil: Von den anfänglichen 100 % haben wir die letzten 85 % abgezogen?
Lassen Sie uns das klären. Formal ist die Wertänderung in der Mathematik immer die Differenz zwischen dem Endwert und dem Anfangswert. Mit anderen Worten, im zweiten Problem hätten wir nicht 15, sondern -15 bekommen sollen.
Dieses Minus sollte jedoch auf keinen Fall in die Antwort aufgenommen werden, da es bereits in der Bedingung des ursprünglichen Problems berücksichtigt wurde. Dort steht der Preisnachlass drin. Eine Preissenkung von 15 % entspricht einer Preiserhöhung von -15 %. Deshalb reicht es in der Lösung und Beantwortung des Problems aus, nur 15 zu schreiben - ohne Minuspunkte.
Alle, so hoffe ich, haben wir in diesem Moment verstanden. Damit endet unsere Lektion für heute. Seh dich später!
Heute, in der modernen Welt, geht es nicht ohne Zinsen. Schon in der Schule ab der 5. Klasse lernen Kinder dieses Konzept und lösen Probleme mit diesem Wert. Interesse findet sich in allen Bereichen moderner Bauwerke. Nehmen wir zum Beispiel Banken: Die Höhe der Überzahlung des Darlehens hängt von der im Vertrag festgelegten Höhe ab; Auch die Dimension des Gewinns ist betroffen, daher ist es wichtig zu wissen, was ein Prozentsatz ist.
Das Konzept des Interesses
Einer Legende nach erschien der Prozentsatz aufgrund eines dummen Tippfehlers. Der Setzer sollte die Zahl 100 setzen, hat sie aber verwechselt und so ausgedrückt: 010. Dadurch stieg die erste Null leicht an und die zweite fiel. Aus der Einheit ist ein umgekehrter Schrägstrich geworden. Solche Manipulationen führten zum Erscheinen des Prozentzeichens. Natürlich gibt es noch andere Legenden um die Herkunft dieses Wertes.
Prozente kannten die Hindus bereits im 5. Jahrhundert. In Europa, mit dem unser Konzept eng verbunden ist, erschien nach einem Jahrtausend. Zum ersten Mal in der Alten Welt wurde das Urteil darüber, was ein Prozentsatz ist, von einem Wissenschaftler aus Belgien, Simon Stevin, eingeführt. 1584 wurde erstmals eine Größentabelle von demselben Wissenschaftler veröffentlicht.
Das Wort "Prozent" stammt aus dem Lateinischen und heißt pro centum. Wenn Sie den Ausdruck übersetzen, erhalten Sie "von hundert". Unter Prozent versteht man also ein Hundertstel eines Wertes, einer Zahl. Dieser Wert wird durch das Zeichen % gekennzeichnet.
Dank Prozentangaben wurde es möglich, Teile eines Ganzen ohne große Schwierigkeiten zu vergleichen. Das Erscheinen von Aktien vereinfachte die Berechnungen erheblich, weshalb sie so verbreitet sind.
Brüche in Prozente umwandeln
Um einen Dezimalbruch in Prozent umzuwandeln, benötigen Sie eventuell die sogenannte Prozentformel: Der Bruch wird mit 100 multipliziert, % wird zum Ergebnis addiert.
Wenn Sie einen gewöhnlichen Bruch in einen Prozentsatz umwandeln müssen, müssen Sie ihn zuerst in eine Dezimalzahl umwandeln und dann die obige Formel verwenden.
Prozente in Brüche umwandeln
Daher ist die Prozentformel eher willkürlich. Aber Sie müssen wissen, wie Sie diesen Wert in einen Bruchausdruck umwandeln. Um Anteile (Prozentsätze) in Dezimalbrüche umzuwandeln, müssen Sie das %-Zeichen entfernen und den Indikator durch 100 teilen.
Die Formel zur Berechnung des Prozentsatzes einer Zahl
1) 40 x 30 = 1200.
2) 1200: 100 = 12 (Studenten).
Antwort: Die Kontrollarbeit zu „5“ wurde von 12 Studenten geschrieben.
Sie können die vorgefertigte Tabelle verwenden, die einige Brüche und Prozentsätze zeigt, die ihnen entsprechen.
Es stellt sich heraus, dass die Prozentformel so aussieht: C \u003d (A ∙ B) / 100, wobei A die ursprüngliche Zahl ist (in einem bestimmten Beispiel gleich 40); B - die Prozentzahl (in diesem Problem ist B = 30%); C ist das gewünschte Ergebnis.
Formel zur Berechnung einer Zahl aus einem Prozentsatz
Die folgende Aufgabe zeigt, was ein Prozentsatz ist und wie man eine Zahl aus einem Prozentsatz findet.
Die Bekleidungsfabrik produzierte 1.200 Kleider, von denen 32 % Kleider im neuen Stil sind. Wie viele neue Kleider hat die Kleiderfabrik hergestellt?
1. 1200: 100 = 12 (Kleider) - 1 % aller hergestellten Artikel.
2. 12 x 32 = 384 (Kleider).
Antwort: Die Fabrik hat 384 Kleider im neuen Stil hergestellt.
Wenn Sie eine Zahl anhand ihres Prozentsatzes finden müssen, können Sie die folgende Formel verwenden: C \u003d (A ∙ 100) / B, wobei A die Gesamtzahl der Elemente ist (in diesem Fall A \u003d 1200); B - die Prozentzahl (in einer bestimmten Aufgabe B = 32%); C ist der gewünschte Wert.
Erhöhen, verringern Sie eine Zahl um einen bestimmten Prozentsatz
Die Schüler müssen lernen, was Prozente sind, wie man sie zählt und verschiedene Probleme löst. Dazu müssen Sie verstehen, wie sich die Zahl um N % erhöht oder verringert.
Oft werden Aufgaben gestellt, und im Leben müssen Sie herausfinden, wie hoch die um einen bestimmten Prozentsatz erhöhte Zahl ist. Zum Beispiel bei der gegebenen Zahl X. Sie müssen herausfinden, welchen Wert X haben wird, wenn er beispielsweise um 40 % erhöht wird. Zuerst müssen Sie 40 % in eine Bruchzahl (40/100) umwandeln. Das Ergebnis der Erhöhung der Zahl X lautet also: X + 40% ∙ X \u003d (1 + 40 / 100) ∙ X \u003d 1,4 ∙ X. Wenn wir anstelle von X eine beliebige Zahl einsetzen, nehmen Sie beispielsweise 100 , dann ist der gesamte Ausdruck gleich: 1,4 ∙ X \u003d 1,4 ∙ 100 \u003d 140.
Ungefähr das gleiche Prinzip wird verwendet, wenn eine Zahl um einen bestimmten Prozentsatz verringert wird. Es müssen Berechnungen durchgeführt werden: X - X ∙ 40% \u003d X ∙ (1-40 / 100) \u003d 0,6 ∙ X. Wenn der Wert 100 ist, dann 0,6 ∙ X \u003d 0,6. 100 = 60.
Es gibt Aufgaben, bei denen Sie herausfinden müssen, um wie viel Prozent sich die Zahl erhöht hat.
Zum Beispiel bei der Aufgabe: Der Fahrer befuhr einen Streckenabschnitt mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h. Auf einem anderen Abschnitt erhöhte sich die Geschwindigkeit des Zuges auf 100 km/h. Um wie viel Prozent hat sich die Geschwindigkeit des Zuges erhöht?
Sagen wir 80 km/h sind 100%. Dann machen wir Berechnungen: (100% ∙ 100 km / h) / 80 km / h = 1000: 8 = 125%. Es stellt sich heraus, dass 100 km / h 125% sind. Um herauszufinden, um wie viel sich die Geschwindigkeit erhöht hat, müssen Sie berechnen: 125 % - 100 % = 25 %.
Antwort: Die Geschwindigkeit des Zuges im zweiten Abschnitt wurde um 25 % erhöht.
Anteil
Es gibt oft Fälle, in denen es notwendig ist, Probleme mit Prozentsätzen mit einem Anteil zu lösen. Tatsächlich erleichtert diese Methode, das Ergebnis zu finden, die Aufgabe für Schüler, Lehrer und nicht nur erheblich.
Was ist also Proportion? Dieser Begriff bezieht sich auf die Gleichheit zweier Beziehungen, die wie folgt ausgedrückt werden können: A / B \u003d C / D.
In Mathematiklehrbüchern gibt es eine solche Regel: Das Produkt der Extremwerte ist gleich dem Produkt des Durchschnitts. Dies wird durch die folgende Formel ausgedrückt: A x D = B x C.
Dank dieser Formulierung kann jede Zahl berechnet werden, wenn die anderen drei Terme des Anteils bekannt sind. Zum Beispiel ist A eine unbekannte Zahl. Um es zu finden, brauchen Sie
Bei der Lösung von Problemen nach der Methode der Proportionen ist es notwendig zu verstehen, von welcher Zahl Prozente zu nehmen sind. Es gibt Zeiten, in denen Aktien von verschiedenen Werten genommen werden müssen. Vergleichen:
1. Nach dem Ende des Verkaufs im Geschäft stiegen die Kosten für das T-Shirt um 25% und beliefen sich auf 200 Rubel. Was war der Preis während des Verkaufs.
In diesem Fall entspricht der Wert von 200 Rubel 125 % des ursprünglichen (Verkaufs-)Preises des T-Shirts. Um den Wert während des Verkaufs zu ermitteln, benötigen Sie (200 x 100): 125. Sie erhalten 160 Rubel.
2. Auf dem Planeten Vitsencia leben 200.000 Einwohner: Menschen und Vertreter der humanoiden Rasse Naavi. Naavi machen 80% der Gesamtbevölkerung von Vicencia aus. 40% der Menschen sind in der Instandhaltung der Mine beschäftigt, der Rest wird für Tetanium abgebaut. Wie viele Menschen bauen Tetanium ab?
Zunächst müssen Sie die Anzahl der Personen und die Anzahl der Naavi in numerischer Form ermitteln. Also werden 80 % von 200.000 gleich 160.000.So viele Vertreter der humanoiden Rasse leben auf Vicencia. Die Zahl der Einwohner beträgt jeweils 40 000. Davon dienen 40 %, also 16 000, dem Bergwerk. 24.000 Menschen sind also mit der Gewinnung von Tetanium beschäftigt.
Mehrfache Änderung einer Zahl um einen bestimmten Prozentsatz
Wenn bereits klar ist, was ein Prozentsatz ist, müssen Sie das Konzept der absoluten und relativen Veränderung studieren. Unter einer absoluten Transformation versteht man eine Erhöhung einer Zahl um eine bestimmte Zahl. Also hat sich X um 100 erhöht. Was auch immer man für X einsetzt, diese Zahl wird immer noch um 100 zunehmen: 15 + 100; 99,9 + 100; a + 100 usw.
Unter einer relativen Änderung versteht man eine Erhöhung eines Wertes um eine bestimmte Anzahl von Prozent. Nehmen wir an, X hat sich um 20 % erhöht. Das bedeutet, dass X gleich ist: X + X ∙ 20 %. Relative Veränderung ist impliziert, wenn wir von einer Erhöhung um die Hälfte oder ein Drittel, einer Verringerung um ein Viertel, einer Erhöhung um 15 % usw. sprechen.
Es gibt noch einen weiteren wichtigen Punkt: Wenn der Wert von X um 20 % und dann um weitere 20 % erhöht wird, beträgt die Gesamterhöhung 44 %, aber nicht 40 %. Dies ist aus den folgenden Berechnungen ersichtlich:
1. X + 20 % ∙ X = 1,2 ∙ X
2. 1,2 ∙ X + 20 % ∙ 1,2 ∙ X = 1,2 ∙ X + 0,24 ∙ X = 1,44 ∙ X
Dies zeigt, dass X um 44 % gestiegen ist.
Beispielaufgaben für Prozentsätze
1. Wie viel Prozent der Zahl 36 ist die Zahl 9?
Gemäß der Formel zum Ermitteln eines Prozentsatzes einer Zahl müssen Sie 9 mit 100 multiplizieren und durch 36 dividieren.
Antwort: Die Zahl 9 ist 25 % von 36.
2. Berechnen Sie die Zahl C, die 10 % von 40 beträgt.
Gemäß der Formel zum Ermitteln einer Zahl anhand ihres Prozentsatzes müssen Sie 40 mit 10 multiplizieren und das Ergebnis durch 100 teilen.
Antwort: Die Zahl 4 ist 10 % von 40.
3. Der erste Partner investierte 4.500 Rubel in das Unternehmen, der zweite - 3.500 Rubel, der dritte - 2.000 Rubel. Sie machten einen Gewinn von 2400 Rubel. Sie teilten sich den Gewinn zu gleichen Teilen. Wie viel Rubel hat der erste Partner im Vergleich dazu verloren, wie viel er erhalten hätte, wenn sie das Einkommen nach dem Prozentsatz der investierten Mittel aufgeteilt hätten?
Zusammen investierten sie also 10.000 Rubel. Das Einkommen für jeden belief sich auf einen gleichen Anteil von 800 Rubel. Um herauszufinden, wie viel der erste Partner hätte erhalten sollen bzw. wie viel er verloren hat, müssen Sie den Prozentsatz der investierten Mittel herausfinden. Dann müssen Sie herausfinden, wie viel Gewinn dieser Beitrag in Rubel macht. Und das Letzte ist, 800 Rubel vom Ergebnis abzuziehen.
Antwort: Der erste Partner hat 280 Rubel verloren, als er den Gewinn geteilt hat.
Ein bisschen Sparsamkeit
Eine ziemlich beliebte Frage ist heute die Vergabe eines Darlehens für einen bestimmten Zeitraum. Aber wie wählt man einen rentablen Kredit, um nicht zu viel zu bezahlen? Zuerst müssen Sie sich den Zinssatz ansehen. Es ist wünschenswert, dass dieser Indikator so niedrig wie möglich ist. Dann sollten Sie einen Kredit beantragen.
Die Höhe der Überzahlung wird in der Regel von der Schuldenhöhe, dem Zinssatz und der Rückzahlungsart beeinflusst. Es gibt Annuitäten und Im ersten Fall wird das Darlehen monatlich in gleichen Raten zurückgezahlt. Sofort wächst der Betrag, der das Hauptdarlehen abdeckt, und die Zinskosten sinken allmählich. Im zweiten Fall zahlt der Kreditnehmer konstante Beträge, um das Darlehen zurückzuzahlen, zu denen Zinsen auf den Restbetrag der Hauptschuld hinzukommen. Monatlich verringert sich der Gesamtbetrag der Zahlungen.
Jetzt müssen Sie beide Methoden in Betracht ziehen: Bei der Rentenoption wird also der Betrag der Überzahlung höher sein und bei der Differenzoption der Betrag der ersten Zahlungen. Die Konditionen des Darlehens sind selbstverständlich in beiden Fällen gleich.
Fazit
Also Interesse. Wie zählt man sie? Einfach genug. Manchmal können sie jedoch problematisch sein. Dieses Thema beginnt in der Schule zu studieren, holt jedoch alle im Bereich Kredite, Einlagen, Steuern usw. ein. Daher ist es ratsam, sich mit der Essenz dieses Themas zu befassen. Wenn Sie immer noch keine Berechnungen durchführen können, gibt es viele Online-Rechner, die Ihnen bei der Bewältigung der Aufgabe helfen.
Das Prozentkonzept kommt in unserem Leben zu oft vor, daher ist es sehr wichtig zu wissen, wie man Probleme mit Prozentsätzen löst. Im Prinzip ist dies keine schwierige Angelegenheit, die Hauptsache ist, das Prinzip des Arbeitens mit Interesse zu verstehen.
Was ist ein prozentsatz
Wir arbeiten mit dem 100-Prozent-Konzept, und dementsprechend ist ein Prozent ein Hundertstel einer bestimmten Zahl. Und alle Berechnungen basieren bereits auf diesem Verhältnis.
Zum Beispiel ist 1 % von 50 0,5, 15 von 700 ist 7.
Wie entscheiden
- Da Sie wissen, dass ein Prozent ein Hundertstel der angezeigten Zahl ist, können Sie eine beliebige Anzahl erforderlicher Prozentsätze finden. Um es klarer zu machen, versuchen wir, 6 Prozent der Zahl 800 zu finden. Das geht ganz einfach.
- Zuerst finden wir ein Prozent. Teilen Sie dazu 800 durch 100. Es ergibt 8.
- Jetzt multiplizieren wir genau dieses eine Prozent, also 8, mit der Anzahl der Prozent, die wir brauchen, also mit 6. Es ergibt 48.
- Fixieren Sie das Ergebnis durch Wiederholung.
15 % von 150. Lösung: 150/100*15=22.
28 % von 1582. Lösung: 1582/100*28=442.
- Es gibt andere Probleme, wenn Sie Werte erhalten und Prozentsätze finden müssen. Sie wissen zum Beispiel, dass es 5 scharlachrote Rosen von 75 weißen Rosen im Geschäft gibt, und Sie müssen wissen, wie viel Prozent scharlachrote Rosen sind. Wenn wir diesen Prozentsatz nicht kennen, bezeichnen wir ihn als x.
Dafür gibt es eine Formel: 75 - 100 %
In dieser Formel werden die Zahlen Kreuz für Kreuz multipliziert, dh x \u003d 5 * 100/75. Es stellt sich heraus, dass x \u003d 6% Der Anteil der scharlachroten Rosen beträgt also 6%.
- Es gibt eine andere Art von Problem für Prozentsätze, wenn Sie herausfinden müssen, um wie viel Prozent eine Zahl größer oder kleiner als eine andere ist. Wie kann man in diesem Fall Probleme mit Prozentsätzen lösen?
In der Klasse sind 30 Schüler, davon 16 Jungen. Die Frage ist, wie viel Prozent Jungen mehr sind als Mädchen. Zuerst müssen Sie berechnen, wie viel Prozent der Schüler Jungen sind, dann müssen Sie herausfinden, wie viel Prozent Mädchen sind. Und endlich den Unterschied finden.
Also lasst uns anfangen. Wir machen einen Anteil von 30 Konten. - 100%
16 Konten -X %
Jetzt zählen wir. X=16*100/30, x=53,4% aller Schüler der Klasse sind Jungen.
Finden Sie nun den Prozentsatz der Mädchen in derselben Klasse heraus. 100-53,4 = 46,6 %
Es bleibt jetzt nur noch, den Unterschied zu finden. 53,4–46,6 = 6,8 %. Antwort: Es gibt um 6,8 % mehr Jungen als Mädchen.
Wichtige Punkte beim Lösen von Interessen
Damit Sie also keine Probleme mit der Lösung von Prozentproblemen haben, sollten Sie sich einige Grundregeln merken:
- Um bei Problemen mit Prozentzahlen nicht durcheinander zu kommen, seien Sie immer wachsam: Gehen Sie ggf. von bestimmten Werten auf Prozentangaben und umgekehrt. Die Hauptsache ist, niemals das eine mit dem anderen zu verwechseln.
- Seien Sie vorsichtig, wenn Sie Prozentsätze berechnen. Es ist wichtig zu wissen, ab welchem spezifischen Wert Sie zählen müssen. Bei aufeinanderfolgenden Wertänderungen wird der Prozentsatz vom letzten Wert berechnet.
- Bevor Sie die Antwort aufschreiben, lesen Sie die gesamte Aufgabe noch einmal durch, denn es kann sein, dass Sie nur eine Zwischenlösung gefunden haben und noch ein oder zwei Aktionen ausführen müssen.
Das Lösen von Problemen mit Prozentzahlen ist also keine so schwierige Angelegenheit, die Hauptsache dabei ist Aufmerksamkeit und Genauigkeit, wie in der Tat in jeder Mathematik. Und vergessen Sie nicht, dass Übung erforderlich ist, um jede Fertigkeit zu verbessern. Entscheiden Sie sich also für mehr, und alles wird gut oder sogar ausgezeichnet für Sie.
1 % ist ein Hundertstel einer Zahl.1% = 0,01.
Prozentsätze einer Zahl finden.
Um den Prozentsatz einer Zahl zu finden, kannst du den Prozentsatz als Dezimalbruch ausdrücken und die Zahl mit dem resultierenden Dezimalbruch multiplizieren.
Finden einer Zahl anhand ihres Prozentsatzes.
Um eine Zahl nach ihrem Prozentsatz zu finden, kannst du den Prozentsatz als Dezimalbruch darstellen und diese Zahl durch den resultierenden Dezimalbruch dividieren.
Um herauszufinden, wie viel Prozent eine Zahl von einer anderen ist, kannst du eine Zahl durch eine andere teilen und das resultierende Produkt mit 100 multiplizieren.
So lösen Sie Prozentaufgaben. Beispiele.
Das Finden eines Prozentsatzes einer Zahl ist verwandt mit dem Finden eines Bruchteils einer Zahl. Prozentsätze sind eine besondere Art, einen gewöhnlichen Bruch zu schreiben, daher sollte man beginnen, die Bedeutung des Zinskonzepts zu enthüllen, indem man das Konzept eines gewöhnlichen Bruchs versteht.
Nehmen wir zum Beispiel ein paar gemeinsame Brüche. Was bedeutet jeder dieser Einträge?
Dies sind Beispiele für reguläre Brüche. Der Nenner von jedem von ihnen zeigt, wie viele gleiche Teile Sie benötigen, um ein reales oder abstraktes Objekt zu teilen, der Zähler zeigt, wie viele solcher Teile Sie nehmen müssen. Nehmen wir als Beispiel einen regelmäßigen Bruch. Zum Beispiel. Die Bedeutung dieses Ausdrucks kann wie folgt offenbart werden. Ein reales Objekt wurde in 3 gleiche Teile geteilt und 2 Teile davon genommen.
Als reales Objekt können Sie beispielsweise ein Rechteck nehmen.
Dieser Ausdruck ist der Quotient aus a und b, wobei b ungleich 0 ist.
Dies ist das Verhältnis der Zahlen a und b, wobei b ungleich 0 ist.
Dies ist ein gewöhnlicher Bruch. a ist der Zähler, b der Nenner (b ist ungleich 0).
Beispiel 1 Das Fassungsvermögen des Fasses betrug 200 Liter, die Fässer waren mit Wasser gefüllt. Welchen Sinn hat dieser Vorschlag?
- Dieser Bruch bedeutet, dass ein bestimmtes Objekt in 5 gleiche Teile geteilt wurde und 2 Teile davon genommen wurden. Das Objekt in diesem Problem ist das Volumen des Fasses von 200 Litern, daher
200:5 = 40,
402 = 80.
80 Liter Wasser wurden in ein Fass gegossen.
Das obige Beispiel ist ein typisches Beispiel für das Finden eines Bruchteils einer Zahl.
Um einen Bruch einer Zahl zu finden, musst du die Zahl mit diesem Bruch multiplizieren.
Jetzt können wir zu den Prozentzahlen übergehen.
Das Konzept des Prozentsatzes ist wie folgt definiert: 1% einer Zahl ist ein Hundertstel einer Zahl, d.h. 1% \u003d 0,01.
Dann die Bedeutung des Satzes a% der Zahl b lässt sich so erklären. Ein Objekt (dessen Wert gleich ist b Einheiten) in 100 gleiche Teile geteilt und daraus entnommen a Teile.
Beispiel 2 Mascha hatte 400 Rubel. Sie gab 24 % dieses Betrags aus. Was bedeutet dieser Spruch?
Da 24% \u003d 0,24 und 0,24 bedeutet, dass ein bestimmtes Objekt in 100 gleiche Teile geteilt wurde und 24 Teile daraus entnommen wurden. In diesem Fall ist das Objekt der Geldbetrag in Höhe von 400 Rubel, daher
400: 100 =4,
424 = 96.
Mascha gab 96 Rubel aus.
Das obige Beispiel ist ein typisches Beispiel für das Finden von Prozentsätzen einer Zahl.
Beispiel 3 Ich muss finden R%
von Nummer b
.
Sei x die Zahl, die wir finden müssen.
p%
= 0,01p,
x = b
0,01p
Um Prozentsätze einer Zahl zu finden, müssen Sie die Prozentzahl als Dezimalbruch darstellen und die angegebene Zahl mit diesem Dezimalbruch multiplizieren.
Ein weiterer Ansatz für dieses Problem. Sie können das Konzept und die Eigenschaften von Proportionen verwenden. Wenn wir uns daran erinnern, dass das Verhältnis die Gleichheit zweier Verhältnisse ist und das Verhältnis zweier Zahlen ein gewöhnlicher Bruch ist, dann ist diese Methode auch mit dem Konzept eines gewöhnlichen Bruchs verbunden.
b - 100 %,
x - p%,
Wir haben einen Anteil:
b: 100 = x: p, (b ist zu 100 wie x zu p) woraus,
Beispiel 4 Lass es Zahlen sein a und b , Außerdem, a >b Dann die Nummer a mehr Nummer b auf der %.
Gehen wir dieses Problem etwas anders an. Betrachten wir einen einfachen Sonderfall, zum Beispiel diesen: "Um wie viel Prozent ist die Zahl 10 größer als die Zahl 2?".
1. Subtrahieren Sie die kleinere Zahl von der größeren Zahl. 10 - 2 = 8. Dann ist 10 um 8 größer als 2.
2. Finde das Verhältnis der gefundenen Zahl zu einer kleineren Zahl. 8:2=4 ist das Verhältnis zweier Zahlen!
3 Wir drücken das Verhältnis in Prozent aus 4100 = 400 %.
Die Zahl 10 ist um 400 % größer als die Zahl 2.
Wenn wir 8 durch 10 teilen, finden wir ein Verhältnis, das zeigt, wie viel von 10 2 kleiner als 10 ist (hier ist der Vergleich mit der Zahl 10.
Die Zahl 2 ist um 80 % kleiner als die Zahl 10.
Beispiel 5 Der Traktorfahrer hat 6 Hektar gepflügt, also vom gesamten Feld. Was ist die Fläche des gesamten Feldes.
Dies ist ein typisches Problem beim Finden einer Zahl durch ihren Bruch. Lassen Sie die Fläche des gesamten Feldes sein x,
dann haben wir die Gleichung x= 6. Daraus ergibt sich x = 6:; x = 26. Die Feldfläche beträgt 26 ha.
Um eine Zahl durch ihren Bruch zu finden, musst du die Zahl, die dem gegebenen Bruch entspricht, durch den Bruch teilen.
Beispiel 6 . Eine Zahl gegeben b, welches ist p% von Nummer a. Finde eine Zahl a.
p%
= 0,01p
b
= 0,01Pa
a = b: (0,01p)
Eine Zahl gegeben b , welches ist p% von Nummer a .
Finde eine Zahl a .
ein - 100%
b-p%
a:100 = b:p
Zinseszinsformel.
Wenn die Anzahlung einen Betrag hat a Geldeinheiten und die Bankgebühren R%
pro Jahr, dann durch n
Jahren wird der Betrag auf der Einlage Geldeinheiten sein, oder
a(1+0.01p)n
Geldeinheiten.
Beispiel 7 Der Bau des Hauses kostete 9.800 Rubel, von denen 35% für die Arbeit und der Rest für das Material bezahlt wurden. Wie viel haben die Materialien gekostet?
Arbeit bezahlt:
0,359800 = 3430.
Daher die Materialkosten: 9800 - 3430 = 6370.
Antwort: 6370 Rubel.
Beispiel 8 37,4 Tonnen Benzin wurden in den Tank gegossen, danach blieben 6,5 % des Tankinhalts ungefüllt. Wie viel Benzin muss in den Tank eingefüllt werden, um ihn zu füllen?
Wenn der ungefüllte Teil des Tanks 6,5 % der Kapazität beträgt, dann beträgt der gefüllte Teil: 100 % - 6,5 % = 93,5 %. Wenn x die Benzinmasse ist, die noch in den Tank gefüllt werden muss, dann haben wir den Anteil
wo 
.
Antwort: 2,6 Tonnen.
Beispiel 9 Finden Sie eine Zahl, in der Sie wissen, dass 25 % davon 45 % von 640 sind.
Sei x die gewünschte Zahl. Wir haben
0,25x = 0,45640.
Antwort: 1152.
Beispiel 10 Die Zahl a ist 92% der Zahl b. Wenn die Zahl b um 700 erhöht wird, dann ist die neue Zahl 9 % größer als die Zahl a. Finden Sie die Zahlen a und b.
Aus der Bedingung des Problems haben wir ein Gleichungssystem:
Beim Lösen des resultierenden Systems finden wir a = 230000, b = 250000.
Antwort: 230000; 250000.
Beispiel 11. Die erste Zahl ist 50 % der zweiten. Wie viel Prozent des Ersten ist der Zweite?
Lassen Sie uns die zweite Zahl mit x bezeichnen, dann ist die erste Zahl gleich 0,5x. Um herauszufinden, wie viel Prozent die Zahl x von der Zahl 0,5x ist; Machen wir eine Proportion:
woraus wir finden
Antwort: 200 %.
Beispiel 12. Es gibt 260 Schüler im Lyzeum, von denen 10 % durchfallen. Nach dem Ausschluss einer bestimmten Anzahl von Leistungsschwachen sank ihr Anteil auf 6,4 %. Wie viele Schüler sind ausgestiegen?
Vor dem Rauswurf war die Zahl der Underachiever vor dem Rauswurf solo
Lassen Sie x Personen ausweisen. Dann blieben insgesamt 260 Schüler im Lyzeum, von denen 26 erfolglos blieben. Wir haben einen Anteil
260 - x - 100 %,
(260 - x)0,064=(26 - x)100,
Wenn wir die resultierende Gleichung lösen, finden wir x = 10.
Beispiel 13 Um wie viel Prozent ist 250 größer als 200?
Lassen Sie uns zwei Dinge tun.
1) Wir finden heraus, wie viel Prozent die Zahl 250 Tonnen von der Zahl 200 sind:
2) Da die Zahl 200 in diesem Beispiel 100 % ist, ist die Zahl 250 um 125 % größer als die Zahl 200 – 100 % = 25 %.
Antwort: 25 %.
Beispiel 14 Wie viel Prozent ist 200 weniger als 250?
1) Finden Sie heraus, wie viel Prozent die Zahl 200 von der Zahl 250 ist (im Gegensatz zum vorherigen Beispiel müssen Sie hier die Zahl 250 als 100 % nehmen!):
2) Die Zahl 200 ist um 100 % kleiner als die Zahl 250 - 80 % = 20 %.
Antwort: 20 %.
Beispiel 15 Die Länge des Ziegels wurde um 30 % erhöht, die Breite um 20 % und die Höhe um 40 % reduziert. Hat sich das Ziegelvolumen dadurch erhöht oder verringert und um wie viel Prozent?
Die ursprüngliche Länge des Ziegels sei x, Breite - y, Höhe - z. Dann das Anfangsvolumen des Ziegels: V 1 = xyz. Neue Ziegelgrößen: 1,3x; 1,2 Jahre; 0,6z und neues Volumen: V 2 \u003d 1,3x1,2y0,6z \u003d 0,936xyz. Seit V2< V 1 , объем кирпича уменьшился. Уменьшение V 2 - V 1 = 0,064xyz и составляет 6,4% от V 1.
Antwort: um 6,4 % gesunken.
Beispiel 16 Der Preis einer Ware fiel um 40 %, dann um weitere 25 %. Um wie viel Prozent ist der Preis des Produkts gegenüber dem ursprünglichen Preis gesunken?
Sei x der ursprüngliche Preis des Produkts. Nach der ersten Abnahme wird der Preis gleich sein
x - 0, 4x = 0,6x.
Die zweite Preissenkung beträgt 25 % des neuen Preises von 0,6x, also haben wir nach der zweiten Senkung den Preis
0,6x - 0,250,6x = 0,45x;.
Nach zwei Rückgängen beträgt die gesamte Preisänderung:
x - 0,45x = 0,55x.
Da der Wert 0,55x ist; 55 % von x beträgt, dann ist der Preis des Gutes um 55 % gesunken.
Antwort: 55 %.
Beispiel 17. Die Anschaffungskosten einer Produktionseinheit betrugen 75 Rubel. Im ersten Produktionsjahr stieg er um eine bestimmte Prozentzahl und im zweiten Jahr verringerte er sich (im Verhältnis zum gestiegenen Wert) um die gleiche Prozentzahl, wodurch er 72 Rubel betrug. Bestimmen Sie den prozentualen Anstieg und Rückgang der Kosten einer Produktionseinheit.
Sei x% der prozentuale Anstieg (und Rückgang) der Kosten einer Produktionseinheit. Per Definition ist x% von 75 750,01x. Dann beträgt der Preis nach der ersten Erhöhung 75 + 0,75x.
Im zweiten Jahr sinkt der Preis um
0,01 x (75 + 0,75 x) = 0,75 x + 0,0075 x 2.
Jetzt können wir die Gleichung für den Endpreis schreiben
(75 + 0,75x) - (0,75x + 0,0075x 2) = 72;
x 2 \u003d 400; also x 1 = - 20, x 2 = 20.
Nur eine Wurzel dieser Gleichung ist geeignet: x 2 \u003d 20.
Antwort: 20 %.
Beispiel 18. 10.000 Rubel wurden auf das Bankkonto eingezahlt. Nachdem das Geld ein Jahr lang lag, wurden 1.000 Rubel vom Konto abgehoben. Ein Jahr später betrug das Konto 11.000 Rubel. Bestimmen Sie, wie viel Prozent pro Jahr die Bank berechnet.
Lassen Sie die Bank p% pro Jahr berechnen.
1) Der Betrag von 10.000 Rubel, der auf einem Bankkonto zu p% pro Jahr in einem Jahr eingezahlt wird, erhöht sich auf den Wert
10000 + 0,01p10000 = 10000 + 100 reiben.
Wenn 1000 Rubel vom Konto abgehoben werden, bleiben 9000 + 100 Rubel dort.
2) In einem weiteren Jahr wird der letztere Wert aufgrund der Zinsabgrenzung auf 9000 + 100 R + 0,01 Pence (9000 + 100 R) = 2 R + 190 R + 9000 Rubel steigen.
Bedingt ist dieser Wert gleich 11.000 Rubel, also haben wir eine quadratische Gleichung.
p2 + 190r + 9000 = 11000;
r2 + 190r - 2000 = 0
lösen wir diese quadratische Gleichung mit dem Satz von Viette, p 1 \u003d 10, p 2 \u003d -200.
Die negative Wurzel ist nicht geeignet.
Antwort: 10 %.
Beispiel 19. Die Stadt hat derzeit 48.400 Einwohner. Es ist bekannt, dass die Bevölkerung dieser Stadt jährlich um 10% zunimmt. Wie viele Einwohner gab es vor zwei Jahren in der Stadt?
Angenommen, vor zwei Jahren betrug die Einwohnerzahl der Stadt x Personen, dann wird die Einwohnerzahl derzeit durch x ausgedrückt, wobei die Zinseszinsformel verwendet wird:
x(1+0,1) 2 = 1,21x.
Aus der Problemstellung:
Antwort: 40.000 Menschen.
