Definition

Zeitraum- dies ist die Mindestzeit, für die eine vollständige Oszillationsbewegung ausgeführt wird.

Die Periode wird durch den Buchstaben $T$ gekennzeichnet.

wobei $\Delta t$ - Schwingungszeit; $N$ - Anzahl vollständiger Schwingungen.

Die Schwingungsgleichung eines Federpendels

Betrachten Sie das einfachste Schwingungssystem, in dem mechanische Schwingungen realisiert werden können. Dies ist eine Last der Masse $m$, die an einer Feder aufgehängt ist, deren Elastizitätskoeffizient gleich $k\ $ ist (Abb.1). Betrachten Sie die vertikale Bewegung einer Last, die auf die Wirkung der Schwerkraft und der elastischen Kraft einer Feder zurückzuführen ist. Im Gleichgewichtszustand eines solchen Systems ist die Elastizitätskraft betragsmäßig gleich der Schwerkraft. Schwingungen eines Federpendels entstehen, wenn das System aus dem Gleichgewicht gebracht wird, z. B. durch leichtes zusätzliches Dehnen der Feder, wonach das Pendel sich selbst überlassen wird.

Nehmen wir an, die Masse der Feder sei klein im Vergleich zur Masse der Last, wir werden sie bei der Beschreibung der Schwingungen nicht berücksichtigen. Als Bezugspunkt wird ein Punkt auf der Koordinatenachse (X) betrachtet, der mit der Gleichgewichtslage der Last zusammenfällt. In dieser Position hat die Feder bereits eine Ausdehnung, die wir mit $b$ bezeichnen. Die Spannung der Feder erfolgt durch die Schwerkraftwirkung auf die Last, daher:

Wenn die Last zusätzlich verschoben wird, aber das Hookesche Gesetz noch erfüllt ist, dann wird die Federkraft gleich:

Wir schreiben die Beschleunigung der Last, wobei wir uns daran erinnern, dass die Bewegung entlang der X-Achse erfolgt, als:

Das zweite Newtonsche Gesetz für die Last hat die Form:

Wir berücksichtigen Gleichheit (2), Formel (5) wird in die Form umgewandelt:

Führen wir die Schreibweise ein: $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$, dann schreiben wir die Schwingungsgleichung als:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\left(7\right),\]

wobei $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ die zyklische Schwingungsfrequenz des Federpendels ist. Die Lösung von Gleichung (7) (dies wird durch direkte Substitution verifiziert) ist die Funktion:

wobei $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ die zyklische Schwingungsfrequenz des Pendels ist, $A$ die Schwingungsamplitude; $((\omega )_0t+\varphi)$ - Schwingungsphase; $\varphi $ und $(\varphi )_1$ - Anfangsphasen von Schwingungen.

Formeln für die Schwingungsdauer eines Federpendels

Wir haben herausgefunden, dass die Schwingungen eines Federpendels durch die Kosinus- oder Sinusfunktion beschrieben werden. Dies sind periodische Funktionen, was bedeutet, dass die Verschiebung $x$ in bestimmten gleichen Zeitintervallen gleiche Werte annimmt, was als Schwingungsperiode bezeichnet wird. Die Periode wird mit dem Buchstaben T bezeichnet.

Eine andere Größe, die Schwingungen charakterisiert, ist der Kehrwert der Schwingungsdauer, er heißt Frequenz ($\nu $):

Die Periode hängt von der zyklischen Schwingungsfrequenz ab wie folgt:

Oben haben wir $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$ für ein Federpendel erhalten, daher ist die Schwingungsdauer eines Federpendels:

Die Formel für die Schwingungsdauer eines Federpendels (11) zeigt, dass $T$ von der Masse der an der Feder angebrachten Last und dem Elastizitätskoeffizienten der Feder abhängt, nicht aber von der Schwingungsamplitude (A). Diese Eigenschaft von Schwingungen nennt man Isochronismus. Der Isochronismus ist erfüllt, solange das Hookesche Gesetz gilt. Bei großen Dehnungen der Feder wird das Hookesche Gesetz verletzt, die Abhängigkeit der Schwingungen von der Amplitude tritt auf. Wir betonen, dass Formel (11) zur Berechnung der Schwingungsdauer eines Federpendels für kleine Schwingungen gilt.

Beispiele für Aufgaben für die Schwingungsdauer

Beispiel 1

Die Übung. Ein Federpendel machte 50 vollständige Schwingungen in einer Zeit von 10 s. Welche Schwingungsdauer hat das Pendel? Welche Frequenz haben diese Schwingungen?

Entscheidung. Da die Periode die Mindestzeit ist, die das Pendel benötigt, um eine vollständige Schwingung zu vollenden, finden wir sie wie folgt:

Berechnen Sie den Zeitraum:

Die Frequenz ist der Kehrwert der Periode, also:

\[\nu=\frac(1)(T)\left(1.2\right).\]

Lassen Sie uns die Schwingungsfrequenz berechnen:

\[\nu =\frac(1)(0,2)=5\ \links(Hz\rechts).\]

Antworten.$1)\ T=0,2$ s; 2) 5Hz

Beispiel 2

Die Übung. Zwei Federn mit den Elastizitätskoeffizienten $k_1$ und $k_2$ sind parallel geschaltet (Abb. 2), eine Last der Masse $M$ ist am System befestigt. Wie groß ist die Schwingungsdauer des resultierenden Federpendels, wenn die Massen der Federn vernachlässigt werden können, die auf die Last wirkende elastische Kraft dem Hookeschen Gesetz gehorcht?

Entscheidung. Verwenden wir die Formel, um die Schwingungsdauer eines Federpendels zu berechnen:

Wenn die Federn parallel geschaltet sind, ergibt sich die resultierende Steifigkeit des Systems zu:

Das bedeutet, dass wir anstelle von $k$ in der Formel zur Berechnung der Periode eines Federpendels die rechte Seite des Ausdrucks (2.2) ersetzen, haben wir:

Antworten.$T=2\pi \sqrt(\frac(M)(k_1(+k)_2))$

In dem er im ersten Moment willkürlich ausgewählt wurde).

Im Prinzip deckt es sich mit dem mathematischen Begriff der Periodendauer der Funktion, meint aber unter der Funktion die Abhängigkeit der physikalischen Größe, die von der Zeit schwingt.

Dieses Konzept in dieser Form ist sowohl auf harmonische als auch auf anharmonische streng periodische Schwingungen anwendbar (und ungefähr – mit dem einen oder anderen Erfolg – ​​und nichtperiodische Schwingungen, zumindest auf solche, die der Periodizität nahe kommen).

Für den Fall wann wir redenÜber Schwingungen eines harmonischen Oszillators mit Dämpfung versteht man unter Periode die Periode seines schwingenden Anteils (ohne Dämpfung), die mit dem doppelten Zeitabstand zwischen den nächsten Nulldurchgängen des schwingenden Wertes zusammenfällt. Prinzipiell lässt sich diese Definition mehr oder weniger genau und sinnvoll verallgemeinernd auf gedämpfte Schwingungen mit anderen Eigenschaften erweitern.

Bezeichnungen: Die übliche Standardnotation für die Schwingungsdauer ist: $T$(Obwohl andere zutreffen können, ist die häufigste $\backslash tau$, manchmal $\backslash Theta$ usw.).

$T\; =\; \backslash frac(1)(\backslash nu),\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash nu\; =\; \backslash frac(1)(T).$

Bei Wellenprozessen hängt die Periode offensichtlich auch mit der Wellenlänge zusammen $\backslash lambda$

$v\; =\; \backslash lambda\; \backslash nu,\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; T\; =\; \backslash frac(\backslash lambda)(v),$

wo $v$ ist die W(genauer gesagt die Phasengeschwindigkeit).

In der Quantenphysik die Schwingungsdauer steht in direktem Zusammenhang mit der Energie (da in der Quantenphysik die Energie eines Objekts - beispielsweise eines Teilchens - die Schwingungsfrequenz seiner Wellenfunktion ist).

Theoretischer Befund Die Schwingungsdauer eines bestimmten physikalischen Systems reduziert sich in der Regel darauf, eine Lösung dynamischer Gleichungen (Gleichung) zu finden, die dieses System beschreibt. Für die Kategorie der linearen Systeme (und näherungsweise für linearisierbare Systeme in linearer Näherung, was oft sehr gut ist) gibt es standardmäßig relativ einfache mathematische Methoden, die dies ermöglichen (wenn die physikalischen Gleichungen selbst bekannt sind, die das System beschreiben). .

Zur experimentellen Bestimmung Periode, Uhren, Stoppuhren, Frequenzmesser, Stroboskope, Strobe-Tachometer, Oszilloskope verwendet. Es werden auch Beats verwendet, eine Methode der Überlagerung in verschiedenen Formen, das Prinzip der Resonanz wird verwendet. Bei Wellen kann man die Periode indirekt messen - über die Wellenlänge, wozu Interferometer, Beugungsgitter etc. verwendet werden. Manchmal sind auch ausgefeilte Methoden erforderlich, die speziell für einen bestimmten schwierigen Fall entwickelt wurden (Schwierigkeit kann sowohl die Zeitmessung selbst sein, insbesondere wenn es sich um extrem kurze oder umgekehrt sehr lange Zeiten handelt, als auch die Schwierigkeit, eine schwankende Größe zu beobachten).

Schwingungsperioden in der Natur

Eine Vorstellung über die Schwingungsperioden verschiedener physikalischer Prozesse gibt der Artikel Frequenzintervalle (da die Periodendauer in Sekunden der Kehrwert der Frequenz in Hertz ist).

Eine Vorstellung von der Größe der Perioden verschiedener physikalischer Prozesse kann auch durch die Frequenzskala elektromagnetischer Schwingungen gegeben werden (siehe Elektromagnetisches Spektrum).

Die Schwingungsperioden eines für eine Person hörbaren Schalls liegen im Bereich

Von 5 10 –5 bis 0,2

(seine klaren Grenzen sind etwas willkürlich).

Perioden elektromagnetischer Schwingungen, die verschiedenen Farben des sichtbaren Lichts entsprechen - im Bereich

Von 1,1 10 –15 bis 2,3 10 –15 .

Da Messmethoden für extrem große und extrem kleine Schwingungsdauern immer indirekter werden (bis hin zu einem fließenden Einfließen in theoretische Hochrechnungen), ist es schwierig, eine klare Ober- und Untergrenze für die direkt gemessene Schwingungsdauer zu nennen. Eine Schätzung für die obere Grenze kann durch die Existenzzeit der modernen Wissenschaft (Hunderte von Jahren) und für die untere - durch die Schwingungsperiode der Wellenfunktion des schwersten bekannten Teilchens () gegeben werden.

Auf jeden Fall untere Grenze als Planck-Zeit dienen kann, die so klein ist, dass es nach modernen Vorstellungen nicht nur unwahrscheinlich ist, dass sie überhaupt physikalisch gemessen werden kann, sondern auch in mehr oder weniger absehbarer Zeit unwahrscheinlich ist möglich sein, sich der Messung noch viel größerer Größenordnungen anzunähern, und oberen Rand- die Existenzzeit des Universums - mehr als zehn Milliarden Jahre.

Schwingungsperioden der einfachsten physikalischen Systeme

Federpendel

Mathematisches Pendel

$T=2\backslash pi\backslash sqrt(\backslash frac(l)(g))$

wo $l$- die Länge der Aufhängung (z. B. Fäden), $g$- Erdbeschleunigung .

Die Periode kleiner Schwingungen (auf der Erde) eines mathematischen Pendels von 1 Meter Länge beträgt bei guter Genauigkeit 2 Sekunden.

physikalisches Pendel

$T=2\backslash pi\backslash sqrt(\backslash frac(J)(mgl))$

Torsionspendel

$T\; =\; 2\; \backslash pi\; \backslash sqrt(\backslash frac(I)(K))$

Diese Formel wurde 1853 von dem englischen Physiker W. Thomson abgeleitet.

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Anmerkungen

Verknüpfungen

• - Artikel aus der Großen Sowjetischen Enzyklopädie

Ein Ausschnitt, der die Schwingungsdauer charakterisiert

Rostow schwieg.
- Was ist mit Ihnen? auch frühstücken? Sie werden anständig ernährt“, fuhr Telyanin fort. - Komm schon.
Er streckte die Hand aus und nahm die Brieftasche. Rostow ließ ihn frei. Telyanin nahm die Geldbörse und fing an, sie in die Tasche seiner Hose zu stecken, und seine Augenbrauen hoben sich beiläufig und sein Mund öffnete sich leicht, als ob er sagen würde: „Ja, ja, ich habe meine Geldbörse in meine Tasche gesteckt, und es ist sehr einfach, und niemand kümmert sich darum“ .
- Nun, was, junger Mann? sagte er seufzend und sah Rostov unter seinen hochgezogenen Augenbrauen in die Augen. Eine Art Licht aus den Augen lief mit der Geschwindigkeit eines elektrischen Funkens von Telyanins Augen zu Rostovs Augen und zurück, zurück und zurück, alles in einem Augenblick.
„Komm her“, sagte Rostow und nahm Teljanin an der Hand. Fast hätte er ihn zum Fenster gezerrt. - Das ist Denisovs Geld, du hast es genommen ... - flüsterte er ihm ins Ohr.
„Was? … Was? … Wie kannst du es wagen?“ Was? ... - sagte Telyanin.
Aber diese Worte klangen wie ein klagender, verzweifelter Schrei und eine Bitte um Vergebung. Sobald Rostov diesen Klang einer Stimme hörte, fiel ein riesiger Stein des Zweifels von seiner Seele. Er empfand Freude, und im selben Augenblick tat ihm der Unglückliche leid, der vor ihm stand; aber es war notwendig, die begonnene Arbeit zu vollenden.
„Die Leute hier, Gott weiß, was sie denken könnten“, murmelte Telyanin, schnappte sich seine Mütze und ging in einen kleinen leeren Raum, „wir müssen uns erklären …
„Ich weiß es, und ich werde es beweisen“, sagte Rostov.
- ICH…
Teljanins erschrockenes, bleiches Gesicht begann mit allen Muskeln zu zittern; Seine Augen liefen immer noch, aber irgendwo unten, nicht zu Rostovs Gesicht, und Schluchzen war zu hören.
- Graf! ... ruiniere den jungen Mann nicht ... hier ist dieses unglückliche Geld, nimm es ... - Er warf es auf den Tisch. - Mein Vater ist ein alter Mann, meine Mutter! ...
Rostov nahm das Geld, wich Telyanins Blick aus und verließ wortlos den Raum. Aber an der Tür blieb er stehen und drehte sich um. „Mein Gott“, sagte er mit Tränen in den Augen, „wie konntest du das tun?
„Graf“, sagte Telyanin und näherte sich dem Kadetten.
„Fass mich nicht an“, sagte Rostov und zog sich zurück. Wenn Sie es brauchen, nehmen Sie dieses Geld. Er warf seine Brieftasche nach ihm und rannte aus dem Gasthaus.

Am Abend desselben Tages fand in Denisovs Wohnung unter den Offizieren des Geschwaders ein lebhaftes Gespräch statt.
„Und ich sage Ihnen, Rostov, dass Sie sich beim Regimentskommandeur entschuldigen müssen“, sagte der hochgewachsene Stabskapitän mit ergrauendem Haar, riesigem Schnurrbart und großen Zügen eines faltigen Gesichts und wandte sich an den karmesinroten, aufgeregten Rostov.
Die Stabskapitänin Kirsten wurde wegen Ehrenurkunden zweimal zum Soldaten degradiert und zweimal geheilt.
"Ich lasse mir von niemandem sagen, dass ich lüge!" rief Rostow. Er sagte mir, dass ich lüge, und ich sagte ihm, dass er lüge. Und dabei wird es bleiben. Sie können mich sogar jeden Tag in den Dienst stellen und mich verhaften, aber niemand wird mich dazu zwingen, mich zu entschuldigen, denn wenn er sich als Regimentskommandeur für unwürdig hält, mir Genugtuung zu leisten, dann ...
- Ja, warten Sie, Vater; Sie hören mir zu, - unterbrach der Kapitän den Stab mit seiner Bassstimme und glättete ruhig seinen langen Schnurrbart. - Sie sagen dem Regimentskommandeur vor anderen Offizieren, dass der Offizier gestohlen hat ...
- Es ist nicht meine Schuld, dass das Gespräch vor anderen Beamten begann. Vielleicht hätte ich nicht vor ihnen sprechen sollen, aber ich bin kein Diplomat. Ich schloss mich dann den Husaren an und ging, weil ich dachte, dass hier keine Feinheiten benötigt würden, aber er sagt mir, dass ich lüge ... also lass ihn mir Genugtuung geben ...
- Das ist in Ordnung, niemand hält dich für einen Feigling, aber darum geht es nicht. Fragen Sie Denisov, sieht es für einen Kadetten aus, als würde er von einem Regimentskommandanten Befriedigung verlangen?
Denisov biss sich in den Schnurrbart und hörte dem Gespräch mit düsterer Miene zu, offenbar wollte er sich nicht einmischen. Auf Nachfrage des Kapitänsstabes schüttelte er verneinend den Kopf.
„Sie sprechen mit dem Regimentskommandanten über diesen schmutzigen Trick vor den Offizieren“, fuhr der Hauptmann des Hauptquartiers fort. - Bogdanich (Bogdanich wurde Regimentskommandeur genannt) hat Sie belagert.
- Er hat nicht belagert, sondern gesagt, dass ich gelogen habe.
- Nun, ja, und du hast etwas Dummes zu ihm gesagt, und du musst dich entschuldigen.
- Auf keinen Fall! schrie Rostow.
„Ich dachte nicht, dass es von Ihnen ist“, sagte der Hauptmann des Hauptquartiers ernst und streng. - Sie wollen sich nicht entschuldigen, und Sie, Vater, nicht nur vor ihm, sondern vor dem ganzen Regiment, vor uns allen, Sie sind überall schuld. Und so geht's: Wenn Sie nur nachgedacht und beraten haben, wie Sie mit dieser Angelegenheit umgehen sollen, sonst Sie direkt, aber vor den Beamten, und geklopft haben. Was sollte der Regimentskommandeur jetzt tun? Sollen wir den Offizier vor Gericht stellen und das ganze Regiment durcheinander bringen? Das ganze Regiment wegen eines Bösewichts beschämen? Also was denkst du? Ist es aber unserer Meinung nach nicht. Und gut gemacht, Bogdanich, er hat dir gesagt, dass du nicht die Wahrheit sagst. Es ist unangenehm, aber was tun, Vater, sie selbst sind darauf gestoßen. Und jetzt, da sie die Sache vertuschen wollen, wollen Sie sich wegen irgendeiner Fanaberie nicht entschuldigen, sondern alles erzählen. Sie sind beleidigt, dass Sie im Dienst sind, aber warum sollten Sie sich bei einem alten und ehrlichen Offizier entschuldigen! Was auch immer Bogdanich sein mag, aber ganz ehrlich und tapfer, alter Oberst, Sie sind so gekränkt; und das Regiment zu vermasseln ist okay für dich? - Die Stimme des Kapitänsstabes begann zu zittern. - Sie, Vater, sind eine Woche ohne Jahr im Regiment; heute hier, morgen zogen sie irgendwohin zu Adjutanten; Es ist dir egal, was sie sagen werden: "Diebe sind unter den Pawlograder Offizieren!" Und es ist uns egal. Also, was, Denisov? Nicht alle gleich?
Denisov schwieg und rührte sich nicht, gelegentlich warf er mit seinen glänzenden schwarzen Augen einen Blick auf Rostov.
„Ihre Fanabery ist Ihnen lieb, Sie wollen sich nicht entschuldigen“, fuhr der Hauptmann des Hauptquartiers fort, „aber wir Alten, wie wir aufgewachsen sind, und so Gott will, werden im Regiment sterben, so ist die Ehre des Regiments lieb zu uns, und Bogdanich weiß es. Oh, wie lieb, Vater! Und das ist nicht gut, nicht gut! Beleidigen Sie es oder nicht, aber ich werde der Gebärmutter immer die Wahrheit sagen. Nicht gut!
Und der Stab des Hauptmanns stand auf und wandte sich von Rostow ab.
- Pg "avda, chog" nimm es! rief Denisov und sprang auf. - Nun, G "Skelett! Nun!
Rostov errötete und wurde blass und sah zuerst einen Offizier an, dann einen anderen.
- Nein, meine Herren, nein ... denken Sie nicht ... Ich verstehe sehr gut, Sie sollten nicht so über mich denken ... Ich ... für mich ... Ich bin für die Ehre des Regiments. aber was? Ich werde es in der Praxis zeigen und für mich die Ehre des Banners ... nun, es ist alles gleich, wirklich, es ist meine Schuld! ... - Tränen standen in seinen Augen. - Ich bin schuld, rundherum schuld! ... Na, was willst du denn noch? ...
„Das ist es, Graf“, rief der Hauptmann, drehte sich um und schlug ihm mit seiner großen Hand auf die Schulter.
„Ich sage Ihnen“, rief Denisov, „er ist ein netter Kleiner.
„So ist es besser, Graf“, wiederholte der Stabshauptmann, als wollte er ihm zu seiner Anerkennung einen Titel geben. - Gehen Sie und entschuldigen Sie sich, Exzellenz, ja, s.
"Meine Herren, ich werde alles tun, niemand wird ein Wort von mir hören", sagte Rostov mit flehentlicher Stimme, "aber ich kann mich nicht entschuldigen, bei Gott, ich kann nicht, wie Sie wollen!" Wie werde ich mich entschuldigen, wie ein kleines Kind, um um Vergebung zu bitten?
Denisov lachte.
- Es ist schlimmer für dich. Bogdanych ist rachsüchtig, zahlen Sie für Ihre Sturheit, - sagte Kirsten.
- Bei Gott, nicht Sturheit! Ich kann dir das Gefühl nicht beschreiben, ich kann nicht...
- Nun, Ihr Wille, - sagte der Hauptmann des Hauptquartiers. - Nun, wo ist dieser Bastard hin? fragte er Denisov.
- Er sagte, er sei krank, zavtg "und pg bestellt" und im Auftrag auszuschließen, - sagte Denisov.
„Das ist eine Krankheit, anders ist es nicht zu erklären“, sagte der Stabshauptmann.
- Schon da, die Krankheit ist keine Krankheit, und wenn er mir nicht ins Auge fällt, werde ich dich töten! schrie Denisov blutrünstig.
Scherkow betrat den Raum.
- Wie geht es dir? Die Beamten wandten sich plötzlich dem Neuankömmling zu.
- Gehen Sie, meine Herren. Mack ergab sich als Gefangener und mit der Armee, absolut.
- Du lügst!
- Ich habe es selbst gesehen.
- Wie? Hast du Mac lebend gesehen? mit Armen oder Beinen?
- Wanderung! Kampagne! Geben Sie ihm eine Flasche für solche Nachrichten. Wie bist du hier her gekommen?
„Sie haben ihn zurück zum Regiment geschickt, für den Teufel, für Mack. Der österreichische General beschwerte sich. Ich habe ihm zur Ankunft von Mack gratuliert ... Sind Sie, Rostov, gerade aus dem Badehaus?
- Hier, Bruder, haben wir am zweiten Tag so ein Durcheinander.
Der Regimentsadjutant trat ein und bestätigte die Nachricht von Zherkov. Morgen wurde ihnen befohlen zu sprechen.
- Gehen Sie, meine Herren!
- Nun, Gott sei Dank, wir blieben zu lange.

Kutuzov zog sich nach Wien zurück und zerstörte die Brücken über die Flüsse Inn (in Braunau) und Traun (in Linz). Am 23. Oktober überquerten russische Truppen die Enns. Russische Karren, Artillerie und Truppenkolonnen zogen mitten am Tag durch die Stadt Enns, diesseits und jenseits der Brücke.

Harmonische Schwingungen - Schwingungen, die nach den Gesetzen von Sinus und Cosinus ausgeführt werden. Die folgende Abbildung zeigt grafisch die Änderung der Koordinate eines Punktes über die Zeit nach dem Kosinussatz.

Bild

Schwingungsamplitude

Die Amplitude einer harmonischen Schwingung ist der größte Wert der Auslenkung des Körpers aus der Gleichgewichtslage. Die Amplitude kann unterschiedliche Werte annehmen. Es hängt davon ab, wie sehr wir den Körper im Anfangsmoment aus der Gleichgewichtsposition verschieben.

Die Amplitude wird durch die Anfangsbedingungen bestimmt, dh die Energie, die dem Körper im Anfangsmoment verliehen wird. Da Sinus und Cosinus Werte im Bereich von -1 bis 1 annehmen können, muss die Gleichung den Faktor Xm enthalten, der die Amplitude der Schwingungen ausdrückt. Bewegungsgleichung für harmonische Schwingungen:

x = Xm*cos(ω0*t).

Schwingungsdauer

Die Schwingungsdauer ist die Zeit, die für eine vollständige Schwingung benötigt wird. Die Schwingungsperiode wird mit dem Buchstaben T bezeichnet. Die Einheiten der Periode entsprechen den Zeiteinheiten. Das heißt, in SI sind es Sekunden.

Schwingungsfrequenz - die Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit. Die Schwingungsfrequenz wird mit dem Buchstaben ν bezeichnet. Die Oszillationsfrequenz kann als Oszillationsperiode ausgedrückt werden.

v = 1/T.

Frequenzeinheiten in SI 1/Sek. Diese Maßeinheit heißt Hertz. Die Anzahl der Schwingungen in einer Zeit von 2 * pi Sekunden ist gleich:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

Oszillationsfrequenz

Dieser Wert wird als zyklische Oszillationsfrequenz bezeichnet. In manchen Literaturstellen findet man den Namen Kreisfrequenz. Die Eigenfrequenz eines schwingungsfähigen Systems ist die Frequenz freier Schwingungen.

Die Frequenz der Eigenschwingungen wird nach folgender Formel berechnet:

Die Frequenz der Eigenschwingungen hängt von den Eigenschaften des Materials und der Masse der Last ab. Je größer die Steifigkeit der Feder ist, desto größer ist die Frequenz der Eigenschwingungen. Je größer die Masse der Last ist, desto niedriger ist die Frequenz der Eigenschwingungen.

Diese beiden Schlussfolgerungen liegen auf der Hand. Je steifer die Feder, desto größer ist die Beschleunigung, die sie auf den Körper ausübt, wenn das System unausgeglichen ist. Je größer die Masse des Körpers ist, desto langsamer ändert sich diese Geschwindigkeit dieses Körpers.

Zeitraum freier Schwingungen:

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

Es ist bemerkenswert, dass bei kleinen Auslenkungswinkeln die Schwingungsdauer des Körpers an der Feder und die Schwingungsdauer des Pendels nicht von der Amplitude der Schwingungen abhängen.

Schreiben wir die Formeln für die Periode und Frequenz freier Schwingungen für ein mathematisches Pendel auf.

dann wird die Periode sein

T = 2*pi*√(l/g).

Diese Formel gilt nur für kleine Ablenkwinkel. Aus der Formel sehen wir, dass die Schwingungsdauer mit der Länge des Pendelfadens zunimmt. Je länger die Länge, desto langsamer schwingt der Körper.

Die Schwingungsdauer hängt nicht von der Masse der Last ab. Aber es hängt von der Freifallbeschleunigung ab. Wenn g abnimmt, nimmt die Schwingungsdauer zu. Diese Eigenschaft wird in der Praxis häufig genutzt. Zum Beispiel, um den exakten Wert der freien Beschleunigung zu messen.

Schwingungscharakteristik

Phase bestimmt den Zustand des Systems, nämlich die Koordinate, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Energie usw.

Zyklische Frequenz charakterisiert die Änderungsgeschwindigkeit der Schwingungsphase.

Der Anfangszustand des schwingungsfähigen Systems charakterisiert Anfangsphase

Schwingungsamplitude A ist die größte Verschiebung aus der Gleichgewichtslage

Zeitraum T- das ist die Zeitspanne, in der der Punkt eine vollständige Schwingung ausführt.

Oszillationsfrequenz ist die Anzahl der vollständigen Schwingungen pro Zeiteinheit t.

Die Frequenz, die zyklische Frequenz und die Oszillationsperiode stehen in Beziehung zu

Arten von Vibrationen

Schwingungen, die in geschlossenen Systemen auftreten, werden genannt frei oder besitzen Schwankungen. Als Schwingungen werden Schwingungen bezeichnet, die unter Einwirkung äußerer Kräfte auftreten gezwungen. Es gibt auch Eigenschwingungen(wird automatisch erzwungen).

Wenn wir Schwingungen nach sich ändernden Eigenschaften (Amplitude, Frequenz, Periode usw.) betrachten, können sie unterteilt werden in harmonisch, Fading, wachsend(sowie Sägezahn, rechteckig, komplex).

Bei freien Schwingungen in realen Systemen treten immer Energieverluste auf. Beispielsweise wird mechanische Energie aufgewendet, um Arbeit zur Überwindung der Luftwiderstandskräfte zu verrichten. Unter dem Einfluss der Reibungskraft nimmt die Schwingungsamplitude ab und nach einer Weile hören die Schwingungen auf. Es ist offensichtlich, dass je größer die Widerstandskraft gegen die Bewegung ist, desto schneller hören die Schwingungen auf.

Erzwungene Schwingungen. Resonanz

Erzwungene Schwingungen sind ungedämpft. Daher ist es notwendig, Energieverluste für jede Schwingungsperiode wieder aufzufüllen. Dazu ist es notwendig, auf einen schwingenden Körper mit einer sich periodisch ändernden Kraft einzuwirken. Erzwungene Schwingungen werden mit einer Frequenz ausgeführt, die gleich der Frequenz der Änderungen der äußeren Kraft ist.

Erzwungene Schwingungen

Die Amplitude erzwungener mechanischer Schwingungen erreicht ihren Maximalwert, wenn die Frequenz der antreibenden Kraft mit der Frequenz des schwingungsfähigen Systems übereinstimmt. Dieses Phänomen heißt Resonanz.

Wenn Sie beispielsweise regelmäßig an der Schnur im Takt ihrer eigenen Schwingungen ziehen, werden wir eine Zunahme der Amplitude ihrer Schwingungen feststellen.

Wenn ein nasser Finger am Rand des Glases entlang fährt, macht das Glas Klingelgeräusche. Obwohl nicht wahrnehmbar, bewegt sich der Finger intermittierend und überträgt Energie in kurzen Stößen auf das Glas, wodurch das Glas vibriert.

Auch die Wände des Glases beginnen zu vibrieren, wenn eine Schallwelle mit gleicher Frequenz auf sie gerichtet wird. Wenn die Amplitude sehr groß wird, kann das Glas sogar brechen. Aufgrund der Resonanz während des Gesangs von F. I. Chaliapin zitterten (resonierten) die Kristallanhänger der Kronleuchter. Im Badezimmer lässt sich die Entstehung von Resonanz nachvollziehen. Wenn Sie Töne unterschiedlicher Frequenzen leise singen, tritt Resonanz bei einer der Frequenzen auf.

Bei Musikinstrumenten übernehmen Teile ihres Körpers die Rolle von Resonatoren. Eine Person hat auch ihren eigenen Resonator - dies ist die Mundhöhle, die die erzeugten Geräusche verstärkt.

Das Phänomen der Resonanz muss in der Praxis berücksichtigt werden. In manchen Situationen kann es nützlich sein, in anderen kann es schädlich sein. Resonanzphänomene können irreversible Schäden an verschiedenen mechanischen Systemen verursachen, wie z. B. unsachgemäß konstruierte Brücken. So stürzte 1905 die ägyptische Brücke in St. Petersburg ein, als ein Reitergeschwader sie passierte, und 1940 stürzte die Tacoma-Brücke in den USA ein.

Das Resonanzphänomen wird verwendet, wenn mit Hilfe einer kleinen Kraft eine große Zunahme der Schwingungsamplitude erreicht werden muss. Beispielsweise kann die schwere Zunge einer großen Glocke durch eine relativ kleine Kraft mit einer Frequenz gleich der Eigenfrequenz der Glocke zum Schwingen gebracht werden.

Die Vielfalt der oszillierenden Prozesse, die uns umgeben, ist so bedeutend, dass man sich einfach fragt – gibt es etwas, das nicht oszilliert? Es ist unwahrscheinlich, denn selbst ein völlig bewegungsloses Objekt, beispielsweise ein Stein, der seit Tausenden von Jahren bewegungslos ist, führt immer noch Schwingungsprozesse durch - es erwärmt sich tagsüber periodisch, nimmt zu und kühlt sich nachts ab und nimmt an Größe ab. Und das nächste Beispiel - Bäume und Äste - schwanken ihr ganzes Leben lang unermüdlich. Aber das ist ein Stein, ein Baum. Und wenn ein 100-stöckiges Gebäude genauso vom Winddruck schwankt? Es ist zum Beispiel bekannt, dass die Spitze um 5-12 Meter hin und her abweicht, warum nicht ein Pendel mit einer Höhe von 500 m. Und wie stark nimmt eine solche Struktur durch Temperaturänderungen an Größe zu? Auch Schwingungen von Maschinenkörpern und -mechanismen können hier einbezogen werden. Denken Sie nur, das Flugzeug, in dem Sie fliegen, schwingt ständig. Denken Sie ans Fliegen? Es lohnt sich nicht, denn Schwankungen sind die Essenz der Welt um uns herum, man kann sie nicht loswerden - sie können nur berücksichtigt und „um der Sache willen“ angewendet werden.

Wie üblich beginnt das Studium der komplexesten Wissensgebiete (und sie sind nicht einfach) mit einer Bekanntschaft mit den einfachsten Modellen. Und es gibt kein einfacheres und verständlicheres Modell des Schwingungsvorgangs als ein Pendel. Hier, im Physikunterricht, hören wir zum ersten Mal einen so mysteriösen Ausdruck - „die Schwingungsperiode eines mathematischen Pendels“. Das Pendel ist ein Faden und ein Gewicht. Und was ist dieses spezielle Pendel - mathematisch? А все очень просто, для этого маятника предполагается, что его нить не имеет веса, нерастяжима, а колеблется под действием Дело в том, что обычно, рассматривая некий процесс, например, колебания, нельзя абсолютно полностью учесть физические характеристики, например, вес, упругость usw. alle Versuchsteilnehmer. Gleichzeitig ist der Einfluss einiger von ihnen auf den Prozess vernachlässigbar gering. Zum Beispiel ist a priori klar, dass Gewicht und Elastizität des Pendelfadens unter bestimmten Bedingungen keinen merklichen Einfluss auf die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels haben, da sie vernachlässigbar sind, sodass ihr Einfluss von der Betrachtung ausgeschlossen wird.

Die Definition eines Pendels, vielleicht die einfachste bekannte, lautet wie folgt: Die Periode ist die Zeit, in der eine vollständige Schwingung stattfindet. Machen wir eine Markierung an einem der Extrempunkte der Bewegung der Last. Jetzt zählen wir jedes Mal, wenn sich der Punkt schließt, die Anzahl der vollständigen Schwingungen und die Zeit, sagen wir 100 Schwingungen. Die Bestimmung der Dauer einer Periode ist überhaupt nicht schwierig. Führen wir diesen Versuch für ein in einer Ebene schwingendes Pendel in folgenden Fällen durch:

Unterschiedliche Anfangsamplitude;

unterschiedliches Ladungsgewicht.

Wir erhalten ein auf den ersten Blick verblüffendes Ergebnis: In allen Fällen bleibt die Schwingungsdauer des mathematischen Pendels unverändert. Mit anderen Worten, die anfängliche Amplitude und Masse eines materiellen Punktes haben keinen Einfluss auf die Dauer der Periode. Für die weitere Präsentation gibt es nur eine Unannehmlichkeit - weil. ändert sich die Höhe der Last während der Bewegung, dann ist die Rückstellkraft entlang der Trajektorie variabel, was für Berechnungen unpraktisch ist. Lassen Sie uns ein wenig schummeln - schwingen Sie das Pendel auch in Querrichtung - es beginnt, eine kegelförmige Oberfläche zu beschreiben, die Periode T seiner Drehung bleibt gleich, die Geschwindigkeit V ist eine Konstante, entlang der sich die Last bewegt S = 2πr , und die Rückstellkraft ist entlang des Radius gerichtet.

Dann berechnen wir die Schwingungsdauer des mathematischen Pendels:

T \u003d S / V \u003d 2πr / v

Wenn die Länge des Fadens l viel größer ist als die Abmessungen der Last (mindestens 15-20-mal) und der Neigungswinkel des Fadens klein ist (kleine Amplituden), können wir davon ausgehen, dass die Rückstellkraft P ist gleich der Zentripetalkraft F:
P \u003d F \u003d m * V * V / r

Andererseits sind das Moment der Rückstellkraft und der Belastung gleich und dann

P * l = r *(m*g), woraus wir, vorausgesetzt dass P = F ist, die folgende Gleichung erhalten: r * m * g/l = m*v*v/r

Es ist nicht schwer, die Geschwindigkeit des Pendels zu finden: v = r*√g/l.

Und jetzt erinnern wir uns an den allerersten Ausdruck für die Periode und ersetzen den Wert der Geschwindigkeit:

Т=2πr/ r*√g/l

Nach trivialen Umformungen sieht die Formel für die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels in ihrer endgültigen Form so aus:

T \u003d 2 π √ l / g

Nun sind die zuvor experimentell gewonnenen Ergebnisse der Unabhängigkeit der Schwingungsdauer von der Masse der Last und der Amplitude in analytischer Form bestätigt worden und erscheinen gar nicht so „verblüffend“, wie es heißt, was erforderlich wäre bewiesen werden.

Betrachtet man unter anderem den letzten Ausdruck für die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels, so sieht man eine hervorragende Möglichkeit, die Erdbeschleunigung zu messen. Dazu reicht es aus, ein bestimmtes Referenzpendel an einem beliebigen Punkt der Erde zu montieren und die Periode seiner Schwingungen zu messen. So bot uns ganz unerwartet ein einfaches und unkompliziertes Pendel eine großartige Möglichkeit, die Verteilung der Dichte der Erdkruste bis hin zur Suche nach Lagerstätten von Erdmineralien zu untersuchen. Aber das ist eine ganz andere Geschichte.