Die größten und kleinsten Werte der Funktion

Konzepte der mathematischen Analyse. Der Wert, den eine Funktion an irgendeinem Punkt der Menge annimmt, auf der diese Funktion definiert ist, wird als der größte (kleinste) Wert auf dieser Menge bezeichnet, wenn die Funktion an keinem anderen Punkt in der Menge einen größeren (kleineren) Wert hat. N. und n. h. f. im Vergleich zu seinen Werten an allen ausreichend nahen Punkten werden Extrema (bzw. Maxima und Minima) der Funktion genannt. N. und n. h. f., gegeben auf einem Segment, kann entweder an Punkten erreicht werden, an denen die Ableitung gleich Null ist, oder an Punkten, an denen sie nicht existiert, oder an den Enden des Segments. Eine auf einem Segment gegebene stetige Funktion erreicht zwangsläufig ihren Maximal- und Minimalwert; wenn eine stetige Funktion in einem Intervall betrachtet wird (d. h. ein Segment mit ausgeschlossenen Enden), dann gibt es unter ihren Werten in diesem Intervall möglicherweise kein Maximum oder Minimum. Zum Beispiel die Funktion beim = x, gegeben im Intervall , erreicht den größten bzw. kleinsten Wert bei x= 1 und x= 0 (d. h. an den Enden des Segments); Wenn wir diese Funktion im Intervall (0; 1) betrachten, gibt es unter ihren Werten in diesem Intervall weder den größten noch den kleinsten, da für jeden x0 es gibt immer einen Punkt dieses Intervalls, der rechts (links) liegt x0, und zwar derart, dass der Wert der Funktion an diesem Punkt größer (bzw. kleiner) als an diesem Punkt ist x0. Ähnliche Aussagen gelten für Funktionen mehrerer Variablen. Siehe auch Extrem.

Große sowjetische Enzyklopädie. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. 1969-1978 .

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Manchmal gibt es in Aufgaben B15 "schlechte" Funktionen, für die es schwierig ist, die Ableitung zu finden. Früher war dies nur auf Sonden, aber jetzt sind diese Aufgaben so häufig, dass sie bei der Vorbereitung auf diese Prüfung nicht mehr ignoriert werden können.

In diesem Fall funktionieren andere Tricks, von denen einer - monoton.

Die Funktion f (x) heißt auf der Strecke monoton wachsend, wenn für beliebige Punkte x 1 und x 2 dieser Strecke gilt:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

Die Funktion f (x) heißt auf der Strecke monoton fallend, wenn für beliebige Punkte x 1 und x 2 dieser Strecke gilt:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x2).

Mit anderen Worten, je größer x ist, desto größer ist f(x) für eine ansteigende Funktion. Für eine fallende Funktion gilt das Gegenteil: Je größer x , desto mehr kleiner f(x).

Beispielsweise steigt der Logarithmus monoton, wenn die Basis a > 1 ist, und fällt monoton, wenn 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Die arithmetische Quadratwurzel (und nicht nur die Quadratwurzel) wächst über den gesamten Definitionsbereich monoton:

Die Exponentialfunktion verhält sich ähnlich wie der Logarithmus: Sie steigt für a > 1 und fällt für 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Schließlich Grade mit negativem Exponenten. Du kannst sie als Bruch schreiben. Sie haben einen Bruchpunkt, an dem die Monotonie gebrochen wird.

Alle diese Funktionen werden nie in ihrer reinen Form gefunden. Polynome, Brüche und anderer Unsinn werden hinzugefügt, wodurch es schwierig wird, die Ableitung zu berechnen. Was in diesem Fall passiert - jetzt werden wir analysieren.

Scheitelpunktkoordinaten der Parabel

Meistens wird das Funktionsargument durch ersetzt quadratisches Trinom der Form y = ax 2 + bx + c . Ihr Graph ist eine Standardparabel, an der wir interessiert sind:

1. Parabelzweige - können nach oben (für a > 0) oder nach unten (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Der Scheitelpunkt der Parabel ist der Extrempunkt einer quadratischen Funktion, an dem diese Funktion ihren kleinsten (für a > 0) oder größten (a< 0) значение.

Von größtem Interesse ist Spitze einer Parabel, deren Abszisse nach folgender Formel berechnet wird:

Wir haben also den Endpunkt der quadratischen Funktion gefunden. Aber wenn die ursprüngliche Funktion monoton ist, dann wird der Punkt x 0 auch ein Extremumpunkt sein. Damit formulieren wir die Kernregel:

Die Extrempunkte des quadratischen Trinoms und der komplexen Funktion, in die es eintritt, fallen zusammen. Daher können Sie nach x 0 für ein quadratisches Trinom suchen und die Funktion vergessen.

Aus der obigen Argumentation bleibt unklar, was für ein Punkt wir erhalten: ein Maximum oder ein Minimum. Allerdings sind die Aufgaben speziell so gestaltet, dass es darauf keine Rolle spielt. Urteile selbst:

1. Es gibt kein Segment im Zustand des Problems. Daher ist es nicht erforderlich, f(a) und f(b) zu berechnen. Es bleiben nur die Extrempunkte zu betrachten;
2. Aber es gibt nur einen solchen Punkt - das ist die Spitze der Parabel x 0, deren Koordinaten buchstäblich mündlich und ohne Ableitungen berechnet werden.

Somit wird die Lösung des Problems stark vereinfacht und auf nur zwei Schritte reduziert:

1. Schreiben Sie die Parabelgleichung y = ax 2 + bx + c auf und finden Sie ihren Scheitelpunkt mit der Formel: x 0 = −b /2a;
2. Ermitteln Sie an dieser Stelle den Wert der ursprünglichen Funktion: f (x 0). Wenn es keine zusätzlichen Bedingungen gibt, wird dies die Antwort sein.

Auf den ersten Blick mag dieser Algorithmus und seine Begründung kompliziert erscheinen. Ich poste bewusst kein „nacktes“ Lösungsschema, da die gedankenlose Anwendung solcher Regeln mit Fehlern behaftet ist.

Betrachten Sie die realen Aufgaben aus der Probeklausur in Mathematik – hier ist diese Technik am gebräuchlichsten. Gleichzeitig werden wir dafür sorgen, dass viele Probleme von B15 auf diese Weise fast verbal werden.

Unter der Wurzel befindet sich eine quadratische Funktion y \u003d x 2 + 6x + 13. Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel mit Verzweigungen nach oben, da der Koeffizient a \u003d 1\u003e 0 ist.

Spitze der Parabel:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

Da die Zweige der Parabel nach oben gerichtet sind, nimmt die Funktion y \u003d x 2 + 6x + 13 am Punkt x 0 \u003d −3 den kleinsten Wert an.

Die Wurzel ist monoton steigend, also ist x 0 der Minimalpunkt der gesamten Funktion. Wir haben:

Aufgabe. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Unter dem Logarithmus ist wieder eine quadratische Funktion: y \u003d x 2 + 2x + 9. Der Graph ist eine Parabel mit Verzweigungen nach oben, weil a = 1 > 0.

Spitze der Parabel:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

An der Stelle x 0 = −1 nimmt die quadratische Funktion also den kleinsten Wert an. Aber die Funktion y = log 2 x ist monoton, also:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Der Exponent ist eine quadratische Funktion y = 1 − 4x − x 2 . Schreiben wir es in Normalform um: y = −x 2 − 4x + 1.

Offensichtlich ist der Graph dieser Funktion eine Parabel, verzweigt sich nach unten (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

Die ursprüngliche Funktion ist exponentiell, sie ist monoton, also wird der größte Wert am gefundenen Punkt x 0 = −2 liegen:

Ein aufmerksamer Leser wird sicherlich bemerken, dass wir den Bereich der zulässigen Werte von Wurzel und Logarithmus nicht ausgeschrieben haben. Dies war jedoch nicht erforderlich: Im Inneren befinden sich Funktionen, deren Werte immer positiv sind.

Konsequenzen aus dem Umfang einer Funktion

Manchmal reicht es zur Lösung von Problem B15 nicht aus, nur den Scheitelpunkt der Parabel zu finden. Der gewünschte Wert kann liegen am Ende des Segments, aber nicht am Extremum. Wenn die Aufgabe überhaupt kein Segment angibt, schauen Sie sich an Toleranzbereich ursprüngliche Funktion. Nämlich:

Nochmal aufgepasst: Null darf zwar unter der Wurzel stehen, aber niemals im Logarithmus oder Nenner eines Bruchs. Mal sehen, wie es mit konkreten Beispielen funktioniert:

Aufgabe. Finden Sie den größten Wert der Funktion:

Unter der Wurzel befindet sich wieder eine quadratische Funktion: y \u003d 3 - 2x - x 2. Ihr Graph ist eine Parabel, verzweigt sich aber seit a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Wir schreiben den Bereich der zulässigen Werte (ODZ) aus:

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; ein]

Finden Sie nun den Scheitelpunkt der Parabel:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

Der Punkt x 0 = −1 gehört zum ODZ-Segment – ​​und das ist gut so. Nun betrachten wir den Wert der Funktion am Punkt x 0, sowie an den Enden der ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Wir haben also die Zahlen 2 und 0. Wir werden gebeten, die größte zu finden - das ist die Zahl 2.

Aufgabe. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Innerhalb des Logarithmus gibt es eine quadratische Funktion y \u003d 6x - x 2 - 5. Dies ist eine Parabel mit Zweigen nach unten, aber der Logarithmus kann keine negativen Zahlen enthalten, also schreiben wir die ODZ aus:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Bitte beachten Sie: Die Ungleichung ist streng, daher gehören die Enden nicht zum ODZ. Auf diese Weise unterscheidet sich der Logarithmus von der Wurzel, wo uns die Segmentenden recht gut liegen.

Suche nach dem Scheitelpunkt der Parabel:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

Die Spitze der Parabel passt entlang der ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Da uns aber die Segmentenden nicht interessieren, betrachten wir den Wert der Funktion nur am Punkt x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

Der größte und kleinste Wert der Funktion

Der größte Wert einer Funktion heißt der größte, der kleinste Wert ist der kleinste aller ihrer Werte.

Eine Funktion kann nur einen größten und nur einen kleinsten Wert haben oder gar keinen. Das Finden der größten und kleinsten Werte stetiger Funktionen basiert auf den folgenden Eigenschaften dieser Funktionen:

1) Wenn in einem Intervall (endlich oder unendlich) die Funktion y=f(x) stetig ist und nur ein Extremum hat, und wenn dies das Maximum (Minimum) ist, dann wird es der größte (kleinste) Wert der Funktion sein in diesem Intervall.

2) Wenn die Funktion f(x) auf einem Segment stetig ist, dann hat sie notwendigerweise die größten und kleinsten Werte auf diesem Segment. Diese Werte werden entweder an den innerhalb des Segments liegenden Extrempunkten oder an den Grenzen dieses Segments erreicht.

Um die größten und kleinsten Werte auf dem Segment zu finden, wird empfohlen, das folgende Schema zu verwenden:

1. Finden Sie die Ableitung.

2. Finden Sie die kritischen Punkte der Funktion, an denen =0 oder nicht existiert.

3. Finden Sie die Werte der Funktion an kritischen Punkten und an den Enden des Segments und wählen Sie daraus das größte f max und das kleinste f min.

Bei der Lösung angewandter Probleme, insbesondere bei Optimierungsproblemen, sind die Probleme des Auffindens der größten und kleinsten Werte (globales Maximum und globales Minimum) einer Funktion auf dem Intervall X wichtig. Um solche Probleme zu lösen, sollte man sich auf die Bedingung stützen , wählen Sie eine unabhängige Variable und drücken Sie den untersuchten Wert durch diese Variable aus. Finden Sie dann den gewünschten maximalen oder minimalen Wert der resultierenden Funktion. In diesem Fall wird auch das Änderungsintervall der unabhängigen Variablen, das endlich oder unendlich sein kann, aus der Problembedingung bestimmt.

Beispiel. Der Tank, der die Form eines rechteckigen Parallelepipeds mit quadratischem Boden hat und oben offen ist, muss innen mit Zinn verzinnt werden. Wie groß sollte der Tank mit einem Fassungsvermögen von 108 Litern sein? Wasser, damit die Kosten für seine Verzinnung am geringsten sind?

Entscheidung. Die Kosten für die Beschichtung des Tanks mit Zinn sind am niedrigsten, wenn seine Oberfläche für eine gegebene Kapazität minimal ist. Bezeichnen Sie mit a dm - die Seite der Basis, b dm - die Höhe des Tanks. Dann ist die Fläche S seiner Oberfläche gleich

Und

Die resultierende Beziehung stellt die Beziehung zwischen der Oberfläche des Tanks S (Funktion) und der Seite der Basis a (Argument) her. Wir untersuchen die Funktion S auf ein Extremum. Finde die erste Ableitung, setze sie mit Null gleich und löse die resultierende Gleichung:

Also a = 6. (a) > 0 für a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Beispiel. Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion zwischen.

Entscheidung: Die angegebene Funktion ist stetig auf der gesamten Zahlenachse. Ableitung der Funktion

Ableitung bei und bei . Lassen Sie uns die Werte der Funktion an diesen Punkten berechnen:

.

Die Funktionswerte an den Enden des angegebenen Intervalls sind gleich . Daher ist der größte Wert der Funktion bei , der kleinste Wert der Funktion ist bei .

Fragen zur Selbstprüfung

1. Formulieren Sie die Regel von L'Hopital zur Offenlegung von Unsicherheiten der Form . Nennen Sie die verschiedenen Arten von Unsicherheiten, für die die Regel von L'Hospital verwendet werden kann.

2. Formulieren Sie Anzeichen für zunehmende und abnehmende Funktion.

3. Definieren Sie das Maximum und Minimum einer Funktion.

4. Formulieren Sie die notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums.

5. Welche Werte des Arguments (welche Punkte) werden als kritisch bezeichnet? Wie finde ich diese Punkte?

6. Was sind hinreichende Zeichen für die Existenz eines Extremums einer Funktion? Skizzieren Sie ein Schema zur Untersuchung einer Funktion für ein Extremum unter Verwendung der ersten Ableitung.

7. Skizzieren Sie das Schema zur Untersuchung der Funktion für ein Extremum unter Verwendung der zweiten Ableitung.

8. Konvexität, Konkavität einer Kurve definieren.

9. Was ist der Wendepunkt eines Funktionsgraphen? Geben Sie an, wie diese Punkte zu finden sind.

10. Formulieren Sie die notwendigen und ausreichenden Anzeichen für Konvexität und Konkavität der Kurve auf einem gegebenen Segment.

11. Definieren Sie die Asymptote der Kurve. Wie findet man die vertikalen, horizontalen und schiefen Asymptoten eines Funktionsgraphen?

12. Skizzieren Sie das allgemeine Schema zum Erforschen einer Funktion und zum Erstellen ihres Graphen.

13. Formulieren Sie eine Regel, um den größten und kleinsten Wert einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden.

Wie findet man die größten und kleinsten Werte einer Funktion auf einem Segment?

Dafür Wir folgen dem bekannten Algorithmus:

1 . Wir finden ODZ-Funktionen.

2 . Bestimmung der Ableitung einer Funktion

3 . Setze die Ableitung mit Null gleich

4 . Wir finden die Intervalle, in denen die Ableitung ihr Vorzeichen behält, und bestimmen daraus die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion:

Wenn auf dem Intervall I die Ableitung der Funktion 0" title="(!LANG:f^(prime)(x)>0">, то функция !} nimmt in diesem Intervall zu.

Wenn auf dem Intervall I die Ableitung der Funktion , dann die Funktion nimmt in diesem Intervall ab.

5 . Wir finden Maximal- und Minimalpunkte der Funktion.

BEIM der Funktionshöchstpunkt, die Ableitung wechselt das Vorzeichen von "+" nach "-".

BEIM Minimalpunkt der FunktionAbleitung ändert das Vorzeichen von "-" nach "+".

6 . Wir finden den Wert der Funktion an den Enden des Segments,

• dann vergleichen wir den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an den Maximalpunkten, und Wählen Sie die größte davon, wenn Sie den größten Wert der Funktion finden müssen
• oder wir vergleichen den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an den Minimalpunkten, und Wählen Sie die kleinste davon, wenn Sie den kleinsten Wert der Funktion finden müssen

Je nachdem, wie sich die Funktion auf dem Intervall verhält, kann dieser Algorithmus jedoch erheblich reduziert werden.

Betrachten Sie die Funktion . Der Graph dieser Funktion sieht so aus:

Betrachten wir einige Beispiele für die Lösung von Problemen aus der Open Task Bank für

ein . Aufgabe B15 (#26695)

Auf den Schnitt.

1. Die Funktion ist für alle reellen Werte von x definiert

Offensichtlich hat diese Gleichung keine Lösungen, und die Ableitung ist für alle Werte von x positiv. Daher steigt die Funktion an und nimmt am rechten Ende des Intervalls, also bei x=0, den größten Wert an.

Antwort: 5.

2 . Aufgabe B15 (Nr. 26702)

Finden Sie den größten Wert einer Funktion auf dem Segment.

1.ODZ-Funktion title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Die Ableitung ist bei Null, ändert jedoch an diesen Stellen nicht das Vorzeichen:

Daher ist title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} steigt und nimmt den größten Wert am rechten Ende des Intervalls an, bei .

Um zu verdeutlichen, warum die Ableitung ihr Vorzeichen nicht ändert, formen wir den Ausdruck für die Ableitung wie folgt um:

Title="(!LANG:y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Antwort: 5.

3 . Aufgabe B15 (#26708)

Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion im Intervall .

1. ODZ-Funktionen: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Lassen Sie uns die Wurzeln dieser Gleichung auf einem trigonometrischen Kreis platzieren.

Das Intervall enthält zwei Zahlen: und

Lassen Sie uns die Schilder aufstellen. Dazu bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung an der Stelle x=0: . Beim Durchlaufen der Punkte ändert auch die Ableitung das Vorzeichen.

Stellen wir den Vorzeichenwechsel der Ableitung der Funktion auf der Koordinatenlinie dar:

Offensichtlich ist der Punkt ein Minimalpunkt (wo die Ableitung das Vorzeichen von "-" zu "+" ändert), und um den kleinsten Wert der Funktion auf dem Segment zu finden, müssen Sie die Funktionswerte bei vergleichen Minimalpunkt und am linken Ende des Segments, .

Und um es zu lösen, benötigen Sie minimale Kenntnisse des Themas. Das nächste Studienjahr geht zu Ende, alle wollen in den Urlaub, und um diesen Moment näher zu bringen, komme ich gleich zur Sache:

Beginnen wir mit dem Bereich. Der in der Bedingung genannte Bereich ist begrenzt geschlossen Menge von Punkten in der Ebene. Zum Beispiel eine Reihe von Punkten, die durch ein Dreieck begrenzt sind, einschließlich des GESAMTEN Dreiecks (wenn von Grenzen Mindestens einen Punkt „herausstechen“, dann wird der Bereich nicht mehr geschlossen). In der Praxis gibt es auch Bereiche mit rechteckigen, runden und etwas komplexeren Formen. Es sollte beachtet werden, dass in der Theorie der mathematischen Analyse strenge Definitionen gegeben werden Beschränkungen, Isolation, Grenzen usw., aber ich denke, jeder ist sich dieser Konzepte auf einer intuitiven Ebene bewusst, und mehr ist jetzt nicht erforderlich.

Der flache Bereich wird standardmäßig mit dem Buchstaben bezeichnet und in der Regel analytisch angegeben - durch mehrere Gleichungen (nicht unbedingt linear); seltener Ungleichheiten. Ein typischer Wortwechsel: „Geschlossener Bereich, begrenzt durch Linien“.

Ein wesentlicher Bestandteil der betrachteten Aufgabe ist die Konstruktion des Bereichs auf der Zeichnung. Wie kann man es machen? Es müssen alle aufgeführten Linien gezeichnet werden (in diesem Fall 3 gerade) und analysieren, was passiert ist. Der gewünschte Bereich wird normalerweise leicht schraffiert und sein Rand mit einer dicken Linie hervorgehoben:


Derselbe Bereich kann eingestellt werden Lineare Ungleichungen: , die aus irgendeinem Grund häufiger als Aufzählungsliste geschrieben werden, und nicht System.
Da die Grenze zur Region gehört, sind natürlich alle Ungleichheiten nicht streng.

Und jetzt der springende Punkt. Stellen Sie sich vor, die Achse geht vom Koordinatenursprung direkt zu Ihnen. Betrachten Sie eine Funktion, die kontinuierlich in jedem Gebietspunkt. Der Graph dieser Funktion ist Fläche, und das kleine Glück ist, dass wir zur Lösung des heutigen Problems überhaupt nicht wissen müssen, wie diese Oberfläche aussieht. Es kann sich über, unter, über dem Flugzeug befinden - all dies ist nicht wichtig. Und folgendes ist wichtig: gem Weierstraß-Theoreme, kontinuierlich in begrenzt geschlossen Bereich erreicht die Funktion ihr Maximum (von den "Höchsten") und am wenigsten (von den "niedrigsten") Werte zu finden. Diese Werte werden erreicht oder in stationäre Punkte, Zugehörigkeit zur RegionD , oder an Punkten, die auf der Grenze dieser Region liegen. Daraus folgt ein einfacher und transparenter Lösungsalgorithmus:

Beispiel 1

In einem begrenzten geschlossenen Bereich

Entscheidung: Zunächst müssen Sie den Bereich auf der Zeichnung darstellen. Leider ist es für mich technisch schwierig, ein interaktives Modell des Problems zu erstellen, und deshalb werde ich sofort die endgültige Illustration geben, die alle "verdächtigen" Punkte zeigt, die während der Studie gefunden wurden. Normalerweise werden sie nacheinander abgelegt, wenn sie gefunden werden:

Basierend auf der Präambel kann die Entscheidung bequem in zwei Punkte unterteilt werden:

I) Lassen Sie uns stationäre Punkte finden. Dies ist eine Standardaktion, die wir in der Lektion wiederholt durchgeführt haben. über Extrema mehrerer Variablen:

Festpunkt gefunden gehört Bereiche: (markiere es auf der Zeichnung), was bedeutet, dass wir den Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt berechnen sollten:

- wie im Artikel Die größten und kleinsten Werte einer Funktion auf einem Segment, werde ich die wichtigen Ergebnisse fett hervorheben. In einem Notizbuch ist es praktisch, sie mit einem Bleistift einzukreisen.

Achten Sie auf unser zweites Glück - es macht keinen Sinn, es zu überprüfen hinreichende Bedingung für ein Extremum. Wieso den? Auch wenn an dem Punkt, an dem die Funktion beispielsweise erreicht, lokales Minimum, dann BEDEUTET dies NICHT, dass der resultierende Wert sein wird minimal in der ganzen Region (Siehe Anfang der Lektion über unbedingte Extreme) .

Was ist, wenn der stationäre Punkt NICHT zur Fläche gehört? Fast nichts! Es sollte beachtet werden, dass und zum nächsten Absatz gehen.

II) Wir untersuchen die Grenze der Region.

Da die Grenze aus den Seiten eines Dreiecks besteht, ist es zweckmäßig, die Studie in 3 Unterabsätze zu unterteilen. Aber es ist besser, es nicht zu tun. Aus meiner Sicht ist es zunächst vorteilhafter, Strecken parallel zu den Koordinatenachsen zu betrachten, und zwar zunächst solche, die auf den Achsen selbst liegen. Um die ganze Abfolge und Logik der Handlungen zu erfassen, versuchen Sie, das Ende „in einem Atemzug“ zu studieren:

1) Beschäftigen wir uns mit der unteren Seite des Dreiecks. Dazu setzen wir direkt in die Funktion ein:

Alternativ kannst du es auch so machen:

Geometrisch bedeutet dies die Koordinatenebene (was auch durch die Gleichung gegeben ist)"ausgeschnitten" aus Oberflächen"räumliche" Parabel, deren Spitze sofort in Verdacht gerät. Lass es uns herausfinden wo ist sie:

- der resultierende Wert "trifft" in den Bereich, und es kann gut sein, dass an der Stelle (Markierung auf der Zeichnung) die Funktion erreicht den größten oder kleinsten Wert im gesamten Bereich. Wie auch immer, machen wir die Berechnungen:

Andere "Kandidaten" sind natürlich die Enden des Segments. Berechnen Sie die Werte der Funktion in Punkten (Markierung auf der Zeichnung):

Hier können Sie übrigens einen mündlichen Mini-Check der „abgespeckten“ Version durchführen:

2) Um die rechte Seite des Dreiecks zu untersuchen, setzen wir sie in die Funktion ein und „ordnen dort die Dinge“:

Hier machen wir gleich einen groben Check, indem wir das bereits bearbeitete Ende des Segments „klingeln“ lassen:
, perfekt.

Die geometrische Situation hängt mit dem vorherigen Punkt zusammen:

- Der resultierende Wert ist auch „in den Bereich unserer Interessen eingetreten“, was bedeutet, dass wir berechnen müssen, was die Funktion an der erschienenen Stelle ist:

Untersuchen wir das zweite Ende des Segments:

Verwendung der Funktion , Lass uns das Prüfen:

3) Jeder weiß wahrscheinlich, wie man die verbleibende Seite erkundet. Wir setzen in die Funktion ein und führen Vereinfachungen durch:

Zeile endet wurden bereits untersucht, aber auf dem Entwurf prüfen wir noch, ob wir die Funktion richtig gefunden haben :
– stimmte mit dem Ergebnis von Unterabsatz 1 überein;
– deckte sich mit dem Ergebnis von Unterabsatz 2.

Es bleibt abzuwarten, ob es in dem Segment etwas Interessantes gibt:

- Es gibt! Setzen wir eine Gerade in die Gleichung ein, erhalten wir die Ordinate dieser „Interessanz“:

Wir markieren einen Punkt auf der Zeichnung und finden den entsprechenden Wert der Funktion:

Kontrollieren wir die Berechnungen nach der "Budget" -Version :
, Befehl.

Und der letzte Schritt: SORGFÄLTIG alle "fetten" Zahlen durchsehen, ich empfehle auch Anfängern, eine einzige Liste zu machen:

aus denen wir den größten und den kleinsten Wert auswählen. Antworten schreiben Sie im Stil des Findungsproblems die größten und kleinsten Werte der Funktion im Intervall:

Für alle Fälle werde ich noch einmal auf die geometrische Bedeutung des Ergebnisses eingehen:
– hier ist der höchste Punkt der Oberfläche in der Region;
- hier ist der tiefste Punkt der Oberfläche in der Gegend.

In dem analysierten Problem haben wir 7 „verdächtige“ Punkte gefunden, aber ihre Anzahl variiert von Aufgabe zu Aufgabe. Für eine dreieckige Region besteht der minimale "Explorationssatz" aus drei Punkten. Dies geschieht beispielsweise beim Setzen der Funktion Flugzeug- Es ist ziemlich klar, dass es keine stationären Punkte gibt und die Funktion die maximalen / minimalen Werte nur an den Eckpunkten des Dreiecks erreichen kann. Aber solche Beispiele gibt es nicht einmal, zweimal - normalerweise muss man sich mit irgendeiner Art auseinandersetzen Oberfläche 2. Ordnung.

Wenn Sie solche Aufgaben ein wenig lösen, können Dreiecke Ihnen den Kopf verdrehen, und deshalb habe ich ungewöhnliche Beispiele für Sie vorbereitet, um es quadratisch zu machen :))

Beispiel 2

Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion in einem durch Linien begrenzten geschlossenen Bereich

Beispiel 3

Finden Sie die größten und kleinsten Werte einer Funktion in einem begrenzten geschlossenen Bereich.

Achten Sie besonders auf die rationelle Reihenfolge und Technik der Untersuchung der Bereichsgrenze sowie auf die Kette der Zwischenprüfungen, die Rechenfehler fast vollständig vermeiden. Im Allgemeinen können Sie es nach Belieben lösen, aber bei einigen Problemen, beispielsweise in demselben Beispiel 2, besteht jede Chance, Ihr Leben erheblich zu verkomplizieren. Ein ungefähres Beispiel für das Beenden von Aufgaben am Ende der Lektion.

Wir systematisieren den Lösungsalgorithmus, sonst ist er mit meinem Fleiß einer Spinne irgendwie in einem langen Kommentarstrang des 1. Beispiels verloren gegangen:

- Im ersten Schritt bauen wir einen Bereich, es ist wünschenswert, ihn zu schattieren und die Grenze mit einer dicken Linie hervorzuheben. Während der Lösung erscheinen Punkte, die auf die Zeichnung gesetzt werden müssen.

– Finden Sie stationäre Punkte und berechnen Sie die Werte der Funktion nur in denen, die zum Gebiet gehören . Die erhaltenen Werte werden im Text hervorgehoben (z. B. mit einem Bleistift eingekreist). Gehört der stationäre Punkt NICHT zum Bereich, dann markieren wir diese Tatsache mit einem Icon oder verbal. Wenn es überhaupt keine stationären Punkte gibt, ziehen wir eine schriftliche Schlussfolgerung, dass sie fehlen. In jedem Fall kann dieser Punkt nicht übersprungen werden!

– Erkundung des Grenzgebiets. Erstens ist es vorteilhaft, mit geraden Linien zu arbeiten, die parallel zu den Koordinatenachsen sind (falls es welche gibt). Auch die an „verdächtigen“ Stellen berechneten Funktionswerte werden hervorgehoben. Oben wurde viel über die Lösungstechnik gesagt, und unten wird noch etwas anderes gesagt - lesen, erneut lesen, vertiefen!

- Wählen Sie aus den ausgewählten Zahlen den größten und den kleinsten Wert aus und geben Sie eine Antwort. Manchmal kommt es vor, dass die Funktion an mehreren Stellen gleichzeitig solche Werte erreicht - in diesem Fall sollten sich alle diese Punkte in der Antwort widerspiegeln. Lassen Sie zum Beispiel und es stellte sich heraus, dass dies der kleinste Wert ist. Dann schreiben wir das

Die letzten Beispiele sind anderen nützlichen Ideen gewidmet, die sich in der Praxis als nützlich erweisen werden:

Beispiel 4

Finden Sie die größten und kleinsten Werte einer Funktion in einem geschlossenen Bereich .

Ich habe die Formulierung des Autors beibehalten, in der die Fläche als doppelte Ungleichung angegeben ist. Diese Bedingung kann für dieses Problem in einem äquivalenten System oder in einer traditionelleren Form geschrieben werden:

Daran erinnere ich Sie mit nichtlinear Wir sind auf Ungleichungen gestoßen, und wenn Sie die geometrische Bedeutung des Eintrags nicht verstehen, dann zögern Sie bitte nicht und klären Sie die Situation sofort ;-)

Entscheidung beginnt wie immer mit dem Bau des Geländes, das eine Art „Sohle“ ist:

Hmm, manchmal muss man nicht nur am Granit der Wissenschaft nagen....

I) Stationäre Punkte finden:

Idiotentraumsystem :)

Der stationäre Punkt gehört zum Bereich, liegt nämlich auf dessen Rand.

Und so ist es nichts ... lustige Lektion ging - das bedeutet es, den richtigen Tee zu trinken =)

II) Wir untersuchen die Grenze der Region. Beginnen wir ohne weiteres mit der x-Achse:

1) Wenn, dann

Finde heraus, wo die Spitze der Parabel ist:
- Schätzen Sie solche Momente - "schlagen" Sie genau auf den Punkt, ab dem schon alles klar ist. Aber vergessen Sie nicht zu überprüfen:

Lassen Sie uns die Werte der Funktion an den Enden des Segments berechnen:

2) Wir werden uns mit dem unteren Teil der „Sohle“ „in einer Sitzung“ befassen - ohne Komplexe ersetzen wir sie in die Funktion, außerdem interessieren wir uns nur für das Segment:

Die Kontrolle:

Das bringt jetzt schon etwas Schwung in die eintönige Fahrt auf einer Rändelbahn. Finden wir die kritischen Punkte:

Wir entscheiden quadratische Gleichung erinnerst du dich an diesen? ... Aber denken Sie natürlich daran, sonst hätten Sie diese Zeilen nicht gelesen =) Wenn in den beiden vorherigen Beispielen Berechnungen in Dezimalbrüchen bequem waren (was übrigens selten vorkommt), dann warten wir hier auf die üblichen gewöhnlichen Brüche. Wir finden die „x“-Wurzeln und bestimmen anhand der Gleichung die entsprechenden „Spiel“-Koordinaten der „Kandidaten“-Punkte:


Lassen Sie uns die Werte der Funktion an den gefundenen Punkten berechnen:

Prüfen Sie die Funktion selbst.

Jetzt studieren wir sorgfältig die gewonnenen Trophäen und schreiben sie auf Antworten:

Hier sind die "Kandidaten", also die "Kandidaten"!

Für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 5

Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion in einem geschlossenen Bereich

Ein Eintrag mit geschweiften Klammern lautet so: „eine Menge von Punkten, so dass“.

Manchmal verwenden sie in solchen Beispielen Lagrange-Multiplikator-Methode, aber die wirkliche Notwendigkeit, es zu verwenden, wird wahrscheinlich nicht entstehen. Wenn also zum Beispiel eine Funktion mit dem gleichen Bereich "de" gegeben ist, dann nach dem Einsetzen in sie - mit einer Ableitung ohne Schwierigkeiten; außerdem ist alles in einer „Einzeile“ (mit Vorzeichen) gezeichnet, ohne dass der obere und der untere Halbkreis getrennt betrachtet werden müssen. Aber natürlich gibt es kompliziertere Fälle, wo ohne die Lagrange-Funktion (wobei zum Beispiel dieselbe Kreisgleichung ist) es ist schwer zu überstehen - wie schwer ist es, ohne eine gute Erholung auszukommen!

Alles Gute zum Bestehen der Session und bis bald in der nächsten Saison!

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2: Entscheidung: Zeichnen Sie den Bereich auf der Zeichnung: